CN107831655B - 微陀螺仪的分数阶自适应反演模糊滑模控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种微陀螺仪的分数阶自适应反演模糊滑模控制方法，包括：建立微陀螺仪系统的无量纲动力学方程数学模型和参考轨迹模型；构建基于分数阶的反演自适应模糊滑模控制器。本发明能够实现微陀螺实时跟踪的目标，并且增强了系统的鲁棒性，在有外界干扰的情况下仍然保持很好的性能；根据分数阶滑模面设计分数阶自适应律，基于Lyapunov稳定性判据设计一种自适应辨识方法，在线实时估计微陀螺的各项未知系统参数，与整数阶相比，多了可调项，提高了控制效果和参数估计效果；模糊系统逼近参数不确定性及外部干扰总量的上界值，通过对上界值进行模糊逼近，可将滑模控制器中的切换项连续化，大大的降低抖振。

Description

微陀螺仪的分数阶自适应反演模糊滑模控制方法

技术领域

本发明涉及微陀螺仪控制技术领域，具体是一种微陀螺仪的分数阶自适应反演模糊滑模控制方法。

背景技术

微陀螺仪是测量惯性导航和惯性制导系统角速度的传感器，因为它在任何环境下都能够自主导航，所以自出现以来就受到人们的广泛关注，在航天、航海、航空和军事等领域得到了普遍的应用。但是生产和制造过程中存在误差且易受温度影响，造成元件特性与设计之间的差异，从而导致微陀螺仪的性能降低。另外，微陀螺仪属于多输入多输出系统并且系统参数存在不确定性及易受外界环境的影响，使得陀螺仪追踪效果并不理想。传统的滑模控制方法中滑模面的设计都是采用误差的比例、微分或积分的组合，其中微分或积分的阶数都是整数，微陀螺仪的跟踪效果比较差，系统参数和角速度估计效果也比较差，容易引起抖振。

本发明的分数阶自适应反演模糊滑模控制方法中，反演设计方法是将复杂的非线性系统分解成不超过系统阶数的子系统，然后为每个子系统分别设计李雅普诺夫函数，一直“后退”到整个子系统，直到完成整个控制律的设计。在设计过程中，采用分数阶滑模面，根据李雅普诺夫函数设计带有分数阶的反演滑模控制律，通过调节分数阶阶数，来提高系统的性能。在反演分数阶滑模控制律中用切换项函数代替干扰项，采用自适应模糊控制方法将不连续的切换项连续化，有效降低系统抖振。

Lyapunov(李雅普诺夫)函数V(x,t)是可以根据需要自由选取的，但是要符合李雅普诺夫函数的要求(即李雅普诺夫稳定性判据)，即V(x,t)是正定的，当x≠0时，V(x,t)>0；当x＝0时，V(0,t)＝0，具有连续的偏导数；V(x,t)的一阶导

是负半定的。

发明内容

本发明为了避免上述不足之处，提出一种微陀螺仪的分数阶自适应反演模糊滑模控制方法，在线实时估计陀螺仪参数矩阵，有效提高控制效果和参数估计效果，并且有效降低抖振。

本发明采用的技术方案是：一种微陀螺仪的分数阶自适应反演模糊滑模控制方法，其特

征在于：包括如下步骤：

一、建立微陀螺仪系统的无量纲动力学方程数学模型；

二、构建微陀螺仪系统的参考轨迹模型；

三、构建基于分数阶的自适应反演模糊滑模控制器，首先，为微陀螺仪的一个子系统，设计Lyapunov函数，保证微陀螺仪系统的稳定性；然后，设计分数阶反演滑模控制律；最后，设计基于分数阶的自适应反演模糊滑模控制律，实现在线调节微陀螺仪系统，在线实时估计微陀螺的系统参数，确保全局渐进稳定性。

前述的一种微陀螺仪的分数阶自适应反演模糊滑模控制方法，其特征在于：所述步骤一中：所述微陀螺仪的无量纲数学模型为：

其中，q为微陀螺仪数学模型无量纲化后的位置向量，

表示对位置向量q求一阶导数，

表示对位置向量q求二阶导数；D_b为无量纲化后阻尼矩阵，K为无量纲化后弹簧系数矩阵，Ω为无量纲化后角速度矩阵，u为微陀螺仪的控制输入，d(t)为系统不确定性和外界干扰总和，满足||d(t)||≤ρ，ρ为系统的不确定性和外界干扰总和的上界。

