CN104158458B - 一种具有斜槽结构的表贴式永磁电机磁场解析计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种具有斜槽结构的表贴式永磁电机磁场解析计算方法，涉及永磁电机磁场计算技术领域，所述方法包括：在三维空间内将电机沿轴向分割成N_z段磁场求解域；将每段磁场求解域分成四个子域，分别建立各段各子域的磁矢位偏微分方程；采用分离变量法求出各段求解域中各子域的磁矢位偏微分方程的通解；建立各段求解域中各子域间的边界条件，确定傅里叶系数值，求出各子域磁矢位偏微分方程的定解表达式，即各子域磁矢位函数；由各子域磁矢位函数计算气隙磁密表达式，并进一步计算电机的磁链、齿槽转矩、反电势和电磁转矩。本方法实现了快速精确地进行定子斜槽表贴式永磁电机磁场计算和性能分析。

Description

一种具有斜槽结构的表贴式永磁电机磁场解析计算方法

技术领域

本发明涉及永磁电机磁场计算技术领域，尤其涉及一种具有斜槽结构的表贴式永磁电机磁场解析计算方法。

背景技术

永磁电机具有高效率、高功率密度的优点，使其在航空航天、国防军事、工业生产、汽车交通、家用电器等方面得到了广泛应用。但在高性能的驱动系统中，转矩波动常常成为重点考虑的问题之一。斜槽不仅能消除永磁电机齿槽转矩，而且在削弱反电势谐波和电磁转矩谐波方面也有一定作用，在实际电机生产中具有广泛的应用。

磁场计算是电机参数计算、性能分析和优化设计的基础和前提。永磁电机磁场计算的方法通常由磁路法、有限元法和磁场解析法。磁路法计算具有简单快速的优点，但计算精度较低。有限元法计算精度较高，但耗用计算机内存，计算时间长。磁场解析法具有占用计算机资源少，运算速度快的优势。磁场解析法能够快速精确的计算电机磁场分布，但由于斜槽会引起电机气隙磁场径向分量和切向分量沿轴向不均匀分布，磁场解析计算过程较为复杂，尚未被应用于定子斜槽表贴式永磁电机的磁场分析中。

发明内容

本发明提供了一种具有斜槽结构的表贴式永磁电机磁场解析计算方法，本发明建立了定子斜槽表贴式永磁电机磁场解析模型，快速精确地进行定子斜槽表贴式永磁电机磁场计算和性能分析，详见下文描述：

一种具有斜槽结构的表贴式永磁电机磁场解析计算方法，所述方法包括以下步骤：

在三维空间内将电机沿轴向分割成N_z段磁场求解域；

将每段磁场求解域分成四个子域，分别建立各段各子域的磁矢位偏微分方程；

采用分离变量法求出各段求解域中各子域的磁矢位偏微分方程的通解；

建立各段求解域中各子域间的边界条件，确定傅里叶系数值，求出各子域磁矢位偏微分方程的定解表达式，即各子域磁矢位函数；

由各子域磁矢位函数计算气隙磁密表达式，并进一步计算电机的磁链、齿槽转矩、反电势和电磁转矩。

所述四个子域分别为：

1j—永磁体子域，2j—气隙子域，3ij—第i个定子槽口子域，4ij—第i个定子槽子域。

所述建立各段各子域的磁矢位偏微分方程具体为：

永磁体子域磁矢位A_z1j满足约束方程：

$\frac{{\∂}^2{A}_{z1j}}{{\∂r}^2}+\frac{1}{r}\frac{\∂A_{z1j}}{\∂r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\∂}^2{A}_{z1j}}{{\∂\mathrm{\α}}^2}=-\frac{{\mathrm{\μ}}_0}{r}(M_{\mathrm{\α}}-\frac{{\∂M}_r}{\∂\mathrm{\α}})$

式中，r、α分别表示柱坐标下的径向位置、切向位置；μ₀为空气磁导率；M_r、M_α分别表示永磁体剩余磁化强度的径向分量和切向分量；

气隙子域、定子槽口子域和定子槽子域的磁矢位A_zχ分别满足约束方程：

$\frac{{\∂}^2{A}_{\mathrm{z\χ}}}{{\∂r}^2}+\frac{1}{r}\frac{\∂A_{\mathrm{z\χ}}}{\∂r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\∂}^2{A}_{\mathrm{z\χ}}}{{\∂\mathrm{\α}}^2}=0$

式中，χ可取2j，3ij，4ij，分别对应于第j段电机的气隙子域、第i个定子槽口子域和第i个定子槽子域。

所述采用分离变量法求出各段求解域中各子域的磁矢位偏微分方程的通解具体为：

$\begin{array}{c}{A}_{z1j}=\underset{k}{\mathrm{\Σ}}[A_{1\mathrm{jk}}{\left(\frac{r}{R_m}\right)}^k+B_{1\mathrm{jk}}{\left(\frac{r}{R_r}\right)}^{-k}]\cos \left(\mathrm{k\α}\right)+\underset{k}{\mathrm{\Σ}}[C_{1\mathrm{jk}}{\left(\frac{r}{R_m}\right)}^k+D_{1\mathrm{jk}}{\left(\frac{r}{R_r}\right)}^{-k}]\sin \left(\mathrm{k\α}\right)\\ +{\mathrm{\μ}}_{0}r\underset{k}{\mathrm{\Σ}}\frac{1}{k^2-1}[(M_{\mathrm{\αck}}-k{M}_{\mathrm{rsk}})\cos \left(\mathrm{k\α}\right)+(M_{\mathrm{\αsk}}+k{M}_{\mathrm{rck}})\sin \left(\mathrm{k\α}\right)]\end{array}$

$A_{z2j}=\underset{k}{\mathrm{\Σ}}[A_{2\mathrm{jk}}{\left(\frac{r}{R_m}\right)}^k+B_{2\mathrm{jk}}{\left(\frac{r}{R_r}\right)}^{-k}]\cos \left(\mathrm{k\α}\right)+\underset{k}{\mathrm{\Σ}}[C_{2\mathrm{jk}}{\left(\frac{r}{R_m}\right)}^k+D_{2\mathrm{jk}}{\left(\frac{r}{R_r}\right)}^{-k}]\sin \left(\mathrm{k\α}\right)$

