CN108803317A - 自适应多变量四旋翼无人机有限时间容错控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及无人飞行器控制技术领域，为解决四旋翼无人机在旋翼故障和干扰边界未知影响下的高精度快速稳定跟踪控制问题，从而达到全面提高四旋翼无人机控制性能，增强系统安全性和可靠性的目的，本发明，自适应多变量四旋翼无人机有限时间容错控制方法，步骤如下：第一步，自适应有限时间位置容错控制器设计；第二步，姿态解算：基于四旋翼无人机的飞行特性，建立位置环虚拟控制指令和姿态环参考姿态指令的解析关系；第三步，自适应有限时间姿态容错控制器设计。本发明主要应用于无人飞行器控制场合。

Description

自适应多变量四旋翼无人机有限时间容错控制方法

技术领域

本发明涉及无人飞行器控制技术领域，尤其涉及四旋翼无人机的有限时间容错控制领域。

背景技术

四旋翼无人机是一个典型的受多变量、强耦合、非线性及不确定综合影响的欠驱动系统，四旋翼无人机相比其他飞行器，其显著特点为：(1)体积小、重量轻，可在各种复杂空间内垂直起降；(2)微小型四旋翼无人机飞行高度为几百米，飞行速度可达每秒几十米，机动性强；(3)结构简单，成本较低，拆卸方便，易于维护。由于四旋翼无人机的种种优点，它可代替人类进入某些极端条件区域执行任务：军事方面，可用于执行近距离的低空侦察、电磁干扰、目标监视等复杂任务；民用方面，可用于高空照相、气象勘测、地图测绘、电力巡检、农业植保等。综上所述，四旋翼无人机拥有巨大的应用领域和广阔的发展前景，各国的研究机构都在对其进行深入的挖掘和开发。

然而，在四旋翼无人机自主飞行过程中，总会发生一些不可预估难以避免的状况，比如旋翼发生故障和外界强气流扰动的影响。若遇到这些情况，无人机的飞行品质一般会大大降低，甚至可能导致无人机无法正常完成目标任务。因此，研究四旋翼无人机的容错控制算法，使其能在旋翼故障和外界干扰下稳定跟踪期望轨迹，对于保证无人机高稳定、高可靠飞行具有重要意义。目前，传统的控制方法，如PID控制算法、LQR控制算法等，因其结构简单，易于实现，不依赖于系统数学模型，在飞行控制领域被广泛应用。然而，上述控制方法应用到四旋翼无人机控制器设计时，存在许多不足，例如：对多输入多输出的无人机模型强行解耦为单输入单输出模型，降低了模型的可信度、基于经典控制理论得到的控制器只能实现无人机的渐近稳定跟踪，且控制器参数调整依赖于外界干扰，实际调试过程费时费力。而近年来提出的基于现代控制理论的非线性控制算法，如：反步控制、滑模控制、自适应控制等，能够基于多输入多输出模型直接对无人机进行控制器设计，该方法在确保系统稳定的同时，能够有效提高四旋翼无人机的跟踪精度、收敛速度和鲁棒性。然而，由于无人机的强非线性特性和飞行过程中的模型参数不确定及未建模动态等各种复杂特性的影响，使得无人机的外界干扰及故障率的边界难以事先精确获得。而目前基于自适应策略的容错控制方法往往只能实现对参考指令的渐近稳定跟踪，且在对无人机综合干扰边界进行在线估计的时候，往往存在过估计的现象(自适应增益远远大于实际的干扰边界)，此种情形下的高增益给无人机控制器的实现带来了不便。

考虑到四旋翼无人机控制系统的高可靠及高稳定发展的迫切需求，为确保无人机在故障率及外界干扰边界未知情形下，实现对四旋翼无人机有限时间稳定跟踪控制，全面提高系统的自适应、自容错能力，本发明针对四旋翼无人机，首次提出了一种具有非过估计特性的自适应有限时间容错控制方法。本发明提出的控制方法，与现有控制方法相比，其显著特点为：(1)不需要知道外界干扰及故障率边界的任何信息，能在边界未知的情形下实现稳定跟踪控制；(2)控制增益能够随外界干扰及故障率边界的增加减少而自适应调整，具有非过估计特性，能显著提高四旋翼无人机应对复杂飞行环境的能力；(3)参数调整仅取决于无人机的标称模型，与无人机系统模型不确定和外界综合干扰及故障率无关，大大简化了控制系统的参数调试；(4)基于该方法设计的控制器能够实现四旋翼无人机轨迹与姿态的有限时间稳定跟踪控制，确保飞行控制系统具有高精度、快速收敛、强鲁棒性的控制性能。

