CN112446105A - 一种柴油机拉格朗日方程的建立方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种柴油机拉格朗日方程的建立方法，属于动力设备稳定性分析和控制技术领域，柴油发电机组是一个强非线性系统，从系统动力学层面研究其建模和控制问题是一种有效的途径，本发明首先分析柴油机执行器和轴系动力学特性，分别构建两者的拉格朗日能量函数，进而合成并建立完整的柴油机拉格朗日框架下的微分动力系统，获得其拉格朗日方程，该建模方法从柴油机内部动力学机理出发，所获得的拉格朗日模型可应用于研究柴油机的动力特性、稳定机理、控制设计的相关理论问题及工程应用。

Description

一种柴油机拉格朗日方程的建立方法

技术领域

本发明属于柴油机技术领域，具体是一种柴油机拉格朗日方程的建立方法。

背景技术

随着大规模新能源的开发与利用，特别是微电网的快速发展，利用柴油发电机组作为调节电源平抑微电网功率波动已获得广泛应用。在此背景下，要求对柴油机运行控制的内部动力学机理进行更深入的探索。

柴油机是一个复杂的非线性系统，柴油机内部工作过程是一个热力做功的过程，其复杂的暂态描述极大地增加了模型的复杂程度。从控制角度来看，柴油机复杂的内部热力做功过程在时间尺度上远小于控制调节时间，因此，在柴油机控制研究中可忽略其内部热力学过程，集中研究执行器和轴系动力学特性。柴油机传统的数学建模采用牛顿力学方法，在分析元件运动特性的基础上建立数学模型，其中执行器有多种类型，抽象为数学模型后可采用经典的二阶振动模型来描述，在实际中也有采用将二阶振动模型简化为一阶传递函数模型而应用的。柴油机执行器非线性特性的研究方法主要有考虑元器件非线性特性的精细化建模、引入新算法的参数辨识以及各种优化建模。本发明从系统动力学层面研究柴油机建模方法，分析柴油机工作过程中内部能量和外力特性，建立格朗日框架下的微分动力系统，获得其拉格朗日方程，为柴油机的非线性建模和进一步的控制设计提供一种新模型的建立方法。

发明内容

本发明以柴油机动力学特性为研究对象，分别构建执行器和轴系两者的拉格朗日能量函数，进而合成并建立完整的柴油机拉格朗日框架下的微分动力系统，获得其拉格朗日方程模型，为柴油机的非线性建模和进一步更加精细和有效的控制提供新模型。

柴油机包含本体和执行器两个部分，本体部分只存在由于主轴旋转而产生的动能，这个旋转动能即是柴油机本体的拉格朗日函数，作用在轴上的非保守外力为力矩，包含三个部分，一是由于执行器轴位移产生的主动力矩；二是因为柴油机所带负荷产生的反作用力矩；三是与转速相关的阻尼力矩，分析建立拉格朗日函数和外力矩的数学描述，经过推导获得柴油机本体的拉格朗日方程。

本发明采用分析和推导的方法分别针对两个部分进行拉格朗日模型的建模，具体步骤如下：

步骤1：柴油机执行器拉格朗日模型的建立：

执行器是柴油机对输入信号的执行机构，它的输入信号是来自控制器的控制信号，通过执行器的输出改变柴油机轴转速，实现对柴油机的控制，柴油机执行器有各种类型，从动力来源分有电动、气动、液动型等，但是各种型号抽象为数学模型后都是相同的，在此以电磁执行器为对象进行分析和推导；

设柴油机电磁执行器的输入信号为u，输出轴位移为x，衔铁运动在轴上产生的电磁力F为二者的函数，可表示为F(x,u)，假设初始执行器工作在输入信号为u₀，位移为x₀的稳定状态，则电磁力可表示为F(x₀,u₀)，当输入信号变化Δu，相应轴位移变化Δx，电磁力变化为：

F(x₀,u₀)+ΔF＝F(x₀+Δx,u₀+Δu)

