CN105005692A - 一种基于解析法的永磁电机磁场分析与转矩计算方法 - Google Patents

Abstract

一种基于解析法的永磁电机磁场分析与转矩计算方法，包括以下步骤：步骤一：建立气隙区域和永磁体区域矢量磁位数学模型；步骤二：建立槽区域矢量磁位数学模型；步骤三：计算齿槽定位转矩；步骤四：分析、比较解析计算结果；本发明提供一种基于解析法的永磁电机磁场分析与转矩计算方法，根据表贴式径向充磁永磁电机模型结构特点，将解析模型划分为三个子区域，即永磁体区域、气隙区域和槽区域，分别建立了各区域矢量磁位拉普拉斯方程或泊松方程，通过交界条件连接子区域方程式，用直接解析法求得空载气隙磁场和槽内磁场解析表达式。

Description

一种基于解析法的永磁电机磁场分析与转矩计算方法

技术领域

本发明涉及一种基于解析法的永磁电机磁场分析与转矩计算方法。

背景技术

永磁电机气隙磁场分析是电机设计和性能计算的基础。表贴式永磁电机二维气隙磁场可以采用数值法或解析法求解。有限元法适应性强、计算精度高，但建模和计算时间较长，在电机的优化设计中并不方便。解析法物理概念清晰，解析函数式较直观地反映各参数与磁场分布的关系，参数调整方便，计算量小、速度快，有利于电机的优化设计和结构调整。

在电机解析模型的分析中，最困难的工作之一就是如何准确计算开槽对气隙磁场的影响。在极坐标系下采用标量磁位法计算表贴式径向磁化永磁电机的气隙磁场，首先计算未开槽时电机气隙磁场，然后利用保角变换求得电枢开槽时的气隙相对磁导函数，并与无槽时的气隙磁场相乘，从而得到计及开槽效应的二维气隙磁场。该方法存在槽口切向磁场分量被隐没的问题，影响麦克斯韦应力张量法计算电磁转矩的精度；而引入复数相对磁导函数，克服了切向气隙磁密分量被隐没的缺点，但非线性复磁导函数求解过程复杂、化时长。以上方法均采用无限深单槽模型，不考虑槽与槽之间的影响，且无法知道槽内磁场情况，不利于绕组感应电动势的精确计算。还有人将求解区域划分为气隙区域和槽形子区域，利用两区域重叠部分的计算结果作为另一区域的边界条件，从而计算出开槽时的气隙磁场。两区域磁场交替计算，经若干次迭代得到满足精度的结果。该方法考虑了实际槽形分布，计算结果更符合实际，但槽形种类多，难以获得统一的解析模型。或者将标量磁位解析法、矢量磁位解析法与差分法相结合计算表贴式永磁电机磁场，或者将解析法和等参元法结合计算分数槽永磁电机的气隙磁场。解析法与数值法结合能精确地处理各种复杂槽型，计算速度快于数值法，但计算过程中需要反复迭代，因此计算时间仍较长，且计算精度要受到迭代精度影响。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是针对上述现有技术的不足，提供一种基于解析法的永磁电机磁场分析与转矩计算方法，根据表贴式径向充磁永磁电机模型结构特点，将解析模型划分为三个子区域，即永磁体区域、气隙区域和槽区域，分别建立了各区域矢量磁位拉普拉斯方程或泊松方程，通过交界条件连接子区域方程式，用直接解析法求得空载气隙磁场和槽内磁场解析表达式。以一台8极12槽表贴式径向充磁永磁电机为例，计算了电机的气隙主磁场。在此基础上，利用麦克斯韦应力张量法计算了电机齿槽定位转矩，与有限元法计算结果比较，证明了本方法的正确性。计算速度相较有限元法和解析数值结合法有明显提高。

为了实现上述目的，本发明的技术方案是：一种基于解析法的永磁电机磁场分析与转矩计算方法，包括以下步骤：

步骤一：建立气隙区域和永磁体区域矢量磁位数学模型；

步骤二：建立槽区域矢量磁位数学模型；

步骤三：计算齿槽定位转矩；

步骤四：分析、比较解析计算结果。

所述步骤一包括以下内容：

永磁体径向充磁，在二维极坐标系下只有z轴分量有效，由傅里叶分解得其磁化强度表达式为r和θ函数：

$M(r,\mathrm{\θ})=\[\underset{v=1,3,5...}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}{M}_v\cos vp(\mathrm{\θ}-{\mathrm{\θ}}_0)\]\stackrel{\→}{r}---\left(1\right)$

