CN104091060B - 一种分段式Halbach阵列永磁电机磁场计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种分段式Halbach阵列永磁电机磁场计算方法，包括：确定求解区域；针对不同的求解区域，分别建立拉普拉斯方程或泊松方程；计及分段式Halbach阵列磁块之间的间隙，求解永磁体剩余磁化强度各次谐波下的径向及切向分量幅值；对所建立的拉普拉斯方程及泊松方程进行求解，得到求解区域内的标量磁位的表达式，进而得到各个区域磁密的径向分量及切向分量。本发明可以精确地求解具有任意每极磁块数及极对数的内外转子分段式Halbach阵列永磁电机的磁场。

Description

一种分段式Halbach阵列永磁电机磁场计算方法

技术领域

本发明涉及一种分段式Halbach阵列永磁电机。

背景技术

Halbach阵列永磁电机的Halbach阵列一般有两种形式，即整环式Halbach阵列及分段式Halbach阵列。但由于整环式Halbach阵列需要特殊的充磁装置且加工较为困难，因此在工程上常用的是分段式Halbach阵列，即将预先充好磁的磁块按照特定的顺序进行组合排列得到所需的Halbach阵列，磁块之间的磁力会使得磁块之间不可避免的存在间隙，这会对气隙磁场造成影响，进而对电机的反电动势、电磁转矩等电磁性能造成影响，因此准确计算分段式Halbach阵列永磁电机的气隙磁场具有重要的意义。

对于气隙磁场的计算一般采用解析法和有限元法，其中有限元法计算结果准确，但是其所耗用的计算时间长，占用的计算资源多，这些因素对磁场分析造成了诸多不便。而相比于有限元法，解析法计算速度快，占用的计算资源少，且随着解析法的发展其计算精度也在逐步提高，同时利用解析法可以方便地分析电机参数对气隙磁场的影响。

近年来针对分段式Halbach阵列永磁电机磁场解析计算方面的方法越来越多，精确度也越来越高，这为分段式Halbach阵列永磁电机气隙磁场的准确计算奠定了基础。

发明内容

本发明的目的是提供一种能够精确计算分段式Halbach阵列永磁电机磁场的方法。本发明的技术方案如下：

一种分段式Halbach阵列永磁电机磁场计算方法，包括下列步骤：

第一步：确定求解区域:建立分段式Halbach阵列永磁电机的物理模型，在电机的物理模型中从里到外定义四个圆周位置，其半径分别为R_i、R_mi、R_mo及R_o，利用极坐标系下的半径坐标r来说明各个区域，其中，r<R_i及r>R_o的区域由铁磁材料组成，R_i<r<R_mi及R_mo<r<R_o的区域为空气，若电机为内转子电机，永磁体内径为R_mi，永磁体外径为R_mo，定子内径为R_o，此时R_mo<r<R_o的区域为有效气隙区域，R_mi<r<R_mo为Halbach阵列永磁体区域，定子铁心由铁磁材料组成，当R_i＝R_mi时，转子铁心由铁磁材料组成，当R_i→0时，转子铁心由非铁磁材料组成；若电机为外转子电机，定子外径为R_i，永磁体内径为R_mi，永磁体外径为R_mo，此时R_i<r<R_mi的区域为有效气隙区域，R_mi<r<R_mo为Halbach阵列永磁体区域，定子铁心由铁磁材料组成，同时当R_o＝R_mo时，转子铁心由铁磁材料组成，当R_o→∞时，转子铁心由非铁磁材料组成；

第二步：针对不同的求解区域，分别建立拉普拉斯方程或泊松方程：在有效气隙区域建立拉普拉斯方程在分段式Halbach阵列永磁体区域建立泊松方程其中，为有效气隙区域的标量磁位，为分段式Halbach阵列永磁体区域的标量磁位，M为剩余磁化强度矢量，μ_r为永磁体的相对磁导率，方程中的r代表极坐标系下的半径坐标，θ代表极坐标系下的角坐标；

第三步：计及分段式Halbach阵列磁块之间的间隙，求解永磁体剩余磁化强度各次谐波下的径向及切向分量幅值M_rn及M_θn，其中下标rn及θn分别代表n次谐波径向分量及n次谐波切向分量；

第四步：根据空气与铁磁材料和空气与永磁体交界面处的边界条件，即在空气与铁磁材料的交界面处，磁场强度H只有径向分量而切向分量为0；在空气与永磁体的交界面处，磁场强度H的切向分量相等；在空气与永磁体的交界面处，磁感应强度B的径向分量相等，结合第三步得到的剩余磁化强度n次谐波下的径向及切向分量的幅值M_rn及M_θn，对第二步所建立的拉普拉斯方程及泊松方程进行求解，得到求解区域内的标量磁位的表达式，进而得到各个区域磁密的径向分量及切向分量。

其中的第三步可采用下面的方法：

(1)计及分段式Halbach阵列磁块之间的间隙，将磁块的宽度d₂与相邻磁块之间的距离d₁的比值定义为相对极弧系数α_pr＝d₂/d₁，则相邻磁块之间的间隙为其中，p为极对数，l为每极磁块数，R_mi为永磁体内径，R_mo为永磁体外径；

(2)确定分段式Halbach阵列中各永磁体块的充磁方向，第i(i＝1，2，…，2pl)块永磁体块的剩余磁化强度矢量与θ＝0之间的夹角为θ_m,i＝(1±p)θ_i，其中，θ_i为第i块永磁体中心线与θ＝0之间的夹角，其值为 ${\mathrm{\&theta;}}_i=\frac{i-1}{\mathrm{pl}}\mathrm{\&pi;};$

(3)永磁体剩余磁化强度的径向及切向分量是周期性的，其周期为2π/p，计及磁块间隙，写出一个周期内剩余磁化强度径向分量M_r及切向分量M_θ的表达式，其中M为剩余磁化强度矢量的幅值；

$M_r=\left\{\begin{array}{c}M\cos (\mathrm{\&theta;}-{\mathrm{\&theta;}}_{m,i}),0\&le;\mathrm{\&theta;}<\frac{\mathrm{\&pi;}{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}}}{2\mathrm{pl}},(i=1)\\ M\cos (\mathrm{\&theta;}-{\mathrm{\&theta;}}_{m,i}),\frac{\mathrm{\&pi;}[2(i-1)-{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}}]}{2\mathrm{pl}}\&le;\mathrm{\&theta;}<\frac{\mathrm{\&pi;}[2(i-1)+{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}}]}{2\mathrm{pl}},(i=\mathrm{2,3},...2l)\\ M\cos (\mathrm{\&theta;}-{\mathrm{\&theta;}}_{m,i}),\frac{\mathrm{\&pi;}(2\&times;2l-{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}})}{2\mathrm{pl}}\&le;\mathrm{\&theta;}<\frac{\mathrm{\&pi;}(2\&times;2l)}{2\mathrm{pl}},(i=2l+1)\\ 0,\frac{\mathrm{\&pi;}[2(i-1)+{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}}]}{2\mathrm{pl}}\&le;\mathrm{\&theta;}<\frac{\mathrm{\&pi;}(2i-{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}})}{2\mathrm{pl}},(i=\mathrm{1,2},...2l)\end{array}\right.$

$M_{\mathrm{\&theta;}}=\left\{\begin{array}{c}-M\sin (\mathrm{\&theta;}-{\mathrm{\&theta;}}_{m,i}),0\&le;\mathrm{\&theta;}<\frac{\mathrm{\&pi;}{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}}}{2\mathrm{pl}},(i=1)\\ -M\sin (\mathrm{\&theta;}-{\mathrm{\&theta;}}_{m,i}),\frac{\mathrm{\&pi;}[2(i-1)-{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}}]}{2\mathrm{pl}}\&le;\mathrm{\&theta;}<\frac{\mathrm{\&pi;}[2(i-1)+{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}}]}{2\mathrm{pl}},(i=\mathrm{2,3},...2l)\\ -M\sin (\mathrm{\&theta;}-{\mathrm{\&theta;}}_{m,i}),\frac{\mathrm{\&pi;}(2\&times;2l-{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}})}{2\mathrm{pl}}\&le;\mathrm{\&theta;}<\frac{\mathrm{\&pi;}(2\&times;2l)}{2\mathrm{pl}},(i=2l+1)\\ 0,\frac{\mathrm{\&pi;}[2(i-1)+{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}}]}{2\mathrm{pl}}\&le;\mathrm{\&theta;}<\frac{\mathrm{\&pi;}(2i-{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}})}{2\mathrm{pl}},(i=\mathrm{1,2},...2l)\end{array}\right.$