将上式右边采用泰勒级数展开得到：

令

则：F(x,u)＝F(x₀,u₀)+k_xΔx+k_uΔu；其中

表示电磁力F随输入u的变化梯度，

表示电磁力F随输出轴位移x的变化梯度；

执行器机械系统是典型的弹簧质量系统，则执行器的拉格朗日函数L₁为动能减去势能，即：

其中：v是轴运动速度(m/s)，m₁是质量，k₁是弹簧刚度(N/m)，x是执行器位移(mm)；

轴在运动过程中受到阻尼的作用，设阻尼系数为c₁(N.s/m)，阻尼与速度成正比，即大小为c₁v，所以轴上的外力Q为电磁力和阻尼力之差：

Q＝F(x,u)-c₁v

众所周知，拉格朗日方程一般形式为：

将L₁和Q代入其中可得到轴的运动方程：

在平衡状态下，输入控制信号和执行器轴位移恒定，即u＝u₀，x＝x₀，增量为零：Δu＝0，Δx＝0，代入上式方程有k₁x₀＝F(x₀，u₀)，即弹簧力与电磁力相等，方程可表示为：

其中，k_x1＝k_x－k₁，Δx＝x－x₀，Δu＝u－u₀；

在平衡点处上式仍然要满足，所以将平衡点坐标(u＝u₀，x＝x₀)代入上式得：k_x1x₀＝-k_uu₀，于是上式可以改写为如下形式：

(i)式即是执行器的拉格朗日方程；

步骤2：柴油机旋转部分拉格朗日模型的建立：

柴油机本体旋转部分主要是指轴系旋转部分，功率从轴上输出，表现为轴力矩，取轴旋转机械角位移θ_m(rad)为广义坐标，轴系统的拉格朗日函数L₂等于轴的旋转动能：

其中：J为转动部分的转动惯量(kg.m²)，ω_m为机械角速度为(rad/s)；

设柴油机轴力矩为M₁，若柴油机输出端连接发电机，发电机作为柴油机的负荷，若发电机电磁力矩为M₂，它代表的是在柴油机轴上产生的制动性力矩，再计及发电机阻尼绕组产生的阻尼力矩M_d，所以作用在柴油机轴上的非保守广义外力(力矩)为：

Q₂＝M₁-M₂-M_d

其中，柴油机轴上的力矩M₁与轴位移和角速度为线性关系，柴油机轴上输出的净力矩可表示为：

M₁＝k_ω(ω_m-ω_mB)-a₁(x-x_nl)

其中，k_ω、a₁为系数，a₁＝M_1r/(x_r-x_nl)，M_1r是柴油机额定转矩，x_r是柴油机额定扭矩对应的轴位移，x_nl是柴油机空载位移，即a₁是柴油机力矩随轴位移变化的增益系数或斜率；ω_mB是额定机械角速度；

阻尼转矩与角速度也成正比：

M_d＝Dp(ω_m-ω_mB)

其中，D为柴油机转动阻尼系数；p为发电机磁极对数；

所以Q₂＝k_ω(ω_m-ω_mB)-a₁(x-x_nl)-M₂-Dp(ω_m-ω_mB)；

将L₂、Q₂代入拉格朗日方程式

得到：

其中r₀＝k_ω-Dp；r₁＝-r₀ω_mB+a₁x_n1；ω_mB为柴油机额定机械角速度，M₂为发电机电磁力矩，等于负荷力矩；

步骤3：柴油机拉格朗日函数和拉格朗日方程的建立：

(1)柴油机拉格朗日函数：

柴油机拉格朗日函数由执行器和本体两部分能量函数构成，将步骤1和步骤2中所获得的执行器和本体的能量函数L₁和L₂相加，可得到柴油机的拉格朗日函数：

(2)柴油机拉格朗日方程：

根据上述推导，将柴油机拉格朗日方程整理为标准的形式如下，设x₁为执行器位移，x₂为执行器运动速度v，即x₂＝dx₁/dt，代入(i)式得：

其中：L为拉格朗日函数；m₁为执行器运动部分质量，kg；k₁是弹簧刚度，N/m；x₁为执行器位移，mm；x₂为执行器速度，m/s；J为转动部分的转动惯量，kg.m²；ω_m为机械角速度，rad/s；u为执行器的输入；c₁阻尼系数；k_x1、k_u、k_ω、a₁为系数；r₀＝k_ω-Dp；r₁＝-r₀ω_mB+a₁x_n1；D为柴油机转动阻尼系数；p为发电机磁极对数；ω_mB为额定机械角速度；x_nl是空载位移；M₂为负荷力矩；以上的各个参数可以通过设备额定参数、实验直接或经过计算获得；

