CN109657282A - 一种基于拉格朗日动力学的h型运动平台建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于动力学建模技术领域，涉及一种基于拉格朗日动力学的H型运动平台建模方法。所述方法基于H型运动平台耦合等效模型，利用拉格朗日动力学和功能关系，建立出可以得到三自由度的耦合等效动力学方程，达到减少建模误差和方便设计控制器的目的。本方法充分考虑了因平行的双直线电机不同步造成的横梁偏转，并考虑横梁上负载运动的影响，提高了模型的精度，能有效解决传统的H型平台非耦合模型因建模误差无法提高控制精度的问题。

Description

一种基于拉格朗日动力学的H型运动平台建模方法

技术领域

本发明属于动力学建模技术领域，涉及一种基于拉格朗日动力学的H型运动平台建模方法。

背景技术

数控机床应用的单轴控制系统虽可以满足高精度需求，但是它所能够提供的输出推力是非常有限，致使它能够被应用的场合就有所限制,于是为了可以被应用于大型加工机械方面，开始采取双轴或多轴以上同步控制系统，其目的就是利用多轴电机可以平均分担推力，这样不仅可以改善单轴推力不足现象，又可以减少加工所消耗的时间，进而提升加工的速度来增加产能。H型精密运动平台由三台永磁直线电机组成，其中一个方向采用平行的双直线电机共同驱动单轴的平行系统，即具有机械耦合的三直线电机伺服系统。在这种结构下，可以满足如今高加速、高推力和高刚性的基本要求，但三轴机械耦合的结构，会影响轮廓跟踪控制的精度。所以，在H型运动平台控制系统的设计过程中必须考虑机械耦合的影响。

目前，关于H型运动平台动力学与控制的研究大都基于非耦合模型：即基于各轴单独的刚体动力学模型；在此情况下，将机械耦合对平台的影响当作外界干扰处理。但在高速度、高加速等情况下，根据非耦合模型所设计的控制器控制精度将难以提高；同时在这种情况下，由于H型运动平台自身的复杂性及建模误差的限制，如果采用基于牛顿动力学的方法来模拟机械耦合动力学特性，进而开展H型运动平台刚(刚体运动)-柔(横梁偏转)-控(控制策略设计)耦合系统一体化研究并应用于数控加工中将是不现实的且难以实现。因此亟需开展基于机械耦合等效力学模型的H型运动平台动力学研究。

发明内容

发明目的：

本发明针对现有技术中缺乏基于动力学耦合模型的技术问题，提出了一种基于拉格朗日动力学的H型运动平台建模方法。

技术方案：

一种基于拉格朗日动力学的H型运动平台建模方法，所述平台建模方法包括：

步骤一：确定H型运动平台坐标系；

步骤二：将所述H型运动平台因平行的双直线电机不同步对平台动力学的影响，等效为扭转弹簧和阻尼器对其的影响；

步骤三：根据步骤一确定各物理量，获取横梁和X轴动子相对于横梁质心的转动惯量及X轴动子相对于自身质心的转动惯量；

步骤四：通过求平移动能和旋转动能得到系统的全部动能，并将系统动能表示成矩阵形式，获得系统的惯性矩阵；

步骤五：根据由横梁偏转引起的弹性势能，获得系统的刚度矩阵；

步骤六：根据由沾滞摩擦力引起的瑞利耗散函数，获得系统的粘性阻尼矩阵；

步骤七：根据步骤四、步骤五和步骤六中得到的矩阵，由拉格朗日动力学方程，获得H型运动平台的耦合等效模型。

步骤一所述H型运动平台坐标系可由两组坐标表示：

(1)由数据采集系统组成(y₁y₂x)；

(2)等效坐标(YθX)；

两组坐标的关系可表示为：

其中，y₁,y₂和x分别为Y1轴Y2轴和X轴的位置输出，Y和θ分别为横梁中心位置和偏转角度；X为X轴的位置输出,即X＝x。

步骤三中所述的转动惯量为：

J_b＝m_bL_b ²/12 (2)