(4)对得到的剩余磁化强度径向及切向分量的周期性分段函数进行傅里叶分解得到表达式为

$\left\{\begin{array}{c}{M}_r=\underset{n=1}{\overset{\&infin;}{\mathrm{\&Sigma;}}}{M}_{\mathrm{rn}}\cos \left(\mathrm{np\&theta;}\right)\\ M_{\mathrm{\&theta;}}=\underset{n=1}{\overset{\&infin;}{\mathrm{\&Sigma;}}}{M}_{\mathrm{\&theta;n}}\sin \left(\mathrm{np\&theta;}\right)\end{array}\right.$

其中n为谐波阶次，M_rn及M_θn分别为剩余磁化强度各次谐波下的径向及切向分量的幅值，通过计算得到M_rn及M_θn的具体表达式如下

若np≠1，且n＝1,3,5,7，…，则有

$\left\{\begin{array}{c}{M}_{\mathrm{rn}}=\frac{2\mathrm{pM}}{\mathrm{\&pi;}}\{h_{1n}+h_{2n}+\underset{i=2}{\overset{l}{\mathrm{\&Sigma;}}}[h_{1n}\cos (\mathrm{\&pi;}(i-1)\left(n\stackrel{-}{+}1\right)/l)+h_{2n}\cos (\mathrm{\&pi;}(i-1)(n\&PlusMinus;1)/l)\left]\right\}\\ M_{\mathrm{\&theta;n}}=\frac{2\mathrm{pM}}{\mathrm{\&pi;}}\{h_{1n}-h_{2n}+\underset{i=2}{\overset{l}{\mathrm{\&Sigma;}}}[h_{1n}\cos (\mathrm{\&pi;}(i-1)\left(n\stackrel{-}{+}1\right)/l)-h_{2n}\cos (\mathrm{\&pi;}(i-1)(n\&PlusMinus;1)/l)\left]\right\}\end{array}\right.$

若np≠1，且n＝2,4,6,8，…，则有

$\left\{\begin{array}{c}{M}_{\mathrm{rn}}=\frac{2\mathrm{pM}}{\mathrm{\&pi;}}\underset{i=2}{\overset{l}{\mathrm{\&Sigma;}}}[h_{1n}\cos (\mathrm{\&pi;}(i-1)\left(n\stackrel{-}{+}1\right)/l)+h_{2n}\cos (\mathrm{\&pi;}(i-1)(n\&PlusMinus;1)/l)]\\ M_{\mathrm{\&theta;n}}=\frac{2\mathrm{pM}}{\mathrm{\&pi;}}\underset{i=2}{\overset{l}{\mathrm{\&Sigma;}}}[h_{1n}\cos (\mathrm{\&pi;}(i-1)\left(n\stackrel{-}{+}1\right)/l)-h_{2n}\cos (\mathrm{\&pi;}(i-1)(n\&PlusMinus;1)/l)]\end{array}\right.$

式中，n为谐波阶次；

“±”和“”中的上层符号表示外转子，下层符号表示内转子；h_1n、h_2n为待定系数，其表达式为

$h_{1n}=\frac{\sin [\mathrm{\&pi;}{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}}(1+\mathrm{np})/\left(2\mathrm{pl}\right)]}{1+\mathrm{np}}$

$h_{2n}=\frac{\sin [\mathrm{\&pi;}{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}}(1-\mathrm{np})/\left(2\mathrm{pl}\right)]}{1-\mathrm{np}}$

若np＝1，对于外转子电机，则有

$\left\{\begin{array}{c}{M}_{r1}=\frac{\mathrm{pM}}{\mathrm{\&pi;}}l\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;}{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}}}{l}\right)\\ M_{\mathrm{\&theta;}1}=\frac{\mathrm{pM}}{\mathrm{\&pi;}}l\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;}{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}}}{l}\right)\end{array}\right.$

若np＝1，对于内转子电机，则有

$\left\{\begin{array}{c}{M}_{r1}=\mathrm{pM}{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}}\\ M_{\mathrm{\&theta;}1}=-\mathrm{pM}{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}}\end{array}\right..$

本发明具有如下的突出的有益效果：

1、本发明对气隙磁场进行计算时考虑了分段式Halbach阵列磁块之间的间隙，能够得到更为准确的气隙磁场分布，同时，可以对具有任意每极磁块数及极对数的内外转子分段式Halbach阵列永磁电机的磁场进行分析；

2、利用本发明的计算方法可以分析磁块间隙及计及磁块间隙时每极磁块数及极对数对气隙磁密基波幅值和波形畸变率的影响，为分段式Halbach阵列的组合拼装提供参考。

附图说明

图1 电机求解区域模型图。

图2 分段式Halbach阵列局部示意图。

图3 解析法与有限元法计算内转子Halbach阵列永磁电机气隙磁场结果对比图,其中(a)代表气隙磁密的径向分量对比图，(b)代表气隙磁密的切向分量对比图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明进行说明。

第一步：确定求解区域；

由图1可以看到，求解区域被分为三个，区域I及区域III为空气域，若电机为内转子，则区域I为有效气隙区域，区域III根据转子铁心材料属性进行调节，当R_i＝R_mi时，转子铁心由铁磁材料组成，当R_i→0时，转子铁心由非铁磁材料组成，若电机为外转子，则区域III为有效气隙区域，区域I根据转子铁心材料属性进行调节，当R_o＝R_mo时，转子铁心由铁磁材料组成，当R_o→∞时，转子铁心由非铁磁材料组成；区域II为分段式Halbach阵列永磁体区域。

第二步：针对不同的求解区域，分别建立拉普拉斯方程或泊松方程；

在区域I及区域III建立拉普拉斯方程

在区域II建立泊松方程

式中：—区域I、II及III中的标量磁位；

M—永磁体剩余磁化强度矢量；

μ_r—永磁体的相对磁导率；

式中的r、θ代表极坐标系中的半径坐标和角坐标。

第三步：计及分段式Halbach阵列磁块之间的间隙，求解永磁体剩余磁化强度各次谐波下的径向及切向分量幅值M_rn及M_θn；

在分段式Halbach阵列永磁电机中，磁块之间的距离为d₁，磁块的宽度为d₂，如图2所示，将分段式Halbach阵列中磁块宽度与磁块之间距离的比值定义为相对极弧极数α_pr，即

α_pr＝d₂/d₁ (4)

确定各块永磁体的充磁方向，分段式Halbach阵列永磁电机中每一块永磁体都有其特定的充磁方向，如图1所示。其中θ_m,i为第i(i＝1，2，…，2pl)块永磁体块的剩余磁化强度矢量与θ＝0之间的夹角。

θ_m,i＝(1±p)θ_i (5)

式中，p—极对数；

l—每极磁块数；

+—外转子；

－—内转子；

θ_i—第i块永磁体中心线与θ＝0之间的夹角。

(i＝1,2,3,…,2pl) (6)

根据各块永磁体的充磁方向及各个位置相对于初始位置的夹角，得到一个周期内各个位置剩余磁化强度的径向及切向分量表达式

M_r与M_θ的周期为2π/p，在一个周期内剩余磁化强度径向及切向分量M_r与M_θ的表达式如下式(7)、(8)所示

$M_r=\left\{\begin{array}{c}M\cos (\mathrm{\&theta;}-{\mathrm{\&theta;}}_{m,i}),0\&le;\mathrm{\&theta;}<\frac{\mathrm{\&pi;}{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}}}{2\mathrm{pl}},(i=1)\\ M\cos (\mathrm{\&theta;}-{\mathrm{\&theta;}}_{m,i}),\frac{\mathrm{\&pi;}[2(i-1)-{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}}]}{2\mathrm{pl}}\&le;\mathrm{\&theta;}<\frac{\mathrm{\&pi;}[2(i-1)+{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}}]}{2\mathrm{pl}},(i=\mathrm{2,3},...2l)\\ M\cos (\mathrm{\&theta;}-{\mathrm{\&theta;}}_{m,i}),\frac{\mathrm{\&pi;}(2\&times;2l-{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}})}{2\mathrm{pl}}\&le;\mathrm{\&theta;}<\frac{\mathrm{\&pi;}(2\&times;2l)}{2\mathrm{pl}},(i=2l+1)\\ 0,\frac{\mathrm{\&pi;}[2(i-1)+{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}}]}{2\mathrm{pl}}\&le;\mathrm{\&theta;}<\frac{\mathrm{\&pi;}(2i-{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}})}{2\mathrm{pl}},(i=\mathrm{1,2},...2l)\end{array}\right.---\left(7\right)$