式(iii)即为柴油机的拉格朗日方程；式(ⅱ)和(iii)就是柴油机的拉格朗日模型。

本发明的有益效果是：

1、本发明提供带电磁式执行器的柴油机拉格朗日建模方法和拉格朗日方程，所获得的拉格朗日方程不限于执行器为电磁型的柴油机，也适用于执行器采用其它形式的柴油机。

2、本发明提出的柴油机建模方法和所建立的柴油机拉格朗日方程从动力学层面反映柴油机内部关联特性，为柴油机的动力学建模方法和进一步的稳定控制提供了新方法。

附图说明

图1为柴油机电磁执行器的结构示意图；

图2为柴油机执行器采用实施例1的二阶模型和简化的一阶模型的位移对比图；

图3为柴油机执行器采用实施例1的二阶模型仿真运行条件下柴油机旋转轴的角速度变化；图中，1-输出轴，2-壳体，3-衔铁绕组，4-比例电磁铁，5-复位弹簧，6-位移传感器。

具体实施方式

下面结合具体实施例进一步说明本发明。

实施例1

柴油机系统包含执行器和本体两个部分，本实施例采用分析和推导的方法分别针对两个部分提出拉格朗日方程的建模方法，分别构建柴油机执行器和柴油机旋转部分的拉格朗日能量函数，合成建立完整的柴油机拉格朗日框架下的微分动力系统，获得其拉格朗日方程模型，其具体步骤如下：

步骤1：柴油机执行器拉格朗日模型的建立：

执行器是柴油机对输入信号的执行机构，它的输入信号是来自控制器的控制信号，通过执行器的输出改变柴油机轴转速，实现对柴油机的控制，柴油机执行器有各种类型，从动力来源分有电动、气动、液动型等，但是各种型号抽象为数学模型后都是相同的，在此以电磁执行器为对象进行分析和推导；图1为电磁型执行器的结构示意图，包括输出轴1、壳体2、衔铁绕组3、比例电磁铁4、复位弹簧5、位移传感器6；壳体2装有衔铁绕组3，输出轴1从衔铁绕组3中间穿过，比例电磁铁4的一端连接着复位弹簧5，位移传感器6安装在执行器的一端，其工作原理为：衔铁绕组3中线圈通电时，比例电磁铁4在电磁力的作用下克服复位弹簧力而产生位移，当电磁力矩与复位弹簧5产生的力矩平衡时，输出轴1停止移动，柴油机的油量控制保持在一定值；

设柴油机电磁执行器的输入信号为u，输出轴位移为x，衔铁运动在轴上产生的电磁力F为二者的函数，可表示为F(x,u)，假设初始执行器工作在输入信号为u₀，位移为x₀的稳定状态，则电磁力可表示为F(x₀,u₀)，当输入信号变化Δu，相应轴位移变化Δx，电磁力变化为：

F(x₀,u₀)+ΔF＝F(x₀+Δx,u₀+Δu)

将上式右边采用泰勒级数展开得到：

令

则：F(x,u)＝F(x₀,u₀)+k_xΔx+k_uΔu；其中

表示电磁力F随输入u的变化梯度，

表示电磁力F随输出轴位移x的变化梯度；

图1中的执行器机械系统是典型的弹簧质量系统，则执行器的拉格朗日函数L₁为动能减去势能，即：

其中：v是轴运动速度(m/s)，m₁是质量，k₁是弹簧刚度(N/m)，x是执行器位移(mm)；

轴在运动过程中受到阻尼的作用，设阻尼系数为c₁(N.s/m)，阻尼与速度成正比，即大小为c₁v，所以轴上的外力Q为电磁力和阻尼力之差：

Q＝F(x,u)-c₁v

众所周知，拉格朗日方程一般形式为：

将L₁和Q代入其中可得到轴的运动方程：

在平衡状态下，输入控制信号和执行器轴位移恒定，即u＝u₀，x＝x₀，增量为零：Δu＝0，Δx＝0，代入上式方程有k₁x₀＝F(x₀，u₀)，即弹簧力与电磁力相等，方程可表示为：

