CN111290419A - 具有时变时滞输入的二轮自平衡车自适应滑模控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种具有时变时滞输入的二轮自平衡车自适应滑模控制方法，其包括以下步骤：S1.采用拉格朗日方程建立具有时变时滞输入的二轮自平衡车系统的运动学模型；S2.采用分数阶自适应滑模控制对S1得到的二轮自平衡车系统的运动学模型进行求解，得到二轮自平衡车系统的控制律和自适应律；S3.采用S2得到的控制律和自适应律对二轮自平衡车进行平衡控制。通过本发明方法，能使二轮自平衡车在无人干预条件下快速实现自主平衡，克服了时滞对反馈系统的动态行为产生复杂的影响，在时延的不确定性和随机性下能够保证系统控制达到理想的控制效果。

Description

具有时变时滞输入的二轮自平衡车自适应滑模控制方法

技术领域

本发明涉及二轮自平衡车平衡控制技术，具体地涉及一种具有时变时滞输入的二轮自平衡车自适应滑模控制方法。

背景技术

作为新型代步工具，二轮自平衡车已经广泛应用于交通、勘探、救援等多个领域，为环境污染，能源危机问题提供了一种有效的解决方案。二轮自平衡车运作原理主要是建立在动态稳定(Dynamic Stabilization)的基本原理上，利用车体内部的陀螺仪和加速度传感器，来检测车体姿态的变化，并利用伺服控制系统，精确地驱动电机进行相应的调整，以保持系统的平衡。二轮自平衡车具有高阶、非线性、强耦合、不稳定和欠驱动特性等特点，需要考虑包括诸如机构摩擦、地面摩擦、有效载荷变化或道路坡度等不确定性。目前采用的控制算法有PID控制、神经网络控制、预测控制、H_∞控制等。但这些算法对于具有时变时滞输入的二轮自平衡车系统的控制效果并不好，存在以下问题：时滞对反馈系统的动态行为产生复杂的影响，时延的不确定性和随机性导致系统控制不能达到理想的控制效果。

发明内容

本发明旨在提供一种具有时变时滞输入的二轮自平衡车自适应滑模控制方法，以解决上述技术问题。为此，本发明采用的具体技术方案如下：

一种具有时变时滞输入的二轮自平衡车自适应滑模控制方法，其可包括以下步骤：

S1.采用拉格朗日方程建立具有时变时滞输入的二轮自平衡车系统的运动学模型；

S2.采用自适应滑模控制对S1得到的二轮自平衡车系统的运动学模型进行求解，得到二轮自平衡车系统的控制律和自适应律；

S3.采用S2得到的控制律和自适应律对二轮自平衡车进行平衡控制。

本发明采用上述技术方案，具有的有益效果是：通过本发明方法，采用分数阶自适应滑模控制，能使二轮自平衡车在无人干预条件下快速实现自主平衡。切换函数的设计使系统在面对不确定性和外部干扰时具有鲁棒性。控制器的设计避免了增益单调增加，并且可以在没有先验界的情况下处理与系统状态相关的不确定性。

附图说明

为进一步说明各实施例，本发明提供有附图。这些附图为本发明揭露内容的一部分，其主要用以说明实施例，并可配合说明书的相关描述来解释实施例的运作原理。配合参考这些内容，本领域普通技术人员应能理解其他可能的实施方式以及本发明的优点。图中的组件并未按比例绘制，而类似的组件符号通常用来表示类似的组件。

图1是本发明方法的流程图；

图2是二轮自平衡车模型的示意图；

图3是二轮自平衡车的倾角和车辆位置的响应曲线；

图4是二轮自平衡车的倾角速度和车辆位移速度的响应曲线；

图5是二轮自平衡车的控制输入曲线；

图6是大延时下倾角和车辆位置的响应曲线；

图7是大延时下倾角速度和车辆位移速度的响应曲线；

图8是大延时下控制输入曲线；

图9是不同算法的倾角和车辆位置的响应曲线；

图10是不同算法的倾角速度和车辆位移速度的响应曲线；

图11是不同算法的控制输入曲线；

图12是二轮自平衡车系统的实物图；

图13是平衡控制响应曲线；

图14的(a)和(b)分别为施加不同扰动下的运动曲线图；

图15的(a)和(b)分别为不同初始倾角的车体运动曲线图。

具体实施方式

现结合附图和具体实施方式对本发明进一步说明。

如图1所示，一种具有时变时滞输入的二轮自平衡车自适应滑模控制方法可包括以下方法：

S1.采用拉格朗日方程建立具有时变时滞输入的二轮自平衡车系统的运动学模型。具体过程如下：

以两车轮质心连线的中点为原点O，以车前进方向为X轴，以两车轮质心连线方向方向为Y轴，以过原点垂直向上方向为Z轴，建立坐标系。二轮自平衡车的运动模型如图2所示。

设M为车体质量，m为轮子质量，R为车轮半径，l为车体质心到原点的距离，J为车体的转动惯量，J_w为轮子的转动惯量，θ为车体的倾斜角，x_m为小车的位移。车体的动能K为：

