CN106777442A - 一种永磁无刷直流电机齿槽转矩优化设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种永磁无刷直流电机齿槽转矩优化设计方法，永磁无刷直流电机采用分数槽绕组，其特征在于：具体步骤如下：1)用有限元软件进行参数化建模，实现电机几何参数的合适选择；2)应用优化算法对电机进行优化设计；3)组建综合平台对电机进行参数化建模并进行批处理计算。用有限元软件进行参数化建模，对电机电磁场进行分析，根据优化目标和约束条件，选取合适的电机几何参数作为优化变量。应用编程语言搭建链接优化算法与有限元计算的综合优化平台，直接输入优化参数即可后台调用有限元软件对电机进行参数化建模并进行批处理计算。具有直观、程序结构合理、运算速度快，计算结果精度高等优点。

Description

一种永磁无刷直流电机齿槽转矩优化设计方法

技术领域

本发明涉及对永磁电机本体结构进行优化设计，从整体上提高电机性能，特别是分数槽集中绕组永磁无刷直流电机优化设计。

背景技术

近年来随着永磁同步电机设计理论的不断创新，控制理论的不断发展，定子电枢绕组采用分数槽形式已经成为主要的发展方向之一，在中小型功率领域更是得到了广泛采用。文献“车用永磁同步电机径向电磁振动特性”(电机与控制学报，2012，16(5)，P33-39)，通过有限元方法对分数槽绕组永磁同步电机中的电磁振动现象进行分析比较，提出一种旨在对电磁力谐波进行抑制的方法来削弱电磁振动现象。文献“分数槽永磁同步电机电磁振动的分析与抑制”(中国电机学报，2011，31(24)，P83-89)通过对永磁同步电机不同极槽数配合来研究其对电机振动和噪声的影响，运用有限元方法得出各次谐波幅值，并计算出了电机的电磁噪声。上述的优化可以一定程度上提高系统效率，但无法弥补由于电机本体设计效率低下带来的能耗损失。因此，提高电机本体性能，才能从根本上提升电动机系统的能效水平。

优化设计的目的是，求得永磁同步电动机电磁部分的一组设计参数，以便在满足电动机各项性能要求的前提下，成本费用最低或收效最大。

发明内容

本发明针对分数槽集中绕组永磁无刷直流电机齿槽转矩优化设计方法，提出如下技术方案：

设计方法具体步骤如下：

1)用有限元软件进行参数化建模，实现电机几何参数的合适选择；

2)应用优化算法对电机进行优化设计；

3)组建综合平台对电机进行参数化建模并进行批处理计算。

在步骤1)中用有限元软件进行参数化建模，实现电机几何参数的合适选择，即在电磁场有限元分析方法软件建立分数槽集中绕组永磁电机模型，实现批处理计算，使用通用后处理器观看整个模型或模型的一部分在某一时间上针对特定载荷组合时的结果，对电机电磁场进行分析，根据优化目标和约束条件，选取合适的电机几何参数作为优化变量。

在步骤2)中应用优化算法对电机进行优化设计，即运用优化算法对在步骤1)中选择电机几何参数的不断进行优化，求取目标函数的极值，得到优化结果，实现对永磁电机的设计优化。

在步骤3)中组建综合平台对电机进行参数化建模并进行批处理计算，有限元软件中建模后进行磁场分析得出的需优化参数为基础，使用优化算法对其进行优化，应用编程语言搭建链接优化算法与有限元计算的综合优化平台，直接输入优化参数即可后台调用有限元软件对电机进行参数化建模并进行批处理计算。

优化电机的具体数学模型如下：

在永磁无刷直流电机中，假设电枢铁心磁导率无穷大，不通电时，电机内存储的磁能可近似表示为永磁体和气隙中的磁能之和，即：

磁场能量取决于电机的结构尺寸、永磁体性能以及定转子相对位置，气隙磁通密度沿电枢表面的分布可表示为：

式中，Br(θ)是永磁剩磁磁通密度分布；δ(θ，α)为有效气隙长度；h_m(θ)为永磁体充磁方向长度沿圆周方向分布，(2)式可以表示为：

其中B_r ²(θ)的傅里叶展开为：

式中，B_r0＝α_pB_r ²；B_rn＝2B_r ²sin(nα_pπ)/nπ；B_r为永磁体剩磁；α_p为永磁磁极的极弧系数，对进行傅里叶展开(暂时不考虑定转子相对位置影响)为：

