JP2019530922A

JP2019530922A - 音波フィルタ・デバイスの２次元有限要素法シミュレーションにおける階層的カスケード

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Publication number: JP2019530922A
Application number: JP2019510872A
Authority: JP
Inventors: ジュリウスコスケラ; ヴィクトアプレスキ
Original assignee: Resonant Inc
Current assignee: Resonant Inc
Priority date: 2016-08-29
Filing date: 2017-08-15
Publication date: 2019-10-24
Anticipated expiration: 2037-08-15
Also published as: CN109716336A; US20180062604A1; KR102226347B1; JP6906606B2; US20210021251A1; CN109716336B; JP6906606B6; US11626852B2; WO2018044564A1; US10797673B2; KR20190043564A

Abstract

マイクロ波音波（ＡＷ）構造を解析する方法は、ＡＷ構造の物理的モデルを規定するステップと、物理的モデルを複数の単位ブロックに分割するステップと、複数のオリジナル単位ブロック内で少なくとも１つのコア・ブロックを特定するステップと、少なくとも１つのコア・ブロックのそれぞれの特徴を計算するステップと、コア・ブロック（１つまたは複数）の計算した特徴から、オリジナル単位ブロックのそれぞれの特徴を導出するステップと、オリジナル単位ブロックを結合して、これらの単位ブロックの特徴から導出した計算した特徴を有する１つのブロックにして、この１つのブロックが上記の複数のオリジナル単位ブロックを包含するようにするステップと、物理的モデルの少なくとも１つの電気的特徴を、少なくとも部分的には上記の１つのブロックの計算した特徴から導出するステップとを含む。【選択図】図１２

Description

関連出願の相互参照
本願は、代理人整理番号ＲＥＳ−０２２により２０１６年８月２９日に出願された「ＨＩＥＲＡＲＣＨＩＣＡＬＣＡＳＣＡＤＩＮＧＩＮＴＷＯ−ＤＩＭＥＮＳＩＯＮＡＬＦＩＮＩＴＥＥＬＥＭＥＮＴＭＥＴＨＯＤＳＩＭＵＬＡＴＩＯＮＯＦＡＣＯＵＳＴＩＣＷＡＶＥＦＩＬＴＥＲＤＥＶＩＣＥＳ」と題する米国仮特許出願第６２／３８０９３１号の優先権を主張するものである。本願は、また、代理人整理番号ＲＥＳ−０２２ＵＳにより２０１７年１月１３日に出願された「ＨＩＥＲＡＲＣＨＩＣＡＬＣＡＳＣＡＤＩＮＧＩＮＴＷＯ−ＤＩＭＥＮＳＩＯＮＡＬＦＩＮＩＴＥＥＬＥＭＥＮＴＭＥＴＨＯＤＳＩＭＵＬＡＴＩＯＮＯＦＡＣＯＵＳＴＩＣＷＡＶＥＦＩＬＴＥＲＤＥＶＩＣＥＳ」と題する米国仮特許出願第１５／４０６６００号の優先権を主張するものである。上記の特許出願の内容は、参照によりその全体が明示的に本明細書に組み込まれる。

本発明は、一般にマイクロ波フィルタに関し、さらに詳細には、音響マイクロ波フィルタの設計プロセスに関する。

電気的フィルタは、電気信号の処理に長く使用されている。特に、そのような電気的フィルタは、所望の信号周波数は通過させる一方で、その他の望ましくない電気信号周波数は阻止する、または減衰させることによって、入力信号から所望の電気信号周波数を選択するために使用される。フィルタは、低域通過フィルタ、高域通過フィルタ、帯域通過フィルタ、および帯域阻止フィルタなど、フィルタが選択的に通過させる周波数の種類を示すいくつかの大まかなカテゴリに分類することができる。さらに、フィルタは、バターワース、チェビシェフ、逆チェビシェフ、および楕円など、理想的な周波数応答に対するフィルタが提供する周波数応答（遮断周波数特性）の種類を示す種類によって分類することもできる。

多く使用されるフィルタの種類は、所期の用途によって決まる。通信応用分野では、帯域通過フィルタおよび帯域阻止フィルタが、携帯電話基地局、携帯電話ハンドセット、およびその他の電気通信機器で使用されて、１つまたは複数の既定の帯域以外の帯域のＲＦ信号をフィルタによって除去する、または阻止する。特に最も重要なのは、約４００から３５００ＭＨｚの周波数範囲である。米国では、携帯電話通信に使用される標準帯域がいくつかある。これらは、バンド２（約１８００〜１９００ＭＨｚ）、バンド４（約１７００〜２１００ＭＨｚ）、バンド５（約８００〜９００ＭＨｚ）、バンド１３（約７００〜８００ＭＨｚ）、およびバンド１７（約７００〜８００ＭＨｚ）であり、他のバンドも登場している。

マイクロ波フィルタは、一般に、２つの回路構成ブロック、すなわちエネルギーを共振周波数（基本共振周波数ｆ_０であってもよいし、より高次の様々な共振周波数ｆ_１〜ｆ_ｎのうちのいずれか１つであってもよい）で非常に効率的に格納する共振器と、共振器間で、また入力／出力ポートと共振器の間で電磁エネルギーを結合して、複数の反射零点を有する周波数選択的スペクトル応答を生じる結合素子とを用いて構成される。例えば、４共振器フィルタは、４つの反射零点を含むことがある。所与の結合の強度は、そのリアクタンス（すなわちインダクタンスおよび／またはキャパシタンス）によって決まる。結合の相対強度が、フィルタ帯域幅を決定し、結合のトポロジが、そのフィルタが帯域通過機能を実行するか、帯域阻止機能を実行するかを決定する。共振周波数ｆ_０は、それぞれの共振器のインダクタンスおよびキャパシタンスによって大部分決定される。従来の帯域通過フィルタおよび帯域阻止フィルタの設計では、フィルタがアクティブである周波数は、そのフィルタを構成する共振器の共振によって決まる。各共振器は、上記の理由から、フィルタの応答を鋭敏にし、高い選択性を持たせることができるように、内部実効抵抗が小さくなければならない。この低抵抗の要件により、所与の技術では、共振器のサイズおよびコストが増大する傾向がある。

複数の入力／出力ポートを有する特殊な種類のフィルタであるマルチプレクサは、モバイル・デバイスのフロント・エンドの重要な構成要素である。現代のモバイル通信デバイスは、（ＬＴＥ、ＷＣＤＭＡ（登録商標）、またはＣＤＭＡを用いて）送信および受信を同時に行い、同じアンテナを使用する。３ポート・マルチプレクサであるデュプレクサは、最大０．５ワットの電力になる可能性がある送信信号を、１ピコワットまで低くなる可能性がある受信信号から分離するために使用される。送信信号と受信信号とを異なる周波数帯域にして、デュプレクサがそれらを選択できるようにする。デュプレクサは、モバイル・デバイスに使用される場合にはしばしばわずか２平方ミリメートルほどの非常に小さいサイズで、周波数選択、隔離、および低挿入損を実現しなければならない。

フロント・エンド受信フィルタは、受信信号周波数に近い周波数の干渉性の強い信号によって生じる様々な悪影響を排除するために、厳密に定義された帯域通過フィルタの形態をとることが好ましい。フロント・エンド受信フィルタはアンテナ入力に直接接続されているので、受信器の雑音指数を劣化させないように、挿入損は非常に低くなければならない。ほとんどのフィルタ技術では、低い挿入損を実現するためには、フィルタの峻度または選択性において相応の折り合いをつける必要がある。

実際には、携帯電話ハンドセット用のほとんどのフィルタは、表面弾性波（ＳＡＷ）技術、バルク音波（ＢＡＷ）技術、フィルム・バルク音響共振器（ＦＢＡＲ）技術などの音響共振器技術を用いて構築される。音響共振器は、並列ＬＣ共振器または直列ＬＣ共振器より複雑な周波数依存インピーダンスを有する。音響共振器は、「共振」周波数と呼ばれる周波数における直列共振に対応する鋭い極小値、および「反共振」周波数と呼ばれるより高い周波数における並列共振に対応する鋭い極大値を特徴とする周波数依存インピーダンスを有する（Ｋ．Ｓ．ＶａｎＤｙｋｅ、Ｐｉｅｚｏ−ＥｌｅｃｔｒｉｃＲｅｓｏｎａｔｏｒａｎｄｉｔｓＥｑｕｉｖａｌｅｎｔＮｅｔｗｏｒｋＰｒｏｃ．ＩＲＥ、Ｖｏｌ．１６、１９２８、７４２〜７６４頁参照）。このような音響共振器は、電磁インダクタ／キャパシタ共振器と比較して、低い通過帯域挿入損（中心周波数で１ｄＢ程度）、小さなサイズ、高い無負荷Ｑ、および低いコストという利点を有する。こうした理由から、音響共振器は、マイクロ波フィルタリングの応用分野で、モバイル・デバイスのフロント・エンド受信フィルタに使用されることが多い。

音響共振器を備える現代のマイクロ波フィルタの設計は、フィルタの周波数応答を予測するための詳細なモデルを必要とする。現代の高性能ＳＡＷデバイスは、薄膜技術を利用して、損失、熱安定性、電気機械的結合、および製造感度を最適化する。少なくともＳＡＷフィルタに関しては、さらに複雑になりつつある音響フィルタを迅速に開発するためには、より精密かつ汎用的なシミュレーション・ツールが求められる。現代のパーソナル・コンピュータ（ＰＣ）の並列処理能力および利用可能なメモリでは、有限要素法（ＦＥＭ）がＳＡＷ構造のシミュレーションを行うのに魅力的である。ＳＡＷデバイスの複雑な構造に対処するのが容易でない有限要素法／境界要素法（ＦＥＭ／ＢＥＭ）のハイブリッド式の方法（Ｍ．Ｓｏｌａｌ、Ｔ．Ａｂｂｏｕｄ、Ｓ．Ｂａｌｌａｎｄｒａｓ、Ｓ．Ｃｈａｍａｌｙ、Ｖ．Ｌａｕｄｅ、Ｒ．Ｌａｒｄａｔ、Ｔ．Ｐａｓｔｅｒｅａｕｄ、Ｊ．Ｒｉｂｂｅ、Ｗ．Ｓｔｅｉｃｈｅｎ、およびＰ．Ｖｅｎｔｕｒａ、「ＦＥＭ／ＢＥＭａｎａｌｙｓｉｓｆｏｒＳＡＷｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ」、ＳｅｃｏｎｄＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＳｙｍｐｏｓｉｕｍｏｎＡｃｏｕｓｔｉｃＷａｖｅｓＤｅｖｉｃｅｓｆｏｒＦｕｔｕｒｅＭｏｂｉｌｅＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎＳｙｓｔｅｍｓ、ＣｈｉｂａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ、２００４年参照）と比較すると、ＦＥＭの利点は、不変性が顕著であることである。ＦＥＭは、任意の材料および結晶カット、様々な電極形状、ならびに複数の金属層および誘電体層を含む様々な構造を扱うことができる。

従来は、ＦＥＭをＳＡＷ構造に適用する際に、主として次の２つの問題があった。（１）開境界条件を記述するのが困難であること、（２）高い精度を得るために必要な自由度が多数であること。これらの問題は、大きなメモリ消費、および長い計算時間という形で顕在化する。

第１の問題は、完全整合層（ＰＭＬ）（Ｊ．Ｐ．Ｂｅｒｅｎｇｅｒ、「Ａｐｅｒｆｅｃｔｌｙｍａｔｃｈｅｄｌａｙｅｒｆｏｒｔｈｅａｂｓｏｒｐｔｉｏｎｏｆｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｗａｖｅｓ」、ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＰｈｙｓｉｃｓ、１１４、１８５〜２００頁（１９９４年、Ｆ．Ｄ．Ｈａｓｔｉｎｇｓ、Ｊ．Ｂ．Ｓｃｈｅｉｄｅｒ、およびＳ．Ｌ．Ｂｒｏｓｃｈａｔ、「Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｐｅｒｆｅｃｔｌｙｍａｔｃｈｅｄｌａｙｅｒ（ＰＭＬ）ａｂｓｏｒｂｉｎｇｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｔｏｅｌａｓｔｉｃｗａｖｅｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ」、ＪｏｕｒｎａｌｏｆＡｃｏｕｓｔｉｃａｌＳｏｃｉｅｔｙｏｆＡｍｅｒｉｃａ、１００、３０６１〜３０６９頁、１９９６年、ならびにＹ．Ｂ．ＺｈｅｎｇおよびＸ．Ｊ．Ｈｕａｎｇ、「ＡｎｉｓｏｔｒｏｐｉｃｐｅｒｆｅｃｔｌｙｍａｔｃｈｅｄｌａｙｅｒｓｆｏｒｅｌａｓｔｉｃｗａｖｅｓｉｎＣａｒｔｅｓｉａｎａｎｄｃｕｒｖｉｌｉｎｅａｒｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ」、ＭＩＴＥａｒｔｈＲｅｓｏｕｒｃｅｓＬａｂｏｒａｔｏｒｙＩｎｄｕｓｔｒｙＣｏｎｓｏｒｔｉｕｍＲｅｐｏｒｔ、ＭａｓｓａｃｈｕｓｅｔｔｓＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ、ＥａｒｔｈＲｅｓｏｕｒｃｅｓＬａｂｏｒａｔｏｒｙ、２００２年参照）の導入によって大部分解決されている。

例えば、図１に示すように、導電性電極２の有限アレイ（例えば共振器のインターデジタル金属フィンガ）と、電極２の下方、上方、または間に１つまたは複数の誘電体層または圧電層を含むことがある半有限基板結晶３とを含む、ＳＡＷ構造１（フィルタ、共振器、結合要素、またはそれらの一部分であることがある）をモデル化することができる。ＳＡＷ構造１は、電極２および基板３の上に堆積させたパッシベーション層（例えばＳｉＯ_２）４を含むこともある。電極２、電極２に隣接する基板３の一部分、および電極２の上方の真空５の一部分からなる局所領域６を、規定することができる。この局所領域６は、モデル化領域と滑らかに界面を接し、入射する伝搬音波が指数関数的に減衰する音波に変換される性質を有する、基板ＰＭＬ７および真空ＰＭＬ８からなる人口の計算材料で取り囲むことができる。従来の方法では、この局所領域６を基板ＰＭＬ７および真空ＰＭＬ８とともに計算によってメッシュ化し、ＦＥＭを用いて周波数応答を計算する。この手法は、不適当な異方性を有するいくつかの基板では不安定である（Ｅ．Ｂｅｃａｃｈｅ、Ｓ．Ｆａｕｑｕｅｕｘ、およびＰ．Ｊｏｌｙ、Ｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｐｅｒｆｅｃｔｌｙｍａｔｃｈｅｄｌａｙｅｒｓ、ｇｒｏｕｐｖｅｌｏｃｉｔｉｅｓａｎｄａｎｉｓｏｔｒｏｐｉｃｗａｖｅｓ、Ｊ．Ｃｏｍｐｕｔ．Ｐｈｙｓ．、１８８、３９９〜４３３頁、２００３年参照）が、その他の点では、ＰＭＬを使用することは、開境界問題に対する非常に効率的な解決策である（Ｄ．Ｋａｒｉｍ、Ｓ．Ｂａｌｌａｎｄｒａｓ、Ｔ．Ｌａｒｏｃｈｅ、Ｋ．Ｗａｇｎｅｒ、Ｊ．Ｍ．Ｂｒｉｃｅ、およびＸ．Ｐｅｒｉｏｓ、「Ｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔａｎａｌｙｓｉｓｉｎｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｗｉｔｈｐｅｒｆｅｃｔｌｙｍａｔｃｈｅｄｌａｙｅｒｔｏｔｈｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｍｏｄｅｌｉｎｇｏｆａｃｏｕｓｔｉｃｄｅｖｉｃｅｓｉｎｐｉｅｚｏｅｌｅｃｔｒｉｃｍａｔｅｒｉａｌｓ」、ＡｐｐｌｉｅｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ、ｖｏｌ．４、６４〜７１頁、２０１３年５月参照）。

