CN109902418A - 一种计算eacld中心刚体-悬臂梁模型动力学响应的仿真方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种计算EACLD(Enhanced active constrained layer damping)中心刚体‑悬臂梁模型的刚‑柔耦合动力学建模方法，在传统主被动混合控制方法的基础上，同时考虑边端元体质量与等效弹簧刚度的影响，建立了模型的高次刚‑柔耦合动力学方程，并对此进行动力学响应的数值仿真。本发明利用MATLAB软件进行EACLD中心刚体‑悬臂梁模型的数值仿真，并能够输出梁末端横向位移‑时间数据，通过Origin软件处理得到变形曲线图，使得本领域内技术人员在进行此类系统的动力学响应研究中能够有较充分的数据图像资料支持，并在使用其他仿真软件时进行数据的交叉对比，提高准确性。

Description

一种计算EACLD中心刚体-悬臂梁模型动力学响应的仿真方法

技术领域

本发明属于柔性多体系统动力学建模领域，具体涉及一种计算EACLD中心刚体-悬臂梁模型动力学响应的仿真方法。

背景技术

MATLAB是用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境的商业数学软件，基于MATLAB对多体系统进行动力学建模并计算和分析系统的动力学响应被学者们广泛的应用。Origin是用于科学绘图、数据分析的专业软件，可导入数据进行制图，功能完善。

增强型主被动混合控制(enhanced active constrained layer damping)，简称为EACLD。是在传统ACLD基础上的模型改善，增加了两个带有质量的边端元体并与压电层以等效弹簧连接，固定在基梁层上，与基梁层不发生相对位移。EACLD能够增加系统的整体刚度，考虑边端元体质量使其更符合实际情况，在结构的振动控制方面有着较为广泛的运用前景。

Liao和Wang在《A new active constrained layer configuration withenhanced boundary actions》一文中率先提出了增强型主被动混合控制的模型，加入了两个不带质量的边端元体，边端元体与压电层由轻质等效弹簧连接。通过分析传统模型和增强型模型在粘弹性层厚度变化下的动力学响应问题，得到在增强型主被动混合控制下，由逆压电效应引起的压电作动效果得到了更好的传递。但是，他们的研究中并未考虑边端元体的质量，当边端元体质量增大时，由于质量带来的影响无法忽略，可能会带来较大的误差。

发明内容

本发明的目的在于提供一种计算EACLD中心刚体-悬臂梁模型动力学响应的仿真方法，以柔性多体系统动力学为理论基础，分析EACLD中心刚体-悬臂梁的刚-柔耦合动力学行为，通过计算得到模型的动力学响应数据。本发明能够解决EACLD中心刚体-悬臂梁这一类模型的动力学响应问题，通过带有质量的边端元的加入，还使整个模型更加贴合实际生产生活中的机器构件，对相关的研发活动具有更强的指导性。

