CN110365314A - 具有稀疏系数的可分离二维fir滤波器的设计方法 - Google Patents

具有稀疏系数的可分离二维fir滤波器的设计方法 Download PDF

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    • H03H2017/0081—Theoretical filter design of FIR filters

Abstract

本发明提供一种具有稀疏系数的可分离二维FIR滤波器的设计方法，其涉及一种迭代重加权l1范数与贪婪搜索技术结合的稀疏算法。本发明不同于以往的方法，首次在可分离二维FIR滤波器的设计中使用了稀疏算法，由于可分离二维FIR滤波器的频率响应函数是一个非凸问题，l1范数法无法直接运用，因此，本发明采取通过固定某些系数，同时最大化其余系数中零值系数的数量，解决了这一问题。本发明的优点是降低了二维FIR滤波器实现的硬件复杂度，提高了信号处理效率，并在设计过程中融合了信赖域迭代梯度搜索技术，使得滤波器的系数更为精确，所获得的滤波器性能指标更具有优越性。

Description

具有稀疏系数的可分离二维FIR滤波器的设计方法
技术领域
本发明属于数字信号处理技术领域，具体涉及一种基于迭代重加权范数与贪婪搜索技术结合的可分离二维FIR稀疏滤波器的设计方法。
背景技术
二维FIR数字滤波器作为二维数字信号处理的重要组成部分，已经被广泛应用于医学图像处理、卫星图像处理、雷达、声纳以及地震信号处理等很多方面。然而二维FIR滤波器具有硬件执行复杂度(FIR滤波器的硬件执行复杂度通常用硬件实现时所需的乘法器和加法器数目衡量)高和群延时高的显著缺点，尤其当数字滤波器频域性能要求较高时，二维FIR数字滤波器硬件执行复杂度高的问题尤为突出。
近年来，为降低二维FIR滤波器的硬件执行复杂度，国内外研究者提出了诸多设计方法，如McClellan变换方法、频罩法、可分离的二维(FIR)滤波器设计方法以及系数稀疏化设计方法等。其中McClellan变换方法由Mersereau等人首次提出，该方法属于频率变化法，其思想是进行一维到二维的转换，也就是先设计出一个一维FIR滤波器，再通过McClellan变换转化成二维FIR滤波器。频罩法由Lim等人首次提出，该方法通过构造一个滤波器网络，包含一个边带形成滤波器和两个掩蔽滤波器，其特有的结构能够有效地降低滤波器设计的复杂度。可分离的二维(FIR)滤波器设计由Treitel和Shanks于1971首次提出，该方法利用矩阵的奇异值分解(SVD)设计低硬件执行复杂度二维(FIR)滤波器。系数稀疏化设计方法首先应用在一维FIR滤波器的系数稀疏化设计上，后被应用在二维FIR滤波器的系数稀疏化设计上。求解稀疏解实质上是一个0范数最大化问题，然而这是一个NP-Hard的问题。求解稀疏问题早期主要通过下面几种算法：匹配追踪(MP)，正交匹配追踪(OMP)等贪婪算法。后来，Donoho和Candes等人提出了压缩感知(CS)的概念求解稀疏问题，其中比较重要的思想就是用1范数近似0范数。在FIR稀疏滤波器设计中，将这种近似思想与Minimum-increase或Smallest-coefficient稀疏准则结合起来，用来增加滤波器0系数的个数直至满足一定的要求。
发明内容
本发明针对现有技术的不足，提出了一种基于迭代重加权范数与贪婪搜索技术相结合的可分离二维FIR稀疏滤波器的设计方法。
本发明具体如下：
步骤一、根据设计要求，确定滤波器的基本参数，包括二维FIR滤波器的类型、阶数N、频率点数Γ，通带截止频率ωp，阻带截止频率ωs，设计出可分离的二维FIR滤波器原型，称之为原型滤波器。
设计的可分离二维FIR滤波器的脉冲响应系数矩阵描述如式(1)。
其中列向量ri和si是一维FIR子滤波器的脉冲响应，ri尺寸大小为2·N1+1或2·N1，si尺寸大小为2·N2+1或2·N2，其中N1＝N2＝N/2或N1＝N2＝N-1/2，K是并行结构的数量。为保证滤波器是线性相位，这些列向量满足中心对称或者反中心对称，所以只需要考虑ri和si列向量中的一半元素，分别记为