ＰＭＬの使用により開境界条件の問題には対処するが、多数の自由度に対処するという第２の問題は残っている。単一電極の周りの領域の実際のＦＥＭモデルは、数千個の有限要素、１０００から１００００個程度の未知変数を含むこともある。したがって、数百個の電極を有するＳＡＷ構造全体のＦＥＭモデルは、最大で数百の方程式を含むなど、巨大になる可能性がある。

Ｋ．Ｓ．ＶａｎＤｙｋｅ、Ｐｉｅｚｏ−ＥｌｅｃｔｒｉｃＲｅｓｏｎａｔｏｒａｎｄｉｔｓＥｑｕｉｖａｌｅｎｔＮｅｔｗｏｒｋＰｒｏｃ．ＩＲＥ、Ｖｏｌ．１６、１９２８、７４２〜７６４頁Ｍ．Ｓｏｌａｌ、Ｔ．Ａｂｂｏｕｄ、Ｓ．Ｂａｌｌａｎｄｒａｓ、Ｓ．Ｃｈａｍａｌｙ、Ｖ．Ｌａｕｄｅ、Ｒ．Ｌａｒｄａｔ、Ｔ．Ｐａｓｔｅｒｅａｕｄ、Ｊ．Ｒｉｂｂｅ、Ｗ．Ｓｔｅｉｃｈｅｎ、およびＰ．Ｖｅｎｔｕｒａ、「ＦＥＭ／ＢＥＭａｎａｌｙｓｉｓｆｏｒＳＡＷｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ」、ＳｅｃｏｎｄＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＳｙｍｐｏｓｉｕｍｏｎＡｃｏｕｓｔｉｃＷａｖｅｓＤｅｖｉｃｅｓｆｏｒＦｕｔｕｒｅＭｏｂｉｌｅＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎＳｙｓｔｅｍｓ、ＣｈｉｂａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ、２００４年Ｊ．Ｐ．Ｂｅｒｅｎｇｅｒ、「Ａｐｅｒｆｅｃｔｌｙｍａｔｃｈｅｄｌａｙｅｒｆｏｒｔｈｅａｂｓｏｒｐｔｉｏｎｏｆｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｗａｖｅｓ」、ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＰｈｙｓｉｃｓ、１１４、１８５〜２００頁（１９９４年）Ｆ．Ｄ．Ｈａｓｔｉｎｇｓ、Ｊ．Ｂ．Ｓｃｈｅｉｄｅｒ、およびＳ．Ｌ．Ｂｒｏｓｃｈａｔ、「Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｐｅｒｆｅｃｔｌｙｍａｔｃｈｅｄｌａｙｅｒ（ＰＭＬ）ａｂｓｏｒｂｉｎｇｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｔｏｅｌａｓｔｉｃｗａｖｅｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ」、ＪｏｕｒｎａｌｏｆＡｃｏｕｓｔｉｃａｌＳｏｃｉｅｔｙｏｆＡｍｅｒｉｃａ、１００、３０６１〜３０６９頁、１９９６年Ｙ．Ｂ．ＺｈｅｎｇおよびＸ．Ｊ．Ｈｕａｎｇ、「ＡｎｉｓｏｔｒｏｐｉｃｐｅｒｆｅｃｔｌｙｍａｔｃｈｅｄｌａｙｅｒｓｆｏｒｅｌａｓｔｉｃｗａｖｅｓｉｎＣａｒｔｅｓｉａｎａｎｄｃｕｒｖｉｌｉｎｅａｒｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ」、ＭＩＴＥａｒｔｈＲｅｓｏｕｒｃｅｓＬａｂｏｒａｔｏｒｙＩｎｄｕｓｔｒｙＣｏｎｓｏｒｔｉｕｍＲｅｐｏｒｔ、ＭａｓｓａｃｈｕｓｅｔｔｓＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ、ＥａｒｔｈＲｅｓｏｕｒｃｅｓＬａｂｏｒａｔｏｒｙ、２００２年Ｅ．Ｂｅｃａｃｈｅ、Ｓ．Ｆａｕｑｕｅｕｘ、およびＰ．Ｊｏｌｙ、Ｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｐｅｒｆｅｃｔｌｙｍａｔｃｈｅｄｌａｙｅｒｓ、ｇｒｏｕｐｖｅｌｏｃｉｔｉｅｓａｎｄａｎｉｓｏｔｒｏｐｉｃｗａｖｅｓ、Ｊ．Ｃｏｍｐｕｔ．Ｐｈｙｓ．、１８８、３９９〜４３３頁、２００３年Ｄ．Ｋａｒｉｍ、Ｓ．Ｂａｌｌａｎｄｒａｓ、Ｔ．Ｌａｒｏｃｈｅ、Ｋ．Ｗａｇｎｅｒ、Ｊ．Ｍ．Ｂｒｉｃｅ、およびＸ．Ｐｅｒｉｏｓ、「Ｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔａｎａｌｙｓｉｓｉｎｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｗｉｔｈｐｅｒｆｅｃｔｌｙｍａｔｃｈｅｄｌａｙｅｒｔｏｔｈｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｍｏｄｅｌｉｎｇｏｆａｃｏｕｓｔｉｃｄｅｖｉｃｅｓｉｎｐｉｅｚｏｅｌｅｃｔｒｉｃｍａｔｅｒｉａｌｓ」、ＡｐｐｌｉｅｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ、ｖｏｌ．４、６４〜７１頁、２０１３年５月

したがって、依然として、ＳＡＷフィルタなどの音響マイクロ波フィルタをモデル化するときに多数の自由度に対処する、より効率的かつ正確な技術を提供する必要がある。

本発明によれば、マイクロ波音波（ＡＷ）構造（例えば音響共振器）を解析する方法が提供される。この方法は、ＡＷ構造の物理的モデルを規定するステップと、物理的モデルを複数の単位ブロックに分割するステップと、複数のオリジナル単位ブロック内で少なくとも１つのコア・ブロックを特定するステップとを含む。複数の単位ブロックは、互いに同じであることもあり、その場合には、１つのコア・ブロックのみを特定すればよく、あるいは、複数の単位ブロックのうちの少なくとも２つが、互いに異なることもあり、その場合には、少なくとも２つのコア・ブロックを特定すればよい。ＡＷ構造の物理的モデルは、ＡＷ構造の２次元断面および開口を規定することがあり、その場合には、物理的モデルを、各オリジナル単位ブロックが２次元断面の一部分およびＡＷ構造の開口の一部分を含むように分割すればよい。１実施形態では、ＡＷ構造の物理的モデルは、少なくとも１つの電極と、基板層と、真空層と、基板層に隣接する吸収体層と、真空層に隣接する吸収体層とを含む。コア・ブロック（１つまたは複数）のうちの１つが、電極を含むこともある。

この方法は、コア・ブロック（１つまたは複数）のそれぞれの特徴（例えば音場および電場）を計算するステップと、コア・ブロック（１つまたは複数）の計算した特徴から、オリジナル単位ブロックのそれぞれの特徴を導出するステップとをさらに含む。この方法は、複数のオリジナル単位ブロックとの電気的接続を特定するステップをさらに含むことがあり、その場合には、オリジナル単位ブロックのそれぞれの電気的応答を、特定した電気的接続から導出することができる。

この方法は、オリジナル単位ブロックを結合して、単位ブロックの特徴から導出した計算した特徴を有する１つのブロックにして、その１つのブロックが複数のオリジナル単位ブロックを包含するようにするステップと、その後に物理的モデルの少なくとも１つの電気的特徴（例えば周波数応答、静電容量、または共振周波数）を、少なくとも部分的には上記１つのブロックの計算した特徴から導出するステップとをさらに含む。この方法は、任意選択で、物理モデル層を、上記の１つのブロックの左側および右側をそれぞれ成端する２つの吸収体ブロックにさらに分割するステップと、２つの吸収体ブロックのそれぞれの応答を計算するステップと、上記の１つのブロックと２つの吸収体ブロックとを結合して、計算した特徴を有する包括的なブロックにするステップとをさらに含むこともある。物理的モデルの電気的特徴（１つまたは複数）は、少なくとも部分的には包括的なブロックの計算した特徴から導出することができる。

１実施形態では、オリジナル単位ブロックを結合して上記の１つのブロックにするステップは、隣接単位ブロックのセット（例えば隣接オリジナル単位ブロックの対）を階層的にカスケードして１つのブロックにするステップを含む。一例として、隣接単位ブロックのセットは、（ａ）現在の階層レベルの隣接単位ブロックのセットを結合して、次の階層レベルのカスケード単位ブロックを作成し、（ｂ）上記の１つのブロックが作成されるまで、次の階層レベルの隣接単位ブロックのセットについてステップ（ａ）を繰り返すことによって、階層的にカスケードして上記の１つのブロックにすることができる。各単位ブロックは、オリジナル単位ブロック、または以前にカスケードされた単位ブロックである。現在の階層レベルで結合されていない単位ブロックのうちのいずれかは、現在の階層レベルから次の階層レベルに移行される。単位ブロックのうちの１つが、以前に計算した特徴を有し、単位ブロックのうちの少なくとも１つの他の単位ブロックが、物理的および電気的に上記の１つの単位ブロックと同じである場合には、この方法は、現在の階層レベルで隣接単位ブロックのセットを結合するときに、上記の１つの単位ブロックを参照して、他の単位ブロック（１つまたは複数）の以前に計算した特徴を仮定するステップをさらに含むことができるので、好都合である。

１実施形態では、各コア・ブロック（１つまたは複数）の特徴は、有限要素法（ＦＥＭ）を用いて、例えば左側境界ＤＯＦ、右側境界ＤＯＦ、および内部ＤＯＦを有するＡマトリクスを生成し、Ａマトリクスから内部ＤＯＦを除去して、左側境界ＤＯＦおよび右側境界ＤＯＦのみを含むＢマトリクスを生成することによって、計算することができる。ＦＥＭを使用してコア・ブロック（１つまたは複数）を計算する場合には、オリジナル単位ブロックのそれぞれの特徴を、コア・ブロック（１つまたは複数）のＢマトリクス（１つまたは複数）から導出されるＢマトリクスによって表すことができる。

ＦＥＭを使用する場合には、オリジナル単位ブロックを結合するステップは、隣接オリジナル単位ブロックの第１のセットを特定するステップと、第１のセットの隣接オリジナル単位ブロックそれぞれのＢマトリクスを結合して、隣接オリジナル単位ブロックのうちの左の単位ブロックの左側境界ＤＯＦに対応する左側境界ＤＯＦ、隣接オリジナル単位ブロックのうちの右の単位ブロックに対応する右側境界ＤＯＦ、および隣接オリジナル単位ブロックの間の少なくとも１つの共有縁部に対応する内部ＤＯＦを有する第１のＣマトリクスにし、第１のＣマトリクスから内部ＤＯＦを除去することによって、第１のＣマトリクスを、左側境界ＤＯＦおよび右側境界ＤＯＦのみを含む第１のカスケード単位ブロックの第１の新たなカスケードＢマトリクスに縮約することによって、隣接オリジナル単位ブロックの第１のセットをカスケードして第１のカスケード単位ブロックにするステップとを含むことがある。

この場合、オリジナル単位ブロックは、隣接オリジナル単位ブロックの第２のセットを特定することと、第２のセットの隣接オリジナル単位ブロックそれぞれのＢマトリクスを結合して、隣接オリジナル単位ブロックのうちの左の単位ブロックの左側境界ＤＯＦに対応する左側境界ＤＯＦ、隣接オリジナル単位ブロックのうちの右の単位ブロックに対応する右側境界ＤＯＦ、および隣接オリジナル単位ブロックの間の少なくとも１つの共有縁部に対応する内部ＤＯＦを有する第２のＣマトリクスにし、第２のＣマトリクスから内部ＤＯＦを除去することによって、第２のＣマトリクスを、左側境界ＤＯＦおよび右側境界ＤＯＦのみを含む第２のカスケード単位ブロックの第２の新たなカスケードＢマトリクスに縮約することによって、隣接オリジナル単位ブロックの第２のセットをカスケードして第２のカスケード単位ブロックにすることによって、さらに結合することができる。

この場合、オリジナル単位ブロックは、第１および第２のカスケード単位ブロックを隣接カスケード単位ブロックのセットであるものとして特定することと、カスケード単位ブロックのセットの隣接カスケード単位ブロックそれぞれのＢマトリクスを結合して、隣接カスケード単位ブロックのうちの左の単位ブロックの左側境界ＤＯＦに対応する左側境界ＤＯＦ、隣接カスケード単位ブロックのうちの右の単位ブロックに対応する右側境界ＤＯＦ、および隣接カスケード単位ブロックの間の少なくとも１つの共有縁部に対応する内部ＤＯＦを有する第３のＣマトリクスにし、第３のＣマトリクスから内部ＤＯＦを除去することによって、第３のＣマトリクスを、左側境界ＤＯＦおよび右側境界ＤＯＦのみを含む第３のカスケード単位ブロックの第３の新たなカスケードＢマトリクスに縮約することによって、隣接カスケード単位ブロックのセットをさらにカスケードして第３のカスケード単位ブロックにすることによって、さらに結合することができる。このプロセスは、全ての単位ブロックを包含する１つのブロックが作成されるまで、繰り返すことができる。

周波数応答要件に従ってマイクロ波音波（ＡＷ）フィルタを構築する方法は、上述の方法に従ってＡＷ構造を解析するステップと、ＡＷ構造を含むＡＷフィルタを設計するステップと、ＡＷ構造のシミュレーションに基づいて、ＡＷフィルタの周波数応答を決定するステップと、ＡＷフィルタの周波数応答を周波数応答要件と比較するステップと、この比較に基づいてＡＷフィルタを作製するステップとを含むことがある。

本発明のその他のさらなる態様および特徴は、本発明を限定ではなく例示するための以下の好ましい実施形態の詳細な説明を読めば明らかになるであろう。

これらの図面は、本発明の好ましい実施形態の設計および有用性を例示するものであり、これらの図面では、同様の要素は、共通の参照番号で示してある。本発明の上記その他の利点および目的がどのようにして得られるかがよりよく理解されるように、上記で簡単に説明した本発明のさらに詳細な説明を、添付の図面に図示する詳細な実施形態を参照して提供する。これらの図面は本発明の代表的な実施形態を示しているに過ぎず、したがって本発明の範囲を限定するものとはみなされないということを理解した上で、これら添付の図面を使用して、本発明についてさらに具体的かつ詳細に記述および説明する。