本发明属于四旋翼无人机飞行控制技术领域。具体来说，给出了旋翼发生故障和干扰边界未知时的四旋翼无人机的数学模型，并首次提出了一种不同于以往传统容错控制方法的基于非过估计特性的自适应有限时间容错控制方法，随后通过Simulink仿真分析，验证了本发明提出方法的有效性。

发明内容

为克服现有技术的不足，本发明旨在解决四旋翼无人机在旋翼故障和干扰边界未知影响下的高精度快速稳定跟踪控制问题，从而达到全面提高四旋翼无人机控制性能，增强系统安全性和可靠性的目的。为此，本发明采用的技术方案是，自适应多变量四旋翼无人机有限时间容错控制方法，步骤如下：

第一步，自适应有限时间位置容错控制器设计：考虑旋翼故障和边界未知的外界干扰，对四旋翼无人机的位置环进行具有有限时间收敛特性的非过估计自适应容错控制器设计，确保位置系统的控制增益能根据位置环的故障率和外界干扰的变化进行自适应调整，最终使得四旋翼无人机实现对期望位置的快速稳定跟踪控制；

第二步，姿态解算：基于四旋翼无人机的飞行特性，建立位置环虚拟控制指令和姿态环参考姿态指令的解析关系，在确保姿态环稳定跟踪参考姿态的同时，实现位置环对给定参考指令的稳定跟踪控制；

第三步，自适应有限时间姿态容错控制器设计：针对四旋翼无人机姿态系统设计具有有限时间收敛特性的非过估计自适应容错控制器，根据姿态环的故障率和外界干扰的变化对姿态子系统的控制增益进行自适应调整，确保有限时间内实现对期望姿态的高精度稳定跟踪。

具体地，

第一步，旋翼故障下的四旋翼无人机模型，依据无人机的多变量特性，同时考虑故障率和干扰的边界未知的情况，将六自由度的四旋翼无人机模型划分为位置故障子系统和姿态故障子系统：

位置故障子系统

姿态故障子系统

其中，ξ＝[x,y,z]^T∈R³表示无人机的位置；v＝[v_x,v_y,v_z]^T表示无人机在坐标轴x,y,z方向的速度；g表示重力加速度；e_z＝[0,0,1]^T；τ_f表示无人机控制升力；m表示无人机的质量；Θ＝[φ,θ,ψ]^T表示无人机的姿态，φ表示滚转角，θ表示俯仰角，ψ表示偏航角；Ω＝[ω_x,ω_y,ω_z]^T表示姿态角速度；I＝diag[I_x,I_y,I_z]是飞行器惯性矩阵；τ＝[τ₁,τ₂,τ₃]^T表示控制转矩；α表示故障率，0≤α<1，其中α＝0时表示没有发生旋翼故障的情况；I₃₃表示3×3的单位矩阵；△₁(t)，△₂(t)表示有界的外界扰动且上界未知；矩阵W定义如下

正交转动矩阵R定义如下

第二步，四旋翼无人机位置容错控制器设计，针对位置故障子系统(1)，引入虚拟控制变量

定义如下的变量：

x₁＝ξ,x₂＝v (3)

定义四旋翼无人机位置跟踪误差

其中x_1ref＝[x_ref,y_ref,z_ref]表示无人机的参考位置，则基于位置跟踪误差的动态系统表述为：

其中 是一个未知的常数。针对四旋翼无人机位置误差系统(6)，设计控制律如(7)所示

其中k₁和k₂为任意的正常值，控制器参数β₁＝β/(2-β),β₂＝β，其中β∈(0,1)。其中控制增益a₁(t)和b₁(t)满足

其中常数a₁₀和b₁₀满足b₁₀>1，L₁(t)是自适应函数，设计自适应律如式(9)所示

其中，常数c_f1和μ_f1应满足b₁₀c_f1-μ_f1>0，常数保证开始时期望的最小控制水平，z_1eq为等效控制，可通过时间常数为λ₁的低通滤波器产生，Γ₁(t)为

