CN106982045A - 一种基于socp优化的eir‑cmfb结构的设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于二阶锥（SOCP）优化外插法设计余弦调制滤波器组（EIR‑CMFB）结构的方法，带系数敏感性（CS）约束条件结合SOCP实现外插法的改良，可以在有效降低外插性能下降的同时避免由于二次外插系数数值精度在硬件实现取舍的损失，并在其基础上经过DCT调制得到EIR‑CMFB。和传统的CMFB相比，该设计方法可以显著解决原型滤波器阶数过高的问题，保证滤波器过度带宽性能，降低系统复杂度，可以减少50%‑80%的乘法器和加法器。

Description

一种基于SOCP优化的EIR-CMFB结构的设计方法

技术领域

本发明涉及数字信号处理领域领域，特别是涉及一种基于SOCP优化的EIR-CMFB结构的设计方法。

背景技术

在信息化时代的今天，如何有效的存储、传输、处理数字信号是人们研究的热点问题。多速率信号处理作为数字信号处理的一个重要分支，给我们提供了一个灵活实用的信号处理解决方法。多速率的概念是指在一个信息处理系统中，存在着多个不同的数据处理速率，即多速率系统中必然包含被处理信号采样率的变换过程。在多速率信号处理中，它的主要内容是信号抽样率的转换器及各种滤波器组，而传统的单速率数字信号处理系统的基本组成单元是乘法器，加法器和延迟单元，例如数字滤波器、傅立叶变换、调制器等，因此信号的处理速率是单一的。多速率信号处理从20世纪70年代以来被广泛的研究和应用。在几十年的发展过程中，多速率信号处理的理论研究逐步丰富完善,多速率信号处理的应用也从最初的语音处理发展到通信、图像编码、雷达、自适应信号处理、短时频谱分析等各个领域。如此广泛的应用也极大地促进了多速率信号处理理论的发展，促使越来越多的研究者开始关注多速率信号处理的算法和发展，基于滤波器组的多速率信号处理目前已经成为现代信号处理的关键技术之一。

在滤波器组的结构设计中，DFT(离散傅里叶变换)和DCT调制方式由于其快速变换算法的是目前最长用的两种调制方式，其中相比于DFT调制滤波器系数和输出都为复数的特点，DCT由于其调制类型为实数使得其硬件复杂度可以有效降低一半，使其更受学者的青睐。

原型滤波器的有效设计对于CMFB(余弦调制滤波器组)的性能至关重要，性能优异的原型滤波器可以有效避免CMFB过渡带的混跌和阻带的频谱泄露，而现有的大多数原型滤波器设计方法往往过于追求性能而没有考虑滤波器阶数对于硬件实现难度的影响，Lim教授提出的基于外插法(EIR)可以有效降低滤波器的阶数，二阶锥规划(SOCP)优化算法能够有效改善EIR性能，但是其与CMFB的有效结合成为一个难点。

发明内容

为了解决上述存在的问题，本发明提供一种基于SOCP优化的EIR-CMFB结构的设计方法，采用该设计方法的原型滤波器能够在保持SOCP优化EIR性能，同时降低CMFB系统整体复杂度，为达此目的，本发明提供一种基于SOCP优化的EIR-CMFB结构的设计方法，具体步骤如下：

步骤1：根据系统设计指标求取目标滤波器系数h(n)；

步骤2：根据系数h(n)的幅值规律，寻找其主瓣hL(n)长度2L，旁瓣长度d，旁瓣个数R；

步骤3：对所有旁瓣系数PCA分析得到第一次外插旁瓣系数h1(n)和外插比例α；

步骤4：在第一次外插的基础上对残留插值第二次PCA分析得到第二次外插旁瓣系数h2(n)和外插比例β；

步骤5：对上述L，h1(n)、α、h2(n)和β五个变量SOCP联合优化，通过内插0值改变hL(n)、h1(n)和h2(n)的长度，使L和d成为滤波器组通道M的倍数，在插零的基础上重新代入这个五个变量进行第二次SOCP迭代优化；

步骤6：对优化后的结果组合重新得到新的对进行M倍抽取，得到CMFB调制的M个通道的系数。

步骤7：求取CMFB通道比例系数，得到CMFB调制结构图。

本发明的进一步改进，所述步骤1和步骤2具体步骤如下：

假设低通滤波器的脉冲响应序列h(n),n＝-N,-N+1…N-1,N,根据其正负交替划分各瓣抽头系数，假定该脉冲响应的主瓣宽度2M+1长，对应h(n)下标[-M,M]，其余R个瓣长度都相等，长度为d，对应系数下标分别为[M+id+1,M+(i+1)d],i＝0,1,2…R-1，N,R,d,M满足关系式：2N+1＝2M+1+2Rd，左右两边都为滤波器系数长度；