表面弾性波（ＳＡＷ）構造の従来技術の物理的モデルを示す２次元（２Ｄ）断面図である。ワイヤレス電気通信システムを示すブロック図である。階層的カスケード技術によってシミュレートした同期ＳＡＷ共振器を示す２Ｄ平面図である。ＦＥＭ階層的カスケード技術によって複数の単位ブロックに分割された図１のＳＡＷ構造の物理的モデルを示す２Ｄ断面図である。階層的カスケード技術によってシミュレートした結合共振器フィルタ（ＣＲＦ）を示す２Ｄ断面図である。ＦＥＭ階層的カスケード技術によって実行される有限要素法（ＦＥＭ）解析中にメッシュ化された図５のＣＲＦの３つのコア・ブロックを示す２Ｄ断面図である。座標系内のオイラー角を示す斜視図である。階層的カスケード技術によって実行されるＦＥＭ解析中にメッシュ化された、電極を含むＳＡＷ構造の一部分の物理的モデルを示す２Ｄ断面図である。図８のＳＡＷ構造の物理的モデルのＦＥＭシステム・マトリクスの疎プロットを示す図である。内部自由度（ＤＯＦ）を有する完全にメッシュ化されたコア・ブロックから、内部ＤＯＦがなく、電圧ｖおよび正味の表面電荷ｑを有する単一電極節を有し、ＬおよびＲの境界節セット上の複数のＤＯＦを有するコア・ブロックへの変換を示す２Ｄ断面図である。内部自由度（ＤＯＦ）を有する完全にメッシュ化されたコア・ブロックから、内部ＤＯＦがなく、電圧ｖおよび正味の表面電荷ｑを有する単一電極節を有し、ＬおよびＲの境界節セット上の複数のＤＯＦを有するコア・ブロックへの変換を示す２Ｄ断面図である。熱圧縮および熱膨張による局所的変形がある完全にメッシュ化されたコア・ブロックを示す２Ｄ断面図である。熱圧縮および熱膨張による局所的変形がある完全にメッシュ化されたコア・ブロックを示す２Ｄ断面図である。ＦＥＭ階層的カスケード技術によってＳＡＷ構造をシミュレートする１つの方法を示す流れ図である。図１２に示すＦＥＭ階層的カスケード技術によるＳＡＷ構造の隣接するブロック対の特定およびカスケードを具体的に示す、ＳＡＷ構造の平面図である。図１２に示すＦＥＭ階層的カスケード技術によるＳＡＷ共振器のシミュレーションと、従来技術のＦＥＭ／ＢＥＭ解析によるＳＡＷ共振器のシミュレーションとの間の、Ｙパラメータについての比較を示すプロットである。ＦＥＭ階層的カスケード技術を用いた実際のＡＷフィルタの設計および構築を示す流れ図である。図１２に示すＦＥＭ階層的カスケード技術による結合共振器フィルタ（ＣＲＦ）のシミュレーションと、従来技術のＦＥＭ／ＢＥＭ解析によるＣＲＦのシミュレーションとの間の、挿入損についての比較を示すプロットである。図１２のシミュレーション方法の計算ステップを実施することができるコンピュータ化ＡＷ構造シミュレーション・システムを示すブロック図である。

本開示は、音波（ＡＷ）マイクロ波フィルタ（表面弾性波（ＳＡＷ）フィルタ、バルク音波（ＢＡＷ）フィルタ、フィルム・バルク音響共振器（ＦＢＡＲ）フィルタ、微小電子機械システム（ＭＥＭＳ）フィルタなど）を設計する技術について述べる。この技術は、３００ＭＨｚから３００ＧＨｚの周波数範囲、特に３００ＭＨｚから１０．０ＧＨｚの周波数範囲、さらに特定すれば４００から３５００ＭＨｚの周波数範囲のＡＷマイクロ波フィルタに適用することができる。このようなＡＷマイクロ波フィルタは、固定周波数フィルタおよび／またはチューナブル・フィルタ（周波数、および／または帯域幅、および／または入力インピーダンス、および／または出力インピーダンスが調整可能）のいずれであってもよく、シングルバンドまたはマルチバンドの帯域通過フィルタリングおよび／または帯域阻止フィルタリングに使用することができる。このようなＡＷマイクロ波フィルタは、携帯電話、スマートフォン、ラップトップ・コンピュータ、タブレット・コンピュータなどのモバイル通信デバイスの無線周波（ＲＦ）フロント・エンド、あるいはＭ２Ｍデバイス、ワイヤレス基地局、衛星通信システムなどの固定位置または固定経路通信デバイスのＲＦフロント・エンドに見られる応用分野など、厳しい電気的および／または環境的性能要件ならびに／あるいは厳しいコスト／サイズ制約を有する応用分野で有利である。

本明細書に記載する例示的なＡＷマイクロ波フィルタは、１つの通過帯域を有する周波数応答を呈し、これは特に電気通信システムのデュプレクサで有用である。例えば、図２を参照すると、モバイル通信デバイスで使用される電気通信システム１０は、ワイヤレス信号を送信および受信することができるトランシーバ１２と、トランシーバ１２の機能を制御することができる制御装置／プロセッサ１４とを含むことがある。トランシーバ１２は、一般に、広帯域アンテナ１６と、送信フィルタ２４および受信フィルタ２６を有するデュプレクサ１８と、デュプレクサ１８の送信フィルタ２４を介してアンテナ１６に結合された送信器２０と、デュプレクサ１８の受信フィルタ２６を介してアンテナ１６に結合された受信器２２とを含む。

送信器２０は、制御装置／プロセッサ１４から提供されるベースバンド信号を無線周波（ＲＦ）信号に変換するように構成されたアップコンバータ２８と、ＲＦ信号を増幅するように構成された可変利得増幅器（ＶＧＡ）３０と、制御装置／プロセッサ１４によって選択される動作周波数帯域内でＲＦ信号を出力するように構成された帯域通過フィルタ３２と、フィルタリングされたＲＦ信号を増幅するように構成された電力増幅器３４とを含み、このフィルタリングされたＲＦ信号は、その後、デュプレクサ１８の送信フィルタ２４を介してアンテナ１６に供給される。

受信器２２は、受信フィルタ２６を介してアンテナ１６および送信器２０から入力されるＲＦ信号による信号干渉を阻止するように構成されたノッチ・フィルタまたは帯域阻止フィルタ３６と、帯域阻止フィルタ３６からのＲＦ信号を比較的低雑音で増幅するように構成された低雑音増幅器（ＬＮＡ）３８と、増幅されたＲＦ信号を、制御装置／プロセッサ１４によって選択される動作周波数帯域内で出力するように構成された帯域通過フィルタ４０と、ＲＦ信号を制御装置／プロセッサ１４に供給されるベースバンド信号にダウンコンバートするように構成されたダウンコンバータ４２とを含む。あるいは、帯域阻止フィルタ３６によって行われる信号干渉を阻止する機能は、デュプレクサ１８が、帯域阻止フィルタ３６に代わって、または帯域阻止フィルタ３６とともに、実行することもできる。これに加えて、または別法として、送信器２０の電力増幅器３４は、受信器２２への信号干渉を低減するように設計することもできる。

図２に示すブロック図は、本質的に機能的なものであり、いくつかの機能が１つの電子構成要素によって実行されることもあるし、あるいは１つの機能がいくつかの電子構成要素によって実施されることもあることを理解されたい。例えば、アップコンバータ２８、ＶＧＡ３０、帯域通過フィルタ４０、ダウンコンバータ４２、および制御装置／プロセッサ１４によって実行される機能は、１つのトランシーバ・チップまたはデバイスによって実行されることが多い。帯域通過フィルタ３２の機能は、電力増幅器３４、およびデュプレクサ１８の送信フィルタ２４によって実行することができる。

本明細書に記載する例示的な技術は、デュプレクサ１８、送信器２０、および受信器２２で構成される電気通信システム１０のＲＦフロント・エンドならびに特にデュプレクサ１８の送信フィルタ２４用の音響マイクロ波フィルタを設計するために使用されるが、同じ技術を使用して、デュプレクサ１８の受信フィルタ２６、およびワイヤレス・トランシーバ１２の他のＲＦフィルタ用の音響マイクロ波フィルタを設計することもできる。

本明細書に記載する音響マイクロ波フィルタを設計するという文脈で、図１に示すＳＡＷ構造１などの音響デバイスの物理モデルをシミュレートする際の多数の自由度（ＤＯＦ）に関連する問題に対処する解決策について述べる。上記から分かるように、ＳＡＷ構造は通常は高い周期性を呈するということが、多くのＳＡＷ構造の特徴である。特に、このようなＳＡＷ構造は、通常は、各ブロック内に同じ反復電極パターン、メタライゼーション比、および層構造を有する複数の構成ブロックからなる。ＳＡＷ構造のこの周期的またはブロック周期的な性質により、ＦＥＭ連立方程式は非常に冗長であり、したがってＦＥＭモデル化の労力は、（ａ）本明細書で吸収体ブロックと呼ぶ計算的に一意的な音波吸収構造成端ブロックと、（ｂ）本明細書でコア・ブロックと呼ぶＳＡＷ構造の物理的に一意的な部分とに限定することができる。

シミュレーション／解析の観点から、同一のブロックを記述する方程式は同じであるので、所与の周波数について一度だけそれぞれの一意的な単位ブロック（すなわち物理的に同一の単位ブロックのセットのうちの任意の１つ）を表す１つのコア・ブロックをモデル化して解き、階層的カスケード技術を使用してＳＡＷ構造を一連のカスケード演算として記述すれば十分であることは重要である。

ＦＥＭ階層的カスケード技術の概念は、ＡＷ構造を一連のカスケード演算として記述するというものである。最下レベルでは、ＡＷ構造は、通常は１つの電極を含むか、または電極をまったく含まないコア・ブロックに分解される。目指すのは、使用するコア・ブロック、吸収体ブロック、およびカスケード演算を可能な限り少なくすることである。この目標を実現するためには、電極構造を解析して、様々な長さスケールで反復パターンを特定することが必要である。構造をより小さな下位構造に分解していくことによって、デバイスの木表現を構築することができる。最下レベルの下位構造、すなわち単位ブロックは、通常は、１つの電極またはギャップのみを含む。表現において必要とされる一意的なブロックが少なくなるほど、メモリ消費および計算時間が大きく節約される。

図３に一例を示すように、ＦＥＭ階層的カスケード技術は、段面で示す同期共振器５０に適用することができる（破線の下に示す）。この例では、同期共振器５０は、１３個の電極５６からなるインターデジタル変換器（ＩＤＴ）５２と、ＩＤＴ５２のそれぞれの端部を成端する、それぞれ６個の電極５６からなる１対の反射器（または格子）５４ａおよび５４ｂとを含み、総数で２５個の電極５６がある。共振器５０は同期型であるので、１つのコア・ブロックのみをＦＥＭでモデル化すればよい。それぞれの一意的な電圧状態によってさらに差別化されるコア・ブロックを、「単位ブロック」と呼ぶ。したがって、単位ブロック「ａ」、「ｂ」、および「ｃ」は、図３において横方向バス・バー「ａ」、「ｂ」、および「ｃ」への電極の電気的接続によって決定される３つの異なる電圧の１つのコア・ブロックを指している。黒枠はオリジナル単位ブロックであり、この場合は、３つの異なる電位にある１つの電極を記述している。白枠はカスケード単位ブロックであり、この場合は、カスケードによって得られる複数の電極を記述している。灰色枠は、既知のカスケード単位ブロックである。同期共振器５０の解析は、図３に示す１０個のカスケード演算（１から１０）と、吸収体ブロックを組み込むための追加の２つのカスケード・ステップとに分解することができる。

以上を踏まえて、任意のＡＷ構造の物理的モデルは、複数のオリジナル単位ブロックに分割することができ、それらのオリジナル単位ブロック内で少なくとも１つのコア・ブロックを特定することができる。各コア・ブロックは、通常は、１つの電極を含むことになる。ただし、デバイス構造内のギャップおよびその他の不連続性を取り扱うために、無電極の単位ブロックが必要になることもある。各コア・ブロックの特徴は、（例えばＦＥＭを用いて）計算することができ、各単位ブロックの特徴は、コア・ブロック（１つまたは複数）の特徴およびコア・ブロックの様々な電圧状態を生じる電気的接続から導出することができ、単位ブロックを階層的にカスケードして各階層レベルのカスケード・ブロック（またはより大きなブロック）を漸進的に規定していき、全てのオリジナル単位ブロックを包含する１つのブロックを得ることができる。デバイス構造の端部では、通常は特殊な吸収体ブロックが必要になるが、場合によっては、吸収体ブロックが１つしか必要ないことや、または３つ以上の吸収体ブロックが必要になることもある。したがって、上記の全てを包含する１つのブロックを、吸収体ブロックとさらにカスケードして、ＡＷ構造のモデルを完成させることができる。特殊な吸収体ブロックは、本明細書ではＰＭＬブロックと称するが、吸収体ブロックにはグリーン関数を使用することもできる。どちらの場合も、ＦＥＭを使用して吸収体ブロックをモデル化することができる。

図１に示すＳＡＷ構造１などの音響構造の物理的モデルは、図４に示すように規定し、複数のオリジナル単位ブロック１００ａから１００ｆに分割することができる。この物理的モデルは、２次元断面（導電性電極２（この場合には６個の電極）と、基板層３と、パッシベーション層４と、真空層５と、基板層３に隣接するＰＭＬ６と、真空層５に隣接するＰＭＬ７と含む）を規定し、各オリジナル単位ブロック１００ａから１００ｆが、このＳＡＷ構造１の２次元断面の一部分（この場合には１つの電極２、基板層３の一部分、パッシベーション層４の一部分、真空層５の一部分、およびＰＭＬ６、７の一部分）と、ＳＡＷ構造の開口の一部分とを含むようになっている。図示の実施形態では、オリジナル単位ブロック１００ａから１００ｆ（それぞれ電極からなる）は、互いに物理的に同じであり、したがって反復的であるので、ＳＡＷ構造１の周期性を反映している。ＳＡＷ構造１の周期性が複数電極程度である（すなわち各周期に複数の電極がある）場合には、複数の電極２が１つのオリジナル単位ブロック１００に含まれることもあることを理解されたい。ただし、効率のためには、可能な限り各オリジナル・ブロック１００を１つの電極のみに限定することが有利である。単純かつ完結にするために、本明細書で述べるオリジナル単位ブロックには、電極は１つしか含まれない。２つのＰＭＬ吸収体ブロック１０２ａおよび１０２ｂ（一方はＳＡＷ構造１の左側、他方はＳＡＷ構造１の右側にある）も含まれる。

この場合には、全てのオリジナル単位ブロック１００ａから１００ｆと物理的に同じであり、したがってそれらを代表することができる、ただ１つのコア・ブロック１００を特定し、モデル化し、ＦＥＭを用いてシミュレートすれば、コア・ブロック１００の特徴を得ることができる。各オリジナル単位ブロック１００ａから１００ｆの特徴は、このコア・ブロック１００の特徴、およびオリジナル単位ブロック１００ａから１００ｆとの電気的接続から導出することができる。特定した隣接するオリジナル単位ブロック１００ａから１００ｆのセットの特徴を階層的にカスケードして各階層レベルのカスケード単位ブロック（より大きな単位ブロック）の特徴を漸進的に規定していき、全ての単一電極のオリジナル単位ブロック１００ａから１００ｆの特徴を包含する１つの多電極ブロックの特徴を得ることができる。例えば、コア・ブロック１００をＦＥＭを用いてモデル化およびシミュレートした後で、隣接するオリジナル単位ブロック１００ａおよび１００ｂの対、隣接するオリジナル単位ブロック１００ｃおよび１００ｄの対、ならびに隣接するオリジナル単位ブロック１００ｅおよび１００ｆの対をカスケードして、第１の階層レベルに３つのさらに大きな２電極カスケード単位ブロック（１つはオリジナル単位ブロック１００ａから１００ｂを包含し、もう１つはオリジナル単位ブロック１００ｃから１００ｄを包含し、さらにもう１つはオリジナル単位ブロック１００ｅから１００ｆを包含する）を作成することができる。次いで、これらの第１のレベルの２電極カスケード単位ブロックのうち第１の隣接する対になっているものをカスケードして、さらに大きな４電極のカスケード単位ブロック（オリジナル単位ブロック１００ａから１００ｄを包含するもの）を第２の階層レベルに作成することができる。次いで、この第２のレベルの４電極のカスケード単位ブロックと、残っている第１のレベルの２電極のカスケード単位ブロックとをカスケードして、１つの６電極のブロック（全てのオリジナル単位ブロック１００ａから１００ｆを包含するもの）を第３の階層レベルに作成することができる。１つの周期を特徴とする１つのコア電極パターンのみからなる同期共振器では、この階層的カスケードの複雑さは、電極の数とともに対数関数的にしか増加しない。結合共振器フィルタ（ＣＲＦ）などのより複雑なデバイスでは、複雑さは周期性の程度によって決まる。