其中： $M_v=2(B_r/{\mathrm{\μ}}_0){\mathrm{\α}}_p\frac{sin({\mathrm{v\π\α}}_p/2)}{{\mathrm{v\π\α}}_p/2}$

式中，p为极对数，αp为极弧系数，θ0为永磁体与初始设定的基准位置间偏移角度。在极坐标下气隙区域I和永磁体区域II矢量磁位方程式为：

气隙区域I拉普拉斯方程

$\frac{{\∂}^2{A}_I(r,\mathrm{\θ})}{\∂r^2}+\frac{1}{r}\frac{\∂A_I(r,\mathrm{\θ})}{\∂r}+\frac{1}{r}\frac{{\∂}^2{A}_I(r,\mathrm{\θ})}{\∂{\mathrm{\θ}}^2}=0---\left(2\right)$

永磁体区域II泊松方程

$\frac{{\∂}^2{A}_{II}(r,\mathrm{\θ})}{\∂r^2}+\frac{1}{r}\frac{\∂A_{II}(r,\mathrm{\θ})}{\∂r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\∂}^2{A}_{II}(r,\mathrm{\θ})}{\∂{\mathrm{\θ}}^2}=-u_r{u}_0\▿\×\stackrel{\→}{M}---\left(3\right)$

其中

$\▿\×\stackrel{\→}{M}=-\frac{1}{r}\frac{\∂M(r,\mathrm{\θ})}{\∂\mathrm{\θ}}=\frac{1}{r}\underset{v=1,3,5...}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}{\mathrm{vpM}}_v\sin vp(\mathrm{\θ}-{\mathrm{\θ}}_0)$

由分离变量法得以上区域通解如下

$A_I(r,\mathrm{\θ})={\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}}_{+(C_{In}{r}^{nm}+D_{In}{r}^{-nm})sin\left(nm\mathrm{\θ}\right)\]}^{\[(A_{In}{r}^{nm}+B_{In}{r}^{-nm})cos\left(nm\mathrm{\θ}\right)}---\left(4\right)$

$\begin{array}{c}{A}_{II}(r,\mathrm{\θ})={\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}}_{+(C_{IIn}{r}^{nm}+D_{IIn}{r}^{-nm})sin\left(nm\mathrm{\θ}\right)\]}^{\[(A_{IIn}{r}^{nm}+B_{IIn}{r}^{-nm})cos\left(nm\mathrm{\θ}\right)}\\ +\underset{v=1,3,5...}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}{\mathrm{\μ}}_{0}r\frac{vp}{{\left(vp\right)}^2-1}{M}_v\sin vp(\mathrm{\θ}-{\mathrm{\θ}}_0)\end{array}---\left(5\right)$

以上式中m为槽数和极对数p的最大公约数。

由电机几何模型和材料属性可知气隙和永磁体区域边界条件

所述步骤二包括以下列内容：

由于采用了直槽模型，简化了槽区域边界条件，便于其矢量磁位拉普拉斯方程的求解。空载时极坐标系下第i槽的矢量磁位拉普拉斯方程为：

$\begin{array}{cc}\frac{{\∂}^2{A}_{si}(r,\mathrm{\θ})}{\∂r^2}+\frac{1}{r}\frac{\∂A_{si}(r,\mathrm{\θ})}{\∂r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\∂}^2{A}_{si}(r,\mathrm{\θ})}{\∂{\mathrm{\θ}}^2}=0& \left\{\begin{array}{c}{R}_S\≤r\≤R_{sy}\\ {\mathrm{\θ}}_i\≤\mathrm{\θ}\≤{\mathrm{\θ}}_i+\mathrm{\β}\end{array}\right.\end{array}---\left(7\right)$

式中： ${\mathrm{\θ}}_i=-\frac{\mathrm{\β}}{2}+\frac{2i\mathrm{\π}}{Q}$

由分离变量法得槽区域通解

$A_{si}(r,\mathrm{\θ})=A_0^i+\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}{A}_k^i\frac{{\left(\frac{r}{R_{sy}}\right)}^{k\mathrm{\π}/\mathrm{\β}}+{\left(\frac{r}{R_{sy}}\right)}^{-k\mathrm{\π}/\mathrm{\β}}}{{\left(\frac{R_s}{R_{sy}}\right)}^{k\mathrm{\π}/\mathrm{\β}}+{\left(\frac{R_s}{R_{sy}}\right)}^{-k\mathrm{\π}/\mathrm{\β}}}cos\left(\frac{k\mathrm{\π}}{\mathrm{\β}}\right(\mathrm{\θ}-{\mathrm{\θ}}_i\left)\right)\mathrm{---}\left(8\right)$