$M_{\mathrm{\&theta;}}=\left\{\begin{array}{c}-M\sin (\mathrm{\&theta;}-{\mathrm{\&theta;}}_{m,i}),0\&le;\mathrm{\&theta;}<\frac{\mathrm{\&pi;}{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}}}{2\mathrm{pl}},(i=1)\\ -M\sin (\mathrm{\&theta;}-{\mathrm{\&theta;}}_{m,i}),\frac{\mathrm{\&pi;}[2(i-1)-{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}}]}{2\mathrm{pl}}\&le;\mathrm{\&theta;}<\frac{\mathrm{\&pi;}[2(i-1)+{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}}]}{2\mathrm{pl}},(i=\mathrm{2,3},...2l)\\ -M\sin (\mathrm{\&theta;}-{\mathrm{\&theta;}}_{m,i}),\frac{\mathrm{\&pi;}(2\&times;2l-{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}})}{2\mathrm{pl}}\&le;\mathrm{\&theta;}<\frac{\mathrm{\&pi;}(2\&times;2l)}{2\mathrm{pl}},(i=2l+1)\\ 0,\frac{\mathrm{\&pi;}[2(i-1)+{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}}]}{2\mathrm{pl}}\&le;\mathrm{\&theta;}<\frac{\mathrm{\&pi;}(2i-{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}})}{2\mathrm{pl}},(i=\mathrm{1,2},...2l)\end{array}\right.---\left(8\right)$

式中，M—剩余磁化强度的幅值，M＝B_r/μ₀，其中B_r为永磁体的剩余磁密，μ₀为空气的磁导率。

对式(7)及式(8)中得到的剩余磁化强度的径向及切向分量的表达式进行傅里叶分解，得到表达式如式(9)所示。通过计算得到剩余磁化强度各次谐波下的径向及切向分量幅值的表达式如式(10)～(13)所示

$\left\{\begin{array}{c}{M}_r=\underset{n=1}{\overset{\&infin;}{\mathrm{\&Sigma;}}}{M}_{\mathrm{rn}}\cos \left(\mathrm{np\&theta;}\right)\\ M_{\mathrm{\&theta;}}=\underset{n=1}{\overset{\&infin;}{\mathrm{\&Sigma;}}}{M}_{\mathrm{\&theta;n}}\sin \left(\mathrm{np\&theta;}\right)\end{array}\right.---\left(9\right)$

式中，M_rn及M_θn为剩余磁化强度n次谐波下的径向及切向分量的幅值。

通过计算

若np≠1，且n＝1,3,5,7，…，则有

$\left\{\begin{array}{c}{M}_{\mathrm{rn}}=\frac{2\mathrm{pM}}{\mathrm{\&pi;}}\{h_{1n}+h_{2n}+\underset{i=2}{\overset{l}{\mathrm{\&Sigma;}}}[h_{1n}\cos (\mathrm{\&pi;}(i-1)\left(n\stackrel{-}{+}1\right)/l)+h_{2n}\cos (\mathrm{\&pi;}(i-1)(n\&PlusMinus;1)/l)\left]\right\}\\ M_{\mathrm{\&theta;n}}=\frac{2\mathrm{pM}}{\mathrm{\&pi;}}\{h_{1n}-h_{2n}+\underset{i=2}{\overset{l}{\mathrm{\&Sigma;}}}[h_{1n}\cos (\mathrm{\&pi;}(i-1)\left(n\stackrel{-}{+}1\right)/l)-h_{2n}\cos (\mathrm{\&pi;}(i-1)(n\&PlusMinus;1)/l)\left]\right\}\end{array}\right.---\left(10\right)$

若np≠1，且n＝2,4,6,8，…，则有

$\left\{\begin{array}{c}{M}_{\mathrm{rn}}=\frac{2\mathrm{pM}}{\mathrm{\&pi;}}\underset{i=2}{\overset{l}{\mathrm{\&Sigma;}}}[h_{1n}\cos (\mathrm{\&pi;}(i-1)\left(n\stackrel{-}{+}1\right)/l)+h_{2n}\cos (\mathrm{\&pi;}(i-1)(n\&PlusMinus;1)/l)]\\ M_{\mathrm{\&theta;n}}=\frac{2\mathrm{pM}}{\mathrm{\&pi;}}\underset{i=2}{\overset{l}{\mathrm{\&Sigma;}}}[h_{1n}\cos (\mathrm{\&pi;}(i-1)\left(n\stackrel{-}{+}1\right)/l)-h_{2n}\cos (\mathrm{\&pi;}(i-1)(n\&PlusMinus;1)/l)]\end{array}\right.---\left(11\right)$

式中，n—谐波阶次；

“±”和“”中的上层符号表示外转子，下层符号表示内转子；h_1n、h_2n为待定系数，其表达式为

$h_{1n}=\frac{\sin [\mathrm{\&pi;}{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}}(1+\mathrm{np})/\left(2\mathrm{pl}\right)]}{1+\mathrm{np}}$

$h_{2n}=\frac{\sin [\mathrm{\&pi;}{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}}(1-\mathrm{np})/\left(2\mathrm{pl}\right)]}{1-\mathrm{np}}$

若np＝1，对于外转子电机，则有

$\left\{\begin{array}{c}{M}_{r1}=\frac{\mathrm{pM}}{\mathrm{\&pi;}}l\sinh \\ M_{\mathrm{\&theta;}1}=\frac{\mathrm{pM}}{\mathrm{\&pi;}}l\sinh \end{array}\right.---\left(12\right)$

式中， $h=\frac{\mathrm{\&pi;}{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}}}{l}$

若np＝1，对于内转子电机，则有

$\left\{\begin{array}{c}{M}_{r1}=\mathrm{pM}{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}}\\ M_{\mathrm{\&theta;}1}=-\mathrm{pM}{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}}\end{array}\right.---\left(13\right)$

第四步：建立边界条件，对第二步所建立的拉普拉斯方程及泊松方程进行求解，得到三个求解区域内的标量磁位的表达式，进而得到各个区域中磁密的径向分量及切向分量；

边界条件的确立

在空气与铁磁材料的交界面处，磁场强度H只有径向分量而切向分量为0；

在空气与永磁体的交界面处，磁场强度H的切向分量相等；

在空气与永磁体的交界面处，磁感应强度B的径向分量相等。

各个区域磁密径向分量及切向分量表达式

当np≠1时

区域I

$B_{1r}=-\underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}{b}_{1n}[{\left(\frac{r}{R_o}\right)}^{\mathrm{np}-1}{\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{R_o}\right)}^{\mathrm{np}+1}+{\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{r}\right)}^{\mathrm{np}+1}]\cos \left(\mathrm{np\&theta;}\right)---\left(14\right)$

$B_{1\mathrm{\&theta;}}=\underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}{b}_{1n}[{\left(\frac{r}{R_o}\right)}^{\mathrm{np}-1}{\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{R_o}\right)}^{\mathrm{np}+1}-{\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{r}\right)}^{\mathrm{np}+1}]\sin \left(\mathrm{np\&theta;}\right)---\left(15\right)$

区域II

$B_{2r}=-\underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&mu;}}_0\frac{\mathrm{np}}{{\left(\mathrm{np}\right)}^2-1}[g_{1n}{\left(\frac{r}{R_{\mathrm{mo}}}\right)}^{\mathrm{np}-1}+g_{2n}{\left(\frac{R_{\mathrm{mi}}}{r}\right)}^{\mathrm{np}+1}]\cos \left(\mathrm{np\&theta;}\right)+\underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&mu;}}_0\left(\mathrm{np}\right)M_n\cos \left(\mathrm{np\&theta;}\right)---\left(16\right)$

$B_{2\mathrm{\&theta;}}=\underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&mu;}}_0\frac{\mathrm{np}}{{\left(\mathrm{np}\right)}^2-1}[g_{1n}{\left(\frac{r}{R_{\mathrm{mo}}}\right)}^{\mathrm{np}-1}-g_{2n}{\left(\frac{R_{\mathrm{mi}}}{r}\right)}^{\mathrm{np}+1}]\sin \left(\mathrm{np\&theta;}\right)-\underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&mu;}}_0{M}_n\sin \left(\mathrm{np\&theta;}\right)---\left(17\right)$

