CN107276658B - 色噪声下基于协方差矩阵重构的波束形成方法 - Google Patents

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CN107276658B CN201710528571.6A CN201710528571A CN107276658B CN 107276658 B CN107276658 B CN 107276658B CN 201710528571 A CN201710528571 A CN 201710528571A CN 107276658 B CN107276658 B CN 107276658B
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Abstract

本发明色噪声下基于协方差矩阵重构的波束形成方法，所述波束形成方法包括如下步骤:S1，建立阵列天线接收信号模型；S2，通过修正采样协方差矩阵的小特征值，进而修正采样协方差距阵；S3，应用矩阵分解以及空间谱估计理论分别构造干扰信号子空间与另一个信号子空间，并通过交替投影算法来求取两个子空间的交集，求取期望信号导向矢量；S4，通过修正后的采样协方差矩阵减去期望信号协方差矩阵的方法，对干扰噪声协方矩阵进行重构；最后求取阵列天线权值矢量。在角度失配和大期望信号功率情况下，本发明的方法能够准确地估计出干扰噪声协方差矩阵和期望信号导向矢量，相比其他重构协方差矩阵方法来讲，本发明算法具有稳健性更好的优点。

Description

色噪声下基于协方差矩阵重构的波束形成方法
技术领域
本发明涉及自适应阵列信号处理的技术领域，具体而言，涉及一种色噪声下基于协方差矩阵重构的波束形成方法。
背景技术
近些年来，波束形成器被广泛应用于雷达、声呐、地震学、医学成像、语音处理和无线电通信等领域。而波束形成器的性能主要受到协方差矩阵和期望信号导向矢量的影响。在实际应用中，理想协方差矩阵不能够直接得到，通常采用采样协方差矩阵代替，而色噪声会导致协方差矩阵小特征值扰动，进而导致波束形成器性能下降。同时由于采样数据中含有期望信号，当导向矢量失配时会导致算法的性能严重下降。为了解决上述问题，很多稳健波束形成算法被提出来。
文献(DU L,LI J,STOICA P.Fully Automatic Computation of DiagonalLoading Levels for Robust Adaptive Beamforming[J].IEEE Transactions onAerospace&Electronic Systems,2009,46(1):449-458.)利用对角加载的方法，算法对期望信号的灵敏度下降，算法性能得到提升。但对角加载量是依据经验值来选取的，并且对导向矢量失配下提高算法性能的效果较差。文献(VOROBYOV S A,GERSHMAN A B,LUO ZQ.Robust adaptive beamforming using worst-case performance optimization:asolution to the signal mismatch problem[J].IEEE Transactions on SignalProcessing,2003,51(2):313-324.)提出了最差性能最优波束形成算法，提高了导向矢量失配下算法的稳健性，但是该方法对色噪声环境导致的波形畸变不起作用。文献采用干扰噪声协方差矩阵重构和期望信号导向矢量估计的方法提高算法的性能。但是该方法对色噪声环境下算法性能的下降没有效果。文献(ZHANGYi,YANG Qiong,TANG Chengkai.An Anti-jamming Algorithm for GPS Adaptive Nulling Antenna Based on Colored Loading[J].Journal of Northweatern Polytechnical University,2015，33(5)：874-878.)提出了一种基于有色载入的GPS自适应调零天线的抗干扰算法，该算法利用滤波器的权值矢量和方向矢量构建有色修正矩阵，并通过该修正矩阵来得到滤波权值。但是该方法只是针对低快拍数下导致的自适应波形畸变问题，并且该方法不能解决导向矢量失配下期望信号相消问题。以上方法并不能完全解决由色噪声环境和导向矢量失配下期望信号相消而导致的算法性能下降问题，因此如何提高这两种情况下算法的性能是一个亟需解决的问题。
发明内容
本发明提供了一种色噪声下基于协方差矩阵重构的波束形成方法，旨在改善在色噪声环境和导向矢量失配下期望信号相消而导致的算法性能下降的问题。
本发明是这样实现的：
色噪声下基于协方差矩阵重构的波束形成方法，所述波束形成方法包括如下步骤:
S1，建立阵列天线接收信号模型；
S2，通过修正采样协方差矩阵的小特征值，进而修正采样协方差距阵；
S3，应用矩阵分解以及空间谱估计理论分别构造干扰信号子空间与另一个信号子空间，并通过交替投影算法来求取两个子空间的交集，求取期望信号导向矢量；
S4，通过修正后的采样协方差矩阵减去期望信号协方差矩阵的方法，对干扰噪声协方矩阵进行重构；最后求取阵列天线权值矢量。
在步骤S1中：
设定M个阵元组成的阵列均匀线阵，设定任意阵元间各向同性并忽略阵元间的互耦作用，阵元间距d为1/2λ，其中λ＝c/f，c为光速，f为入射信号的频率；
则当有P+1个远场窄带信号，接收信号模型表示为：
X(t)＝as(t)+Bj(t)+n(t).
