CN108092644A - 一种陷波频率精准可调的稀疏二维fir陷波滤波器的设计方法 - Google Patents

一种陷波频率精准可调的稀疏二维fir陷波滤波器的设计方法 Download PDF

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Abstract

本发明提出了一种陷波频率精准可调的稀疏二维FIR陷波滤波器的设计方法，属于数字信号处理领域。同现有国内外同类型滤波器设计算法相比，该算法计算出的稀疏二维FIR陷波滤波器，在保证滤波器性能的前提下，使用更少非零抽头数，使用更少的计算时间，计算误差也更低。该方案首先设计一个陷波频率在原点的稀疏二维FIR陷波滤波器作为原型滤波器。当陷波频率改变时，对稀疏二维原型滤波器进行调整过程，以得到具有给定陷波频率的稀疏二维陷波滤波器。如果所得到的滤波器的响应不是令人满意的期望响应的近似，则使用线性优化程序来确保满足给定的设计参数。当陷波滤波器的陷波频率改变时，可以采用相同的原型滤波器进，降低了计算复杂度。

Description

一种陷波频率精准可调的稀疏二维FIR陷波滤波器的设计 方法
技术领域
本发明属于数字信号处理技术领域，提供了一种陷波频率精准可调的稀疏二维FIR(有限脉冲响应)陷波滤波器的设计方法。
背景技术
陷波滤波器可以有效地抑制所选择的陷波频率，同时在选定的频率以外提供高效传输。从脉冲响应角度数字信号滤波器一般可分为FIR(有限脉冲响应)滤波器和(无限脉冲响应)IIR滤波器。其中FIR(有限脉冲响应)陷波滤波器被广泛的应用于信号处理、语音处理、数字通信、自动化控制、图像处理等各个领域，特别是二维FIR陷波滤波器在图像处理中得到广泛应用。稀疏滤波器实现所用的加法和乘法器数目远少于与其滤波效果相当的同类滤波器，因此，稀疏的滤波器具有运算速度高、运算误差小和能耗低等优点。稀疏二维FIR陷波滤波器是满足稀疏条件的二维FIR陷波滤波器，在满足设计参数的条件下可以实现使用尽可能少的非零抽头数，即使用更少的加法器和乘法器，可以提高运算速度、减小运算量和降低硬件要求。
目前对稀疏二维FIR陷波滤波器的设计方法主要有基于Zolotorev多项式设计二维FIR陷波滤波器、基于等纹波误差准则的设计方法、基于奇异值分解算法的设计方法等，而对于已经提出的二维FIR陷波滤波器的设计方法中，P.Zahradnik和M.Vlceki的设计法可算是经典，通过首先设计两个一维FIR陷波滤波器再进变换来得到一个二维FIR陷波滤波器。
发明内容
本发明目的是设计实现陷波频率精准可调且系数矩阵具有大量零系数二维陷波滤波器，并提供一种全新的设计方法——可设计稀疏，高效，陷波频率精准可调的二维FIR陷波滤波器的方法。当给定的陷波频率发生改变时只需实施调整过程即可得到同类稀疏二维FIR陷波滤波器，该方法能够设计低非零抽头系数的二维陷波滤波器，使其在硬件实现的过程中可以使用较少的加法器和乘法器，从而提高运算速度、减小运算误差、降低能耗及降低硬件实现的复杂度。
本发明提供的陷波频率可调的稀疏二维FIR陷波滤波器的设计方法具体步骤如下：
第1、以系数矩阵四分之一对称的二维FIR滤波器为例，即大小为(M+1)×(N+1)(M，N为偶数)的二维FIR滤波器的脉冲响应h(m，n)满足
h(m，-n)＝h(m，n)＝h(-m，n) (1)
其中，m＝0，1，...，M/2，n＝0，1，...，N/2。此时，滤波器的频率响应可表示为
其中，
为了方便计算，(2)中的H(ω1，ω2)可以表示成二维采样矩阵和向量形式的单位脉冲响应h的内积，其中h表示将矩阵hmat的所有元素从左到右按列堆积。利用矩阵的迹tr(AB)＝tr(BA)的属性，可以得出
其中，是一个(N/2+1)×(M/2+1)的矩阵，c(ω1，ω2)是一个通过从上到下堆积矩阵C(ω1，ω2)的行得到的1×(M/2+1)(N/2+1)的行向量，h是一个通过从左到右堆积矩阵hmat的列得到的(M/2+1)(N/2+1)×1的列向量。
根据稀疏二维陷波滤波器设计参数，陷波频率点为阻带带宽BW和通带纹波δ，确定原型滤波器的阻带带宽BW和通带纹波δ，然后确定原型滤波器的单位脉冲响应为方便计算，将原型滤波器的单位脉冲响应矩阵从左向右按列堆积转换成向量形式并记作为h1，原型滤波器的理想频率响应可以表示为
其中，ω′1∈[0，π]，ω′2∈[0，π]，Φ0和Φ1分别定义为
Φ1＝[0，π]×[0，π]-Φ0 (6b)
根据上式，稀疏原型滤波器设计问题转化为如下的数学优化问题：
s.t.|Bh1-D1|≤δ·1L×1 (7b)
c(0，0)h1＝0 (7c)
