CN110690770A - 定子开槽永磁电机复数气隙相对磁导及其磁场的求解方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出了一种定子开槽永磁电机复数气隙相对磁导及其磁场的求解方法，首先考虑定子开槽效应，建立复数气隙相对磁导与气隙磁密之间的关系；然后，以电机一个齿距为求解模型，在极坐标系下建立气隙和磁极区域的拉普拉斯方程，得到气隙和磁极区域的磁场通解；再利用槽口表面与铁心齿尖边角区附近磁场发散的数学规律，在槽口区域设置边界条件，求解出复数气隙相对磁导的径向分量和切向分量；最后，计算定子开槽时内转子、外转子永磁电机的有槽气隙磁密，有限元验证模型的准确性。本发明解决了齿槽效应对气隙磁场径向和切向方向上的影响，准确计算不同极槽配合下齿槽效应对永磁电机的径向和切向气隙磁场分布，具有较好的简捷性和通用性。

Description

定子开槽永磁电机复数气隙相对磁导及其磁场的求解方法

技术领域

本发明涉及永磁电机技术领域，特别是指一种用于定子开槽永磁电机复数气隙相对磁导及其磁场的求解方法。

背景技术

永磁电机具有高功率密度、高效率、高可靠性等优点，在电动汽车、风力发电、伺服驱动等领域应用广泛，引起了业界学者极大的研究兴趣。磁场分析是电机性能分析的基础，为了提高磁场解析的准确度必须考虑齿槽效应对气隙磁场的影响，考虑电机开槽对气隙磁场的影响一直是研究的热点问题，其结果的准确性直接影响电机的电磁性能。

考虑齿槽效应时，目前常采用的解析方法有：气隙相对磁导模型、复数气隙相对磁导模型、精确子域模型、磁网络模型。气隙相对磁导模型因求解方法简便，是目前应用最广的模型，但该模型忽略了齿槽效应对切向磁密造成的影响，未能准确计算切向磁密。目前的复数气隙相对磁导模型基于保角变换法，能准确考虑齿槽开槽影响的径向磁密和切向磁密，但计算方法类似数值解法，求解方法比较复杂且解析式不直观。精确子域模型在所有解析法中精度最高，但边界条件矩阵方程较多，求解方法复杂且与结构参数关系不直接，计算工作量较大。磁网络模型能考虑磁路局部饱和的影响，但求解方法依靠磁力线走向画磁网络，电机结构变化时模型缺乏通用性。

以上分析模型中各有各的优缺点和适用范围，其中能以结构参数直观表示，并以精简的求解方法反应齿槽效应的，仅有气隙相对磁导模型，但该模型存在缺点时无法计及切向方向齿槽效应，而其余模型存在的共同问题是计算相对复杂，无统一的结构参数关系来反应齿槽效应的影响。如以简单的通用结构参数给出并准确的反映齿槽效应，优化解析方法，创新解析模型，则能方便解决复杂气隙磁场的分析。

发明内容

针对上述背景技术中存在的不足，本发明提出了一种用于定子开槽永磁电机复数气隙相对磁导及其磁场的求解方法，解决了现有齿槽效应对气隙磁场径向和切向方向上的影响以及计算复杂度高的技术问题。