$A_{z3\mathrm{ij}}=\underset{n}{\mathrm{\Σ}}[C_{3\mathrm{ijn}}{\left(\frac{r}{R_t}\right)}^{E_n}+D_{3\mathrm{ijn}}{\left(\frac{r}{R_s}\right)}^{-E_n}]\×\cos \left[E_n(\mathrm{\α}+\frac{b_{\mathrm{oa}}}{2}-{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}})\right]$

$A_{z4\mathrm{ij}}=\underset{m}{\mathrm{\Σ}}{D}_{4\mathrm{ijm}}[G_{4m}{\left(\frac{r}{R_{\mathrm{sb}}}\right)}^{F_m}+{\left(\frac{r}{R_t}\right)}^{-F_m}]\×\cos \left[F_m(\mathrm{\α}+\frac{b_{\mathrm{sa}}}{2}-{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}})\right]$

以上式中，k＝1,2,3…表示永磁体子域与气隙子域中磁场分布的谐波次数；M_αck、M_αsk分别表示M_α傅里叶分解后的余弦系数和正弦系数；M_rck、M_rsk分别表示M_r傅里叶分解后的余弦系数和正弦系数；E_n＝nπ/b_oa，n＝1,2,3…，F_m＝mπ/b_sa，m＝1,2,3…，分别表示定子槽口子域和定子槽子域中磁场分布的谐波次数；G_4m＝(R_t/R_sb)^Fm；R_r、R_m、R_s、R_t、R_sb分别表示转子外半径、永磁体外半径、定子内半径、槽顶弧半径和槽底弧半径；b_oa、b_sa分别为槽口宽和槽宽；α_ij为第j段磁场求解域第i个槽和槽口的中心位置角；A_1jk、B_1jk、C_1jk、D_1jk、A_2jk、B_2jk、C_2jk、D_2jk、C_3ijn、D_3ijn、D_4ijm为对应的傅里叶系数。

本发明提供的技术方案的有益效果是：本发明采用磁场解析计算的方法，将定子斜槽的永磁电机磁场求解区域沿轴向分割成近似均匀分布的轴向求解域段，每段求解域分为四个子域，分别建立磁矢位偏微分方程，并利用边界条件求解各段各子域磁矢位偏微分方程的定解，即各子域磁矢位函数，进而获得气隙磁密分布的表达式，并进一步计算电机的齿槽转矩、磁链、反电势、电磁转矩等性能参数。本方法计算结果准确，可用于计算由斜槽引起的气隙磁场轴向分布不均匀的表贴式永磁电机三维磁场分布，为电机研究人员计算、分析具有斜槽结构的表贴式永磁电机磁场分布提供了一种有效的解析计算方法。该方法还可进一步用于分析斜槽角度等参数对电机其他电磁性能的影响，为永磁电机三维磁场计算、优化设计和电机性能分析提供了一种有效的研究手段。

附图说明

图1为一种具有斜槽结构的表贴式永磁电机磁场解析计算方法的流程图；

图2为具有斜槽结构的表贴式永磁电机定子结构图；

图3为具有斜槽结构的表贴式永磁电机横截面图；

图4为采用本方法计算所得的空载气隙磁密分布图。

图4(a)为空载气隙磁密径向分量分布图，图4(b)为空载气隙磁密切向分量分布图。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面对本发明实施方式作进一步地详细描述。

实施例1

101：在三维空间内将电机沿轴向分割成N_z段磁场求解域，并计算每段电机的轴向长度、以及槽身和槽口的中心位置角；

该步骤具体为：对实际电机结构和参数进行简化：忽略铁心饱和，假设磁导率无穷大；假设永磁材料退磁曲线为线性；忽略铁磁材料电导率和涡流效应；定子槽和槽口简化为扇形结构；忽略电机端部效应。在三维空间内将电机沿轴向分割成N_z段磁场求解域，并计算每段电机的轴向长度、以及槽和槽口的中心位置角。

第j段磁场求解域的轴向长度L_zj为

L_zj＝L_z/N_z (1)

式中，L_z为电机轴向长度。

第j段磁场求解域第i个槽和槽口的中心位置角α_ij均为

${\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}}=\frac{2i-1}{Q}\mathrm{\π}+{\mathrm{\θ}}_j---\left(2\right)$

式中，Q为电机定子槽数，θ_j为斜槽引起的第j段求解域的定子初始位置角相对于轴中心处定子初始位置偏移角度，其表达式为

${\mathrm{\θ}}_j=\frac{(2j-N_z-1){\mathrm{\θ}}_{\mathrm{sk}}}{2N_z}---\left(3\right)$

式中，θ_sk为定子斜槽角度。

102：将每段磁场求解域分成四个子域，分别建立各段各子域的磁矢位偏微分方程；

其中，当每段磁场求解域的轴向长度足够短时，其磁场分布可以近似视为沿轴向均匀分布，其磁矢位只有轴向分量。第j段电机的磁场求解区域可分为四个子域，分别为：1j—永磁体子域，2j—气隙子域，3ij—第i个定子槽口子域，4ij—第i个定子槽子域。列写各子域中磁矢位偏微分方程，其中永磁体子域磁矢位A_z1j满足约束方程：

$\frac{{\∂}^2{A}_{z1j}}{{\∂r}^2}+\frac{1}{r}\frac{\∂A_{z1j}}{\∂r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\∂}^2{A}_{z1j}}{{\∂\mathrm{\α}}^2}=-\frac{{\mathrm{\μ}}_0}{r}(M_{\mathrm{\α}}-\frac{{\∂M}_r}{\∂\mathrm{\α}})---\left(4\right)$

式中，r、α分别表示柱坐标下的径向位置、切向位置；μ₀为空气磁导率；M_r、M_α分别表示永磁体剩余磁化强度的径向分量和切向分量。

气隙子域、定子槽口子域和定子槽子域的磁矢位A_zχ分别满足约束方程：

$\frac{{\∂}^2{A}_{\mathrm{z\χ}}}{{\∂r}^2}+\frac{1}{r}\frac{\∂A_{\mathrm{z\χ}}}{\∂r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\∂}^2{A}_{\mathrm{z\χ}}}{{\∂\mathrm{\α}}^2}=0---\left(5\right)$