其中||·||0代表0-范数运算，||h1||0即表示抽头系数向量中非零抽头的个数；“min”与“s.t.”组合的公式(7a)-(7c)表示求解满足(7b)和(7c)要求的||h1||0的最小值；采样矩阵B和理想的频率响应D1分别表示为：
(ω′l，1，ω′l，2)，l＝1，2，...，L是位于通带内采样频率点；为了实现稀疏原型滤波器的设计，我们可以使用稀疏滤波器设计算法之一，例如，权重更新的l1范数最小化(IRL1)，贪婪方法，稀疏表示领域中权重更新的l1范数最小化和贪心算法的组合(IRL1G)以及迭代更新加权的正交匹配追踪(IROMP)。通过解决该问题，得到了向量形式的原型滤波器的脉冲响应
第2：根据给定的陷波频率点将向量形式的原型滤波器的脉冲响应重置为一个大小为(M/2+1)×(N/2+1)的矩阵并对其进行频谱搬移，得到陷波频率点为的稀疏二维FIR滤波器的抽头系数计算如下：
其中m＝0，1，...，M/2，n＝0，1，...，N/2；根据傅里叶变换理论，的频率响应可以表示为：
稀疏二维FIR陷波滤波器的通带衰减可以计算为：
第3：判断频谱搬移之后的稀疏二维FIR陷波滤波器是否依旧满足所给定的设计参数，若计算的滤波器符合规定的设计参数，设计程序终止；否则，执行以下线性优化过程：
s.t.|ASh3-Hd|≤δ·1L×1+μ1L×1 (11b)
其中，“min”与“s.t.”组合的公式(11a)-(11c)表示求解满足(11b)和(11c)要求的h3和μ的最小值，通过从左到右堆叠矩阵的列得到单位脉冲响应矩阵的向量形式 代表中所有非零元素位置的集合，在已知(ωl，1，ωl，2)∈Ω1，l＝1，2，...，L条件下矩阵A和Hd分别表示为：
子矩阵AS表示通过从A提取与集合S中非零元素位置对应的列而获得的矩阵；令表示最终二维稀疏多陷波滤波器的向量形式，表示由对应于集合S的求得的系数矩阵转换成的向量；如果(11a)的最优目标值μ为负，即μ≤0，则给定的稀疏集合S是满足给定设计参数的一个可行解；令并将向量重置为一个大小为(M/2+1)×(N/2+1)矩阵计算得到的滤波器是满足设计参数的稀疏二维FIR陷波滤波器的单位脉冲响应矩阵；否则，给定的稀疏集合S不是满足设计参数的一个可行解，因此采用OMP算法将S扩展一个元素，这样可以最大程度地减少残差二次逼近误差，然后用新的集合S求解线性优化(11)直到μ≤0；计算得到的即为最终的稀疏二维FIR陷波滤波器的单位脉冲响矩阵。
当稀疏二维FIR陷波滤波器的陷波频率改变时，可以使用相同的稀疏原型滤波器来设计具有新的给定陷波频率的稀疏二维FIR陷波滤波器，降低了设计陷波频率精准可调的稀疏二维FIR陷波滤波器的计算复杂度，重复第二步和第三步进行计算，得到的即为最终的稀疏二维FIR陷波滤波器的单位脉冲响应矩阵。
第4、利用本发明设计的滤波器去除图像中存在的噪声。对原始图像加入的噪声的频率为陷波频率，然后利用滤波器对噪声进行滤除，并观察输出图像，可得本发明可以很好的滤除具有特定频率的干扰。
本发明具有如下有益效果：
1、本发明首次提供了一种稀疏、高效的陷波频率精准可调的二维FIR陷波滤波器设计方法。
2、本发明可设计低非零系数的原型滤波器，滤波器的稀疏性可使其实现所用的加法器乘法器数目减少，从而能提高其运算速度、减小运算误差和降低能耗，进而降低生产成本。
3、仿真结果表明，本发明可以很好的去除特定频率的图像干扰。
附图说明
图1是实现本发明的稀疏二维FIR陷波滤波器设计方法流程图；
图2是稀疏二维原型滤波器的频率响应图；
图3是对原型滤波器进行频谱搬移之后得到的陷波频率为(0.2π，0.6π)的稀疏二维FIR陷波滤波器的频率响应图；
图4是对频谱搬移之后的滤波器进行线性优化步骤后的稀疏二维FIR陷波滤波器的频率响应图；
图5是利用本发明所设计的稀疏二维FIR陷波滤波器处理图像中噪声频率为(0.2π，0.6π)的正弦噪声干扰的对比图；
图6是陷波频率改变为(0.4π，0.8π)时，原型滤波器进行频谱搬移步骤之后的滤波器的频率响应图；
图7是对陷波频率改变为(0.4π，0.8π)的滤波器频谱搬移步骤之后的滤波器进行线性优化步骤后的滤波器的频率响应图；
图8是利用本发明所设计的稀疏二维FIR陷波滤波器处理图像中噪声频率为(0.4π，0.8π)的正弦噪声干扰的对比图；
具体实施方式
实施例1：
本发明提供的陷波频率精准可调的稀疏二维FIR陷波滤波器的设计方法具体步骤如下：
为了验证该滤波器组设计方法的有效性，对该方法进行了计算机模拟仿真。
设计要求：根据给定的设计指标，稀疏二维FIR滤波器陷波频率点为(0.2π，0.6π)，阻带带宽为BW＝0.14π，通带纹波δ＝-1dB，本发明针对四分之一对称的二维滤波器，二维滤波器的大小为45×45，对应的系数个数为2025，所以其四分之一滤波器大小变为23×23，系数个数变为529。完成设本发明用IROMP算法和线性优化设计稀疏二维FIR原型滤波器。
