CN105847201A - 基于滤波器组的多载波调制系统原型滤波器优化设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种基于滤波器组的多载波调制系统原型滤波器优化设计方法，其为了能够实现FBMC系统快速设计并且使阻带衰减与ISI/ICI间更好的平衡，将此问题的归结成无约束的优化问题，其目标函数是ISI/ICI、PF系数向量的模和阻带能量的加权和。通过解析目标函数的梯度向量和修正其Hessian矩阵，用修正牛顿法迭代优化PF。利用修正牛顿的方法进行逐步优化目标，同时全面考虑FBMC系统的各项性能，使ISI/ICI对FBMC系统影响减小。本发明为降低设计的复杂度和更好的平衡ISI/ICI与滤波器阻带衰减，实现信号的准确传递提供了简单高效的解决方案。

Description

基于滤波器组的多载波调制系统原型滤波器优化设计方法

技术领域

本发明涉及滤波器设计技术领域，具体涉及一种基于滤波器组的多载波调制系统原型滤波器优化设计方法。

背景技术

多载波调制是一种快速传递信息的技术，其作用是将一个高速的宽带信号分割成几个低速率传递的窄带信号。正交频分复用(OFDM)技术做为一种多载波调制技术，在移动通信的系统中被广泛的运用。然而，由于OFDM系统以矩形窗作为脉冲响应滤波器，其阻带衰减只有13db，以至于子载波间有较差的频率选择性引起较高的带外泄露，因此需要在信号之间注入空白的循环前缀(CP)来保证系统的正交性。为了提高频谱的利用率，一种基于滤波器组的多载波调制系统(FBMC)被用来代替OFDM系统，通过设计性能较好的原型滤波器(PF)使FBMC有较好的频率选择性，使得CP将不需要注入系统中，从而大大提高了频谱的利用率。此外，在多项相位滤波器组中，FBMC的调制和解调也通过快速傅里叶变换实现。FBMC获得了广泛的关注并认为将会在5G通信中应用。

FBMC系统可以通过调节原型滤波器得到一个综合滤波器组和分析滤波器组并确定系统性能，如载波间频率选择性、信号间干扰(ISI)、信道间干扰(ICI)等。设计原型滤波器的首要任务需要考虑通带的平坦性、较高的阻带衰减来满足系统的近似重构和足够小的ISI/ICI。几十年的研究过程中，大量卓越算法为FBMC系统设计原型滤波器(PF)被提出，如频率采样算法、窗函数算法，这些设计方法通过一定的公式来得到原型滤波器系数，大大减小计算量，然而它的设计自由度得到了限制。直接优化原型滤波器系数会有更好提高系统性能，但是PF的长度受到了约束。为了能够更好增加PF的长度，分支节点算法(αBB)被提出来设计PF，但是αBB算法很难确定缩短的长度和平衡阻带能量与最小均方误差(MSE)，同时运用SQP算法来确定滤波器系数缩短的长度，计算复杂度也相应的提高，需要耗费大量的时间，不利于实际应用。

发明内容

本发明所要解决的是现有FBMC系统原型滤波器的设计方法存在复杂度高和不能能好的平衡ISI/ICI与滤波器阻带衰减的关系的问题，提供一种基于滤波器组的多载波调制系统原型滤波器优化设计方法。

为解决上述问题，本发明是通过以下技术方案实现的：

基于滤波器组的多载波调制系统原型滤波器优化设计方法，包括如下步骤：

步骤1，初始化原型滤波器，即给定滤波器的个数N和重叠系数Q，根据频率采样方法设计长度为L＝QN-1的原型滤波器的初始系数向量h₀，h₀＝[h₀₍0),h₀(1),...,h₀(L-1)]^T；其中Q和N均为正整数；

步骤2，通过建立基于滤波器组的多载波调制系统的信号传递模型，求得基于滤波器组的多载波调制系统在时域上信号间干扰及信道间干扰的计算公式；基于时域上的信号间干扰及信道间干扰的计算公式，根据基于滤波器组的多载波调制系统设计的性能指标，将原型滤波器的设计问题归结为一个无约束的优化问题；