式中，j(t)为P×1干扰信号，B为干扰信号所对应的M×P维导向矢量矩阵，n(t)为M×1维噪声信号，s(t)为期望信号的大小，a为期望信号的导向矢量；
阵列天线采用的模型为均匀线阵，因此，期望导向矢量表示为：a＝[ej2πdsinθ/λ...ej2π(M-1)dsinθ/λ]，其中θ为期望信号入射角度；
干扰信号导向矢量矩阵B表示为：B＝[b1 b2 ··· bp].，其中i＝1,2,···,P，ψ为干扰信号入射角度；
假设期望信号和干扰信号间互不相关，则阵列天线接收信号的协方差矩阵表示为：R＝E[X(t)XH(t)]＝aRsaH+BRjBH+Rn.；
式中，Rs＝E[s(t)sH(t)]为期望信号协方差矩阵，(·)H代表矩阵共轭转置，Rj为干扰信号协方差矩阵，Rn为噪声矩阵；
采样协方差矩阵表示为：
Figure BDA0001338914960000031
在步骤S2中，具体包括以下步骤：
S21，对采样协方差矩阵进行矩阵分解，得到如下的表达式：
Figure BDA0001338914960000032
式中，λi(i＝1,2,…,M)为采样协方差矩阵
Figure BDA0001338914960000033
的按照降序排列的特征值，ei为与之对应的特征向量；Es＝[e1,e2,…,eP+1]为相应的干扰信号子空间，Λs＝diag[λ1,…,λP+1]为对应的特征值对角阵；En＝[eP+2,…,eM]为噪声子空间，Λn＝diag[λP+2,…,λM]为对应的特征值对角阵；
S22，通过大数定律以及中心极限定理估计噪声对应的采样协方差矩阵的小特征值的收敛值，表示为
Figure BDA0001338914960000041
S23，将采样协方差矩阵中的小特征值用λσ来代替，对采样协方差矩阵进行修正，修正后的采样协方差矩阵表示为：
Figure BDA0001338914960000042
在的步骤S4中，重构后的干扰噪声协方差矩阵表示为：
Figure BDA0001338914960000043
式中，Ri+n为干扰噪声协方差矩阵，
Figure BDA0001338914960000044
为修正后的采样协方差矩阵，
Figure BDA0001338914960000045
为期望信号功率，as为期望信号导向矢量。
步骤S3中，具体包括以下步骤：
S31，通过空间谱估计理论重建另一个信号的子空间，该子空间表示为：
Figure BDA0001338914960000046
式中，Θ为期望信号来波方向角度区域；
将上式中的积分形式转化为累加形式，表示为：
Figure BDA0001338914960000047
式中，a(θj)表示角度θj对应的导向矢量，其中θj(j＝1,…,J)∈Θ，Θ被均分为J份；
S32，对该子空间进行特征值分解，得到如下的表达式：
Figure BDA0001338914960000051
式中，γi(i＝1,…,M)为Casv的按照降序排列的特征值，vi为对应的特征向量；Vs＝[v1,…,vN]为期望信号所在的子空间，其中N为Casv的大特征值个数；N为满足下列不等式约束的最小正整数：
Figure BDA0001338914960000052
其中，ξ为预先设定的阈值并满足0＜ξ＜1；
S33，通过交替投影算法来求取两个子空间的交集，进而求取期望信号导向矢量：
期望信号导向矢量位于子空间Vs内，因此，期望信号导向矢量as可以看成是两个子空间的交集，即C0＝C1∩C2；
期望信号导向矢量as的两个约束条件C1和C2分别表示为：
C1＝{as:as＝EsαE}
C2＝{as:as＝VsαV}
式中，αE和αV为对应子空间系数矢量；
利用交替投影算法来获取两个子空间的交集，迭代方程可以写成：
Figure BDA0001338914960000053
式中，迭代初始向量为估计期望信号导向矢量a(θp)，当L→∞时，aL+1最终收敛于期望信号导向矢量as；其中
