CN107728475A

CN107728475A - 带有执行器饱和的切换系统事件触发控制设计方法

Info

Publication number: CN107728475A
Application number: CN201710846325.5A
Authority: CN
Inventors: 左志强; 李园园; 王晶; 王一晶
Original assignee: Tianjin University
Current assignee: Tianjin University
Priority date: 2017-09-19
Filing date: 2017-09-19
Publication date: 2018-02-23
Anticipated expiration: 2037-09-19
Also published as: CN107728475B

Abstract

本发明属于事件触发控制设计领域，为减少系统的采样次数，有效地节约网络资源，本发明将事件触发策略运用到带有执行器饱和的切换系统中，同时保证采用事件触发控制的闭环系统的稳定性。带有执行器饱和的切换系统事件触发控制设计方法，具体包括以下步骤：步骤1：建立带有执行器饱和的切换系统：步骤2：设计触发条件，确定触发时刻；步骤3：对于上述闭环系统，设计条件：步骤4：为满足条件的成立，设计如下前提条件：步骤5：为得到闭环系统指数稳定的结果，设计条件。本发明主要应用于事件触发控制场合。

Description

带有执行器饱和的切换系统事件触发控制设计方法

技术领域

本发明属于事件触发控制设计领域，具体讲，涉及一种事件触发条件设计方法，当执行器饱和发生时，使用该触发条件可以保证闭环系统稳定的同时，极大地节约网络资源。

背景技术

随着现代工业过程复杂性的提高，单模态控制系统已经无法完全描述复杂系统的行为，进而出现了切换系统。近年来，切换系统广泛应用于交通系统、化学生产、电力系统以及网络控制等工业过程的系统建模和分析研究中，由于其重要的理论价值和实际意义，引起了越来越多学者的关注。在实际控制系统中会不可避免地发生执行器饱和，饱和的存在不仅会降低系统的性能，甚至会造成不稳定现象。因此人们提出了许多方法处理饱和非线性，最常用的包括：扇区非线性方法和多面体描述方法，这些方法同样适用于带有执行器饱和的切换系统的分析和综合。已有文献中对于任意切换、基于状态切换和最小停留时间切换的切换饱和系统均有研究，但目前对于平均停留时间的切换饱和系统的研究结果相对较少。

现代社会网络控制系统的应用逐渐增多，无线传输信息可以有效地减少系统间连线，节约成本，实现信息资源的共享。然而对于带宽有限的网络资源的共享，又产生了诸如网络拥堵和资源浪费等问题。在传统的网络控制中，一般采用固定周期采样的方法进行控制，这种周期性采样并传输数据的方法简单易行，但会导致许多不必要的采样发生，从而造成网络资源的浪费，增加系统在采样上的成本。因而很多学者将实时系统设计和控制性能相结合来降低控制成本，即事件触发控制。相比于周期性采样的时间触发策略，事件触发策略只需要在某一预先设定的触发条件发生时才进行采样和传输，并且得到的控制系统性能与时间触发下的系统性能相差不多。这种方式在注重实际性能的同时也更加灵活，通过选择合适的触发条件，事件触发策略显著地减少了采样次数，降低了釆样频率，从而有效地节约了网络资源。

虽然已经有大量的关于事件触发策略的研究工作，但到目前为止，还没有出现将事件触发策略运用到带有执行器饱和的切换系统中。因此，对于采用事件触发策略的切换饱和系统的稳定性研究具有很强的理论价值与现实意义。

发明内容

为了减少系统的采样次数，有效地节约网络资源，本发明将事件触发策略运用到带有执行器饱和的切换系统中，同时保证采用事件触发控制的闭环系统的稳定性。带有执行器饱和的切换系统事件触发控制设计方法，具体包括以下步骤：