上述のように、ＳＡＷ構造などの音響構造の物理的表現におけるコア・ブロックのみを、ＦＥＭによってシミュレートすればよい。ＦＥＭは、２次元（断面）の任意のコア・ブロックをシミュレートするために使用することができるが、電流のスケーリングおよび抵抗損失の推定においてコア・ブロックの開口を考慮に入れることができる。ただし、導波またはバス・バー放射などの３次元現象は、モデル化することができない。ＦＥＭは、弾性論、圧電弾性、および準静的近似のマクスウェルの法則に基づいて厳密であることが好ましい。コア・ブロックのＦＥＭシミュレーションの結果は、コア・ブロックの電気的特徴、通常はアドミタンス行列を、周波数の関数として計算するものである。簡潔にするために、本明細書に記載するＳＡＷ構造は、一定の金属厚さと、規則的な層構造とを有するものと仮定する。ただし、電極の幅、周期性、およびバス・バーとの電気的接続は、デバイスに沿って変化することもある。

実際的な例として、図５に示す結合共振器（ＣＲＦ）設計１２０は、５つのインターデジタル変換器（ＩＤＴ）１２２ａから１２２ｅと、ＩＤＴ１２２のグループの各端部に１つずつある２つの反射器１２４ａおよび１２４ｂとを含む。この特定のＣＲＦ設計１２０は、図６に示す３つの異なる種類の単一電極コア・ブロック１５０ａから１５０ｃ（ＩＤＴ１２２ａ、１２２ｃ、および１２２ｄの各電極（フィンガ）について１つのコア・ブロック１５０ａ、ＩＤＴ１２２ｂの各フィンガについて１つのコア・ブロック１５０ｂ、ならびにＩＤＴ１２２ｄの各フィンガについて１つのコア・ブロック１５０ｃ、これら３つのコア・ブロックは、それぞれのＩＤＴにおいてそれぞれ異なる電極ピッチを表す）、および２つの吸収体ブロック（例えばＰＭＬ吸収体ブロック）（図６には図示せず）の、総数で５つのＦＥＭモデル化ブロックに縮約することができる。図６に示す例示的な実施形態では、コア・ブロック１５０ａから１５０ｃは、それぞれ１．２７７、１．２６３、および１．１３７０の電極ピッチを有し、それぞれ０．６８２２、０．７５７８、および０．７６６２の電極幅を有する。

図６から分かるように、各コア・ブロックは、ＦＥＭにより、調和電気的励起下でメッシュ化およびシミュレートすることができる。各ＦＥＭモデルのＤＯＦは、音場（例えば３次元機械的変位）およびメッシュの節の電場の値である。この問題の２Ｄの性質は、電極に沿った抵抗および電流が両方とも記述されない無限小長に対応する。２Ｄ表現では抵抗は無視されるが、抵抗の影響は、後述するように集中素子として再度導入される。ただし、Ｇ．Ｌ．Ｍａｔｔｈａｅｉ、「Ａｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄｍｅａｎｓｆｏｒｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｆｏｒｉｎｔｅｒｃｏｎｎｅｃｔｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄｃａｐａｃｉｔａｎｃｅｓａｎｄｉｎｄｕｃｔａｎｃｅｓ」、ＩＥＥＥＴｒａｎｓ．、Ｃｏｍｐｕｔ．−ＡｉｄｅｄＤｅｓｉｇｎＩｎｔｅｇｒ．ＣｉｒｃｕｉｔｓＳｙｓｔ．、５１３〜５２４（１９９２年）に記載されるように、抵抗およびインダクタンスは両方とも考慮することができる。

コア・ブロック１５０は、場合によっては追加の圧電または誘電体層（図６には図示せず）で被覆されていることもある圧電基板１５２ａ、１５２ｂ、１５２ｃと、場合により存在する基板１５２ａ、１５２ｂ、１５２ｃ上の金属電極１５４ａ、１５４ｂ、１５４ｃと、場合により存在する誘電体コーティング層（図６には図示せず）と、周囲の真空１５６ａ、１５６ｂ、１５６ｃとからなるように取ることができる。簡略化のための近似として、基板は半無限であるものと仮定する。すなわち、基板１５２の有限の厚さを考慮せず、これにより、普通なら「平板モード」を生じる可能性があるＳＡＷデバイスを位置付けることができる基板１５２の反対側からの反射を無視することができる。基板、電極、およびコーティング層は、弾性論（Ｄ．Ｈ．Ｌｏｖｅ、「ＡＴｒｅａｔｉｓｅｏｎｔｈｅＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＴｈｅｏｒｙｏｆＥｌａｓｔｉｃｉｔｙ、Ｄｏｖｅｒ、１９９４年、ならびにＬ．Ｄ．ＬａｎｄａｕおよびＥ．Ｍ．Ｌｉｆｓｈｉｔｚ、「ＴｈｅｏｒｙｏｆＥｌａｓｔｉｃｉｔｙ」、ＰｅｒｇａｍｅｎｔＰｒｅｓｓ、１９８６年参照）、圧電性の熱力学理論（Ｔ．Ｉｋｅｄａ、「ＦｕｎｄａｍｅｎｔａｌｓｏｆＰｉｅｚｏｅｌｅｃｔｒｉｃｉｔｙ」、ＯｘｆｏｒｄＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＰｒｅｓｓ、１９９６年参照）、およびマクスウェル方程式を用いて扱うことができる。この処理は２次元であり、場は、１つの座標軸に沿って不変であると仮定されている。

圧電基板について、弾性論では、均一な連続媒体を考える。注目する場の量は、機械的変位場

、電場

、および磁場

である。線形の圧電媒体では、応力テンソル

、および電気的変位場

が、歪みテンソルおよび電場に１次結合される。音波の速度は光速と比較すれば低いので、磁場は無視することができる。その結果として、電場は、以下のように電気スカラー・ポテンシャルの勾配として近似することができる。

この準静的近似内で、圧電基板の構成関係は、以下のようになる。

ここで、Ｔ_ｉｊは、２階応力テンソルの構成要素であり、

は、４階剛性テンソルの構成要素であり、ｅ_ｋｉｊは、３階圧電テンソルの構成要素であり、

は、２階誘電率テンソルの構成要素である。剛性テンソル、圧電テンソル、および誘電率テンソルの構成要素は、材料のパラメータである。上付きのＥおよびＳは、それらのテンソルの構成要素が、それぞれ一定電場および一定歪みで測定されることを示している。圧電材料は、異方性が強く、結晶カットおよびデバイス配向を規定しなければならない。これらは、一般に、図７に示すようにオイラー角によって指定される。

結晶のＺ軸（ｘ_３軸）の周りの第１の回転λおよび

軸の周りの第２の回転μが、表面平面（ここでは網掛けした長方形として示すウェハ・カット）を決定する。

軸の周りの第３の回転θが、デバイス配向（ウェハ上の１次ＳＡＷ伝搬方向）を指定する。オイラー角を規定する一般に認められている方法はないことに留意されたい。選択は、工学分野および個人の好みによって決まる。

各均一なサブ領域において、支配方程式は、運動方程式

およびマクスウェル方程式

である。

誘電体膜については、圧電基板の場合と同じ方程式が当てはまるが、圧電テンソルの構成要素が消滅する点が異なる。薄膜の異方性および材料パラメータは、製造プロセスによって決まることがある。それらは、単に等方性と仮定されることが多い。単結晶のテクスチャ付きの膜も存在し、これも本発明の枠内でモデル化することができる。

金属電極については、応力と機械的変位の間の構成関係が、圧電基板と同様である。多結晶電極は、巨視的には等方性である。圧電結合はなく、抵抗率を無視すれば、電位は電極で一定である。

機械的変位は、真空では消滅する。電気的変位場は、

で与えられ、ここで、ε０は、真空の誘電率であり、マクスウェル方程式は、
［６］∇^２φ＝０
となる。

機械的変位場と、応力テンソルの法線成分とは、界面にわたって連続であり、真空では消滅する。電位は、あらゆる箇所で連続であり、各電極で一定である。電気的変位の法線成分は、非金属の（基板／真空、基板／誘電体、誘電体／真空）界面にわたって連続である。金属界面では、表面電荷が発生し、これにより電流

が生じることがある。ここで、被積分関数は、界面の非金属側にわたって評価される。表面電荷の積分も含めたこれらの連続性条件は、選択したＦＥＭの定式化で自動的に考慮される。

上述のように、開境界は、ＰＭＬ（Ｊ．Ｐ．Ｂｅｒｅｎｇｅｒ、「ＡＰｅｒｆｅｃｔｌｙＭａｔｃｈｅｄＬａｙｅｒｆｏｒｔｈｅＡｂｓｏｒｐｔｉｏｎｏｆＥｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃＷａｖｅｓ」、ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＰｈｙｓｉｃｓ、１１４、１８５−２００、１９９４年参照）で近似することができ、これは、現実の材料の表面インピーダンスを有するが、その層に入射する全ての放射を吸収する、合成計算材料である。

ただし、音響および圧電の問題へのＰＭＬの一般化はさらに問題があることが分かったので、コンボリューション完全整合層（Ｃ−ＰＭＬ）（Ｆ．Ｄ．Ｈａｓｔｉｎｇｓ、Ｊ．Ｂ．Ｓｃｈｅｉｄｅｒ、およびＳ．Ｌ．Ｂｒｏｓｃｈａｔ、「ＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｔｈｅＰｅｒｆｅｃｔｌｙＭａｔｃｈｅｄＬａｙｅｒ（ＰＭＬ）ＡｂｓｏｒｂｉｎｇＢｏｕｎｄａｒｙＣｏｎｄｉｔｉｏｎｔｏＥｌａｓｔｉｃＷａｖｅＰｒｏｐａｇａｔｉｏｎ」、ＪｏｕｒｎａｌｏｆＡｃｏｕｓｔｉｃａｌＳｏｃｉｅｔｙｏｆＡｍｅｒｉｃａ、１００、３０６１〜３０６９、１９９６年、Ｗ．Ｃ．ＣｈｅｗおよびＱ．Ｈ．Ｌｉｕ、「ＰｅｒｆｅｃｔｌｙＭａｔｃｈｅｄｌａｙｅｒｓｆｏｒＥｌａｓｔｏｄｙｎａｍｉｃｓ：ＡＮｅｗＡｂｓｏｒｂｉｎｇＢｏｕｎｄａｒｙＣｏｎｄｉｔｉｏｎ」、ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＡｃｏｕｓｔｉｃｓ、４、３４１〜３５９、１９９６年、ならびにＹ．Ｂ．ＺｈｅｎｇおよびＸ．Ｊ．Ｈｕａｎｇ、「ＡｎｉｓｏｔｒｏｐｉｃＰｅｒｆｅｃｔｌｙＭａｔｃｈｅｄＬａｙｅｒｓｆｏｒＥｌａｓｔｉｃＷａｖｅｓｉｎＣａｒｔｅｓｉａｎａｎｄＣｕｒｖｉｌｉｎｅａｒＣｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ」、ＭＩＴＥａｒｔｈＲｅｓｏｕｒｃｅｓＬａｂｏｒａｔｏｒｙＩｎｄｕｓｔｒｙＣｏｎｓｏｒｔｉｕｍＲｅｐｏｒｔ、ＭａｓｓａｃｈｕｓｅｔｔｓＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ、ＥａｒｔｈＲｅｓｏｕｒｃｅｓＬａｂｏｒａｔｏｒｙ、２００２年参照）の導入によって技術的突破口が開けた。この手法は、ＣＯＭＳＯＬなどの商用ＦＥＭプラットフォームでも容易に実装するのに適しており、時間領域および周波数領域のシミュレーションの両方に適用可能である（Ｏ．ＢｏｕＭａｔａｒ、Ｅ．Ｇａｌｏｐｉｎ、Ｙ．Ｌｉ、およびＯ．Ｄｕｃｌｏｕｘ、「ＡｎＯｐｔｉｍｉｚｅｄＣｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎ−ＰｅｒｆｅｃｔｌｙＭａｔｃｈｅｄＬａｙｅｒ（Ｃ−ＰＭＬ）、ＡｂｓｏｒｂｉｎｇＢｏｕｎｄａｒｙＣｏｎｄｉｔｉｏｎｆｏｒｔｈｅＳｅｃｏｎｄ−ＯｒｄｅｒＥｌａｓｔｉｃＷａｖｅＥｑｕａｔｉｏｎ−ＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｔｏＳｕｒｆａｃｅａｎｄＬａｍｂＷａｖｅｓＰｒｏｐａｇａｔｉｏｎ」、ＰｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆｔｈｅＣＯＭＳＯＬＵｓｅｒｓＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅ２００７、２００７年参照）。この方法の適用は、専門的ＳＡＷデバイス・モデル化でも示されている（Ｄ．Ｋａｒｉｍ、Ｓ．Ｂａｌｌａｎｄｒａｓ、Ｔ．Ｌａｒｏｃｈｅ、Ｋ．Ｗａｇｎｅｒ、Ｊ．Ｍ．Ｂｒｉｃｅ、およびＸ．Ｐｅｒｏｉｓ、「ＦｉｎｉｔｅＥｌｅｍｅｎｔＡｎａｌｙｓｉｓｉｎＣｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｗｉｔｈＰｅｒｆｅｃｔｌｙＭａｔｃｈｅｄＬａｙｅｒｔｏｔｈｅＮｕｍｅｒｉｃａｌＭｏｄｅｌｉｎｇｏｆＡｃｏｕｓｔｉｃＤｅｖｉｃｅｓｉｎＰｉｅｚｏｅｌｅｃｔｒｉｃＭａｔｅｒｉａｌｓ」、ＡｐｐｌｉｅｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ、４、６４〜７１、２０１３年参照）。

ＰＭＬ内で、物理的座標｛ｘ_１、ｘ_３｝は、

の形態の複素数値で置換される。この演算は、複素座標ストレッチと呼ばれる。さらに一般化すると、ストレッチ因子σ_ｉは、複素数値であり、周波数依存性であることがある。時間領域の解析では、これらは、因果律から生じる追加の制約を受ける。ストレッチは、吸収が必要な方向にのみ適用される。分かりやすいように、基板が半空間ｘ_３≦０を満たし、真空が正方向ｘ_３→∞に存在し、ｘ_１方向が基板表面と平行になるように、座標を固定する。基板中に伝搬するバルク波に対する座標ストレッチの影響