Figure BDA0001338914960000054
并且
Figure BDA0001338914960000055
满足以下不等式：
Figure BDA0001338914960000061
式中，eigmax(·)表示求取一个矩阵的最大特征值；因此，求得：
Figure BDA0001338914960000062
其中
Figure BDA0001338914960000063
代表求取
Figure BDA0001338914960000064
的最大特征值对应的特征向量。
进一步的，依据求得期望信号导向矢量as和修正后的采样协方差矩阵
Figure BDA0001338914960000065
求得取期望信号功率，表示为：
Figure BDA0001338914960000066
因此，根据
Figure BDA0001338914960000067
重构Ri+n；
则自适应波束形成器输出的阵列天线权值矢量表示为：
Figure BDA0001338914960000068
本发明的有益效果是：通过对采样协方差矩阵的小特征值的修正，来弥补色噪声导致采样协方差矩阵的小特征值扰动对算法性能的影响，其次利用空间交替投影算法估计期望信号导向矢量，进而求取干扰噪声协方差矩阵，最后应用重构后的干扰噪声协方差矩阵来求取阵列权值。在角度失配和大期望信号功率情况下，本发明的方法能够准确地估计出干扰噪声协方差矩阵和期望信号导向矢量，相比其他重构协方差矩阵方法来讲，本发明算法具有稳健性更好的优点。并且本发明的算法所需的先验信息更少，只需知道期望信号来波角度范围和天线阵型即可。
附图说明
为了更清楚地说明本发明实施例的技术方案，下面将对实施例中所需要使用的附图作简单地介绍，应当理解，以下附图仅示出了本发明的某些实施例，因此不应被看作是对范围的限定，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他相关的附图。
图1是均匀线阵模型；
图2是角度失配下本发明提出的算法、MVDR算法、对角加载算法、最差性能最优算法、协方差阵与导向矢量估计算法的波束图对比；
图3是角度失配下本发明提出的算法、MVDR算法、对角加载算法、最差性能最优算法、协方差阵与导向矢量估计算法扰算法的输出SINR随快拍数变化；
图4是角度失配和有色噪声下本发明提出的算法、MVDR算法、对角加载算法、最差性能最优算法、协方差阵与导向矢量估计算法以及基于有色载入的抗干扰算法的波束图对比；
图5是角度失配和有色噪声下本发明提出的算法、MVDR算法、对角加载算法、最差性能最优算法、协方差阵与导向矢量估计算法以及基于有色载入的抗干扰算法的输出SINR随快拍数的变化；
图6是角度失配和有色噪声下本发明提出的算法、MVDR算法、对角加载算法、最差性能最优算法、协方差阵与导向矢量估计算法以及基于有色载入的抗干扰算法的输出SINR随输入SNR的变化。
具体实施方式
下面将结合本发明实施例中附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。通常在此处附图中描述和示出的本发明实施例的组件可以以各种不同的配置来布置和设计。因此，以下对在附图中提供的本发明的实施例的详细描述并非旨在限制要求保护的本发明的范围，而是仅仅表示本发明的选定实施例。基于本发明的实施例，本领域技术人员在没有做出创造性劳动的前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
实际应用中，干扰噪声协方差矩阵Ri+n不能直接求出，而是一般利用采样协方差矩阵
Figure BDA0001338914960000081
代替。但是由于阵列接收数据中含有期望信号，当期望信号功率较大时，小角度的导向矢量失配都会导致期望信号相消现象，进而导致波束形成器性能下降。而当阵列接收的噪声为色噪声时，从采样协方差矩阵特征值的角度出发，色噪声会导致小特征值发生扰动，从而导致波束形成器性能下降。