步骤1：建立如下带有执行器饱和的切换系统：

其中t表示时间，x(t)∈Rⁿ为n维状态向量，为状态的一阶导数，A_σ(t)∈R^n×n和B_σ(t)∈R^n×m为常数矩阵，并且满足(A_σ(t),B_σ(t))是可控的，u(t)∈R^m为m维控制输入，是连续时间状态反馈控制器，其中K_σ(t)∈R^m×n为已知常数矩阵，sat(u(t))＝[sat(u₁(t)),…,sat(u_m(t))]^T是标准的向量饱和函数，上角标“T”表示向量的转置，其各部分分量定义为如下非线性形式：

sat(u_j(t))＝sgn(u_j(t))min{u₀,|u_j(t)|}，j＝1,2,…,m

其中min{}表示最小值，u₀为饱和函数的上界，u_j(t)为控制输入u(t)的各个分量，j代表第j 个分量，m是控制输入的维数。由该饱和函数可定义死区非线性函数：

Φ(u(t))＝sat(u(t))-u(t) (2)

σ(t)为切换信号，是关于时间的分段右连续常函数，定义为N 为切换系统子系统的个数。定义系统的切换时刻为这里令为初始时刻。当时，切换信号σ(t)＝i，表示系统切换到第i个子系统，相应的闭环系统可写作如下形式：

步骤2：设计触发条件，确定触发时刻定义采样误差为：

其中为触发时刻，表示在该时刻系统将采样信号传输给控制器，为触发时刻的状态，x(t)为当前时刻的状态。假设第一个触发时刻为由此得到一系列触发时刻：

其中inf{}表示下确界，x(t)是当前时刻状态，e(t)是采样误差，x^T(t)和e^T(t)表示向量x(t) 和e(t)的转置，Q_i>0为n维正定对称矩阵，其选取与步骤3和步骤4中的闭环系统指数稳定条件有关，将触发时刻采样得到的系统状态传输给控制器，控制器端利用该采样值计算出控制器的输出：

当时，通过零阶保持器的作用，控制器的输入保持触发时刻的状态采样值不变，结合(2)—(5)式可得到如下闭环系统形式：

步骤3：对于上述闭环系统(6)，设计如下条件：

其中上角标“T”表示矩阵的转置，Ω_i＝(A_i+B_iK_i)W_i+W_i(A_i+B_iK_i)^T+λW_i， I为合适维数的单位矩阵，如果存在标量λ>0，对角正定矩阵S_i∈R^m×m，对称正定矩阵 W_i,Y_i∈R^n×n和矩阵G_i2,Z_i1∈R^m×n，满足上述不等式条件，则对于每一个子系统均能够得出即V_i(x(t))是正定递减的，其中V_i(x(t))为每一个子系统的李雅普诺夫函数；

步骤4：为满足条件(7)的成立，设计如下前提条件：

其中j＝1,2,…,m，表示矩阵的第j行，m为矩阵K_i和Z_i1的行数，上角标“T”表示矩阵的转置，I为合适维数的单位矩阵，u₀为饱和函数的上界，如果存在对称正定矩阵W_i,Y_i∈R^n×n和矩阵G_i2,Z_i1∈R^m×n，满足上述不等式条件，则根据事件触发条件的要求，当触发不发生时满足e^T(t)e(t)-x^T(t)Q_ix(t)≤0，将该关系和条件(8)结合，推出当系统状态时，其中满足扇区条件的适用要求，从而将扇区条件运用到步骤3的推导中，同时在条件(8)成立时，可以得出闭环系统的吸引域估计为各个子系统吸引域估计的交集

步骤5：为得到闭环系统指数稳定的结果，设计如下条件：

W_j≤μW_i (9)

其中μ≥1为已知标量，j表示系统切换前所在的子系统，i表示系统切换后的子系统，由条件(9)可以得出其中为切换时刻，表示相邻的前一刻，结合步骤3中的最终闭环系统指数稳定，此时，设计平均停留时间为：