其中，k_x1＝k_x－k₁，Δx＝x－x₀，Δu＝u－u₀；

在平衡点处上式仍然要满足，所以将平衡点坐标(u＝u₀，x＝x₀)代入上式得：k_x1x₀＝-k_uu₀，于是上式可以改写为如下形式：

(i)式即是执行器的拉格朗日方程；

步骤2：柴油机旋转部分拉格朗日模型的建立：

柴油机本体旋转部分主要是指轴系旋转部分，功率从轴上输出，表现为轴力矩，取轴旋转机械角位移θ_m(rad)为广义坐标，系统的拉格朗日函数L₂等于轴的旋转动能：

其中：J为转动部分的转动惯量(kg.m²)，ω_m为机械角速度为(rad/s)；

设柴油机轴力矩为M₁，若柴油机输出端连接发电机，发电机作为柴油机的负荷，设发电机电磁力矩为M₂，它代表的是在柴油机轴上产生的制动性力矩，设发电机阻尼绕组产生的阻尼力矩M_d，则作用在柴油机轴上的非保守广义外力(力矩)为：

Q₂＝M₁-M₂-M_d

其中，柴油机轴上的力矩M₁与轴位移和角速度为线性关系，柴油机轴上输出的净力矩可表示为：

M₁＝k_ω(ω_m-ω_mB)-a₁(x-x_nl)

其中，k_ω、a₁为系数，a₁＝M_1r/(x_r-x_nl)，M_1r是柴油机额定转矩，x_r是柴油机额定扭矩对应的轴位移，x_nl是柴油机空载位移，即a₁是柴油机力矩随轴位移变化的增益系数或斜率；ω_mB是额定机械角速度；

阻尼转矩与角速度也成正比：

M_d＝Dp(ω_m-ω_mB)

其中，D为柴油机转动阻尼系数；p为发电机磁极对数；

所以Q₂＝k_ω(ω_m-ω_mB)-a₁(x-x_nl)-M₂-Dp(ω_m-ω_mB)；

将L₂、Q₂代入拉格朗日方程式

得到：

其中r₀＝k_ω-Dp；r₁＝-r₀ω_mB+a₁x_n1；ω_mB为柴油机额定机械角速度，M₂为发电机电磁力矩，等于负荷力矩；上式即为柴油机旋转部分拉格朗日模型；

步骤3：得出柴油机拉格朗日函数和拉格朗日方程：

(1)柴油机拉格朗日函数：

柴油机拉格朗日函数由执行器和本体两部分能量函数构成，将步骤1和步骤2中所获得的执行器和本体的能量函数L₁和L₂相加，可得到柴油机的拉格朗日函数：

(2)柴油机拉格朗日方程：

根据上述推导，将柴油机拉格朗日方程整理为标准的形式如下，设x₁为执行器位移，x₂为执行器运动速度v，即x₂＝dx₁/dt，代入(i)式得：

其中：L为拉格朗日函数；m₁为执行器运动部分质量，kg；k₁是弹簧刚度，N/m；x₁为执行器位移，mm；x₂为执行器速度，m/s；J为转动部分的转动惯量，kg.m²；ω_m为机械角速度，rad/s；u为执行器的输入；c₁阻尼系数；k_x1、k_u、k_ω、a₁为系数；r₀＝k_ω-Dp；r₁＝-r₀ω_mB+a₁x_n1；D为柴油机转动阻尼系数；p为发电机磁极对数；ω_mB为额定机械角速度；x_nl是空载位移；M₂为负荷力矩；以上的各个系数可以通过设备额定参数、实验直接或经过计算获得；