轮子的动能K_w为：

系统势能P为：

P＝Mglcosθ (3)

拉格朗日方程法运用哈密顿原理，求解出系统的能量函数，其推导过程依据系统之间的能量关系，能量运算是相互独立的，推导过程相对于牛顿-欧拉方程较简单。拉格朗日方法使用广义坐标去描述系统的自由度，较为简单，可以忽略组成机构之间的约束力去建立系统的动态方程。由于两轮自平衡车是复杂的非线性系统，所以本文采用拉格朗日方程建立系统的动力学数学模型。设拉格朗日函数L为：

设系统的控制输入为u。根据欧拉-拉格朗日公式，可得：

将(4)式代入(5)式可得：

将(4)式代入(6)式可得：

对(7)式和(8)式移项化简并线性化，可得：

选取状态变量为：

令系统矩阵为，

令输入矩阵为：

则状态空间表达式如下：

考虑到实际中存在输入时延τ₁和执行器误差扰动d等，则(14)式可表示为：

式中B₁∈R^4×1为带有延时的输入矩阵。

S2.采用自适应滑模控制对S1得到的二轮自平衡车系统的运动学模型进行求解，得到二轮自平衡车系统的控制律和自适应律。具体过程如下：

设函数f定义在[a,t]上，Caputo形式的分数阶微积分的定义如下式：

式中α为分数阶，当分数阶α＞0时为分数阶微分，当α＜0时为分数阶积分，n为α附近的整数，τ为积分变量。Γ(x)为伽马函数，定义为：

设期望状态值为x_d，状态误差为

有：

取滑模函数s为：

式中系数Λ∈R^1×4，且满足ΛB＞0，T为系数矩阵。

对(19)式求导，可得：

将(18)式代入(20)式，可得：

将(15)式代入(21)式，可得：

令

为对d的估计，

为估计误差，有：

取控制律如下

式中系数γ＞0。

取自适应律为：

式中η为系数，η＞0。

S3.采用S2得到的控制律和自适应律对二轮自平衡车进行平衡控制。

稳定性分析

定理：基于Lyapunov稳定性理论，考虑含输入时延二轮自平衡车系统运动学方程式(14)，基于分数阶自适应滑模控制器(23)和(24)，则系统的跟踪误差将在有限时间内渐进稳定。

证明：取Lyapunov函数V为：

对(26)式求导得：

将(22)式代入(27)式，可得：

将(24)式代入(28)式，可得：

将(23)式代入(29)式，可得：

将(25)式代入(30)式，可得：

即

为负定的。根据Lyapunov稳定性理论，系统渐进稳定。定理得证。

为了防止造成抖振，采用如下饱和函数代替符号函数：

式中：△为边界层参数；sat(k)为k的饱和函数，k为任意实数。

实例

为了验证基于分数阶自适应滑模控制方法在具有输入时延的二轮自平衡车运动中的控制效果，采用二轮自平衡车的主要参数见表1。

表1二轮自平衡车参数

参数	数值	单位
			M	9	Kg
m	5	Kg
			l	0.95	m
R	0.2	m
			J	12	Kg.m<sup>2</sup>
J<sub>w</sub>	0.13	Kg.m<sup>2</sup>
			τ<sub>1</sub>	0.1	s