区域III

$B_{3r}=-\underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}{b}_{3n}[{\left(\frac{r}{R_{\mathrm{mi}}}\right)}^{\mathrm{np}-1}+{\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mi}}}\right)}^{\mathrm{np}-1}{\left(\frac{R_i}{r}\right)}^{\mathrm{np}+1}]\cos \left(\mathrm{np\&theta;}\right)---\left(18\right)$

$B_{3\mathrm{\&theta;}}=\underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}{b}_{3n}[{\left(\frac{r}{R_{\mathrm{mi}}}\right)}^{\mathrm{np}-1}-{\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mi}}}\right)}^{\mathrm{np}-1}{\left(\frac{R_i}{r}\right)}^{\mathrm{np}+1}]\sin \left(\mathrm{np\&theta;}\right)---\left(19\right)$

式中，b_1n、g_1n、g_2n、b_3n、M_n为待定系数，其表达式由下式列出

$b_{1n}={\mathrm{\&mu;}}_0\frac{\mathrm{np}}{{\left(\mathrm{np}\right)}^2-1}\frac{b_{11n}+b_{12n}}{b_n}$

$b_{11n}=-(\mathrm{np}+1)\&times;(M_{\mathrm{rn}}+M_{\mathrm{\&theta;n}})\&times;\left\{({\mathrm{\&mu;}}_r+1)\right[1+{\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mo}}}\right)}^{2\mathrm{np}}]-({\mathrm{\&mu;}}_r-1)[{\left(\frac{R_{\mathrm{mi}}}{R_{\mathrm{mo}}}\right)}^{2\mathrm{np}}+{\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mi}}}\right)}^{2\mathrm{np}}\left]\right\}$

$\begin{array}{c}{b}_{12n}=2\{({\mathrm{\&mu;}}_r+1)(\mathrm{np}{M}_{\mathrm{rn}}+M_{\mathrm{\&theta;n}})-({\mathrm{\&mu;}}_r-1)(\mathrm{np}{M}_{\mathrm{rn}}+M_{\mathrm{\&theta;n}}){\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mi}}}\right)}^{2\mathrm{np}}+(M_{\mathrm{rn}}+\mathrm{np}{M}_{\mathrm{\&theta;n}})\\ [1+{\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mi}}}\right)}^{2\mathrm{np}}]{\left(\frac{R_{\mathrm{mi}}}{R_{\mathrm{mo}}}\right)}^{\mathrm{np}+1}-{\mathrm{\&mu;}}_r(\mathrm{np}{M}_{\mathrm{rn}}+M_{\mathrm{\&theta;n}})[1-{\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mi}}}\right)}^{2\mathrm{np}}]{\left(\frac{R_{\mathrm{mi}}}{R_{\mathrm{mo}}}\right)}^{\mathrm{np}+1}\}\end{array}$

$\begin{array}{c}{b}_n=[({\mathrm{\&mu;}}_r+1){\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mo}}}\right)}^{2\mathrm{np}}-({\mathrm{\&mu;}}_r-1){\left(\frac{R_{\mathrm{mi}}}{R_{\mathrm{mo}}}\right)}^{2\mathrm{np}}]\&times;[({\mathrm{\&mu;}}_r+1){\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{R_o}\right)}^{2\mathrm{np}}-({\mathrm{\&mu;}}_r-1)]\\ -[({\mathrm{\&mu;}}_r+1)-({\mathrm{\&mu;}}_r-1){\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mi}}}\right)}^{2\mathrm{np}}]\&times;[({\mathrm{\&mu;}}_r+1)-({\mathrm{\&mu;}}_r-1){\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{R_o}\right)}^{2\mathrm{np}}]\end{array}$

$g_{1n}=\frac{b_{21n}}{b_n}$

$g_{2n}=\frac{b_{22n}}{b_n}$

$M_n=\frac{\mathrm{np}{M}_{\mathrm{rn}}+M_{\mathrm{\&theta;n}}}{{\left(\mathrm{np}\right)}^2-1}$

$\begin{array}{c}{b}_{21n}=\{{\left(\frac{R_{\mathrm{mi}}}{R_{\mathrm{mo}}}\right)}^{\mathrm{np}+1}\&times;\{[1+{\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{R_o}\right)}^{2\mathrm{np}}]-{\mathrm{\&mu;}}_r[1-{\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{R_o}\right)}^{2\mathrm{np}}]\}\&times;\{(\mathrm{np}{M}_{\mathrm{rn}}+M_{\mathrm{\&theta;n}})[1+{\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mi}}}\right)}^{2\mathrm{np}}]-{\mathrm{\&mu;}}_r(M_{\mathrm{rn}}+\mathrm{np}{M}_{\mathrm{\&theta;n}})[1-{\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mi}}}\right)}^{2\mathrm{np}}]\}\\ -\left\{\right[1+{\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mi}}}\right)}^{2\mathrm{np}}]+{\mathrm{\&mu;}}_r[1-{\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mi}}}\right)}^{2\mathrm{np}}\left]\right\}\&times;\left\{(M_{\mathrm{rn}}+\mathrm{np}{M}_{\mathrm{\&theta;n}})\right[1+{\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{R_o}\right)}^{2\mathrm{np}}]+{\mathrm{\&mu;}}_r(\mathrm{np}{M}_{\mathrm{rn}}+M_{\mathrm{\&theta;n}})[1-{\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{R_o}\right)}^{2\mathrm{np}}\left]\right\}\}\end{array}$

$\begin{array}{c}{b}_{22n}=\{-{\left(\frac{R_{\mathrm{mi}}}{R_{\mathrm{mo}}}\right)}^{\mathrm{np}-1}\&times;\{[1+{\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mi}}}\right)}^{2\mathrm{np}}]-{\mathrm{\&mu;}}_r[1-{\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mi}}}\right)}^{2\mathrm{np}}]\}\&times;\{(M_{\mathrm{rn}}+\mathrm{np}{M}_{\mathrm{\&theta;n}})[1+{\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{R_o}\right)}^{2\mathrm{np}}]+{\mathrm{\&mu;}}_r(\mathrm{np}{M}_{\mathrm{rn}}+M_{\mathrm{\&theta;n}})[1-{\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{R_o}\right)}^{2\mathrm{np}}]\}\\ +\left\{\right[1+{\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{R_o}\right)}^{2\mathrm{np}}]+{\mathrm{\&mu;}}_r[1-{\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{R_o}\right)}^{2\mathrm{np}}\left]\right\}\&times;\left\{(\mathrm{np}{M}_{\mathrm{rn}}+M_{\mathrm{\&theta;n}})\right[1+{\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mi}}}\right)}^{2\mathrm{np}}]-{\mathrm{\&mu;}}_r(M_{\mathrm{rn}}+\mathrm{np}{M}_{\mathrm{\&theta;n}})[1-{\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mi}}}\right)}^{2\mathrm{np}}\left]\right\}\}\end{array}$

$b_{3n}={\mathrm{\&mu;}}_0\frac{\mathrm{np}}{{\left(\mathrm{np}\right)}^2-1}\frac{b_{31n}+b_{32n}}{b_n}$

$b_{31n}=(\mathrm{np}+1)\&times;(M_{\mathrm{rn}}+M_{\mathrm{\&theta;n}})\&times;\left\{({\mathrm{\&mu;}}_r+1)\right[1+{\left(\frac{R_{\mathrm{mi}}}{R_o}\right)}^{2\mathrm{np}}]-({\mathrm{\&mu;}}_r-1)[{\left(\frac{R_{\mathrm{mi}}}{R_{\mathrm{mo}}}\right)}^{2\mathrm{np}}+{\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{R_o}\right)}^{2\mathrm{np}}\left]\right\}$

$\begin{array}{c}{b}_{32n}=2\{({\mathrm{\&mu;}}_r-1)(\mathrm{np}{M}_{\mathrm{rn}}+M_{\mathrm{\&theta;n}}){\left(\frac{R_{\mathrm{mi}}}{R_{\mathrm{mo}}}\right)}^{2\mathrm{np}}-(M_{\mathrm{rn}}+\mathrm{np}{M}_{\mathrm{\&theta;n}})[1+{\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{R_o}\right)}^{2\mathrm{np}}]{\left(\frac{R_{\mathrm{mi}}}{R_{\mathrm{mo}}}\right)}^{\mathrm{np}-1}-\\ ({\mathrm{\&mu;}}_r+1)(\mathrm{np}{M}_{\mathrm{rn}}+M_{\mathrm{\&theta;n}}){\left(\frac{R_{\mathrm{mi}}}{R_o}\right)}^{2\mathrm{np}}-{\mathrm{\&mu;}}_r(\mathrm{np}{M}_{\mathrm{rn}}+M_{\mathrm{\&theta;n}})[1-{\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{R_o}\right)}^{2\mathrm{np}}]{\left(\frac{R_{\mathrm{mi}}}{R_{\mathrm{mo}}}\right)}^{\mathrm{np}-1}\}\end{array}$

