CN109976361B - 面向事件触发的四旋翼无人机姿态控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及无人飞行器控制技术领域，为解决四旋翼无人机在模型参数不确定、未建模动态和外界干扰等综合影响下的高精度快速姿态跟踪控制，达到在保证四旋翼无人机控制性能的前提下，节约网络和计算资源、提高系统续航能力的目的。为此，本发明采取的技术方案是，面向事件触发的四旋翼无人机姿态控制方法，步骤如下：第一部分，四旋翼无人机姿态数学模型；第二部分，事件触发机制下的姿态超螺旋控制器设计；第三部分，事件触发规则设计：根据李雅普诺夫稳定性分析设计事件触发规则，通过分析保证内部事件时间大于一个正常数。本发明主要应用于飞行器自动避障控制场合。

Description

面向事件触发的四旋翼无人机姿态控制方法

技术领域

本发明涉及无人飞行器控制技术领域，尤其涉及四旋翼无人机的事件触发姿态控制领域。

背景技术

网络物理系统(Cyber-Physical System，简称CPS)是计算与物理过程的集成。嵌入式计算机、网络监视和控制物理过程之间通常使用反馈回路，其中物理过程影响计算，反之亦然。物理和信息驱动的功能(或网络)之间的交叉代表了挑战，并带来了创新。对于CPS，数字平台和网络的使用成为节省空间、重量和能量的明显趋势。然而，数字实现又会出现其他的挑战，例如需确定控制信号更新和应用的频率，以便仍能保证系统的稳定性。四旋翼无人机作为CPS的一种，在工业和学术研究上越来越受欢迎。在民用上四旋翼无人机有广泛应用，例如道路交通的视频监控、城区监视、森林火灾探测或建筑物检查等。此外，在微型旋翼机无人机中，迷你四旋翼无人机因其高机动性，有效载荷能力和悬停能力引起了国内外极大的研究兴趣。这种垂直起飞和着陆的四旋翼无人机具有一些优于传统直升机的优点：由于其对称性，设计和构造相对简单。实际上，四旋翼无人机是一种欠驱动系统，具有四个输入力和六个输出坐标(姿态和位置)。然而，该系统可以分解为两个子系统，一个定义平移运动，另一个定义旋转运动。这些子系统级联耦合，平移子系统取决于旋转子系统，但旋转子系统独立于平移子系统。自主飞行时需要生成发送到执行机构的低级控制信号以及与引导、导航相关的决策。低级飞行控制被称为姿态控制，它负责维持所需的无人机方向。因此，姿态控制器设计本身就是一个挑战。

目前，经典的线性控制方法，如PID控制算法、LQR控制算法、H_∞控制算法等，和基于现代控制理论提出的非线性控制方法，如滑模控制、反步控制、自适应控制等，因其各自的优点在四旋翼无人机的姿态控制领域被广泛应用。实际上，这些控制方法都是在连续时间框架下制定的，它们在数字平台下的实现是通过“仿真”过程来实现的。该过程包括实现具有恒定且足够小的采样周期的连续时间控制算法。但是，这些方法容易受到硬件限制，并且不可能将采样周期缩短到保证可接受的闭环性能的水平。近年来，一种新的控制机制-事件触发控制方法被提出。事件触发机制的基本思想是首先保证闭环系统稳定，在系统稳定的情况下，一旦预先设定好的事件触发条件不成立，控制任务随即被执行，即：事件触发控制就是控制任务需要时才执行，不需要时不执行，并且还要保证系统的稳定性。其中，事件触发条件通常由事件函数生成，该事件函数指示是否必须更新控制信号，典型的事件检测机制是关于系统状态变化的函数。与传统数字控制方法相比，此方法的优点是：在保证性能的同时减少控制器的更新次数，这意味着可以为与控制器共享网络的其他任务提供更多的带宽，从而节省网络资源，或者可以最小化CPU的使用，节约计算资源，从而降低能量的消耗。

考虑到四旋翼无人机需要节省能量、提高其续航能力的明显趋势，为确保在存在模型参数不确定及未建模动态和外界干扰影响的情况下，实现四旋翼无人机的姿态稳定跟踪控制，节约通信和计算资源、提高其续航能力，本发明首次提出了基于事件触发的超螺旋四旋翼无人机姿态控制方法。本发明提出的方法能够实现四旋翼无人机姿态的高精度快速收敛，同时在保证其控制性能的前提下，减少样本数量，从而降低能耗，提高四旋翼无人机的续航能力