步骤3，以信号间干扰和信道间干扰、原型滤波器的模和阻带能量的加权和为目标函数，并通过修正牛顿的方法求解步骤2的优化问题，求解得到目标函数的梯度向量g和修正的海森矩阵H；

步骤4，根据原型滤波器的初始系数向量h₀，以及得到目标函数的梯度向量g和修正的海森矩阵H，求解得到优化的滤波器系数向量h；

h＝h₀-H^-1g

式中，h是原型滤波器的系数向量，h₀是原型滤波器的初始系数向量，g为目标函数的梯度向量，H为修正的海森矩阵；

步骤5，判断||h-h₀||₂≤δ是否成立；如果成立，则终止迭代，本次迭代所得的h就是所求的原型滤波器的系数向量；如果不成立，则令h₀＝h，即将初始系数向量h₀更新为h，并重复步骤4，直至满足||h-h₀||₂≤δ成立为止；其中δ为给定的正数。

与现有技术相比，本发明能够实现FBMC系统快速设计并且使阻带衰减与ISI/ICI间更好的平衡，我们将此问题的归结成无约束的优化问题，其目标函数是ISI/ICI、PF系数向量的模和阻带能量的加权和。通过解析目标函数的梯度向量和修正其Hessian矩阵，用修正牛顿法迭代优化PF。利用修正牛顿的方法进行逐步优化目标，同时全面考虑FBMC系统的各项性能，使ISI/ICI对FBMC系统影响减小。本发明为降低设计的复杂度和更好的平衡ISI/ICI与滤波器阻带衰减，实现信号的准确传递提供了简单高效的解决方案。

附图说明

图1为一种FBMC系统的基本结构。

图2为一种FBMC系统原型滤波器优化设计方法的流程图。

图3为实施例1中L＝3N-1初始和优化后所得到原型滤波器的幅度响应。

图4为实施例1中L＝4N-1初始和优化后所得到原型滤波器的幅度响应。

图5为实施例2中L＝3N-1初始和优化后所得到原型滤波器的幅度响应。

具体实施方式

图1给出了一个通道数为N的FBMC系统，基于上述结构的一种基于滤波器组的多载波调制系统原型滤波器优化设计方法，如图2所示，其包括如下步骤：

第一步：初始化原型滤波器，先根据频率采样设计方法，设计一个重叠系数为Q长度为L＝QN-1的低通h₀，h₀＝[h₀(0),h₀(1),...,h₀(L-1)]^T。频率采样设计如下式：

$h\left(l\right)=P\left(0\right)+2\underset{i=1}{\overset{Q-1}{\Σ}}{(-1)}^{i}P\left(i\right)cos\left(\frac{2\mathrm{\π}i}{QN}\right(l+1\left)\right),l=0,1,...,QN-2---\left(1\right)$

式中：p＝[P(0),P(1),...P(Q-1)]为系数向量，为频率采样法的固定参数。当Q＝3时，P(0)＝1，P(1)＝0.91143783，P(2)＝0.41143783和当Q＝4时P(0)＝1，P(1)＝0.97195983，P(2)＝0.70710678，P(3)＝0.23514695。

第二步：根据图1的FBMC系统和信号的之间的传递关系，求得FBMC系统在信号时域ISI/ICI。建立该系统的信号传递模型；该系统的基带发射信号为s(t)：

式中，a_k(n)和b_k(n)为第k通道上输入信号在时域上的实部和虚部，那么该系统的输出信号为：

式中，为第k通道上输出信号在时域上的实部，

式中，为第k通道上输出信号在时域上的虚部；

那么该系统ISI/ICI为：

$Power\left(I_{k,n}^a\right)=E\[{\left({\hat{a}}_k\right(n)-a_k(n\left)\right)}^2\]=E\[{\left(\underset{n^{\′}=-\mathrm{\∞}}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}\underset{k^{\′}=0}{\overset{N-1}{\Σ}}{I}_{k,n,k^{\′},n^{\′}}^a-a_k\left(n\right)\right)}^2\]---\left(5\right)$