前述的一种微陀螺仪的分数阶自适应反演模糊滑模控制方法，其特征在于：所述步骤二中：所述微陀螺仪系统的参考轨迹模型为：

x_r＝A₁sin(ω₁t)，y_r＝A₂sin(ω₂t) (3)

其中x_r、y_r是指x轴、y轴两轴的参考轨迹模型；A₁、A₂分别是微陀螺仪在x轴、y轴方向上的振幅；ω₁、ω₂分别是微陀螺仪在x轴、y轴方向上给定的振动频率；t是时间变量。

前述的一种微陀螺仪的分数阶自适应反演模糊滑模控制方法，其特征在于：所述步骤三中，为微陀螺仪的一个子系统，设计Lyapunov函数，设计步骤包括：

定义矢量x₁,x₂分别为：

基于反演设计技术，将微陀螺仪的数学模型(1)转换为如下形式：

定义微陀螺仪实际位置和参考轨迹之间的跟踪误差e₁为：

e₁＝x₁-q_r (7)

其中，q_r为微陀螺仪系统两轴的参考轨迹，

则跟踪误差导数的一阶导数

为：

取虚拟控制量α₁为：

其中，c₁为误差系数，为非零的正常数；

定义跟踪误差函数e₂为：

e₂＝x₂-α₁ (10)

对具有跟踪误差e₁的微陀螺仪子系统选取一个Lyapunov函数V₁为：

对V₁沿时间t求导得：

当e₂＝0，

满足负定性，保证系统是稳定的。

前述的一种微陀螺仪的分数阶自适应反演模糊滑模控制方法，其特征在于：所述步骤三中，分数阶反演滑模控制律u₁设计步骤包括：

针对微陀螺仪设计分数阶滑模面s为：

s＝λ₁e₁+λ₂D^α-1e₁+λ₃e₂ (15)