推导其z变换，零相位传递函数可得：

本发明的进一步改进，所述步骤3和步骤4具体步骤如下：

取第一旁瓣系数作为基系数，后续旁瓣与第一旁瓣呈α_k(k＝1,2,3…R,α₁＝1)的近似比例关系，则相位传递函数H(z)近似为：

通过这个式子，得到外插法一次外插的结构图；

第二次外插与第一次外插相似，设第一次外插旁瓣系数h₁(n),第二次外插旁瓣系数h₂(n),第一次外插旁瓣比例因子α_i(i＝1,2,3…R,α₁＝1)，第二次外插旁瓣比例因子β_j(j＝1,2,3…R,β₁＝1),，则滤波器频率响应可以表示为：

本发明的进一步改进，所述步骤5具体步骤如下：

和第一次外插PCA求旁瓣基类似，第二次外插利用第一次外插后的残留误差进行PCA分析求得，为了克服这样的有限字长效应，除了在一次外插使用的minima这个约束条件，额外增加了系数敏感性约束条件最后的得到的最优化表达式为：

上式它由五部分组成，主瓣向量h，第一次外插抽头系数向量h₁,比例因子向量α，第二次外插抽头系数向量h₂,比例因子β，分别对两个约束条件进行转换变形，先分析频响误差的约束式，由二次PCA分析得到比较好的初值假设当前在第k次迭代，对于非线性平滑的H(w,x),在x_k的领域内将其泰勒级数展开为：H(w,x_k+δ)＝H(w,x_k)+g_k ^T(w)δ+o(||δ||)，其中δ是x_k的极小领域区间，H(w,x_k)是在第k次迭代得到值，g_k(w)是H(w,x)在x_k点处的梯度，||δ||很小，在计算中可以忽略，令x＝x_k+δ，则minimax约束条件可以做如下处理：

其中表示梯度的加权，e_k(w)＝W(w)(H(w,x_k)-H_d(w))表示加权误差，在第k+1次迭代中e_k(w)可以有第k次迭代值计算得到，偶对称FIR滤波器系数表示成余弦函数求和方式，对H(w,x)求导最后可以得到g_k(w)表达式：

第二步是对系数敏感性约束条件分析，首先对S²表达式转换成二阶锥形式；

利用可以建立S²和x的关系式，单位向量矩阵与x的乘积表示；

由此可以把二阶锥形式变为；

其中B^T的表达式为：

因此最后得到的系数敏感性约束条件的二阶锥表达式为；

||B^Tx||≤d_cs (1-11)；

对x进行迭代x＝x_k+δ处理，并对步长δ约束使之足够小，最后得到带系数敏感性约束的SOCP优化EIR二次外插旁瓣抽头系数和比例因子表达式如下：

对于N_p阶的低通原型滤波器单位脉冲响应h_p(n)，传递函数H(z)，令：

二者相加后即可得到一个实系数调制滤波器：

对于余弦调制完全重构，分析滤波器组和综合滤波器组分别应该满足：

本发明的进一步改进，所述步骤6和步骤7具体步骤如下：

其中，m＝0,1,2…M-1,表示通道下标，共有M个通道，n＝0,1,2…N_p，将余弦调制方式和多相分量结构结合构造滤波器组，假设满足N_p+1＝2KM关系式，K个信道，2M个多相分量，对H_p(z)的多项分解可得：

采用类似方法对余弦调制分析滤波器组的每个子带滤波器传递函数H_m(z)多项分量分解：

再将其转变为矩阵形式可得：

变换矩阵C是由c_m,j表示的M×2M维度矩阵，根据公式(1-18)可以得到CMFB的结构，经过Nobel等效，改变重采样和滤波器顺序后的结构图；

假设滤波器组的输出通道数M，对原型滤波器系数做2M倍抽取形成2M个多相分路，为保证外插法设计的原型滤波器在多相结构中旁瓣的线性比例约束关系，需要满足旁瓣和主瓣都能够被均匀抽取，因此主瓣长度为偶数，不存在单一的中间峰值，同时满足主瓣长度N_main＝4K_aM，外插旁瓣系数长度d＝2K_bM，满足这些系数长度约束后即可完成外插法设计DCT调制多相结构滤波器组的原型滤波器；

对于原型滤波器长度为N，满足上述约束条件，则有长度等式N＝2N_main+2Rd＝2RK_bM+2K_aM+2K_aM+2RK_bM，对滤波器系数划分成了四部分，按照顺序分别表示滤波器的左边旁瓣、主瓣的左右两部分以及滤波器的右边旁瓣，进行2M倍抽取形成多相结构，每个多相分支的系数长度N_poly＝N/2M＝RK_b+K_a+K_a+RK_b，且每个多相分支的旁瓣系数仍然保持比例关系，这是外插法元型滤波器组的核心原理；