J_h＝m_h(d²+X²) (3)

J_h0＝m_hL_h ²/12 (4)

其中，J_b和J_h为横梁和X轴动子相对于横梁质心O的转动惯量；J_h0为X轴动子相对于自身质心的转动惯量；d为X轴动子质心到横梁质心的距离；m_b为横梁的质量；m_h为X轴动子质量；L_b为横梁长度；L_h为X轴动子长度。

步骤四中所述求系统动能的过程为：

第一步：根据几何关系求出横梁上X轴动子的坐标：

进而得到X轴动子速度：

H型运动平台的总动能为：

同时有

公式(8)中，q表示等效坐标的向量公式，q＝(YθX)，M为惯性矩阵，比较以上两式可得：

其中M₁₂＝M₂₁＝m_h(dsinθ+Xcosθ)，M₂₂＝J+J_h0+J_h+m_hX²+m_hd²。

步骤五中所述由横梁偏转引起的弹性势能为：

公式(10)中，k_b1和k_b2为偏转产生的刚度系数；

系统的刚度矩阵K为：

K＝diag[0 k_b1+k_b2 0] (12)。

步骤六中所述系统的瑞利耗散函数为：

公式(13)中，c_b1和c_b2为因横梁偏转产生的扭转粘性阻尼系数；c_g1,c_g2和c_x分别为各轴的粘滞摩擦系数；

公式(14)中，C为粘性阻尼矩阵可表示为：

C＝diag[(c_g1+c_g2) (c_b1+c_b2) c_x] (15)。

步骤七中所述由拉格朗日动力学方程，获得H型运动平台的耦合等效模型为：

公式(16)中，F为等效控制力向量

F＝[F_Y F_θ F_X]^T (17)

公式(17)中F_Y，F_θ和F_X为等效坐标轴(YθX)所对应的等效控制力；

等效控制力与三轴PMLSM产生的推力关系可表示为：

公式(18)中的Ω为控制力转换矩阵，F₁和F₂为y₁轴和y₂轴所对应的的实际控制力。

优点及效果：

本发明提出了一种基于拉格朗日动力学的H型运动平台建模方法，属于动力学建模技术领域。所述方法基于H型运动平台耦合等效模型，利用拉格朗日动力学和功能关系，建立出可以得到三自由度的耦合等效动力学方程，达到减少建模误差和方便设计控制器的目的。本方法充分考虑了因平行的双直线电机不同步造成的横梁偏转，并考虑横梁上负载运动的影响，提高了模型的精度，能有效解决传统的H型平台非耦合模型因建模误差无法提高控制精度的问题。

附图说明

图1 H型精密运动平台耦合等效模型；

图2基于耦合等效模型的控制系统基本结构。

具体实施方式

下面结合具体实施例对本发明做进一步说明，但本发明不受实施例的限制。

实施例1：

H型精密运动平台的结构如图1所示，其Y轴是由双直线电机共同驱动单轴的平行系统，而X轴则是由一台永磁直线电机通过横梁耦合于双直线电机上，因此H型运动平台可视为一具有结构耦合的三自由度的伺服系统。H型运动平台可由两组坐标表示，第一组由数据采集系统组成(y₁y₂x)，第二组为等效坐标(YθX)，其中y₁,y₂和x分别为Y1轴Y2轴和X轴的位置输出；Y和θ分别为横梁中心位置和偏转角度；X为X轴的位置输出，即X＝x；c_g1,c_g2和c_x分别为各轴的粘滞摩擦系数；c_b1和c_b2为因横梁偏转产生的扭转粘性阻尼系数；k_b1和k_b2为偏转产生的刚度系数；θ为横梁偏转角；O为横梁质心；d为X轴动子质心到横梁质心的距离；J_b和J_h为横梁和X轴动子相对于横梁质心O的转动惯量。