上式中：k＝1,2,3,…为槽区域磁场谐波次数

$A_0^i=\frac{1}{\mathrm{\β}}\underset{{\mathrm{\θ}}_i}{\overset{{\mathrm{\θ}}_i+\mathrm{\β}}{\∫}}{A}_I(R_s,\mathrm{\θ})\·d\mathrm{\θ}\mathrm{---}\left(9\right)$

$A_k^i=\frac{2}{\mathrm{\β}}\underset{{\mathrm{\θ}}_i}{\overset{{\mathrm{\θ}}_i+\mathrm{\β}}{\∫}}{A}_I(R_s,\mathrm{\θ})\·cos\left(\frac{k\mathrm{\π}}{\mathrm{\β}}\right(\mathrm{\θ}-{\mathrm{\θ}}_i))\·d\mathrm{\θ}---\left(10\right)$

由(8)式得槽口处切向磁密表达式

$B_{\mathrm{\θ}si}(R_s,\mathrm{\θ})=-\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}{\mathrm{\α}}_k{A}_k^{i}cos\left(\frac{k\mathrm{\π}}{\mathrm{\β}}\right(\mathrm{\θ}-{\mathrm{\θ}}_i))\mathrm{---}\left(11\right)$

式中： ${\mathrm{\α}}_k=\frac{k\mathrm{\π}}{{\mathrm{\βR}}_{sy}}\frac{{\left(\frac{R_s}{R_{sy}}\right)}^{k\mathrm{\π}/\mathrm{\β}-1}-{\left(\frac{R_s}{R_{sy}}\right)}^{-k\mathrm{\π}/\mathrm{\β}-1}}{{\left(\frac{R_s}{R_{sy}}\right)}^{k\mathrm{\π}/\mathrm{\β}}+{\left(\frac{R_s}{R_{sy}}\right)}^{-k\mathrm{\π}/\mathrm{\β}}}\mathrm{---}\left(12\right)$

槽区域边界条件

由以上方程(4)、(5)、(11)及边界条件(6)、(13)可解得气隙和永磁体区域区域矢量磁位系数A_In、B_In、C_In、D_In和A_IIn、B_IIn、C_IIn、D_IIn表达式。由式(9)可知，在得到气隙区域矢量磁位A_I(r,θ)后即可解除槽区域矢量磁位系数由此便能求解出槽区域磁场分布。

所述步骤三，计算齿槽定位转矩，选用麦克斯韦应力张量法计算齿槽定位转矩，只需要在气隙内部沿圆周进行一次线积分，理论上计算结果与积分路径无关；

$\begin{array}{c}{T}_{cog}=\frac{L_{ef}}{u_0}{\∫}_0^{2\mathrm{\π}}{r}_e^2{B}_{rI}{B}_{\mathrm{\θ}I}d\mathrm{\θ}\\ =\frac{L_{ef}{r}_e^2}{u_0}{\∫}_0^{2\mathrm{\π}}\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}\left[\begin{array}{c}-(A_{In}{r}^{nm-1}+B_{In}{r}^{-nm-1})nm\sin nm\mathrm{\θ}\\ +(C_{In}{r}^{nm-1}+D_{In}{r}^{-nm-1})nm\cos nm\mathrm{\θ}\end{array}\right]\\ \·(-\left[\begin{array}{c}-\left(A_{In}{r}^{nm-1}-B_{In}{r}^{-nm-1}\right)nm\cos nm\mathrm{\θ}\\ +\left(C_{In}{r}^{nm-1}-D_{In}{r}^{-nm-1}\right)nm\sin nm\mathrm{\θ}\end{array}\right])\·d\mathrm{\θ}\\ =\frac{2{\mathrm{\πL}}_{ef}}{u_0}\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}{\left(nm\right)}^2\[-A_{In}{D}_{In}+B_{In}{C}_{In}\]\end{array}---\left(14\right)$