式(iii)即为柴油机的拉格朗日方程；式(ⅱ)和(iii)就是柴油机的拉格朗日模型。

实施例2

本实施例以某柴油机的数据对实施例1的结论进行模拟计算，具体过程如下：

某柴油机的执行器参数：m₁＝0.8kg，机械阻尼系数c₁＝10.0N.s/mm，弹簧刚度k₁＝3.61；系数k_ω＝-20.0073；a₁＝1245；k_x1＝-200；k_u＝40，额定转速下空载位移x_nl＝9.5578mm；执行器增益K₁＝0.2，时间常数T₁＝0.05，输出轴最大行程10mm；柴油机功率为1250kW，额定转速n＝1500r/min，转动惯量J＝71.822kg.m²，发电机磁极对数p＝2；柴油机转动阻尼系数D＝0.1753；r₀＝-20.357；r₁＝15095.51；

将上述参数代入上述所得到的执行器方程、角速度方程和拉格朗日函数得：

执行器方程：

角速度方程：

拉格朗日函数：

对上述柴油机拉格朗日方程进行仿真，具体过程如下：

仿真运行条件：以实施方案中所获得的拉格朗日方程为仿真对象，输入采用阶跃函数，位移和旋转轴角速度仿真结果如图2和图3所示。

图2中柴油机执行器为采用本发明获得的拉格朗日二阶模型，位移响应为虚线所示，实线为执行器采用一阶微分方程形式(执行器增益K₁＝0.2，时间常数T₁＝0.05)，用于和虚线结果进行对比；从图2可以看到当执行器采用本发明所获得的二阶模型时，在输入为阶跃函数时，执行器位移响应在1秒内出现振荡过程，然后进入稳定状态，如虚线所示；当执行器采用一阶方程，阶跃输入下位移没有出现震荡过程，这是实际情况的理想近似；所以本发明所获得的二阶模型能够更加细致地反映位移变化。

图3为在与上述相同的仿真运行条件下柴油机旋转轴的角速度变化，从图3中看到随着执行器位移的增加，柴油机角速度下降，并在6秒左右达到稳定，其趋于稳定的时间比位移滞后，稳定时间与柴油机的惯性有关，这一结果符合实际情况。

以上结合仿真图形分析说明了所建立的拉格朗日方程的合理性，实际应用中，在此模型的基础上可以进一步地进行控制设计，以获得更加精确的控制效果。

Claims (2)

1.一种柴油机拉格朗日方程的建立方法，其特征在于，分别构建柴油机执行器和柴油机旋转部分的拉格朗日能量函数，合成建立完整的柴油机拉格朗日框架下的微分动力系统，获得其拉格朗日方程模型。

2.根据权利要求1所述柴油机拉格朗日方程的建立方法，其特征在于，具体步骤如下：

步骤1：柴油机执行器拉格朗日方程的建立：

设柴油机电磁执行器的输入信号为u，输出轴位移为x，衔铁运动在轴上产生的电磁力F为二者的函数，表示为F(x,u)，假设初始执行器工作在输入信号为u₀，位移为x₀的稳定状态，则电磁力表示为F(x₀,u₀)，当输入信号变化Δu，相应轴位移变化Δx，电磁力变化为：

F(x₀,u₀)+ΔF＝F(x₀+Δx,u₀+Δu)

将上式右边采用泰勒级数展开得到：

令

则：F(x,u)＝F(x₀,u₀)+k_xΔx+k_uΔu；其中

表示电磁力F随输入u的变化梯度，

表示电磁力F随输出轴位移x的变化梯度；

执行器机械系统是典型的弹簧质量系统，则执行器的拉格朗日函数L₁为动能减去势能，即：

其中：v是轴运动速度，m/s；m₁是质量，kg；k₁是弹簧刚度，N/m；x是执行器位移，mm；

轴在运动过程中受到阻尼的作用，设阻尼系数为c₁(N.s/m)，阻尼与速度成正比，即大小为c₁v，所以轴上的外力Q为电磁力和阻尼力之差：

Q＝F(x,u)-c₁v

拉格朗日方程一般形式为：

将L₁和Q代入其中得到轴的运动方程：

在平衡状态下，输入控制信号和执行器轴位移恒定，即u＝u₀，x＝x₀，增量为零：Δu＝0，Δx＝0，代入上式方程有k₁x₀＝F(x₀，u₀)，即弹簧力与电磁力相等，方程可表示为：