本发明的技术方案是这样实现的：

一种定子开槽永磁电机复数气隙相对磁导及其磁场的求解方法，其步骤如下：

S1、根据定子开槽效应，建立复数气隙相对磁导与气隙磁密之间的关系；

S2、以电机一个齿距为求解模型，在极坐标系下建立气隙和磁极区域的拉普拉斯方程，得到气隙和磁极区域的磁场通解；

S3、利用槽口表面与铁心齿尖边角区附近磁场发散的数学规律，在槽口区域设置边界条件，并结合卡氏系数确定出磁场系数，求解出复数气隙相对磁导的径向分量和切向分量；

S4、根据求解出的复数气隙相对磁导，计算出不同极槽配合及径向和平行充磁方式下，定子开槽时内转子永磁电机的有槽气隙磁密和外转子永磁电机的有槽气隙磁密。

所述气隙磁密包括有槽气隙磁密和无槽气隙磁密，且有槽气隙磁密等于无槽气隙磁密与复数气隙相对磁导的共轭复数之积，即：

B_s(r,θ)＝B_nos(r,θ)·λ^*(r,θ) (1)，

λ(r,θ)＝λ_a(r,θ)+jλ_b(r,θ) (2)，

其中，B_s(r,θ)为有槽气隙磁密，B_nos(r,θ)为无槽气隙磁密，λ(r,θ)为复数气隙相对磁导，λ^*(r,θ)为复数气隙相对磁导的共轭复数，j为虚数单位，λ_a(r,θ)为复数气隙相对磁导的实部，λ_b(r,θ)为复数气隙相对磁导的虚部，r为气隙半径，θ为机械角；