ri_half＝[ri(N1+1)ri(N1+2)…ri(2·N1+1or 2·N1)]T (2)
si_half＝[si(N2+1)si(N2+1)…si(2·N2+1or 2·N2)]T，i＝1,2,...,K (3)
所设计具有线性相位的可分离二维FIR滤波器的每个频率点的响应见式(4)。
式(4)中ωl是感兴趣的频率点， 所要设计的可分离二维FIR滤波器系数向量记为x，定义如下：x＝[r1_half T r2_half T ... rK_half T s1_half T s2_half T ... sK_half T]T。
步骤二、使用信赖域迭代梯度搜索(TR-IGS)技术优化原型滤波器中的系数向量x。
2-1.确定求解目标函数及约束条件。
根据式(4)二维可分离FIR滤波器的整体频率响应为H(ω|x)＝[H(ω1|x)H(ω2|x)...H(ωΓ|x)]T，ωl是感兴趣的频率点，l＝1,2,...,Γ，记理想滤波器的频率响应为Hd(ω)＝[Hd(ω1) Hd(ω2) ... Hd(ωΓ)]T。记w＝[w(ω1) w(ω2) ... w(ωΓ)]T为权重向量。采用最大误差最小化(也称)设计准则，使用TR-IGS优化系数向量x见式(5)。
Subject to:||w·(H(ω|x)-Hd(ω))||∞≤δ (5.b)
式(5)中，||·||∞无穷范数运算，xv指的是x中的非0和非1的元素，“·”指两向量中逐元素相乘，δ指通带、阻带中最大峰值纹波误差。
2-2.求解H(ω|x)的雅克比矩阵(梯度矩阵)G(x)。
式(6)中，M为x的长度，若x(e)＝0，e＝1,2,...,M，则令
2-3.求解H(ω|x)的一阶泰勒近似，见式(7)。
式(7)中，xI是x的初始值，是x＝xI时沿G(xI)下降的步长，若x(e)＝0，则令ε是一个正实数，可根据实际系数情况进行取值。将式(7)代入式(5)中，将问题(5)转化成凸规划问题(8)。
2-4.求解凸规划问题(8)。
记j为迭代次数，初始值j＝0，xI (j)＝x，根据式(6)求出此时的G(xI (j))，代入式(8)并进行求解，求出的解记为然后求出新的并将此时的x(j+1)作为第j+1迭代的初始值xI (j+1)重复上述求解过程，直到x不能进一步优化或不再满足式(8)的约束条件或达到最大迭代次数。
步骤三、设计迭代重加权范数(IRL1)算法稀疏优化上一步得到的x，获得更多稀疏系数。
可分离二维FIR滤波器的0系数最大化，见式(9)。
Subject to:||w·(H(ω|x)-Hd(ω))||∞≤δ (9.b)
式(9)中||·||0是0范数运算，是一个NP-Hard问题，求解问题(9)存在两种方式：固定ri_half，最大化si_half中的0系数个数；固定si_half，最大化ri_half中的0系数个数。采取第一种求解方式，令xs＝[s1_half T s2_half T ... sK_half T]，记xs_v为xs中的非0和非1元素。Ψ和Ψs分别是x和xs的0系数的集合。记列向量α为xs_v的权重。记
记g为迭代次数，g的初始值为0，令x、xv、xs、xs_v、Ψs、α的初始化值为x(0)，xv (0)，xs (0)，xs_v (0)，Ψs (0)和α(0)＝1。由此，迭代重加权范数(IRL1)算法的设计为：
3-1.将式(9)转化成凸规划问题(13)，并进行求解。
Subject to:||w·(D(ω)·xs-Hd(ω))||∞≤δimposed (13.b)
式(13.a)中，||·||1表示1范数运算，μ是一个权重因子，满足0＜μ＜＜1，δimposed为设计所要求的最大纹波误差。
3-2.式(13)的解为xs_v *，令xs_v *中绝对值小于εcof_bound的所有系数被强制为零，0＜εcof_bound＜＜1。因此，获得了新的xs_v (g)系数和Ψs (g)，同时根据xs_v (g)和Ψs (g)，又可以获得新的xs (g)、x(g)和xv (g)。