式中，χ可取2j，3ij，4ij，分别对应于第j段电机的气隙子域、第i个定子槽口子域和第i个定子槽子域。

103：采用分离变量法求出各段求解域中各子域的磁矢位偏微分方程的通解；

第j段电机永磁体子域、气隙子域、定子槽口子域、定子槽子域的磁矢位偏微分方程的通解分别为

$\begin{array}{c}{A}_{z1j}=\underset{k}{\mathrm{\Σ}}[A_{1\mathrm{jk}}{\left(\frac{r}{R_m}\right)}^k+B_{1\mathrm{jk}}{\left(\frac{r}{R_r}\right)}^{-k}]\cos \left(\mathrm{k\α}\right)+\underset{k}{\mathrm{\Σ}}[C_{1\mathrm{jk}}{\left(\frac{r}{R_m}\right)}^k+D_{1\mathrm{jk}}{\left(\frac{r}{R_r}\right)}^{-k}]\sin \left(\mathrm{k\α}\right)\\ +{\mathrm{\μ}}_{0}r\underset{k}{\mathrm{\Σ}}\frac{1}{k^2-1}[(M_{\mathrm{\αck}}-k{M}_{\mathrm{rsk}})\cos \left(\mathrm{k\α}\right)+(M_{\mathrm{\αsk}}+k{M}_{\mathrm{rck}})\sin \left(\mathrm{k\α}\right)]\end{array}---\left(6\right)$

$A_{z2j}=\underset{k}{\mathrm{\Σ}}[A_{2\mathrm{jk}}{\left(\frac{r}{R_m}\right)}^k+B_{2\mathrm{jk}}{\left(\frac{r}{R_r}\right)}^{-k}]\cos \left(\mathrm{k\α}\right)+\underset{k}{\mathrm{\Σ}}[C_{2\mathrm{jk}}{\left(\frac{r}{R_m}\right)}^k+D_{2\mathrm{jk}}{\left(\frac{r}{R_r}\right)}^{-k}]\sin \left(\mathrm{k\α}\right)$

$A_{z3\mathrm{ij}}=\underset{n}{\mathrm{\Σ}}[C_{3\mathrm{ijn}}{\left(\frac{r}{R_t}\right)}^{E_n}+D_{3\mathrm{ijn}}{\left(\frac{r}{R_s}\right)}^{-E_n}]\×\cos \left[E_n(\mathrm{\α}+\frac{b_{\mathrm{oa}}}{2}-{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}})\right]---\left(8\right)$

$A_{z4\mathrm{ij}}=\underset{m}{\mathrm{\Σ}}{D}_{4\mathrm{ijm}}[G_{4m}{\left(\frac{r}{R_{\mathrm{sb}}}\right)}^{F_m}+{\left(\frac{r}{R_t}\right)}^{-F_m}]\×\cos \left[F_m(\mathrm{\α}+\frac{b_{\mathrm{sa}}}{2}-{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}})\right]---\left(9\right)$

以上式中，k＝1,2,3…表示永磁体子域与气隙子域中磁场分布的谐波次数；M_αck、M_αsk分别表示M_α傅里叶分解后的余弦系数和正弦系数；M_rck、M_rsk分别表示M_r傅里叶分解后的余弦系数和正弦系数；E_n＝nπ/b_oa(n＝1,2,3…)、F_m＝mπ/b_sa(m＝1,2,3…)分别表示定子槽口子域和定子槽子域中磁场分布的谐波次数；G_4m＝(R_t/R_sb)^Fm；R_r、R_m、R_s、R_t、R_sb分别表示转子外半径、永磁体外半径、定子内半径、槽顶弧半径和槽底弧半径；b_oa、b_sa分别为槽口宽和槽宽；A_1jk、B_1jk、C_1jk、D_1jk、A_2jk、B_2jk、C_2jk、D_2jk、C_3ijn、D_3ijn、D_4ijm为对应的傅里叶系数。

104：建立各段求解域中各子域间的边界条件，确定第三步中对应的傅里叶系数A_1jk、B_1jk、C_1jk、D_1jk、A_2jk、B_2jk、C_2jk、D_2jk、C_3ijn、D_3ijn、D_4ijm的值，求出各子域磁矢位偏微分方程的定解表达式，即各子域磁矢位函数；

105：由各子域磁矢位函数计算气隙磁密表达式，并进一步计算电机的磁链、齿槽转矩、反电势和电磁转矩。

实施例2

本发明适用于定子斜槽表贴式永磁电机的磁场计算与性能分析，以及定子斜槽角度的优化设计过程。下面以具体实例说明本发明的技术方案和操作过程。

为方便建立本发明中的磁场解析模型，忽略电机端部效应和饱和效应，假设磁导率无穷大，假设永磁材料退磁曲线为线性，忽略铁磁材料电导率和涡流效应，将定子槽和槽口简化为扇形结构。定子斜槽表贴式永磁电机的定子结构如图1所示。本实施例中，将电机沿轴向共分割成N_z＝50段磁场求解域，每段求解域的磁场分布可近似为沿轴向均匀分布，其横截面如图2所示。定子斜槽表贴式永磁电机基本参数如表1所示。

表1表贴式永磁电机基本参数

1)根据图1，在三维空间内将定子斜槽角度为θ_sk轴向长度为L_z的定子斜槽表贴式永磁电机沿轴向分割成N_z段磁场求解域，每段求解域的轴向长度为L_zj＝L_z/N_z。

通过公式(1)和(2)获取斜槽引起的第j段求解域的初始位置角相对于轴中心初始位置偏移角度θ_j，第j段磁场求解域第i个槽和槽口的中心位置角α_ij。

2)第j段电机的磁场分布可以近似视为沿轴向均匀分布，其磁矢位A只有轴向分量A_z。将第j段电机的磁场求解区域分为四个子域，并获取永磁体子域磁矢位偏微分方程，参见公式(4)。该步骤的详细操作见实施例1，本实施例对比不做赘述。

对M_r、M_α进行傅里叶分解后的表达式为

$\left\{\begin{array}{c}{M}_r=\underset{k}{\mathrm{\Σ}}{M}_{\mathrm{rck}}\cos \left(\mathrm{k\α}\right)+M_{\mathrm{rsk}}\sin \left(\mathrm{k\α}\right)\\ M_{\mathrm{\α}}=\underset{k}{\mathrm{\Σ}}{M}_{\mathrm{\αck}}\cos \left(\mathrm{k\α}\right)+M_{\mathrm{\αsk}}\sin \left(\mathrm{k\α}\right)\end{array}\right.---\left(10\right)$