其中，λ₁,λ₂,λ₃为滑模系数，为正实数，D^α-1e₁表示对e₁求α-1阶导；

对具有跟踪误差e₂的微陀螺仪子系统选取Lyapunov函数V₂为：

根据Lyapunov函数V₂设计分数阶反演滑模控制律u₁为：

其中，

表示滑模切换项，用来代替系统不确定性和外界干扰总和d(t)；

微陀螺仪系统是稳定的。

前述的一种微陀螺仪的分数阶自适应反演模糊滑模控制方法，其特征在于：所述步骤三中，基于分数阶的自适应反演模糊滑模控制律u'设计步骤包括：

定义微陀螺仪无量纲化模型中估计误差分别为：

定义模糊系统自适应参数估计误差为：

是用来逼近滑模切换项

的模糊系统输出，θ^*是模糊系统的最优参数，θ是模糊系统参数，

基于分数阶的自适应反演模糊滑模控制律u'为：

其中模糊系统输出

存在如下形式：

其中，

分别为微陀螺仪两轴的模糊系统输出，θ为模糊系统参数，Φ(s)^T是与隶属度相关的函数；

将分数阶的自适应反演模糊滑模控制律u'作为微陀螺仪系统控制输入u,带入微陀螺仪系统的数学模型中，实现对微陀螺仪系统的跟踪控制；

定义第三个Lyapunov函数V为：

其中，r₁是正常数，

表示微陀螺仪坐标轴模糊系统参数的估计误差，

代表x轴模糊系统参数估计误差，

代表y轴模糊系统参数估计误差，M＝M^T>0，N＝N^T>0，P＝P^T>0为对称正定矩阵，tr{·}表示矩阵的求迹运算，

分别为参数矩阵D_b,K,Ω的参数估计误差；

为了保证Lyapunov函数的导数

在线实时估计微陀螺的系统参数，设计微陀螺仪参数矩阵D_b,K,Ω的估计值

和模糊系统参数θ_i的自适应律分别为：

为陀螺仪系统阻尼矩阵D_b的估计值的自适应律，

为陀螺仪系统的弹簧系数矩阵K的估计值的自适应律，

为陀螺仪角速度矩阵的估计值的自适应律，

是模糊系统参数自适应律；当选取上述参数自适应律时，

满足李雅普诺夫稳定性定理，保证微陀螺仪系统全局渐进稳定性。

本发明的有益效果在于：本发明通过反演技术，将微陀螺仪系统分解成简单的子系统，再为每个子系统设计Lyapunov函数，使得整个控制过程清晰明了；在反演控制方法基础上，设计分数阶滑模面，即带有偏差的分数阶导数的滑模面，则多了可以调节的微分阶数项，增加了调节自由度，使得控制效果有所改善；当微陀螺仪系统参数和角速度看作未知变量时，基于Lyapunov稳定性理论，设计参数的自适应律，实时更新微陀螺仪的角速度和其他系统参数的估计值；本发明具有提高陀螺仪系统控制性能和鲁棒性的特点，能够实现微陀螺仪较好的跟踪效果，降低系统误差，并且降低系统抖振，以及辨识出系统参数和角速度，辨识系统参数可以了解系统的物理参数，如果某个参数距离给定的值很远，说明系统内部出现问题，需要更换原件等。

附图说明

图1为本发明分数阶自适应反演模糊滑模控制系统的原理图；

图2为本发明采用分数阶自适应反演模糊滑模控制方法的微陀螺X,Y轴跟踪效果图；

图3为本发明采用分数阶自适应反演模糊滑模控制方法的跟踪误差图；

图4为本发明采用分数阶自适应反演模糊滑模控制方法的两轴控制输入响应曲线图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步描述。以下实施例仅用于更加清楚地说明本发明的技术方案，而不能以此来限制本发明的保护范围。

如图1所示，一种微陀螺仪的分数阶自适应反演模糊滑模控制方法，包括以下步骤：

一、建立微陀螺仪系统的无量纲动力学方程数学模型

一般的微机械振动陀螺仪由三个部分组成：弹性材料所支撑悬挂的质量块、静电驱动装置、感测装置，将其简化为一个由质量块和弹簧构成的有阻尼振荡系统。对z轴微陀螺仪而言，可以认为质量块被限制只能在x-y平面内运动，而不能沿z轴运动，只围绕z轴旋转。

根据旋转系中的牛顿定律，考虑加工制造误差，再对数学模型进行无量纲化处理及等效变换后，得到的微陀螺仪的数学模型如下：

其中：

q为微陀螺仪数学模型无量纲化后的位置向量，q₁,q₂分别为陀螺仪数学模型无量纲化后x轴、y轴的位置向量；

为参考位移，Q₁，Q₂分别为微陀螺仪x轴、y轴的位置；

表示对位置向量q求一阶导数，

表示对位置向量q求二阶导数；

为微陀螺仪的控制输入，u_x,u_y分别表示x轴和y轴的控制输入；

为无量钢化后阻尼矩阵，其中，

箭头→表示后者由前者计算得到是等于关系，D_xx,D_yy分别为微陀螺仪x轴、y轴的阻尼系数，D_xy为两轴的耦合阻尼系数，m为陀螺仪的质量，ω₀为两轴的共振频率；

为无量纲化后弹簧系数矩阵，其中，

k_xx,k_yy分别为微陀螺仪x轴、y轴的弹簧系数，k_xy为两轴耦合的弹簧系数；

为无量纲化后角速度矩阵，其中

Ω^* _z为z轴方向上的输入角速度，陀螺仪是沿着x-y平面运动，但是同时它也在围绕z轴旋转，所以有z轴角速度；d(t)为系统不确定性和外界干扰总和，满足||d(t)||≤ρ，|| ||表示求向量的模，ρ为系统的不确定性和外界干扰总和的上界。

式(1)可以写成通用形式的数学模型：

其中，

T表示向量的转置，f₁,f₂分别表示

计算后得到的二维向量中的每个分量。

二、构建微陀螺仪系统的参考轨迹模型；

微陀螺仪的理想动态特性是一种无能量损耗，x轴、y轴两轴间无动态耦合的稳定正弦振荡，参考轨迹模型描述如下：

x_r＝A₁sin(ω₁t)，y_r＝A₂sin(ω₂t) (3)

其中x_r、y_r是指x轴、y轴两轴的参考轨迹模型；A₁、A₂分别是微陀螺仪在x轴、y轴方向上的振幅；ω₁、ω₂分别是微陀螺仪在x轴、y轴方向上给定的振动频率；t是时间变量。