不考虑斜槽时，将(2)、(3)、(4)式代入(1)式得到齿槽转矩的表达式：

式中，L_a为电枢铁心的轴向长度；R₁和R₂分别为电枢外半径和定子轭内半径；n为使nz/2p为整数的整数，永磁无刷直流电机的优化设计可表述为一个约束非线性离散混合规划问题，优化模型如式(7)所示：

式中，f(x)是电机优化的目标函数，g_i(x)是约束条件，[a_j，b_j]，j＝1，2，3，...，n是各个变量的取值范围。

本发明的技术方案有如下积极效果：

1)永磁电机优化时，一般选择几何参数作为设计变量，与选择电磁参数相比，具有直观、程序结构合理、运算速度快等优点。

2)变量选择要遵循独立性原则，且变量数目要合适，对于中小型电动机通常控制在10个左右，如果约束条件包含对某些几何尺寸的调整限制，变量数目可相应减少。

3)同一组变量参数顺序的改变也可能影响优化结果，可按照优化目标对参数的敏感程度来安排顺序。

4)优化设计的方向和结果受到目标函数的直接影响。

5)合理的约束标准才能导致合理的优化结果。

6)通过软件平台将优化算法与电磁场数值计算进行程序链接来实现，则计算结果精度高。

附图说明

图1软件调用ANSYS程序设计结构流程图

具体实施方式

1.分数槽集中绕组永磁无刷直流电机

永磁电机由永磁体产生磁场，因而无需励磁绕组和励磁电源，结构简单、损耗小，具有效率高、功率密度高等显著优点。随着永磁材料性能的提高和完善，特别是稀土永磁材料的发展，永磁电动机的性能得到进一步提升，在能效方面表现出电励磁电动机难以匹敌的的优越性。通常，电机设计中都是将磁场简化为磁路，通过磁路计算出电机气隙磁密，根据经验公式求得电机的相关参数。然而这样得到的电机参数为近似值，需要加上修正系数并进行反复的验证和修改，这就使得电机设计周期较长，也无法保证计算结果的精确性。搭建链接有限元软件与优化算法的优化平台对电机进行设计优化，不仅计算精度高、速度快，可以缩短电机设计的周期，还可以对非常规结构的电机进行设计和研究。

无刷直流电机与调速永磁同步电机具有类似的结构，定子均为多相绕组，永磁体设置在转子上，两种电机的本质差异为无刷直流电机能够通过检测转子位置实现自同步。同时，两种电机都取消了电刷换向器，大大提高了可靠性，由于电机的损耗主要来自定子侧，散热条件更加良好。

电机采用分数槽绕组，在许多方面具有优越的性能：利用有限的电机槽数以配合电机转速较低，极对数较多的情况，定子槽利用率高；定转子不需采用斜槽、斜极即能将齿槽转矩降至很小，且转矩脉动小；利用其等效分布作用和对反电势谐波的削弱作用，能够有效的提高绕组利用率，改善电动势波形。总之，永磁同步电机采用分数槽绕组能提高电机效率和功率密度，改善电机整体性能，节约成本。近年来随着永磁同步电机设计理论的不断创新，控制理论的不断发展，定子电枢绕组采用分数槽形式已经成为主要的发展方向之一，在中小型功率领域更是得到了广泛采用。