式中，k为永磁体和气隙中磁场分布的谐波次数，可取1，2，3…；M_αck、M_αsk、M_rck、M_rsk是与永磁体剩余磁化强度有关的量。其中，M_αck、M_αsk分别表示永磁体剩余磁化强度切向分量M_α傅里叶分解后的余弦系数和正弦系数；M_rck、M_rsk分别表示永磁体剩余磁化强度径向分量M_r傅里叶分解后的余弦系数和正弦系数。对于径向充磁永磁体，其表达式分别为：

式中，p为电机极对数，B_r为永磁体剩余磁密，α_p为极弧系数，ω_r为电机转子旋转机械角速度，t为转子旋转的时间。

气隙子域、定子槽口子域和定子槽子域磁矢位偏微分方程参见公式(5)。

3)采用分离变量法，可求得第j段电机永磁体子域、气隙子域、定子槽口子域、定子槽子域的磁矢位偏微分方程的通解，参见实施例1，本实施例对此不做赘述。

4)由3)中的磁矢位偏微分方程的通解可计算出各段求解域中的磁密分布和磁场强度。

各段求解域中永磁体子域、气隙子域、定子槽口子域、定子槽子域磁密分布的径向分量分别为B_r1j、B_r2j、B_r3ij、B_r4ij，其切向分量分别为B_α1j、B_α2j、B_α3ij、B_α4ij可由磁矢位求得

$\left\{\begin{array}{c}{B}_{r1j}=\frac{1}{r}\frac{\∂A_{z1j}}{\∂\mathrm{\α}}\\ B_{r2j}=\frac{1}{r}\frac{\∂A_{z2j}}{\∂\mathrm{\α}}\\ B_{r3\mathrm{ij}}=\frac{1}{r}\frac{\∂A_{z3\mathrm{ij}}}{\∂\mathrm{\α}}\\ B_{r4\mathrm{ij}}=\frac{1}{r}\frac{\∂A_{z4\mathrm{ij}}}{\∂\mathrm{\α}}\end{array}\right.---\left(12\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{B}_{\mathrm{\α}1j}=-\frac{\∂A_{z1j}}{\∂r}\\ B_{\mathrm{\α}2j}=-\frac{{\∂A}_{z2j}}{\∂r}\\ B_{\mathrm{\α}3\mathrm{ij}}=-\frac{\∂A_{z3\mathrm{ij}}}{\∂r}\\ B_{\mathrm{\α}4\mathrm{ij}}=-\frac{\∂A_{z4\mathrm{ij}}}{\∂r}\end{array}\right.---\left(13\right)$

在永磁体子域中，磁场强度的径向分量H_r1j和径向分量H_α1j可由下式求得

$\left\{\begin{array}{c}{H}_{r1j}=\frac{B_{r1j}}{{\mathrm{\μ}}_0{\mathrm{\μ}}_r}-\frac{M_r}{{\mathrm{\μ}}_r}\\ H_{\mathrm{\α}1j}=\frac{B_{\mathrm{\α}1j}}{{\mathrm{\μ}}_0{\mathrm{\μ}}_r}-\frac{M_{\mathrm{\α}}}{{\mathrm{\μ}}_r}\end{array}\right.---\left(14\right)$

其中，μ_r为永磁体相对磁导率。

在气隙子域、定子槽口子域和定子槽子域中，磁场强度的径向分量H_rχ和切向分量H_αχ可由下式求得

$\left\{\begin{array}{c}{H}_{\mathrm{r\χ}}=\frac{B_{\mathrm{r\χ}}}{{\mathrm{\μ}}_0}\\ H_{\mathrm{\α\χ}}=\frac{B_{\mathrm{\α\χ}}}{{\mathrm{\μ}}_0}\end{array}\right.---\left(15\right)$

式中，χ可取2j、3ij、4ij，分别对应第j段电机的气隙子域、第i个定子槽口子域和第i个定子槽子域。

4)第3)步中的傅里叶系数A_1jk、B_1jk、C_1jk、D_1jk、A_2jk、B_2jk、C_2jk、D_2jk、C_3ijn、D_3ijn、D_4ijm可由各子域间分界面边界条件求得。

①应用转子铁心与永磁体交界面边界条件，永磁体子域切向磁场强度H_α1j满足

$H_{\mathrm{\α}1j}{|}_{r=R_m}=\frac{B_{\mathrm{\α}1j}{|}_{r=R_m}}{{\mathrm{\μ}}_0{\mathrm{\μ}}_r}-\frac{M_{\mathrm{\α}}{|}_{r=R_m}}{{\mathrm{\μ}}_r}=0---\left(16\right)$

结合式(6)、式(13)和(16)可得

当k≠1时，

$B_{1\mathrm{jk}}=A_{1\mathrm{jk}}{G}_{1k}+\frac{{\mathrm{\μ}}_0{R}_r}{k^2-1}({\mathrm{kM}}_{\mathrm{\αck}}-M_{\mathrm{rsk}})---\left(17\right)$

$D_{1\mathrm{jk}}=C_{1\mathrm{jk}}{G}_{1k}+\frac{{\mathrm{\μ}}_0{R}_r}{k^2-1}({\mathrm{kM}}_{\mathrm{\αsk}}+M_{\mathrm{rck}})---\left(18\right)$

当k＝1时，

$B_{1j1}=A_{1j1}{G}_{11}+\frac{{\mathrm{\μ}}_0{R}_r(1+\ln R_r)}{2}{M}_{\mathrm{rsk}}+\frac{{\mathrm{\μ}}_0{R}_r(1-\ln R_r)}{2}{M}_{\mathrm{\αck}}---\left(19\right)$

$D_{1j1}=C_{1j1}{G}_{11}-\frac{{\mathrm{\μ}}_0{R}_r(1+\ln R_r)}{2}{M}_{\mathrm{rck}}+\frac{{\mathrm{\μ}}_0{R}_r(1-\ln R_r)}{2}{M}_{\mathrm{\αsk}}---\left(20\right)$