本发明属于四旋翼无人机飞行控制技术领域。具体来说，给出了在模型参数不确定及未建模动态和外界干扰等综合影响下的四旋翼无人机的姿态数学模型，并首次提出了一种不同于以往传统数字控制方法的基于事件触发的超螺旋滑模控制方法，随后通过Simulink仿真分析，验证了本发明提出方法的有效性。

发明内容

为克服现有技术的不足，本发明旨在提出一种应用于四旋翼无人机姿态的基于事件触发的超螺旋控制方法，解决四旋翼无人机在模型参数不确定、未建模动态和外界干扰等综合影响下的高精度快速姿态跟踪控制，达到在保证四旋翼无人机控制性能的前提下，节约网络和计算资源、提高系统续航能力的目的。为此，本发明采取的技术方案是，面向事件触发的四旋翼无人机姿态控制方法，步骤如下：

第一部分，四旋翼无人机姿态数学模型：根据四旋翼无人机姿态的力矩分析，建立欧拉姿态数学模型，同时考虑实际姿态要跟踪期望姿态，进一步建立姿态的误差模型，通过设计事件触发机制下的姿态控制器，使姿态误差收敛到零；

第二部分，事件触发机制下的姿态超螺旋控制器设计：对四旋翼无人机的姿态环进行事件触发机制下的超螺旋控制器设计，最终使得四旋翼无人机实现对期望姿态的快速稳定跟踪控制；

第三部分，事件触发规则设计：根据李雅普诺夫稳定性分析设计事件触发规则，通过分析保证内部事件时间大于一个正常数。

为了验证本发明提出方法的有效性，搭建事件触发机制下的四旋翼无人机姿态超螺旋控制的MATLAB/Simulink仿真系统，并对仿真结果进行分析，确保本发明提出的方法在模型参数不确定及未建模动态和外界干扰存在下的有效性。

具体地：

第一步，四旋翼无人机姿态模型，依据无人机的多变量特性，同时考虑模型参数不确定及未建模动态和外界干扰存在的情况，根据力矩分析得出四旋翼无人机姿态系统模型：

其中，Θ＝[φ,θ,ψ]^T表示四旋翼无人机的姿态，φ表示滚转角，θ表示俯仰角，ψ表示偏航角；Ω＝[ω_x,ω_y,ω_z]^T表示姿态角速度；I＝diag[I_x,I_y,I_z]是飞行器惯性矩阵；τ＝[τ₁,τ₂,τ₃]^T表示控制转矩；△(t)表示模型参数不确定及未建模动态和外界干扰的综合；矩阵W定义如下

针对四旋翼无人机姿态系统(1)，引入中间变量

x₁＝Θ,x₂＝WΩ (2)

定义姿态跟踪误差

其中Θ_ref＝[φ_ref,θ_ref,ψ_ref]表示无人机的期望姿态，则基于姿态跟踪误差的动态系统表述为：

定义E(t)＝[E₁(t) E₂(t)]^T，则式(4)重新表达为：

其中

I₃₃是3×3的单位矩阵，

是直积，函数f(E(t))＝[E₂(t) F(t)]^T满足Lipschitz条件，即||f(ξ₁(t))-f(ξ₂(t))||≤L||ξ₁(t)-ξ₂(t)||，L称为Lipschitz常数；||△′(t)||<δ，

δ和

是两个已知的常数；

第二步，事件触发机制下的四旋翼无人机姿态超螺旋控制器设计，设计滑模面s₁(t)如下：

s₁(t)＝c^TE(t)＝E₁(t)+E₂(t) (6)