由式(14)可以看出，只要求出气隙区域I矢量磁位A_I(r,θ)表达式系数即可求得齿槽定位转矩。

所述步骤四对一台8极12槽内转子结构永磁无刷直流电机的磁场和齿槽定位转矩进行计算，计算结果同二维有限元计算程序计算结果作比较。

本发明建立了表贴式径向磁化永磁电机空载矢量磁位磁场解析式，并以实例电机模型为例计算了其空载气隙主磁场和齿槽定位转矩，与有限元法计算结果相比较证明了本方法的正确性和有效性。该方法既保证了计算结果的准确性，又可很方便地获得气隙磁场和槽内磁场的解析解，为进一步研究与气隙磁场和槽内磁场有关的物理量提供了方便。本发明采用的矢量磁位解析法计算速度较快，不仅适合分数槽电机，同样适合整数槽电机，具有普适性。

附图说明

下面结合附图和实施例对本发明作进一步说明：

图1为本发明的方法步骤图；

图2为8极12槽表贴式永磁电机几何模型图；

图3为径向气隙磁密波形图；

图4为切向气隙磁密波形图；

图5为齿槽转矩波形图；

具体实施方式

如图1所示，一种基于解析法的永磁电机磁场分析与转矩计算方法，包括以下步骤：

步骤一：建立气隙区域和永磁体区域矢量磁位数学模型；

步骤二：建立槽区域矢量磁位数学模型；

步骤三：计算齿槽定位转矩；

步骤四：分析、比较解析计算结果。

所述步骤一包括以下内容：

永磁体径向充磁，在二维极坐标系下只有z轴分量有效，由傅里叶分解得其磁化强度表达式为r和θ函数：

$M(r,\mathrm{\θ})=\[\underset{v=1,3,5...}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}{M}_v\cos vp(\mathrm{\θ}-{\mathrm{\θ}}_0)\]\stackrel{\→}{r}---\left(1\right)$

其中： $M_v=2(B_r/{\mathrm{\μ}}_0){\mathrm{\α}}_p\frac{sin({\mathrm{v\π\α}}_p/2)}{{\mathrm{v\π\α}}_p/2}$

式中，p为极对数，αp为极弧系数，θ0为永磁体与初始设定的基准位置间偏移角度。在极坐标下气隙区域I和永磁体区域II矢量磁位方程式为：

气隙区域I拉普拉斯方程

$\frac{{\∂}^2{A}_I(r,\mathrm{\θ})}{\∂r^2}+\frac{1}{r}\frac{\∂A_I(r,\mathrm{\θ})}{\∂r}+\frac{1}{r}\frac{{\∂}^2{A}_I(r,\mathrm{\θ})}{\∂{\mathrm{\θ}}^2}=0---\left(2\right)$

永磁体区域II泊松方程

$\frac{{\∂}^2{A}_{II}(r,\mathrm{\θ})}{\∂r^2}+\frac{1}{r}\frac{\∂A_{II}(r,\mathrm{\θ})}{\∂r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\∂}^2{A}_{II}(r,\mathrm{\θ})}{\∂{\mathrm{\θ}}^2}=-u_r{u}_0\▿\×\stackrel{\→}{M}\mathrm{---}\left(3\right)$

其中

$\▿\×\stackrel{\→}{M}=-\frac{1}{r}\frac{\∂M(r,\mathrm{\θ})}{\∂\mathrm{\θ}}=\frac{1}{r}\underset{v=1,3,5...}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}{\mathrm{vpM}}_v\sin vp(\mathrm{\θ}-{\mathrm{\θ}}_0)$

由分离变量法得以上区域通解如下

$A_I(r,\mathrm{\θ})={\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}}_{+(C_{In}{r}^{nm}+D_{In}{r}^{-nm})sin\left(nm\mathrm{\θ}\right)\]}^{\[(A_{In}{r}^{nm}+B_{In}{r}^{-nm})cos\left(nm\mathrm{\θ}\right)}---\left(4\right)$

$\begin{array}{c}{A}_{II}(r,\mathrm{\θ})={\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}}_{+(C_{IIn}{r}^{nm}+D_{IIn}{r}^{-nm})sin\left(nm\mathrm{\θ}\right)\]}^{\[(A_{IIn}{r}^{nm}+B_{IIn}{r}^{-nm})cos\left(nm\mathrm{\θ}\right)}\\ +\underset{v=1,3,5...}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}{\mathrm{\μ}}_{0}r\frac{vp}{{\left(vp\right)}^2-1}{M}_v\sin vp(\mathrm{\θ}-{\mathrm{\θ}}_0)\end{array}---\left(5\right)$