步骤一：根据稀疏二维FIR滤波器的设计参数要求将各设计参数带入初始化条件，得到待求解问题：
s.t.|Bh1-D1|≤δ·1L×1 (1b)
c(0，0)h1＝0 (1c)
采样点数选择为51×51＝2601，将设计的通带纹波δ、阻带带宽BW、采样矩阵B和理想频率响应矩阵D1对应的参数代入，利用迭代更新加权的正交匹配追踪(IROMP)可以得到陷波频率点在(0，0)的稀疏原型滤波器，原型滤波器的频率响应图如图2所示。原型滤波器的单位脉冲响应的系数矩阵的向量形式为对应的系数矩阵中非零系数的数量为251，原型滤波器的阻带带宽BW＝0.14π，通带纹波为δ′＝-0.5dB，，非零抽头系数的位置和权值如表一所示；
表1.非零抽头系数的位置和权值
步骤二：根据步骤一得到的原型滤波器和给定的陷波频率点(0.2π，0.6π)，将向量形式的原型滤波器的脉冲响应重置为一个大小为23×23的矩阵并对其进行频谱搬移，得到陷波频率点为(0.2π，0.6π)的稀疏二维FIR滤波器的系数矩阵计算如下：
其中m＝0，1，...，22，n＝0，1，...，22；根据傅里叶变换理论，的频率响应可以表示为：
稀疏二维FIR陷波滤波器的频率响应图如图3所示，其通带衰减可以计算为：
步骤三：由于需要对频谱搬移之后的二维陷波滤波器进行线性优化的步骤：
s.t.|ASh3-Hd|≤δ·1L×1+μ1L×1 (5b)
cS(0.2π，0.6π)h3＝0 (5c)
其中，“min”与“s.t.”组合的公式(5a)-(5c)表示求解满足(5b)和
(5c)要求的h3和μ的最小值，通过从左到右堆叠矩阵的列得到单位脉冲响应的向量形式 代表中所有非零元素位置的集合，在已知条件(ωl，1，ωl，2)∈Ω1，l＝1，2，...，L时矩阵A和Hd分别表示为：
子矩阵AS表示通过从A提取与集合S中非零元素位置对应的列而获得的矩阵；令表示最终二维稀疏多陷波滤波器的单位脉冲响应系数的向量形式，表示由对应于集合S的单位脉冲响应系数组成的向量。如果(5a)的最优目标值μ为正，即μ＞0，给定的稀疏集合S不是满足设计参数的一个可行解，因此采用OMP算法将S扩展一个元素，这样可以最大程度地减少残差二次逼近误差，然后用新的集合S求解线性优化(5)直到μ≤0。令并将向量重置为一个大小为23×23矩阵计算得到的滤波器是满足设计参数的稀疏二维FIR陷波滤波器的单位脉冲响应矩阵，其频率响应图如图4所示。
步骤四：对原始图像加入具有陷波频率的正弦噪声干扰，即
Q＝3·sin(0.2π·m+0.6π·n) (8)
利用本发明所设计稀疏二维FIR陷波滤波器对该图像进行滤波处理，并得到输出图像如图5所示。
步骤五：将陷波频率点更改为(0.4π，0.8π)，重复之前的四个步骤，可以得到陷波频率为(0.4π，0.8π)的稀疏二维FIR陷波滤波器的频率响应，图6-图8为陷波频率改变后稀疏二维FIR陷波滤波器优化前、优化后的频率响应以及处理被频率为(0.4π，0.8π)的噪声干扰图像的对比图。

Claims (1)

1.一种陷波频率精准可调的稀疏二维FIR陷波滤波器的设计方法，其特征在于实现结构以一个陷波频率在原点(0，0)的稀疏二维FIR陷波滤波器作为原型滤波器，通过计算一组调整系数，对固定不变的原型滤波器的抽头系数进行调节，以得到满足设计要求的稀疏二维FIR陷波滤波器，该方法按照下述步骤进行：
第一步：根据稀疏二维陷波滤波器设计参数，包括陷波频率点阻带带宽BW和通带纹波δ，计算原型滤波器的阻带带宽BW和通带纹波δ′；然后确定原型滤波器的单位脉冲响应为方便计算，将原型滤波器的单位脉冲响应矩阵从左向右按列堆积转换成向量形式并记作为h1，则原型滤波器设计问题转化为如下的数学优化问题：
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s.t.|Bh1-D1|≤δ·1L×1 (1b)
c(0，0)h1＝0 (1c)
其中||·||0代表0-范数运算，||h1||0即表示抽头系数向量中非零抽头的个数；“min”与“s.t.”组合的公式(1a)-(1c)表示求解满足(1b)和(1c)要求的||h1||0的最小值；采样矩阵B和理想的频率响应D1分别表示为：