其中，G_1k＝(R_r/R_m)^k。

②应用永磁体与气隙交界面边界条件

永磁体与气隙边界处磁矢位具有连续性，即

$A_{z1j}{|}_{r=R_m}=A_{z2j}{|}_{r=R_m}---\left(21\right)$

结合式(6)、式(7)、式(17)、式(18)和(21)可得

$A_{1\mathrm{jk}}(1+{G_{1k}}^2)+\frac{{\mathrm{\μ}}_0}{k^2-1}[(R_{r}k{G}_{1k}+R_m)M_{\mathrm{\αck}}-(R_r{G}_{1k}+k{R}_m)M_{\mathrm{rsk}}]=A_{2\mathrm{jk}}{G}_{2k}+B_{2\mathrm{jk}}---\left(22\right)$

$C_{1\mathrm{jk}}(1+{G_{1k}}^2)+\frac{{\mathrm{\μ}}_0}{k^2-1}[(R_{r}k{G}_{1k}+R_m)M_{\mathrm{\αck}}+(R_r{G}_{1k}+k{R}_m)M_{\mathrm{rsk}}]=C_{2\mathrm{jk}}{G}_{2k}+D_{2\mathrm{jk}}---\left(23\right)$

其中，G_2k＝(R_m/R_s)^k。

永磁体与气隙边界处切向磁场强度连续，即

$H_{\mathrm{\α}1j}{|}_{r=R_m}=H_{\mathrm{\α}2j}{|}_{r=R_m}---\left(24\right)$

结合式(6)、式(7)、式(12)、式(13)、式(14)、式(15)、式(17)、式(18)和(24)可得

$A_{1\mathrm{jk}}(1-{G_{1k}}^2)+\frac{{\mathrm{\μ}}_0}{k^2-1}[k(R_m-R_r{G}_{1k})M_{\mathrm{\αck}}-(R_m-R_r{G}_{1k})M_{\mathrm{rsk}}]={\mathrm{\μ}}_r(A_{2\mathrm{jk}}{G}_{2k}-B_{2\mathrm{jk}})---\left(25\right)$

$C_{1\mathrm{jk}}(1-{G_{1k}}^2)+\frac{{\mathrm{\μ}}_0}{k^2-1}[k(R_m-R_r{G}_{1k})M_{\mathrm{\αsk}}+(R_m-R_r{G}_{1k})M_{\mathrm{rck}}]={\mathrm{\μ}}_r(C_{2\mathrm{jk}}{G}_{2k}-D_{2\mathrm{jk}})---\left(26\right)$

③应用气隙与槽口边界条件

气隙与槽口边界处磁矢位具有连续性，即

$A_{z2j}{|}_{r=R_s}=A_{z3\mathrm{ij}}{|}_{r=R_s}---\left(27\right)$

由式(7)可得

$A_{z2j}{|}_{r=R_s}=\underset{k}{\mathrm{\Σ}}(A_{2\mathrm{jk}}+B_{2\mathrm{jk}}{G}_{2k})\cos \left(\mathrm{k\α}\right)+\underset{k}{\mathrm{\Σ}}(C_{2\mathrm{jk}}+D_{2\mathrm{jk}}{G}_{2k})\sin \left(\mathrm{k\α}\right)---\left(28\right)$

将式(28)在槽口处展开为区间上的余弦傅里叶级数

$\begin{array}{c}{A}_{z2j}{|}_{r=R_s}=\underset{n}{\mathrm{\Σ}}[\underset{k}{\mathrm{\Σ}}(A_{2\mathrm{jk}}+B_{2\mathrm{jk}}{G}_{2k}){\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ij}}(n,k)+\underset{k}{\mathrm{\Σ}}(C_{2\mathrm{jk}}+D_{2\mathrm{jk}}{G}_{2k}){\mathrm{\τ}}_{\mathrm{ij}}(n,k)]\\ \×\cos \left[E_n(\mathrm{\α}+\frac{b_{\mathrm{oa}}}{2}-{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}})\right]\end{array}---\left(29\right)$

其中，

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ij}}(n,k)=-\frac{2}{b_{\mathrm{oa}}}\frac{k}{{E_n}^2-k^2}[\cos \left(\mathrm{n\π}\right)\×\sin (k{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}}+k\frac{b_{\mathrm{oa}}}{2})-\sin (k{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}}-k\frac{b_{\mathrm{oa}}}{2})]---\left(30\right)$

${\mathrm{\τ}}_{\mathrm{ij}}(n,k)=\frac{2}{b_{\mathrm{oa}}}\frac{k}{{E_n}^2-k^2}[\cos \left(\mathrm{n\π}\right)\×\cos (k{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}}+k\frac{b_{\mathrm{oa}}}{2})-\cos (k{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}}-k\frac{b_{\mathrm{oa}}}{2})]---\left(31\right)$

由式(8)可得

$A_{z3\mathrm{ij}}{|}_{r=R_s}=\underset{n}{\mathrm{\Σ}}(C_{3\mathrm{ijn}}{G}_{3n}+D_{3\mathrm{ijn}})\×\cos \left[E_n(\mathrm{\α}+\frac{b_{\mathrm{oa}}}{2}-{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}})\right]---\left(32\right)$

其中，G_3n＝(R_s/R_t)^En。

由式(27)、式(29)和式(32)可得

$\underset{k}{\mathrm{\Σ}}(A_{2\mathrm{jk}}+B_{2\mathrm{jk}}{G}_{2k}){\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ij}}(n,k)+\underset{k}{\mathrm{\Σ}}(C_{2\mathrm{jk}}+D_{2\mathrm{jk}}{G}_{2k}){\mathrm{\τ}}_{\mathrm{ij}}(n,k)=C_{3\mathrm{ijn}}{G}_{3n}+D_{3\mathrm{ijn}}---\left(33\right)$

气隙与槽口边界处切向磁场强度具有连续性，即

$H_{\mathrm{\α}2j}{|}_{r=R_s}=H_{\mathrm{\α}3\mathrm{ij}}{|}_{r=R_s}---\left(34\right)$

结合式(15)，上式可转化为

$B_{\mathrm{\α}2j}{|}_{r=R_s}=B_{\mathrm{\α}3\mathrm{ij}}{|}_{r=R_s}---\left(35\right)$

由式(7)和式(13)可得

$B_{\mathrm{\α}2j}{|}_{r=R_s}=-\frac{1}{R_s}\underset{k}{\mathrm{\Σ}}k(A_{2\mathrm{jk}}-B_{2\mathrm{jk}}{G}_{2k})\cos \left(\mathrm{k\α}\right)-\frac{1}{R_s}\underset{k}{\mathrm{\Σ}}k(C_{2\mathrm{jk}}-D_{2\mathrm{jk}}{G}_{2k})\sin \left(\mathrm{k\α}\right)---\left(36\right)$