首先对滤波器的传递函数改写，分成四部分，且h(n)的第一个下标所对应的置为时间节点0处，重写的展开式子如下：

在公式(1-19)中，h_main表示主瓣的右半部分，观察可知四个累加项有着共同的累加次数以及z变换都有相同的累加变量，分别提取后可以得到：

再将前面的公共累加部分提取，可以得到二次外插的多相结构：

结合CMFB表达式可以得到EIR-CMFB分析滤波器组的通道传递函数表达式：

其中E″_j(z^2M)为式子(1-22)的右部分，在CMFB的Nobel等效结构基础上，改变里面多相分支E′_j(z^2M)即可得到EIR-CMFB结构图。

本发明一种基于SOCP优化的EIR-CMFB结构的设计方法，即为一种基于二阶锥(SOCP)优化外插法设计余弦调制滤波器组(EIR-CMFB)结构的方法，带系数敏感性(CS)约束条件结合SOCP实现外插法的改良，可以在有效降低外插性能下降的同时避免由于二次外插系数数值精度在硬件实现取舍的损失，并在其基础上经过DCT调制得到EIR-CMFB。和传统的CMFB相比，该设计方法可以显著解决原型滤波器阶数过高的问题，保证滤波器过度带宽性能，降低系统复杂度，可以减少50％-80％的乘法器和加法器。

附图说明

图1为外插法流程图；

图2为CMFB流程图；

图3为EIR-CMFB的第m个多相分支流程图；

图4为EIR-CMFB方法设计的8通道各个通道频率响应。

具体实施方式

下面结合附图与具体实施方式对本发明作进一步详细描述：

本发明提供一种基于SOCP优化的EIR-CMFB结构的设计方法，采用该设计方法的原型滤波器能够在保持SOCP优化EIR性能，同时降低CMFB系统整体复杂度。

具体实施例如下，根据FIR滤波器系数旁瓣的拟周期性的特征，利用旁瓣扩展，用比较少的系数表征原型滤波器系数，比如用其中一个旁瓣通过线性比例表示得到所有的旁瓣，假设低通滤波器的脉冲响应序列h(n),n＝-N,-N+1…N-1,N,根据其正负交替划分各瓣抽头系数，假定该脉冲响应的主瓣宽度2M+1长，对应h(n)下标[-M,M]，其余R个瓣长度都相等，长度为d，对应系数下标分别为[M+id+1,M+(i+1)d],i＝0,1,2…R-1。N,R,d,M满足关系式：2N+1＝2M+1+2Rd，左右两边都为滤波器系数长度。

推导其z变换，零相位传递函数可得：

不妨取第一旁瓣系数作为基系数，后续旁瓣与第一旁瓣呈α_k(k＝1,2,3…R,α₁＝1)的近似比例关系。则相位传递函数H(z)可以近似为：

通过这个式子，可以得到外插法一次外插的结构图，如图1所示该结构只需要2M+1+2d+2R个乘法器以及2M+1+2R+2个加法器，远远小于直接型中的乘法器和加法器个数，从细节上来说，相当于每扩展一个旁瓣，节约d-1个乘法器。

第二次外插与第一次外插相似，设第一次外插旁瓣系数h₁(n),第二次外插旁瓣系数h₂(n),第一次外插旁瓣比例因子α_i(i＝1,2,3…R,α₁＝1)，第二次外插旁瓣比例因子β_j(j＝1,2,3…R,β₁＝1),，则滤波器频率响应可以表示为：

和第一次外插PCA求旁瓣基类似，第二次外插利用第一次外插后的残留误差进行PCA分析求得，但是在优化过程中，由于残留误差往往比较小，导致两次外插的抽头系数和比例因子不在一个数量级，导致第二次外插结果由于硬件的精度不够产生过大的数据偏差，直接影响滤波器整体性能，这就是所谓的有限字长效应。为了克服这样的有限字长效应，除了在一次外插使用的minima这个约束条件，额外增加了系数敏感性约束条件最后的得到的最优化表达式为：

上式它由五部分组成，主瓣向量h，第一次外插抽头系数向量h₁,比例因子向量α，第二次外插抽头系数向量h₂,比例因子β，分别对两个约束条件进行转换变形，先分析频响误差的约束式，由二次PCA分析得到比较好的初值假设当前在第k次迭代，对于非线性平滑的H(w,x),在x_k的领域内将其泰勒级数展开为：H(w,x_k+δ)＝H(w,x_k)+g_k ^T(w)δ+o(||δ||)，其中δ是x_k的极小领域区间，H(w,x_k)是在第k次迭代得到值，g_k(w)是H(w,x)在x_k点处的梯度，||δ||很小，在计算中可以忽略，令x＝x_k+δ，则minimax约束条件可以做如下处理：

其中表示梯度的加权，e_k(w)＝W(w)(H(w,x_k)-H_d(w))表示加权误差，在第k+1次迭代中e_k(w)可以有第k次迭代值计算得到。偶对称FIR滤波器系数表示成余弦函数求和方式，对H(w,x)求导最后可以得到g_k(w)表达式：