实验测试于Intel(R)Core(TM)i3-4150T CPU@3.00GHz 3.00GHz，内存4.00GB的64位操作系统、基于x64的处理器上。系统的初始倾斜角为1度，初始角速度为1度/s，初始位移为-0.5m，初始速度为0m/s。期望的倾斜角设为0度，期望的角速度为0度/s，期望的位移为0m，期望的速度为0m/s，延时为0.1s。参数设置如下：(ΛB)^-1＝10，α＝0.9。图3为二轮自平衡车的倾斜角和车体位移响应曲线。图3中的横轴代表时间，单位为s。上半图纵轴代表车倾斜角，单位为度；下半图纵轴代表车体位移，单位为m。图4为二轮自平衡车的倾斜角角速度和车体位移速度响应曲线。图4中的横轴代表时间，单位为s。上半图纵轴代表车倾斜角角速度，单位为度/s；下半图纵轴代表车体位移速度，单位为m/s。图5为二轮自平衡车的输入控制曲线。上半图纵轴代表控制输入1，单位为N.m；下半图纵轴代表控制输入2，单位为N.m。

取延时为0.2s。其他参数设置不变。图6为二轮自平衡车的倾斜角和车体位移响应曲线。图6中的横轴代表时间，单位为s。上半图纵轴代表车倾斜角，单位为度；下半图纵轴代表车体位移，单位为m。图7为二轮自平衡车的倾斜角角速度和车体位移速度响应曲线。图7中的横轴代表时间，单位为s。上半图纵轴代表车倾斜角角速度，单位为度/s；下半图纵轴代表车体位移速度，单位为m/s。图8为二轮自平衡车的输入控制曲线。上半图纵轴代表控制输入1，单位为N.m；下半图纵轴代表控制输入2，单位为N.m。

由图3～8看出：无论对于小延时，还是大延时，分数阶自适应滑模控制都能够使得小车在无人干预条件下实现快速自主平衡。

为了验证本发明方法的有效性，将本发明方法在不同控制参数情况下的控制效果进行比较，分别取(ΛB)^-1＝1，(ΛB)^-1＝100，其余参数不变。

为了了解分数阶对本发明方法计算性能的影响，对分数阶参数取不同的数值，其余参数不变，分别比较其对控制效果的影响。不同分数阶微积分阶数计算的系统倾斜角、角速度、位移、速度的均方误差见表2。

表2不同分数阶阶数的均方误差计算结果比较

不同分数阶微积分阶数计算的系统倾斜角θ、角速度

位移x、速度

的平均绝对误差见表3。

表3不同分数阶阶数的平均绝对误差计算结果比较

由表2和表3可见：当分数阶微积分的阶数较大时，系统倾斜角和位移的均方误差和平均绝对误差较大，角速度和速度的均方误差和平均绝对误差较小。当分数阶微积分的阶数较小时，系统倾斜角和位移的均方误差和平均绝对误差较小，角速度和速度的均方误差和平均绝对误差较大。当分数阶阶数较大，微分的作用更显著，对角速度和速度的控制效果更好，因此角速度和速度的均方误差和平均绝对误差较小。当分数阶阶数较小，积分的作用更显著，对倾斜角和位移的控制效果更好，因此倾斜角和位移的均方误差和平均绝对误差较小。

采用基于分数阶滑模控制，能使系统收敛。不同的分数阶情况下的调节过程的性能有所不同。因此可以根据实际情况，选取不同的分数阶微积分算子，使系统满足不同的动态和静态，有更好的控制效果。整数阶微积分是分数阶微积分的特例，分数阶微积分具有参数选择范围更大、更灵活的优点。

为了验证该算法的有效性，将该算法的控制效果与其他算法进行了比较。其余参数保持不变。

图9显示了不同算法的倾角和车辆位置的响应曲线。水平轴以秒为单位表示时间。图中上半部分的纵轴以度表示车辆的倾角。图中下半部分的纵轴表示车辆位置，单位为m。图10显示了不同算法的倾角速度和车身速度。图3中的水平轴表示时间，单位为s。图中上半部分的纵轴表示倾斜角速度，单位为s。图中下半部分的纵轴表示车体速度，单位为m/s。图11显示了不同算法控制输入曲线。横轴以s为单位表示时间，纵轴以N.m为单位表示控制输入。

图9-11显示，与其他算法相比，该算法可以实现更少的调整时间和更少的控制输入。

实例验证

本实验所用二轮自平衡车采用陀螺仪MPU6050以及加速度传感器构成小车姿态检测装置。小车长度219mm，宽度为79mm，高度137mm，车轮外径65mm，车重860克，电机型号GM37。小车可以实现前进、后退等基本动作。图12为二轮自平衡车系统的实物图。控制电路包括：ARM，三个姿态传感器信号放大滤波电路，检测电机霍尔测速输出脉冲频率，驱动两个电极运行功率电路，电源电压转换、稳压、滤波电路等。