定义

为触发时刻序列，在时间t∈[t_i,t_i+1)内，设计虚拟控制变量τ′(t)为

其中

k₁和k₂满足以下条件：

其中

对式(6)求导，得到：

其中

第三步，事件触发规则设计，根据下面的李雅普诺夫稳定性证明可以得出：系统的稳定性条件有两个，一个是式(8)，一个是下列不等式：

其中定义测量误差e(t)＝E(t_i)-E(t)且e(t_i)＝E(t_i)-E(t_i)＝0，0<σ<1，α＞0，式(10)对于所有的t≥0都满足。

李雅普诺夫稳定性证明：第一步：证明滑模变量s₁(t),s₂(t)在有限时间内收敛到滑模域，定义以下变量：

考虑公式(9)，以上两个变量的导数为：

设计李雅普诺夫函数如下：

其中，

因为||s₁(t_i)||＝||s₁(t)+c^Te(t)||，由稳定性条件(10)和C_p不等式可以得出以下不等式：

其中

当signs₁(t_i)＝signs₁(t)时，李雅普诺夫函数的导数为：

其中

是有界的，式(15)中的Q如下：

为了保证Q是正定的，需满足以下条件：

很明显，在条件(8)下，Q是正定的，由于

λ_max(Q)、λ_min(Q)是Q的最大、最小特征值，式(15)重新写为：

当

时，其中0<κ<1，式(18)可写为：

由于

λ_max(P)、λ_min(P)是P的最大、最小特征值，所以

则滑模变量s₁(t),s₂(t)在有限时间t≥T₁收敛到零，其中

当

时，即

且其是

的一个子集，

当signs₁(t_i)≠signs₁(t)时，李雅普诺夫函数V是有界的，滑模变量s₁(t)收敛到以下域内

第二步：证明系统状态变量E₁(t),E₂(t)是有界的，考虑到滑模面的设计及滑模域，得出：

选取李雅普诺夫函数

并对其求导得到：

当

时，

当

时，V₂是递减的，所以，闭环系统是有界的，且收敛到域

内。

以上两步完成稳定性证明，并得出稳定性条件(8)和(10)。

本发明的特点及有益效果是：

通过仿真的验证和分析，充分表明本发明提出的基于事件触发的超螺旋控制方法的可行性，并实现了四旋翼无人机姿态的高精度、快速稳定跟踪，降低了控制信号的更新次数、减少了计算成本并节省了能量。

附图说明：

附图1事件触发机制下的四旋翼无人机姿态控制系统结构图。

附图2四旋翼无人机的姿态跟踪曲线。

附图3四旋翼无人机的姿态跟踪误差曲线。

附图4四旋翼无人机的控制信号。

附图5事件触发机制下的滑模面变化曲线。

附图6事件触发机制下的内部事件时间的变化。

具体实施方式

本发明的目的在于提出一种应用于四旋翼无人机姿态的基于事件触发的超螺旋控制方法。具体而言，考虑四旋翼无人机降低能耗、提高续航能力的迫切需求，在综合考虑模型参数不确定、未建模动态及外界干扰的影响下，提出一种事件触发机制下的四旋翼无人机姿态超螺旋控制方法，该方法突破了传统数字控制算法等间隔采样的不足，首次提出了基于系统状态采样的事件触发超螺旋控制方法，解决了四旋翼无人机在模型参数不确定、未建模动态和外界干扰等综合影响下的高精度快速姿态跟踪控制，从而达到在保证四旋翼无人机控制性能的前提下，节约网络和计算资源、提高系统续航能力的目的。

本发明提出的事件触发机制下的四旋翼无人机姿态超螺旋控制方法的总体技术方案如图1所示，整个系统主要包括三部分：四旋翼无人机姿态数学模型、事件触发机制下的姿态超螺旋控制器和事件触发规则，具体技术方案如下：

第一部分，四旋翼无人机姿态数学模型：根据四旋翼无人机姿态的力矩分析，建立欧拉姿态数学模型，同时考虑实际姿态要跟踪期望姿态，进一步建立姿态的误差模型，通过设计事件触发机制下的姿态控制器，使姿态误差收敛到零。

第二部分，事件触发机制下的姿态超螺旋控制器设计：考虑模型参数不确定及未建模动态和外界干扰，对四旋翼无人机的姿态环进行事件触发机制下的超螺旋控制器设计，最终使得四旋翼无人机实现对期望姿态的快速稳定跟踪控制。

第三部分，事件触发规则设计：根据李雅普诺夫稳定性分析设计事件触发规则，保证了系统的稳定性。此外，为了保证控制信号不连续时间更新，即避免Zeno现象，需要通过分析保证内部事件时间大于一个正常数。通过以上举措确保事件触发机制下系统的稳定性并避免Zeno现象。

最后，为了验证本发明提出方法的有效性，搭建事件触发机制下的四旋翼无人机姿态超螺旋控制的MATLAB/Simulink仿真系统，并对仿真结果进行分析，确保本发明提出的方法在模型参数不确定及未建模动态和外界干扰存在下的有效性。