实现本发明目的的技术解决方案为：一种计算EACLD中心刚体-悬臂梁模型动力学响应的仿真方法，包括以下步骤：

步骤1、设定梁各层的材料参数和几何参数，设定边端元体的质量和位置参数，设定等效弹簧的刚度系数，建立EACLD中心刚体-悬臂梁模型，转入步骤2；

步骤2、基于浮动坐标系描述EACLD中心刚体-悬臂梁模型中的梁绕中心刚体的转动，转入步骤3；

步骤3、利用假设模态法对EACLD中心刚体-悬臂梁模型进行变形场的离散，得到EACLD中心刚体-悬臂梁模型的动能与势能，基于PD控制，得到广义压电力转入步骤4；

步骤4、由第二类拉格朗日方程建立EACLD中心刚体-悬臂梁模型的高次刚-柔耦合动力学方程，转入步骤5；

步骤5、利用四阶龙格库塔法求解高次刚-柔耦合动力学方程，输出梁末端横向位移-时间数据，获得梁末端变形曲线图。

本发明与现有方法相比，其显著优点：

(1)考虑了边端元体质量的影响，使计算结果更加符合实际，误差更小。

(2)在刚-柔耦合动力学理论的基础上建立了高次动力学方程，考虑了高阶变形耦合项，在分析模型作高速转动的情况下能够得到更加精确的解。

(3)针对增强型主被动混合控制下的中心刚体-悬臂梁模型，能为实际工程应用提供了一定的指导作用。

附图说明

图1为本发明计算EACLD中心刚体-悬臂梁模型动力学响应的仿真方法的流程图。

图2为EACLD中心刚体-悬臂梁模型图。

图3为EACLD中心刚体-悬臂梁模型变形协调关系图。

图4为边端元质量为0时梁末端横向变形曲线图。

图5为边端元质量为0.005kg时梁末端横向变形曲线图。

具体实施方式

结合图1、图2和图3，一种计算EACLD中心刚体-悬臂梁模型动力学响应的仿真方法，包括以下步骤：

步骤1、对于EACLD中心刚体-悬臂梁模型，设定中心刚体，压电层，粘弹性层和基梁层的几何参数和材料参数，设定等效弹簧和附加边端元体的物理参数，转入步骤2。

其中EACLD中心刚体-悬臂梁模型，中心刚体为圆盘，半径R，压电层，粘弹性层和基梁层的密度ρ_i，厚度h_i，弹性模量E_i。梁各层轴向位移为u_i，挠度w，γ为粘弹性层的剪切变形，为粘弹性层绕y轴的转角，边端元体的质量为m_l，弹簧刚度为k，(i＝1，2，3)。由u₁、u₃表示粘弹性层左端上下两个端点在x轴方向的位移u_A、u_B。

步骤2、用浮动坐标系描述EACLD中心刚体-悬臂梁模型中梁绕中心刚体的转动，浮动坐标系选取为xoz，惯性坐标系选取为XOZ，获得梁上各点与边端元体的位置矢量，转入步骤3。

由变形协调关系，梁上各点的位置矢量r_i，左端元体的位置矢量r_L，右端元体的位置矢量r_R为

r_i＝Θ(r₀+u_i) (23)

其中Θ为坐标变换矩阵，w₁为压电层的纵向伸长量，w₃为基梁层的纵向伸长量，w_c是耦合变形量，为左端元体在xoz中的位置矢量，u_L为左端元体的变形矢量，x₁为左端元体在连体坐标系中沿x轴的距离，为右端元体在xoz中的位置矢量，u_R为右端元体的变形矢量，x₂为右端元体在连体坐标系中沿x轴的距离，t指代某一时刻。

步骤3、利用假设模态法对EACLD中心刚体-悬臂梁模型进行变形场的离散，将变形场当作一组模态函数和模态坐标的乘积，利用离散后的变形场表示梁位移，得到动能与势能的表达式。基于PD控制，得到广义压电力，转入步骤4。

取φ_u(x)∈R^1×N和φ_w(x)∈R^1×N分别为EACLD梁纵向振动和横向振动的模态函数行矢量，q_ui∈R^N和q_w∈R^N分别是纵向振动和横向振动的模态坐标矢量，所以梁各层的纵向变形w_i(i＝1，2，3)和横向变形w表示为

将(23)式带入(8)式得到梁i(i＝1，2，3)层的轴向位移

其中为耦合型函数。对位移进行时间的一次求导即可得到速度。

由动能方程可以得到EACLD中心刚体-悬臂梁模型动能T

其中J为中心刚体的转动惯量，为角速度，A_i为第i(i＝1,2,3)层的横截面积，

m_l为边端元体质量，上标的点·表示对时间求导。

EACLD中心刚体-悬臂梁模型势能U

U＝U₁+U₂+U₃+U₄ (29)

其中U₁是压电层势能，U₂是粘弹性层势能，U₃是基梁层势能，U₄是等效弹簧势能。

其中G^*为复剪切模量，Δx_L和Δx_R分别是左右弹簧的变形量，e₃₁是压电常数，∈₃₃是介电常数，E_z是电场，l是梁的长度，w″表示对x的两次导数，w′表示对x的一次导数，其他同理。