其中，k_x1＝k_x－k₁，Δx＝x－x₀，Δu＝u－u₀；

在平衡点处上式仍然要满足，所以将平衡点坐标(u＝u₀，x＝x₀)代入上式得：k_x1x₀＝-k_uu₀，于是上式可以改写为如下形式：

式(1)即是执行器的拉格朗日方程；

步骤2：柴油机旋转部分拉格朗日模型的建立：

柴油机本体旋转部分主要是指轴系旋转部分，功率从轴上输出，表现为轴力矩，取轴旋转机械角位移θ_m(rad)为广义坐标，轴系统的拉格朗日函数L₂等于轴的旋转动能：

其中：J为转动部分的转动惯量，kg.m²；ω_m为机械角速度为，rad/s；

设柴油机轴力矩为M₁，若柴油机输出端连接发电机，发电机作为柴油机的负荷，若发电机电磁力矩为M₂，它代表的是在柴油机轴上产生的制动性力矩，发电机阻尼绕组产生的阻尼力矩M_d，所以作用在柴油机轴上的非保守广义外力力矩为：

Q₂＝M₁-M₂-M_d

其中，柴油机轴上的力矩M₁与轴位移和角速度为线性关系，柴油机轴上输出的净力矩表示为：

M₁＝k_ω(ω_m-ω_mB)-a₁(x-x_nl)

其中，k_ω、a₁为系数，a₁＝M_1r/(x_r-x_nl)，M_1r是柴油机额定转矩，x_r是柴油机额定扭矩对应的轴位移，x_nl是柴油机空载位移，即a₁是柴油机力矩随轴位移变化的增益系数或斜率；ω_mB是柴油机额定机械角速度；

阻尼转矩与角速度也成正比：

M_d＝Dp(ω_m-ω_mB)

其中，D为柴油机转动阻尼系数；p为发电机磁极对数；

所以Q₂＝k_ω(ω_m-ω_mB)-a₁(x-x_nl)-M₂-Dp(ω_m-ω_mB)；

将L₂、Q₂代入拉格朗日方程式

得到：

其中r₀＝k_ω-Dp；r₁＝-r₀ω_mB+a₁x_n1；ω_mB为柴油机额定机械角速度，M₂为发电机电磁力矩，等于负荷力矩；

步骤3：柴油机拉格朗日函数和拉格朗日方程的建立：

(1)柴油机拉格朗日函数：

柴油机拉格朗日函数由执行器和本体两部分能量函数构成，将步骤1和步骤2中所获得的执行器和本体的能量函数L₁和L₂相加，可得到柴油机的拉格朗日函数：

(2)柴油机拉格朗日方程：

根据上述推导，将柴油机拉格朗日方程整理为标准形式，设x₁为执行器位移，x₂为执行器运动速度v，即x₂＝dx₁/dt，代入(1)式得：

其中：L为拉格朗日函数；m₁为执行器运动部分质量，kg；k₁是执行器弹簧刚度，N/m；x₁为执行器位移，mm；x₂为执行器速度，m/s；J为转动部分的转动惯量，kg.m²；ω_m为转动部分的机械角速度，rad/s；u为执行器的输入信号；c₁为执行器的阻尼系数；k_x1、k_u、k_ω、a₁为系数；r₀＝k_ω-Dp；r₁＝-r₀ω_mB+a₁x_n1；D为柴油机转动阻尼系数；p为发电机磁极对数；ω_mB为柴油机额定机械角速度；x_nl为柴油机额定转速下空载位移；M₂为柴油机负荷力矩；以上的各个参数通过设备额定参数、实验直接获得或经过已知参数计算获得；

式(3)即为柴油机的拉格朗日方程；式(2)和(3)就是柴油机的拉格朗日模型。

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