以上式中m为槽数和极对数p的最大公约数。

由电机几何模型和材料属性可知气隙和永磁体区域边界条件

所述步骤二包括以下列内容：

由于采用了直槽模型，简化了槽区域边界条件，便于其矢量磁位拉普拉斯方程的求解。空载时极坐标系下第i槽的矢量磁位拉普拉斯方程为：

$\begin{array}{cc}\frac{{\∂}^2{A}_{si}(r,\mathrm{\θ})}{\∂r^2}+\frac{1}{r}\frac{\∂A_{si}(r,\mathrm{\θ})}{\∂r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\∂}^2{A}_{si}(r,\mathrm{\θ})}{\∂{\mathrm{\θ}}^2}=0& \left\{\begin{array}{c}{R}_S\≤r\≤R_{sy}\\ {\mathrm{\θ}}_i\≤\mathrm{\θ}\≤{\mathrm{\θ}}_i+\mathrm{\β}\end{array}\right.\end{array}---\left(7\right)$

式中： ${\mathrm{\θ}}_i=-\frac{\mathrm{\β}}{2}+\frac{2i\mathrm{\π}}{Q}$

由分离变量法得槽区域通解

$A_{si}(r,\mathrm{\θ})=A_0^i+\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}{A}_k^i\frac{{\left(\frac{r}{R_{sy}}\right)}^{k\mathrm{\π}/\mathrm{\β}}+{\left(\frac{r}{R_{sy}}\right)}^{-k\mathrm{\π}/\mathrm{\β}}}{{\left(\frac{R_s}{R_{sy}}\right)}^{k\mathrm{\π}/\mathrm{\β}}+{\left(\frac{R_s}{R_{sy}}\right)}^{-k\mathrm{\π}/\mathrm{\β}}}cos\left(\frac{k\mathrm{\π}}{\mathrm{\β}}\right(\mathrm{\θ}-{\mathrm{\θ}}_i\left)\right)\mathrm{---}\left(8\right)$

上式中：k＝1,2,3,…为槽区域磁场谐波次数

$A_0^i=\frac{1}{\mathrm{\β}}\underset{{\mathrm{\θ}}_i}{\overset{{\mathrm{\θ}}_i+\mathrm{\β}}{\∫}}{A}_I(R_s,\mathrm{\θ})\·d\mathrm{\θ}\mathrm{---}\left(9\right)$

$A_k^i=\frac{2}{\mathrm{\β}}\underset{{\mathrm{\θ}}_i}{\overset{{\mathrm{\θ}}_i+\mathrm{\β}}{\∫}}{A}_I(R_s,\mathrm{\θ})\·cos\left(\frac{k\mathrm{\π}}{\mathrm{\β}}\right(\mathrm{\θ}-{\mathrm{\θ}}_i))\·d\mathrm{\θ}---\left(10\right)$

由(8)式得槽口处切向磁密表达式

$B_{\mathrm{\θ}si}(R_s,\mathrm{\θ})=-\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}{\mathrm{\α}}_k{A}_k^{i}cos\left(\frac{k\mathrm{\π}}{\mathrm{\β}}\right(\mathrm{\θ}-{\mathrm{\θ}}_i))\mathrm{---}\left(11\right)$

式中： ${\mathrm{\α}}_k=\frac{k\mathrm{\π}}{{\mathrm{\βR}}_{sy}}\frac{{\left(\frac{R_s}{R_{sy}}\right)}^{k\mathrm{\π}/\mathrm{\β}-1}-{\left(\frac{R_s}{R_{sy}}\right)}^{-k\mathrm{\π}/\mathrm{\β}-1}}{{\left(\frac{R_s}{R_{sy}}\right)}^{k\mathrm{\π}/\mathrm{\β}}+{\left(\frac{R_s}{R_{sy}}\right)}^{-k\mathrm{\π}/\mathrm{\β}}}\mathrm{---}\left(12\right)$

槽区域边界条件

由以上方程(4)、(5)、(11)及边界条件(6)、(13)可解得气隙和永磁体区域区域矢量磁位系数A_In、B_In、C_In、D_In和A_IIn、B_IIn、C_IIn、D_IIn表达式。由式(9)可知，在得到气隙区域矢量磁位A_I(r,θ)后即可解除槽区域矢量磁位系数由此便能求解出槽区域磁场分布。