第二步是对系数敏感性约束条件分析，首先对S²表达式转换成二阶锥形式；

利用可以建立S²和x的关系式，单位向量矩阵与x的乘积表示；

由此可以把二阶锥形式变为；

其中B^T的表达式为：

因此最后得到的系数敏感性约束条件的二阶锥表达式为；

||B^Tx||≤d_cs (1-11)；

对x进行迭代x＝x_k+δ处理，并对步长δ约束使之足够小，最后得到带系数敏感性约束的SOCP优化EIR二次外插旁瓣抽头系数和比例因子表达式如下：

对于N_p阶的低通原型滤波器单位脉冲响应h_p(n)，传递函数H(z)，令：

二者相加后即可得到一个实系数调制滤波器：

对于余弦调制完全重构，分析滤波器组和综合滤波器组分别应该满足：

其中，m＝0,1,2…M-1,表示通道下标，共有M个通道，n＝0,1,2…N_p，下面讨论将余弦调制方式和多相分量结构结合构造滤波器组。不妨假设满足N_p+1＝2KM关系式，K个信道，2M个多相分量，对H_p(z)的多项分解可得：

采用类似方法对余弦调制分析滤波器组的每个子带滤波器传递函数H_m(z)多项分量分解：

再将其转变为矩阵形式可得：

变换矩阵C是由c_m,j表示的M×2M维度矩阵，根据公式(1-18)可以得到CMFB的结构，经过Nobel等效，改变重采样和滤波器顺序后的结构图如图2所示。

假设滤波器组的输出通道数M，对原型滤波器系数做2M倍抽取形成2M个多相分路，为保证外插法设计的原型滤波器在多相结构中旁瓣的线性比例约束关系，需要满足旁瓣和主瓣都能够被均匀抽取，因此主瓣长度为偶数，不存在单一的中间峰值，同时满足主瓣长度N_main＝4K_aM，外插旁瓣系数长度d＝2K_bM。满足这些系数长度约束后即可完成外插法设计DCT调制多相结构滤波器组的原型滤波器。

对于原型滤波器长度为N，满足上述约束条件，则有长度等式N＝2N_main+2Rd＝2RK_bM+2K_aM+2K_aM+2RK_bM，对滤波器系数划分成了四部分，按照顺序分别表示滤波器的左边旁瓣、主瓣的左右两部分以及滤波器的右边旁瓣。进行2M倍抽取形成多相结构，每个多相分支的系数长度N_poly＝N/2M＝RK_b+K_a+K_a+RK_b，且每个多相分支的旁瓣系数仍然保持比例关系，这是EIR-CMFB的核心原理。

为方便讨论，首先对滤波器的传递函数改写，分成四部分，且h(n)的第一个下标所对应的置为时间节点0处，重写的展开式子如下：

在公式(1-19)中，h_main表示主瓣的右半部分，观察可知四个累加项有着共同的累加次数以及z变换都有相同的累加变量，分别提取后可以得到：

再将前面的公共累加部分提取，可以得到二次外插的多相结构：

结合CMFB表达式可以得到EIR-CMFB分析滤波器组的通道传递函数表达式：

其中E″_j(z^2M)为式子(1-22)的右部分，在CMFB的Nobel等效结构基础上，改变里面多相分支E′_j(z^2M)即可得到EIR-CMFB结构图。

下面具体分析EIR-CMFB的多相分量，以第m个多相分支简单描述其硬件流程图，为方便描述，只采用一次外插，如图3所示h_{m_s}是外插旁瓣按照2M倍抽取，假设第一次外插旁瓣基系数h₁，则h_{m_s}(m)＝h₁(2Km+m),k＝0,1,2...K_b-1,同理h_{m_main}为主瓣的2M倍抽取的值，h_{m_main}(m)＝h_main(2Km+m),k＝0,l,2…K_a-1。二次外插的流程图区别在于图的左边和右边表示的外插旁瓣分量会有一个联合的第二组外插向量线性叠加，不改变一次外插的整体结构。

观察图3可知，对于EIR-CMFB的每个多相分支都是EIR设计的原型滤波器的2M倍抽取，包括两次外插旁瓣系数和主瓣系数，这也是为何这些系数长度满足2M倍数的原因，也就是说EIR-CMFB设计的滤波器组的复杂度将会和EIR设计的原型滤波器保持一个数量级，对于阶数为N_p的原型滤波器，EIR设计方法只需要2(N_main+2d+2R)个系数，可以看出，EIR-CMFB相比于传统CMFB在复杂度会有一个大的改善。

如图4所示，为本发明提出的新颖的EIR-CMFB的8通道输出频响图，从过渡带和阻带可以看出是符合滤波器组的要求的。

以上所述，仅是本发明的较佳实施例而已，并非是对本发明作任何其他形式的限制，而依据本发明的技术实质所作的任何修改或等同变化，仍属于本发明所要求保护的范围。

Claims (5)