本发明总的发明构思：通过对采样协方差矩阵的小特征值的修正，来弥补色噪声导致采样协方差矩阵的小特征值扰动对算法性能的影响，其次利用空间交替投影算法估计期望信号导向矢量，进而求取干扰噪声协方差矩阵，最后应用重构后的干扰噪声协方差矩阵来求取阵列权值。
色噪声下基于协方差矩阵重构的波束形成方法，所述波束形成方法包括如下步骤:
S1，建立阵列天线接收信号模型；
S2，通过修正采样协方差矩阵的小特征值，进而修正采样协方差距阵；
S3，应用矩阵分解以及空间谱估计理论分别构造干扰信号子空间与另一个信号子空间，并通过交替投影算法来求取两个子空间的交集，求取期望信号导向矢量；
S4，通过修正后的采样协方差矩阵减去期望信号协方差矩阵的方法，对干扰噪声协方矩阵进行重构；最后求取阵列天线权值矢量。
在步骤S1中：
设定M个阵元组成的阵列均匀线阵，设定任意阵元间各向同性并忽略阵元间的互耦作用，阵元间距d为1/2λ，其中λ＝c/f，c为光速，f为入射信号的频率；
则当有P+1个远场窄带信号，接收信号模型表示为：
X(t)＝as(t)+Bj(t)+n(t).   (1)
式中，j(t)为P×1干扰信号，B为干扰信号所对应的M×P维导向矢量矩阵，n(t)为M×1维噪声信号，s(t)为期望信号的大小，a为期望信号的导向矢量。
阵列天线采用的模型为均匀线阵，因此，期望导向矢量表示为：a＝[ej2πdsinθ/λ…ej2 π(M-1)dsinθ/λ]，其中θ为期望信号入射角度；
干扰信号导向矢量矩阵B表示为：
B＝[b1 b2 ··· bp].   (2)
式中，bi为第i个干扰信号所对应的导向矢量bi＝[ej2πdsinψ/λ…ej2π(M-1)dsinψ/λ]，其中i＝1,2,···,P，ψ为干扰信号入射角度。
假设期望信号和干扰信号间互不相关，则阵列天线接收信号的协方差矩阵表示为：
R＝E[X(t)XH(t)]＝aRsaH+BRjBH+Rn.   (3)
式中，Rs＝E[s(t)sH(t)]为期望信号协方差矩阵，(·)H代表矩阵共轭转置，Rj为干扰信号协方差矩阵，Rn为噪声矩阵。
在实际中，式(3)中的协方差矩阵无法获得。而是由采样协方差矩阵代替，采样协方差矩阵表示为：
Figure BDA0001338914960000091
传统的MVDR波束形成器能够保证期望信号方向上无失真接收而干扰方向上干扰被抑制，约束函数可以表示为：
Figure BDA0001338914960000092
利用拉格朗日乘子法可以求解出波束形成器的自适应阵列权值，表示为
Figure BDA0001338914960000101
在步骤S2中，具体包括以下步骤：
S21，对采样协方差矩阵进行矩阵分解，得到如下的表达式：
Figure BDA0001338914960000102
式中，λi(i＝1,2,…,M)为采样协方差矩阵
Figure BDA0001338914960000103
的按照降序排列的特征值，ei为与之对应的特征向量；Es＝[e1,e2,…,eP+1]为相应的干扰信号子空间，Λs＝diag[λ1,…,λP+1]为对应的特征值对角阵；En＝[eP+2,…,eM]为噪声子空间，Λn＝diag[λP+2,…,λM]为对应的特征值对角阵；
S22，通过大数定律以及中心极限定理估计噪声对应的采样协方差矩阵的小特征值的收敛值，表示为
Figure BDA0001338914960000104
S23，将采样协方差矩阵中的小特征值用λσ来代替，对采样协方差矩阵进行修正，修正后的采样协方差矩阵表示为：
Figure BDA0001338914960000105
在实际应用中，干扰个数、对应的导向矢量以及功率通常情况下未知，并且噪声的功率也不可知，因此本发明通过求取期望信号功率的方法，间接地对干扰噪声协方差矩阵重构。
在的步骤S4中，重构后的干扰噪声协方差矩阵表示为：