2.分数槽集中绕组结构

(1)对于多极的正弦波交流永磁伺服电动机，可采用较少的定子槽数，有利于提高槽满率及电机性能。同时，较少的元件数可以简化嵌线工艺和接线，有助于降低成本。

(2)十分适合线圈节距y＝1的集中式绕组设计，线圈绕在一个齿上，缩短了线圈周长和端部伸出长度，减少了用铜量；线圈的端部没有重叠，可不放置相同绝缘。

(3)拥有较薄的定子轭部和短的绕组端部，充分利用电机的有效空间，实现高功率密度。

(4)方便使用专用绕线机，直接将线圈绕在齿上，取代传统嵌线工艺，提高工效，方便大规模生产。

(5)提高电机性能，提高槽满率，缩短线圈周长和端部伸出长度，电机绕组电阻减小，铜损降低，进而提高电机效率和降低温升。

(6)降低齿槽反应转矩，有利于减小振动和噪声。

(7)可以很容易实现多极设计，特别适合低速大转矩的设计要求，如直驱式风力发电机、无齿曳引机等。

3.永磁电机齿槽转矩

在永磁电机中，永磁体和有槽电枢铁心相互作用，不可避免的产生齿槽转矩。永磁电机的齿槽转矩是转子永磁体磁场同定子铁心的齿槽相互作用在圆周方向产生的转矩，当电动机旋转时，齿槽转矩表现为一种附加的转矩脉动，虽然它不会使电动机平均有效转矩增加或减小，但它引起速度波动、电机振动和噪声，特别是在轻负荷和低速时更加明显。齿槽转矩是永磁电机特有的一种现象。因此，降低齿槽转矩通常是永磁电机设计的主要目标之一，也成为国内外学者分析研究的热点课题之一。

从电机本体设计削弱齿槽转矩主要从三个方面考虑。第一，从定子结构考虑，改变铁心参数，主要包括调节槽口宽、定子槽口宽配合、齿冠开槽及槽口偏移。第二，从转子结构考虑，调节磁极参数，主要包括优化极弧系数、磁极偏移以及不等极弧系数配合。第三，从定转子结构考虑，主要包括极槽配合、定子斜槽、转子斜极、磁极分段错位以及改变永磁体形状。

软件调用ANSYS程序设计结构流程图如图1所示。在使用差分进化算法进行优化设计时，取长径比、槽口宽度、极弧系数、气隙磁密、定子电密和导体电流密度这六个设计参数组成优化算法中的一个向量，并设定取值范围。限定条件取功率下限、功率因数下限、永磁体空载工作点上限、永磁体最大去磁工作点下限、温升上限。对于电机设计中遇到的离散变量(如定子槽数，线径等)，使用简单内罚函数，即离散变量超出范围则将其目标函数值直接取一大数，对于进化运算中生成的小数进行取整处理。例如对于槽数，给定取值范围，在每次差异进化产生小数后对其取整，再进行目标函数的计算。

4.差分进化算法

差分进化算法(Differential Evolution，简称DE)最初是由美国加州大学伯克利大学的Kenneth Price和Rainer Storm为求解切比雪夫多项式而提出的一种新型无约束直接寻优算法。在过去的十多年中，差分进化算法已经发展成为一种在进化计算领域中非常有竞争力的智能优化算法。

差分进化算法采用的实数编码进化算法，其基本思想是将优化问题的解向量作为进化的基本个体，用随机方法产生若干个解个体组成解群体，在群体中通过对个体施加个体间的加权差异而产生新的个体和群体，从而达到优化的目的。

差分进化算法的主要控制参数有三个：种群规模因子P，变异因子F，交叉因子CR。DE的效能对于控制参数的敏感程度要比遗传算法、模拟退火算法等其他智能化算法对控制参数的敏感度低很多，参数的取值要相对容易。参数的选择对进化速度有很大影响，参数选取不当会造成停滞和早熟现象。差分进化算法基本步骤包括编码、变异、交叉和选择操作。

差分进化算法同遗传算法等其他进化算法的基本原理类似，都是借鉴生物界自然选择和自然遗传机理的随机化搜索过程，其综合了适者生存和遗传信息之间的结构性和随机性的生物进化特点。差分进化算法是一种基于群体的优化算法，采用的是随机方向搜索的办法，在优化过程中不需要利用目标函数的梯度信息，对函数的非线性程度不做要求。该算法虽源于遗传算法，由于不进行编码和解码操作，使用上大为简化。同时它对初始值无要求，收敛速度快，对各种非线性函数适应性强，具有并行运算特性，尤其适应于多变量复杂问题的寻优。

5.其它优化算法

通过对物理、自然或社会现象的观察和模拟，人们成功地提出了以模拟退火算法、遗传算法、禁忌搜索算法等全局优化算法为代表的新型优化算法。与传统优化算法相比，这些算法能跳出局部极值点，并能以较少的计算代价搜索到最优解。

