CN106569181A - 基于协方差矩阵重构稳健Capon波束形成的算法 - Google Patents

Abstract

本发明属于信号处理领域，针对阵列导向矢量存在估计误差或数据协方差矩阵估计不准确使得常规Capon波束形成算法性能显著下降的问题，本发明提出一种改进的Capon波束形成算法。在基于线性收缩估计对接收数据协方差矩阵进行重构的基础上，通过更新信号加干扰子空间，而后将失配导向矢量投影至所更新子空间，从而求得优化接收权。此算法在期望信号真实来波方向和假定来波方向处均保持了较高的增益，避免了信号相消现象，并且比其他算法更能准确地指向期望信号的真实方向，该算法对由信号波达方向观测误差引起的导向矢量失配有着较好的稳健性。

Description

基于协方差矩阵重构稳健Capon波束形成的算法

技术领域

本发明属于信号处理领域，涉及阵列信号处理中波束形成算法的稳健性研究。

背景技术

波束形成技术作为阵列信号处理的一个重要研究方向，广泛应用于无线通信、雷达、声呐、地震勘探和射电天文等领域。其实质是通过对阵列天线中的各阵元加权进行空域滤波，来达到增强期望信号、抑制干扰的目的，而且可以根据信号环境的变化自适应地改变各阵元的加权因子。常规Capon波束形成算法在协方差矩阵和导向矢量精确已知的情况下，可以得到最优的输出信干噪比。但在实际应用中，由于波达角估计、阵列校准、远近效应、采样数目较少等误差因素的存在，导致采样协方差矩阵和导向矢量往往存在一定的误差，从而引起波束形成算法性能的严重下降，尤其在训练数据中含有期望信号时，这种现象更为明显。目前解决的方法大多集中在训练数据中改善数据协方差矩阵特性，典型代表为对角加载技术(diagonal loading,DL)。Jian.Li等人首次提出了基于信号导向矢量球面不确定集约束的鲁棒波束形成(robust capon beamformer,RCB)算法。该类算法将期望信号导向矢量约束于各种不确定集中，包括多锥面不确定集及球形不确定集，并利用牛顿法反复迭代或借助于凸优化工具，计算过程复杂、运算量较大，不利于工程实现。基于空间参数估计中的多重信号分类(multiple signal classification,MUSIC)算法，对失配导向矢量进行投影，使其更接近真实期望信号导向矢量，然而忽略了新导向矢量与噪声子空间的正交性，所得接收权值并非最优权，Capon算法的稳健性改善有限。

发明内容

本发明的目的在于克服上述已有技术的不足，针对由于阵列导向矢量存在估计误差或数据协方差矩阵估计不准确，使得常规Capon波束形成算法性能显著下降的问题，本发明提出了基于协方差矩阵重构的稳健Capon波束形成算法。基于线性收缩估计对接收数据协方差矩阵进行重构，并更新信号加干扰子空间，而后将失配导向矢量投影至所更新子空间，使其更接近期望信号导向矢量的真实值，从而求得优化接收权。实现本发明的基本思路是，首先建立阵列信号数学模型，然后基于协方差矩阵重构进行稳健Capon波束形成算法设计。

本发明解决其技术问题采用的技术方案是：基于协方差矩阵重构的稳健Capon波束形成算法，其步骤是：

1、系统建模

考虑阵列信号模型如下：p个远场窄带信源信号(包含1个期望信号，p-1个干扰信号)入射到阵元数为M(p＜M)、阵元间距为半波长的均匀线阵上。其中,期望信号与干扰信号为两两互不相关的窄带信号，各阵元噪声为平稳高斯白噪声。经过采样，第k次快拍的接收数据可表示为：

式中：a(θ₀)和a(θ_i)，i＝1,2,...,p-1分别表示期望信号与干扰信号的导向矢量，s₀(k)和s_i(k)，i＝1,2,...,p-1分别表示期望信号与干扰信号的包络，θ₀和θ_i，i＝1,2,...,p-1分别表示期望信号与干扰信号的波达方向角，n(k)为加性噪声，L为快拍数。