由式(8)和式(13)可得

$B_{\mathrm{\α}3\mathrm{ij}}{|}_{r=R_s}=-\frac{1}{R_s}\underset{n}{\mathrm{\Σ}}{E}_n(C_{3\mathrm{ijn}}{G}_{3n}-D_{3\mathrm{ijn}})\×\cos \left[E_n(\mathrm{\α}+\frac{b_{\mathrm{oa}}}{2}-{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}})\right]---\left(37\right)$

将式(37)展开为区间[-π，π]上的傅里叶级数

$\begin{array}{c}\underset{i}{\mathrm{\Σ}}{B}_{\mathrm{\α}3\mathrm{ij}}{|}_{r=R_s}=-\frac{1}{R_s}\underset{k}{\mathrm{\Σ}}\underset{i}{\mathrm{\Σ}}\underset{n}{\mathrm{\Σ}}{E}_n(C_{3\mathrm{ijn}}{G}_{3n}-D_{3\mathrm{ijn}}){\mathrm{\η}}_{\mathrm{ij}}(n,k)\cos \left(\mathrm{k\α}\right)\\ -\frac{1}{R_s}\underset{k}{\mathrm{\Σ}}\underset{i}{\mathrm{\Σ}}\underset{n}{\mathrm{\Σ}}{E}_n(C_{3\mathrm{ijn}}{G}_{3n}-D_{3\mathrm{ijn}}){\mathrm{\ξ}}_{\mathrm{ij}}(n,k)\sin \left(\mathrm{k\α}\right)\end{array}---\left(38\right)$

其中，

${\mathrm{\η}}_{\mathrm{ij}}(n,k)=\frac{b_{\mathrm{oa}}}{2\mathrm{\π}}{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ij}}(n,k)---\left(39\right)$

${\mathrm{\ξ}}_{\mathrm{ij}}(n,k)=\frac{b_{\mathrm{oa}}}{2\mathrm{\π}}{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{ij}}(n,k)---\left(40\right)$

由式(35)、式(36)和式(38)可得

$k{A}_{2\mathrm{jk}}-{\mathrm{kB}}_{2\mathrm{jk}}{G}_{2k}=\underset{i}{\mathrm{\Σ}}\underset{n}{\mathrm{\Σ}}{E}_n(C_{3\mathrm{ijn}}{G}_{3n}-D_{3\mathrm{ijn}}){\mathrm{\η}}_{\mathrm{ij}}(n,k)---\left(41\right)$

$k{C}_{2\mathrm{jk}}-{\mathrm{kD}}_{2\mathrm{jk}}{G}_{2k}=\underset{i}{\mathrm{\Σ}}\underset{n}{\mathrm{\Σ}}{E}_n(C_{3\mathrm{ijn}}{G}_{3n}-D_{3\mathrm{ijn}}){\mathrm{\ξ}}_{\mathrm{ij}}(n,k)---\left(42\right)$

④应用槽口与槽边界条件

槽口与槽边界处磁矢位具有连续性，即

$A_{z3\mathrm{ij}}{|}_{r=R_t}=A_{z4\mathrm{ij}}{|}_{r=R_t}---\left(43\right)$

由式(8)可得

$A_{z3\mathrm{ij}}{|}_{r=R_t}=\underset{n}{\mathrm{\Σ}}\left(C_{3\mathrm{ijn}}{+D}_{3\mathrm{ijn}}{G}_{3n}\right)\×\cos \left[E_n(\mathrm{\α}+\frac{b_{\mathrm{oa}}}{2}-{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}})\right]---\left(44\right)$

由式(9)可得

$A_{z4\mathrm{ij}}{|}_{r=R_t}=\underset{m}{\mathrm{\Σ}}{D}_{4\mathrm{ijm}}(G_{4m}^2+1)\×\cos \left[F_m(\mathrm{\α}+\frac{b_{\mathrm{sa}}}{2}-{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}})\right]---\left(45\right)$

将式(9)在槽口处展开为区间上的余弦傅里叶级数

$A_{z4\mathrm{ij}}{|}_{r=R_t}=\underset{n}{\mathrm{\Σ}}\underset{m}{\mathrm{\Σ}}{D}_{4\mathrm{ijm}}(G_{4m}^2+1){\mathrm{\ζ}}_{\mathrm{ij}}(m,n)\×\cos \left[E_n(\mathrm{\α}+\frac{b_{\mathrm{oa}}}{2}-{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}})\right]---\left(46\right)$

其中，

${\mathrm{\ζ}}_{\mathrm{ij}}(m,n)=-\frac{2}{b_{\mathrm{oa}}}\frac{F_m}{{E_n}^2-{F_m}^2}[\cos \left(\mathrm{n\π}\right)\×\sin \left(F_m\frac{b_{\mathrm{sa}}+b_{\mathrm{oa}}}{2}\right)-\sin \left(F_m\frac{b_{\mathrm{sa}}-b_{\mathrm{oa}}}{2}\right)]---\left(47\right)$

由式(43)、(44)、(46)可得

$C_{3\mathrm{ijn}}+D_{3\mathrm{ijn}}{G}_{3n}=\underset{m}{\mathrm{\Σ}}{D}_{4\mathrm{ijm}}(G_{4m}^2+1){\mathrm{\ζ}}_{\mathrm{ij}}(m,n)---\left(48\right)$

槽口与槽边界处切向磁场强度具有连续性，即

$H_{\mathrm{\α}3\mathrm{ij}}{|}_{r=R_t}=H_{\mathrm{\α}4\mathrm{ij}}{|}_{r=R_t}---\left(49\right)$

结合式(15)，上式可转化为

$B_{\mathrm{\α}3\mathrm{ij}}{|}_{r=R_t}=B_{\mathrm{\α}4\mathrm{ij}}{|}_{r=R_t}---\left(50\right)$

由式(9)和式(13)可得

$B_{\mathrm{\α}3\mathrm{ij}}{|}_{r=R_t}=-\frac{1}{R_t}\underset{n}{\mathrm{\Σ}}{E}_n\left(C_{3\mathrm{ijn}}{-D}_{3\mathrm{ijn}}{G}_{3n}\right)\×\cos \left[E_n(\mathrm{\α}+\frac{b_{\mathrm{oa}}}{2}-{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}})\right]---\left(51\right)$