3-3.更新变量系数权重α，α(g+1)中第k个元素的计算公式见(14)。
式(14)中σ是一个很小的正实数，满足0＜σ＜＜1，xs_v (g)(k)表示xs_v (g)的第k个元素。
3-4.若g达到最大迭代次数或式(13.b)中的约束条件不满足，则结束迭代；否则g＝g+1，重复上述3-1到3-3。
步骤四、对步骤三得到的x再次用TR-IGS技术进行系数优化。
此步骤求解同步骤二，其中在2-4中，xI的取值为步骤三得到的x。
步骤五、使用贪婪搜索算法进一步稀疏优化步骤四得到的x，且每次贪婪搜索结束后，使用TR-IGS技术优化一次，最终设计出具有稀疏系数的可分离二维FIR滤波器。
5-1.令迭代次数为s，s的初始值为0，求解凸规划问题(15)。
Subject to:||w·(H(ω|x)-Hd(ω))||∞≤δimposed (15.b)
5-2.将求解出的xv (s)中的绝对值最小的元素逼迫为0，获得新的xv (s)、x(s)和Ψ(s)。并使用TR-IGS技术优化x(s)，方法同步骤二，其中在2-4中，xI的取值为5-1得到的x(s)。
5-3.若达到最大迭代次数或式(15.b)中的约束条件不满足，则结束迭代；否则s＝s+1，重复5-1和5-2。
本发明具有的有益效果是：
本发明可以在可分离的二维FIR滤波器结构下，进一步减少所要设计的系数个数，从而进一步降低二维FIR滤波器实现的硬件复杂度，并且提高信号处理效率。并且本发明融合了TR-IGS系数优化算法，在不影响滤波器稀疏度的情况下，使得滤波器的系数更为精确，所获得的滤波器性能指标更具有优越性。
附图说明
图1为本发明的总体设计流程框图。
图2为可分离二维FIR滤波器的结构图。
图3为(a)-(d)为不同阶数的可分离二维FIR圆型稀疏滤波器的频率响应图。
图4为(a)-(d)为不同阶数的可分离二维FIR钻石型稀疏滤波器的频率响应图。
具体实施方式
以下结合附图对本发明作进一步说明。
如图1所示，具有稀疏系数的可分离二维FIR滤波器的设计方法的具体步骤如下：
步骤一、根据设计要求，确定滤波器的基本参数，包括二维FIR滤波器的类型、阶数N、频率点数Γ，通带截止频率ωp，阻带截止频率ωs，设计出可分离的二维FIR滤波器原型，称之为原型滤波器，可分离二维FIR滤波器的结构如图2所示；
设计的可分离二维FIR滤波器的脉冲响应系数矩阵描述如式(1)。
其中列向量ri和si是一维FIR子滤波器的脉冲响应，ri尺寸大小为2·N1+1或2·N1，si尺寸大小为2·N2+1或2·N2，其中N1＝N2＝N/2或N1＝N2＝N-1/2，K是并行结构的数量。为保证滤波器是线性相位，这些列向量满足中心对称或者反中心对称，所以只需要考虑ri和si列向量中的一半元素，分别记为
ri_half＝[ri(N1+1) ri(N1+2) … ri(2·N1+1or 2·N1)]T (2)
si_half＝[si(N2+1) si(N2+1) … si(2·N2+1or 2·N2)]T，i＝1,2,...,K(3)
所设计具有线性相位的可分离二维FIR滤波器的每个频率点的响应见式(4)。
式(4)中ωl是感兴趣的频率点， 所要设计的可分离二维FIR滤波器系数向量记为x，定义如下：x＝[r1_half T r2_half T ... rK_half T s1_half T s2_half T ... sK_half T]T。
步骤二、使用信赖域迭代梯度搜索(TR-IGS)技术优化原型滤波器中的系数向量x。
2-1.确定求解目标函数及约束条件。
根据式(4)二维可分离FIR滤波器的整体频率响应为H(ω|x)＝[H(ω1|x) H(ω2|x) ... H(ωΓ|x)]T，ωl是感兴趣的频率点，l＝1,2,...,Γ，记理想滤波器的频率响应为Hd(ω)＝[Hd(ω1) Hd(ω2) ... Hd(ωΓ)]T。记w＝[w(ω1) w(ω2) ... w(ωΓ)]T为权重向量。采用最大误差最小化(也称)设计准则，使用TR-IGS优化系数向量x见式(5)。
Subject to:||w·(H(ω|x)-Hd(ω))||∞≤δ (5.b)