其中τ_a为闭环系统的平均切换时间间隔，该切换规则表示所有切换的平均时间间隔不能小于

进一步地，通过选取闭环系统的多李雅普诺夫函数V_i(x(t))来进行证明，利用条件(8) 将扇区条件应用到步骤3中，进而得到的结论。

进一步地：对于闭环系统(6)，当时，最小时间间隔为

其中表示矩阵A_i的最大特征值，λ_min(Q_i) 表示矩阵Q_i的最小特征值。

与已有技术相比，本发明的技术特点与效果：

本发明所提出的事件触发方法只需要将系统的当前状态值与上一次采样值进行比较，计算相应的采样误差，只有当采样误差值与当前状态值的关系满足所设计的事件触发条件时，才会把当前值进行采样并传输给控制器，控制器则利用该采样值计算并更新控制器的输出。当事件触发条件不满足时，没有新的采样信号传输给控制器，此时可以通过零阶保持器的作用，使得控制器的输入保持上一触发时刻的状态采样值不变。

与传统周期采样的控制方法相比，事件触发方法只需要在当前值与上一时刻采样值的误差超过一定范围，即系统状态变化较大时才进行采样传输，因此可以极大地减少采样次数。除了可以节省网络资源，由于控制器端只需要在接收到采样值时才进行计算并更新输出，因此也减少了对控制器端CPU资源的占用，提高了系统处理其他任务的实时性，同时降低了执行器的更新频率，有助于减少执行器磨损，提高执行器寿命。

切换系统中的切换规则大致可以分为三类：任意切换、基于状态切换和停留时间切换，这些切换规则同样适用于带有执行器饱和的切换系统。通常情况下，停留时间切换相比于任意切换具有更大的灵活性，适用范围更广，尤其是在包含不稳定子系统的切换系统中，使用平均停留时间切换可以更加有效地进行系统分析和综合。近些年，对于带有饱和的切换系统已经取得了许多研究成果，但是这些结果仅适用于任意切换、基于状态切换和最小停留时间切换的切换饱和系统，目前针对于平均停留时间切换的研究结果相对较少。

在事件触发控制中，只有当触发条件满足时才会将系统状态进行采样和传输，任意两次相邻的采样时间间隔被称作触发时间间隔。为了避免Zeno现象(在事件触发控制中，若任意两次相邻的触发时间间隔非常短，可能会导致无限多事件的触发)的发生，本发明给出了求取触发时间间隔下界的方法，得出最小触发时间间隔。

附图说明

图1是切换饱和系统的事件触发控制示意图

图2是切换时刻和触发时刻示意图，令为初始时刻。

图3是弹簧质点系统的实验图

图4是阻尼弹簧质点系统示意图

图5是实验仿真所得闭环系统的吸引域。

图6是实验仿真所得闭环系统的饱和控制输入。

图7是实验仿真所得闭环系统的状态响应。

具体实施方式

本发明所采用的控制方法是在满足事件触发条件时进行系统状态采样和传输，然后通过控制器端计算并更新控制输出，进而达到整个闭环系统的指数稳定。具体实现方式为：首先建立切换饱和系统的状态空间模型；在此基础上设计合适的触发条件，只有当触发条件满足时才将采样状态传输给控制器，控制器使用该采样值计算并更新输出；设计平均停留时间切换规则，使闭环系统达到指数稳定。

为了更清楚地说明本发明的目的、技术方案及优点，以下从系统模型建立、设计原理、设计方法等几个方面来对本发明作进一步解释说明。应当理解，此处所描述的具体设计方法仅仅用以解释本发明，并不限于本发明。