当np＝1时

区域I

$B_{1r}=-b_1[{\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{R_o}\right)}^2+{\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{r}\right)}^2]\cos \mathrm{\&theta;}---\left(20\right)$

$B_{1\mathrm{\&theta;}}=b_1\left[{\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{R_o}\right)}^2{-\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{r}\right)}^2\right]\sin \mathrm{\&theta;}---\left(21\right)$

区域II

$B_{2r}=-{\mathrm{\&mu;}}_0{\mathrm{\&mu;}}_r[g_1+g_2{\left(\frac{R_{\mathrm{mi}}}{r}\right)}^2]\cos \mathrm{\&theta;}+{\mathrm{\&mu;}}_0(\frac{M_{r1}-M_{\mathrm{\&theta;}1}}{2}-\frac{M_{r1}+M_{\mathrm{\&theta;}1}}{2}\ln r)\cos \mathrm{\&theta;}---\left(22\right)$

$B_{2\mathrm{\&theta;}}={\mathrm{\&mu;}}_0{\mathrm{\&mu;}}_r[g_1-g_2{\left(\frac{R_{\mathrm{mi}}}{r}\right)}^2]\sin \mathrm{\&theta;}+{\mathrm{\&mu;}}_0(M_{\mathrm{\&theta;}1}+\frac{M_{r1}+M_{\mathrm{\&theta;}1}}{2}\ln r)\sin \mathrm{\&theta;}---\left(23\right)$

区域III

$B_{3r}=-b_3[1+{\left(\frac{R_i}{r}\right)}^2]\cos \mathrm{\&theta;}---\left(24\right)$

$B_{3\mathrm{\&theta;}}=b_3[1-{\left(\frac{R_i}{r}\right)}^2]\sin \mathrm{\&theta;}---\left(25\right)$

式中，b₁、g₁、g₂、b₃为待定系数，其表达式由下式列出

$b_1={\mathrm{\&mu;}}_0\frac{b_{11}+b_{12}}{b}$

$b_{11}=[(M_{r1}-M_{\mathrm{\&theta;}1})/2-(M_{r1}+M_{\mathrm{\&theta;}1})\ln R_{\mathrm{mo}}]\&times;\left\{({\mathrm{\&mu;}}_r-1)\right[{\left(\frac{R_{\mathrm{mi}}}{R_{\mathrm{mo}}}\right)}^2+{\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mi}}}\right)}^2]-({\mathrm{\&mu;}}_r+1)[1+{\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mo}}}\right)}^2\left]\right\}$

$\begin{array}{c}{b}_{12}=2\left\{({\mathrm{\&mu;}}_r+1)\right[\frac{M_{r1}-M_{\mathrm{\&theta;}1}}{2}-\frac{M_{r1}+M_{\mathrm{\&theta;}1}}{2}\ln R_{\mathrm{mo}}-\frac{M_{r1}+M_{\mathrm{\&theta;}1}}{2}\ln R_{\mathrm{mi}}{\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mo}}}\right)}^2]-{\mathrm{\&mu;}}_r\frac{M_{r1}-M_{\mathrm{\&theta;}1}}{2}[{\left(\frac{R_{\mathrm{mi}}}{R_{\mathrm{mo}}}\right)}^2-{\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mo}}}\right)}^2]\\ +({\mathrm{\&mu;}}_r-1)[\frac{M_{r1}+M_{\mathrm{\&theta;}1}}{2}\ln R_{\mathrm{mi}}{\left(\frac{R_{\mathrm{mi}}}{R_{\mathrm{mo}}}\right)}^2-{\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mi}}}\right)}^2\&times;(\frac{M_{r1}-M_{\mathrm{\&theta;}1}}{2}-\frac{M_{r1}+M_{\mathrm{\&theta;}1}}{2}\ln R_{\mathrm{mo}})]\}\end{array}$

$\begin{array}{c}b=[({\mathrm{\&mu;}}_r+1){\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mo}}}\right)}^2-({\mathrm{\&mu;}}_r-1){\left(\frac{R_{\mathrm{mi}}}{R_{\mathrm{mo}}}\right)}^2]\&times;[({\mathrm{\&mu;}}_r+1){\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{R_o}\right)}^2-({\mathrm{\&mu;}}_r-1)]\\ -[({\mathrm{\&mu;}}_r+1)-({\mathrm{\&mu;}}_r-1){\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mi}}}\right)}^2]\&times;[({\mathrm{\&mu;}}_r+1)-({\mathrm{\&mu;}}_r-1){\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{R_o}\right)}^2]\end{array}$

$g_1=\frac{b_{21}}{b}$

$g_2=\frac{b_{22}}{b}$

$\begin{array}{c}{b}_{21}=\{-{\left(\frac{R_{\mathrm{mi}}}{R_{\mathrm{mo}}}\right)}^2\&times;\{[1+{\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{R_o}\right)}^2]-{\mathrm{\&mu;}}_r[1-{\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{R_o}\right)}^2]\}\&times;\{\frac{M_{r1}+M_{\mathrm{\&theta;}1}}{2}\ln R_{\mathrm{mi}}[1+{\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mi}}}\right)}^2]\\ +{\mathrm{\&mu;}}_r(\frac{M_{r1}-M_{\mathrm{\&theta;}1}}{2}-\frac{M_{r1}+M_{\mathrm{\&theta;}1}}{2}\ln R_{\mathrm{mi}})[1-{\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mi}}}\right)}^2]\}+\{[1+{\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mi}}}\right)}^2]+{\mathrm{\&mu;}}_r[1-{\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mi}}}\right)}^2]\}\\ \&times;\left\{\frac{M_{r1}+M_{\mathrm{\&theta;}1}}{2}\right[1+{\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{R_o}\right)}^2]\ln R_{\mathrm{mo}}-{\mathrm{\&mu;}}_r(\frac{M_{r1}-M_{\mathrm{\&theta;}1}}{2}-\frac{M_{r1}+M_{\mathrm{\&theta;}1}}{2}\ln R_{\mathrm{mo}})\}\}\end{array}$

$\begin{array}{c}{b}_{22}=\{-\{[1+{\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{R_o}\right)}^2]+{\mathrm{\&mu;}}_r[1-{\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{R_o}\right)}^2]\}\&times;\{\frac{M_{r1}+M_{\mathrm{\&theta;}1}}{2}\ln R_{\mathrm{mi}}[1+{\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mi}}}\right)}^2]\\ +{\mathrm{\&mu;}}_r(\frac{M_{r1}-M_{\mathrm{\&theta;}1}}{2}-\frac{M_{r1}+M_{\mathrm{\&theta;}1}}{2}\ln R_{\mathrm{mi}})[1-{\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mi}}}\right)}^2]\}+\{[1+{\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mi}}}\right)}^2]-{\mathrm{\&mu;}}_r[1-{\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mi}}}\right)}^2]\}\\ \&times;\left\{\frac{M_{r1}+M_{\mathrm{\&theta;}1}}{2}\right[1+{\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{R_o}\right)}^2]\ln R_{\mathrm{mo}}-{\mathrm{\&mu;}}_r(\frac{M_{r1}-M_{\mathrm{\&theta;}1}}{2}-\frac{M_{r1}+M_{\mathrm{\&theta;}1}}{2}\ln R_{\mathrm{mo}})\}\}\end{array}$

$b_3={\mathrm{\&mu;}}_0\frac{b_{31}+b_{32}}{b}$

$b_{31}=[\frac{M_{r1}-M_{\mathrm{\&theta;}1}}{2}-(M_{r1}+M_{\mathrm{\&theta;}1})\ln R_{\mathrm{mi}}]\&times;\left\{({\mathrm{\&mu;}}_r+1)\right[1+{\left(\frac{R_{\mathrm{mi}}}{R_o}\right)}^2]-({\mathrm{\&mu;}}_r-1)[{\left(\frac{R_{\mathrm{mi}}}{R_{\mathrm{mo}}}\right)}^2+{\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{R_o}\right)}^2\left]\right\}$