式中，E[·]表示为期望，为FBMC系统对实部输出信号的ISI/ICI，为第k'通道输入实部信号a_k'(n')和虚部信号b_k'(n')对第k通道输出实部信号的干扰，

$I_{k,n,k^{\′},n^{\′}}^a=a_{k^{\′}}\left(n^{\′}\right)C_{k,n,k^{\′},n^{\′}}^{\′}-b_{k^{\′}}\left(n^{\′}\right)C_{k,n,k^{\′},n^{\′}}^{\′\′}---\left(6\right)$

为了进一步减小计算复杂度，将式(6)连续型转化为离散型则：

$C_{k.n,k^{\′},n^{\′}}^{\′}=\underset{l=0}{\overset{L-1}{\Σ}}h(l-n^{\′}N)h(l-nN)cos\[(k^{\′}-k)(\frac{2\mathrm{\π}(l-(L-1)/2)}{N}+\frac{\mathrm{\π}}{2})\]---\left(7a\right)$

$C_{k.n,k^{\′},n^{\′}}^{\′\′}=\underset{l=0}{\overset{L-1}{\Σ}}h(l-n^{\′}N-N/2)h(l-nN)sin\[(k^{\′}-k)(\frac{2\mathrm{\π}(l-(L-1)/2)}{N}+\frac{\mathrm{\π}}{2})\]---\left(7b\right)$

a_k'(n')和b_k'(n')的数字特征分布是相互独立的，将式(7a)和(7b)代入式(6)可得到：

$E\[{\left(I_{k,n,k^{\′},n^{\′}}^a\right)}^2\]={\left(C_{k,n,k^{\′},n^{\′}}^{\′}\right)}^2+{\left(C_{k,n,k^{\′},n^{\′}}^{\′\′}\right)}^2---\left(8\right)$

当k'＝k,n'＝n，我们可得到引出一个原型滤波器h(l)的必须满足的条件为：

$\underset{l=0}{\overset{L-1}{\Σ}}{h}^2\left(l\right)=1---\left(9\right)$

对于不同的(k',n')，输入信号a_k'(n')是相互独立分布的，所以ISI/ICI的能量被确定，的值是不受输出信号的(k',n')影响，为了进一步简化运算，我们令k＝n＝0则：

$\begin{array}{c}Power\left(I_{k,n}^a\right)=Power\left(I_{0,0}^a\right)\\ =\underset{n^{\′}=-\mathrm{\∞}}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}\underset{k^{\′}=0,(k^{\′},n^{\′})\≠(0,0)}{\overset{N-1}{\Σ}}E\[{\left(I_{0,0,k^{\′},n^{\′}}^a\right)}^2\]\\ =\underset{n^{\′}=-\mathrm{\∞}}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}\underset{k^{\′}=0,(k^{\′},n^{\′})\≠(0,0)}{\overset{N-1}{\Σ}}\[{\left(C_{0,0,k^{\′},n^{\′}}^{\′}\right)}^2+{\left(C_{0,0,k^{\′},n^{\′}}^{\′\′}\right)}^2\]\end{array}---\left(10\right)$

C’_0,0,k',n'和C″_0,0,k',n'是关于滤波器系数h(l)的二次函数，为了减小计算的复杂度需要将式(7a)和(7b)写成矩阵的等式：

C'_0,0,k',n'＝h^TA_k',n'h,C″_0,0,k',n'＝h^TB_k',n'h (11)

其中h＝[h(0),h(1),…,h(L-1)]^T表示原型滤波器系数组成向量，而矩阵A_k',n'和B_k',n'被定义为：

式(12a)和(12b)中，是L×L矩阵，此矩阵被定义为：

其中，式(13a)和(13b)中k和l代表矩阵和的行变量和列变量；而矩阵是对角矩阵，此矩阵被定义为：

${\mathrm{\Λ}}_{k^{\′}}^1(l,l)=\cos \left[k^{\′}(2\mathrm{\π}(l-(L-1)/2)/N+\mathrm{\π}/2)\right],l=\mathrm{0,1},\·\·\·,L-1---\left(14a\right)$

${\mathrm{\Λ}}_{k^{\′}}^2(l,l)=\sin \left[k^{\′}(2\mathrm{\π}(l-(L-1)/2)/N+\mathrm{\π}/2)\right]---\left(14b\right)$