带有执行器饱和的切换系统的事件触发控制，具体步骤如下。

步骤1：建立如下带有执行器饱和的切换系统：

其中t表示时间，x(t)∈Rⁿ为n维状态向量，为状态的一阶导数，A_σ(t)∈R^n×n和B_σ(t)∈R^n×m为常数矩阵，并且满足(A_σ(t),B_σ(t))是可控的。u(t)∈R^m为m维控制输入，是连续时间状态反馈控制器，其中K_σ(t)∈R^m×n为已知常数矩阵。sat(u(t))＝[sat(u₁(t)),…,sat(u_m(t))]^T是标准的向量饱和函数，上角标“T”表示向量的转置，其各部分分量定义为如下非线性形式：

sat(u_j(t))＝sgn(u_j(t))min{u₀,|u_j(t)|}，j＝1,2,…,m

Φ(u(t))＝sat(u(t))-u(t) (2)

步骤2：设计触发条件，确定触发时刻定义采样误差为：

其中inf{}表示下确界，x(t)是当前时刻状态，e(t)是采样误差，x^T(t)和e^T(t)表示向量x(t) 和e(t)的转置，Q_i>0为n维正定对称矩阵，其选取与步骤3和步骤4中的闭环系统指数稳定条件有关。将在触发时刻采样得到的系统状态传输给控制器，控制器端利用该采样值计算出控制器的输出：

当时，通过零阶保持器的作用，控制器的输入保持触发时刻的状态采样值不变。结合(2)—(5)式可得到如下闭环系统形式：

步骤3：对于上述闭环系统(6)，设计如下条件：

其中上角标“T”表示矩阵的转置，Ω_i＝(A_i+B_iK_i)W_i+W_i(A_i+B_iK_i)^T+λW_i， I为单位矩阵。如果存在标量λ>0，对角正定矩阵S_i∈R^m×m，对称正定矩阵W_i,Y_i∈R^n×n和矩阵G_i2,Z_i1∈R^m×n，满足上述不等式条件，则对于每一个子系统均可以得出即V_i(x(t))是正定递减的，其中V_i(x(t))为每一个子系统的李雅普诺夫函数。具体证明过程可以通过选取多李雅普诺夫函数V_i(x(t))＝x^T(t)P_ix(t)，其中并对多李雅普诺夫函数V_i(x(t))进行展开求导。注意到其中有一项可以写为如下形式：

其中那么多李雅普诺夫函数V_i(x(t))的导数中带有的项可改写为

集合如果x_a∈S(K_iax_a,G_iax_a,u₀)，将得到如下的广义扇区条件：

Φ^T(K_iax_a)T_i[Φ(K_iax_a)+G_iax_a]≤0

其中G_ia＝[G_i1G_i2]是自由矩阵，T_i∈R^m×m为正定对角矩阵。利用S过程，有：

其中这里将 Φ(K_iax_a)简写为Φ。

根据事件触发条件的要求，当触发不发生时有e^T(t)e(t)-x^T(t)Q_ix(t)≤0，将该关系与条件(7)结合，可以得到

由此结果可以证明，多李雅普诺夫函数V_i(x(t))是递减的，即

步骤4：为满足条件(7)的成立，设计如下前提条件：

其中j＝1,2,…,m，表示矩阵的第j行，m为矩阵K_i和Z_i1的行数，上角标“T”表示矩阵的转置，I为合适维数的单位矩阵，u₀为饱和函数的上界。如果存在对称正定矩阵W_i,Y_i∈R^n×n和矩阵G_i2,Z_i1∈R^m×n，满足上述不等式条件，当触发不发生时有 e^T(t)e(t)-x^T(t)Q_ix(t)≤0，将该关系和条件(8)结合，推出当系统状态时，其中有x_a∈S(K_iax_a,G_iax_a,u₀)，这里集合此时满足扇区条件的适用要求，从而可以将扇区条件运用到步骤3的推导中。同时在条件(8)成立时，可以得出闭环系统的吸引域估计为各个子系统吸引域估计的交集具体证明过程可以将条件(8) 进行适当变型，得到如下不等式关系：