式(5)中，||·||∞无穷范数运算，xv指的是x中的非0和非1的元素，“·”指两向量中逐元素相乘，δ指通带、阻带中最大峰值纹波误差。
2-2.求解H(ω|x)的雅克比矩阵(梯度矩阵)G(x)。
式(6)中，M为x的长度，若x(e)＝0，e＝1,2,…,M，则令
2-3.求解H(ω|x)的一阶泰勒近似，见式(7)。
式(7)中，xI是x的初始值，是x＝xI时沿G(xI)下降的步长，若x(e)＝0，则令ε是一个正实数，可根据实际系数情况进行取值。将式(7)代入式(5)中，将问题(5)转化成凸规划问题(8)。
2-4.求解凸规划问题(8)。
记j为迭代次数，初始值j＝0，xI (j)＝x，根据式(6)求出此时的G(xI (j))，代入式(8)并进行求解，求出的解记为然后求出新的并将此时的x(j+1)作为第j+1迭代的初始值xI (j+1)重复上述求解过程，直到x不能进一步优化或不再满足式(8)的约束条件或达到最大迭代次数。
步骤三、设计迭代重加权范数(IRL1)算法稀疏优化上一步得到的x，获得更多稀疏系数。
可分离二维FIR滤波器的0系数最大化，见式(9)。
Subject to:||w·(H(ω|x)-Hd(ω))||∞≤δ (9.b)
式(9)中||·||0是0范数运算，是一个NP-Hard问题，求解问题(9)存在两种方式：固定ri_half，最大化si_half中的0系数个数；固定si_half，最大化ri_half中的0系数个数。采取第一种求解方式，令xs＝[s1_half T s2_half T ... sK_half T]，记xs_v为xs中的非0和非1元素。Ψ和Ψs分别是x和xs的0系数的集合。记列向量α为xs_v的权重。记
记g为迭代次数，g的初始值为0，令x、xv、xs、xs_v、Ψs、α的初始化值为x(0)，xv (0)，xs (0)，xs_v (0)，Ψs (0)和α(0)＝1。由此，迭代重加权范数(IRL1)算法的设计为：
3-1.将式(9)转化成凸规划问题(13)，并进行求解。
Subject to:||w·(D(ω)·xs-Hd(ω))||∞≤δimposed (13.b)
式(13.a)中，||·||1表示1范数运算，μ是一个权重因子，满足0＜μ＜＜1，δimposed为设计所要求的最大纹波误差。
3-2.式(13)的解为xs_v *，令xs_v *中绝对值小于εcof_bound的所有系数被强制为零，0＜εcof_bound＜＜1。因此，获得了新的xs_v (g)系数和Ψs (g)，同时根据xs_v (g)和Ψs (g)，又可以获得新的xs (g)、x(g)和xv (g)。
3-3.更新变量系数权重α，α(g+1)中第k个元素的计算公式见(14)。
式(14)中σ是一个很小的正实数，满足0＜σ＜＜1，xs_v (g)(k)表示xs_v (g)的第k个元素。
3-4.若g达到最大迭代次数或式(13.b)中的约束条件不满足，则结束迭代；否则g＝g+1，重复上述3-1到3-3。
步骤四、对步骤三得到的x再次用TR-IGS技术进行系数优化。
此步骤求解同步骤二，其中在2-4中，xI的取值为步骤三得到的x。
步骤五、使用贪婪搜索算法进一步稀疏优化步骤四得到的x，且每次贪婪搜索结束后，使用TR-IGS技术优化一次，最终设计出具有稀疏系数的可分离二维FIR滤波器。
5-1.令迭代次数为s，s的初始值为0，求解凸规划问题(15)。
Subject to:||w·(H(ω|x)-Hd(ω))||∞≤δimposed (15.b)
5-2.将求解出的xv (s)中的绝对值最小的元素逼迫为0，获得新的xv (s)、x(s)和Ψ(s)。并使用TR-IGS技术优化x(s)，方法同步骤二，其中在2-4中，xI的取值为5-1得到的x(s)。
5-3.若达到最大迭代次数或式(15.b)中的约束条件不满足，则结束迭代；否则s＝s+1，重复5-1和5-2。
为了本发明的有效性，对本发明进行了计算机模拟仿真。
实例1.设计一个四分之一对称的圆型二维FIR滤波器，理想的频率响应如下：