式(14a)和(14b)中，l代表矩阵的行变量和列变量。

同时，原型滤波器要满足线性相位结构，则：

h(n)＝h(L-1-n),0≤n≤L-1 (15)

另外，原型滤波器的频率响应可被表示为：H(e^jω)＝c^T(ω,L)h

其中c是一个向量可被定义为：

c(ω,L)＝[cos((L-1)ω),…,cos(ω),1] (16)

另外，高的阻带衰减可以通过控制滤波器的阻带能量来获得，原型滤波器的阻带能量分别表示为：

$E_s\left(h\right)={\∫}_{{\mathrm{\ω}}_s}^{\mathrm{\π}}{\left|H\left(e^{j\mathrm{\ω}}\right)\right|}^{2}d\mathrm{\ω}=h^{T}Sh---\left(17\right)$

式中，ω_s是阻带下线频率，并且

为进一步简化计算，相邻通道对输出信号的ISI/ICI为主要部分，我们仅考虑的k'＝-1,0,1情况，当k'＝-1和k'＝1情况时，C'_0,0,k',n'和C″_0,0,k',n'值不变，所以式(10)可写成：

${\mathrm{\ϵ}}_{ISI/ICI}\left(h\right)=\underset{n^{\′}=-\mathrm{\∞}}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}\underset{k^{\′}=0,(k^{\′},n^{\′})\≠(0,0)}{\overset{1}{\Σ}}\[{\left(h^T{A}_{k^{\′},n^{\′}}h\right)}^2+{\left(h^T{B}_{k^{\′},n^{\′}}h\right)}^2\]---\left(18\right)$

并且原型滤波器还要满足式(9)，所以式(9)可被写成式(21)最小情况时：

ε_t(h)＝(h^Th-1)² (19)

将原型滤波器的设计问题归结为下列式的无约束优化问题：

$\begin{array}{c}\underset{x}{\min }\mathrm{\Φ}\left(h\right)={\mathrm{\ϵ}}_{ISI/ICI}\left(h\right)+{\mathrm{\ϵ}}_t\left(h\right)+{\mathrm{\αE}}_s\left(h\right)\\ =\underset{n^{\′}=-\mathrm{\∞}}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}\underset{k^{\′}=0,(k^{\′},n^{\′})\≠(0,0)}{\overset{1}{\Σ}}\{{\left(h^T{A}_{k^{\′},n^{\′}}h\right)}^2+{\left(h^T{B}_{k^{\′},n^{\′}}h\right)}^2\}\\ +{(h^{T}h-1)}^2+{\mathrm{\αh}}^{T}Sh\end{array}---\left(20\right)$

式中，α是权值，该优化问题可以通过修正牛顿法进行寻找最优解，那么此目标函数的梯度函数和修正的Hessian(海森)矩阵为：

$\begin{array}{c}g=2\underset{n^{\′}=-\mathrm{\∞}}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}\underset{k^{\′}=0,(k^{\′},n^{\′})\≠(0,0)}{\overset{1}{\Σ}}\{\left(h^T{A}_{k^{\′},n^{\′}}h\right)A_{k^{\′},n^{\′}}^{T}h+\left(h^T{B}_{k^{\′},n^{\′}}h\right)B_{k^{\′},n^{\′}}^{T}h\}\\ +4(h^{T}h-1)h+2\mathrm{\α}Sh\end{array}---\left(21a\right)$

$\begin{array}{c}H=2\underset{n^{\′}=-\mathrm{\∞}}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}\underset{k^{\′}=0,(k^{\′},n^{\′})\≠(0,0)}{\overset{1}{\Σ}}\{A_{k^{\′},n^{\′}}^T{\mathrm{hh}}^T{A}_{k^{\′},n^{\′}}^T+B_{k^{\′},n^{\′}}^T{\mathrm{hh}}^T{B}_{k^{\′},n^{\′}}^T\}\\ +8{\mathrm{hh}}^T+2\mathrm{\α}S\end{array}---\left(21b\right)$