将(3)式转化成微分方程形式为：

其中，q_r＝[x_r y_r]^T为微陀螺仪系统两轴的参考轨迹，

表示对x轴、y轴的参考轨迹q_r求二阶导，K_r＝diag{ω₁ ²,ω₂ ²}，diag{}表示对角矩阵，矩阵K_r表示微陀螺仪在x轴、y轴方向上给定的振动频率的对角矩阵。

三、构建基于分数阶的反演自适应模糊滑模控制器；

为了应用反演技术理论，首先对微陀螺仪的通用形式数学模型即公式(2)进行变换，定义矢量x₁和x₂，

则式(2)可以改写为：

分数阶反演滑模控制器设计步骤如下：

基于分数阶的反演自适应模糊滑模控制器设计步骤如下：

为微陀螺仪的两个子系统，分别设计合适的Lyapunov函数，保证微陀螺仪系统的稳定性：

3.1)：为微陀螺仪的一个子系统，设计Lyapunov函数，保证微陀螺仪系统的稳定性；

定义微陀螺仪实际位置和参考轨迹之间的跟踪误差e₁为：

e₁＝x₁-q_r (7)

则跟踪误差导数的一阶导数

为：

取虚拟控制量α₁为：

其中c₁为误差系数，为非零的正常数。

定义跟踪误差函数e₂为：

e₂＝x₂-α₁ (10)

对具有跟踪误差e₁的微陀螺仪子系统选取一个Lyapunov函数V₁为：

对V₁沿时间t求导得：

当e₂＝0，则可得

满足负定性，符合李雅普诺夫稳定性判据，故跟踪误差e₁满足全局渐进稳定，渐进收敛到零，可以保证系统是稳定的。因此，进一步设计分数阶反演滑模控制律u₁，使滑模面趋于零。在系统稳定的时候，滑模面函数s趋于零。

3.2)针对微陀螺仪设计分数阶反演滑模控制器的控制律u₁：

对第二个跟踪误差e₂沿时间求导得：

针对微陀螺仪设计分数阶滑模面s为：

s＝λ₁e₁+λ₂D^α-1e₁+λ₃e₂ (15)

其中，λ₁,λ₂,λ₃为滑模系数，为正实数，D^α-1e₁是指对e₁求α-1阶导，这是分数阶专用的写法，D表示求导，α是指分数阶的阶数，则微陀螺仪分数阶滑模面s的导数

为：

其中，D^αe₁是对D^α-1e₁求导的结果。

结合滑模面，对具有跟踪误差e₂的微陀螺仪子系统设计第二个Lyapunov函数V₂为：

对公式(17)Lyapunov函数V₂两边求导可得：

根据分数阶滑模面s公式(15)可得到：

将公式(19)代入公式(18)进一步转换

为：

其中

由李雅普诺夫稳定性判据可知，只有

才能保证微陀螺仪系统是稳定的；为了保证

针对微陀螺仪系统，设计基于分数阶的反演滑模控制律u₁为：

其中，

表示滑模切换项，用来代替系统不确定性和外界干扰总和d(t)。

由于s^Te₁＝e₁ ^Ts，将基于分数阶的反演控制律u₁代入公式(20)

得：

根据Lyapunov稳定性判据可以证明微陀螺仪系统是稳定的；

3.3)设计基于分数阶的自适应反演模糊滑模控制器的控制律u'：

由于微陀螺仪无量纲化模型中D_b,K,Ω三个参数是未知的，并且在实际应用过程中，系统存在不确定性和外界干扰，因此反演控制律u₁公式(21)不能直接应用。基于自适应理论知识，用估计值