模拟退火(Simulated Annealing，简为SA)算法是S.Kirkpatrick于1983年提出的一种适用于组合优化问题的优化算法。其出发点基于物理中固体物质的退火过程与一般组合优化问题的相似性。SA算法是在某一初温下，伴随温度参数的不断下降，结合概率突跳特性，在解空间中随机寻找目标函数的全局最优解。该算法具有很好的局部搜索能力，并能使搜索过程避免陷入局部最优解；但缺点是对整个搜索空间了解不多，不便于使搜索过程进入最有希望的搜索区域，导致采样次数过多，优化时间长。

遗传算法(Genetic Algorithm，简为GA)是由Holland于20世纪70年代初首先提出的。其基本思想是：首先通过编码操作将问题空间映射到编码空间；然后在编码空间内进行选择、交叉、变异3种遗传操作及其循环迭代操作，模拟生物遗传进化机制，搜索编码空间的最优解；最后逆映射到原问题空间，从而得到原问题的最优解。这是一种高度并行、随机、自适应的算法，全局搜索能力强，但缺点是局部搜索能力较弱。

禁忌搜索(Tabu Search，简为Tabu)算法是由F.Glover等人于1986年为求解组合优化问题提出的。Tabu算法的显著优点是：在寻优中，记录下已经到达过的局部最优点或到达过局部最优的一些过程，在下一步搜索中不再搜索或有选择地搜索这些点或过程，避免了寻优过程中大量无效劳动，保证了对不同有效搜索途径的探索；缺点是判据方面还不够成熟，与直接搜索法相比，速度不够快。

其他较著名的新型优化算法有：源于遗传算法但不需进行编码和解码操作的差异进化算法(DE)；源于模拟退火算法、将启发和随机相结合的Alopex算法；源于对鸟群捕食行为的研究而提出的粒子群优化算法(PSO)；模拟生物免疫机制的免疫算法(IA)；基于“系统地探寻整个可行域以寻找全局最小解”思路的区域消去法；基于对大脑信息处理机制的模拟研究而诞生的神经网络算法；以专家提供的专业知识和经验为依据的专家系统；利用规格化的正交表合理安排设计方案的正交算法等。

6.ANSYS软件特点

ANSYS软件能实现多场及多场耦合分析，是实现前后处理、求解及多场分析统一数据库的一体化大型有限元分析软件。软件主要包括三个部分：前处理模块，分析计算模块和后处理模块。该软件具有如下特点：

(1)完备的前处理功能

ANSYS不仅提供了强大的实体建模及网格划分工具，可以方便地构造数学模型，而且还专门设有用户所熟悉的一些大型通用有限元软件的数据接口(如MSC/NSSTRAN，ALGOR，ABAQUS等)，并允许从这些程序中读取有限元模型数据，甚至材料特性和边界条件，完成ANSYS中的初步建模工作。此外，ANSYS还具有近200种单元类型，这些丰富的单元特性能使用户方便而准确地构建出反映实际结构的仿真计算模型。

(2)强大的求解器

ANSYS提供了对各种物理场量的分析，是目前唯一能融结构、热、电磁、流体、声学等为一体的有限元软件。除了常规的线性、非线性结构静力、动力分析外，还可以解决高度非线性结构的动力分析、结构非线性及非线性屈曲分析。提供的多种求解器分别适用于不同的问题及不同的硬件配置。

(3)方便的后处理器

ANSYS的后处理分为通用后处理模块(POST1)和时间历程后处理模块(POST26)两部分。后处理结果可以包括位移、温度、应力、应变、速度以及热流等，输出形式可以有图形显示和数据列表两种，还可以显示计算结果曲线，并可进行沿路径的数值计算。

(4)多种实用的二次开发工具

ANSYS除了具有较为完善的分析功能外，同时还为用户进行二次开发提供了多种实用工具。如宏(Marco)、参数设计语言(APDL)、用户界面设计语言(UIDL)及用户编程特性(UPFs)，其中APDL(ANSYS Parametric Design Language)是一种非常类似于Fortran77的参数化设计解释性语言，其核心内容为宏、参数、循环命令和条件语句，可以通过建立参数化模型来自动完成一些通用性强的任务。APDL允许复杂的数据输入，能实现有限元模型的建模、加载、求解和后处理等功能，但APDL本质上不是具有集成化开发环境的高级语言，其可视化程度差、开发过程不直观，因而给对APDL语言不熟悉的科技人员利用ANSYS软件从事参数化建模带来一定的困难。应用具有良好图形用户界面的可视化开发软件，对ANSYS利用APDL语言参数化建模过程进行封装和调用，将用户界面提供的设计参数传入ANSYS软件中进行建模。