对于闭环系统，采用PD控制时，激励电压φ_c为

传感电压φ_s为

其中C＝8.854×10^-12A_sk_3t/h₃是传感器电容，A_s是传感器表面积，k_3t是介电常数，D_d＝h₃/2，k₃₁是力电耦合因子，g₃₁压电电压常数，K_p和K_d分别是PD控制增益。

广义压电合力Q_p，广义外力Q_τ为

Q_τ＝(F_τ 0 0 0)^T (37)

其中为广义压电力，为广义压电力矩，F_τ为外力。

步骤4、由第二类拉格朗日方程建立EACLD中心刚体-悬臂梁模型的高次刚-柔耦合动力学方程，转入步骤5。

由第二类拉格朗日方程可得模型的总体动力学方程

其中M为广义质量矩阵，为广义加速度矩阵，Q为广义外力矩阵。

步骤5、使用四阶龙格库塔法求解EACLD中心刚体-悬臂梁模型的高次刚-柔耦合动力学方程，求得梁末端横向位移，并通过Origin软件制图得到变形曲线图。

四阶龙格库塔法的表达式如式(36)

其中y_n是现值，y_n+1是下一个值，k₁是时间段开始时的斜率，k₂是中间点斜率，k₃也为中间点斜率，k₄是时间段终点的斜率。

实施例1

下面结合附图以及具体实施例对本发明进行进一步介绍，显然所描述的实施例仅仅是本发明的某一具体实施例，基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

本发明实施例公开了一种计算EACLD中心刚体-悬臂梁模型动力学响应的仿真方法，具体方法如下：

步骤1、对于EACLD中心刚体-悬臂梁模型，附加质量点质量取0和0.005Kg，等效弹簧刚度k为10⁶N/m，比例控制增益K_p，导数控制增益K_d分别为1，-0.005，主被动控制层的覆盖率为60％，初始驱动力矩τ＝0.5N·m，模态数为4，仿真时间0.5秒，η为损耗因子，其他的参数如表1所示。

表1本实施例采用的材料参数和几何参数

步骤2、基于浮动坐标系描述梁绕中心刚体的转动，得到各点的位置矢量，转入步骤3。

步骤3、利用假设模态法离散变形场，将离散后的变形场代入点的位置矢量，得到模型动能与势能的表达式，然后得到广义外力矩阵，转入步骤4。

步骤4、由第二类拉格朗日方程得到EACLD中心刚体-悬臂梁模型的高次刚-柔耦合动力学方程，转入步骤5。

步骤5、利用四阶龙格库塔法求解高次刚-柔耦合动力学方程，得到位移数据，通过Origin软件输出变形曲线图，如图4，图5所示。对比图4和图5，能看到考虑附加边端元体质量的模型相比不考虑质量的模型，其整体振幅减小，频率降低，本发明中边端元体质量0.005Kg为最优。

Claims (5)

1.一种计算EACLD中心刚体-悬臂梁模型动力学响应的仿真方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1、设定梁各层的材料参数和几何参数，设定边端元体的质量和位置参数，设定等效弹簧的刚度系数，建立EACLD中心刚体-悬臂梁模型，转入步骤2；

步骤2、基于浮动坐标系描述EACLD中心刚体-悬臂梁模型中的梁绕中心刚体的转动，，转入步骤3；

步骤3、利用假设模态法对EACLD中心刚体-悬臂梁模型进行变形场的离散，得到EACLD中心刚体-悬臂梁模型的动能与势能，基于PD控制，得到广义压电力，转入步骤4；