Figure BDA0001338914960000106
式中，Ri+n为干扰噪声协方差矩阵，
Figure BDA0001338914960000111
为修正后的采样协方差矩阵，
Figure BDA0001338914960000112
为期望信号功率，as为期望信号导向矢量。
步骤S3中，具体包括以下步骤：
从式(9)，显然可以看出，期望信号导向矢量位于干扰信号子空间内，即as∈Es。而期望信号导向矢量又位于另一个新的子空间内。
S31，通过空间谱估计理论重建另一个信号的子空间，该子空间表示为：
Figure BDA0001338914960000113
式中，Θ为期望信号来波方向角度区域；
将(2)式中的积分形式转化为累加形式，表示为：
Figure BDA0001338914960000114
式中，a(θj)表示角度θj对应的导向矢量，其中θj(j＝1,…,J)∈Θ，Θ被均分为J份；
S32，对(12)式进行特征值分解，得到如下的表达式：
Figure BDA0001338914960000115
式中，γi(i＝1,…,M)为Casv的按照降序排列的特征值，vi为对应的特征向量；Vs＝[v1,…,vN]为期望信号所在的子空间，其中N为Casv的大特征值个数；N为满足下列不等式约束的最小正整数：
Figure BDA0001338914960000116
其中，ξ为预先设定的阈值并满足0＜ξ＜1；
S33，通过交替投影算法来求取两个子空间的交集，进而求取期望信号导向矢量：
期望信号导向矢量位于子空间Vs内，因此，期望信号导向矢量as可以看成是两个子空间的交集，即C0＝C1∩C2；
期望信号导向矢量as的两个约束条件C1和C2分别表示为：
C1＝{as:as＝EsαE}   (15)
C2＝{as:as＝VsαV}   (16)
式中，αE和αV为对应子空间系数矢量；
利用交替投影算法来获取两个子空间的交集，迭代方程可以写成：
Figure BDA0001338914960000121
式中，迭代初始向量为估计期望信号导向矢量a(θp)，当L→∞时，aL+1最终收敛于期望信号导向矢量as；其中
Figure BDA0001338914960000122
并且
Figure BDA0001338914960000123
满足以下不等式：
Figure BDA0001338914960000124
式中，eigmax(·)表示求取一个矩阵的最大特征值；因此，求得：
Figure BDA0001338914960000125
其中
Figure BDA0001338914960000126
代表求取
Figure BDA0001338914960000127
的最大特征值对应的特征向量。
进一步的，依据求得期望信号导向矢量as和修正后的采样协方差矩阵
Figure BDA0001338914960000128
求得取期望信号功率，表示为：
Figure BDA0001338914960000131
因此，根据式(1)，重构Ri+n；
则自适应波束形成器输出的阵列天线权值矢量表示为：
Figure BDA0001338914960000132
本发明的效果可通过以下仿真说明：
仿真条件与内容：
1、角度失配下的波束形成算法性能分析
实验中采用的阵型为M＝10，阵元间距半波长的均匀线阵。假设期望信号来波方向为θs＝0°，估计的期望信号来波方向为θp＝3°，期望信号来波方向角度区域为[θp-Δθ2,θp+Δθ2]，其中Δθ＝8°，信噪比SNR为10dB。三个窄带干扰信号的来向分别假设为30°、-45°和50°，干噪比INR为40dB。下面的实验均采用100次Monte-Carlo仿真。
为了说明本发明算法性能的优越性，分别对以下算法进行了比较：本发明提出的算法、MVDR算法、对角加载算法、最差性能最优算法以及协方差阵与导向矢量估计算法。其中对角加载算法的加载量选取
Figure BDA0001338914960000133