当期望信号和噪声、干扰信号互不相关的时候，接收数据协方差矩阵可表示为：

式中：为期望信号和干扰信号的功率，R_s、R_i、R_n分别表示期望信号、干扰信号、噪声的协方差矩阵。实际中，接收数据协方差矩阵是通过有限次的快拍数据估计得到，即：

常规Capon波束形成器又称最小方差无失真响应(minimum variancedistortionless response,MVDR)，是一种常用的自适应波束形成器。它保证波束形成器对期望信号的响应为常数的情况下，使阵列输出噪声方差最小化，即

式中，R_i+n＝R_i+R_n表示M×M维干扰加噪声协方差矩阵。

通过拉格朗日乘子法得到该问题的最优解为：

当阵列接收数据中仅含有干扰信号和噪声时，R_i+n可以通过估计接收数据来获得，这种情况常用于雷达系统中。然而，在诸如移动通信、医学成像、射电天文等很多其他场合，期望信号往往与干扰信号、噪声一起包含于接收数据中，R_i+n难以得到，在实际中常用接收数据采样协方差矩阵代替，由于采样快拍数据的限制，与R往往有一定的失配误差，而期望信号导向矢量的估计误差也使得其真实值a(θ₀)与其估计值之间产生一定失配，这将导致Capon波束形成算法的性能严重下降，作为Capon波束形成器的实际实现，采样矩阵求逆(sample matrix inversion,SMI)自适应波束形成器对应的权矢量为：

2、改进的Capon算法设计

稳健的波束形成算法，是指在信号波达方向失配、阵列误差扰动等误差因素存在的条件下，能够将波束方向图的主瓣加宽，并且在期望信号的方向保持较高的增益，得到良好的输出信干噪比，避免产生信号相消等性能恶化的出现。针对此问题，本文提出一种改进的Capon波束形成算法，算法采用一种广义线性组合对采样数据协方差矩阵进行重构，并利用特征值分解构造出信号加干扰子空间U_s，然后将假设的期望信号导向矢量投影到该子空间中，生成新的导向矢量代入式(6)得到新估计后的权值，进而提高算法稳健性。

考虑采样数据协方差矩阵的一个线性收缩(liner shrinkage,LS)估计，用公式表示为：

其中收敛参数α和β满足α≥0,β≥0，其由最小化的均方误差来估计得到的，即由下式确定：

将式(7)带入式(6)中，整理得到：

上式分别对α,β求偏导，得到α,β的最优解：

其中，

γ＝||vI-R||² (14)

ρ值的估计可以通过下式得到：

将式(3)及式(15)代入到式(10)、式(11)中，得到α₀,β₀的估计值：

其中，

至此，我们得到了重构后的接收数据协方差矩阵接下来对其进行特征值分解，可得：

其中，Λ_s＝diag{λ₁,λ₂,...,λ_p},Λ_n＝diag{λ_p+1,λ_p+2,...,λ_M}；λ₁≥λ₂≥...≥λ_p+1≥...≥λ_M为数据协方差矩阵的特征值；U_s＝[e₁,e₂,...,e_p]和U_n＝[e_p+1,e_p+2,...,e_M]分别张成对应于数据协方差矩阵的信号加干扰子空间和噪声子空间；e_i为对应于特征值λ_i的特征矢量。将假设的期望信号导向矢量投影到信号加干扰子空间中，得到如下新的导向矢量：