$\begin{array}{c}{b}_{32}=2\left\{({\mathrm{\&mu;}}_r+1)\right[\frac{M_{r1}+M_{\mathrm{\&theta;}1}}{2}\ln R_{\mathrm{mo}}-{\left(\frac{R_{\mathrm{mi}}}{R_o}\right)}^2\&times;(\frac{M_{r1}-M_{\mathrm{\&theta;}1}}{2}-\frac{M_{r1}+M_{\mathrm{\&theta;}1}}{2}\ln R_{\mathrm{mi}})]-{\mathrm{\&mu;}}_r\frac{M_{r1}-M_{\mathrm{\&theta;}1}}{2}[1-{\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{R_o}\right)}^2]\\ +({\mathrm{\&mu;}}_r-1)[-\frac{M_{r1}+M_{\mathrm{\&theta;}1}}{2}\ln R_{\mathrm{mo}}{\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{R_o}\right)}^2+{\left(\frac{R_{\mathrm{mi}}}{R_{\mathrm{mo}}}\right)}^2\&times;(\frac{M_{r1}-M_{\mathrm{\&theta;}1}}{2}-\frac{M_{r1}+M_{\mathrm{\&theta;}1}}{2}\ln R_{\mathrm{mi}})]\}\end{array}$

以一台内转子分段式Halbach阵列永磁同步电机为例来介绍提出的磁场计算方法，电机的参数如表1所示。

表1内转子电机参数

确定求解区域

电机为内转子结构，因此由图1可以看出，区域I为有效气隙区域，区域II为分段式Halbach永磁体阵列区域，因为R_i＝R_mi，因此区域III为由铁磁材料构成的转子铁心区域。

针对不同求解区域，在极坐标系下，分别建立拉普拉斯方程或泊松方程

在区域I建立拉普拉斯方程

在区域II建立泊松方程

式中：—区域I、II中的标量磁位；

M—永磁体剩余磁化强度矢量；

μ_r—永磁体的相对磁导率。

永磁体剩余磁化强度的计算

确定各块永磁体的充磁方向

分段式Halbach阵列永磁电机中每一块永磁体都有其特定的充磁方向，其中第i(i＝1，2，…，20)块永磁体块的剩余磁化强度矢量与与θ＝0之间的夹角如式(28)所示。

θ_m,i＝-θ_i (28)

θ_i—第i块永磁体中心线与θ＝0之间的夹角，其表达式为

(i＝1,2,3,…,20) (29)

M_r与M_θ的周期为π，在一个周期内M_r与M_θ的表达式如下式所示

$M_r=\left\{\begin{array}{c}M\cos (\mathrm{\&theta;}-{\mathrm{\&theta;}}_{m,i}),0\&le;\mathrm{\&theta;}<\frac{\mathrm{\&pi;}{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}}}{2\mathrm{pl}},(i=1)\\ M\cos (\mathrm{\&theta;}-{\mathrm{\&theta;}}_{m,i}),\frac{\mathrm{\&pi;}[2(i-1)-{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}}]}{2\mathrm{pl}}\&le;\mathrm{\&theta;}<\frac{\mathrm{\&pi;}[2(i-1)+{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}}]}{2\mathrm{pl}},(i=\mathrm{2,3},...10)\\ M\cos (\mathrm{\&theta;}-{\mathrm{\&theta;}}_{m,i}),\frac{\mathrm{\&pi;}(2\&times;2l-{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}})}{2\mathrm{pl}}\&le;\mathrm{\&theta;}<\frac{\mathrm{\&pi;}(2\&times;2l)}{2\mathrm{pl}},(i=11)\\ 0,\frac{\mathrm{\&pi;}[2(i-1)+{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}}]}{2\mathrm{pl}}\&le;\mathrm{\&theta;}<\frac{\mathrm{\&pi;}(2i-{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}})}{2\mathrm{pl}},(i=\mathrm{1,2},...10)\end{array}\right.---\left(30\right)$

$M_{\mathrm{\&theta;}}=\left\{\begin{array}{c}-M\sin (\mathrm{\&theta;}-{\mathrm{\&theta;}}_{m,i}),0\&le;\mathrm{\&theta;}<\frac{\mathrm{\&pi;}{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}}}{2\mathrm{pl}},(i=1)\\ -M\sin (\mathrm{\&theta;}-{\mathrm{\&theta;}}_{m,i}),\frac{\mathrm{\&pi;}[2(i-1)-{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}}]}{2\mathrm{pl}}\&le;\mathrm{\&theta;}<\frac{\mathrm{\&pi;}[2(i-1)+{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}}]}{2\mathrm{pl}},(i=\mathrm{2,3},...10)\\ -M\sin (\mathrm{\&theta;}-{\mathrm{\&theta;}}_{m,i}),\frac{\mathrm{\&pi;}(2\&times;2l-{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}})}{2\mathrm{pl}}\&le;\mathrm{\&theta;}<\frac{\mathrm{\&pi;}(2\&times;2l)}{2\mathrm{pl}},(i=11)\\ 0,\frac{\mathrm{\&pi;}[2(i-1)+{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}}]}{2\mathrm{pl}}\&le;\mathrm{\&theta;}<\frac{\mathrm{\&pi;}(2i-{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}})}{2\mathrm{pl}},(i=\mathrm{1,2},...10)\end{array}\right.---\left(31\right)$

式中，M—剩余磁化强度的幅值，M＝B_r/μ₀。

对得到的剩余磁化强度的径向及切向分量进行傅里叶分解得到

$\left\{\begin{array}{c}{M}_r=\underset{n=1}{\overset{\&infin;}{\mathrm{\&Sigma;}}}{M}_{\mathrm{rn}}\cos \left(2\mathrm{n\&theta;}\right)\\ M_{\mathrm{\&theta;}}=\underset{n=1}{\overset{\&infin;}{\mathrm{\&Sigma;}}}{M}_{\mathrm{\&theta;n}}\sin \left(2\mathrm{n\&theta;}\right)\end{array}\right.---\left(32\right)$

式中，M_rn及M_θn为剩余磁化强度径向及切向分量n次谐波的幅值。

通过计算

若n＝1,3,5,7，…，则有

$\left\{\begin{array}{c}{M}_{\mathrm{rn}}=\frac{4M}{\mathrm{\&pi;}}\{h_{1n}+h_{2n}+\underset{i=2}{\overset{5}{\mathrm{\&Sigma;}}}[h_{1n}\cos (\mathrm{\&pi;}(i-1)\left(n\stackrel{-}{+}1\right)/5)+h_{2n}\cos (\mathrm{\&pi;}(i-1)(n\&PlusMinus;1)/5)\left]\right\}\\ M_{\mathrm{\&theta;n}}=\frac{4M}{\mathrm{\&pi;}}\{h_{1n}-h_{2n}+\underset{i=2}{\overset{5}{\mathrm{\&Sigma;}}}[h_{1n}\cos (\mathrm{\&pi;}(i-1)\left(n\stackrel{-}{+}1\right)/5)-h_{2n}\cos (\mathrm{\&pi;}(i-1)(n\&PlusMinus;1)/5)\left]\right\}\end{array}\right.---\left(33\right)$

若n＝2,4,6,8，…，则有

$\left\{\begin{array}{c}{M}_{\mathrm{rn}}=\frac{4M}{\mathrm{\&pi;}}\underset{i=2}{\overset{5}{\mathrm{\&Sigma;}}}[h_{1n}\cos (\mathrm{\&pi;}(i-1)\left(n\stackrel{-}{+}1\right)/5)+h_{2n}\cos (\mathrm{\&pi;}(i-1)(n\&PlusMinus;1)/5)]\\ M_{\mathrm{\&theta;n}}=\frac{4M}{\mathrm{\&pi;}}\underset{i=2}{\overset{5}{\mathrm{\&Sigma;}}}[h_{1n}\cos (\mathrm{\&pi;}(i-1)\left(n\stackrel{-}{+}1\right)/5)-h_{2n}\cos (\mathrm{\&pi;}(i-1)(n\&PlusMinus;1)/5)]\end{array}\right.---\left(34\right)$

式中，n—谐波阶次；

“±”和“”中的上层符号表示外转子，下层符号表示内转子；h_1n、h_2n为待定系数，其表达式为

$h_{1n}=\frac{\sin [\mathrm{\&pi;}{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}}(1+2n)/\left(20\right)]}{1+2n}$