平衡控制响应曲线如图13所示。图中曲线1为用加速度传感器测量的车体加速度曲线，红色曲线2为用陀螺仪测量的车体倾角角速度曲线。由图13可以看出，车体在短时间里倾角恢复到竖直状态，之后保持在平衡点附近小于0.005m/s的车体加速度和0.007rad/s的车体倾角角速度的范围内变化。小车可以在无人干预条件下实现自主平衡，调整速度较快。系统对自平衡车具有很好的控制，同时还能保持良好的稳定性。

对系统的抗干扰能力进行测试，在小车运行稳定时，外界给小车一个力的作用。抗干扰响应曲线如图14所示。图中曲线1为用加速度传感器测量的车体加速度曲线，红色曲线2为用陀螺仪测量的车体倾角角速度曲线。由图14的(a)和(b)中可以看出，在人为引入适量干扰情况下，小车能够自主调整并迅速恢复稳定状态。图14的(a)中，车体在短时间里恢复到平衡状态，车体加速度变化范围小于0.08m/s，车体倾角角速度变化范围小于0.6rad/s。图14的(b)中，车体在短时间里恢复到平衡状态，车体加速度变化范围小于0.1m/s，车体倾角角速度变化范围小于0.8rad/s。小车在外力作用下，小车的车速正负变化，小车倾角也发生正负变化。

图15为不同初始倾角的车体运动曲线。图中曲线1为用加速度传感器测量的车体加速度曲线，曲线2为用陀螺仪测量的车体倾角角速度曲线。由图15可以看出，小车前后摇摆，速度和倾角都能收敛于零附近微小变化，即小车能够回到平衡位置。在图15的(a)中，车体在短时间里从5°的初始倾角恢复到竖直状态，之后保持在平衡点附近小于0.005m/s的车体加速度和0.022rad/s的车体倾角角速度的范围内变化。在图15的(b)中，车体在短时间里从10°的初始倾角恢复到竖直状态，之后保持在平衡点附近小于0.007m/s的车体加速度和0.031rad/s的车体倾角角速度的范围内变化。

实验结果表明了本文提出的平衡控制方法能够有效的实现两轮自平衡车的平衡控制，并保持良好的控制性能。

尽管结合优选实施方案具体展示和介绍了本发明，但所属领域的技术人员应该明白，在不脱离所附权利要求书所限定的本发明的精神和范围内，在形式上和细节上可以对本发明做出各种变化，均为本发明的保护范围。

Claims (3)

1.具有时变时滞输入的二轮自平衡车自适应滑模控制方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：

S1.采用拉格朗日方程建立具有时变时滞输入的二轮自平衡车系统的运动学模型；

S2.采用自适应滑模控制对S1得到的二轮自平衡车系统的运动学模型进行求解，得到二轮自平衡车系统的控制律和自适应律；

S3.采用S2得到的控制律和自适应律对二轮自平衡车进行平衡控制。

2.如权利要求1所述的方法，其特征在于，S1的具体过程为：

S11.设拉格朗日函数L为：

其中，车体的动能K为

轮子的动能K_w为

系统势能P为P＝Mglcosθ，M为车体质量，m为轮子质量，R为车轮半径，l为车体质心到原点的距离，J为车体的转动惯量，J_w为轮子的转动惯量，θ为车体的倾斜角，x_m为小车的位移；

S12.设系统的控制输入为u，根据欧拉-拉格朗日公式，可得：

S13.将S11的L代入S12的公式，并进行化简和线性化，可得：

S14.选取状态变量为：

令系统矩阵为，

令输入矩阵为：

则系统的状态空间表达式如下：

S15.考虑到实际中存在输入时延τ₁和执行器误差扰动d，则有：

式中B₁∈R^4×1为带有延时的输入矩阵。

3.如权利要求2所述的方法，其特征在于，S2的具体过程为：

S21.设函数f定义在[a,t]上，Caputo形式的分数阶微积分的定义如下：

式中α为分数阶，当分数阶α＞0时为分数阶微分，当α＜0时为分数阶积分，n为α附近的整数，τ为积分变量，Γ(x)为伽马函数，定义为：

S22.设期望状态值为x_d，状态误差为

有：

取滑模函数s为：

式中系数Λ∈R^1×4，且满足ΛB＞0；

对s求导，可得：

将

和

代入，可得：

S23.令

为对d的估计，

为估计误差，有：

取控制律如下：

式中系数γ＞0；

取自适应律为：

式中η为系数，η＞0。

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