如图1和图2所示，一种基于拉格朗日动力学的H型运动平台建模方法，所述平台建模方法包括：

步骤一：确定H型运动平台坐标系；

步骤二：将所述H型运动平台因平行的双直线电机不同步对平台动力学的影响，等效为扭转弹簧和阻尼器对其的影响；

步骤三：根据步骤一确定各物理量，获取横梁和X轴动子相对于横梁质心的转动惯量及X轴动子相对于自身质心的转动惯量；

步骤四：通过求平移动能和旋转动能得到系统的全部动能，并将系统动能表示成矩阵形式，获得系统的惯性矩阵；

步骤五：根据由横梁偏转引起的弹性势能，获得系统的刚度矩阵；

步骤六：根据由沾滞摩擦力引起的瑞利耗散函数，获得系统的粘性阻尼矩阵；

步骤七：根据步骤四、步骤五和步骤六中得到的矩阵，由拉格朗日动力学方程，获得H型运动平台的耦合等效模型。

步骤一所述H型运动平台坐标系可由两组坐标表示：

(1)由数据采集系统组成(y₁ y₂ x)；

(2)等效坐标(Y θ X)；

两组坐标的关系可表示为：

其中，y₁,y₂和x分别为Y1轴Y2轴和X轴的位置输出，Y和θ分别为横梁中心位置和偏转角度；X为X轴的位置输出,即X＝x。

步骤二中所述将横梁偏转引起的影响等效为扭转弹簧和阻尼器的原因为：在当前追求系统动态性能不断提升的背景下，如果将平行的双直线电机不同步引起的影响当作外界干扰处理。即使各轴的跟踪误差减少，但因横梁偏转对系统控制性能的影响，可能导致控制输入饱和，进而造成系统的不稳定。

步骤三中所述的转动惯量为：

J_b＝m_bL_b ²/12 (2)

J_h＝m_h(d²+X²) (3)

J_h0＝m_hL_h ²/12 (4)

其中，J_b和J_h为横梁和X轴动子相对于横梁质心O的转动惯量；J_h0为X轴动子相对于自身质心的转动惯量；d为X轴动子质心到横梁质心的距离；m_b为横梁的质量；m_h为X轴动子质量；L_b为横梁长度；L_h为X轴动子长度。

步骤四中所述求系统动能的过程为：

第一步：根据几何关系求出横梁上X轴动子的坐标：

进而得到X轴动子速度：

H型运动平台的总动能为：

同时有

公式(8)中，q表示等效坐标的向量公式，q＝(YθX)，M为惯性矩阵，比较以上两式可得：

其中M₁₂＝M₂₁＝m_h(dsinθ+Xcosθ)，M₂₂＝J+J_h0+J_h+m_hX²+m_hd²。

步骤五中所述由横梁偏转引起的弹性势能为：

公式(10)中，k_b1和k_b2为偏转产生的刚度系数；

系统的刚度矩阵K为：

K＝diag[0 k_b1+k_b2 0] (12)。

步骤六中所述系统的瑞利耗散函数为：

公式(13)中，c_b1和c_b2为因横梁偏转产生的扭转粘性阻尼系数；c_g1,c_g2和c_x分别为各轴的粘滞摩擦系数；

式中，C为粘性阻尼矩阵可表示为：

C＝diag[(c_g1+c_g2) (c_b1+c_b2) c_x] (15)。

步骤七中所述由拉格朗日动力学方程，获得H型运动平台的耦合等效模型为：

式中，F为等效控制力向量

F＝[F_Y F_θ F_X]^T (17)

公式(17)中F_Y，F_θ和F_X为等效坐标轴(Y θ X)所对应的等效控制力；

等效控制力与三轴PMLSM产生的推力关系可表示为：

公式(18)中的Ω为控制力转换矩阵，F₁和F₂为y₁轴和y₂轴所对应的的实际控制力。

虽然本发明已以较佳的实施例公开如上，但其并非用以限定本发明，任何熟悉此技术的人，在不脱离本发明的精神和范围内，都可以做各种改动和修饰，因此本发明的保护范围应该以权利要求书所界定的为准。

Claims (7)