将和代入到式(5)中，最终得到基于数据协方差矩阵的LS估计和导向矢量子空间投影(subspace projection,SP)联合优化的新权值w_LS-SP：

本发明的算法步骤可总结为：

(1)建立阵列信号模型，获取采样数据协方差矩阵，即

(2)重构数据协方差矩阵

(3)对做特征分解，构造信号加干扰子空间U_sU_s ^H；

(4)对失配导向矢量进行子空间投影，得到导向矢量新估计

(5)根据Capon法计算最优权w_LS-SP。

本发明提的改进的Capon波束形成算法，在训练数据中含有期望信号的情况下，首先对接收数据协方差矩阵进行重构，并利用特征值分解构造出信号加干扰子空间，而后将失配导向矢量投影到子空间中，使得期望信号与噪声子空间严格正交，得出优化后的接收权值，该算法较好地改善了由于数据协方差矩阵的不确定性和导向矢量估计误差引起的性能恶化，避免了信号相消现象的产生，进而提高了Capon波束形成算法的稳健性。

本发明的有益效果：与现有技术相比本发明具有以下优点：

第一，本发明提出基于线性收缩估计对接收数据协方差矩阵进行重构，并更新信号加干扰子空间，而后将失配导向矢量投影至所更新子空间，进而求得优化接收权，算法保证了重构后的信号加干扰子空间与噪声子空间的严格正交性。从仿真结果可以看出，此方法在期望信号真实来波方向和假定来波方向处均保持了较高的增益，避免了信号相消现象，并且比其他算法更能准确地指向期望信号的真实方向，具有较强的稳健性，而且此波形是实际可产生的。

第二，与其他方法相比，本专利改进算法的输出信干噪比能在更大范围内保持较高的恒定值，这表明了该算法对由信号波达方向观测误差引起的导向矢量失配有着较好的稳健性。因此，此方法具有一定的实际意义。

附图说明

图1是本发明实现流程图；

图2是改进Capon算法与常规Capon算法、对角加载算法的导向矢量误差对方向图的影响比较；

图3是改进Capon算法与常规Capon算法、对角加载算法的输出SINR随输入SNR的变化比较；

图4是改进Capon算法与常规Capon算法、对角加载算法的输出SINR随角度误差的变化比较。

具体实施方式

下面结合附图及实施例对本发明做进一步详细描述，如图1、图2、图3和图4所示，本发明的基于协方差矩阵重构稳健Capon波束形成的算法，包括如下步骤：

1、系统建模

阵列信号的模型如下：p个远场窄带信源信号(包含1个期望信号，p-1个干扰信号)入射到阵元数为M(p＜M)、阵元间距为半波长的均匀线阵上。其中，期望信号与干扰信号为两两互不相关的窄带信号，各阵元噪声为平稳高斯白噪声。经过采样，第k次快拍的接收数据可表示为：

式中：a(θ₀)和a(θ_i)，i＝1,2,...,p-1分别表示期望信号与干扰信号的导向矢量，s₀(k)和s_i(k)，i＝1,2,...,p-1分别表示期望信号与干扰信号的包络，θ₀和θ_i，i＝1,2,...,p-1分别表示期望信号与干扰信号的波达方向角，n(k)为加性噪声，L为快拍数。

当期望信号和噪声、干扰信号互不相关的时候，接收数据协方差矩阵可表示为：

式中：为期望信号和干扰信号的功率，R_s、R_i、R_n分别表示期望信号、干扰信号、噪声的协方差矩阵。实际中，接收数据协方差矩阵是通过有限次的快拍数据估计得到，即：

常规Capon波束形成器又称最小方差无失真响应(minimum variancedistortionless response,MVDR)，是一种常用的自适应波束形成器。它保证波束形成器对期望信号的响应为常数的情况下，使阵列输出噪声方差最小化，即