所述有槽气隙磁密的径向分量B_{r_s}(R₀,θ)和切向分量B_{θ_s}(R₀,θ)分别为：

B_{r_s}(r,θ)＝B_{r_nos}(r,θ)·λ_a(r,θ)+B_{θ_nos}(r,θ)·λ_b(r,θ) (3)，

B_{θ_s}(r,θ)＝B_{θ_nos}(r,θ)·λ_a(r,θ)-B_{r_nos}(r,θ)·λ_b(r,θ) (4)，

其中，B_{r_nos}(r,θ)为无槽气隙磁密的径向分量，B_{θ_nos}(r,θ)为无槽气隙磁密的切向分量；

所述无槽气隙磁密的切向分量小，令切向分量B_{θ_nos}(r,θ)＝0，则：

B_{r_s}(r,θ)≈B_{r_nos}(r,θ)·λ_a(r,θ) (5)，

B_{θ_s}(r,θ)≈-B_{r_nos}(r,θ)·λ_b(r,θ) (6)；

令气隙半径r＝R₀，为气隙处位置，R_r为转子铁心半径，R_s为定子铁心半径，则复数气隙相对磁导的实部λ_a(r,θ)和虚部λ_b(r,θ)分别为：

所述气隙和磁极区域的拉普拉斯方程为：

其中，R_r为转子铁心半径，R_s为定子铁心半径，θ_s为齿距角，A为气隙和磁极区域的矢量磁位通解，则

其中，A₀、k为待定系数，A_n、B_n为磁矢位的n次谐波系数，z为槽数；

则极坐标系下气隙和磁极区域的磁密通解分别为：

其中，B_r(r,θ)为径向磁密通解，B_θ(r,θ)为切向磁密通解。

所述根据槽口表面与铁心齿尖边角区附近磁场发散的数学规律，一个齿槽表面的切向磁密B_cc'(θ)为：

其中，c₀为待定常数，sign为符号函数，α_s0为槽开口角度；

对切向磁密B_cc'(θ)进行傅里叶级数展开：

其中，

根据齿槽与气隙区域边界之间的关系，在一个齿距区域内建立槽口区域的边界条件方程：

S31.1、在齿中心线处，磁力线垂直穿过气隙和磁极区域：

S31.2、在转子表面：

S31.3、在定子齿槽表面：

B_cc'(θ)＝B_θ(R_s,θ) (17)；

根据步骤S31.1至步骤S31.3的边界条件得到谐波磁密系数，进而得到气隙和磁极区域的磁密通解为：

电机开槽时一个齿距角θ_s内的平均气隙磁密为：

开槽时气隙磁密在齿中心线处最大，最大气隙磁密为：

根据卡氏系数得：

其中，

b_s为齿宽，t_s为齿距。

所述复数气隙相对磁导包括内转子永磁电机的复数气隙相对磁导和外转子永磁电机的复数气隙相对磁导，所述内转子永磁电机的复数气隙相对磁导的求解方法为：

S32.1、无槽气隙磁密分布比较均匀，齿中心线处气隙磁密最大，电机无槽时的平均气隙磁密为：

S32.2、内转子永磁电机的复数气隙相对磁导的径向分量和切向分量分别为：

其中，

g₁＝δ+h_m为定转子之间的距离，δ为气隙长度，h_m为永磁体磁化方向高度；

S32.3、根据步骤S32.1至步骤S32.2求得外转子永磁电机的复数气隙相对磁导为：

所述定子开槽时内、外转子结构永磁电机的径向和切向气隙磁密的求解方法为：

S41、由无槽磁场和复数气隙相对磁导，求出齿槽效应时的空载磁场分布，又永磁电机的无槽气隙磁密为：

当np≠1时：

其中，

K_B(n)·f_Br(r)为无槽径向磁密谐波幅值，K_B(n)·f_Bθ(r)为无槽切向磁密谐波幅值，

M_n＝M_rn+npM_θn；径向充磁方式下：

A_3n＝np；平行充磁方式下：

其中，p为极对数，α_p为永磁体极弧系数，μ_r为永磁体相对磁导率，B_r为永磁体剩磁；

S42、考虑齿槽效应时，根据步骤S32.2中内转子永磁电机的复数气隙相对磁导，则内转子永磁电机的有槽气隙磁密为：

S43、考虑齿槽效应时，根据步骤S32.3中外转子永磁电机的复数气隙相对磁导，则外转子永磁电机的有槽气隙磁密为：

本技术方案能产生的有益效果：本发明基于求解区域的控制方程和合理的边界条件，给出复数气隙相对磁导函数的径向分量和切向分量，能准确反应齿槽效应对气隙相对磁导的径向和切向分布影响，准确计算定子开槽永磁电机的径向和切向气隙磁场，简化了繁琐的计算过程，提高计算效率，对进一步分析电机空载反电动势、齿槽转矩、不平衡磁拉力等电机性能及电机优化设计具有重要意义。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为本发明的有槽永磁电机结构横截面示意图；

图2为本发明的无槽永磁电机结构横截面示意图；

图3为本发明的单一齿距区域的解析模型；

图4为本发明的单一齿槽表面的切向磁密分布；

图5为本发明的9槽结构半闭口槽的复数气隙相对磁导分布；

图6为本发明的9槽结构矩形槽的复数气隙相对磁导分布；

图7为本发明的24槽结构半闭口槽的复数气隙相对磁导分布；

图8为本发明的24槽结构矩形槽的复数气隙相对磁导分布；

图9为本发明的9槽8极半闭口槽气隙磁密分布；

图10为本发明的9槽8极矩形槽气隙磁密分布；

图11为本发明的24槽20极半闭口槽气隙磁密分布；

图12为本发明的24槽20极矩形槽气隙磁密分布。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有付出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

本发明以内转子永磁电机为实施例提供了一种用于定子开槽永磁电机复数气隙相对磁导及其磁场的求解方法，有槽和无槽的永磁电机结构分别如图1和图2所示，电机结构参数如下：气隙长度为δ，永磁体磁化方向高度为h_m，定转子之间距离g₁＝δ+h_m，R_s为定子铁心半径，R_r为转子铁心半径；内转子的定子铁心半径R_s＝R_r+g₁，外转子的定子铁心半径R_s＝R_r-g₁，齿距角为θ_s，槽开口角度为α_s0，

为气隙处位置。

以电机一个齿距为求解区域，对解析模型作如下基本假设：

1)定转子铁心磁导率无穷大；

2)忽略磁路饱和和端部效应的影响；

3)忽略临近齿槽效应，定子槽为无限深。

S1、考虑定子开槽效应时，建立复数气隙相对磁导与气隙磁密之间的关系；所述气隙磁密包括有槽气隙磁密和无槽气隙磁密，且有槽气隙磁密等于无槽气隙磁密与复数气隙相对磁导的共轭复数之积，即：