を考える。σ_３＜０では、この波はｘ_３→−∞で消滅する。これが、座標ストレッチの目的である。すなわち、伝搬波を減衰波に変換する。ストレッチ因子が適切に選択され、ＰＭＬが十分に深いものとすると、この層に入射する基本的に全てのエネルギーが吸収されることになる。ストレッチ因子は、慎重に選択しなければならない。通常の基板における解を乱すことを避けるためには、ストレッチは、滑らかでなければならず、かつ基板とＰＭＬの間の境界で消滅しなければならない。境界では、少なくとも２次プロファイルが推奨される。同時に、この層の深さ内で十分な減衰が得られなければならない。Ｃ−ＰＭＬのパラメータは、この手法で最適化されることが好ましい。

Ｃ−ＰＭＬは、真空には適していない。真空中のマクスウェル方程式の解が静的であるので、伝搬波がなく、したがって座標ストレッチが減衰を生じない。しかし、実施が容易であり、かつ極めて効率的でもある１つの手法では、次のように強い人工異方性を真空に導入する（Ｉ．Ｂａｒｄｉ、Ｏ．Ｂｉｒｏ、およびＫ．Ｐｒｅｉｓ、「ＰｅｒｆｅｃｔｌｙＭａｔｃｈｅｄＬａｙｅｒｓｉｎＳｔａｔｉｃＦｉｅｌｄｓ」、ＩＥＥＥＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｎＭａｇｎｅｔｉｃｓ」、Ｖｏｌ．３４、２４３３〜２４３６、１９９８年参照）。

ここで、ｑ（ｘ_３）は、パラメータである。数値問題を回避するために、このパラメータは、ｑ＝１から開始するが、法線方向に沿った誘電率テンソルの成分が１より（はるかに）小さくなるように、ＰＭＬ内で深くなるにつれて急速に増加する。

図８を参照すると、上記の方程式を使用して、１つの導電性電極２０２と、基板結晶２０４と、パッシベーション層２０６と、真空２０８とを含むＳＡＷ基板２００の一部分に、ＦＥＭを適用することができる。この問題をＦＥＭを用いてモデル化して解くためには、シミュレーション領域２１０を、有限要素２１２および節点２１４のセットに細分（メッシュ化）する。最も一般的に使用される要素は、３角形または４角形である。最低次の要素（直線要素）は、それらの要素の各角部に節点を有する。高次の要素は、それらの要素の境界上、または内部に追加の節を有する。図示の場合では、各有限要素２１２は、４次の４角形の形状をとるが、３次の３角形要素など、その他の次数の要素を使用することもできる。

ＦＥＭの実施および使用は周知であり、従来技術であるので、本明細書の説明では、形状関数が各節点２１４に関係することが分かっていれば十分である。注目する基本場は、形状関数の１次結合として表現される。節点２１４におけるこれらの場の値が、解くべき変数、すなわちこのモデルの自由度（ＤＯＦ）となる。発明者等は、基本変数として、機械的変位場

およびスカラー・ポテンシャルφを選択する。これらは、以下の形態をとる。

ここで、総和は、全ての節についてのものであり、Ｎ^ｎ（ｘ_１、ｘ_３）は、節ｎに属する形状関数を示し、節点

における場の値が、解くべきＤＯＦとなる。形状関数の構造により、機械的変位および電位は、シミュレーション領域のあらゆる箇所で連続である。電極では、電位（電圧）は、定数に設定される。

この問題を解くためには、上記の数式を、構成関係および支配方程式に代入する。これらの方程式は、それらに各形状関数を乗算し、シミュレーション領域全体にわたって積分することによって離散化する。その結果として、
［１２］［Ｋ−ω^２Ｍ］（ｘ）＝（ｓ）
の形態の連立一次方程式が得られる。ここで、マトリクスＫおよびＭは、剛性マトリクスおよび質量マトリクスと呼ばれ、これらが合わさってシステム・マトリクスを形成する。ωは、角周波数を表し、ベクトルｘは、解くべき全ての自由度を集めたものであり、ベクトルｓは、ソース・ベクトルと呼ばれる。通常は、ソース・ベクトルの非ゼロ要素のみが、金属表面上の電荷密度を表す。

このシステム・マトリクスの正確な形態は、ここでは無関係である。しかし、このマトリクスが対称であること、および質量マトリクスの要素が、形状関数

［１３］Ｍ^ｎｍ〜∫ρＮ^ｎＮ^ｍｄＡ
にわたる整数からなることが分かっていると有利である。剛性マトリクスの要素は、

の形態の整数からなる。隣接する要素内に位置するＤＯＦのみが結合される。任意のかなりのサイズのＦＥＭ問題では、図９に示す疎なパターンが示すように、システム・マトリクスの要素の圧倒的多数がゼロである。この具体的なモデルは、５２０個の要素と、２７６６個の節と、７１１３個のＤＯＦとからなる。システム・マトリクスは、４９０２１５個の非ゼロ成分を有する。これらのマトリクスの要素のうち９９．０％が、ゼロである。原理的には、システム・マトリクス内の変数の順序付けは、任意である。実際には、マトリクスがどのように結合されているかを示す指標であるシステム・マトリクスの帯域幅を最小にする変数の順序付けが好ましい。図９に示すように、システム・マトリクス要素の帯域幅は、比較的狭い。

損失をモデルに組み込む簡単な方法は、小さな材料依存の虚数成分を剛性係数に付加することである。その結果として、剛性マトリクスは、以下のように２つの成分に分割される。
［１５］Ｋ→Ｋ＋ｉωＱ

Ｃ−ＰＭＬの実施については、ストレッチ因子が、剛性マトリクスの要素を介して数式に入る。方程式［１４］は、

の形態をとることができる。ここで、システム・マトリクスおよびソース・ベクトルの成分は、積（１＋ｉσ_１）（１＋ｉσ_３）で正規化される。

内部自由度（この場合には音場および電場）を単位ブロックから除去することによって単位ブロックのカスケードを容易にすることができることは重要である。特に、各単位ブロックを分離してモデル化することができ、異なる単位ブロックの間の相互作用は、側壁および電気的境界条件を通じてしか起きない。それぞれの一意的なブロック、すなわちコア・ブロックは、ＦＥＭによってメッシュ化およびモデル化することができ、これによりそのブロックをＦＥＭモデル３００ａ（図１０ａ）に変換することができる。ＦＥＭにより、コア・ブロック内の自由度（ＤＯＦ）を結合する、すなわちメッシュの節点において機械的変位および電位の成分を結合する、完全連立一次方程式が得られる。節には、ＦＥＭモデル３００ａの左縁部に位置する節、ＦＥＭモデル３００ａの右縁部に位置する節、およびＦＥＭモデル３００ａの内部に位置する節という、３種類がある。本明細書に記載するカスケード手法と両立するためには、連続する単位ブロックの間の境界におけるメッシュ構造は、同じでなければならない。（例えばシューアの補行列を計算することによって、またはＫｒｏｎ縮約によって）内部ＤＯＦを除去することにより、ＦＥＭモデル３００ａを、電極との電気的接続、ならびに左境界（Ｌ）および右境界（Ｒ）に位置するＤＯＦが電位および力を入力として有する「ポート」として機能するネットワーク３００ｂ（図１０ｂ）に変換することができる。

特に、左縁部、内部、および右縁部に対応するものに分類することができる節および対応するＤＯＦを有する、代表的なコア・ブロックのＦＥＭシステム・マトリクスを考える。したがって、１つの周波数での調和励振では、図９ａのＦＥＭモデル３００ａは、以下のように表現することができる連立一次方程式を生じることができる。

ここで、成分Ａ_ｊｋは、マトリクスの成分であり、ベクトル（ｘ_Ｌ、ｘ_Ｉ、ｘ_Ｒ）は、それぞれコア・ブロックの左縁部、内部、および右縁部に位置する節ＤＯＦを含み、スカラーｖは、電極に接続された電位であり（コア・ブロックに電極が存在する場合）、ｑは、（場合により存在する）電極境界における正味の表面電荷である。コア・ブロックに複数の電極が存在する場合には）、スカラーｖおよびｑをベクトルに拡張することができる。

それぞれの代表的なコア・ブロックのＦＥＭモデルは、係数縮約境界マトリクス（Ｂマトリクス）の形態に形成され、係数縮約境界マトリクス（Ｂマトリクス）は、ＦＥＭマトリクス・システムから内部ＤＯＦを除去して、ＤＯＦが電極電位および電荷（電極が存在する場合）、ならびに左側および右側の界面節における場の値のみであるＢマトリクスを生じることによって、これらの界面における場の間の関係を記述する。

が、縮約マトリクス方程式

を生じる。左縁部および右縁部が界面であると解釈して、発明者等は、以下のように、この係数マトリクスを境界マトリクス（Ｂマトリクス）として特定する。

図９に例示されている数式［１７］中のＦＥＭシステム・マトリクスＡは、本質的に対称であり、非常に疎であるが、数式［２０］中の係数マトリクスＢは、やはり対称ではあるが、疎ではない。したがって、ＡマトリクスおよびＢマトリクスの上側の３角形部分または下側の３角形部分を記憶するだけで十分である。Ｂマトリクスは、ネットワーク理論のアドミタンス行列（Ｙ）、ならびに境界要素法で得られるシステム・マトリクスとある程度の類似性を共有する。電極に流れ込む電流は、以下のように表現することができる。

ここで、Ｗは、音響開口を表す。

単一電極における抵抗損失は、電極とバス・バーの間に電気的に接続された集中直列抵抗Ｒとしてモデル化される。その影響は、以下のようにＢマトリクスに包含させることができる。

その結果得られるＢマトリクスは、依然として対称のままである。

ＳＡＷ構造は、少なくとも２つの電気的接続を有していなければならず、そのうちの一方は、接地（基準）として規定されなければならず、残りは電気ポートとみなされる。したがって、電極は、地面または電極ポートのうちの１つに接続されるか、あるいは浮遊状態のままに残されるか、いずれかの可能性がある。ＳＡＷ構造をシミュレートするためには、他の全ての電気ポートを接地状態に保ったまま、１つの電極ポートと地面の間に単位電圧を印加することによって、その１つの電極ポートを励起すればよい。各電極ポートを順番に励起し、励起するたびに、全ての電気ポートに流れる電流を収集する。したがって、各電極の電気的状態を指定しなければならない。デバイス・モデル化では、全ての電気ポートをカバーし、各電極を正しい電位に接続する拡張Ｂマトリクスが必要である。この目的のために、全ての電気的接続の電位を収集してベクトルＶ≡（ｖ_１…ｖ_Ｋ）^Ｔとし、対応する正味の表面電荷を含むベクトルＱ≡（ｑ_１…ｑ_Ｋ）^Ｔを定義する。以下のように連結性ベクトルΓをＫ×１ベクトル

として定義すると、以下のように単位ブロック対称な拡張Ｂマトリクスが得られる。

温度変化は、材料パラメータ、特にＳＡＷ速度の変化を通じて、またデバイスの幾何学的形状を変形させる熱膨張を通じて、ＳＡＷデバイスの周波数応答に影響を及ぼすことに留意されたい。ＦＥＭは、両機構のモデル化によくて期している。ＦＥＭは、コア・ブロックをモデル化するときに、このような熱的影響を考慮することができるので、熱的影響によるコア・ブロックの局所的変形は、ＦＥＭモデルに表現されている。例えば、±１℃の温度変化を仮定すると、熱圧縮状態のＦＥＭモデル３００ｃおよび熱膨張状態のＦＥＭモデル３００ｄの局所的変形は、それぞれ図１１ａおよび図１１ｂに示すように起こる。これらの図では、説明のために、局所的変形を１００倍に強調してある。階層的カスケードの原理との両立を維持するためには、同じ単位ブロックは同様の膨張しかできないという制約を加える必要がある。これにより、変形がデバイス全体で変化するデバイスの反りなどの影響を排除する。基板結晶は、自由に膨張することができる。単位ブロックの平面次元は、基板結晶に従うものと仮定する。各単位ブロック内部の局所的変形は、熱的ＦＥＭ解析によってモデル化される。これにより得られる変形後のメッシュを、その後は電気的シミュレーションのメッシュとして使用する。

計算したコア・ブロックの特徴から導出した単位ブロックの特徴をカスケードする際には、各単位ブロック・メッシュの辺上のＤＯＦ、ならびに電極（１つまたは複数）（存在する場合）の電位および正味の表面電荷を、界面として扱う。特に、２つの隣接する単位ブロックを記述する拡張Ｂマトリクスをカスケードして、両ブロックを記述する結合Ｂマトリクスを得ることができる。この結合Ｂマトリクスでは、第１の単位ブロックの左縁部および第２の単位ブロックの右縁部が、新たな界面となり、中央の共有される縁部は除去される。このプロセスを、デバイス全体をカバーするまで継続することができる。このようにして、大きな手の施しようのないモデル化の問題を、より小さな扱いやすい小問題に分解することができる。

例えば、２つの隣接する単位ブロック、例えばそれぞれ２つの電極を含む２つの隣接する単位ブロックを特徴付ける２つの拡張または結合ＢマトリクスＢ^ＡおよびＢ^Ｂを考える。上述のように、隣接する単位ブロックのメッシュは、共有される界面Ｂ^Ａ∩Ｂ^Ｂで互換性がなければならない。ｘ_Ｌが単位ブロックＢ^Ａの左縁部のＤＯＦを表し、ｘ_Ｒが単位ブロックＢ^Ｂの右縁部のＤＯＦを表し、ｘ_Ｃが単位ブロックＢ^ＡとＢ^Ｂの間の共有縁部のＤＯＦを表すものとすると、それらの結合システム・マトリクスＣ^ＡＢは、

という形態をとる。この場合も、以下のように、共有縁部に関係するＤＯＦを除去することができる。

結合システム・マトリクスへの後退代入により、カスケードＢマトリクス
［２７］

が得られる。このカスケードＢマトリクスは、

を満たす。このカスケードＢマトリクスは、電気励起および境界条件に対する結合またはカスケード単位ブロックの応答を完全に記述している。また、このカスケードＢマトリクスは、対称である。このカスケードＢマトリクスのサイズは、電気的接続、および縁部におけるＤＯＦの数のみによって決まる。全てのメッシュ縁部が互いに互換性がある場合には、カスケードＢマトリクスは、それが導出された元の拡張および／またはカスケードＢマトリクスと同じサイズを有する。さらに、カスケードＢマトリクスをさらにカスケードして、さらに大きな構造を記述することもできる。したがって、このＢマトリクスの形式は、いくつかの電極を有するコア・ブロック、１つの電極を有するコア・ブロック、または電極を有していないコア・ブロックから、任意の多数の電極の集約シーケンスからなるカスケード単位ブロックまでのＳＡＷ構造を記述することができる。これが、ＦＥＭ階層的カスケード技術の力である。したがって、個々の電極から始まって多電極デバイスの全体まで、より小さな構造を記述するＢマトリクスを結合して、より大きな構造を記述するＢマトリクスを得ることができる。

２つのＢマトリクスのみを結合して方程式［２５］によってＣマトリクスを作成し、その後数式［２６］から［２８］によって縮約してカスケードＢマトリクスを作成するものとして説明したが、３つ以上のＢマトリクスを結合してＣマトリクスにし、その後縮約してカスケードＢマトリクスを作成することもできることを理解されたい。例えば、３つの隣接するＢマトリクスを、それらのうちの２つの隣接するものを結合することによってカスケードしてＣマトリクスを作成し、そのＣマトリクスを隣接するＢマトリクスと結合して、さらに大きなＣマトリクスを作成し、このＣマトリクスを、３つのＢマトリクスの応答を完全に記述するＢマトリクスに縮約することもできる。実際には、得られるＣマトリクスを必要とされるまで縮約することなく、任意数の隣接するＢマトリクスのカスケードを行うことができる。