其中ωp＝0.5·π，ωs＝0.7·π，滤波器的阶数分别为N＝11×11、17×17、23×23及29×29阶，N1和N2满足对于不同的阶数，频率采样点数Γ依次取值为1521、1521、1521及1225；K的取值依次为4,、5、5及6。步骤二的参数ε＝0.15，迭代次数为10。步骤三的参数εcof_bound＝0.0001，参数σ＝0.0001，迭代次数为15。对于不同阶数的滤波器，步骤五的迭代次数依次为3、1、4及2。表1为设计的具有稀疏系数的可分离FIR圆型滤波器的结果以及相应的设计参数。频率响应如图3(a)-(d)所示；
表1可分离的二维FIR圆型稀疏滤波器的设计结果
注：原型滤波器+TR-IGS经过步骤二得到的滤波器；设计的滤波器指步骤五(最终)得到的滤波器。δ为相应的实际滤波器的设计误差，δimposed为要求的误差门限。系数稀疏度的计算公式为Num普通二维FIR滤波器的系数＝(N1+1)·(N2+1)。
实例2.设计一个四分之一对称的钻石型二维FIR滤波器，理想的频率响应如下：
其中ωp＝0.6·π，ωs＝π，滤波器的阶数分别为N＝11×11、17×17、23×23及29×29阶，N1和N2满足对于不同的阶数，频率采样点数Γ依次取值为1521、1521、1521及1521；K的取值依次为5,、5、5及6。步骤二的参数ε＝0.15，迭代次数为10。步骤三的参数εcof_bound＝0.0001，参数σ＝0.0001，迭代次数为15。对于不同阶数的滤波器，步骤五的迭代次数依次为2、4、1及1。表2为设计的具有稀疏系数的可分离FIR钻石型滤波器的结果以及相应的设计参数。频率响应如图4(a)-(d)所示；
表2可分离的二维FIR钻石型稀疏滤波器的设计结果
从表1和表2中可以看出，本发明所设计的具有稀疏系数的可分离二维FIR滤波器，在相同误差标准下，其需要设计的系数个数明显少于普通二维FIR滤波器需要设计的系数个数，且也少于可分离结构下的滤波器的系数个数，从而降低了二维FIR滤波器的硬件实现复杂度。

Claims (1)

1.具有稀疏系数的可分离二维FIR滤波器的设计方法，其特征在于，该方法具体包括以下步骤：
步骤一、根据设计要求，确定滤波器的基本参数，包括二维FIR滤波器的类型、阶数N、频率点数Γ，通带截止频率ωp，阻带截止频率ωs，设计出可分离的二维FIR滤波器原型，称之为原型滤波器；
设计的可分离二维FIR滤波器的脉冲响应系数矩阵描述如式(1)；
其中列向量ri和si是一维FIR子滤波器的脉冲响应，ri尺寸大小为2·N1+1或2·N1，si尺寸大小为2·N2+1或2·N2，其中N1＝N2＝N/2或N1＝N2＝N-1/2，K是并行结构的数量；为保证滤波器是线性相位，这些列向量满足中心对称或者反中心对称，所以只需要考虑ri和si列向量中的一半元素，分别记为
ri_half＝[ri(N1+1) ri(N1+2) … ri(2·N1+1 or 2·N1)]T
(2)si_half＝[si(N2+1) si(N2+1) … si(2·N2+1 or 2·N2)]T，i＝1,2,...,K (3)
所设计具有线性相位的可分离二维FIR滤波器的每个频率点的响应见式(4)；
式(4)中ωl是感兴趣的频率点， 所要设计的可分离二维FIR滤波器系数向量记为x，定义如下：x＝[r1_half T r2_half T ... rK_half T s1_half T s2_half T ... sK_half T]T；
步骤二、使用信赖域迭代梯度搜索TR-IGS技术优化原型滤波器中的系数向量x；
2-1.确定求解目标函数及约束条件；
根据式(4)二维可分离FIR滤波器的整体频率响应为H(ω|x)＝[H(ω1|x) H(ω2|x)... H(ωΓ|x)]T，ωl是感兴趣的频率点，l＝1,2,...,Γ，记理想滤波器的频率响应为Hd(ω)＝[Hd(ω1) Hd(ω2) ... Hd(ωΓ)]T；记w＝[w(ω1) w(ω2) ... w(ωΓ)]T为权重向量；采用最大误差最小化设计准则，使用TR-IGS优化系数向量x见式(5)；