1.一种基于拉格朗日动力学的H型运动平台建模方法，其特征在于：所述平台建模方法包括：

步骤一：确定H型运动平台坐标系；

步骤二：将所述H型运动平台因平行的双直线电机不同步对平台动力学的影响，等效为扭转弹簧和阻尼器对其的影响；

步骤三：根据步骤一确定各物理量，获取横梁和X轴动子相对于横梁质心的转动惯量及X轴动子相对于自身质心的转动惯量；

步骤四：通过求平移动能和旋转动能得到系统的全部动能，并将系统动能表示成矩阵形式，获得系统的惯性矩阵；

步骤五：根据由横梁偏转引起的弹性势能，获得系统的刚度矩阵；

步骤六：根据由沾滞摩擦力引起的瑞利耗散函数，获得系统的粘性阻尼矩阵；

步骤七：根据步骤四、步骤五和步骤六中得到的矩阵，由拉格朗日动力学方程，获得H型运动平台的耦合等效模型。

2.根据权利要求1所述的基于拉格朗日动力学的H型运动平台建模方法，其特征在于：步骤一所述H型运动平台坐标系可由两组坐标表示：

(1)由数据采集系统组成(y₁ y₂ x)；

(2)等效坐标(Y θ X)；

两组坐标的关系可表示为：

其中，y₁,y₂和x分别为Y1轴Y2轴和X轴的位置输出，Y和θ分别为横梁中心位置和偏转角度；X为X轴的位置输出,即X＝x。

3.根据权利要求1所述的基于拉格朗日动力学的H型运动平台建模方法，其特征在于：步骤三中所述的转动惯量为：

J_b＝m_bL_b ²/12 (2)

J_h＝m_h(d²+X²) (3)

J_h0＝m_hL_h ²/12 (4)

其中，J_b和J_h为横梁和X轴动子相对于横梁质心O的转动惯量；J_h0为X轴动子相对于自身质心的转动惯量；d为X轴动子质心到横梁质心的距离；m_b为横梁的质量；m_h为X轴动子质量；L_b为横梁长度；L_h为X轴动子长度。

4.根据权利要求1所述的基于拉格朗日动力学的H型运动平台建模方法，其特征在于：步骤四中所述求系统动能的过程为：

第一步：根据几何关系求出横梁上X轴动子的坐标：

进而得到X轴动子速度：

H型运动平台的总动能为：

同时有

公式(8)中，q表示等效坐标的向量公式，q＝(YθX)，M为惯性矩阵，比较以上两式可得：

其中M₁₂＝M₂₁＝m_h(dsinθ+Xcosθ)，M₂₂＝J+J_h0+J_h+m_hX²+m_hd²。

5.根据权利要求1所述的基于拉格朗日动力学的H型运动平台建模方法，其特征在于：步骤五中所述由横梁偏转引起的弹性势能为：

公式(10)中，k_b1和k_b2为偏转产生的刚度系数；

系统的刚度矩阵K为：

K＝diag[0 k_b1+k_b2 0] (12)。

6.根据权利要求1所述的基于拉格朗日动力学的H型运动平台建模方法，其特征在于：步骤六中所述系统的瑞利耗散函数为：

公式(13)中，c_b1和c_b2为因横梁偏转产生的扭转粘性阻尼系数；c_g1,c_g2和c_x分别为各轴的粘滞摩擦系数；

公式(14)中，C为粘性阻尼矩阵可表示为：

C＝diag[(c_g1+c_g2) (c_b1+c_b2) c_x] (15)。

7.根据权利要求1所述的基于拉格朗日动力学的H型运动平台建模方法，其特征在于：步骤七中所述由拉格朗日动力学方程，获得H型运动平台的耦合等效模型为：

公式(16)中，F为等效控制力向量

F＝[F_Y F_θ F_X]^T (17)

公式(17)中F_Y，F_θ和F_X为等效坐标轴(Y θ X)所对应的等效控制力；

等效控制力与三轴PMLSM产生的推力关系可表示为：

公式(18)中的Ω为控制力转换矩阵，F₁和F₂为y₁轴和y₂轴所对应的的实际控制力。