所述步骤三，计算齿槽定位转矩，选用麦克斯韦应力张量法计算齿槽定位转矩，只需要在气隙内部沿圆周进行一次线积分，理论上计算结果与积分路径无关；

$\begin{array}{c}{T}_{cog}=\frac{L_{ef}}{u_0}{\∫}_0^{2\mathrm{\π}}{r}_e^2{B}_{rI}{B}_{\mathrm{\θ}I}d\mathrm{\θ}\\ =\frac{L_{ef}{r}_e^2}{u_0}{\∫}_0^{2\mathrm{\π}}\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}\left[\begin{array}{c}-(A_{In}{r}^{nm-1}+B_{In}{r}^{-nm-1})nm\sin nm\mathrm{\θ}\\ +(C_{In}{r}^{nm-1}+D_{In}{r}^{-nm-1})nm\cos nm\mathrm{\θ}\end{array}\right]\\ \·(-\left[\begin{array}{c}-\left(A_{In}{r}^{nm-1}-B_{In}{r}^{-nm-1}\right)nm\cos nm\mathrm{\θ}\\ +\left(C_{In}{r}^{nm-1}-D_{In}{r}^{-nm-1}\right)nm\sin nm\mathrm{\θ}\end{array}\right])\·d\mathrm{\θ}\\ =\frac{2{\mathrm{\πL}}_{ef}}{u_0}\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}{\left(nm\right)}^2\[-A_{In}{D}_{In}+B_{In}{C}_{In}\]\end{array}---\left(14\right)$

由式(14)可以看出，只要求出气隙区域I矢量磁位A_I(r,θ)表达式系数即可求得齿槽定位转矩。

所述步骤四对一台8极12槽内转子结构永磁无刷直流电机的磁场和齿槽定位转矩进行计算，计算结果同二维有限元计算程序计算结果作比较。

如图2所示，将解析模型划分为三个子区域，即永磁体区域c、气隙区域b和槽区域c，分别建立了各区域矢量磁位拉普拉斯方程或泊松方程，通过交界条件连接子区域方程式，用直接解析法求得空载气隙磁场和槽内磁场解析表达式，图中Rr为转子铁心外半径，Rm为永磁体外半径，Rs为定子内半径，Rsy为计及槽高后槽底距转子中心距离，β为槽口宽度(弧度)，θi为第i槽距离初始设定基准位置间的角度。

如图3～4所示，磁场和齿槽定位转矩的计算结果及比较如图所示，电机基本数据为定子内径23.5mm，气隙长度0.5mm，槽口宽1.5mm，槽高12mm，铁芯轴向长度18mm，永磁体厚度3.7mm，极弧系数αp＝0.8，剩磁Br＝1.0T。计算中气隙区域磁场谐波次数n取200，槽区域磁场谐波次数k取100。

如图5所示，为齿槽定位转矩一个周期的变化波形，图中曲线和点分别为解析法计算结果和有限元法计算结果。理论上齿槽定位转矩的最低次谐波是极数和槽数最小公倍数，因而理论周期为360°/(4×2×3)＝15°,从图中可看到齿槽转矩为周期15°电角度的脉动转矩。采用麦克斯韦应力张量法计算所得的齿槽定位转矩较有限元法计算结果稍小，但波形变化趋势基本一致，也证明了本发明所采用的解析法是正确的和有效的。

本发明建立了表贴式径向磁化永磁电机空载矢量磁位磁场解析式，并以实例电机模型为例计算了其空载气隙主磁场和齿槽定位转矩，与有限元法计算结果相比较证明了本方法的正确性和有效性。该方法既保证了计算结果的准确性，又可很方便地获得气隙磁场和槽内磁场的解析解，为进一步研究与气隙磁场和槽内磁场有关的物理量提供了方便。本发明采用的矢量磁位解析法计算速度较快，不仅适合分数槽电机，同样适合整数槽电机，具有普适性。

Claims (5)

1.一种基于解析法的永磁电机磁场分析与转矩计算方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤一：建立气隙区域和永磁体区域矢量磁位数学模型；

步骤二：建立槽区域矢量磁位数学模型；

步骤三：计算齿槽定位转矩；

步骤四：分析、比较解析计算结果。

2.根据权利要求1所述一种基于解析法的永磁电机磁场分析与转矩计算方法，其特征在于：所述步骤一包括以下内容：

永磁体径向充磁，在二维极坐标系下只有z轴分量有效，由傅里叶分解得其磁化强度表达式为r和θ函数：

$M(r,\mathrm{\θ})=\[\underset{v=1,3,\mathrm{5...}}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}{M}_v\cos vp(\mathrm{\θ}-{\mathrm{\θ}}_0)\]\stackrel{\→}{r}---\left(1\right)$

