CN109940613A - 一种计算含压电材料机械臂动力学响应及控制的仿真方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种计算含压电材料机械臂动力学响应及控制的仿真方法，利用绝对节点坐标法离散柔性机械臂的惯性场和位移场，利用假设模态法结合坐标系的建立及胡克定律描述柔性悬臂梁的变形位移；运用虚功原理和第二类Lagrange方程推导出最终的动力学方程。建模方式考虑因柔性悬臂梁的径向变形引起的轴向缩短量，即所谓的二次耦合项，比以往的零次近似中心刚体‑柔性悬臂梁建模有了进一步的优化，使其更加精确，更加完善，适用于高速旋转的大范围运动的柔性悬臂梁结构。该方法可用于分析在压电材料主被动控制下柔性机械臂的旋转角速度、横向纵向位移、振动模态；为解决大范围运动的柔性结构的振动控制和动力学响应计算提供理论基础和数值分析。

Description

一种计算含压电材料机械臂动力学响应及控制的仿真方法

技术领域

本发明属于多体系统动力学建模领域，具体涉及一种计算含压电材料机械臂动力学响应及控制的仿真方法。

背景技术

在现代工程中，以柔性机械臂为典型的机械构件应用已经很普遍，在高新技术领域尤其是机器人技术和航空航天技术中，高速、轻质、高精准度和智能化已成为未来发展趋势，因此以柔性机械臂及其相关的机械结构为核心的动力学与控制问题受到动力学领域越来越多的关注。许多航天航空领域中的机械结构及其他领域的机械构件都属于柔性悬臂梁、杆或板搭载于刚性体的刚-柔耦合结构，此种结构都可以简化为中心圆柱体刚体外接柔性悬臂梁的基础模型即hub-beam模型进行动力学研究。此模型的动力学分析和控制问题的研究，是柔性多体系统动力学研究的范畴，相较于多刚体动力学已经比较成熟的研究层次，柔性多体动力学仍需更长久的探索。与此同时，刚柔耦合问题也是柔性多体动力学领域中亟待解决的核心问题之一。针对这一问题，本发明以较为先进的高次近似刚柔耦合建模方法进行分析。

在此基础上，本发明从实际工程角度出发，对柔性机械臂在恶劣极端环境下作业面临的问题进行进一步的控制及优化。在主动控制方面，智能材料结构是最活跃的研究课题之一，其中压电材料由于其特有的压电效应及逆压电效应，在制作为压电传感器和驱动器时可以对结构的振动进行有效的控制，本发明也将以压电材料为核心的复合智能材料结构进行计算。

发明内容

本发明以多体系统动力学与材料学为理论基础，提供了一种计算含压电材料机械臂动力学响应及控制的仿真方法，目的在于分析作大范围转动的含压电材料复合梁的刚柔耦合动力学响应。

实现本发明目的的技术解决方案为：一种计算含压电材料机械臂动力学响应及控制的仿真方法，包括以下步骤：

步骤1、设定中心刚体、基梁和压电材料的几何参数和材料参数，建立含压电材料的中心刚体-柔性悬臂梁系统，转入步骤2；

步骤2、用混合坐标法在浮动坐标系中描述含压电材料中心刚体-柔性悬臂梁系统的大范围旋转运动的变形场，转入步骤3；

步骤3、基于假设模态法，对柔性悬臂梁在大范围运动下产生的变形进行离散，转入步骤4；

步骤4、运用虚功原理和第二类Lagrange方程推导出刚-柔耦合动力学方程，转入步骤5；

步骤5、输出柔性悬臂梁端点变形随时间变化的示意图。

本发明与现有技术相比，其显著优点在于：

(1)在刚-柔耦合动力学理论的基础上建立了考虑压电复合材料的刚柔耦合动力学模型，在此模型下进行动力学响应的仿真，此建模理论考虑了横向变形引起的轴向缩短量即二次非线性耦合变形量，比以往的建模更精准。

(2)本发明对含压电材料主被动控制的柔性梁的动力学响应进行详尽的数值模拟计算，为工程应用提供了一定的指导作用。

附图说明

图1为本发明计算含压电材料机械臂动力学响应及控制的仿真方法的流程图。

图2为本发明含压电材料中心刚体-柔性悬臂梁系统模型图。

图3为本发明模型变形场描述图。

图4为本发明实施例中被动控制下含压电材料中心刚体-柔性悬臂梁末端横向变形曲线图。

图5为本发明实施例中主动控制下含压电材料中心刚体-柔性悬臂梁末端横向变形曲线图。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施案例对本发明进行进一步的介绍，显然所描述的实施案例仅仅是本发明的某一具体实施案例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施案例，都属于本发明保护的范围。