B_s(r,θ)＝B_nos(r,θ)·λ^*(r,θ) (1)，

λ(r,θ)＝λ_a(r,θ)+jλ_b(r,θ) (2)，

其中，B_s(r,θ)为有槽气隙磁密，B_nos(r,θ)为无槽气隙磁密，λ(r,θ)为复数气隙相对磁导，λ^*(r,θ)为复数气隙相对磁导的共轭复数，j为虚数单位，λ_a(r,θ)为复数气隙相对磁导的实部，用来考虑径向齿槽效应的影响，λ_b(r,θ)为复数气隙相对磁导的虚部，用来考虑切向齿槽效应的影响，r为气隙半径，θ为机械角。

根据公式(1)和公式(2)可知，有槽气隙磁密的径向分量B_{r_s}(R₀,θ)和切向分量B_{θ_s}(R₀,θ)分别为：

B_{r_s}(r,θ)＝B_{r_nos}(r,θ)·λ_a(r,θ)+B_{θ_nos}(r,θ)·λ_b(r,θ) (3)，

B_{θ_s}(r,θ)＝B_{θ_nos}(r,θ)·λ_a(r,θ)-B_{r_nos}(r,θ)·λ_b(r,θ) (4)，

其中，B_{r_nos}(r,θ)为无槽气隙磁密的径向分量，B_{θ_nos}(r,θ)为无槽气隙磁密的切向分量。

所述无槽气隙磁密的切向分量小，主要为径向分量，为方便计算复数气隙相对磁导，令切向分量B_{θ_nos}(r,θ)＝0，则：

B_{r_s}(r,θ)≈B_{r_nos}(r,θ)·λ_a(r,θ) (5)，

B_{θ_s}(r,θ)≈-B_{r_nos}(r,θ)·λ_b(r,θ) (6)。

令气隙半径r＝R₀，

为气隙处位置，R_r为转子铁心半径，R_s为定子铁心半径，则复数气隙相对磁导的实部λ_a(r,θ)和虚部λ_b(r,θ)分别为：

由此知，需要先求出有槽和无槽时的气隙磁密，才能求出复数气隙相对磁导的分布。

S2、以电机一个齿距为求解模型，在极坐标系下建立气隙和磁极区域的拉普拉斯方程，得到气隙和磁极区域的磁场通解。为方便计算复数气隙相对磁导，只考虑电枢绕组单独作用，且电枢磁势幅值位于槽中心处，单一齿距内的求解区域如图3所示。

采用矢量磁位建立求解区域的控制方程，电枢绕组单独作用，在气隙和磁极区域为拉普拉斯方程：

其中，R_r为转子铁心半径，R_s为定子铁心半径，θ_s为齿距角，A为气隙和磁极区域的矢量磁位通解，则

其中，A₀、k为待定系数，A_n、B_n为磁矢位的n次谐波系数，z为槽数；

则极坐标系下气隙和磁极区域的磁位通解分别为：

其中，B_r(r,θ)为径向磁密通解，B_θ(r,θ)为切向磁密通解。

S3、利用槽口表面与铁心齿尖边角区附近磁场发散的数学规律，在槽口区域设置合适的边界条件，结合卡氏系数确定出磁场系数，求解出复数气隙相对磁导的径向分量和切向分量。

如图3所示，在齿槽表面BB'处，齿表面BC和B'C'切向磁密为零，槽口表面CC'与铁心齿尖边角区附近磁场发散，根据槽口表面与铁心齿尖边角区附近磁场发散的数学规律，如公式(13)所示的一个齿槽表面的切向磁密B_cc'(θ)，图4为单一齿槽表面BB'的切向磁密分布B_cc'(θ)：