四旋翼无人机姿态解算：通过姿态解算获得四旋翼无人机飞行轨迹与飞行姿态之间的解析关系，同时得到四旋翼无人机的总升力，具体计算过程如下。

其中s_ω＝sinω,c_ω＝cosω，(ω＝φ,θ,ψ_ref)，φ_ref和θ_ref为通过姿态解算获得的期望姿态角指令。

第三步，四旋翼无人机姿态容错控制器设计，针对姿态故障子系统(2)，引入中间变量x₃＝Θ,x₄＝WΩ (14)

定义姿态跟踪误差

其中Θ_ref＝[φ_ref,θ_ref,ψ_ref]表示无人机的期望姿态，则基于姿态跟踪误差的动态系统可表述为

其中 是一个未知的常数。设计虚拟控制变量τ′为

其中k₃和k₄为任意的正常值，控制器参数β₃＝β/(2-β),β₄＝β，其中β∈(0,1)。式(17)中，控制增益a(t)和b(t)定义为：

式(18)中，常数a₂₀和b₂₀满足b₂₀>1，L₂(t)是自适应函数，设计自适应律如式(19)所示

其中，常数c_f2和μ_f2应满足b₂₀c_f2-μ_f2>0，常数保证开始时期望的最小控制水平，z_2eq是等效控制，可由时间常数为λ₂的低通滤波器产生，Γ₂(t)为

本发明的特点及有益效果是：

提出一种基于自适应多变量的四旋翼无人机有限时间容错控制方法，该方法突破了传统控制算法和过估计自适应容错控制的不足，首次提出了具有非过估计特性的自适应有限时间容错控制方法，解决四旋翼无人机在旋翼故障和干扰边界未知影响下的高精度快速稳定跟踪控制问题，从而达到全面提高四旋翼无人机控制性能，增强系统安全性和可靠性的目的。通过实验验证，充分表明了本文提出的具有非过估计特性的自适应有限时间容错控制方法的可行性，并实现了四旋翼无人机高精度、快收敛和强鲁棒性的稳定跟踪飞行。

附图说明：

附图1基于自适应多变量的四旋翼无人机容错控制系统结构图。

附图2四旋翼无人机的位置和无故障的姿态跟踪曲线。

附图3四旋翼无人机的姿态容错跟踪曲线。

附图4四旋翼无人机的位置和姿态跟踪误差曲线。

附图5四旋翼无人机的容错控制信号。

附图6四旋翼无人机的控制增益非过估计自适应调整曲线。

附图7四旋翼无人机的容错控制转速曲线。

具体实施方式

本发明的目的在于提出一种应用于四旋翼无人机的自适应有限时间容错控制方法。具体而言，考虑无人机复杂飞行环境下安全稳定可靠飞行的迫切需求，在综合考虑旋翼故障及干扰边界未知的影响下，提出一种基于自适应多变量的四旋翼无人机有限时间容错控制方法，该方法突破了传统控制算法和过估计自适应容错控制的不足，首次提出了具有非过估计特性的自适应有限时间容错控制方法，解决四旋翼无人机在旋翼故障和干扰边界未知影响下的高精度快速稳定跟踪控制问题，从而达到全面提高四旋翼无人机控制性能，增强系统安全性和可靠性的目的。

本发明提出的基于自适应多变量的四旋翼无人机有限时间容错控制方法的总体技术方案如图1所示，整个系统主要包括三部分：自适应有限时间位置容错控制器、姿态解算和自适应有限时间姿态容错控制器，具体技术方案如下：

第一部分，自适应有限时间位置容错控制器设计：考虑旋翼故障和边界未知的外界干扰，对四旋翼无人机的位置环进行具有有限时间收敛特性的非过估计自适应容错控制器设计，确保位置系统的控制增益能根据位置环的故障率和外界干扰的变化进行自适应调整，最终使得四旋翼无人机实现对期望位置的快速稳定跟踪控制。

第二部分，姿态解算：基于四旋翼无人机的飞行特性，建立位置环虚拟控制指令和姿态环参考姿态指令的解析关系，在确保姿态环稳定跟踪参考姿态的同时，实现位置环对给定参考指令的稳定跟踪控制。

第三部分，自适应有限时间姿态容错控制器设计：针对四旋翼无人机姿态系统设计具有有限时间收敛特性的非过估计自适应容错控制器，根据姿态环的故障率和外界干扰的变化对姿态子系统的控制增益进行自适应调整，确保有限时间内实现对期望姿态的高精度稳定跟踪。