为了验证本发明提出的事件触发机制下的四旋翼无人机姿态超螺旋控制算法的有效性，首先将事件触发机制下的四旋翼无人机姿态控制系统在MATLAB/Simulink中进行集成设计，并进行了仿真实验，主要仿真过程如下：

(1)参数设置

1)四旋翼无人机期望姿态：假设四旋翼无人机螺旋上升，则期望φ,θ,ψ方向的姿态信息设为：φ_ref＝0.5sint,θ_ref＝0.5cost,ψ_ref＝0。

2)四旋翼无人机物理参数：飞行器质量m＝0.625kg，惯性参数I_x＝2.3×10^-3kgm²，I_y＝2.4×10^-3kgm²，I_z＝2.6×10^-3kgm²。

3)控制器参数设置：姿态环控制器参数k₁＝4，k₂＝9；事件触发规则参数L＝1，σ＝0.2，α＝0.005。

仿真测试验证过程中，采样时间设置为定步长4毫秒，仿真时间为30秒，姿态综合干扰用时变函数△＝I[1+sin(t)；1+cos(t)；0.5(cos(t)+sin(t))]来进行模拟。

(2)结果分析

在上述给定的条件下，对本发明提出的方法进行仿真验证并分析仿真结果，仿真结果如图2～图6和表1所示。

表1不同的α对系统性能的影响

其中，图2是四旋翼无人机姿态跟踪的仿真结果；图3是四旋翼无人机姿态跟踪误差的仿真结果；图4是四旋翼无人机的姿态控制信号的仿真结果；图5事件触发机制下的滑模面变化的仿真结果；图6是事件触发机制下的内部事件时间变化的仿真结果。表1是不同的α对系统性能的影响的仿真结果。

事件触发机制下的四旋翼无人机姿态超螺旋控制结果分析：图2给出了事件触发机制下的超螺旋控制的姿态跟踪曲线，从中可以看出此方法能够使四旋翼无人机的实际姿态快速稳定跟踪期望姿态，表明了该方法的有效性和可行性。图3是姿态的跟踪误差曲线，可以看出误差稳定在零附近，从姿态跟踪误差放大图可以得到α＝0.005时滚转、俯仰和偏航三个方向上的最大姿态跟踪误差都分别为6.2*10^-2弧度，4.8*10^-2弧度和6.6*10^-2弧度。图4给出了四旋翼无人机控制信号τ′₁、τ′₂、τ′₃的曲线，从中可以看出控制信号的抖振比滑模控制的明显减少，表明了此超螺旋控制方法能够削弱抖振现象。图5是事件触发机制下的滑模变量的变化曲线，此结果表明滑模变量在有限时间内到达滑模域。图6是事件触发控制中的内部事件时间T_i的变化，从中可以看出T_i一直是正常数，因此触发时刻的Zeno现象不会发生，同时触发时刻的数量为689，即控制信号的更新次数为689，而连续时间下控制信号更新的次数为7501，大大降低了控制信号的更新次数。表1给出了不同的α对系统性能的影响，从中可以看出随着α的增大，触发时刻的数量在减少，误差精度在降低，这意味着如果需要增加误差精度需要更多的样本数量，我们可以通过选择适当的α在保证系统性能的同时降低样本数量。

以上仿真的验证和分析，充分表明了本文提出的基于事件触发的超螺旋控制方法的可行性，并实现了四旋翼无人机姿态的高精度、快速稳定跟踪，降低了控制信号的更新次数、减少了计算成本并节省了能量。

本发明以基于有限时间的控制理论为主要研究手段，提出一种事件触发机制下的四旋翼无人机姿态控制方法，具体实现过程如下。

第一步，四旋翼无人机姿态模型。依据无人机的多变量特性，同时考虑模型参数不确定及未建模动态和外界干扰存在的情况，根据力矩分析得出四旋翼无人机姿态系统模型：

其中，Θ＝[φ,θ,ψ]^T表示四旋翼无人机的姿态，φ表示滚转角，θ表示俯仰角，ψ表示偏航角；Ω＝[ω_x,ω_y,ω_z]^T表示姿态角速度；I＝diag[I_x,I_y,I_z]是飞行器惯性矩阵；τ＝[τ₁,τ₂,τ₃]^T表示控制转矩；△(t)表示模型参数不确定及未建模动态和外界干扰的综合；矩阵W定义如下

针对四旋翼无人机姿态系统(1)，引入中间变量

x₁＝Θ,x₂＝WΩ (2)

