CN111381500A - 带侧面电极的2d静电驱动mems扭转微镜二阶积分滑模控制 - Google Patents

带侧面电极的2d静电驱动mems扭转微镜二阶积分滑模控制 Download PDF

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CN111381500A CN202010216889.2A CN202010216889A CN111381500A CN 111381500 A CN111381500 A CN 111381500A CN 202010216889 A CN202010216889 A CN 202010216889A CN 111381500 A CN111381500 A CN 111381500A
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王福杰
郭芳
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Abstract

本发明公开了侧面电极的2D静电驱动MEMS扭转微镜二阶积分滑模控制，针对带侧面电极2D静电驱动MEMS扭转微镜设计了基于积分滑模面的二阶滑模控制算法，提高MEMS微镜的暂态性能和扫描定位精度，实现精确跟踪参考正弦轨迹的扫描控制。二阶滑模控制能够保证系统鲁棒性的同时减少滑模控制的抖振现象，即使存在外界扰动，闭环系统依然具有良好的暂态性能、定位精度和跟踪性能。

Description

带侧面电极的2D静电驱动MEMS扭转微镜二阶积分滑模控制
技术领域
本发明涉及光学电子器件技术领域。
背景技术
理想状态下滑模控制系统的状态是严格沿着滑模面滑动的，但实际应用中滑模控制的不连续开关切换导致系统状态到达滑模面后会小幅度且高频率的反复穿越滑模面，造成抖振现象。这种现象会影响系统的控制精度和系统可靠性，国内外学者针对滑模控制抖振现象这一课题进行了大量的研究，其中一种行之有效的方法是采用二阶滑模控制。二阶滑模控制不但保持了传统滑模控制鲁棒性强的优点，并且能够减少抖振现象提高系统的控制精度。但滑模控制存在的抖振现象增大了扫描定位误差。为了减少传统滑模控制系统中的抖振现象，进一步提高微镜扫描定位精度，本发明设计了一种新的控制方式以解决这一问题。
发明内容
本发明的目的在于提供一种带侧面电极的2D静电驱动MEMS扭转微镜二阶积分滑模控制，以解决上述背景技术中提出的问题。
为实现上述目的，本发明提供如下技术方案：带侧面电极的2D静电驱动MEMS扭转微镜二阶积分滑模控制，包括以下步骤：
S1.选定带侧面电极的2D静电驱动MEMS扭转微镜的数学模型为：
Figure BDA0002424773410000011
其中θ(t)∈R代表系统状态α或系统状态β，其中系统状态α为MEMS扭转微镜沿着X轴方向的扭转，系统状态β为MEMS扭转微镜沿着Y轴方向的扭转，u(t)∈R代表静电扭矩Ta或静电扭矩Tb，其中Ta为MEMS扭转微镜沿X轴方向的静电扭转力矩，Tb为MEMS扭转微镜沿Y轴方向的静电扭转力矩，系统参数A＝D/J，B＝K/J，C＝1/J，其中J是转动惯量，D是阻尼系数，K是扭杆的弹簧系数，F(t)是有界的模型不确定性和外界扰动，且满足
Figure BDA0002424773410000021
|F(t)|≤Fmax，其中Fmax＞0是模型不确定性和外界扰动的上界；
S2.将积分项引入滑模面设计，
Figure BDA0002424773410000022
从而减少系统的稳态误差，其中kp，ki和kd为相互独立的正值参数，λ∈R+用于确定滑模函数收敛速度，e(t)为误差；
S3.选定二阶滑模控制策略u2SMC(t)ueq(t)+usw(t)，其中ueq为等价控制部分，usw为切换控制部分，确定滑模函数的二阶导数：
Figure BDA0002424773410000023
并得到
Figure BDA0002424773410000024
时的等价控制为：
Figure BDA0002424773410000025
，选定设计切换控制为
Figure BDA0002424773410000026
其中参数r1和r2满足r1＞r2＞0：
S4.使r1＝(kdC)-1a1，r2＝(kdC)-1a2，切换控制改写为：
Figure BDA0002424773410000028
选定二阶滑模控制为：
Figure BDA0002424773410000027
优选的，所述MEMS扭转微镜的镜面宽度和长度Lm为1000μm，所述MEMS扭转微镜的镜面厚度tm为35μm，所述MEMS扭转微镜的框架宽度Lgw为1400μm，框架长度Lg1为1700μm，底部电极宽度Le为1060μm，镜面与底部电极的距离g为290μm，侧面电极的高度h是250μm，扭杆宽度w是3μm。
优选的，S4中a1和a2是正参数且满足a1＞a2+kdFmax，a2＞KdFmax。