Ｂマトリクスを構築してカスケードする計算コストは、かなり高いことを指摘しておく。ただし、この手法を非常に効率的なものにしているのは、カスケード演算を階層的に実行することができることである。つまり、１対の電極を記述する２つのＢマトリクスを結合して、４つの電極を記述するＢマトリクスを得ることができ、４つの電極を記述する２つのＢマトリクスを結合して、８個の電極を記述するＢマトリクスを得ることができ、以下同様に行うことができる。周期構造では、計算コストは、電極数に対して対数関数的に増大する。

ＦＥＭ階層的カスケード技術で得られるものは、ＳＡＷ構造全体を記述する１つのカスケードＢマトリクスである。このモデルを解くためには、構造は、上述のようにＰＭＬ吸収体ブロックなどの吸収体ブロックで終端し、外部電気励起に対して解く必要がある。
所望の電圧励起は、以下のように表現することができる。
［２９］Ｖ＝ΔＶ＋ｅ^ＴＶ_ｒｅｆ
ここで、ｅは、１×Ｎ_ｐｏｒｔマトリクスであり、Ｎ_ｐｏｒｔは、電圧の数である。電荷的中性は、全ての表面電荷の和がゼロである、すなわちｅＱ＝１であることを求めることによって実現される。これらの置換の後で、最終的な連立方程式は、以下の形態をとる。

ここで、Ｂ^ＰＭＬは、左側および右側のＰＭＬ吸収体ブロックのＢマトリクスを表す。ＰＭＬ吸収体ブロック以外の吸収体ブロックについての任意の連立方程式は、方程式［３０］と同様の形態をとることになる。注目する電流、場の量、およびその他の観測量は、後処理ステップとして計算することができる。

上記より、本明細書に記載するＦＥＭ階層的カスケード技術により、周期ブロック構造を有するＡＷ構造を、ＦＥＭの汎用性を維持しながら、ただしメモリ要件および計算速度を劇的に減少させて、ＦＥＭによって２次元でシミュレートすることができることが分かる。

図１２を参照して、マイクロ波音波（ＡＷ）構造、特に図１３に示すＳＡＷ構造５００をシミュレートする１つの方法４００について説明する。ＳＡＷ構造５００は、２３個の電極（これらの電極は、１つおきに１２個が信号バス・バー５０６に接続され、１つおきに１１個が、接地バス・バー５０８に接続されている）と、それぞれが９個の電極（全て接地バス・バー５０８に接続されている）からなる、ＩＤＴ５０２のそれぞれの端部を成端する１対の反射器５０４ａおよび５０４ｂとからなるインターデジタル変換器（ＩＤＴ）５０２を含む同期共振器の形態をとり、総数で４１個の電極がある。全ての電極は、同じ形状および同じ周期を有するものと仮定する。

最初に、ＡＷ構造５００の物理的モデルを規定し（ステップ４０２）、複数のオリジナル単位ブロック５１０に分割する（ステップ４０４）。図示の実施形態では、各オリジナル単位ブロック５１０は、１つの電極を含み、したがって、同数の４１個のオリジナル単位ブロック５１０がある。次に、複数のオリジナル単位ブロック５１０内で少なくとも１つのコア・ブロック５１２を特定する（ステップ４０６）。図１３に示す実施形態では、１つのコア・ブロック５１２のみを特定するが、このコア・ブロックは、全てのオリジナル単位ブロック５１０と物理的に同じである。例示的な例として、このコア・ブロック５１２の２Ｄ断面は、図４のブロック１００の２Ｄ断面と似ていることがある。もちろん、複数のコア・ブロック５１２を特定してもよく、それらが図６に示すコア・ブロック１５０ａから１５０ｃに似ていることもある。

ＦＥＭ解析を実行して、コア・ブロック（１つまたは複数）５１２の電気的特徴を計算し（ステップ４０８）、各コア・ブロック５１２について、疎な対称なＦＥＭシステム・マトリクスＡを生成する。例示的な例として、コア・ブロック５１２のＦＥＭメッシュ化は、図１０ａのブロック３００ＡのＦＥＭメッシュ化と似ていることもある。図示の実施形態では、ＦＥＭを使用して、コア・ブロック（１つまたは複数）５１２内の電極（存在する場合）の電位（存在する場合）によって励起されるコア・ブロック（１つまたは複数）５１２内の音場および電場、ならびにコア・ブロック（１つまたは複数）５１２の境界で生じる力および電場の形態のＤＯＦを計算する。次に、メッシュ化したコア・ブロック（１つまたは複数）５１２のそれぞれから内部ＤＯＦを除去して（ステップ４１０）、図１０ｂのブロック３００ｂに似ていることがある縮約コア・ブロックを表す、密な対称な「境界マトリクス」である縮約システム・マトリクスＢを生成する。

好ましい実施形態では、ＦＥＭを使用して各コア・ブロック５１２の応答を計算することは、方程式［１７］によって、左側境界ＤＯＦ、右側境界ＤＯＦ、および内部ＤＯＦを有するＡマトリクスを生成すること（ステップ４０８）、ならびに方程式［１８］から［２０］によって、Ａマトリクスから内部ＤＯＦを除去して、左側境界ＤＯＦと、右側境界ＤＯＦと、電極（１つまたは複数）（存在する場合）の電位および正味の表面電荷とを含むＢマトリクスを生成すること（ステップ４１０）を含む。さらに、ステップ４１０の一部として、方程式［２２］によって、電極の抵抗損失をＢマトリクスに含めることもできる。

次に、図３および図１３の横方向バス・バーによって表されるような指定された電気的接続を利用して、各コア・ブロックＢマトリクスから１種類または複数種類のオリジナル単位ブロック５１０を規定する拡張Ｂマトリクスを形成する（ステップ４１２）。好ましい実施形態では、ステップ４１２は、方程式［２３］から［２４］によって実行される。

図１３に示す実施形態では、２種類のオリジナル単位ブロック５１０、すなわち信号バス・バー５０８に接続された「高温」電極を含む単位ブロック「ｂ」（５１０ｂ）、および接地バス・バー５１０に接続された「低温」電極を含む単位ブロック「ａ」（５１０ａ）を特定する。この一連のオリジナル単位ブロック５１０は、最低の（または第１の）階層レベルで規定されるものとみなすことができ、結合して、さらに大きなカスケード単位ブロック５１４を形成することができる。

オリジナル単位ブロック５１０の数を最小限の種類数（各種類が独自の一意的な電圧を有する）まで減少させて、単位ブロックをより効率的に１つのブロックまでカスケードできるようにすると有利であるが、全てのオリジナル単位ブロック５１０をある種のオリジナル単位ブロック５１０に分類する必要はなく、さらにはオリジナル単位ブロック５１０を１つもある種のオリジナル単位ブロック５１０に分類する必要もないことを理解されたい。むしろ、各オリジナル単位ブロック５１０は、種類に関係なく規定することができる（すなわち、２３個のオリジナル単位ブロック５１０のそれぞれが一意的であるとみなす）。ＦＥＭ解析は、この場合には、その物理的構造が同じであることから１つのコア・ブロック５１２のみについて実行すればよいが、各オリジナル単位ブロック５１０は、ＦＥＭ階層的カスケード・プロセスにおいて他の単位ブロックに対して一意的であるものとして（例えば「ａ」、「ｂ」、「ｃ」、「ｄ」など）扱われる。この場合には、方程式［２３］で定義される連結性マトリクスは、カスケード・プロセス中に、Ｎをオリジナル単位ブロックの数としてＮ×Ｎマトリクスまで構築し、最終的に全てを包含する１つのブロックに適用して、拡張Ｂマトリクスを得ることができる（ステップ４１２）。

オリジナル単位ブロック５１０の種類を、コア・ブロック（１つまたは複数）５１２、ならびに各コア・ブロック（１つまたは複数）５１２が物理的に表すオリジナル単位ブロック５１０の電気的接続の両方から決定した後で、オリジナル単位ブロック５１０の性質およびパターンから階層的カスケード・パターンを決定し（ステップ４１４）、決定した階層的カスケード・パターンに従って、全てのオリジナル単位ブロック５１０を包含する１つのブロック５１６が得られるまで、単位ブロック「ａ」および「ｂ」から始まる隣接する単位ブロックのセットを現在の階層レベルから次の階層レベルに結合または移行させていく。隣接するブロックのセットは、例えば、オリジナル単位ブロック５１０しか含まないことも、少なくとも１つのオリジナル単位ブロック５１０と少なくとも１つのカスケード単位ブロック５１４とを含むことも、あるいはカスケード単位ブロック５１４しか含まないこともある。

特に、隣接するオリジナル単位ブロック５１０および／またはカスケード単位ブロック５１４の一意的なセットを、任意の「隔離」オリジナル単位ブロック５１０またはカスケード単位ブロック５１４とともに、現在の階層レベルで特定し（ステップ４１６）、この現在の階層レベルの各隣接するブロック・セットの応答（電気的特徴）をカスケード（結合）して次の階層レベルのより大きなブロックの応答を決定し、この階層レベルの「隔離」ブロックを、そのまま次の階層レベルに移行させる（ステップ４１８）。

好ましい実施形態では、隣接する単位ブロック（オリジナル単位ブロックまたは以前にカスケードされた単位ブロック）の各セットの応答をカスケードすることは、方程式［２５］によって、隣接する単位ブロックの各セットの拡張および／またはカスケードＢマトリクスを結合して、隣接する単位ブロックの各セットの左の単位ブロックの左側境界ＤＯＦに対応する左側境界ＤＯＦ、隣接する単位ブロックの各セットの右の単位ブロックに対応する右側境界ＤＯＦ、および単位ブロックのうちの隣接するものの間の１つまたは複数の共有縁部に対応する内部ＤＯＦ（隣接する単位ブロックのセットが単位ブロックを２つしか含まない場合には中央ＤＯＦ）を有する１つの新たな結合Ｃマトリクスにすることと、方程式［２６］から［２８］によって、この１つの新たな結合Ｃマトリクスから内部ＤＯＦを除去して、左側境界ＤＯＦおよび右側境界ＤＯＦのみを含む新たなカスケードＢマトリクスを作成することとからなる。

さらに、オリジナル単位ブロック５１０またはカスケード単位ブロック５１４の特徴を計算した後、同じ階層レベルまたは次の階層レベルでの後続のカスケード演算中に、これらの計算したオリジナル単位ブロック５１０またはカスケード単位ブロック５１４を参照することができるので好都合であることにも留意されたい。例えば、図１３に示すように、共有単位ブロック５１０／５１４の特徴は、計算を必要とする単位ブロック５１０／５１４のみであるが、共有されていない単位ブロック５１０／５１４の特徴の計算は不要である。さらに言えば、共有単位ブロック５１０／５１４の以前に計算した特徴は、共有されていない単位ブロック５１０／５１４にそのまま使用することができる。もちろん、上述のように全てのオリジナル単位ブロック５１０が一意的であるものとして扱われる場合には、これらの一意的なオリジナル単位ブロック５１０から導出される全てのカスケード単位ブロック５１４も一意的であり、したがって、後続のカスケード演算で参照することができるものはない。例えば、この場合には、各カスケード演算で計算を実行する必要があるので、図１３の全ての単位ブロック５１０／５１４が共有されるものとして示される。

ステップ４１６における現在の階層レベルが第１の階層レベルである場合には、隣接するオリジナル単位ブロック５１０のセット（この場合には、隣接する単位ブロック対）を、全てのオリジナル単位ブロック５１０から特定することになり、各単位ブロック対は、コア・ブロック５１２のうちの少なくとも１つの計算した特徴から導出される個々のブロックの計算した特徴をそれぞれ有する。例えば、図１３の同期共振器５００では、８個の隣接単位ブロック対「ａ／ａ」（各反射器５０４に４対ずつ関連する）を第１の階層レベルで特定し、第２の階層レベルで、単位ブロック「ａ」からより大きなカスケード単位ブロック「ａａ」にカスケードし、ＩＤＴ５０２に関連する１１個の隣接単位ブロック対「ｂ／ａ」を第１の階層レベルで特定し、第２の階層レベルで、単位ブロック「ａ」および単位ブロック「ｂ」からより大きなカスケード単位ブロック「ｂａ」にカスケードする。２つの「隔離」単位ブロック「ａ」（各反射器５０４に１つずつ関連する）と、ＩＤＴ５０２に関連する１つの「隔離」単位ブロック「ｂ」とは、そのようにして特定し、カスケードせずに第１の階層レベルから第２の階層レベルに移行させる。もちろん、この場合には、カスケード演算の前に、隣接単位ブロック対「ａ／ａ」の２つのブロックの応答（電気的特徴）は、互いに同じであり（すなわち、それらはそれぞれ単位ブロック「ａ」の計算した応答と同じである）、隣接単位ブロック対「ｂ／ａ」の２つのブロックの応答は、互いに異なる（すなわち、それらはそれぞれ、単位ブロック「ｂ」および単位ブロック「ａ」の計算した応答と同じである）。

次に、ＦＥＭ階層的カスケード・プロセスによって全てのオリジナル単位ブロック５１０を包含する１つのブロック５１６が得られたかどうかを判定する（ステップ４２０）。得られていない場合には、プロセスはステップ４１６に戻り、現在の階層レベルで隣接単位ブロック対を特定し、次いでステップ４１８に進み、この現在の階層レベルの各隣接単位ブロック対の応答をカスケードして次の階層レベルのより大きなブロックを規定し、現在の階層レベルの隔離単位ブロックを、そのまま次の階層レベルに移行させる。こうして、ステップ４１６および４１８で、隣接単位ブロック対を特定してカスケードし、かつ隔離単位ブロックを特定して移行させて、ＡＷ構造全体を表す１つのブロック５１６が得られるまでブロック数を徐々に減少させていく。

例えば、図１３の同期共振器５００では、４つの隣接単位ブロック対「ａａ／ａａ」（各反射器５０４に２対ずつ関連する）を第２の階層レベルで特定し、第３の階層レベルで、ブロック「ａａ」からより大きな単位ブロック「ａａａａ」にカスケードし、ＩＤＴ５０２に関連する５つの隣接単位ブロック対「ｂａ／ｂａ」を第２の階層レベルで特定し、第３の階層レベルで、ブロック「ｂａ」からより大きな単位ブロック「ｂａｂａ」にカスケードし、１つの隣接単位ブロック対「ｂａ／ｂ」を第２の階層レベルで特定し、第３の階層レベルで、単位ブロック「ｂａ」および以前に隔離された単位ブロック「ｂ」をより大きな単位ブロック「ｂａｂ」にカスケードする。以前に隔離された単位ブロック「ａ」は、隔離されたままであり、カスケードせずに第２の階層レベルから第３の階層レベルに移される。

次いで、２つの隣接単位ブロック対「ａａａａ／ａａａａ」（各反射器５０４に１対ずつ関連する）を第３の階層レベルで特定し、第４の階層レベルで、単位ブロック「ａａａａ」からより大きな単位ブロック「ａａａａａａａａ」にカスケードし、ＩＤＴ５０２に関連する２つの隣接単位ブロック対「ｂａｂａ／ｂａｂａ」を第３の階層レベルで特定し、第４の階層レベルで単位ブロック「ｂａｂａ」からより大きな単位ブロック「ｂａｂａｂａｂａ」にカスケードし、１つの隣接単位ブロック対「ｂａｂａ／ｂａｂ」を第３の階層レベルで特定し、第４の階層レベルで単位ブロック「ｂａｂａ」およびブロック「ｂａｂ」からより大きな単位ブロック「ｂａｂａｂａｂ」にカスケードする。以前に隔離された単位ブロック「ａ」は、隔離されたままであり、カスケードせずに第３の階層レベルから第４の階層レベルに移される。