结合图1、图2、图3，一种计算含压电材料机械臂动力学响应及控制的仿真方法，包括以下步骤：

步骤1、设定中心刚体、基梁和压电材料的几何参数和材料参数，建立含压电材料的中心刚体-柔性悬臂梁系统，转入步骤2；

含压电材料中心刚体-柔性悬臂梁系统中，中心刚体为圆盘，半径为R；柔性悬臂梁长l、宽b、厚度h、密度ρ₀、弹性模型E₀；压电材料的长L、宽b、密度ρ₁、弹性模型E₁，压电材料包含两个压电层，在柔性悬臂梁旋转方向两面各复合一层压电层，压电层厚度均为h_p，两个压电层的横截面与柔性悬臂梁的中轴线垂直，不计横截面转动惯量与剪切效应；作用在中心刚体上的力矩为τ使含压电材料中心刚体-柔性悬臂梁系统绕着OZ轴做转动，惯性坐标系为OXY，浮动坐标系为oxy。

步骤2、用混合坐标法在浮动坐标系中描述含压电材料中心刚体-柔性悬臂梁系统的大范围旋转运动的变形场，转入步骤3。

首先进行基础的柔性悬臂梁建模，半径为R、转动惯量为J_h的中心刚体绕Z₀轴旋转，在其侧边固定一根柔性悬臂梁，O₀X₀Y₀Z₀为惯性坐标，输入力矩τ，柔性悬臂梁的长度l、宽度b、厚度h；在中心刚体与柔性悬臂梁连接处建立浮动坐标系O₁X₁Y₁，并以柔性悬臂梁的中轴线为O₀X₀轴；O₁X₁轴与O₀X₀轴夹角为θ，点P及点C是柔性悬臂梁上任意一点P₀及其对应中轴线的点C₀变形移动后的位置。

柔性悬臂梁上点P变形后的矢径r在惯性坐标系O₀X₀Y₀中表示为

r＝Θ(r_R+r₀+u) (1)

这里，浮动坐标系O₁X₁Y₁与惯性坐标系O₀X₀Y₀的联系的建立采用方向余弦矩阵，即式中的Θ，表示为

其中，r_R是中心刚体质心O₀到参考基原点O₁的矢径，它在惯性坐标系内表示为[R0]^T；P₀在惯性坐标系中的矢径是r₀，其坐标表示为[x y]^T；点P₀在惯性坐标系中的变形矢量是u，其坐标分量表示为[u v]^T，即

式中，u₁是柔性悬臂梁中轴线上点C₀的轴向变形位移，u₂是径向变形位移；其中有一项特殊变形量，即二次非线性耦合变形量，其指的是柔性梁在形变过程中径向变形引起梁的轴向缩短。以往的模型在建模过程中没有考虑此项，即零次近似耦合模型，零次近似耦合模型仅仅适用于低速或静止的结构力学研究。由于本文研究的是高速旋转并做大范围运动的柔性机械臂，因此二次耦合项很必要。二次耦合项的推导过程如下：

在梁中轴线上选取一段微元M₀N₀，微元的两个端点在浮动坐标系O₁X₁Y₁中的坐标为M₀(ξ，0)和N₀(ξ+dξ，0)。微元变形后写成MN，其长度为

式中，

微元长度

不考虑δ三次以上的项对上式二项式展开得到

积分得

微元构成的弧长

梁的轴向形变量w₁为实际变形量，于是得

令于是得到最终变形场表达式

其中w_c即为二次耦合项。

两个压电层的物理模型与变形场的建立由柔性悬臂梁推得：

式中，u_p1为一个压电层中轴线上任一点p₁在惯性坐标系中的变形矢量，u_p2为下另一个压电层中轴线上任意一点p₂在惯性坐标系中的变形量，h_p为压电层的厚度。

步骤3、基于假设模态法，对柔性悬臂梁在大范围运动下产生的变形进行离散，转入步骤4。

采用假设模态法对变形场进行离散，对于柔性悬臂梁的轴向变形w₁(x，t)和径向变形u₂(x,t)采用假设模态法描述为

式中，Ф_x(x)为梁的轴向振动的模态函数行向量，Φ_y(x)为梁的横向振动的模态函数行向量，A(t)为梁轴向振动的模态坐标列向量，B(t)为梁横向振动的模态坐标列向量，各变量表示为：