$h_{2n}=\frac{\sin [\mathrm{\&pi;}{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{pr}}(1-2n)/\left(20\right)]}{1-2n}$

边界条件的确立

在空气与铁磁材料的交界面处，磁场强度H只有径向分量而切向分量为0；

在空气与永磁体的交界面处，磁场强度H的切向分量相等；

在空气与永磁体的交界面处，磁感应强度B的径向分量相等。

各个区域磁密径向分量及切向分量表达式

区域I

$B_{1r}=-\underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}{b}_{1n}[{\left(\frac{r}{R_o}\right)}^{2n-1}{\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{R_o}\right)}^{2n+1}+{\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{r}\right)}^{2n+1}]\cos \left(2\mathrm{n\&theta;}\right)---\left(35\right)$

$B_{1\mathrm{\&theta;}}=\underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}{b}_{1n}[{\left(\frac{r}{R_o}\right)}^{2n-1}{\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{R_o}\right)}^{2n+1}-{\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{r}\right)}^{2n+1}]\sin \left(2\mathrm{n\&theta;}\right)---\left(36\right)$

区域II

$B_{2r}=-\underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&mu;}}_0\frac{2n}{{\left(2n\right)}^2-1}[g_{1n}{\left(\frac{r}{R_{\mathrm{mo}}}\right)}^{2n-1}+g_{2n}{\left(\frac{R_{\mathrm{mi}}}{r}\right)}^{2n+1}]\cos \left(2\mathrm{n\&theta;}\right)+\underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&mu;}}_0\left(2n\right)M_n\cos \left(2\mathrm{n\&theta;}\right)---\left(37\right)$

$B_{2\mathrm{\&theta;}}=\underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&mu;}}_0\frac{2n}{{\left(2n\right)}^2-1}[g_{1n}{\left(\frac{r}{R_{\mathrm{mo}}}\right)}^{2n-1}-g_{2n}{\left(\frac{R_{\mathrm{mi}}}{r}\right)}^{2n+1}]\sin \left(2\mathrm{n\&theta;}\right)-\underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&mu;}}_0{M}_n\sin \left(2\mathrm{n\&theta;}\right)---\left(38\right)$

式中，b_1n、g_1n、g_2n、M_n为待定系数，其表达式由下式列出

$b_{1n}={\mathrm{\&mu;}}_0\frac{2n}{{\left(2n\right)}^2-1}\frac{b_{11n}+b_{12n}}{b_n}$

$b_{11n}=-(2n+1)\&times;(M_{\mathrm{rn}}+M_{\mathrm{\&theta;n}})\&times;\left\{({\mathrm{\&mu;}}_r+1)\right[1+{\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mo}}}\right)}^{4n}]-({\mathrm{\&mu;}}_r-1)[{\left(\frac{R_{\mathrm{mi}}}{R_{\mathrm{mo}}}\right)}^{4n}+{\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mi}}}\right)}^{4n}\left]\right\}$

$\begin{array}{c}{b}_{12n}=2\{({\mathrm{\&mu;}}_r+1)(2n{M}_{\mathrm{rn}}+M_{\mathrm{\&theta;n}})-({\mathrm{\&mu;}}_r-1)(2n{M}_{\mathrm{rn}}+M_{\mathrm{\&theta;n}}){\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mi}}}\right)}^{4n}+(M_{\mathrm{rn}}+2n{M}_{\mathrm{\&theta;n}})\\ [1+{\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mi}}}\right)}^{4n}]{\left(\frac{R_{\mathrm{mi}}}{R_{\mathrm{mo}}}\right)}^{2n+1}-{\mathrm{\&mu;}}_r(2n{M}_{\mathrm{rn}}+M_{\mathrm{\&theta;n}})[1-{\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mi}}}\right)}^{4n}]{\left(\frac{R_{\mathrm{mi}}}{R_{\mathrm{mo}}}\right)}^{2n+1}\}\end{array}$

$\begin{array}{c}{b}_n=[({\mathrm{\&mu;}}_r+1){\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mo}}}\right)}^{4n}-({\mathrm{\&mu;}}_r-1){\left(\frac{R_{\mathrm{mi}}}{R_{\mathrm{mo}}}\right)}^{4n}]\&times;[({\mathrm{\&mu;}}_r+1){\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{R_o}\right)}^{4n}-({\mathrm{\&mu;}}_r-1)]\\ -[({\mathrm{\&mu;}}_r+1)-({\mathrm{\&mu;}}_r-1){\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mi}}}\right)}^{4n}]\&times;[({\mathrm{\&mu;}}_r+1)-({\mathrm{\&mu;}}_r-1){\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{R_o}\right)}^{4n}]\end{array}$

$g_{1n}=\frac{b_{21n}}{b_n}$

$g_{2n}=\frac{b_{22n}}{b_n}$

$M_n=\frac{2n{M}_{\mathrm{rn}}+M_{\mathrm{\&theta;n}}}{{\left(2n\right)}^2-1}$

$\begin{array}{c}{b}_{21n}=\{{\left(\frac{R_{\mathrm{mi}}}{R_{\mathrm{mo}}}\right)}^{2n+1}\&times;\{[1+{\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{R_o}\right)}^{4n}]-{\mathrm{\&mu;}}_r[1-{\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{R_o}\right)}^{4n}]\}\&times;\{(2n{M}_{\mathrm{rn}}+M_{\mathrm{\&theta;n}})[1+{\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mi}}}\right)}^{4n}]-{\mathrm{\&mu;}}_r(M_{\mathrm{rn}}+2n{M}_{\mathrm{\&theta;n}})[1-{\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mi}}}\right)}^{4n}]\}\\ -\left\{\right[1+{\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mi}}}\right)}^{4n}]+{\mathrm{\&mu;}}_r[1-{\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mi}}}\right)}^{4n}\left]\right\}\&times;\left\{(M_{\mathrm{rn}}+2n{M}_{\mathrm{\&theta;n}})\right[1+{\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{R_o}\right)}^{4n}]+{\mathrm{\&mu;}}_r(2n{M}_{\mathrm{rn}}+M_{\mathrm{\&theta;n}})[1-{\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{R_o}\right)}^{4n}\left]\right\}\}\end{array}$

$\begin{array}{c}{b}_{22n}=\{-{\left(\frac{R_{\mathrm{mi}}}{R_{\mathrm{mo}}}\right)}^{2n-1}\&times;\{[1+{\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mi}}}\right)}^{4n}]-{\mathrm{\&mu;}}_r[1-{\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mi}}}\right)}^{4n}]\}\&times;\{(M_{\mathrm{rn}}+2n{M}_{\mathrm{\&theta;n}})[1+{\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{R_o}\right)}^{4n}]+{\mathrm{\&mu;}}_r(2n{M}_{\mathrm{rn}}+M_{\mathrm{\&theta;n}})[1-{\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{R_o}\right)}^{4n}]\}\\ +\left\{\right[1+{\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{R_o}\right)}^{4n}]+{\mathrm{\&mu;}}_r[1-{\left(\frac{R_{\mathrm{mo}}}{R_o}\right)}^{4n}\left]\right\}\&times;\left\{(2n{M}_{\mathrm{rn}}+M_{\mathrm{\&theta;n}})\right[1+{\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mi}}}\right)}^{4n}]-{\mathrm{\&mu;}}_r(M_{\mathrm{rn}}+2n{M}_{\mathrm{\&theta;n}})[1-{\left(\frac{R_i}{R_{\mathrm{mi}}}\right)}^{4n}\left]\right\}\}\end{array}$

本发明提出的磁场计算方法的正确性的验证

设定相对极弧系数α_pr为0.95，建立内转子分段式Halbach阵列永磁同步电机的有限元模型，将由本发明的计算方法得到的结果与由有限元模型计算得到的结果进行对比，如图3所示。由图中可以看出，计算结果与有限元模型计算结果相一致，从而验证了本发明的计算方法的正确性。

Claims (1)