次いで、２つの隣接単位ブロック対「ａａａａａａａａ／ａ」（各反射器５０４に１対ずつ関連する）を第４の階層レベルで特定し、第５の階層レベルで、単位ブロック「ａａａａａａａａ」および以前に隔離された単位ブロック「ａ」からより大きな単位ブロック「ａａａａａａａａａ」にカスケードし、ＩＤＴ５０２に関連する２つの隣接単位ブロック対「ｂａｂａｂａｂａ／ｂａｂａｂａｂａ」を第４の階層レベルで特定し、第５の階層レベルで、単位ブロック「ｂａｂａｂａｂａ」からより大きな単位ブロック「ｂａｂａｂａｂａｂａｂａｂａｂａ」にカスケードする。ＩＤＴ５０２に関連する１つの隔離単位ブロック「ｂａｂａｂａｂ」を、そのようにして特定し、カスケードせずに第４の階層レベルから第５の階層レベルに移す。

次いで、１つの隣接単位ブロック対「ａａａａａａａａａ／ｂａｂａｂａｂａｂａｂａｂａｂａ」を第５の階層レベルで特定し、第６の階層レベルで、単位ブロック「ａａａａａａａａａ」および単位ブロック「ｂａｂａｂａｂａｂａｂａｂａｂａ」からより大きな単位ブロック「ａａａａａａａａａｂａｂａｂａｂａｂａｂａｂａｂａ」にカスケードし、別の隣接単位ブロック対「ｂａｂａｂａｂ／ａａａａａａａａａ」を第５の階層レベルで特定し、第６の階層レベルで、単位ブロック「ａａａａａａａａａ」および単位ブロック「ｂａｂａｂａｂａｂａｂａｂａｂａ」からより大きな単位ブロック「ｂａｂａｂａｂａａａａａａａａａ」にカスケードする。次いで、残りの隣接単位ブロック対「ａａａａａａａａａｂａｂａｂａｂａｂａｂａｂａｂａ／ｂａｂａｂａｂａａａａａａａａａ」を第６の階層レベルで特定し、最後の第７の階層レベルで、単位ブロック「ａａａａａａａａａｂａｂａｂａｂａｂａｂａｂａｂａ」および単位ブロック「ｂａｂａｂａｂａｂａｂａｂａｂａ」から１つのより大きなブロック「ａａａａａａａａａｂａｂａｂａｂａｂａｂａｂａｂａｂａｂａｂａｂａａａａａａａａａ」にカスケードする。この１つのカスケード・ブロックは、全てのオリジナル単位ブロックを包含することが分かる。４１個の（単一電極の）オリジナル単位ブロック５１０から１つの（４１電極の）カスケード単位ブロックに移行するのに、わずか１３回のカスケード演算で済む。

次に、ＦＥＭ階層的カスケード・プロセスによって全てのオリジナル単位ブロック５１０を包含する１つのブロック５１６が得られているとステップ４２０で判定された場合には、その１つのブロック５１６の左側および右側を吸収体ブロックで成端し（ステップ４２２）、各吸収体ブロックの応答を計算し（ステップ４２４）、１つのブロック５１６および吸収体ブロックの応答（電気的特徴）をカスケード（結合）する（ステップ４２６）。これにより、ＰＭＬ吸収体ブロックの場合には、方程式［３０］が得られる。なお、吸収体ブロックの応答は、プロセス中の任意の時点で計算することができ、ステップ４２４で計算しなくてもよいことに留意されたい。また、ステップ４１２で方程式［２３］の連結性マトリクスをコア・ブロック５１２に適用してオリジナル単位ブロック５１０を作成しなかった場合には、ステップ４２０の直後に、累積した連結性マトリクスを１つのブロック５１６に適用すればよいことにも留意されたい。次に、ＳＡＷ構造の少なくとも１つの電気的特徴（例えば周波数依存のアドミタンス・パラメータ）を、ＰＭＬ吸収体ブロックの場合には方程式［３０］を解くことによって導出することができる、上記の１つのブロックおよび２つの吸収体ブロックのカスケードした電気的特徴から導出する（ステップ４２８）。方程式［３０］から、逆カスケード・プロセスによって、完全な場の解を回復することができる。すなわち、ブロックの縁部の場の値から遡って内部自由度が算出される。

本明細書に記載するＦＥＭ階層的カスケード技術を市販のＭａｔｌａｂプラットフォームで実施して、４２°ＹＸカットＬｉＴａＯ_３基板と、ＩＤＴと、１対の反射器とからなる同期共振器をシミュレートした。この同期共振器の幾何学的形状は、電極ピッチが１．２３μｍであり、アルミニウム電極が０．５５のメタライゼーション比および１８１ｎｍの厚さを有し、音響開口の幅が４９．２μｍであり、ＩＤＴが２４１個の電極および２つの反射器を有し、各反射器が４０個の電極を有するものであった。この基板を、Ｋｏｖａｃｓ定数を用いてシミュレートした（Ｇ．Ｋｏｖａｃｓ、Ｍ．Ａｎｈｏｒｎ、Ｈ．Ｅ．Ｅｎｇａｎ、Ｇ．Ｖｉｓｉｎｔｉｎｉ、およびＣ．Ｃ．Ｗ．Ｒｕｐｐｅｌ、「ＩｍｐｒｏｖｅｄｍａｔｅｒｉａｌｃｏｎｓｔａｎｔｓｆｏｒＬｉＮｂＯ_３ａｎｄＬｉＴａＯ_３」、Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ１９９０ＩＥＥＥＵｌｔｒａｓｏｎｉｃｓＳｙｍｐｏｓｉｕｍ．、４３５〜４３８頁、１９９０年参照）。粘性損失は、弾性定数に付加される虚数成分によってモデル化した。電極の抵抗率は、現象論的にモデル化した。

ＦＥＭシミュレーションが必要だったのは、１つのコア・ブロック（単一電極、単一周期）、および２つのＰＭＬ吸収体ブロックのみであった。２次要素を用いるＦＥＭモデル、および３次要素を用いるＦＥＭモデルでは、それぞれ６６３６個のＤＯＦ、および１４６２５個のＤＯＦを用いた。なお、従来のＦＥＭであれば、これは、それぞれ２７０万個の変数、および５９０万個の変数を用いたデバイス・モデルを意味することになることに留意されたい。このシミュレーションは、デスクトップＰＣ（ＣＰＵはｉ７−２６００ｋ、３．４ＧＨｚ、１６ＧＢＲＡＭ）を用いて実行し、計算は４つの並列なスレッドに分散した。得られたシミュレーション速度は、それぞれ周波数点当たり２．４秒および９．６秒であった。

シミュレーションの精度を検証するために、同じ同期共振器を、ＦＥＭ／ＢＥＭに基づくシミュレーション・ツールＦＥＭＳＡＷも用いてシミュレートし、ＦＥＭ階層的カスケード技術によって行ったシミュレーションと比較した。図１３に示すように、ＦＥＭ階層的カスケード技術および参照用のＦＥＭ／ＢＥＭのそれぞれのシミュレーション（ｓｔｉｍｕｌａｔｉｏｎｓ）（この場合には、１５００ＭＨｚから１８００ＭＨｚの周波数範囲のアドミタンスの実数部（Ｒｅ（Ｙ））および計算したアドミタンスの絶対値｜Ｙ｜）の間の差は、非常に小さい。これらの小さな差は、ほとんどが抵抗率のモデル化の差によるものである。

いくつかの応用分野では、密接な関係にある複数のＡＷ構造の群の応答をＡＷ構造の有限サイズの変化に応じて計算することが望ましいことがある。これは、以前に計算したコア・ブロックまたは以前に計算したカスケード単位ブロックを再利用することによって、効率的に実施することができる。例えば、同期共振器の変換器の電極の数を比較的広い範囲にわたって変化させることができるパラメータ・スイープがある。別の例として、ＡＷ構造のアドミタンスの小さなリプルの周波数および振幅に影響を及ぼすように、同期共振器の変換器または反射器の電極の有限数をわずかに変動させることもできる。以前に計算したコア・ブロックを使用して、同じコア・ブロックの計算を行わなくても、密接な関係にある完全な有限サイズのＡＷ構造の応答のセット全体のカスケード応答を構築することもできる。さらに別の例として、固定した変換器を維持しながら、反射器電極の幾何学的形状（ピッチまたは電極幅）を変化させることもできる。この場合には、追加の新たなコア・ブロックの応答を計算する必要があることもあるが、以前に計算したコア・ブロックを効率的に再利用することができる。

好ましい実施形態では、コア・ブロック、および中間の「既知のカスケード単位ブロック」の応答をメモリに格納し、密接な関係にあるＡＷ構造の群の応答を生成するためのカスケード演算のセットにおいて再利用することができる。ただし、代替の実施形態では、コア・ブロックの応答のみを格納しておけば、後にカスケード演算で再利用するのに十分であることもある。コア・ブロックの応答を適当な記憶媒体（例えばソリッド・ステート・ドライブ、ハード・ドライブ、ネットワーク、クラウド・ストレージまたはその等価物、あるいはデータベース）に格納するのに要する時間は、ＡＷ構造の幾何学的形状からコア・ブロックの応答を計算するのに必要な時間より短くすることができる。

次に図１５を参照して、ＦＥＭ階層的カスケード技術を使用してＡＷマイクロ波フィルタを設計する１つの例示的な技術６００について述べる。最初に、周波数応答要件（通過帯域、反射減衰量、挿入損、阻止帯、線形性、雑音指数、入力および出力インピーダンスなど）、サイズおよびコストの要件、ならびに動作温度範囲、振動、故障率などの環境的要件を含むフィルタ要件を、フィルタの応用分野を満足するように規定する（ステップ６０２）。

次に、ＡＷフィルタで使用する回路要素の構造的種類を選択する。例えば、ＡＷ共振器および／または結合要素（ＳＡＷ、ＢＡＷ、ＦＢＡＲ、ＭＥＭＳなど）といった構造的種類、ならびにインダクタ、キャパシタ、およびスイッチといった種類を、フィルタを作製するためのパッケージングおよび組立て技術も含めて、これらの回路要素を作製するために使用する材料とともに選択する（ステップ６０４）。例えば、上述のように、結晶水晶、ニオブ酸リチウム（ＬｉＮｂＯ_３）、タンタル酸リチウム（ＬｉＴａＯ_３）の結晶などの圧電基板上にＩＤＴを堆積させることによって作製することができるＳＡＷ共振器、ＢＡＷ（ＦＢＡＲも含む）共振器、あるいはＭＥＭＳ共振器が選択されることがある。本明細書に記載する特定の例では、選択した回路要素の種類は、４２°ＸＹカットＬｉＴａＯ_３からなる基板上に構築したＳＡＷ共振器およびキャパシタである。

次いで、フィルタ回路のトポロジを選択する（ステップ６０６）。例えば、選択したフィルタ回路のトポロジが、Ｎ次のラダー型トポロジであることもある（この場合には、Ｎ＝６は、共振器の数が６であることを意味する）。Ｎ次のラダー型トポロジは、参照によりその全体を明示的に本明細書に組み込む、米国特許第８７５１９９３号および第８７０１０６５号、ならびに「ＡｃｏｕｓｔｉｃＷａｖｅＦｉｌｔｅｒｗｉｔｈＥｎｈａｎｃｅｄＲｅｊｅｃｔｉｏｎ」と題する米国特許出願第１４／９４１４５１号に記載されている。インライン非共振ノード、またはインライン、またはクロス・カップリングを有するインライン、またはクロス・カップリングを有するインライン非共振ノードなど、他のフィルタ回路のトポロジを選択してもよい。

次いで、例えば材料、いくつかのフィンガ対のうちの１つまたは複数、開口サイズ、マーク対ピッチ比、および／または変換器の金属厚さを選択することによって、フィルタのＡＷ構成要素の初期物理的モデルを規定（または修正）し（ステップ６０８）、このＡＷ構成要素の物理的モデルを、ＦＥＭ階層的カスケード技術を用いてシミュレートして、それらの周波数依存の電気的特徴を決定する（ステップ６１０）。次に、ＡＷ構成要素のこれらの電気的特徴を、フィルタ・ネットワーク全体の回路モデルに組み込み（ステップ６１２）、このフィルタ・ネットワークの回路モデルをシミュレートして（任意選択で非ＡＷ構成要素のパラメータを最適化する）、フィルタの周波数特性を決定する（ステップ６１４）。ＡＷフィルタのシミュレートした周波数応答を、次いで、ステップ６０２で規定した周波数応答要件と比較する（ステップ６１６）。シミュレートした周波数応答が周波数応答要件を満たさない場合には、プロセスは、ステップ６０８に戻り、ＡＷの物理的モデルを修正する。シミュレートした周波数応答が周波数応答要件（ステップ６０２）を満たす場合には、ＡＷ構成要素の最新の物理的モデルに基づいて、実際の音響フィルタを構築する（ステップ６１４）。実際の音響フィルタの回路要素の値は、最新の最適化したフィルタ回路の設計の対応する回路要素の値と一致することが好ましい。

本明細書に記載するＦＥＭ階層的カスケード技術を、市販のＭａｔｌａｂプラットフォームで実施して、４２°ＹＸカットＬｉＴａＯ３基板からなるＣＲＦをシミュレートした。ＣＲＦは、電極数が６０−３１−４３−４９−４３−３１−６０である対称なＲ−Ｔ２−Ｔ１−Ｔ２−Ｔ１−Ｔ２−Ｒ構造を有する。周期性は、１．２６から１．２８μｍの範囲で変化し、電極の厚さは８％であり、メタライゼーション比は０．６であり、音響開口の幅は９０μｍである。この基板を、Ｋｏｖａｃｓ定数を用いてシミュレートした（Ｇ．Ｋｏｖａｃｓ、Ｍ．Ａｎｈｏｒｎ、Ｈ．Ｅ．Ｅｎｇａｎ、Ｇ．Ｖｉｓｉｎｔｉｎｉ、およびＣ．Ｃ．Ｗ．Ｒｕｐｐｅｌ、「ＩｍｐｒｏｖｅｄｍａｔｅｒｉａｌｃｏｎｓｔａｎｔｓｆｏｒＬｉＮｂＯ_３ａｎｄＬｉＴａＯ_３」、Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ１９９０ＩＥＥＥＵｌｔｒａｓｏｎｉｃｓＳｙｍｐｏｓｉｕｍ．、４３５〜４３８頁、１９９０年参照）。粘性損失は、弾性定数に付加される虚数成分によってモデル化した。電極の抵抗率は、現象論的にモデル化した。

ＦＥＭシミュレーションが必要だったのは、３つのコア・ブロック（３つの電極タイプ、３つの周期）、および２つのＰＭＬ吸収体ブロックであった。それぞれのモデルは、６６４３から７７４９個のＤＯＦを有していた。さらに、ＰＭＬブロックは、両方とも１５１８４個のＤＯＦを有していた。このシミュレーションは、デスクトップＰＣ（ＣＰＵはｉ７−２６００ｋ、３．４ＧＨｚ、１６ＧＢＲＡＭ）を用いて実行し、計算は４つの並列なスレッドに分散した。得られたシミュレーション速度は、周波数点当たり３．６秒であった。