其中，φ_xi(x)取轴向振动模态函数取为一端固支一端自由的杆：

φ_yi(x)取为悬臂梁的横向振动模态函数：

φ_yi(x)＝(cosβ_ix-chβ_ix)+γ_i(sinβ_ix-shβ_ix)，i＝1，2，…，K (16)

其中

有

上式中H(x)∈R^K×K为耦合形函数，表示为

式中Φ′_y表示Φ_y(ξ)对ξ求一阶导数。

步骤4、运用虚功原理和第二类Lagrange方程推导出刚-柔耦合动力学方程，转入步骤5。

取含压电材料中心刚体-柔性悬臂梁系统的广义坐标列向量q＝[θ₀，A^T，B^T]^T，外驱动力矩所做虚功δW_τ表示为

取广义坐标q＝(θ，A^T，B^T，φ)^T，代入含压电材料中心刚体-柔性悬臂梁系统动能势能表达式，并利用第二类Lagrange方程，得到离散后的含压电材料中心刚体-柔性悬臂梁系统刚-柔耦合动力学方程

式中，Q为广义外力，T为系统总动能，V为系统总势能；

T的由动能定理计算得到，V由弹性势能和压电势能构成，其中压电势能与电势能算法一样。

经推导整理，得到最终离散动力学方程式

其中，

M₂₂＝M_x (25)

M₃₃＝M_y (26)

相关常数矩阵表示如下

其中ρ₁，ρ₂，J_ob，Y，S_x，S_y，M_x，M_y，M_xy，C，K₁，K₂，K₃，E₁₀，E₁₁，E₁₂，E₂₀，E₂₁，E₂₂为相关常系数矩阵，上标“’”表示对某个变量求偏导数，式中，t为时间，τ₀为大范围旋转运动外力矩，T＝6s。

实施例

结合图1，本发明实施案例公开了一种计算含压电材料机械臂动力学响应及控制的仿真方法，具体如下：

步骤1、设定中心刚体、基梁、压电材料的几何参数和材料参数如表1所示。转入步骤2。

表1智能梁结构几何参数和材料参数

步骤2、用混合坐标法在浮动坐标系中描述含压电材料中心刚体-柔性悬臂梁系统的大范围旋转运动的变形场，转入步骤3。

步骤3、基于假设模态法，对柔性悬臂梁在大范围运动下产生的变形进行离散，转入步骤4。

步骤4、运用虚功原理和第二类Lagrange方程推导出刚-柔耦合动力学方程，转入步骤5。

步骤5、并输出柔性悬臂梁端点变形随时间变化的示意图，如图4、图5所示。

Claims (5)

1.一种计算含压电材料机械臂动力学响应及控制的仿真方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1、设定中心刚体、基梁和压电材料的几何参数和材料参数，建立含压电材料的中心刚体-柔性悬臂梁系统，转入步骤2；

步骤2、用混合坐标法在浮动坐标系中描述含压电材料中心刚体-柔性悬臂梁系统的大范围旋转运动的变形场，转入步骤3；

步骤3、基于假设模态法，对柔性悬臂梁在大范围运动下产生的变形进行离散，转入步骤4；

步骤4、运用虚功原理和第二类Lagrange方程推导出刚-柔耦合动力学方程，转入步骤5；

步骤5、输出柔性悬臂梁端点变形随时间变化的示意图。

2.根据权利要求1所述的计算含压电材料机械臂动力学响应及控制的仿真方法，其特征在于：所述步骤1中，含压电材料中心刚体-柔性悬臂梁系统中，中心刚体为圆盘，半径为R；柔性悬臂梁长l、宽b、厚度h、密度ρ₀、弹性模型E₀；压电材料的长l、宽b、密度ρ₁、弹性模型E₁，压电材料包含两个压电层，在柔性悬臂梁旋转方向两面各复合一层压电层，压电层厚度均为h_p，两个压电层的横截面与柔性悬臂梁的中轴线垂直，不计横截面转动惯量与剪切效应；作用在中心刚体上的力矩为τ使含压电材料中心刚体-柔性悬臂梁系统绕着OZ轴做转动，惯性坐标系为OXY，浮动坐标系为oxy。