代替(21)中的三个陀螺仪参数矩阵，设计三个参数估计值的自适应算法，在线实时更新估计；同时用模糊系统

来逼近滑模切换项。

定义微陀螺仪无量纲化模型中估计误差分别为：

定义模糊系统自适应参数估计误差为：

是用来逼近滑模切换项

的模糊系统输出，θ^*是模糊系统的最优参数，θ是模糊系统参数，

基于分数阶的反演控制律公式(21)可以转换为基于分数阶的自适应反演模糊滑模控制律u'：

将分数阶的自适应反演模糊滑模控制律u'作为微陀螺仪系统控制输入u,带入微陀螺仪系统的数学模型中，实现对微陀螺仪系统的跟踪控制。

以单轴系统为例，假设模糊系统由N条模糊规则构成，第k条模糊规则表达形式为：

其中x^j为模糊系统输入变量，j＝1,2,,,n，n为输入变量的个数，

为模糊系统输出，μ_j ^k为x^j的隶属度函数，B^k为

的模糊集。

则模糊系统的输出

为：

其中，∏表示连乘符号，

是与隶属度有关的函数，θ_X＝[θ¹θ²...θ^N]^T表示模糊系统参数，θ^k即为模糊系统参数θ_X中的一个分量。

在本文中由于陀螺仪是两轴系统，仅需把上面的x分别用滑模面s在两个轴上分量s₁,s₂代替即可，s₁表示x轴滑模面，s₂表示y轴滑模面。由于模糊系统每轴输入变量只有一个，所以n取1，输入变量上标j忽略即可，即每轴的输入变量分别为s₁,s₂，则本文模糊系统设计为：

其中

表示x轴模糊系统参数，Φ(s₁)＝[Φ₁(s₁)Φ₂(s₁)...Φ_N(s₁)]^T

表示y轴模糊系统参数，Φ(s₂)＝[Φ₁(s₂)Φ₂(s₂)...Φ_N(s₂)]^T。

定义微陀螺仪系统中，模糊系统的输出

存在如下形式：

其中，

模糊系统参数

设

定义模糊系统最优参数θ^*为：

其中Ω_h为模糊系统参数θ的集合，Rⁿ表示实数域，s_i表示单轴的滑模面，i＝1,2,分别代表两个轴的滑模面。sup表示最小上界，arg min是[]中取最小值时模糊系统参数θ的取值。

将基于分数阶的自适应反演模糊滑模控制律u'公式(24)代入微陀螺设计分数阶滑模面s的导数

公式(16)

则

定义第三个Lyapunov函数V为：

其中，r₁是正常数，

表示微陀螺仪坐标轴模糊系统参数的估计误差，

代表x轴模糊系统参数估计误差，

代表y轴模糊系统参数估计误差，M＝M^T>0，N＝N^T>0，P＝P^T>0为对称正定矩阵，称作自适应固定增益矩阵，它们是可调整的参数，是可人为选取的；tr{·}表示矩阵的求迹运算。

对第三个Lyapunov函数V等式两边求导得：

由于D_b＝D_b ^T,K＝K^T,Ω＝-Ω^T,并且

为标量，因此：

同理可得：

又

所以

为保证

设计自适应律为：

为陀螺仪系统阻尼矩阵D_b的估计值的自适应律，

为陀螺仪系统的弹簧系数矩阵K的估计值的自适应律，

为陀螺仪角速度矩阵的估计值的自适应律，

是模糊系统参数自适应律。

那么V对时间t的微分为：

由于

满足李雅普诺夫稳定性定理，由此可以得到具有跟踪误差e₁的子系统、具有跟踪误差e₂的子系统、滑模面函数s将会渐进地收敛到零，从而验证本发明所提出的控制方法能够实现对微陀螺仪的分数阶自适应反演模糊滑模控制，具有鲁棒作用，提高系统控制性能，使得跟踪效果更好，降低系统误差，并且降低抖振，同时在线辨识微陀螺仪系统参数，从而了解微陀螺仪系统的物理参数，如果参数辨识

中某个估计值距离给定的值D_b,K,Ω很远，说明系统内部出现问题，需要更换原件等。

为了更加直观地显示本发明提出的分数阶自适应反演模糊滑模控制方法的优越性，在MATLAB/SIMULINK对本发明控制方法进行计算机仿真实验。

参考现有文献，选取微陀螺仪的参数为：

m＝1.8×10^-7kg，D_xx＝1.8×10^-6N s/m，D_yy＝1.8×10^-6N s/m，

D_xy＝3.6×10^-7N s/m，k_xx＝63.955N/m，k_yy＝95.92N/m，k_xy＝12.779N/m。

假定未知的输入角速度为Ω_z ^*＝100rad/s。首先微陀螺参数进行无量纲化处理，对于振动式微陀螺仪，基础质量块沿x轴，y轴振动幅值在亚微米级别，参考位移选取为q₀＝1μm较为合理。因为微陀螺的操作频率在kHz范围，所以选取固有频率为ω₀＝1kHz。得到微陀螺仪的无量纲化参数为：