定义姿态跟踪误差

其中Θ_ref＝[φ_ref,θ_ref,ψ_ref]表示无人机的期望姿态，则基于姿态跟踪误差的动态系统可表述为

定义E(t)＝[E₁(t) E₂(t)]^T，则式(4)可重新表达为：

其中

I₃₃是3×3的单位矩阵,

是直积，函数f(E(t))＝[E₂(t) F(t)]^T满足Lipschitz条件，即||f(ξ₁(t))-f(ξ₂(t))||≤L||ξ₁(t)-ξ₂(t)||，L为Lipschitz常数；

δ和

是两个已知的常数。

第二步，事件触发机制下的四旋翼无人机姿态超螺旋控制器设计。设计滑模面s₁(t)如下：

s₁(t)＝c^TE(t)＝E₁(t)+E₂(t) (6)

定义

为触发时刻序列，在时间t∈[t_i,t_i+1)内，设计虚拟控制变量τ′为

式(7)中

且k₁和k₂满足以下条件：

其中

对式(6)求导，得到：

其中

第三步，事件触发规则设计。根据下面的李雅普诺夫稳定性证明可以得出：系统的稳定性条件有两个，一个是式(8)，一个是下列不等式：

其中定义测量误差e(t)＝E(t_i)-E(t)且e(t_i)＝E(t_i)-E(t_i)＝0，0<σ<1，α＞0，式(10)对于所有的t≥0都满足。

李雅普诺夫稳定性证明。第一步：证明滑模变量s₁(t),s₂(t)在有限时间内收敛到滑模域。定义以下变量：

考虑公式(9)，以上两个变量的导数为：

设计李雅普诺夫函数如下：

其中，

因为||s₁(t_i)||＝||s₁(t)+c^Te(t)||，由稳定性条件(10)和C_p不等式可以得出以下不等式：

其中

当signs₁(t_i)＝signs₁(t)时，李雅普诺夫函数的导数为：

其中

是有界的。式(15)中的Q如下：

为了保证Q是正定的，需满足以下条件：

很明显，在条件(8)下，Q是正定的。由于

λ_max(Q)、λ_min(Q)是Q的最大、最小特征值，式(15)可重新写为：

当

时，其中0<κ<1，式(18)可写为：

由于

λ_max(P)、λ_min(P)是P的最大、最小特征值，所以

则滑模变量s₁(t),s₂(t)在有限时间t≥T₁收敛到零，其中

当

时，即

且其是

的一个子集。

当signs₁(t_i)≠signs₁(t)时，李雅普诺夫函数V是有界的，滑模变量s₁(t)收敛到以下域内

第二步：证明系统状态变量E₁(t),E₂(t)是有界的。考虑到滑模面的设计及滑模域，可以得出：

选取李雅普诺夫函数

并对其求导得到：

当

时，

当

时，V₂是递减的。所以，闭环系统是有界的，且收敛到域

内。

以上两步完成稳定性证明，并得出稳定性条件(8)和(10)。

根据上述分析，事件触发规则设计如下：

避免Zeno现象。定义内部事件时间T_i＝t_i+1-t_i，其中i∈Z_≥0。由于||e(t)||在时间[t_i,t_i+1)里从0增到

所以对其求导得：

微分方程(27)的解为：

当t＝t_i+1时，可以得到：

定义函数

由于函数g(T_i)在T_i≥0里是单调递增的且

所以不等式(29)的解为T_i≥β＞0，其中g(β)＝0。因此，触发规则不会造成Zeno执行。

以上三部分为本发明技术方案的详细公式推导。

Claims (3)

1.一种面向事件触发的四旋翼无人机姿态控制方法，其特征是，步骤如下：

第一部分，四旋翼无人机姿态数学模型：根据四旋翼无人机姿态的力矩分析，建立欧拉姿态数学模型，同时考虑实际姿态要跟踪期望姿态，进一步建立姿态的误差模型，通过设计事件触发机制下的姿态控制器，使姿态误差收敛到零；

第二部分，事件触发机制下的姿态超螺旋控制器设计：对四旋翼无人机的姿态环进行事件触发机制下的超螺旋控制器设计，最终使得四旋翼无人机实现对期望姿态的快速稳定跟踪控制；