与现有技术相比，本发明的有益效果是：带侧面电极的2D静电驱动MEMS扭转微镜二阶积分滑模控制，提高MEMS微镜的暂态性能和扫描定位精度，实现精确跟踪参考正弦轨迹的扫描控制。二阶滑模控制能够保证系统鲁棒性的同时减少滑模控制的抖振现象，即使存在外界扰动，闭环系统依然具有良好的暂态性能、定位精度和跟踪性能。
附图说明
图1为发明的控制系统示意图；
图2为发明的开环控制系统响应图；
图3为发明的二阶滑模定点控制实验结果图；
图4为发明的一阶滑模定点控制实验结果图；
图5为发明的2SMC定点控制实验结果比较图；
图6为发明的SMC定点控制实验结果比较图；
图7为发明的2SMC控制输入图；
图8为发明的X轴方向的二阶滑模跟踪控制实验结果图；
图9为发明的Y轴方向的二阶滑模跟踪控制实验结果图；
图10为发明的扰动下的开环控制系统响应图；
图11为发明的扰动下的二阶滑模定点控制实验结果图；
图12为发明的X轴方向的二阶滑模跟踪控制扰动下实验结果图；
图13为发明的轴方向的二阶滑模跟踪控制扰动下实验结果图。
具体实施方式
下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
本发明提供一种技术方案：带侧面电极的2D静电驱动MEMS扭转微镜二阶积分滑模控制，包括以下步骤：
S1.选定带侧面电极的2D静电驱动MEMS扭转微镜的数学模型为：
Figure BDA0002424773410000041
其中θ(t)∈R代表系统状态α或系统状态β，其中系统状态α为MEMS扭转微镜沿着X轴方向的扭转，系统状态β为MEMS扭转微镜沿着Y轴方向的扭转，u(t)∈R代表静电扭矩Ta或静电扭矩Tb，其中Ta为MEMS扭转微镜沿X轴方向的静电扭转力矩，Tb为MEMS扭转微镜沿Y轴方向的静电扭转力矩，系统参数A＝D/J，B＝K/J，C＝1/J，其中J是转动惯量，D是阻尼系数，K是扭杆的弹簧系数，F(t)是有界的模型不确定性和外界扰动，且满足
Figure BDA0002424773410000042
|F(t)|≤Fmax，其中Fmax＞0是模型不确定性和外界扰动的上界；
S2.将积分项引入滑模面设计，
Figure BDA0002424773410000043
从而减少系统的稳态误差，其中kp，ki和kd为相互独立的正值参数，λ∈R+用于确定滑模函数收敛速度，e(t)为误差；
S3.选定二阶滑模控制策略u2SMC(t)＝ueq(t)+usw(t)，其中ueq为等价控制部分，usw为切换控制部分，确定滑模函数的二阶导数：
Figure BDA0002424773410000051
并得到
Figure BDA0002424773410000052
时的等价控制为：
Figure BDA0002424773410000053
，选定设计切换控制为
Figure BDA0002424773410000054
其中参数r1和r2满足r1＞r2＞0；
S4.使r1＝(kdC)-1a1，r2＝(kdC)-1a2，切换控制改写为：
Figure BDA0002424773410000057
选定二阶滑模控制为：
Figure BDA0002424773410000055
具体而言，所述MEMS扭转微镜的镜面宽度和长度Lm为1000μm，所述MEMS扭转微镜的镜面厚度tm为35μm，所述MEMS扭转微镜的框架宽度Lgw为1400μm，框架长度Lg1为1700μm，底部电极宽度Le为1060μm，镜面与底部电极的距离g为290μm，侧面电极的高度h是250μm，扭杆宽度w是3μm。
具体而言，S4中a1和a2是正参数且满足a1＞a2+kdFmax，a2＞KdFmax。
本实施例中，通过求解偏微分方程，构造了保证Twisting算法有限时间收敛的全局李雅普诺夫函数，并证明闭环系统的有限时间渐近稳定性。考虑以下形式的控制系统：
Figure BDA0002424773410000056
其中x，y∈R是系统变量，
Figure BDA0002424773410000061
是Twisting控制，设f(t，x，y)是一个未知但有界的函数用于代表外界扰动，定义为，|f(t，x，y)|≤C，C为已知。采用Lyapunov理论证明了系统的有限时间收敛。
将二阶滑模控制：
Figure BDA0002424773410000062
带入方程：
Figure BDA0002424773410000063
可以得到滑模函数的二阶导数为：
Figure BDA0002424773410000064
令s＝y1，
Figure BDA0002424773410000065
方程
Figure BDA0002424773410000066
写为：
Figure BDA0002424773410000067
由此看出式
Figure BDA0002424773410000068
满足式
Figure BDA0002424773410000069