将上式分解为区间上的余弦傅里叶级数

$B_{\mathrm{\α}3\mathrm{ij}}{|}_{r=R_t}=-\frac{1}{R_t}\underset{m}{\mathrm{\Σ}}\underset{n}{\mathrm{\Σ}}{E}_n(C_{3\mathrm{ijn}}-D_{3\mathrm{ijn}}{G}_{3n}){\mathrm{\γ}}_{\mathrm{ij}}(m,n)\×\cos \left[F_m(\mathrm{\α}+\frac{b_{\mathrm{sa}}}{2}-{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}})\right]---\left(52\right)$

其中，

${\mathrm{\γ}}_{\mathrm{ij}}(m,n)=\frac{b_{\mathrm{oa}}}{b_{\mathrm{sa}}}{\mathrm{\ζ}}_{\mathrm{ij}}(m,n)---\left(53\right)$

由式(9)和式(13)可得

$B_{\mathrm{\α}4\mathrm{ij}}{|}_{r=R_t}=-\frac{1}{R_t}\underset{m}{\mathrm{\Σ}}{F}_m{D}_{4\mathrm{ijm}}({G_{4m}}^2-1)\×\cos \left[F_m(\mathrm{\α}+\frac{b_{\mathrm{sa}}}{2}-{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}})\right]---\left(54\right)$

由式(50)、式(52)和式(54)可得

$\underset{n}{\mathrm{\Σ}}{E}_n(C_{3\mathrm{ijn}}-D_{3\mathrm{ijn}}{G}_{3n}){\mathrm{\γ}}_{\mathrm{ij}}(m,n)=F_m{D}_{4\mathrm{ijm}}({G_{4m}}^2-1)---\left(55\right)$

联立式(22)、式(23)、式(25)、式(26)、式(33)、式(41)、式(42)、式(48)和式(55)，可求得傅里叶系数A_1jk、B_1jk、C_1jk、D_1jk、A_2jk、B_2jk、C_2jk、D_2jk、C_3ijn、D_3jn、D_4imj的值。

5)由式(7)、式(12)和式(13)可求得气隙磁密的径向分量B_r2j和切向分量B_α2j分别为

$B_{r2j}=\underset{k}{\mathrm{\Σ}}{B}_{\mathrm{rsk}2j}\sin \left(\mathrm{k\α}\right)+\underset{k}{\mathrm{\Σ}}{B}_{\mathrm{rck}2j}\cos \left(\mathrm{k\α}\right)---\left(56\right)$

$B_{\mathrm{\α}2j}=\underset{k}{\mathrm{\Σ}}{B}_{\mathrm{\αck}2j}\cos \left(\mathrm{k\α}\right)+\underset{k}{\mathrm{\Σ}}{B}_{\mathrm{\αsk}2j}\sin \left(\mathrm{k\α}\right)---\left(57\right)$

其中，

$B_{\mathrm{rsk}2j}=-k[\frac{A_{2\mathrm{jk}}}{R_s}{\left(\frac{r}{R_s}\right)}^{k-1}+\frac{B_{2\mathrm{jk}}}{R_m}{\left(\frac{r}{R_m}\right)}^{-k-1}]---\left(58\right)$

$B_{\mathrm{rsk}2j}=-k[\frac{A_{2\mathrm{jk}}}{R_s}{\left(\frac{r}{R_s}\right)}^{k-1}+\frac{B_{2\mathrm{jk}}}{R_m}{\left(\frac{r}{R_m}\right)}^{-k-1}]---\left(58\right)$

$B_{\mathrm{\αck}2j}=-k[\frac{A_{2\mathrm{jk}}}{R_s}{\left(\frac{r}{R_s}\right)}^{k-1}-\frac{B_{2\mathrm{jk}}}{R_m}{\left(\frac{r}{R_m}\right)}^{-k-1}]---\left(60\right)$

$B_{\mathrm{\αsk}2j}=-k[\frac{C_{2\mathrm{jk}}}{R_s}{\left(\frac{r}{R_s}\right)}^{k-1}-\frac{D_{2\mathrm{jk}}}{R_m}{\left(\frac{r}{R_m}\right)}^{-k-1}]---\left(61\right)$

采用本发明技术所得的斜半个齿距时气隙磁密在三维柱坐标系中的分布如图4所示。由图中可以看出，同一轴向位置上，气隙磁密在圆周方向上含有电机开槽引起的齿谐波。同时由于定子槽沿轴向有倾斜，气隙磁密沿轴向不均匀分布。

6)由第5)步中所计算的气隙磁密表达式计算电机的空载磁链、空载反电势、齿槽转矩、电磁转矩和输出转矩。

采用麦克斯韦张力张量法可由气隙磁密表达式求得电机齿槽转矩T_cog为

$\begin{array}{c}{T}_{\mathrm{cog}}=\underset{j=1}{\overset{N_z}{\mathrm{\Σ}}}\frac{L_{\mathrm{zj}}{R}_s^2}{{\mathrm{\μ}}_0}{\∫}_0^{2\mathrm{\π}}{B}_{r2j}{B}_{\mathrm{\α}2j}\mathrm{d\α}\\ =\underset{j=1}{\overset{N_z}{\mathrm{\Σ}}}\frac{L_{\mathrm{zj}}{R}_s^2}{{\mathrm{\μ}}_0}\underset{k}{\mathrm{\Σ}}(B_{\mathrm{rck}2j}{B}_{\mathrm{\αck}2j}+B_{\mathrm{rsk}2j}{B}_{\mathrm{\αsk}2j})\end{array}---\left(62\right)$

各相绕组磁链和反电势的表达式分别为

${\mathrm{\ψ}}_{{\mathrm{\κ}}_0}=\underset{j=1}{\overset{N_z}{\mathrm{\Σ}}}\frac{N_c{L}_{\mathrm{zj}}{R}_s}{a_0}{\∫}_{{\mathrm{\κ}}_0}{B}_{r2j}\mathrm{d\α}---\left(63\right)$

$E_{{\mathrm{\κ}}_0}=-\frac{d{\mathrm{\ψ}}_{{\mathrm{\κ}}_0}}{\mathrm{dt}}---\left(64\right)$