第三部分，事件触发规则设计：根据李雅普诺夫稳定性分析设计事件触发规则，通过分析保证内部事件时间大于一个正常数；

第一步，四旋翼无人机姿态模型，依据无人机的多变量特性，同时考虑模型参数不确定及未建模动态和外界干扰存在的情况，根据力矩分析得出四旋翼无人机姿态系统模型：

其中，Θ＝[φ,θ,ψ]^T表示四旋翼无人机的姿态，φ表示滚转角，θ表示俯仰角，ψ表示偏航角；Ω＝[ω_x,ω_y,ω_z]^T表示姿态角速度；I＝diag[I_x,I_y,I_z]是飞行器惯性矩阵；τ＝[τ₁,τ₂,τ₃]^T表示控制转矩；△(t)表示模型参数不确定及未建模动态和外界干扰的综合；矩阵W定义如下

针对四旋翼无人机姿态系统(1)，引入中间变量

x₁＝Θ,x₂＝WΩ (2)

定义姿态跟踪误差

E₁(t)＝x₁-Θ_ref,

其中Θ_ref＝[φ_ref,θ_ref,ψ_ref]表示无人机的期望姿态，则基于姿态跟踪误差的动态系统表述为：

定义E(t)＝[E₁(t) E₂(t)]^T，则式(4)重新表达为：

其中

I₃₃是3×3的单位矩阵，

是直积，函数f(E(t))＝[E₂(t) F(t)]^T满足Lipschitz条件，即||f(ξ₁(t))-f(ξ₂(t))||≤L||ξ₁(t)-ξ₂(t)||，L称为Lipschitz常数；||△′(t)||<δ，

δ和

是两个已知的常数；

第二步，事件触发机制下的四旋翼无人机姿态超螺旋控制器设计，设计滑模面s₁(t)如下：

s₁(t)＝c^TE(t)＝E₁(t)+E₂(t) (6)

定义

为触发时刻序列，在时间t∈[t_i,t_i+1)内，设计虚拟控制变量τ′(t)为

其中

k₁和k₂满足以下条件：

其中

对式(6)求导，得到：

其中

第三步，事件触发规则设计，根据下面的李雅普诺夫稳定性证明可以得出：系统的稳定性条件有两个，一个是式(8)，一个是下列不等式：

其中定义测量误差e(t)＝E(t_i)-E(t)且e(t_i)＝E(t_i)-E(t_i)＝0，0<σ<1，α>0，式(10)对于所有的t≥0都满足。

2.如权利要求1所述的面向事件触发的四旋翼无人机姿态控制方法，其特征是，为了验证本发明提出方法的有效性，搭建事件触发机制下的四旋翼无人机姿态超螺旋控制的MATLAB/Simulink仿真系统，并对仿真结果进行分析，确保本发明提出的方法在模型参数不确定及未建模动态和外界干扰存在下的有效性。

3.如权利要求1所述的面向事件触发的四旋翼无人机姿态控制方法，其特征是，李雅普诺夫稳定性证明：第一步：证明滑模变量s₁(t),s₂(t)在有限时间内收敛到滑模域，定义以下变量：

考虑公式(9)，以上两个变量的导数为：

设计李雅普诺夫函数如下：

其中，

因为||s₁(t_i)||＝||s₁(t)+c^Te(t)||，由稳定性条件(10)和C_p不等式可以得出以下不等式：

其中

当signs₁(t_i)＝signs₁(t)时，李雅普诺夫函数的导数为：

其中

是有界的，式(15)中的Q如下：

为了保证Q是正定的，需满足以下条件：

很明显，在条件(8)下，Q是正定的，由于

λ_max(Q)、λ_min(Q)是Q的最大、最小特征值，式(15)重新写为：

当

时，其中0<κ<1，式(18)可写为：

由于

λ_max(P)、λ_min(P)是P的最大、最小特征值，所以

则滑模变量s₁(t),s₂(t)在有限时间t≥T₁收敛到零，其中

当

时，即

且其是

的一个子集，

当signs₁(t_i)≠signs₁(t)时，李雅普诺夫函数V是有界的，滑模变量s₁(t)收敛到以下域内

第二步：证明系统状态变量E₁(t),E₂(t)是有界的，考虑到滑模面的设计及滑模域，得出：

选取李雅普诺夫函数

并对其求导得到：

当

时，

当

时，V₂是递减的，所以，闭环系统是有界的，且收敛到域

内；以上两步完成稳定性证明，并得出稳定性条件(8)和(10)。

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