的假设条件a1a2+Φ和a2＞Φ，为了证明闭环系统的稳定性，选取李雅普诺夫函数为：
Figure BDA00024247734100000610
当y1(t)≠0，y2(t)≠0时VL(t)＞0，γ＝a1+a2sign(y1y2)-Φsign(y1y2)。为了保
持选取的李雅普诺夫函数的连续性，参数k，
Figure BDA0002424773410000071
和k0选取为：
Figure BDA0002424773410000072
当下列条件成立时：
Figure BDA0002424773410000073
则可以保证闭环系统
Figure BDA0002424773410000074
的稳定性，对VL(t)求导，可以得到：
Figure BDA0002424773410000075
其中
Figure BDA0002424773410000076
当y1y2＞0时，可得到
Figure BDA0002424773410000081
李雅普诺夫函数导数为：
Figure BDA0002424773410000082
当y1y2＜0时，由
Figure BDA0002424773410000083
可得到
Figure BDA0002424773410000084
李雅普诺夫函数导数为：
Figure BDA0002424773410000085
由于
Figure BDA0002424773410000086
由
Figure BDA0002424773410000087
和
Figure BDA0002424773410000088
可得：
Figure BDA0002424773410000089
其中kmin是k的最小值，所以保证了系统的有限时间收敛。
闭环控制系统整体结构如图1所示，为了验证所提控制算法的有效性，分别针对微镜沿着X轴和Y轴方向的角度控制问题进行实验研究。闭环控制系统整体结构，由图可以看出，算法设计的控制变量Tα(Tβ)是扭矩，而实际控制输入是控制电压Vx(Vy)，所需要的静电扭矩Tα(Tβ)可以通过施加相应的控制电压Vx(Vy)来获得。为了避免过高的驱动电压损坏微镜，控制输入端采用饱和函数限制大的输入电压。
开环控制阶跃响应如图2所示，微镜X轴方向的超调量为23％，调节时间为70毫秒，Y轴方向超调量为11％，调节时间为60毫秒。为了提高微镜的暂态性能和定位精度，采用闭环控制算法保证MEMS微镜快速的稳定于给定的期望扭转位置。考虑到PSD接收到的激光的位置信号与微镜的扭转角度一一对应，闭环控制下将MEMS微镜X轴方向的参考位置设定为2mm，Y轴方向参考位置设为1.25mm，图3和图4分别是二阶积分滑模控制和一阶滑模控制下的系统响应，与开环控制响应图2相比，二阶积分滑模控制下的微镜具有很小的超调量，并且X轴方向的调节时间从70毫秒减少为5毫秒，Y轴方向从60毫秒减少为5毫秒。与一阶滑模控制相比，二阶积分滑模
控制有效的减少了抖振现象，积分滑模面的引入减少了系统的稳态误差，实现了大误差5％的定位精度。为了验证闭环系统在参考位置变化情况下的系统性能，首先设定MEMS微镜X轴方向的初始参考位置为2mm(Y轴方向为1.25mm)，然后在50毫秒后将X轴方向参考位置更改为1.75mm(Y轴方向参考位置变为1mm)。由图5和图6可以看出，二阶积分滑模控制下的微镜能够在5毫秒内迅速扭转到新的参考位置。与一阶滑模相比，二阶积分滑模控制下的微镜具有较好的暂态响应和定位精度。沿着X轴方向二阶积分滑模控制的控制输入如图7所示。
为了验证二阶积分滑模控制下带侧面电极的2D静电驱动MEMS扭转微镜的跟踪扫描性能，参考扫描轨迹定义为：
Figure BDA0002424773410000091
其中Aref是扫描范围，Ts是扫描周期。
将X轴方向的扫描范围设为3mm，扫描周期设为98毫秒。由图8可以看出二阶积分滑模控制下的MEMS微镜沿着X轴方向精确的跟踪给定参考轨迹。Y轴方向的扫描范围设为2mm，扫描周期设为95毫秒，由图9可以看出二阶积分滑模控制下MEMS微镜在Y轴方向也同样能够精确的跟踪跟定的参考轨迹。实验结果表明闭环系统具有良好的跟踪扫描性能，能够满足MEMS微镜在成像应用中跟踪给定轨迹扫描的要求。
为了验证闭环控制系统在扰动下的性能，将外部光源作为有界的扰动信号引入系统测量输出端。图11是存在外界扰动信号下的开环控制阶跃响应，与图2相比，可以看出在外界扰动下系统响应存在明显的变化。图12是在闭环控制系统在扰动下的系统响应，由图可以看出MEMS微镜在二阶积分滑模控制下能够保持良好的暂态响应和定位精度。图12和13分别是扰动情况下MEMS微镜在X轴方向和Y轴方向跟踪参考正弦轨迹的扫描效果，与图8和9相比，可以看出在扰动情况下二阶积分滑模控制能够保证微镜具有良好的跟踪扫描效果。
尽管已经示出和描述了本发明的实施例，对于本领域的普通技术人员而言，可以理解在不脱离本发明的原理和精神的情况下可以对这些实施例进行多种变化、修改、替换和变型，本发明的范围由所附权利要求及其等同物限定。