式中，R_i+n＝R_i+R_n表示M×M维干扰加噪声协方差矩阵。通过拉格朗日乘子法得到该问题的最优解为：

当阵列接收数据中仅含有干扰信号和噪声时，R_i+n可以通过估计接收数据来获得，这种情况常用于雷达系统中。然而，在诸如移动通信、医学成像、射电天文等很多其他场合，期望信号往往与干扰信号、噪声一起包含于接收数据中，R_i+n难以得到，在实际中常用接收数据采样协方差矩阵代替，且由于采样快拍数据的限制，与R往往有一定的估计误差，而期望信号导向矢量的估计误差也使得其真实值a(θ₀)与其估计值之间产生一定失配，这将导致Capon波束形成算法的性能严重下降，作为Capon波束形成器的实际实现，采样矩阵求逆(sample matrix inversion,SMI)自适应波束形成器对应的权矢量为：

2、改进的Capon算法设计

稳健的波束形成算法，是指在信号波达方向失配、阵列误差扰动等误差因素存在的条件下，能够将波束方向图的主瓣加宽，并且在期望信号的方向保持较高的增益，得到良好的输出信干噪比，避免产生信号相消等性能恶化的出现。针对此问题，本文提出一种改进的Capon波束形成算法，算法采用一种广义线性组合对采样数据协方差矩阵进行重构，并利用特征值分解构造出信号加干扰子空间U_s，然后将假设的期望信号导向矢量投影至该子空间，生成新的导向矢量代入式(6)得到新估计后的权值，进而提高算法稳健性。

考虑采样数据协方差矩阵的一个线性收缩(liner shrinkage,LS)估计，用公式表示为：

其中收敛参数α和β满足α≥0,β≥0，其由最小化的均方误差来估计得到的，即由下式确定：

将式(7)带入式(6)中，整理得到：

上式分别对α,β求偏导，得到α,β的最优解：

其中，

γ＝||νI-R||² (14)

ρ值的估计可以通过下式得到：

将式(3)及式(15)代入到式(10)、式(11)中，得到α₀,β₀的估计值：

其中，

至此，我们得到了重构后的接收数据协方差矩阵接下来对其进行特征值分解，可得：

其中，Λ_s＝diag{λ₁,λ₂,...,λ_p},Λ_n＝diag{λ_p+1,λ_p+2,...,λ_M}；λ₁≥λ₂≥...≥λ_p+1≥...≥λ_M为数据协方差矩阵的特征值；U_s＝[e₁,e₂,...,e_p]和U_n＝[e_p+1,e_p+2,...,e_M]分别张成对应于数据协方差矩阵的信号加干扰子空间和噪声子空间；e_i为对应于特征值λ_i的特征矢量。将假设的期望信号导向矢量投影到信号加干扰子空间中，得到如下新的导向矢量：

将和代入到式(5)中，最终得到基于数据协方差矩阵的LS估计和导向矢量子空间投影(subspace projection,SP)联合优化的新权值w_LS-SP：

算法步骤总结如下：

(1)建立阵列信号模型，获取采样数据协方差矩阵，即

(2)重构数据协方差矩阵

(3)对做特征分解，构造信号加干扰子空间U_sU_s ^H；

(4)对导向矢量进行子空间投影，得到导向矢量新估计

(5)根据Capon法计算新权值w_LS-SP。

本发明的效果可通过以下仿真进一步说明：

仿真条件：实验采用标准均匀线阵，阵元数M＝8，远场窄带信号源包含一个期望信号和一个干扰信号，来波方向分别为θ₀＝0°和θ₁＝50°，阵元噪声建模为零均值、单位方差的复高斯白噪声，为获得导向矢量误差,假定期望信号的估计误差为3°，即估计的期望信号来波方向为输入干噪比(interference-to-noise ratio,INR)为20dB，对角加载算法加载因子为10倍噪声功率。

仿真内容：

仿真1：导向矢量误差对方向图的影响比较。假定输入信噪比(signal-to-noiseration,SNR)为10dB，快拍数L＝500，期望信号真实来波方向为0°，观测方向估计误差为3°，所提算法与常规Capon法、对角加载法三种算法的波束方向图，具体如图2所示。