<mrow> <mi>B</mi> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>c</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>c</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>c</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>c</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>L</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>L</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> <msub> <mi>D</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>D</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>D</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>D</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>D</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>L</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>L</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <msub> <mn>1</mn> <mrow> <mi>L</mi> <mo>&amp;times;</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mrow>
(ω′l，1，ω′l，2)，l＝1，2，…，L是位于原型滤波器通带内采样频率点；(M+1)×(N+1)(M，N为偶数)表示二维滤波器的大小，水平采样矩阵c1(ω1)＝[1，cosω1，…，cos(M/2)ω1]T，垂直采样矩阵c2(ω2)＝[1，cosω2，…，cos(N/2)ω2]T，定义是一个大小为(N/2+1)×(M/2+1)的矩阵，c(ω1，ω2)是一个通过从上到下堆积矩阵C(ω1，ω2)的行得到的1×(M/2+1)(N/2+1)的行向量；
第二步：根据给定的陷波频率点将第一步计算得到的向量形式的原型滤波器的脉冲响应重置为一个大小为(M/2+1)×(N/2+1)的矩阵并对其进行频谱搬移，得到陷波频率点在的稀疏二维FIR陷波滤波器的抽头系数矩阵计算如下：
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其中m＝0，1，…，M/2，n＝0，1，…，N/2；根据傅里叶变换理论，脉冲响应为的二维稀疏FIR陷波滤波器的频率响应可以表示为：
<mrow> <msubsup> <mi>H</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>c</mi> <mn>1</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
稀疏二维FIR陷波滤波器的通带纹波可以计算为：
<mrow> <mover> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>=</mo> <mn>20</mn> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>lg</mi> <mfrac> <mrow> <mo>|</mo> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>H</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>H</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;Element;</mo> <msup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mn>1</mn> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中Ω1为二维滤波器的通带；