式中，N_c为定子每槽导体数；a₀为定子绕组并联支路数；κ₀可取A、B、C，分别表示定子绕组A相、B相、C相；积分符号下标表示其相应的积分区间。

电磁转矩T_em的表达式为

$T_{\mathrm{em}}=\frac{E_A{I}_A+E_B{I}_B+E_C{I}_C}{{\mathrm{\ω}}_r}---\left(65\right)$

式中，I_A、I_B、I_C分别为定子绕组A相、B相、C相电流，ω_r为电机机械角速度。

电机负载时输出转矩T_out的表达式为

T_out＝T_cog+T_em (66)

7)依据6)中性能参数计算模型，可以合理地设计电机斜槽角度，以削弱齿槽转矩，改善反电势波形，减小转矩波动。

本发明所提出的解析模型可以计算具有不同极槽参数和斜槽角度的表贴式永磁电机磁场分布和性能参数，能够用于电机的分析和优化设计过程中。

这里以本发明的实施例为中心，详细介绍了本发明方法的具体计算过程。所描述的计算流程或某些特征的具体体现，应当理解为本说明书仅仅是针对给出实施例的电机结构来描述本发明，实际上对于不同结构的定子斜槽表贴式永磁电机磁场分析时某些细节上会有所变化，这些变化应该属于本发明范围内。

本领域技术人员可以理解附图只是一个优选实施例的示意图，上述本发明实施例序号仅仅为了描述，不代表实施例的优劣。

以上所述仅为本发明的较佳实施例，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种具有斜槽结构的表贴式永磁电机磁场解析计算方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：

在三维空间内将电机沿轴向分割成N_z段磁场求解域；并分别计算每段电机的轴向长度、以及槽身和槽口的中心位置角；

将每段磁场求解域分成四个子域，分别建立各段各子域的磁矢位偏微分方程；采用分离变量法求出各段求解域中各子域的磁矢位偏微分方程的通解；

建立各段求解域中各子域间的边界条件，确定傅里叶系数值，求出各子域磁矢位偏微分方程的定解表达式，即各子域磁矢位函数；

由各子域磁矢位函数计算气隙磁密表达式，并进一步计算电机的磁链、齿槽转矩、反电势和电磁转矩；

其中，同一轴向位置上，气隙磁密在圆周方向上含有电机开槽引起的齿谐波，同时由于定子槽沿轴向有倾斜，气隙磁密沿轴向不均匀分布；

其中，所述采用分离变量法求出各段求解域中各子域的磁矢位偏微分方程的通解具体为：

$\begin{array}{c}{A}_{z1j}=\underset{k}{\mathrm{\Σ}}\[A_{1jk}{\left(\frac{r}{R_m}\right)}^k+B_{1jk}{\left(\frac{r}{R_r}\right)}^{-k}\]\cos \left(k\mathrm{\α}\right)+\underset{k}{\mathrm{\Σ}}\[C_{1jk}{\left(\frac{r}{R_m}\right)}^k+D_{1jk}{\left(\frac{r}{R_r}\right)}^{-k}\]\sin \left(k\mathrm{\α}\right)\\ +{\mathrm{\μ}}_{0}r\underset{k}{\mathrm{\Σ}}\frac{1}{k^2-1}\[(M_{\mathrm{\α}ck}-{\mathrm{kM}}_{rsk})\cos \left(k\mathrm{\α}\right)+\left(M_{\mathrm{\α}ck}+{\mathrm{kM}}_{rck}\right)\sin \left(k\mathrm{\α}\right)\]\end{array}$

$A_{z2j}=\underset{k}{\mathrm{\Σ}}\[A_{2jk}{\left(\frac{r}{R_m}\right)}^k+B_{2jk}{\left(\frac{r}{R_r}\right)}^{-k}\]\cos \left(k\mathrm{\α}\right)+\underset{k}{\mathrm{\Σ}}\[C_{2jk}{\left(\frac{r}{R_m}\right)}^k+D_{2jk}{\left(\frac{r}{R_r}\right)}^{-k}\]\sin \left(k\mathrm{\α}\right)$

$A_{z3ij}=\underset{n}{\mathrm{\Σ}}\[C_{3ijn}{\left(\frac{r}{R_t}\right)}^{E_n}+D_{3ijn}{\left(\frac{r}{R_s}\right)}^{-E_n}\]\×\cos \[E_n(\mathrm{\α}+\frac{b_{oa}}{2}-{\mathrm{\α}}_{ij})\]$

$L_{zAij}=\underset{m}{\Σ}{D}_{4ijm}\[G_{4m}{\left(\frac{r}{R_{sb}}\right)}^{F_m}+{\left(\frac{r}{R_t}\right)}^{-F_m}\]\×cos\[F_m(\mathrm{\α}+\frac{b_{sa}}{2}-{\mathrm{\α}}_{ij})\]$

以上式中，k＝1,2,3…表示永磁体子域与气隙子域中磁场分布的谐波次数；M_αck、M_αsk分别表示M_α傅里叶分解后的余弦系数和正弦系数；M_rck、M_rsk分别表示M_r傅里叶分解后的余弦系数和正弦系数；E_n＝nπ/b_oa，n＝1,2,3…，F_m＝mπ/b_sa，m＝1,2,3…，分别表示定子槽口子域和定子槽子域中磁场分布的谐波次数；G_4m＝(R_t/R_sb)^Fm；R_r、R_m、R_s、R_t、R_sb分别表示转子外半径、永磁体外半径、定子内半径、槽顶弧半径和槽底弧半径；b_oa、b_sa分别为槽口宽和槽宽；α_ij为第j段磁场求解域第i个槽和槽口的中心位置角；A_1jk、B_1jk、C_1jk、D_1jk、A_2jk、B_2jk、C_2jk、D_2jk、C_3ijn、D_3ijn、D_4ijm为对应的傅里叶系数；

其中，第j段磁场求解域第i个槽和槽口的中心位置角α_ij均为

${\mathrm{\α}}_{ij}=\frac{2i-1}{Q}\mathrm{\π}+{\mathrm{\θ}}_j$

式中，Q为电机定子槽数，θ_j为斜槽引起的第j段求解域的定子初始位置角相对于轴中心处定子初始位置偏移角度，其表达式为

${\mathrm{\θ}}_j=\frac{(2j-N_z-1){\mathrm{\θ}}_{sk}}{2N_z}$

式中，θ_sk为定子斜槽角度。