其中： $M_v=2(B_r/{\mathrm{\μ}}_0){\mathrm{\α}}_p\frac{sin({\mathrm{v\π\α}}_p/2)}{{\mathrm{v\π\α}}_p/2}$

式中，p为极对数，αp为极弧系数，θ0为永磁体与初始设定的基准位置间偏移角度。在极坐标下气隙区域I和永磁体区域II矢量磁位方程式为：

气隙区域I拉普拉斯方程

$\frac{{\∂}^2{A}_I(r,\mathrm{\θ})}{\∂r^2}+\frac{1}{r}\frac{\∂A_I(r,\mathrm{\θ})}{\∂r}+\frac{1}{r}\frac{{\∂}^2{A}_I(r,\mathrm{\θ})}{\∂{\mathrm{\θ}}^2}=0---\left(2\right)$

永磁体区域II泊松方程

$\frac{{\∂}^2{A}_{II}(r,\mathrm{\θ})}{\∂r^2}+\frac{1}{r}\frac{\∂A_{II}(r,\mathrm{\θ})}{\∂r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\∂}^2{A}_{II}(r,\mathrm{\θ})}{\∂{\mathrm{\θ}}^2}=-u_r{u}_0\▿\×\stackrel{\→}{M}---\left(3\right)$

其中

$\▿\×\stackrel{\→}{M}=-\frac{1}{r}\frac{\∂M(r,\mathrm{\θ})}{\∂\mathrm{\θ}}=\frac{1}{r}\underset{v=1,3,\mathrm{5...}}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}{\mathrm{vpM}}_v\sin vp(\mathrm{\θ}-{\mathrm{\θ}}_0)$

由分离变量法得以上区域通解如下

$A_I(r,\mathrm{\θ})=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}\begin{array}{c}\[(A_{In}{r}^{nm}+B_{In}{r}^{-nm})cos\left(nm\mathrm{\θ}\right)\\ +(C_{In}{r}^{nm}+D_{In}{r}^{-nm})sin\left(nm\mathrm{\θ}\right)\]\end{array}---\left(4\right)$

$\begin{array}{c}{A}_{II}(r,\mathrm{\θ})=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}\begin{array}{c}\[(A_{IIn}{r}^{nm}+B_{IIn}{r}^{-nm})cos\left(nm\mathrm{\θ}\right)\\ +(C_{IIn}{r}^{nm}+D_{IIn}{r}^{-nm})sin\left(nm\mathrm{\θ}\right)\]\end{array}\\ +\underset{v=1,3,\mathrm{5...}}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}{\mathrm{\μ}}_{0}r\frac{vp}{{\left(vp\right)}^2-1}{M}_v\sin vp(\mathrm{\θ}-{\mathrm{\θ}}_0)\end{array}---\left(5\right)$

以上式中m为槽数和极对数p的最大公约数。

由电机几何模型和材料属性可知气隙和永磁体区域边界条件

3.根据权利要求1所述一种基于解析法的永磁电机磁场分析与转矩计算方法，其特征在于：所述步骤二包括以下列内容：

由于采用了直槽模型，简化了槽区域边界条件，便于其矢量磁位拉普拉斯方程的求解。空载时极坐标系下第i槽的矢量磁位拉普拉斯方程为：

$\begin{array}{cc}\frac{{\∂}^2{A}_{si}(r,\mathrm{\θ})}{\∂r^2}+\frac{1}{r}\frac{\∂A_{si}(r,\mathrm{\θ})}{\∂r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\∂}^2{A}_{si}(r,\mathrm{\θ})}{\∂{\mathrm{\θ}}^2}=0& \left\{\begin{array}{c}{R}_s\≤r\≤R_{sy}\\ {\mathrm{\θ}}_i\≤\mathrm{\θ}\≤{\mathrm{\θ}}_i+\mathrm{\β}\end{array}\right.\end{array}---\left(7\right)$