1.一种基于SOCP优化的EIR-CMFB结构的设计方法，具体步骤如下，其特征在于：

步骤1：根据系统设计指标求取目标滤波器系数h(n)；

步骤2：根据系数h(n)的幅值规律，寻找其主瓣hL(n)长度2L，旁瓣长度d，旁瓣个数R；

步骤3：对所有旁瓣系数PCA分析得到第一次外插旁瓣系数h1(n)和外插比例α；

步骤4：在第一次外插的基础上对残留插值第二次PCA分析得到第二次外插旁瓣系数h2(n)和外插比例β；

步骤5：对上述L，h1(n)、α、h2(n)和β五个变量SOCP联合优化，通过内插0值改变hL(n)、h1(n)和h2(n)的长度，使L和d成为滤波器组通道M的倍数，在插零的基础上重新代入这个五个变量进行第二次SOCP迭代优化；

步骤6：对优化后的结果组合重新得到新的对进行M倍抽取，得到CMFB调制的M个通道的系数。

步骤7：求取CMFB通道比例系数，得到CMFB调制结构图。

2.根据权利要求1所述的一种基于SOCP优化的EIR-CMFB结构的设计方法，其特征在于：所述步骤1和步骤2具体步骤如下：

假设低通滤波器的脉冲响应序列h(n),n＝-N,-N+1…N-1,N,根据其正负交替划分各瓣抽头系数，假定该脉冲响应的主瓣宽度2M+1长，对应h(n)下标[-M,M]，其余R个瓣长度都相等，长度为d，对应系数下标分别为[M+id+1,M+(i+1)d],i＝0,1,2…R-1，N,R,d,M满足关系式：2N+1＝2M+1+2Rd，左右两边都为滤波器系数长度；

推导其z变换，零相位传递函数可得：

$\begin{array}{c}H\left(z\right)=\underset{n=-N}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}h\left(n\right)z^{-n}\\ =h\left(0\right)+\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}h\left(n\right)(z^n+z^{-n})\\ =\underset{n=-M}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}h\left(n\right)(z^n+z^{-n})+\underset{i=0}{\overset{R-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n=1}{\overset{d}{\mathrm{\Σ}}}h(M+id+n)(z^{M+id+n}+z^{-(M+id+n)})\end{array}---(1-1).$

3.根据权利要求1所述的一种基于SOCP优化的EIR-CMFB结构的设计方法，其特征在于：所述步骤3和步骤4具体步骤如下：

取第一旁瓣系数作为基系数，后续旁瓣与第一旁瓣呈α_k(k＝1,2,3…R,α₁＝1)的近似比例关系，则相位传递函数H(z)近似为：

$\hat{H}\left(z\right)=h\left(0\right)+\underset{n=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}h\left(n\right)(z^n+z^{-n})+\underset{i=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_i\underset{m=1}{\overset{d}{\mathrm{\Σ}}}h(M+m)(z^{M+m+(i-1)d}+z^{-(M+m+(i-1)d)})---(1-2);$

通过这个式子，得到外插法一次外插的结构图；

第二次外插与第一次外插相似，设第一次外插旁瓣系数h₁(n),第二次外插旁瓣系数h₂(n),第一次外插旁瓣比例因子α_i(i＝1,2,3…R,α₁＝1)，第二次外插旁瓣比例因子β_j(j＝1,2,3…R,β₁＝1),，则滤波器频率响应可以表示为：

$\begin{array}{c}H\left(z\right)\≈\hat{H}\left(z\right)=h\left(0\right)+\underset{n=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}h\left(n\right)(z^n+z^{-n})+\underset{i=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_i\underset{m=1}{\overset{d}{\mathrm{\Σ}}}{h}_1\left(m\right)(z^{M+m+(i-1)d}+z^{-(M+m+(i-1)d)})\\ +\underset{j=0}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}\underset{k=1}{\overset{d}{\mathrm{\Σ}}}{h}_2\left(k\right)(z^{M+k+(j-1)d}+z^{-(M+k+(j-1)d)})\end{array}---(1-3).$

4.根据权利要求1所述的一种基于SOCP优化的EIR-CMFB结构的设计方法，其特征在于：所述步骤5具体步骤如下：

和第一次外插PCA求旁瓣基类似，第二次外插利用第一次外插后的残留误差进行PCA分析求得，为了克服这样的有限字长效应，除了在一次外插使用的minima这个约束条件，额外增加了系数敏感性约束条件最后的得到的最优化表达式为：

$\begin{array}{cc}\underset{x}{\min imise}& \mathrm{\η}\\ subjectto:& W\left(w\right)|H(w,x)-H_d\left(w\right)|\≤\mathrm{\η}\\ & S^2\≤d_{cs}^2\end{array}---(1-4);$

上式它由五部分组成，主瓣向量h，第一次外插抽头系数向量h₁,比例因子向量α，第二次外插抽头系数向量h₂,比例因子β，分别对两个约束条件进行转换变形，先分析频响误差的约束式，由二次PCA分析得到比较好的初值假设当前在第k次迭代，对于非线性平滑的H(w,x),在x_k的领域内将其泰勒级数展开为：H(w,x_k+δ)＝H(w,x_k)+g_k ^T(w)δ+o(||δ||)，其中δ是x_k的极小领域区间，H(w,x_k)是在第k次迭代得到值，g_k(w)是H(w,x)在x_k点处的梯度，||δ||很小，在计算中可以忽略，令x＝x_k+δ，则minimax约束条件可以做如下处理：