由于在不满足触发条件时有e^T(t)e(t)-x^T(t)Q_ix(t)≤0，所以上述不等式等价于

那么当状态时，相应的x^T(t)P_ix(t)≤1，其中结合上式可以得出：

即x_a(t)∈S(K_iax_a,G_iax_a,u₀)。另一方面，当事件触发发生时，在触发时刻采样误差e(t)＝0，此时同样能够满足至此，条件(8)的成立能够保证扇区条件的使用，是步骤3成立的前提。

因此，对于任意初始状态结合以上结果可以得出，条件(8)给出了扇区条件的使用前提，条件(7)确保了每一个子系统的李雅普诺夫函数均是递减的，即综上所述，闭环系统的吸引域估计为

步骤5：为得到闭环系统指数稳定的结果，设计如下条件：

W_j≤μW_i (9)

其中μ≥1为已知标量，j表示系统切换前所在的子系统，i表示系统切换后的子系统，由条件(9)可以得出其中为切换时刻，表示相邻的前一刻，结合步骤3中的最终可以得到闭环系统指数稳定。具体证明过程可以根据和条件(9)给出的关系得出：

其中假定此时，设计平均停留时间为：

其中τ_a为闭环系统的平均切换时间间隔，该切换规则表示所有切换的平均时间间隔不能小于根据平均停留时间的定义和η₁(||x(t)||)≤V_i(x(t))≤η₂(||x(t)||)的关系，其中η₁和η₂均为常数，可以得出最终结果

由指数稳定的定义我们可以有||x(T)||≤αe-^βT||x(0)||，其中至此可以证明整个闭环系统是指数稳定的。

通过选取满足上述要求的事件触发条件和相关参数，闭环系统的状态将局部指数收敛于原点，从而得到下面的定理。

定理1：考虑闭环系统(6)，对于某个常数标量μ≥1，如果存在标量λ>0，对角正定矩阵S_i∈R^m×m，对称正定矩阵W_i,Y_i∈R^n×n和矩阵G_i2,Z_i1∈R^m×n，能够同时满足条件(7)—(9)，其中Ω_i＝(A_i+B_iK_i)W_i+W_i(A_i+B_iK_i)^T+λW_i，那么闭环系统(6)在平均停留时间切换规则下是指数稳定的，平均停留时间应满足并且可以得出闭环系统的吸引域估计为

定理1可以通过选取闭环系统的多李雅普诺夫函数V_i(x(t))来进行证明。利用条件(8) 将扇区条件应用到步骤3中，进而得到的结论。

在事件触发控制中，只有当触发条件满足时才会将系统状态进行采样和传输，任意两次相邻的采样时间间隔被称作触发时间间隔。为了避免Zeno现象(在事件触发控制中，若任意两次相邻的触发时间间隔非常短，可能会导致无限多事件的触发)的发生，本发明给出了求取触发时间间隔下界的方法，得到最小触发时间间隔。从而得到下面的定理。

定理2：对于闭环系统(6)，当时，最小时间间隔为

其中m_i＝|λ_max(A_i)|，λ_max(A_i)表示矩阵A_i的最大特征值，λ_min(Q_i) 表示矩阵Q_i的最小特征值，。

定理2可以根据系统本身性能得出然后根据事件触发条件，当触发不发生时有e^T(t)e(t)-x^T(t)Q_ix(t)≤0，对其充分条件||e(t)||²≤λ_min(Q_i)||x(t)||²进行适当放缩，进而得出将以上结果进行整理即可得出定理2中的结论。

针对切换饱和系统，区别于以往的控制方法，我们采用事件触发策略，通过选择合适的触发条件，不仅能够使闭环系统达到指数稳定，还能够显著地减少采样次数，从而有效地节省网络资源。

我们通过求取最小触发时间间隔，避免了Zeno现象(在事件触发控制中，若任意两次相邻的触发时间间隔非常短，可能会导致无限多事件的触发)的发生。

应用实例：

将本发明应用到如图3所示的弹簧质点系统中，通过在MATLAB环境下进行仿真，以验证系统的稳定性。考虑由两个子系统组成的切换饱和系统，其每一个子系统的示意图如图4所示，输入量为施加在质点上的力u_p，输出量为质点位移q。则该系统的运动方程可以表示为