Subject to:||w·(H(ω|x)-Hd(ω))||∞≤δ (5.b)
式(5)中，||·||∞无穷范数运算，xv指的是x中的非0和非1的元素，“·”指两向量中逐元素相乘，δ指通带、阻带中最大峰值纹波误差；
2-2.求解H(ω|x)的雅克比矩阵G(x)；
式(6)中，M为x的长度，若x(e)＝0，e＝1,2,…,M，则令
2-3.求解H(ω|x)的一阶泰勒近似，见式(7)；
式(7)中，xI是x的初始值，是x＝xI时沿G(xI)下降的步长，若x(e)＝0，则令ε是一个正实数，可根据实际系数情况进行取值；将式(7)代入式(5)中，将问题(5)转化成凸规划问题(8)；
2-4.求解凸规划问题(8)；
记j为迭代次数，初始值j＝0，xI (j)＝x，根据式(6)求出此时的G(xI (j))，代入式(8)并进行求解，求出的解记为然后求出新的并将此时的x(j+1)作为第j+1迭代的初始值xI (j+1)重复上述求解过程，直到x不能进一步优化或不再满足式(8)的约束条件或达到最大迭代次数；
步骤三、设计迭代重加权l1范数算法稀疏优化上一步得到的x，获得更多稀疏系数；
可分离二维FIR滤波器的0系数最大化，见式(9)；
Subject to:||w·(H(ω|x)-Hd(ω))||∞≤δ (9.b)
式(9)中||·||0是0范数运算，是一个NP-Hard问题，求解问题(9)存在两种方式：固定ri_half，最大化si_half中的0系数个数；固定si_half，最大化ri_half中的0系数个数；采取第一种求解方式，令xs＝[s1_half T s2_half T ... sK_half T]，记xs_v为xs中的非0和非1元素；Ψ和Ψs分别是x和xs的0系数的集合；记列向量α为xs_v的权重；记
记g为迭代次数，g的初始值为0，令x、xv、xs、xs_v、Ψs、α的初始化值为x(0)，xv (0)，xs (0)，xs_v (0)，Ψs (0)和α(0)＝1；由此，迭代重加权l1范数算法的设计为：
3-1.将式(9)转化成凸规划问题(13)，并进行求解；
Subject to:||w·(D(ω)·xs-Hd(ω))||∞≤δimposed (13.b)
式(13.a)中，||·||1表示1范数运算，μ是一个权重因子，满足0＜μ＜＜1，δimposed为设计所要求的最大纹波误差；
3-2.式(13)的解为xs_v *，令xs_v *中绝对值小于εcof_bound的所有系数被强制为零，0＜εcof_bound＜＜1；因此，获得了新的xs_v (g)系数和Ψs (g)，同时根据xs_v (g)和Ψs (g)，又可以获得新的xs (g)、x(g)和xv (g)；
3-3.更新变量系数权重α，α(g+1)中第k个元素的计算公式见(14)；
式(14)中σ是一个很小的正实数，满足0＜σ＜＜1，xs_v (g)(k)表示xs_v (g)的第k个元素；
3-4.若g达到最大迭代次数或式(13.b)中的约束条件不满足，则结束迭代；否则g＝g+1，重复上述3-1到3-3；
步骤四、对步骤三得到的x再次用TR-IGS技术进行系数优化；
此步骤求解同步骤二，其中在2-4中，xI的取值为步骤三得到的x；
步骤五、使用贪婪搜索算法进一步稀疏优化步骤四得到的x，且每次贪婪搜索结束后，使用TR-IGS技术优化一次，最终设计出具有稀疏系数的可分离二维FIR滤波器；
5-1.令迭代次数为s，s的初始值为0，求解凸规划问题(15)；
Subject to:||w·(H(ω|x)-Hd(ω))||∞≤δimposed (15.b)
5-2.将求解出的xv (s)中的绝对值最小的元素逼迫为0，获得新的xv (s)、x(s)和Ψ(s)；并使用TR-IGS技术优化x(s)，方法同步骤二，其中在2-4中，xI的取值为5-1得到的x(s)；
5-3.若达到最大迭代次数或式(15.b)中的约束条件不满足，则结束迭代；否则s＝s+1，重复5-1和5-2。
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