第三步：判断频谱搬移之后的稀疏二维FIR陷波滤波器是否依旧满足所给定的设计参数，若计算的滤波器符合规定的设计参数，设计程序终止；否则，执行以下线性优化过程：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <munder> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mi>&amp;mu;</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>h</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </munder> </mtd> <mtd> <mi>&amp;mu;</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mi>a</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
s.t.|ASh3-Hd|≤δ·1L×1+μ1L×1 (5b)
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其中，“min”与“s.t.”组合的公式(5a)-(5c)表示求解满足(5b)和(5c)要求的h3和μ的最小值，通过从左到右堆叠矩阵列从而得到滤波器单位脉冲响应的向量形式代表中所有非零元素位置的集合，在已知(ωl，1，ωl，2)∈Ω1，l＝1，2，…，L条件下矩阵A和Hd分别表示为：
<mrow> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>c</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>c</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>c</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>c</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>L</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>L</mi> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> <msub> <mi>H</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>H</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>H</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>H</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>H</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>L</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>L</mi> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <msub> <mn>1</mn> <mrow> <mi>L</mi> <mo>&amp;times;</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mrow>
子矩阵AS表示通过从A提取与集合S中非零元素位置所对应的列而获得的矩阵；令表示最终二维稀疏多陷波滤波器的向量形式，表示由对应于集合S的滤波器的系数矩阵组成的向量；如果(5a)的最优目标值μ为非正，即μ≤0，则给定的稀疏集合S是满足给定设计参数的一个可行解；令并将向量重置为一个大小为(M/2+1)×(N/2+1)矩阵则计算得到的系数矩阵为的滤波器是满足设计参数的稀疏二维FIR陷波滤波器的单位脉冲响应矩阵；否则，给定的集合S不是满足设计参数的一个可行解，因此采用OMP算法将S扩展一个元素，这样可以最大程度地减少残差二次逼近误差，然后用新的集合S求解线性优化(5)直到μ≤0；计算得到的即为最终的稀疏二维FIR陷波滤波器的单位脉冲响应矩阵；
当稀疏二维FIR陷波滤波器的陷波频率改变时，可以使用相同的稀疏原型滤波器来设计具有新的给定陷波频率的稀疏二维FIR陷波滤波器，降低了设计陷波频率精准可调的稀疏二维FIR陷波滤波器的计算复杂度，重复第二步和第三步进行计算，得到的即为最终的稀疏二维FIR陷波滤波器单位脉冲响应矩阵。
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