ω_x ²＝355.3，ω_y ²＝532.9，ω_xy＝70.99，d_xx＝0.01

d_yy＝0.01，d_xy＝0.002，Ω_z＝0.1

对于两轴微陀螺仪系统，分别选取滑模面s的3个隶属度函数，在微陀螺仪系统中，每轴只有一个输入变量s_i因此j取1，k＝1-N，在本文中取三个隶属度函数，所以N＝3。3个隶属度函数分别为：μ¹(s_i)＝1/(1+exp(5(s_i+3)))，μ²(s_i)＝exp(-s_i ²)，μ³(s_i)＝1/(1+exp(5(s_i-3)))。

仿真实验中，设系统的初始条件为：

q₁(0)，q₂(0)是指微陀螺仪在x轴、y轴的初始位置，此刻t＝0，微陀螺的两轴期望运行轨迹(参考轨迹)为：x_r＝sin(4.17t),y_r＝1.2sin(5.11t)，三个参数矩阵的估计初值分别为：

在滑模控制律中，滑模面参数取λ₁＝55,λ₂＝10,λ₃＝1，误差系数取c₁＝200，取M＝N＝diag(150,150),P＝diag(20,20)，取分数阶阶数α＝0.9。

当外界干扰取白噪声信号d＝[0.5*randn(1,1)；0.5*randn(1,1)]时，randn(1,1)表示产生随机数，仿真结果如图2至图4所示。

图2为微陀螺仪X、Y轴的跟踪曲线，从图中可以看出采用分数阶自适应反演模糊滑模控制方法后微陀螺仪的X、Y轴轨迹能够很好的追踪上参考轨迹。

图3为跟踪误差曲线图，从图中可以看出，X、Y轴上的跟踪误差e₁能在较短时间内收敛到零。

图4为两轴控制输入响应曲线。用模糊方法对控制器中的滑模切换项

进行逼近，可将滑模切换项连续化，有效降低了抖振。

本发明通过反演控制，简化了系统，使得整个控制器设计过程清晰明了；同时为微陀螺仪的每个子系统设计李雅普诺夫函数，基于自适应机制，设计自适应律，实时估计陀螺仪系统的参数和角速度；选取分数阶滑模面，在保留滑模控制优势的基础上，又多了可以调节的微分阶数项，增加了调节自由度，改善了控制性能；另外，采用模糊控制系统对外界干扰项进行逼近，有效降低了抖振。本文应用分数阶滑模面，相比于动态面方法，在滑模面面中多了可以调节的分数阶阶数项，增加了调节自由度，提高了陀螺仪跟踪效果，有效降低了系统误差，并且本文可以实现陀螺仪系统参数和角速度的辨识，了解微陀螺仪系统的物理参数。

以上所述，仅是本发明的较佳实施例而已，并非对本发明作任何形式上大的限制，虽然本发明以较佳实例揭露如上，然而并非用以限制本发明，任何熟悉本专业的技术人员，在不脱离本发明技术方案范围内，当可利用上述揭示的技术内容作出些许更动或修饰为等同变化的等效实例，但凡是为脱离本发明的技术方案的内容，依据本发明的技术实质对以上实施例所作的任何简单修改、等同变化与装饰，均仍属于本发明技术方案的范围内。

Claims (3)

1.一种微陀螺仪的分数阶自适应反演模糊滑模控制方法，其特征在于：包括如下步骤：

一、建立微陀螺仪系统的无量纲动力学方程数学模型；

二、构建微陀螺仪系统的参考轨迹模型；

三、构建基于分数阶的自适应反演模糊滑模控制器，首先，为微陀螺仪的一个子系统，设计Lyapunov函数，保证微陀螺仪系统的稳定性；然后，设计分数阶反演滑模控制律；最后，设计基于分数阶的自适应反演模糊滑模控制律，实现在线调节微陀螺仪系统，在线实时估计微陀螺的系统参数，确保全局渐进稳定性；

所述步骤一中：所述微陀螺仪的无量纲数学模型为：

其中，q为微陀螺仪数学模型无量纲化后的位置向量，

表示对位置向量q求一阶导数，

表示对位置向量q求二阶导数；D_b为无量纲化后阻尼矩阵，K为无量纲化后弹簧系数矩阵，Ω为无量纲化后角速度矩阵，u为微陀螺仪的控制输入，d(t)为系统不确定性和外界干扰总和，满足||d(t)||≤ρ，ρ为系统的不确定性和外界干扰总和的上界；