从图2中，可以得到以下结论：在阵列接收数据含有期望信号的情况下，针对导向矢量存在估计误差而产生的失配问题，三种算法均能在干扰处形成零陷，但常规Capon法在期望信号真实方向θ₀＝0°处产生了严重的信号相消现象，算法失去有效性；对角加载算法的主波束在真实来波方向处产生了一定的下降，但仍保持了较高的增益，具有一定稳健性；而本专利所提出的改进算法在期望信号真实来波方向和假定来波方向处均保持了较高的增益，避免了信号相消现象，并且比其他算法更能准确地指向期望信号的真实方向，具有较强的稳健性。

仿真2：输出SINR随输入SNR的变化比较。在上述仿真条件不变的情况下，阵列SNR从-10dB变化到30dB，得到三种算法的阵列输出信干噪比(signal-to-interference plusnoise ratio,SINR)随输入信噪比的变化，具体如图3所示。

由图3，我们可以看到，当阵列接收数据中含有期望信号数据时，在SNR从-10dB变化至0dB的过程中，三种算法的输出信干噪比均呈上升趋势，其中本专利所提改进算法的输出信干噪比最高，接近常规Capon算法不含期望信号数据时的最优值。随着SNR的继续增加，无论普通对角加载算法还是常规Capon算法，由于均产生了不同程度的信号相消现象，输出信干噪比呈现出不同程度的下降趋势，且常规Capon算法性能下降更为明显，最大降幅达30dB；本专利改进算法由于主波束对期望信号的实际到达方向的指向更为准确，不会产生期望信号相消现象，所以在较高输入信噪比条件下仍然能保持较高的输出信干噪比输出，具有较好的稳健性。

仿真3：输出信干噪比随角度误差的变化分析。假定输入SNR＝25dB，观测误差Δθ₀∈(0°,5°)，其他仿真条件不变，具体如图4所示：

从图4可以看出，在较高输入信噪比情况下，三种算法的输出信干噪比均随着角度误差的增大而下降，但本专利所提改进算法较另外两种算法而言，其输出信干噪比能在更大范围内保持较高的恒定值，这表明了该算法对由信号波达方向观测误差引起的导向矢量失配有着较好的稳健性。

综上所述，基于协方差矩阵重构的稳健Capon波束形成算法，，采用线性收缩估计对接收数据协方差矩阵进行重构，并更新信号加干扰子空间，而后将失配导向矢量投影至所更新子空间，从而求得优化接收权。本方法在期望信号真实来波方向和假定来波方向处均保持了较高的增益，避免了信号相消现象，比其他算法更能准确地指向期望信号的真实方向，并且在较高输入信噪比条件下仍然能保持较高的输出信干噪比输出，具有较强的稳健性。本发明所提方法可以为工程应用中阵列信号处理领域的波束形成算法稳健性研究提供坚实的理论与实现依据。

Claims (1)

1.基于协方差矩阵重构的稳健Capon波束形成的算法，其特征在于，包括如下步骤：

一、系统建模：

阵列信号的模型描述为：p个远场窄带信源信号：包含1个期望信号，p-1个干扰信号，入射到阵元数为M(p＜M)、阵元间距为半波长的均匀线阵上，其中：期望信号与干扰信号为两两互不相关的窄带信号，各阵元噪声为平稳高斯白噪声，经过采样，第k次快拍的接收数据可表示为：

$x\left(k\right)=a\left({\mathrm{\θ}}_0\right)s_0\left(k\right)+\underset{i=1}{\overset{p-1}{\Σ}}a\left({\mathrm{\θ}}_i\right)s_i\left(k\right)+n\left(k\right),k=1,2,...,L---\left(1\right)$

式中：a(θ₀)和a(θ_i)，i＝1,2,...,p-1分别表示期望信号与干扰信号的导向矢量，s₀(k)和s_i(k)，i＝1,2,...,p-1分别表示期望信号与干扰信号的包络，θ₀和θ_i，i＝1,2,...,p-1分别表示期望信号与干扰信号的波达方向角，n(k)为加性噪声，L为快拍数；