$\begin{array}{c}W\left(w\right)|H(w,x)-H_d\left(w\right)|\\ \≈W\left(w\right)|g_k^T\left(w\right)\mathrm{\δ}+H(w,x_k)-H_d\left(w\right)|\\ =|W\left(w\right)g_k^T\left(w\right)\mathrm{\δ}+W\left(w\right)\left(H\right(w,x_k)-H_d\left(w\right))|\\ =|g_{rk}^T\left(w\right)\mathrm{\δ}+e_k\left(w\right)|\end{array}---(1-5);$

其中表示梯度的加权，e_k(w)＝W(w)(H(w,x_k)-H_d(w))表示加权误差，在第k+1次迭代中e_k(w)可以有第k次迭代值计算得到，偶对称FIR滤波器系数表示成余弦函数求和方式，对H(w,x)求导最后可以得到g_k(w)表达式：

$g_k\left(w\right)=\left\{\begin{array}{cc}1& n=0\\ 2cos\left(nw\right)& n=1...M\\ 2\underset{r=0}{\overset{R-1}{\Σ}}\mathrm{\α}\left(r\right)cos\left(\right(M+rd+i\left)w\right)& i=1...d\\ 2\underset{i=1}{\overset{R-1}{\Σ}}{h}_1\left(i\right)cos\left(\right(M+rd+i\left)w\right)& r=1...R\\ 2\underset{r=0}{\overset{R-1}{\Σ}}\mathrm{\β}\left(r\right)cos\left(\right(M+rd+i\left)w\right)& i=1...d\\ 2\underset{r=0}{\overset{R-1}{\Σ}}h2\left(i\right)cos\left(\right(M+rd+i\left)w\right)& r=1....R\end{array}\right.---(1-6);$

第二步是对系数敏感性约束条件分析，首先对S²表达式转换成二阶锥形式；

$S^2=||\begin{array}{c}\sqrt{2R}{h}_1\\ \sqrt{2R}{h}_2\\ \sqrt{2d}\mathrm{\α}\\ \sqrt{2d}\mathrm{\β}\end{array}||---(1-7);$

利用可以建立S²和x的关系式，单位向量矩阵与x的乘积表示；

$\begin{array}{c}{h}_1=\left[\begin{array}{ccccc}0& I_{d*d}& 0& 0& 0\end{array}\right]x=J_{1}x\\ h_2=\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& I_{d*d}& 0\end{array}\right]x=J_{2}x\\ \mathrm{\α}=\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& I_{R*R}& 0& 0\end{array}\right]x=J_{3}x\\ \mathrm{\β}=\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& I_{R*R}\end{array}\right]x=J_{4}x\end{array}---(1-8);$

由此可以把二阶锥形式变为；

$\left[\begin{array}{c}\sqrt{2R}{h}_1\\ \sqrt{2R}{h}_2\\ \sqrt{2d}\mathrm{\α}\\ \sqrt{2d}\mathrm{\β}\end{array}\right]=B^{T}x---(1-9);$

其中B^T的表达式为：

$B^T=\left[\begin{array}{c}\sqrt{2R}{J}_1\\ \sqrt{2R}{J}_2\\ \sqrt{2d}{J}_3\\ \sqrt{2d}{J}_4\end{array}\right]---(1-10);$

因此最后得到的系数敏感性约束条件的二阶锥表达式为；

||B^Tx||≤d_cs (1-11)；

对x进行迭代x＝x_k+δ处理，并对步长δ约束使之足够小，最后得到带系数敏感性约束的SOCP优化EIR二次外插旁瓣抽头系数和比例因子表达式如下：

$\begin{array}{cc}\min mize& \mathrm{\η}\\ subjectto:& \left|\right|g_{rk}\left(w\right)\mathrm{\δ}+e_k\left(w\right)\left|\right|\≤\mathrm{\η}\\ & \left|\right|\mathrm{\δ}\left|\right|\≤d_{\mathrm{\δ}}\\ & \left|\right|B^T(x+\mathrm{\δ})\left|\right|\≤d_{cs}\\ & forw\∈\mathrm{\Ω}\end{array}---(1-12);$

对于N_p阶的低通原型滤波器单位脉冲响应h_p(n)，传递函数H(z)，令：

$h_0^{+}\left(n\right)=h_p\left(n\right)e^{\frac{j\mathrm{\π}n}{2M}},h_0^{-}\left(n\right)=h_p\left(n\right)e^{-\frac{j\mathrm{\π}n}{2M}}---(1-13);$

二者相加后即可得到一个实系数调制滤波器：

$h_0\left(n\right)=h_0^{+}\left(n\right)+h_0^{-}\left(n\right)=2h_p\left(n\right)cos\left(\frac{\mathrm{\π}n}{2M}\right)---(1-14);$