最后，为了验证本发明提出方法的有效性，搭建四旋翼无人机有限时间容错控制的MATLAB/Simulink仿真系统，并对仿真结果进行分析，确保本发明提出的方法在旋翼故障和干扰边界未知下的有效性。

为了验证本发明提出的基于自适应多变量的四旋翼无人机有限时间容错控制算法的有效性，首先将四旋翼无人机的容错控制系统在MATLAB/Simulink中进行集成设计，并进行了仿真实验，主要仿真过程如下：

(1)参数设置

1)四旋翼无人机期望位置：假设四旋翼无人机螺旋上升，则期望x,y,z方向的位置信息设为：x_ref＝sint,y_ref＝cost,z_ref＝t，航向参考轨迹ψ_ref＝0。

2)四旋翼无人机物理参数：飞行器质量m＝0.625kg，惯性参数I_x＝2.3×10^-3kgm²，I_y＝2.4×10^-3kgm²，I_z＝2.6×10^-3kgm²。

3)控制器参数设置：位置环自适应控制参数：c_f1＝6,μ_f1＝9,λ₁＝0.1；位置环控制器参数k₁＝8,k₂＝6,β＝0.9,a₁₀＝3,b₁₀＝2；姿态环自适应控制参数：c_f2＝1.5,μ_f2＝9,λ₂＝0.005；姿态环控制器参数k₃＝32,k₄＝24,β＝0.9,a₂₀＝12,b₂₀＝8。

仿真测试验证过程中，采样时间设置为定步长4毫秒，仿真时间为20秒，位置外界干扰用时变函数△₁＝50(1+cos(t)+sin(t))*[I_x；I_y；I_z]来进行模拟，姿态外界干扰用时变函数△₂＝0.5(1+cos(t)+sin(t))I来进行模拟，故障率α分别选取0％，10％，30％，50％进行仿真，此外，仿真中假定模型存在20％的惯性参数不确定。

(2)结果分析

在上述给定的条件下，对本发明提出的方法进行仿真验证并分析仿真结果，仿真结果如图2-图7所示。其中，图2-图3是四旋翼无人机的位置和姿态跟踪的仿真结果；图4是四旋翼无人机的位置和姿态跟踪误差的仿真结果；图5是四旋翼无人机的容错控制信号的仿真结果；图6是四旋翼无人机控制增益的非过估计自适应调整的仿真结果；图7是四旋翼无人机容错控制的转速的仿真结果。

自适应多变量的四旋翼无人机有限时间容错控制结果分析：图2和图3给出了自适应有限时间容错控制下的位置和姿态跟踪曲线，从中可以看出在没有调整参数的前提下，对于故障率为0％，10％，30％和50％时都能较好的实现给定位置和姿态的跟踪，这充分说明了此控制方法能够适应各种飞行情况且参数调整仅取决于无人机的标称模型，大大简化了参数的调试。图4是位置和姿态跟踪误差的曲线，从位置跟踪误差放大图上可以得到故障率为图中情形时x轴、y轴和z轴上的最大跟踪误差都分别约为1*10^-6米，1.4*10^-6米和1.2*10^-6米；从姿态跟踪误差放大图可以得到故障率为图中情形时滚转、俯仰和偏航三个方向上的最大姿态跟踪误差都分别约为6*10^-4弧度，7*10^-4弧度和1*10^-4弧度。图5给出了四旋翼无人机控制总升力τ_f和控制力矩τ₁、τ₂、τ₃的曲线，从中可以看出故障率越大，控制总升力也越大，总体来说控制效果较好且抖振小。图6是位置和姿态的控制增益L₁、L₂非过估计自适应调整的曲线，可以看出在故障率分别为0％，10％，30％和50％时，控制增益能随实际故障率和干扰的综合边界变化而较精确地自调整，充分体现了此非过估计自适应方法的优点，而控制增益一直大于故障率和干扰的综合边界，又满足了超螺旋控制的要求。图7是四旋翼无人机的容错控制转速曲线，图中表明故障率越大，四旋翼无人机的转速越高。