シミュレーションの精度を検証するために、同じＣＲＦを、ＦＥＭ／ＢＥＭに基づくシミュレーション・ツールＦＥＭＳＡＷも用いてシミュレートし、ＦＥＭ階層的カスケード技術によって行ったシミュレーションと比較した。図１６に示すように、ＦＥＭ階層的カスケード技術および参照用のＦＥＭ／ＢＥＭのそれぞれのシミュレーション（ｓｔｉｍｕｌａｔｉｏｎｓ）の間の挿入損の差は、非常に小さい。これらの小さな差は、ほとんどが抵抗率のモデル化の差によるものである。

本明細書では、ＦＥＭ階層的カスケード技術を厳密な周期性を有するＳＡＷ構造に適用するものとして開示したが、このＦＥＭ階層的カスケード技術は、「アコーディオン部分」を有する「ヒカップ」共振器またはデバイスなど、周期性に切れ目があるデバイスに適用することもできることを理解されたい。このような共振器またはデバイスの例は、Ｊ．Ｍｅｌｔａｕｓ、Ｖ．Ｐ．Ｐｌｅｓｓｋｙ、およびＳ．Ｓ．Ｈｏｎｇ、「Ｎｏｎ−ＳｙｎｃｈｒｏｎｏｕｓＲｅｓｏｎａｔｏｒｓｏｎＬｅａｋｙＳｕｂｓｔｒａｔｅｓ」、Ｐｒｏｃ．Ｏｆｔｈｅ２００５ＩＥＥＥＵｌｔｒａｓｏｎｉｃｓＳｙｍｐｏｓｉｕｍ、２１５３〜２１５６頁、Ｐ．Ｖ．Ｗｒｉｇｈｔ、「ＡＲｅｖｉｅｗｏｆＳＡＷＲｅｓｏｎａｔｏｒＦｉｌｔｅｒＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ」、１９９２ＵｌｔｒａｓｏｎｉｃｓＳｙｍｐｏｓｉｕｍ、２９〜３８頁、ならびにＶ．ＰｌｅｓｓｋｙおよびＪ．Ｋｏｓｋｅｌａ、「Ｃｏｕｐｌｉｎｇ−ｏｆ−ＭｏｄｅｓＡｎａｌｙｓｉｓｏｆＳＡＷＤｅｖｉｃｅｓ」、ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｉｇｈＳｐｅｅｄＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓａｎｄＳｙｓｔｅｍｓ」、Ｖｏｌ．１０、Ｎｏ．４、（２０００）、８６７〜９４７頁に記載されている。）このようなデバイスの場合には、ＦＥＭ階層的カスケード技術は、厳密に周期的な構造には適用することができるが、周期部分と周期部分の間に「単発」セルまたは少数の非周期セルを挿入することができる。また、本明細書で使用する「ＳＡＷ」という用語は、準レイリー波、「漏洩」ＳＡＷ、表面横波ＳＴＷ、ラム・モードなど、全ての種類の音響波を含む、すなわち、バルク中に放射される成分が望ましくない「２次」効果を現す、主として限られた深さの層の表面付近、またはその層内を伝搬する全ての種類の音波を含むことは、当業者には明らかであるはずである。

図１７を参照すると、コンピュータ化フィルタ設計システム７００を使用して、設計手順４００を用いてＡＷ構造を、また設計手順６００を用いてＡＷフィルタを、シミュレートすることができる。コンピュータ化フィルタ設計システム７００は、一般に、ユーザから情報およびデータ（例えばステップ４０２でＡＷ構造の物理的モデルを規定するパラメータ値、およびステップ６０２でＡＷフィルタ要件を規定するパラメータ値）を受信し、ＡＷ構造およびＡＷフィルタの周波数依存特性を（それぞれステップ５２８および６１４で）ユーザに対して出力するように構成されたユーザ・インタフェース７０２、フィルタ設計プログラム７０８（限定されるわけではないが、特定の機能を実行する、または特定の抽象データ型を実施する、ルーチン、プログラム、オブジェクト、コンポーネント、データ構造、手続き、モジュール、および機能などを含む可能性があるソフトウェア命令の形態をとることもある）と、ユーザ・インタフェース７０２を介してユーザから入力された情報およびデータとを格納するように構成されたメモリ７０４、ならびにこのシミュレーション・ソフトウェア・プログラムを実行するように構成されたプロセッサ７０６を含む。

シミュレーション・ソフトウェア・プログラム７０８は、サブプログラム、特に、従来のＦＥＭプログラム７１０（このプログラムを使用して、ステップ４０８でコア・ブロックの特徴を計算し、ステップ４２６でＰＭＬ吸収体ブロックの特徴を計算することができる）と、階層的カスケード・プログラム７１２（このプログラムを使用して、ステップ４０４で物理的モデルを分割し、ステップ４０６でコア・ブロックを特定し、ステップ４０８でコア・ブロックの特徴を計算し、ステップ４１０でコア・ブロックからＤＯＦを除去し、ステップ４１２で単位ブロックの種類を規定し、ステップ４１４で階層的カスケード・パターンを決定し、ステップ４１６から５４１８で隣接する単位ブロックのセットを特定してカスケードし、ステップ４２０で全てのオリジナル単位ブロックを包含する１つの単位ブロックを認識し、ステップ４２２でこの１つのブロックを吸収体ブロックで成端し、ステップ４２４で吸収体ブロックの特徴を計算し、ステップ４２６でこの１つの包含するブロックと吸収体ブロックとをカスケードし、ステップ４２６で成端したＡＷ構造全体の周波数依存の電気的特性を決定することができる）と、従来のフィルタ・オプティマイザ７１４（これを使用して、６１４でフィルタ・ネットワークの回路モデルを最適化してシミュレートすることができる）とに分割される。

本発明の特定の実施形態を図示して説明したが、上記の説明は、本発明をこれらの実施形態に限定するためのものではないことを理解されたい。本発明の趣旨および範囲を逸脱することなく、様々な変更および修正を加えることができることは、当業者には明らかであろう。例えば、本発明は、１つの入力および出力を有するフィルタをはるかに超えた応用分野も有し、本発明の特定の実施形態を使用して、低損失周波数選択性回路が使用されることもあるデュプレクサ、マルチプレクサ、チャネライザ、リアクティブ・スイッチなどを形成することもできる。したがって、本発明は、特許請求の範囲に定義される本発明の趣旨および範囲内に含まれる可能性がある代替形態、修正形態、および均等物をカバーするものとして意図されている。

Claims

マイクロ波音波（ＡＷ）構造を解析する方法であって、
前記ＡＷ構造の物理的モデルを規定するステップと、
前記物理的モデルを複数の単位ブロックに分割するステップと、
前記複数のオリジナル単位ブロック内で少なくとも１つのコア・ブロックを特定するステップと、
前記少なくとも１つのコア・ブロックのそれぞれの特徴を計算するステップと、
前記少なくとも１つのコア・ブロックの前記計算した特徴から、前記オリジナル単位ブロックのそれぞれの特徴を導出するステップと、
前記オリジナル単位ブロックを結合して、前記単位ブロックの前記特徴から導出した計算した特徴を有する１つのブロックにして、前記１つのブロックが前記複数のオリジナル単位ブロックを包含するようにするステップと、
前記物理的モデルの少なくとも１つの電気的特徴を、少なくとも部分的には前記１つのブロックの前記計算した特徴から導出するステップとを含む、方法。
前記複数のオリジナル単位ブロックとの電気的接続を特定するステップをさらに含み、前記オリジナル単位ブロックのそれぞれの電気的応答を、前記特定した電気的接続からさらに導出する、請求項１に記載の方法。
前記少なくとも１つのコア・ブロックの前記計算した特徴が、音場および電場を含む、請求項１に記載の方法。
前記単位ブロックの全てが、互いに物理的に同じである、請求項１に記載の方法。
前記オリジナル単位ブロックのうちの少なくとも２つが、互いに物理的に異なり、前記少なくとも１つのコア・ブロックが、少なくとも２つのコア・ブロックを含む、請求項１に記載の方法。
前記オリジナル単位ブロックを結合して前記１つのブロックにするステップが、隣接単位ブロックのセットを階層的にカスケードして前記１つのブロックにするステップを含む、請求項１に記載の方法。
隣接オリジナル単位ブロックの前記セットのうちの少なくとも１つが、１対の隣接オリジナル単位ブロックである、請求項６に記載の方法。
隣接する単位ブロックのセットを階層的にカスケードして前記１つのブロックにするステップが、
（ａ）現在の階層レベルの隣接単位ブロックのセットを結合して、次の階層レベルのカスケード単位ブロックを作成するステップと、
（ｂ）前記１つのブロックが作成されるまで、次の階層レベルの隣接単位ブロックのセットについてステップ（ａ）を繰り返すステップとを含み、前記単位ブロックのそれぞれが、オリジナル単位ブロック、または以前にカスケードされた単位ブロックである、請求項６に記載の方法。
現在の階層レベルで結合されていない単位ブロックのうちのいずれかが、現在の階層レベルから次の階層レベルに移行される、請求項８に記載の方法。
前記単位ブロックのうちの１つが、以前に計算した特徴を有し、前記単位ブロックのうちの少なくとも１つの他の単位ブロックが、物理的および電気的に前記１つの単位ブロックと同じであり、前記方法が、現在の階層レベルで隣接単位ブロックの前記セットを結合するときに、前記１つの単位ブロックを参照して、前記少なくとも１つの他の単位ブロックの以前に計算した特徴を仮定するステップをさらに含む、請求項８に記載の方法。
前記少なくとも１つのコア・ブロックの前記特徴が、有限要素法（ＦＥＭ）を用いて計算される、請求項１に記載の方法。
前記ＦＥＭを用いて前記少なくとも１つのコア・ブロックのそれぞれの特徴を計算するステップが、
左側境界ＤＯＦ、右側境界ＤＯＦ、および内部ＤＯＦを有するＡマトリクスを生成するステップと、
前記Ａマトリクスから前記内部ＤＯＦを除去して、前記左側境界ＤＯＦおよび前記右側境界ＤＯＦのみを含むＢマトリクスを生成するステップとを含む、請求項１１に記載の方法。
前記オリジナル単位ブロックのそれぞれの特徴が、前記少なくとも１つのコア・ブロックの前記少なくとも１つのＢマトリクスから導出されるＢマトリクスによって表される、請求項１２に記載の方法。
前記オリジナル単位ブロックを結合するステップが、
隣接オリジナル単位ブロックの第１のセットを特定するステップと、
前記第１のセットの隣接オリジナル単位ブロックそれぞれのＢマトリクスを結合して、前記隣接オリジナル単位ブロックのうちの左の単位ブロックの左側境界ＤＯＦに対応する左側境界ＤＯＦ、前記隣接オリジナル単位ブロックのうちの右の単位ブロックに対応する右側境界ＤＯＦ、および前記隣接オリジナル単位ブロックの間の少なくとも１つの共有縁部に対応する内部ＤＯＦを有する第１のＣマトリクスにし、
前記第１のＣマトリクスから前記内部ＤＯＦを除去することによって、前記第１のＣマトリクスを、左側境界ＤＯＦおよび右側境界ＤＯＦのみを含む第１のカスケード単位ブロックの第１の新たなカスケードＢマトリクスに縮約することによって、
隣接オリジナル単位ブロックの前記第１のセットをカスケードして第１のカスケード単位ブロックにするステップとを含む、請求項１３に記載の方法。
前記オリジナル単位ブロックを結合するステップが、
隣接オリジナル単位ブロックの第２のセットを特定するステップと、
前記第２のセットの隣接オリジナル単位ブロックそれぞれのＢマトリクスを結合して、前記隣接オリジナル単位ブロックのうちの左の単位ブロックの左側境界ＤＯＦに対応する左側境界ＤＯＦ、前記隣接オリジナル単位ブロックのうちの右の単位ブロックに対応する右側境界ＤＯＦ、および前記隣接オリジナル単位ブロックの間の少なくとも１つの共有縁部に対応する内部ＤＯＦを有する第２のＣマトリクスにし、
前記第２のＣマトリクスから前記内部ＤＯＦを除去することによって、前記第２のＣマトリクスを、左側境界ＤＯＦおよび右側境界ＤＯＦのみを含む第２のカスケード単位ブロックの第２の新たなカスケードＢマトリクスに縮約することによって、
隣接オリジナル単位ブロックの前記第２のセットをカスケードして第２のカスケード単位ブロックにするステップとをさらに含む、請求項１４に記載の方法。
前記オリジナル単位ブロックを結合するステップが、
前記第１および第２のカスケード単位ブロックを隣接カスケード単位ブロックのセットであるものとして特定するステップと、
カスケード単位ブロックの前記セットの隣接カスケード単位ブロックそれぞれのＢマトリクスを結合して、前記隣接カスケード単位ブロックのうちの左の単位ブロックの左側境界ＤＯＦに対応する左側境界ＤＯＦ、前記隣接カスケード単位ブロックのうちの右の単位ブロックに対応する右側境界ＤＯＦ、および前記隣接カスケード単位ブロックの間の少なくとも１つの共有縁部に対応する内部ＤＯＦを有する第３のＣマトリクスにし、
前記第３のＣマトリクスから前記内部ＤＯＦを除去することによって、前記第３のＣマトリクスを、左側境界ＤＯＦおよび右側境界ＤＯＦのみを含む第３のカスケード単位ブロックの第３の新たなカスケードＢマトリクスに縮約することによって、
隣接カスケード単位ブロックの前記セットをさらにカスケードして第３のカスケード単位ブロックにするステップとをさらに含む、請求項１５に記載の方法。
前記ＡＷ構造の前記物理的モデルが、前記ＡＷ構造の２次元断面および開口を規定し、前記物理的モデルが、各オリジナル単位ブロックが前記２次元断面の一部分と前記ＡＷ構造の前記開口の一部分とを含むように、分割される、請求項１に記載の方法。
前記ＡＷ構造の前記物理的モデルが、少なくとも１つの電極と、基板層と、真空層とを含む、請求項１に記載の方法。
前記ＡＷ構造の前記物理的モデルが、前記基板層に隣接する吸収体層と、前記真空層に隣接する吸収体層とをさらに含む、請求項１８に記載の方法。
前記少なくとも１つのコア・ブロックのうちの１つが、電極を含む、請求項１８に記載の方法。
前記物理的モデルを、前記１つのブロックの左側および右側をそれぞれ成端する２つの吸収体ブロックにさらに分割するステップと、
前記２つの吸収体ブロックのそれぞれの応答を計算するステップと、
前記１つのブロックと前記２つの吸収体ブロックとを結合して、計算した特徴を有する包括的なブロックにするステップとをさらに含み、
前記物理的モデルの前記少なくとも１つの電気的特徴が、少なくとも部分的には前記包括的なブロックの前記計算した特徴から導出される、請求項１に記載の方法。
前記ＡＷ構造が、音響共振器を含む、請求項１に記載の方法。
前記少なくとも１つの電気的特徴が、周波数応答、静電容量、および共振周波数のうちの１つまたは複数を含む、請求項１に記載の方法。
周波数応答要件に従ってマイクロ波音波（ＡＷ）フィルタを構築する方法であって、
請求項１に記載の方法に従ってＡＷ構造を解析するステップと、
前記ＡＷ構造を含むＡＷフィルタを設計するステップと、
前記ＡＷ構造のシミュレーションに基づいて、前記ＡＷフィルタの周波数応答を決定するステップと、
前記ＡＷフィルタの周波数応答を周波数応答要件と比較するステップと、
前記比較に基づいて、前記ＡＷフィルタを作製するステップとを含む、方法。