其中，g和H分别是梯度函数和Hessian矩阵，A_k',n'为实部信号滤波器系数转换矩阵，B_k',n'为虚部信号滤波器系数转换矩阵，S定义为阻带能量转换矩阵。

第三步，根据修正牛顿算法，首先用式(1)和式(16)设计一个初始滤波器x₀代入式(24a)计算搜索方向和代入式(24b)中迭代更新滤波器系数。

Hd_k＝-g (22a)

h_k+1＝h_k+d_k (22b)

第四步，判断||h-h₀||₂≤δ是否成立；如果成立，则终止迭代，本次更新所得的h就是所求的原型滤波器的系数向量；如果不成立，则令h＝h₀，返回第三步；其中δ为给定的正数。

根据第四步所求的原型滤波器系数h，通过式(2)、式(3)和式(4)求得输出信号的函数，从而确定整个FBMC系统。

实施例1：

设计一个FBMC系统的通道数N＝256，其原型滤波器的长度为L＝3N-1和L＝4N-1，权重α＝0.1、ω_s＝2π/N本发明所提供的算法只进行3次迭代，耗时24s(L＝3N-1)和60s(L＝4N-1)，在相同的条件下，比已有的算法耗时1028s更加的快速。图3和4分别画出了L＝3N-1和L＝4N-1本发明设计所得原型滤波器的频率幅度响应。表1列出该FBMC系统的性能指标，其中SE代表原型滤波器的阻带能量，MSE(real part)和MSE(imaginarypart)分别代表输出信号的实部和虚部最小均方误差。

表1

从表1中可以看出本发明得到的原型滤波器可以很好的平衡其阻带能量和输出信号的最小均方误差之间的关系，提升FBMC系统的整体性能。

实施例2：

设计一个FBMC系统的通道数N＝1024，其原型滤波器的长度为L＝3N-1，权重α＝0.1、ω_s＝2π/N本发明所提供的算法只进行3次迭代，耗时1077s。图5画出了本发明设计所得原型滤波器的频率幅度响应。表2列出该FBMC系统的性能指标，其中SE代表原型滤波器的阻带能量，MSE(realpart)和MSE(imaginary part)分别代表输出信号的实部和虚部最小均方误差。

表2

实验表明，本算法可以为近似重构FBMC系统设计很好的原型滤波器，使得其能够适用于滤波器组通道数过大和滤波器长度过长的情况，计算复杂度较低。

Claims (1)

1.基于滤波器组的多载波调制系统原型滤波器优化设计方法，其特征是，包括如下步骤：

步骤1，初始化原型滤波器，即给定滤波器的个数N和重叠系数Q，根据频率采样方法设计长度为L＝QN-1的原型滤波器的初始系数向量h₀，h₀＝[h₀(0),h₀(1),...,h₀(L-1)]^T；其中Q和N均为正整数；

步骤2，通过建立基于滤波器组的多载波调制系统的信号传递模型，求得基于滤波器组的多载波调制系统在时域上信号间干扰及信道间干扰的计算公式；基于时域上的信号间干扰及信道间干扰的计算公式，根据基于滤波器组的多载波调制系统设计的性能指标，将原型滤波器的设计问题归结为一个无约束的优化问题；

步骤3，以信号间干扰和信道间干扰、原型滤波器的模和阻带能量的加权和为目标函数，并通过修正牛顿的方法求解步骤2的优化问题，求解得到目标函数的梯度向量g和修正的海森矩阵H；

步骤4，根据原型滤波器的初始系数向量h₀，以及得到目标函数的梯度向量g和修正的海森矩阵H，求解得到优化的滤波器系数向量h；

h＝h₀-H-¹g

式中，h是原型滤波器的系数向量，h₀是原型滤波器的初始系数向量，g为目标函数的梯度向量，H为修正的海森矩阵；

步骤5，判断||h-h₀||₂≤δ是否成立；如果成立，则终止迭代，本次迭代所得的h就是所求的原型滤波器的系数向量；如果不成立，则令h₀＝h，即将初始系数向量h₀更新为h，并重复步骤4，直至满足||h-h₀||₂≤δ成立为止；其中δ为给定的正数。