以上仿真的验证和分析，充分表明了本文提出的具有非过估计特性的自适应有限时间容错控制方法的可行性，并实现了四旋翼无人机高精度、快收敛和强鲁棒性的稳定跟踪飞行。

本发明以基于有限时间的控制理论为主要研究手段，提出一种基于自适应多变量的四旋翼无人机容错控制方法，具体实现过程如下。

第一步，旋翼故障下的四旋翼无人机模型。依据无人机的多变量特性，同时考虑故障率和干扰的边界未知的情况，将六自由度的四旋翼无人机模型划分为位置故障子系统和姿态故障子系统：

位置故障子系统

姿态故障子系统

其中，ξ＝[x,y,z]^T∈R³表示无人机的位置；v＝[v_x,v_y,v_z]^T表示无人机在坐标轴x,y,z方向的速度；g表示重力加速度；e_z＝[0,0,1]^T；τ_f表示无人机控制升力；m表示无人机的质量；Θ＝[φ,θ,ψ]^T表示无人机的姿态，φ表示滚转角，θ表示俯仰角，ψ表示偏航角；Ω＝[ω_x,ω_y,ω_z]^T表示姿态角速度；I＝diag[I_x,I_y,I_z]是飞行器惯性矩阵；τ＝[τ₁,τ₂,τ₃]^T表示控制转矩；α表示故障率，0≤α<1，其中α＝0时表示没有发生旋翼故障的情况；I₃₃表示3×3的单位矩阵；△₁(t)，△₂(t)表示有界的外界扰动且上界未知；矩阵W定义如下

正交转动矩阵R定义如下

第二步，四旋翼无人机位置容错控制器设计。针对位置故障子系统(1)，引入虚拟控制变量

定义如下的变量：

x₁＝ξ,x₂＝v (10)

定义四旋翼无人机位置跟踪误差

其中x_1ref＝[x_ref,y_ref,z_ref]表示无人机的参考位置，则基于位置跟踪误差的动态系统可表述为

其中 是一个未知的常数。针对四旋翼无人机位置误差系统(6)，设计控制律如(7)所示

其中k₁和k₂为任意的正常值，控制器参数β₁＝β/(2-β),β₂＝β，其中β∈(0,1)。其中控制增益a₁(t)和b₁(t)满足

其中常数a₁₀和b₁₀满足b₁₀>1，L₁(t)是自适应函数，设计自适应律如式(9)所示

其中，常数c_f1和μ_f1应满足b₁₀c_f1-μ_f1>0，常数保证开始时期望的最小控制水平，z_1eq为等效控制，可通过时间常数为λ₁的低通滤波器产生，Γ₁(t)为

四旋翼无人机姿态解算：通过姿态解算获得四旋翼无人机飞行轨迹与飞行姿态之间的解析关系，同时得到四旋翼无人机的总升力，具体计算过程如下。

其中s_ω＝sinω,c_ω＝cosω，(ω＝φ,θ,ψ_ref)，φ_ref和θ_ref为通过姿态解算获得的期望姿态角指令。

第三步，四旋翼无人机姿态容错控制器设计。针对姿态故障子系统(2)，引入中间变量

x₃＝Θ,x₄＝WΩ (14)

定义姿态跟踪误差

其中Θ_ref＝[φ_ref,θ_ref,ψ_ref]表示无人机的期望姿态，则基于姿态跟踪误差的动态系统可表述为

其中 是一个未知的常数。设计虚拟控制变量τ′为

其中k₃和k₄为任意的正常值，控制器参数β₃＝β/(2-β),β₄＝β，其中β∈(0,1)。式(17)中，控制增益a(t)和b(t)定义为：

式(18)中，常数a₂₀和b₂₀满足b₂₀>1，L₂(t)是自适应函数，设计自适应律如式(19)所示

其中，常数c_f2和μ_f2应满足b₂₀c_f2-μ_f2>0，常数保证开始时期望的最小控制水平，z_2eq是等效控制，可由时间常数为λ₂的低通滤波器产生，Γ₂(t)为

以上三部分为本发明技术方案的详细公式推导。

Claims (2)

1.一种自适应多变量四旋翼无人机有限时间容错控制方法，其特征是，步骤如下：

第一步，自适应有限时间位置容错控制器设计：考虑旋翼故障和边界未知的外界干扰，对四旋翼无人机的位置环进行具有有限时间收敛特性的非过估计自适应容错控制器设计，确保位置系统的控制增益能根据位置环的故障率和外界干扰的变化进行自适应调整，最终使得四旋翼无人机实现对期望位置的快速稳定跟踪控制；