步骤4、由第二类拉格朗日方程建立EACLD中心刚体-悬臂梁模型的高次刚-柔耦合动力学方程，转入步骤5；

步骤5、利用四阶龙格库塔法求解高次刚-柔耦合动力学方程，输出梁末端横向位移-时间数据，获得梁末端变形曲线图。

2.根据权利要求1所述的计算EACLD中心刚体-悬臂梁模型动力学响应的仿真方法，其特征在于：所述步骤1中，悬臂梁为三层复合梁，自上向下分为压电层、粘弹性层、基梁层；材料参数为梁各层的密度ρ_i，厚度h_i，弹性模量E_i，惯性矩I_i；梁各层轴向位移为u_i，梁各层的横向位移相等且均为w，γ为粘弹性层的剪切变形，为粘弹性层绕y轴的转角，边端元体的质量为m_l，等效弹簧的刚度系数为k，中心刚体半径为R，其中i＝1，2，3；粘弹性层左端上下两个端点在x轴方向的位移u_A、u_B，由u₁、u₃表示得：

其中d＝h₁+2h₂+h₃/2；粘弹性层沿X轴的位移u₂为

其中d₁＝h₁-h₂/2，d₁与d均为中间变量。

3.根据权利要求2所述的计算EACLD中心刚体-悬臂梁模型动力学响应的仿真方法，其特征在于：所述步骤2中，EACLD心刚体-悬臂梁模型中，梁绕中心刚体作定轴转动，XOZ为惯性坐标系，xoz为连体坐标系；在惯性坐标系中，梁各层任意点的位置矢量r_i为

r_i＝Θ(r₀+u_i) (6)

其中Θ是坐标变换矩阵，θ是惯性坐标系XOZ和连体坐标系xoz的夹角，r₀＝[R+x 0]^T为任一点在连体坐标系xoz中的位置矢量，x是任一点在连体坐标系中沿x轴的距离；i＝1，2，3；

梁各层变形矢量u_i＝[u_i w]^T，压电层和基梁层的轴向位移考虑变形耦合项写成

其中w₁为压电层的纵向伸长量，w₃为基梁层的纵向伸长量，w_c是耦合变形量；

对于附加的边端元体，左端元体位置矢量r_L为

其中为左端元体在xoz中的位置矢量，u_L＝[u_L w]^T为左端元体的变形矢量，x₁为左端元体在连体坐标系中沿x轴的距离，t指代某一时刻；

同理右端位置矢量r_R为

其中为右端元体在xoz中的位置矢量，u_R＝[u_R w]^T为右端元体的变形矢量，x₂为右端元体在连体坐标系中沿x轴的距离；

将r_i，r_L，r_R对时间求一次倒数，即得到相应点的速度。

4.根据权利要求3所述的计算EACLD中心刚体-悬臂梁模型动力学响应的仿真方法，其特征在于：所述步骤3中，采用假设模态法对EACLD中心刚体-悬臂梁模型的变形场进行离散，第i层(i＝1，2，3)纵向变形w_i和横向变形w表示为：

式中φ_u(x)∈R^1×N为EACLD梁纵向振动的模态函数行矢量，φ_w(x)∈R^1×N为EACLD梁横向振动的模态函数行矢量，q_ui∈R^N为纵向振动的模态坐标矢量，q_w∈R^N为横向振动的模态坐标矢量

将(12)，(13)，(14)三式代入(11)式，得

将(15)式代入(8)式，得

其中为耦合型函数；

将(16)式中各量及w分别取导，得到压电层速度粘弹性层速度基梁层速度横向速度

同理左，右端元体的轴向变形分别为

系统的总动能T和总势能U如下：

其中J为中心刚体转动惯量，l是梁的长度，x₁与x₂是控制层两端在x轴的位置，G^*为复剪切模量，Δx_L和Δx_R分别是左右弹簧的变形量，w″表示对x的两次导数，w′表示对x的一次导数，其他同理；

广义压电力Q_p

其中为广义压电力，为广义压电力矩。

5.根据权利要求4所述的计算EACLD中心刚体-悬臂梁模型动力学响应的仿真方法，其特征在于：所述步骤4中，高次刚-柔耦合动力学方程考虑了高阶耦合变形量，将EACLD中心刚体-悬臂梁模型的动能和势能表达式代入第二类拉格朗方程，取作为广义坐标，T为转置标识，得到EACLD中心刚体-悬臂梁模型的高次刚-柔耦合动力学方程：

其中M为广义质量矩阵，为广义加速度矩阵，Q为广义外力矩阵。