当期望信号和噪声、干扰信号互不相关的时候，接收数据协方差矩阵表示为：

$\begin{array}{c}R=E\[x\left(k\right)x{\left(k\right)}^H\]\\ ={\mathrm{\σ}}_0^{2}a\left({\mathrm{\θ}}_0\right)a^H\left({\mathrm{\θ}}_0\right)+\underset{i=1}{\overset{p-1}{\Σ}}{\mathrm{\σ}}_i^{2}a\left({\mathrm{\θ}}_i\right)a^H\left({\mathrm{\θ}}_i\right)+R_n\\ =R_s+R_i+R_n\end{array}---\left(2\right)$

式中：为期望信号和干扰信号的功率，R_s、R_i、R_n分别表示期望信号、干扰信号、噪声的协方差矩阵，实际中，接收数据协方差矩阵是通过有限次的快拍数据估计得到，即：

$\hat{R}=\frac{1}{L}\underset{k=1}{\overset{L}{\Σ}}x\left(k\right)x^H\left(k\right)---\left(3\right)$

常规Capon波束形成器又称最小方差无失真响应(minimum variance distortionlessresponse,MVDR)，是一种常用的自适应波束形成器，它保证波束形成器对期望信号的响应为常数的情况下，使阵列输出噪声方差最小化，即

$\begin{array}{cc}\underset{w}{\min }& w^H{R}_{i+n}w\\ s.t.& w^{H}a\left({\mathrm{\θ}}_0\right)=1\end{array}---\left(4\right)$

式中，R_i+n＝R_i+R_n表示M×M维干扰加噪声协方差矩阵，

通过拉格朗日乘子法得到该问题的最优解为：

$w_{opt}=\frac{R_{i+n}^{-1}a\left({\mathrm{\θ}}_0\right)}{a^H\left({\mathrm{\θ}}_0\right)R_{i+n}^{-1}a\left({\mathrm{\θ}}_0\right)}---\left(5\right)$

当阵列接收数据中仅含有干扰信号和噪声时，R_i+n可以通过估计接收数据来获得，这种情况常用于雷达系统中，然而，期望信号往往与干扰信号、噪声一起包含于接收数据中，R_i+n难以得到，在实际中常用接收数据采样协方差矩阵代替，由于采样快拍数据的限制，与R往往有一定的失配误差，而期望信号导向矢量的估计误差也使得其真实值a(θ₀)与其估计值之间产生一定失配，这将导致Capon波束形成算法的性能严重下降，作为Capon波束形成器的实际实现，采样矩阵求逆(sample matrix inversion,SMI)自适应波束形成器对应的权矢量为：

$w_{SMI}=\frac{{\hat{R}}^{-1}\hat{a}\left({\mathrm{\θ}}_0\right)}{{\hat{a}}^H\left({\mathrm{\θ}}_0\right){\hat{R}}^{-1}\hat{a}\left({\mathrm{\θ}}_0\right)}---\left(6\right)$

二、改进的Capon算法设计

采用一种广义线性组合对采样数据协方差矩阵进行重构，并利用特征值分解构造出信号加干扰子空间U_s，然后将假设的期望信号导向矢量投影到该子空间中，生成新的导向矢量代入式(6)得到新估计后的权值，从而提高了算法的稳健性；