7.ANSYS电磁场分析

用于ANSYS磁场分析的有限元公式由麦克斯韦方程组导出，通过将矢量磁位或标量磁位引入方程组中并考虑其电磁性质关系，就可以开发出适合于有限元分析的方程组。

ANSYS程序的其它一些功能增强了程序的电磁场分析的能力和灵活性。例如，用户可方便地选择MKS(米.千克.秒单位制)、CGS(厘米.克.秒单位制)或其它一些单位制作为电磁场分析的单位制。作为标准的Frontal求解器(波前求解器)的替代者，PCG、ICCG和JCG(均为求解方程组的共轭梯度迭代法)迭代求解器非常适合于求解电磁场问题，因为它们提供了势场问题的快速解法。使用二维和三维无限边界单元，则不需要建立环绕电磁设备的无限介质(如空气)的大模型，从而可以采用更小的模型，同时降低了对计算机资源的需求。

ANSYS程序提供了丰富的线性和非线性材料的表达式，包括各向同性或正交各向异性的线性磁导率、材料的B-H曲线和永磁体的去磁曲线等。后处理功能允许用户显示磁力线、磁通密度和磁场强度并进行力、力矩、源输入能量、感应系数、端电压和其它参数的计算。

ANSYS的电磁场分析可以求解的物理量有：磁通密度、磁场强度、磁力及磁矩、阻抗、电感、涡流、能量损耗、漏磁等，而电磁场来源包括：电流、永磁体和外加磁场等。

8.实施的关键问题

问题1：如何实现有限元参数化建模？

采用ANSYS提供的命令流方法进行建模需熟悉APDL语言，模型中坐标系参考点的选取颇为关键。从软件自带图形化用户界面(GUI)开始熟悉软件的建模流程，熟悉ANSYS电磁场分析操作流程和顺序，了解每个操作步骤产生的影响。同时查看建模步骤自动生成的命令流，熟悉APDL语言。建模前搞清模型特性，注意软件建模时对模型参考坐标系与坐标点的选取。完整建立所需优化电机模型，并用有限元软件对电机进行磁场分析。

问题2：如何选择优化设计变量？

在优化中，常常将设计变量的一组取值看成一个设计方案。永磁无刷直流电机优化时，一般选择几何参数作为设计变量。(与选择电磁参数相比，具有直观、程序结构合理、运算速度快等优点。)对主要性能有直接影响的参数可以优先选择，若在考虑成本优化的设计中，导线截面积、永磁体尺寸的变化直接导致成本变化和效率、功率因数等性能变化。

变量选择要遵循独立性原则，且变量数目要合适，对于中小型电动机通常控制在10个左右，如果约束条件包含对某些几何尺寸的调整限制，变量数目可相应减少。此外，同一组变量参数顺序的改变也可能影响优化结果，可按照优化目标对参数的敏感程度来安排顺序。

问题3：如何实现优化平台功能？

使用编程语言搭建链接优化算法与有限元软件的优化平台，在平台中输入优化参数和约束条件后由优化平台后台调用有限元软件进行连续运算，所得结果精确且一定程度上提高了优化效率。

Claims (6)

1.一种永磁无刷直流电机齿槽转矩优化设计方法，永磁无刷直流电机采用分数槽绕组，其特征在于：具体步骤如下：

1)用有限元软件进行参数化建模，实现电机几何参数的合适选择；

2)应用优化算法对电机进行优化设计；

3)组建综合平台对电机进行参数化建模并进行批处理计算。

2.根据权利要求1所属的永磁无刷直流电机齿槽转矩优化设计方法，其特征在于：所述用有限元软件进行参数化建模，实现电机几何参数的合适选择，即在电磁场有限元分析方法软件建立分数槽集中绕组永磁电机模型，实现批处理计算，使用通用后处理器观看整个模型或模型的一部分在某一时间上针对特定载荷组合时的结果，对电机电磁场进行分析，根据优化目标和约束条件，选取合适的电机几何参数作为优化变量。