所述步骤三中，为微陀螺仪的一个子系统，设计Lyapunov函数，设计步骤包括：

定义矢量x₁,x₂分别为：

基于反演设计技术，将微陀螺仪的数学模型(1)转换为如下形式：

定义微陀螺仪实际位置和参考轨迹之间的跟踪误差e₁为：

e₁＝x₁-q_r (7)

其中，q_r为微陀螺仪系统两轴的参考轨迹，

则跟踪误差导数的一阶导数

为：

取虚拟控制量α₁为：

其中，c₁为误差系数，为非零的正常数；

定义跟踪误差函数e₂为：

e₂＝x₂-α₁ (10)

对具有跟踪误差e₁的微陀螺仪子系统选取一个Lyapunov函数V₁为：

对V₁沿时间t求导得：

当e₂＝0，

满足负定性，保证系统是稳定的；

所述步骤三中，分数阶反演滑模控制律u₁设计步骤包括：

针对微陀螺仪设计分数阶滑模面s为：

s＝λ₁e₁+λ₂D^α-1e₁+λ₃e₂ (15)

其中，λ₁,λ₂,λ₃为滑模系数，为正实数，D^α-1e₁表示对e₁求α-1阶导；

对具有跟踪误差e₂的微陀螺仪子系统选取Lyapunov函数V₂为：

根据Lyapunov函数V₂设计分数阶反演滑模控制律u₁为：

其中，

表示滑模切换项，用来代替系统不确定性和外界干扰总和d(t)；

微陀螺仪系统是稳定的。

2.根据权利要求1中所述的一种微陀螺仪的分数阶自适应反演模糊滑模控制方法，其特征在于：所述步骤二中：所述微陀螺仪系统的参考轨迹模型为：

x_r＝A₁ sin(ω₁t)，y_r＝A₂ sin(ω₂t) (3)

其中x_r、y_r是指x轴、y轴两轴的参考轨迹模型；A₁、A₂分别是微陀螺仪在x轴、y轴方向上的振幅；ω₁、ω₂分别是微陀螺仪在x轴、y轴方向上给定的振动频率；t是时间变量。

3.根据权利要求1中所述的一种微陀螺仪的分数阶自适应反演模糊滑模控制方法，其特征在于：所述步骤三中，基于分数阶的自适应反演模糊滑模控制律u'设计步骤包括：

定义微陀螺仪无量纲化模型中估计误差分别为：

定义模糊系统自适应参数估计误差为：

是用来逼近滑模切换项

的模糊系统输出，θ^*是模糊系统的最优参数，θ是模糊系统参数，

基于分数阶的自适应反演模糊滑模控制律u'为：

其中模糊系统输出

存在如下形式：

其中，

分别为微陀螺仪两轴的模糊系统输出，θ为模糊系统参数，Φ(s)^T是与隶属度相关的函数；

将分数阶的自适应反演模糊滑模控制律u'作为微陀螺仪系统控制输入u,带入微陀螺仪系统的数学模型中，实现对微陀螺仪系统的跟踪控制；

定义第三个Lyapunov函数V为：

其中，r₁是正常数，

表示微陀螺仪坐标轴模糊系统参数的估计误差，

代表x轴模糊系统参数估计误差，

代表y轴模糊系统参数估计误差，M＝M^T＞0，N＝N^T＞0，P＝P^T＞0为对称正定矩阵，tr{·}表示矩阵的求迹运算，

分别为参数矩阵D_b,K,Ω的参数估计误差；

为了保证Lyapunov函数的导数

在线实时估计微陀螺的系统参数，设计微陀螺仪参数矩阵D_b,K,Ω的估计值

和模糊系统参数θ_i的自适应律分别为：

为陀螺仪系统阻尼矩阵D_b的估计值的自适应律，

为陀螺仪系统的弹簧系数矩阵K的估计值的自适应律，

为陀螺仪角速度矩阵的估计值的自适应律，

是模糊系统参数自适应律；当选取上述参数自适应律时，

满足李雅普诺夫稳定性定理，保证微陀螺仪系统全局渐进稳定性。

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