考虑采样数据协方差矩阵的一个线性收缩(liner shrinkage,LS)估计，用公式表示为：

$\tilde{R}=\mathrm{\α}I+\mathrm{\β}\hat{R}---\left(7\right)$

其中收敛参数α和β满足α≥0,β≥0，其由最小化的均方误差来估计得到的，即由下式确定：

$MSE\left(\tilde{R}\right)=E\left\{\right||\tilde{R}-R|{|}^2\}---\left(8\right)$

将式(7)带入式(6)中，整理得到：

$\begin{array}{c}MSE\left(\tilde{R}\right)=E\left\{\right||\tilde{R}-R|{|}^2\}\\ =E\left\{\right||\mathrm{\α}I+\mathrm{\β}\hat{R}-R|\left|\right\}\\ ={\mathrm{\α}}^{2}M-2\mathrm{\α}(1-\mathrm{\β})tr\left(R\right)+{(1-\mathrm{\β})}^2\left|\right|R|{|}^2+{\mathrm{\β}}^{2}E\{\left|\right|\hat{R}-R\left|{|}^2\right\}\end{array}---\left(9\right)$

上式分别对α,β求偏导，得到α,β的最优解：

${\mathrm{\β}}_0=\frac{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\ρ}+\mathrm{\γ}}---\left(10\right)$

${\mathrm{\α}}_0=v(1-{\mathrm{\β}}_0)=v\frac{\mathrm{\ρ}}{\mathrm{\ρ}+\mathrm{\γ}}---\left(11\right)$

其中，

$\mathrm{\ρ}=E\left\{\right||\hat{R}-R|{|}^2\}---\left(12\right)$

$v=\frac{tr\left(R\right)}{M}---\left(13\right)$

γ＝||νI-R||² (14)

ρ值的估计可以通过下式得到：

$\widehat{\mathrm{\ρ}}=\frac{1}{N^2}\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}\left|\right|x\left(k\right)|{|}^4-\frac{1}{N}|\left|\hat{R}\right|{|}^2---\left(15\right)$

将式(3)及式(15)代入到式(10)、式(11)中，得到α₀,β₀的估计值：

${\widehat{\mathrm{\β}}}_0=\frac{\widehat{\mathrm{\γ}}}{\widehat{\mathrm{\ρ}}+\widehat{\mathrm{\γ}}}---\left(16\right)$

${\widehat{\mathrm{\α}}}_0=\hat{v}(1-{\widehat{\mathrm{\β}}}_0)=\hat{v}\frac{\widehat{\mathrm{\ρ}}}{\widehat{\mathrm{\ρ}}+\widehat{\mathrm{\γ}}}---\left(17\right)$

其中，

至此，得到了重构后的接收数据协方差矩阵接下来对其进行特征值分解，可得：

$\tilde{R}=\underset{i=1}{\overset{M}{\Σ}}{\mathrm{\λ}}_i{e}_i{e_i}^H=U_s{\mathrm{\Λ}}_s{U_s}^H+U_n{\mathrm{\Λ}}_n{U_n}^H---\left(18\right)$

其中，Λ_s＝diag{λ₁,λ₂,...,λ_p},Λ_n＝diag{λ_p+1,λ_p+2,...,λ_M}；λ₁≥λ₂≥...≥λ_p+1≥...≥λ_M为数据协方差矩阵的特征值；U_s＝[e₁,e₂,...,e_p]和U_n＝[e_p+1,e_p+2,...,e_M]分别张成对应于数据协方差矩阵的信号加干扰子空间和噪声子空间；e_i为对应于特征值λ_i的特征矢量，将假设的期望信号导向矢量投影到信号加干扰子空间中，得到如下新的导向矢量：

$\tilde{a}\left({\mathrm{\θ}}_0\right)=U_s{U_s}^H\hat{a}\left({\mathrm{\θ}}_0\right)---\left(19\right)$

将和代入到式(5)中，最终得到基于数据协方差矩阵估计和导向矢量子空间投影(subspace projection,SP)联合优化的新权值w_LS-SP：

$w_{LS-SP}=\frac{{\tilde{R}}^{-1}\tilde{a}\left({\mathrm{\θ}}_0\right)}{{\tilde{a}}^H\left({\mathrm{\θ}}_0\right){\tilde{R}}^{-1}\tilde{a}\left({\mathrm{\θ}}_0\right)}---\left(20\right).$