其中，c₀为未知常数，sign为符号函数，α_s0为槽开口角度；

对切向磁密B_cc'(θ)进行傅里叶级数展开：

其中，

根据齿槽与气隙区域边界之间的关系，在一个齿距区域内建立边界条件系数方程：

S31.1、在齿中心线AB和A'B'处，磁力线垂直穿过气隙和磁极区域，切向磁密为零：

S31.2、在转子表面AA'，切向磁密为零：

S31.3、在定子齿槽表面BB'，切向磁密分布为B_cc'(θ)：

B_cc'(θ)＝B_θ(R_s,θ) (17)；

根据步骤S31.1至步骤S31.3的边界条件得到谐波磁密系数，进而得到气隙和磁极区域的磁密通解为：

电机开槽时一个齿距角θ_s内的平均气隙磁密为：

开槽时气隙磁密在齿中心线处最大，最大气隙磁密为：

根据卡氏系数

得：

其中，

b_s为齿宽，t_s为齿距。

所述复数气隙相对磁导包括内转子永磁电机的复数气隙相对磁导和外转子永磁电机的复数气隙相对磁导，所述内转子永磁电机的复数气隙相对磁导的求解方法为：

S32.1、无槽气隙磁密分布比较均匀，齿中心线处气隙磁密最大，电机无槽时的平均气隙磁密为：

S32.2、根据式(7)、(8)、(23)、步骤S31.1至步骤S31.3，得到内转子永磁电机的复数气隙相对磁导的径向分量和切向分量分别为：

其中，

S32.3、根据步骤S32.1至步骤S32.2求得外转子永磁电机的复数气隙相对磁导为：

以上所有公式中，气隙处位置R₀可取定转子之间的任意半径位置，得出复数气隙相对磁导与槽宽、齿距、及卡氏系数等结构参数有关，计算量小、求解方便。

S4、根据求解出的复数气隙相对磁导，计算出不同极槽配合下，径向和平行充磁方式下，定子开槽时内转子永磁电机的有槽气隙磁密和外转子永磁电机的有槽气隙磁密，再利用有限元验证模型的准确性。

为了验证提出方法的正确性，与传统的气隙相对磁导方法进行对比，需要说明的是传统的气隙相对磁导仅能考虑径向气隙相对磁导，传统的气隙相对磁导计算方法如下：

其中，

g'为等效气隙长度。

所述定子开槽时内、外转子结构永磁电机的径向和切向气隙磁密的求解方法为：

S41、由无槽磁场和复数气隙相对磁导，求出齿槽效应时的空载磁场分布，又永磁电机的无槽气隙磁密为：

当np≠1时：

其中，

K_B(n)·f_Br(r)为无槽径向磁密谐波幅值，K_B(n)·f_Bθ(r)为无槽切向磁密谐波幅值，

M_n＝M_rn+npM_θn；径向充磁方式下：

A_3n＝np；平行充磁方式下：其中，p为极对数，α_p为永磁体极弧系数，μ_r为永磁体相对磁导率，B_r为永磁体剩磁。

S42、考虑齿槽效应时，一般情况下无槽气隙切向分量B_{θ_nos}(r,θ)和复数气隙相对磁导的虚部λ_b(r,θ)小，对计算有槽气隙的径向分量B_{r_s}(r,θ)没有影响，但是复数气隙相对磁导的实部λ_a(r,θ)大，对有槽气隙的切向分量B_{θ_s}(r,θ)影响大，因此B_{θ_nos}(r,θ)·λ_a(r,θ)不可忽略，根据步骤S32.2中内转子永磁电机的复数气隙相对磁导，则内转子永磁电机的有槽气隙磁密为：

S43、考虑齿槽效应时，根据步骤S32.3中外转子永磁电机的复数气隙相对磁导，则外转子永磁电机的有槽气隙磁密为：

复数气隙相对磁导及有槽气隙磁密的有限元验证：

为验证所提出方法的正确性，分别对一台内转子径向充磁9槽8极、外转子平行充磁24槽20极表贴式永磁电机进行计算，并且每台电机给出两种槽口宽度，半闭口槽的槽口宽小和矩形槽的槽口宽大，其主要参数如表1所示，并用有限元法进行验证。