Claims (3)

1.带侧面电极的2D静电驱动MEMS扭转微镜二阶积分滑模控制，其特征在于，包括以下步骤：
S1.选定带侧面电极的2D静电驱动MEMS扭转微镜的数学模型为：
Figure FDA0002424773400000011
其中θ(t)∈R代表系统状态α或系统状态β，其中系统状态α为MEMS扭转微镜沿着X轴方向的扭转，系统状态β为MEMS扭转微镜沿着Y轴方向的扭转，u(t)∈R代表静电扭矩Ta或静电扭矩Tb，其中Ta为MEMS扭转微镜沿X轴方向的静电扭转力矩，Tb为MEMS扭转微镜沿Y轴方向的静电扭转力矩，系统参数A＝D/J，B＝K/J，C＝1/J，其中J是转动惯量，D是阻尼系数，K是扭杆的弹簧系数，F(t)是有界的模型不确定性和外界扰动，且满足
Figure FDA0002424773400000012
|F(t)|≤Fmax，其中Fmax＞0是模型不确定性和外界扰动的上界；
S2.将积分项引入滑模面设计，
Figure FDA0002424773400000013
从而减少系统的稳态误差，其中kp，ki和kd为相互独立的正值参数，λ∈R+用于确定滑模函数收敛速度，e(t)为误差；
S3.选定二阶滑模控制策略u2SMC(t)＝ueq(t)+usw(t)，其中ueq为等价控制部分，usw为切换控制部分，确定滑模函数的二阶导数：
Figure FDA0002424773400000014
并得到
Figure FDA0002424773400000015
时的等价控制为：
Figure FDA0002424773400000016
，
选定设计切换控制为
Figure FDA0002424773400000021
其中参数r1和r2满足r1＞r2＞0；
S4.使r1＝(kdC)-1a1，r2＝(kdC)-1a2，切换控制改写为：
Figure FDA0002424773400000022
选定二阶滑模控制为：
Figure FDA0002424773400000023
2.根据权利要求1所述的带侧面电极的2D静电驱动MEMS扭转微镜二阶积分滑模控制，其特征在于，所述MEMS扭转微镜的镜面宽度和长度Lm为1000μm，所述MEMS扭转微镜的镜面厚度tm为35μm，所述MEMS扭转微镜的框架宽度Lgw为1400μm，框架长度Lgl为1700μm，底部电极宽度Le为1060μm，镜面与底部电极的距离g为290μm，侧面电极的高度h是250μm，扭杆宽度w是3μm。
3.根据权利要求1所述的带侧面电极的2D静电驱动MEMS扭转微镜二阶积分滑模控制，其特征在于：S4中a1和a2是正参数且满足
a1＞a2+kdFmax，a2＞kdFmax。
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Application publication date: 20200707

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