这里令d＝0，其中m_i为质点的质量，k_i为弹簧的弹性系数，f_i为阻尼系数。根据所选参数的不同，得到以下两个子系统：

设计状态反馈增益为：

K₁＝[-1.5857 -1.7567]，K₂＝[-3.3712 -0.9586]

已知μ＝1.6，通过求解定理1中的条件，我们得到：

并且求得λ＝0.911，计算得出平均停留时间

如图5中所示仿真结果，两个椭圆区域分别为子系统1和子系统2的吸引域估计范围， ε(P₁)和ε(P₂)取交集得到闭环系统的吸引域估计，曲线为闭环系统状态运行轨迹。选择吸引域估计范围内的任一初始状态，得到的闭环系统轨迹都将收敛于原点。图6所示为仿真所得饱和控制输入sat(u(t))随时间的变化趋势。图6所示为闭环系统的状态随时间变化的趋势，其中实线表示状态x₁，虚线表示状态x₂，从仿真结果可以看出，状态最终都趋于零。

但以上所述的具体实施步骤，对本发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细说明，所应理解的是，以上所述仅为本发明的一般步骤而已，并不用于限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims

1.一种带有执行器饱和的切换系统事件触发控制设计方法，其特征是，具体包括以下步骤：

步骤1：建立如下带有执行器饱和的切换系统：

<mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>&sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>&sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> <mi>s</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

u(t)＝K_σ(t)x(t) (1)

sat(u_j(t))＝sgn(u_j(t))min{u₀,|u_j(t)|}，j＝1,2,…,m

<mrow> <mi>sgn</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>&GreaterEqual;</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo><</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>

其中min{}表示最小值，u₀为饱和函数的上界，u_j(t)为控制输入u(t)的各个分量，j代表第j个分量，m是控制输入的维数，由该饱和函数可定义死区非线性函数：

Φ(u(t))＝sat(u(t))-u(t) (2)

σ(t)为切换信号，是关于时间的分段右连续常函数，定义为N为切换系统子系统的个数，定义系统的切换时刻为这里令为初始时刻，当时，切换信号σ(t)＝i，表示系统切换到第i个子系统，相应的闭环系统可写作如下形式：

<mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>A</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>s</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>x</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

步骤2：设计触发条件，确定触发时刻定义采样误差为：

<mrow> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>t</mi> <mi>k</mi> <mi>e</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mo>&ForAll;</mo> <mi>t</mi> <mo>&Element;</mo> <mo>&lsqb;</mo> <msubsup> <mi>t</mi> <mi>k</mi> <mi>e</mi> </msubsup> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>t</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>e</mi> </msubsup> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mo>&ForAll;</mo> <mi>k</mi> <mo>&Element;</mo> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中为触发时刻，表示在该时刻系统将采样信号传输给控制器，为触发时刻的状态，x(t)为当前时刻的状态，假设第一个触发时刻为由此得到一系列触发时刻：

<mrow> <msubsup> <mi>t</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>e</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>f</mi> <mo>{</mo> <mi>t</mi> <mo>></mo> <msubsup> <mi>t</mi> <mi>k</mi> <mi>e</mi> </msubsup> <mo>|</mo> <msup> <mi>e</mi> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>></mo> <msup> <mi>x</mi> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>Q</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> <mo>,</mo> <mo>&ForAll;</mo> <mi>k</mi> <mo>&Element;</mo> <mi>N</mi> </mrow>

其中inf{}表示下确界，x(t)是当前时刻状态，e(t)是采样误差，x^T(t)和e^T(t)表示向量x(t)和e(t)的转置，Q_i>0为n维正定对称矩阵，其选取与步骤3和步骤4中的闭环系统指数稳定条件有关，将触发时刻采样得到的系统状态传输给控制器，控制器端利用该采样值计算出控制器的输出：

<mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>A</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>K</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>K</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>&Phi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>x</mi> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>t</mi> <mi>k</mi> <mi>e</mi> </msubsup> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

步骤3：对于上述闭环系统(6)，设计如下条件：

<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&Omega;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>W</mi> <mi>i</mi> </msub> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>K</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>S</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mi>T</mi> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>*</mo> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>Y</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>*</mo> </mtd> <mtd> <mo>*</mo> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>I</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>G</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mi>T</mi> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>*</mo> </mtd> <mtd> <mo>*</mo> </mtd> <mtd> <mo>*</mo> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>S</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo><</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中上角标“T”表示矩阵的转置，Ω_i＝(A_i+B_iK_i)W_i+W_i(A_i+B_iK_i)^T+λW_i，I为合适维数的单位矩阵，如果存在标量λ>0，对角正定矩阵S_i∈R^m×m，对称正定矩阵W_i,Y_i∈R^n×n和矩阵G_i2,Z_i1∈R^m×n，满足上述不等式条件，则对于每一个子系统均能够得出即V_i(x(t))是正定递减的，其中V_i(x(t))为每一个子系统的李雅普诺夫函数；

步骤4：为满足条件(7)的成立，设计如下前提条件：

其中j＝1,2,…,m，表示矩阵的第j行，m为矩阵K_i和Z_i1的行数，上角标“T”表示矩阵的转置，I为合适维数的单位矩阵，u₀为饱和函数的上界，如果存在对称正定矩阵W_i,Y_i∈R^n×n和矩阵G_i2,Z_i1∈R^m×n，满足上述不等式条件，则根据事件触发条件的要求，当触发不发生时满足e^T(t)e(t)-x^T(t)Q_ix(t)≤0，将该关系和条件(8)结合，推出当系统状态x(t)∈ε(W_i ^-1)时，其中满足扇区条件的适用要求，从而将扇区条件运用到步骤3的推导中，同时在条件(8)成立时，可以得出闭环系统的吸引域估计为各个子系统吸引域估计的交集

步骤5：为得到闭环系统指数稳定的结果，设计如下条件：

W_j≤μW_i (9)

<mrow> <msub> <mi>&tau;</mi> <mi>a</mi> </msub> <mo>&GreaterEqual;</mo> <msubsup> <mi>&tau;</mi> <mi>a</mi> <mo>*</mo> </msubsup> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>l</mi> <mi>n</mi> <mi>&mu;</mi> </mrow> <mi>&lambda;</mi> </mfrac> </mrow>

2.如权利要求1所述的带有执行器饱和的切换系统事件触发控制设计方法，其特征是，进一步地，通过选取闭环系统的多李雅普诺夫函数V_i(x(t))来进行证明，利用条件(8)将扇区条件应用到步骤3中，进而得到的结论。

3.如权利要求1所述的，其特征是，进一步地：对于闭环系统(6)，当时，最小时间间隔为：

<mrow> <mi>&tau;</mi> <mo>=</mo> <mi>min</mi> <mo>{</mo> <msub> <mi>&tau;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>}</mo> <mo>=</mo> <mi>min</mi> <mo>{</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </msub> </mfrac> <mi>ln</mi> <mo>&lsqb;</mo> <mfrac> <msub> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>i</mi> </msub> </mfrac> <mo>&CenterDot;</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&lambda;</mi> <mi>min</mi> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>Q</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msqrt> <mrow> <msub> <mi>&lambda;</mi> <mi>min</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Q</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msqrt> <mo>)</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>x</mi> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>t</mi> <mi>k</mi> <mi>e</mi> </msubsup> <mo>)</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>&lambda;</mi> <mi>min</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Q</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>&rsqb;</mo> <mo>}</mo> </mrow>

其中m_i＝|λ_max(A_i)|，λ_max(A_i)表示矩阵A_i的最大特征值，λ_min(Q_i)表示矩阵Q_i的最小特征值。