其中
Figure BDA0001338914960000134
为各阵列通道的噪声平均功率。最差性能最优算法设定的范数边界ε＝3。
图2是几种算法在白噪声失配角为5°时的波束图。从图中可以看出，传统的MVDR算法和对角加载算法在期望信号方向上形成了零陷，即产生了期望信号相消的现象。最差性能最优算法和协方差阵与导向矢量估计算法虽然未在期望信号方向上形成零陷，但是主波束形成方向偏离期望信号方向，造成接收期望信号失真。而本发明提出的算法不仅能够在期望方向上形成较好的主波束，而且旁瓣增益水平较低。
图3给出了以上几种算法在不同的采样快拍数下的输出SINR。从图中可以看出，传统的MVDR算法收敛于-20dB左右，这是由于算法在导向矢量失配下存在着严重的期望信号相消问题，导致算法的性能严重下降。对角加载算法和最差性能最优算法最终收敛于-5dB左右，说明这两种算法在角度失配下相比传统的MVDR算法，性能上得到很大的提升，协方差阵与导向矢量估计算法性能收敛于15dB，而本发明提出的算法在性能上略优于协方差阵与导向矢量估计算法。因此，在角度失配下本发明提出的算法具有一定的性能优势。
从以上仿真中可以看出，本发明提出的算法在角度失配情况下的性能具有一定的优势，算法的稳健性较好。为了进一步说明算法色噪声环境下的输出性能的优越性，进行了如下的仿真。仿真针对色噪声环境和角度失配两种情况下从算法的输出SINR、稳健性等进行分析说明。
2、低快拍数和色噪声环境下的波束形成器的性能分析
本次仿真中输入信号噪声选取非均匀色噪声，噪声协方差阵Rn取任意对角元素不等的对角阵，即保证阵元间接收的噪声功率不同。本次仿真中增加了以及基于有色载入的抗干扰算法同本发明提出的算法的对比。其他仿真参数同实验一相同。
图4是角度失配和色噪声下几种算法的输出波束图对比。从波束图中可以看出，在色噪声环境下，几种算法均能够在干扰方向上形成零陷，传统的MVDR算法、LSMI算法、协方差阵与导向矢量估计算法和以及基于有色载入的抗干扰算法在期望方向上形成了零陷，并且旁瓣增益水平较高，而最差性能最优算法虽然未在期望信号上形成零陷，但是其主波束角度偏离期望信号方向，造成期望信号失真。而本发明提出的算法在色噪声和角度失配下，不仅能够在期望信号上形成较为准确的主波束，而且旁瓣增益水平较低。
图5是几种算法的输出SINR对比图，从图中可以看出，在色噪声环境下，本发明提出的算法的输出SINR最终稳定收敛于15dB左右，其它几种算法的输出SINR明显低于本发明所提出的算法。因此可以得出本发明所提的算法在色噪声环境和角度失配下算法的性能相比其他算法具有优越性，算法的稳健性更好。
为了进一步说明本发明所提算法的有效性，对不同的输出SNR算法的输出SINR进行了仿真测试。图6是几种算法的输出SINR随着输入SNR的变化，从图中可以得到，本发明提出的算法输出SINR随着输入SNR呈线性变化关系，并且算法的输出SINR相比其他算法线性性能最好，协方差阵与导向矢量估计算法输出SINR与输入SNR也近似呈线性变化，但是输出SINR性能差于本发明所提出的算法，其他几种算法在低SNR下，输出SINR差距不大，但是在高SNR下，算法的性能严重下降，主要还是由于期望信号相消和色噪声导致算法性能的严重下降。因此本次仿真再次验证了本发明算法在色噪声和角度失配下算法的输出SINR较高，算法的稳健性较好。
以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.色噪声下基于协方差矩阵重构的波束形成方法，其特征在于，所述波束形成方法包括如下步骤:
S1，建立阵列天线接收信号模型：设定M个阵元组成的阵列均匀线阵，设定任意阵元间各向同性并忽略阵元间的互耦作用，阵元间距d为1/2λ，其中λ＝c/f，c为光速，f为入射信号的频率；
则当有P+1个远场窄带信号，接收信号模型表示为：
X(t)＝as(t)+Bj(t)+n(t).