表1永磁电机结构参数

当磁极中心线对齐槽中心线，R₀可以在气隙和磁极区域处任意位置选取，此处选取

图5、图6、图7和图8分别给出了本发明方法和有限元法得到的9槽、24槽不同槽宽时一个齿距下的复数气隙相对磁导，同时与传统气隙磁导方法进行对比。有限元法验证时为方便计算，分别在电机有槽绕组区域和无槽槽口表面通入相同的电流密度，使绕组产生的电枢磁势幅值位于槽中心处，分别提取有槽结构和无槽结构气隙磁密，即可得到复数气隙相对磁导分布。可以看到本发明提出的方法拟合较好，证明了本发明提出的求解方法的正确性。

以磁极轴线对齐槽中心线处为坐标原点，利用表1的结构参数，内转子选取R₀＝R_r+h_m+δ/2为气隙中心，外转子选取R₀＝R_r-h_m-δ/2为气隙中心，得到磁密分布如图9、图10、图11和图12所示，可以看出，本发明方法得到的气隙磁密与有限元法结果拟合较好。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (6)

1.一种定子开槽永磁电机复数气隙相对磁导及其磁场的求解方法，其特征在于，其步骤如下：

S1、根据定子开槽效应，建立复数气隙相对磁导与气隙磁密之间的关系；

S2、以电机一个齿距为求解模型，在极坐标系下建立气隙和磁极区域的拉普拉斯方程，得到气隙和磁极区域的磁场通解；

S3、利用槽口表面与铁心齿尖边角区附近磁场发散的数学规律，在槽口区域设置边界条件，并结合卡氏系数确定出磁场系数，求解出复数气隙相对磁导的径向分量和切向分量；

S4、根据求解出的复数气隙相对磁导，计算出不同极槽配合及径向和平行充磁方式下，定子开槽时内转子永磁电机的有槽气隙磁密和外转子永磁电机的有槽气隙磁密。

2.根据权利要求1所述的定子开槽永磁电机复数气隙相对磁导及其磁场的求解方法，其特征在于，所述气隙磁密包括有槽气隙磁密和无槽气隙磁密，且有槽气隙磁密等于无槽气隙磁密与复数气隙相对磁导的共轭复数之积，即：

B_s(r,θ)＝B_nos(r,θ)·λ^*(r,θ)(1)，

λ(r,θ)＝λ_a(r,θ)+jλ_b(r,θ)(2)，

其中，B_s(r,θ)为有槽气隙磁密，B_nos(r,θ)为无槽气隙磁密，λ(r,θ)为复数气隙相对磁导，λ^*(r,θ)为复数气隙相对磁导的共轭复数，j为虚数单位，λ_a(r,θ)为复数气隙相对磁导的实部，λ_b(r,θ)为复数气隙相对磁导的虚部，r为气隙半径，θ为机械角；