3.根据权利要求2所属的永磁无刷直流电机齿槽转矩优化设计方法，其特征在于：所述有限元软件为ANSYS。

4.根据权利要求1所属的永磁无刷直流电机齿槽转矩优化设计方法，其特征在于：所述应用优化算法对电机进行优化设计，即运用优化算法对在步骤1)中选择电机几何参数的不断进行优化，求取目标函数的极值，得到优化结果，实现对永磁电机的设计优化。

5.根据权利要求2所属的永磁无刷直流电机齿槽转矩优化设计方法，其特征在于：所述优化算法为差分进化算法或模拟退火算法或遗传算法或禁忌搜索算法或粒子群优化算法。

6.根据权利要求5所属的永磁无刷直流电机齿槽转矩优化设计方法，其特征在于：所述组建综合平台对电机进行参数化建模并进行批处理计算，有限元软件中建模后进行磁场分析得出的需优化参数为基础，使用优化算法对其进行优化，应用编程语言搭建链接优化算法与有限元计算的综合优化平台，直接输入优化参数即可后台调用有限元软件对电机进行参数化建模并进行批处理计算，具体数学模型如下：

在永磁无刷直流电机中，假设电枢铁心磁导率无穷大，不通电时，电机内存储的磁能可近似表示为永磁体和气隙中的磁能之和，即：

$W\≈W_{pm}+W_{gap}=\frac{1}{2{\mathrm{\μ}}_0}\underset{V}{\∫}{B}^{2}dV---\left(1\right)$

磁场能量取决于电机的结构尺寸、永磁体性能以及定转子相对位置，气隙磁通密度沿电枢表面的分布可表示为：

$B(\mathrm{\θ},\mathrm{\α})=B_r\left(\mathrm{\θ}\right)\frac{h_m\left(\mathrm{\θ}\right)}{h_m\left(\mathrm{\θ}\right)+\mathrm{\δ}(\mathrm{\θ},\mathrm{\α})}---\left(2\right)$

式中，B_r(θ)是永磁剩磁磁通密度分布；δ(θ，α)为有效气隙长度；h_m(θ)为永磁体充磁方向长度沿圆周方向分布，(2)式可以表示为：

$W=\frac{1}{2{\mathrm{\μ}}_0}{\∫}_V{B}_r^2\left(\mathrm{\θ}\right){\[\frac{h_m\left(\mathrm{\θ}\right)}{h_m\left(\mathrm{\θ}\right)+\mathrm{\δ}(\mathrm{\θ},\mathrm{\α})}\]}^{2}dV---\left(3\right)$

其中B_r ²(θ)的傅里叶展开为：

$B_r^2\left(\mathrm{\θ}\right)=B_{r0}+\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}{B}_{m}cos2np\mathrm{\θ}---\left(4\right)$

式中，B_r0＝α_pB_r ²；B_rn＝2B_r ²sin(nα_pπ)/nπ；B_r为永磁体剩磁；α_p为永磁磁极的极弧系数，对进行傅里叶展开(暂时不考虑定转子相对位置影响)为：

${\[\frac{h_m\left(\mathrm{\θ}\right)}{h_m\left(\mathrm{\θ}\right)+\mathrm{\δ}(\mathrm{\θ},\mathrm{\α})}\]}^2=G_0+\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}{G}_n\cos nz\mathrm{\θ}---\left(5\right)$

不考虑斜槽时，将(2)、(3)、(4)式代入(1)式得到齿槽转矩的表达式：

$T_{cog}=\frac{{\mathrm{\πzL}}_a}{4{\mathrm{\μ}}_0}({R^2}_2-{R^2}_1)\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}{\mathrm{nG}}_n{B}_{r(nz/2p)}sin\left(nz\mathrm{\α}\right)---\left(6\right)$

式中，L_a为电枢铁心的轴向长度；R₁和R₂分别为电枢外半径和定子轭内半径；n为使nz/2p为整数的整数，永磁无刷直流电机的优化设计可表述为一个约束非线性离散混合规划问题，优化模型如式(7)所示：

$\left.\begin{array}{c}\min f\left(x\right)\\ g_i\left(x\right)\≤0,i=1,2,3,\mathrm{...},m\\ x_i\∈\[a_j,b_j\],j=1,2,3,\mathrm{...},n\end{array}\right\}---\left(7\right)$

式中，f(x)是电机优化的目标函数，g_i(x)是约束条件，[a_j，b_j]，j＝1，2，3，...，n是各个变量的取值范围。