式中，j(t)为P×1干扰信号，B为干扰信号所对应的M×P维导向矢量矩阵，n(t)为M×1维噪声信号，s(t)为期望信号的大小，a为期望信号的导向矢量；
阵列天线采用的模型为均匀线阵，因此，期望导向矢量表示为：a＝[ej2πdsinθ/λ…ej2 π(M-1)dsinθ/λ]，其中θ为期望信号入射角度；
干扰信号导向矢量矩阵B表示为：B＝[b1 b2…bp].，其中i＝1,2,…,P，ψ为干扰信号入射角度；
假设期望信号和干扰信号间互不相关，则阵列天线接收信号的协方差矩阵表示为：
R＝E[X(t)XH(t)]＝aRsaH+BRjBH+Rn..；
式中，Rs＝E[s(t)sH(t)]为期望信号协方差矩阵，(·)H代表矩阵共轭转置，Rj为干扰信号协方差矩阵，Rn为噪声矩阵；
采样协方差矩阵表示为：
S2，通过修正采样协方差矩阵的小特征值，进而修正采样协方差矩阵；包括以下步骤：
S21，对采样协方差矩阵进行矩阵分解，得到如下的表达式：
式中，λi(i＝1,2,…,M)为采样协方差矩阵的按照降序排列的特征值，ei为与之对应的特征向量；Es＝[e1,e2,…,eP+1]为相应的干扰信号子空间，Λs＝diag[λ1,…,λP+1]为对应的特征值对角阵；En＝[eP+2,…,eM]为噪声子空间，Λn＝diag[λP+2,…,λM]为对应的特征值对角阵；
S22，通过大数定律以及中心极限定理估计噪声对应的采样协方差矩阵的小特征值的收敛值，表示为
S23，将采样协方差矩阵中的小特征值用λσ来代替，对采样协方差矩阵进行修正，修正后的采样协方差矩阵表示为：
S3，应用矩阵分解以及空间谱估计理论分别构造干扰信号子空间与另一个信号子空间，并通过交替投影算法来求取两个子空间的交集，求取期望信号导向矢量；包括以下步骤：
S31，通过空间谱估计理论重建另一个信号的子空间，该子空间表示为：
式中，Θ为期望信号来波方向角度区域；
将上式中的积分形式转化为累加形式，表示为：
式中，a(θj)表示角度θj对应的导向矢量，其中θj(j＝1,…,J)∈Θ，Θ被均分为J份；
S32，对该子空间进行特征值分解，得到如下的表达式：
式中，γi(i＝1,…,M)为Casv的按照降序排列的特征值，vi为对应的特征向量；Vs＝[v1,…,vN]为期望信号所在的子空间,其中N为Casv的大特征值个数；N为满足下列不等式约束的最小正整数：
其中，ξ为预先设定的阈值并满足0＜ξ＜1；
S33，通过交替投影算法来求取两个子空间的交集，进而求取期望信号导向矢量：
期望信号导向矢量位于子空间Vs内，因此，期望信号导向矢量as可以看成是两个子空间的交集，即C0＝C1∩C2；
期望信号导向矢量as的两个约束条件C1和C2分别表示为：
C1＝{as:as＝EsαE}
C2＝{as:as＝VsαV}
式中，αE和αV为对应子空间系数矢量；
利用交替投影算法来获取两个子空间的交集，迭代方程可以写成：
式中，迭代初始向量为估计期望信号导向矢量a(θp)，当L→∞时，aL+1最终收敛于期望信号导向矢量as；其中并且满足以下不等式：
式中，eigmax(·)表示求取一个矩阵的最大特征值；因此，求得：
其中代表求取的最大特征值对应的特征向量;
S4，通过修正后的采样协方差矩阵减去期望信号协方差矩阵的方法，对干扰噪声协方矩阵进行重构；最后求取阵列天线权值矢量;重构后的干扰噪声协方差矩阵表示为：
式中，Ri+n为重构后的干扰噪声协方差矩阵为修正后的采样协方差矩阵为期望信号功率，as为期望信号导向矢量;
依据求得期望信号导向矢量as和修正后的采样协方差矩阵求得取期望信号功率，
表示为：
因此，根据重构Ri+n；
则自适应波束形成器输出的阵列天线权值矢量表示为：
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