3.根据权利要求1所述的计算含压电材料机械臂动力学响应及控制的仿真方法，其特征在于：步骤2中，首先进行基础的柔性悬臂梁建模，半径为R、转动惯量为J_h的中心刚体绕Z₀轴旋转，在其侧边固定一根柔性悬臂梁，O₀X₀Y₀Z₀为惯性坐标，输入力矩τ，柔性悬臂梁的长度l、宽度b、厚度h；在中心刚体与柔性悬臂梁连接处建立浮动坐标系O₁X₁Y₁，并以柔性悬臂梁的中轴线为O₀X₀轴；O₁X₁轴与O₀X₀轴夹角为θ，点P及点C是柔性悬臂梁上任意一点P₀及其对应中轴线的点C₀变形移动后的位置；

柔性悬臂梁上点P变形后的矢径r在惯性坐标系O₀X₀Y₀中表示为

r＝Θ(r_R+r₀+u) (1)

这里，浮动坐标系O₁X₁Y₁与惯性坐标系O₀X₀Y₀的联系的建立采用方向余弦矩阵，即式中的Θ，表示为

其中，r_R是中心刚体质心O₀到参考基原点O₁的矢径，它在惯性坐标系内表示为[R 0]^T；P₀在惯性坐标系中的矢径是r₀，其坐标表示为[x y]^T；点P₀在惯性坐标系中的变形矢量是u，其坐标分量表示为[u v]^T，即

式中，u₁是柔性悬臂梁中轴线上点C₀的轴向变形位移，u₂是径向变形位移；其中有一项特殊变形量，即二次非线性耦合变形量，其指的是柔性梁在形变过程中径向变形引起梁的轴向缩短；以往的模型在建模过程中没有考虑此项，即零次近似耦合模型，零次近似耦合模型仅仅适用于低速或静止的结构力学研究；二次耦合项的推导过程如下：

在梁中轴线上选取一段微元M₀N₀，微元的两个端点在浮动坐标系O₁X₁Y₁中的坐标为M₀(ξ,0)和N₀(ξ+dξ,0)；微元变形后写成MN，其长度ds为

式中，

微元长度

不考虑δ三次以上的项对上式二项式展开得到

积分得

微元构成的弧长

梁的轴向形变量w₁为实际变形量,于是得

令于是得到最终变形场表达式

其中w_c即为二次耦合项；

两个压电层的物理模型与变形场的建立由柔性悬臂梁推得：

式中，u_p1为一个压电层中轴线上任一点p₁在惯性坐标系中的变形矢量，u_p2为下另一个压电层中轴线上任意一点p₂在惯性坐标系中的变形量，h_p为压电层的厚度。

4.根据权利要求1所述的计算含压电材料机械臂动力学响应及控制的仿真方法，其特征在于：所述步骤3中，采用假设模态法对变形场进行离散，对于柔性悬臂梁的轴向变形w₁(x,t)和径向变形u₂(x,t)采用假设模态法描述为

式中，Φ_x(x)为梁的轴向振动的模态函数行向量，Φ_y(x)为梁的横向振动的模态函数行向量，A(t)为梁轴向振动的模态坐标列向量，B(t)为梁横向振动的模态坐标列向量，各变量表示为：

其中，φ_xi(x)取轴向振动模态函数取为一端固支一端自由的杆：

φ_yi(x)取为悬臂梁的横向振动模态函数：

φ_yi(x)＝(cosβ_ix-chβ_ix)+γ_i(sinβ_ix-shβ_ix)，i＝1，2，…，K (16)

其中

有

上式中H(x)∈R^K×K为耦合形函数，表示为

式中Φ′_y表示Φ_y(ξ)对ξ求一阶导数。

5.根据权利要求1所述的计算含压电材料机械臂动力学响应及控制的仿真方法，其特征在于：步骤4，取含压电材料中心刚体-柔性悬臂梁系统的广义坐标列向量q＝[θ₀，A^T，B^T]^T，外驱动力矩所做虚功δW_τ表示为

取广义坐标q＝(θ，A^T，B^T，φ)^T，代入含压电材料中心刚体-柔性悬臂梁系统动能势能表达式，并利用第二类Lagrange方程，得到离散后的含压电材料中心刚体-柔性悬臂梁系统刚-柔耦合动力学方程

式中，Q为广义外力，T为系统总动能，V为系统总势能；

经推导整理，得到最终离散动力学方程式

其中，

M₂₂＝M_x (25)

M₃₃＝M_y (26)

相关常数矩阵表示如下

其中ρ₁，ρ₂，J_ob，Y，S_x，S_y，M_x，M_y，M_xy，C，K₁，K₂，K₃，E₁₀，E₁₁，E₁₂，E₂₀，E₂₁，E₂₂为相关常系数矩阵，t为时间，τ₀为大范围旋转运动外力矩。