式中： ${\mathrm{\θ}}_i=-\frac{\mathrm{\β}}{2}+\frac{2i\mathrm{\π}}{Q}$

由分离变量法得槽区域通解

$A_{si}(r,\mathrm{\θ})=A_0^i+\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}{A}_k^i\frac{{\left(\frac{r}{R_{sy}}\right)}^{k\mathrm{\π}/\mathrm{\β}}+{\left(\frac{r}{R_{sy}}\right)}^{-k\mathrm{\π}/\mathrm{\β}}}{{\left(\frac{R_s}{R_{sy}}\right)}^{k\mathrm{\π}/\mathrm{\β}}+{\left(\frac{R_s}{R_{sy}}\right)}^{-k\mathrm{\π}/\mathrm{\β}}}cos\left(\frac{k\mathrm{\π}}{\mathrm{\β}}\right(\mathrm{\θ}-{\mathrm{\θ}}_i\left)\right)---\left(8\right)$

上式中：k＝1,2,3,…为槽区域磁场谐波次数

$A_0^i=\frac{1}{\mathrm{\β}}\underset{{\mathrm{\θ}}_i}{\overset{{\mathrm{\θ}}_i+\mathrm{\β}}{\∫}}{A}_I(R_s,\mathrm{\θ})\·d\mathrm{\θ}---\left(9\right)$

$A_k^i=\frac{2}{\mathrm{\β}}\underset{{\mathrm{\θ}}_i}{\overset{{\mathrm{\θ}}_i+\mathrm{\β}}{\∫}}{A}_I(R_s,\mathrm{\θ})\·cos\left(\frac{k\mathrm{\π}}{\mathrm{\β}}\right(\mathrm{\θ}-{\mathrm{\θ}}_i\left)\right)\·d\mathrm{\θ}---\left(10\right)$

由(8)式得槽口处切向磁密表达式

$B_{\mathrm{\θ}si}(R_s,\mathrm{\θ})=-\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}{\mathrm{\α}}_k{A}_k^{i}cos\left(\frac{k\mathrm{\π}}{\mathrm{\β}}\right(\mathrm{\θ}-{\mathrm{\θ}}_i\left)\right)---\left(11\right)$

式中： ${\mathrm{\α}}_k=\frac{k\mathrm{\π}}{{\mathrm{\βR}}_{sy}}\frac{{\left(\frac{R_s}{R_{sy}}\right)}^{k\mathrm{\π}/\mathrm{\β}-1}-{\left(\frac{R_s}{R_{sy}}\right)}^{-k\mathrm{\π}/\mathrm{\β}-1}}{{\left(\frac{R_s}{R_{sy}}\right)}^{k\mathrm{\π}/\mathrm{\β}}+{\left(\frac{R_s}{R_{sy}}\right)}^{-k\mathrm{\π}/\mathrm{\β}}}---\left(12\right)$

槽区域边界条件

4.根据权利要求1所述一种基于解析法的永磁电机磁场分析与转矩计算方法，其特征在于：所述步骤三，计算齿槽定位转矩，选用麦克斯韦应力张量法计算齿槽定位转矩，只需要在气隙内部沿圆周进行一次线积分，理论上计算结果与积分路径无关；

$\begin{array}{c}{T}_{cog}=\frac{L_{ef}}{u_0}{\∫}_0^{2\mathrm{\π}}{r}_e^2{B}_{rI}{B}_{\mathrm{\θ}I}d\mathrm{\θ}\\ =\frac{L_{ef}{r}_e^2}{u_0}{\∫}_0^{2\mathrm{\π}}\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}\left[\begin{array}{c}-(A_{In}{r}^{nm-1}+B_{In}{r}^{-nm-1})nm\sin nm\mathrm{\θ}\\ +(C_{In}{r}^{nm-1}+D_{In}{r}^{-nm-1})nm\cos nm\mathrm{\θ}\end{array}\right]\\ \·(-\left[\begin{array}{c}(A_{In}{r}^{nm-1}-B_{In}{r}^{-nm-1})nm\cos nm\mathrm{\θ}\\ +(C_{In}{r}^{nm-1}-D_{In}{r}^{-nm-1})nm\sin nm\mathrm{\θ}\end{array}\right])\·d\mathrm{\θ}\\ =\frac{2{\mathrm{\πL}}_{ef}}{u_0}\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}{\left(nm\right)}^2\[-A_{In}{D}_{In}+B_{In}{C}_{In}\]\end{array}---\left(14\right)$

5.根据权利要求1所述一种基于解析法的永磁电机磁场分析与转矩计算方法，其特征在于：所述步骤四对一台8极12槽内转子结构永磁无刷直流电机的磁场和齿槽定位转矩进行计算，计算结果同二维有限元计算程序计算结果作比较。