1.一种分段式Halbach阵列永磁电机磁场计算方法，包括下列步骤：

第一步：确定求解区域:建立分段式Halbach阵列永磁电机的物理模型，在电机的物理模型中从里到外定义四个圆周位置，其半径分别为R_i、R_mi、R_mo及R_o，利用极坐标系下的半径坐标r来说明各个区域，其中，r<R_i及r>R_o的区域由铁磁材料组成，R_i<r<R_mi及R_mo<r<R_o的区域为空气，若电机为内转子电机，永磁体内径为R_mi，永磁体外径为R_mo，定子内径为R_o，此时R_mo<r<R_o的区域为有效气隙区域，R_mi<r<R_mo为Halbach阵列永磁体区域，定子铁心由铁磁材料组成，当R_i＝R_mi时，转子铁心由铁磁材料组成，当R_i→0时，转子铁心由非铁磁材料组成；若电机为外转子电机，定子外径为R_i，永磁体内径为R_mi，永磁体外径为R_mo，此时R_i<r<R_mi的区域为有效气隙区域，R_mi<r<R_mo为Halbach阵列永磁体区域，定子铁心由铁磁材料组成，同时当R_o＝R_mo时，转子铁心由铁磁材料组成，当R_o→∞时，转子铁心由非铁磁材料组成；

第二步：针对不同的求解区域，分别建立拉普拉斯方程或泊松方程：在有效气隙区域建立拉普拉斯方程在分段式Halbach阵列永磁体区域建立泊松方程其中，为有效气隙区域的标量磁位，为分段式Halbach阵列永磁体区域的标量磁位，M为剩余磁化强度矢量，u_r为永磁体的相对磁导率，方程中的r代表极坐标系下的半径坐标，θ代表极坐标系下的角坐标；

第三步：计及分段式Halbach阵列磁块之间的间隙，求解永磁体剩余磁化强度各次谐波下的径向及切向分量幅值M_rn及M_θn，其中下标rn及θn分别代表n次谐波径向分量及n次谐波切向分量，方法如下：

(1)计及分段式Halbach阵列磁块之间的间隙，将磁块的宽度d₂与相邻磁块之间的距离d₁的比值定义为相对极弧系数α_pr＝d₂/d₁，则相邻磁块之间的间隙为其中，p为极对数，l为每极磁块数，R_mi为永磁体内径，R_mo为永磁体外径；

(2)确定分段式Halbach阵列中各永磁体块的充磁方向，第i块永磁体块的剩余磁化强度矢量与θ＝0之间的夹角为θ_m,i＝(1±p)θ_i，其中，i＝1，2，…，2pl，θ_i为第i块永磁体中心线与θ＝0之间的夹角，其值为

(3)永磁体剩余磁化强度的径向及切向分量是周期性的，其周期为2π/p，计及磁块间隙，写出一个周期内剩余磁化强度径向分量M_r及切向分量M_θ的表达式，其中M为剩余磁化强度矢量的幅值；

$M_r=\left\{\begin{array}{cc}M\cos \left(\mathrm{\&theta;}-{\mathrm{\&theta;}}_{m,i}\right),& 0\&le;\mathrm{\&theta;}<\frac{{\mathrm{\&pi;\&alpha;}}_{pr}}{2pl},i=1\\ M\cos \left(\mathrm{\&theta;}-{\mathrm{\&theta;}}_{m,i}\right),& \frac{\mathrm{\&pi;}\&lsqb;2\left(i-1\right)-{\mathrm{\&alpha;}}_{pr}\&rsqb;}{2pl}\&le;\mathrm{\&theta;}<\frac{\mathrm{\&pi;}\&lsqb;2\left(i-1\right)+{\mathrm{\&alpha;}}_{pr}\&rsqb;}{2pl},i=2,3,...2l\\ M\cos \left(\mathrm{\&theta;}-{\mathrm{\&theta;}}_{m,i}\right),& \frac{\mathrm{\&pi;}\left(2\&times;2l-{\mathrm{\&alpha;}}_{pr}\right)}{2pl}\&le;\mathrm{\&theta;}<\frac{\mathrm{\&pi;}\left(2\&times;2l\right)}{2pl},i=2l+1\\ 0,& \frac{\mathrm{\&pi;}\&lsqb;2\left(i-1\right)+{\mathrm{\&alpha;}}_{pr}\&rsqb;}{2pl}\&le;\mathrm{\&theta;}<\frac{\mathrm{\&pi;}\left(2i-{\mathrm{\&alpha;}}_{pr}\right)}{2pl},i=1,2,...2l\end{array}\right.$

$M_{\mathrm{\&theta;}}=\left\{\begin{array}{cc}-M\sin \left(\mathrm{\&theta;}-{\mathrm{\&theta;}}_{m,i}\right),& 0\&le;\mathrm{\&theta;}<\frac{{\mathrm{\&pi;\&alpha;}}_{pr}}{2pl},i=1\\ -M\sin \left(\mathrm{\&theta;}-{\mathrm{\&theta;}}_{m,i}\right),& \frac{\mathrm{\&pi;}\&lsqb;2\left(i-1\right)-{\mathrm{\&alpha;}}_{pr}\&rsqb;}{2pl}\&le;\mathrm{\&theta;}<\frac{\mathrm{\&pi;}\&lsqb;2\left(i-1\right)+{\mathrm{\&alpha;}}_{pr}\&rsqb;}{2pl},i=2,3,...2l\\ -M\sin \left(\mathrm{\&theta;}-{\mathrm{\&theta;}}_{m,i}\right),& \frac{\mathrm{\&pi;}\left(2\&times;2l-{\mathrm{\&alpha;}}_{pr}\right)}{2pl}\&le;\mathrm{\&theta;}<\frac{\mathrm{\&pi;}\left(2\&times;2l\right)}{2pl},i=2l+1\\ 0,& \frac{\mathrm{\&pi;}\&lsqb;2\left(i-1\right)+{\mathrm{\&alpha;}}_{pr}\&rsqb;}{2pl}\&le;\mathrm{\&theta;}<\frac{\mathrm{\&pi;}\left(2i-{\mathrm{\&alpha;}}_{pr}\right)}{2pl},i=1,2,...2l\end{array}\right.$

(4)对得到的剩余磁化强度径向及切向分量的周期性分段函数进行傅里叶分解得到表达式为

$\left\{\begin{array}{c}{M}_r=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\&infin;}}{\mathrm{\&Sigma;}}}{M}_{rn}cos\left(np\mathrm{\&theta;}\right)\\ M_{\mathrm{\&theta;}}=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\&infin;}}{\mathrm{\&Sigma;}}}{M}_{\mathrm{\&theta;}n}sin\left(np\mathrm{\&theta;}\right)\end{array}\right.$

其中n为谐波阶次，M_rn及M_θn分别为剩余磁化强度各次谐波下的径向及切向分量的幅值，通过计算得到M_rn及M_θn的具体表达式如下

若np≠1，且n＝1,3,5,7，…，则有

若np≠1，且n＝2,4,6,8，…，则有

式中，n为谐波阶次；

“±”和中的上层符号表示外转子，下层符号表示内转子；h_1n、h_2n为待定系数，其表达式为

$h_{1n}=\frac{\sin \&lsqb;{\mathrm{\&pi;\&alpha;}}_{pr}(1+np)/\left(2pl\right)\&rsqb;}{1+np}$

$h_{2n}=\frac{sin\&lsqb;{\mathrm{\&pi;\&alpha;}}_{pr}(1-np)/\left(2pl\right)\&rsqb;}{1-np}$

若np＝1，对于外转子电机，则有

$\left\{\begin{array}{c}{M}_{r1}=\frac{pM}{\mathrm{\&pi;}}l\sin \left(\frac{{\mathrm{\&pi;\&alpha;}}_{pr}}{l}\right)\\ M_{\mathrm{\&theta;}1}=\frac{pM}{\mathrm{\&pi;}}l\sin \left(\frac{{\mathrm{\&pi;\&alpha;}}_{pr}}{l}\right)\end{array}\right.$

若np＝1，对于内转子电机，则有

$\left\{\begin{array}{c}{M}_{r1}={\mathrm{pM\&alpha;}}_{pr}\\ M_{\mathrm{\&theta;}1}=-{\mathrm{pM\&alpha;}}_{pr}\end{array}\right.;$

第四步：根据空气与铁磁材料和空气与永磁体交界面处的边界条件，即在空气与铁磁材料的交界面处，磁场强度H只有径向分量而切向分量为0；在空气与永磁体的交界面处，磁场强度H的切向分量相等；在空气与永磁体的交界面处，磁感应强度B的径向分量相等，结合第三步得到的剩余磁化强度n次谐波下的径向及切向分量的幅值M_rn及M_θn，对第二步所建立的拉普拉斯方程及泊松方程进行求解，得到求解区域内的标量磁位的表达式，进而得到各个区域磁密的径向分量及切向分量的表达式。