第二步，姿态解算：基于四旋翼无人机的飞行特性，建立位置环虚拟控制指令和姿态环参考姿态指令的解析关系，在确保姿态环稳定跟踪参考姿态的同时，实现位置环对给定参考指令的稳定跟踪控制；

第三步，自适应有限时间姿态容错控制器设计：针对四旋翼无人机姿态系统设计具有有限时间收敛特性的非过估计自适应容错控制器，根据姿态环的故障率和外界干扰的变化对姿态子系统的控制增益进行自适应调整，确保有限时间内实现对期望姿态的高精度稳定跟踪。

2.如权利要求1所述的自适应多变量四旋翼无人机有限时间容错控制方法，其特征是，具体地，

第一步，旋翼故障下的四旋翼无人机模型，依据无人机的多变量特性，同时考虑故障率和干扰的边界未知的情况，将六自由度的四旋翼无人机模型划分为位置故障子系统和姿态故障子系统：

位置故障子系统

姿态故障子系统

其中，ξ＝[x,y,z]^T∈R³表示无人机的位置；v＝[v_x,v_y,v_z]^T表示无人机在坐标轴x,y,z方向的速度；g表示重力加速度；e_z＝[0,0,1]^T；τ_f表示无人机控制升力；m表示无人机的质量；Θ＝[φ,θ,ψ]^T表示无人机的姿态，φ表示滚转角，θ表示俯仰角，ψ表示偏航角；Ω＝[ω_x,ω_y,ω_z]^T表示姿态角速度；I＝diag[I_x,I_y,I_z]是飞行器惯性矩阵；τ＝[τ₁,τ₂,τ₃]^T表示控制转矩；α表示故障率，0≤α<1，其中α＝0时表示没有发生旋翼故障的情况；I₃₃表示3×3的单位矩阵；△₁(t)，△₂(t)表示有界的外界扰动且上界未知；矩阵W定义如下

正交转动矩阵R定义如下

第二步，四旋翼无人机位置容错控制器设计，针对位置故障子系统(1)，引入虚拟控制变量

定义如下的变量：

x₁＝ξ,x₂＝v (3)

定义四旋翼无人机位置跟踪误差

其中x_1ref＝[x_ref,y_ref,z_ref]表示无人机的参考位置，则基于位置跟踪误差的动态系统表述为：

其中 是一个未知的常数。针对四旋翼无人机位置误差系统(6)，设计控制律如(7)所示

其中k₁和k₂为任意的正常值，控制器参数β₁＝β/(2-β),β₂＝β，其中β∈(0,1)。其中控制增益a₁(t)和b₁(t)满足

其中常数a₁₀和b₁₀满足b₁₀>1，L₁(t)是自适应函数，设计自适应律如式(9)所示

其中，常数c_f1和μ_f1应满足b₁₀c_f1-μ_f1>0，常数保证开始时期望的最小控制水平，z_1eq为等效控制，可通过时间常数为λ₁的低通滤波器产生，Γ₁(t)为

四旋翼无人机姿态解算：通过姿态解算获得四旋翼无人机飞行轨迹与飞行姿态之间的解析关系，同时得到四旋翼无人机的总升力，具体计算过程如下。

其中s_ω＝sinω,c_ω＝cosω，(ω＝φ,θ,ψ_ref)，φ_ref和θ_ref为通过姿态解算获得的期望姿态角指令。

第三步，四旋翼无人机姿态容错控制器设计，针对姿态故障子系统(2)，引入中间变量

x₃＝Θ,x₄＝WΩ (14)

定义姿态跟踪误差

其中Θ_ref＝[φ_ref,θ_ref,ψ_ref]表示无人机的期望姿态，则基于姿态跟踪误差的动态系统可表述为

其中 是一个未知的常数。设计虚拟控制变量τ′为

其中k3和k₄为任意的正常值，控制器参数β₃＝β/(2-β),β₄＝β，其中β∈(0,1)。式(17)中，控制增益a(t)和b(t)定义为：

式(18)中，常数a₂₀和b₂₀满足b₂₀>1，L₂(t)是自适应函数，设计自适应律如式(19)所示

其中，常数c_f2和μ_f2应满足b₂₀c_f2-μ_f2>0，常数保证开始时期望的最小控制水平，z_2eq是等效控制，可由时间常数为λ₂的低通滤波器产生，Γ₂(t)为