对于余弦调制完全重构，分析滤波器组和综合滤波器组分别应该满足：

$\begin{array}{c}{h}_m\left(n\right)=2h_p\left(n\right)\[\frac{(2m+1)(n-N_p/2)\mathrm{\π}}{2M}+{(-1)}^m\frac{\mathrm{\π}}{4}\]\\ f_m\left(n\right)=2h_p\left(n\right)\[\frac{(2m+1)(n-N_p/2)\mathrm{\π}}{2M}-{(-1)}^m\frac{\mathrm{\π}}{4}\]\end{array}---(1-15).$

5.根据权利要求1所述的一种基于SOCP优化的EIR-CMFB结构的设计方法，其特征在于：所述步骤6和步骤7具体步骤如下：

其中，m＝0,1,2…M-1,表示通道下标，共有M个通道，n＝0,1,2…N_p，将余弦调制方式和多相分量结构结合构造滤波器组，假设满足N_p+1＝2KM关系式，K个信道，2M个多相分量，对H_p(z)的多项分解可得：

$\begin{array}{c}{H}_p\left(z\right)=\underset{j=0}{\overset{2M-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{k=0}{\overset{K-1}{\mathrm{\Σ}}}h(2Mk+j)z^{-(2Mk+j)}\\ =\underset{j=0}{\overset{2M-1}{\mathrm{\Σ}}}{z}^{-j}\underset{k=0}{\overset{K-1}{\mathrm{\Σ}}}{h}_p(2Mk+j)z^{-2Mk}\\ =\underset{j=0}{\overset{2M-1}{\mathrm{\Σ}}}{z}^{-j}{E}_j\left(z^{2M}\right)\end{array}---(1-16);$

采用类似方法对余弦调制分析滤波器组的每个子带滤波器传递函数H_m(z)多项分量分解：

$\begin{array}{c}{H}_m\left(z\right)=\underset{n=0}{\overset{Np}{\mathrm{\Σ}}}{h}_m\left(n\right)z^{-n}\\ =\underset{j=0}{\overset{2M-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{k=0}{\overset{K-1}{\mathrm{\Σ}}}{h}_m(2kM+j)z^{-(2Mk+j)}\\ =\underset{j=0}{\overset{2M-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{k=0}{\overset{K-1}{\mathrm{\Σ}}}2hp(2kM+j)cps\[\frac{(2m+1)(2kM+j-\frac{N_p}{2})\mathrm{\π}}{2M}+{(-1)}^m\frac{\mathrm{\π}}{4}\]z^{-(2kM+j)}\\ =\underset{j=0}{\overset{2M-1}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{m,j}{z}^{-j}\underset{k=0}{\overset{K-1}{\mathrm{\Σ}}}{(-1)}^{k}h(2kM+j)z^{-2M}\\ =\underset{j=0}{\overset{2M-1}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{m,j}{z}^{-j}{E}_j^{\′}\left(z^{2M}\right)\end{array}---(1-17);$

再将其转变为矩阵形式可得：

$\left[\begin{array}{c}{H}_0\left(z\right)\\ H_1\left(z\right)\\ .\\ .\\ .\\ H_{M-1}\left(z\right)\end{array}\right]=C\left[\begin{array}{c}{E}_0\left(z^{-2M}\right)\\ z^{-1}{E}_1\left(z^{-2M}\right)\\ .\\ .\\ .\\ z^{-(2M-1)}{E}_{2M-1}\left(z^{-2M}\right)\end{array}\right]---(1-18);$

变换矩阵C是由c_m,j表示的M×2M维度矩阵，根据公式(1-18)可以得到CMFB的结构，经过Nobel等效，改变重采样和滤波器顺序后的结构图；

假设滤波器组的输出通道数M，对原型滤波器系数做2M倍抽取形成2M个多相分路，为保证外插法设计的原型滤波器在多相结构中旁瓣的线性比例约束关系，需要满足旁瓣和主瓣都能够被均匀抽取，因此主瓣长度为偶数，不存在单一的中间峰值，同时满足主瓣长度N_main＝4K_aM，外插旁瓣系数长度d＝2K_bM，满足这些系数长度约束后即可完成外插法设计DCT调制多相结构滤波器组的原型滤波器；

对于原型滤波器长度为N，满足上述约束条件，则有长度等式N＝2N_main+2Rd＝2RK_bM+2K_aM+2K_aM+2RK_bM，对滤波器系数划分成了四部分，按照顺序分别表示滤波器的左边旁瓣、主瓣的左右两部分以及滤波器的右边旁瓣，进行2M倍抽取形成多相结构，每个多相分支的系数长度N_poly＝N/2M＝RK_b+K_a+K_a+RK_b，且每个多相分支的旁瓣系数仍然保持比例关系，这是外插法元型滤波器组的核心原理；