所述有槽气隙磁密的径向分量B_{r_s}(R₀,θ)和切向分量B_{θ_s}(R₀,θ)分别为：

B_{r_s}(r,θ)＝B_{r_nos}(r,θ)·λ_a(r,θ)+B_{θ_nos}(r,θ)·λ_b(r,θ)(3)，

B_{θ_s}(r,θ)＝B_{θ_nos}(r,θ)·λ_a(r,θ)-B_{r_nos}(r,θ)·λ_b(r,θ)(4)，

其中，B_{r_nos}(r,θ)为无槽气隙磁密的径向分量，B_{θ_nos}(r,θ)为无槽气隙磁密的切向分量；

所述无槽气隙磁密的切向分量小，令切向分量B_{θ_nos}(r,θ)＝0，则：

B_{r_s}(r,θ)≈B_{r_nos}(r,θ)·λ_a(r,θ)(5)，

B_{θ_s}(r,θ)≈-B_{r_nos}(r,θ)·λ_b(r,θ)(6)；

令气隙半径r＝R₀，为气隙处位置，R_r为转子铁心半径，R_s为定子铁心半径，则复数气隙相对磁导的实部λ_a(r,θ)和虚部λ_b(r,θ)分别为：

3.根据权利要求1或2所述的定子开槽永磁电机复数气隙相对磁导及其磁场的求解方法，其特征在于，所述气隙和磁极区域的拉普拉斯方程为：

其中，R_r为转子铁心半径，R_s为定子铁心半径，θ_s为齿距角，A为气隙和磁极区域的矢量磁位通解，则

其中，A₀、k为待定系数，A_n、B_n为磁矢位的n次谐波系数，z为槽数；

则极坐标系下气隙和磁极区域的磁密通解分别为：

其中，B_r(r,θ)为径向磁密通解，B_θ(r,θ)为切向磁密通解。

4.根据权利要求3所述的定子开槽永磁电机复数气隙相对磁导及其磁场的求解方法，其特征在于，所述根据槽口表面与铁心齿尖边角区附近磁场发散的数学规律，一个齿槽表面的切向磁密B_cc'(θ)为：

其中，c₀为待定常数，sign为符号函数，α_s0为槽开口角度；

对切向磁密B_cc'(θ)进行傅里叶级数展开：

其中，

根据齿槽与气隙区域边界之间的关系，在一个齿距区域内建立槽口区域的边界条件方程：

S31.1、在齿中心线处，磁力线垂直穿过气隙和磁极区域：

S31.2、在转子表面：

S31.3、在定子齿槽表面：

B_cc'(θ)＝B_θ(R_s,θ)(17)；

根据步骤S31.1至步骤S31.3的边界条件得到谐波磁密系数，进而得到气隙和磁极区域的磁密通解为：

电机开槽时一个齿距角θ_s内的平均气隙磁密为：

开槽时气隙磁密在齿中心线处最大，最大气隙磁密为：

根据卡氏系数

得：

其中，

b_s为齿宽，t_s为齿距。

5.根据权利要求1或2或4所述的定子开槽永磁电机复数气隙相对磁导及其磁场的求解方法，其特征在于，所述复数气隙相对磁导包括内转子永磁电机的复数气隙相对磁导和外转子永磁电机的复数气隙相对磁导，所述内转子永磁电机的复数气隙相对磁导的求解方法为：

S32.1、无槽气隙磁密分布比较均匀，齿中心线处气隙磁密最大，电机无槽时的平均气隙磁密为：

S32.2、内转子永磁电机的复数气隙相对磁导的径向分量和切向分量分别为：

其中，

g₁＝δ+h_m为定转子之间的距离，δ为气隙长度，h_m为永磁体磁化方向高度；

S32.3、根据步骤S32.1至步骤S32.2求得外转子永磁电机的复数气隙相对磁导为：

6.根据权利要求5所述的定子开槽永磁电机复数气隙相对磁导及其磁场的求解方法，其特征在于，所述定子开槽时内、外转子结构永磁电机的径向和切向气隙磁密的求解方法为：

S41、由无槽磁场和复数气隙相对磁导，求出齿槽效应时的空载磁场分布，又永磁电机的无槽气隙磁密为：

当np≠1时：

其中，

K_B(n)·f_Br(r)为无槽径向磁密谐波幅值，K_B(n)·f_Bθ(r)为无槽切向磁密谐波幅值，

M_n＝M_rn+npM_θn；径向充磁方式下：

A_3n＝np；平行充磁方式下：

其中，p为极对数，α_p为永磁体极弧系数，μ_r为永磁体相对磁导率，B_r为永磁体剩磁；

S42、考虑齿槽效应时，根据步骤S32.2中内转子永磁电机的复数气隙相对磁导，则内转子永磁电机的有槽气隙磁密为：

S43、考虑齿槽效应时，根据步骤S32.3中外转子永磁电机的复数气隙相对磁导，则外转子永磁电机的有槽气隙磁密为：

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