首先对滤波器的传递函数改写，分成四部分，且h(n)的第一个下标所对应的置为时间节点0处，重写的展开式子如下：

$\begin{array}{c}{H}_p\left(z\right)=\underset{m=0}{\overset{2K_{b}M-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=0}{\overset{R-1}{\mathrm{\Σ}}}\left({\mathrm{\α}}_{R-i}{h}_1\right(2K_{b}M-m)+{\mathrm{\β}}_{R-i}{h}_2(2K_{b}M-m\left)\right)z^{(-2{\mathrm{iK}}_{b}M+m)}\\ +\underset{n=0}{\overset{2K_{a}M-1}{\mathrm{\Σ}}}{h}_{main}(2K_{a}M-n)z^{(-2K_{b}MR+n)}\\ +\underset{n=0}{\overset{2K_{a}M-1}{\mathrm{\Σ}}}{h}_{main}\left(n\right)z^{(-2K_{b}MR+2K_{a}M+n)}\\ +\underset{m=0}{\overset{2K_{b}M-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=0}{\overset{R-1}{\mathrm{\Σ}}}\left({\mathrm{\α}}_i{h}_1\right(i)+{\mathrm{\β}}_i{h}_2(i\left)\right)z^{(-2K_{b}MR+4K_{a}M+2{\mathrm{iK}}_{b}M+m)}\end{array}---(1-19);$

在公式(1-19)中，h_main表示主瓣的右半部分，观察可知四个累加项有着共同的累加次数以及z变换都有相同的累加变量，分别提取后可以得到：

$\begin{array}{c}{H}_p\left(z\right)=\underset{j=0}{\overset{2M-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{m=0}{\overset{K_b-1}{\mathrm{\Σ}}}{z}^{-(2Mm+j)}\underset{i=0}{\overset{R-1}{\mathrm{\Σ}}}\left({\mathrm{\α}}_{R-i}{h}_1\right(2K_{b}M-\left(2Mm-j\right))+{\mathrm{\β}}_{R-i}{h}_2(2K_{b}M-2Mm-j\left)\right)z^{-2M\left({\mathrm{iK}}_b\right)}\\ +\underset{j=0}{\overset{2M-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n=0}{\overset{K_a-1}{\mathrm{\Σ}}}{z}^{-(2Mn+j)}{h}_{main}(2K_{a}M-(2Mn+j\left)\right)z^{-2M\left(K_{b}R\right)}\\ +\underset{j=0}{\overset{2M-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n=0}{\overset{K_a-1}{\mathrm{\Σ}}}{z}^{-(2Mn+j)}{h}_{main}(2Mn+j)z^{-2M(K_{b}R+K_a)}\\ +\underset{j=0}{\overset{2M-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{m=0}{\overset{K_b-1}{\mathrm{\Σ}}}{z}^{-(2Mm+j)}\underset{i=0}{\overset{R-1}{\mathrm{\Σ}}}\left({\mathrm{\α}}_i{h}_1\right(i)+{\mathrm{\β}}_i{h}_2(i\left)\right)z^{-2M(K_{b}R+K_a+{\mathrm{iK}}_b)}\end{array}---(1-20);$

再将前面的公共累加部分提取，可以得到二次外插的多相结构：

$\begin{array}{c}{H}_p\left(z\right)=\underset{j=0}{\overset{2M-1}{\mathrm{\Σ}}}{z}^{-j}\[\underset{m=0}{\overset{K_b-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=0}{\overset{R-1}{\mathrm{\Σ}}}\left({\mathrm{\α}}_{R-i}{h}_1\right(2K_{b}M-\left(2Mm+j\right))+{\mathrm{\β}}_{R-i}{h}_2(2K_{b}M-2Mm-j\left)\right)z^{-2M({\mathrm{iK}}_b+m)})\\ +\underset{n=0}{\overset{K_a-1}{\mathrm{\Σ}}}{h}_{main}(2K_{a}M-(2Mn+j\left)\right)z^{-2M(K_{b}R+n)}\\ +\underset{n=0}{\overset{K_a-1}{\mathrm{\Σ}}}{h}_{main}(2Mn+j)z^{-2M(K_{b}R+K_a+n)}\\ +\underset{m=0}{\overset{K_b-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=0}{\overset{R-1}{\mathrm{\Σ}}}\left({\mathrm{\α}}_i{h}_1\right(i)+{\mathrm{\β}}_i{h}_2(i\left)\right)z^{-2M(K_{b}R+K_a+{\mathrm{iK}}_b+m)}\]\end{array}---(1-21);$

结合CMFB表达式可以得到EIR-CMFB分析滤波器组的通道传递函数表达式：

$H_m\left(z\right)=\underset{j=0}{\overset{2M-1}{\Σ}}{c}_{m,j}{z}^{-j}{E}_j^{\′\′}\left(z^{2M}\right)---(1-22);$

其中E″_j(z^2M)为式子(1-22)的右部分，在CMFB的Nobel等效结构基础上，改变里面多相分支E'_j(z^2M)即可得到EIR-CMFB结构图。