CN109768685A - 基于单槽模型的表贴式永磁电机电枢磁场重构方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于单槽模型的表贴式永磁电机电枢磁场重构方法，包括下列步骤：第一步.建立永磁电机单槽模型；第二步.单层绕组磁场重构；第三步.双层绕组磁场重构。本发明将永磁电机总的电枢反应磁场表示为单槽通电时的气隙磁场，对单个槽磁场进行子域法求解，降低矩阵的维数，降低永磁电机磁场分析的复杂性并能够重构出与有限元计算相吻合的电枢反应磁场。

Description

基于单槽模型的表贴式永磁电机电枢磁场重构方法

技术领域

本发明属于永磁电机气隙磁场领域，涉及到基于单槽模型获取永磁体气隙磁场分布重构问题。

背景技术

永磁电机使用周期长，工作效率高，维护费用低，应用十分广泛。其中表贴式永磁同步电机具有体积 小、效率高、转矩密度大等优点，被广泛应用到众多工程领域中，是一类极具发展潜力的节能环保型电机。 获得永磁电机气隙磁场的分布，是计算转矩特性、涡流损耗、噪声和振动等的关键。在气隙磁场的求解方 法中，有限元法适用于多种结构复杂的电机，但速度较慢，在电机的优化设计中不便使用；解析法速度快， 使用价值高，因此，进一步优化解析方法，创新解析模型，减小计算量，对电机进一步优化计算具有重要 意义。

电机磁场解析法是利用数学理论给出特定边值问题的精确解，包括分离变量法、保角变换法和镜像法 等。通常是将电机二维平面划分为有限个子域，如：永磁体、气隙、定子槽。在每个子域内结合相关磁场 边界条件，通过求解偏微分方程，得到傅里叶级数形式的矢量磁位解析解。已有文献多是对电机整体区域 建立数学模型，在每个槽内建立子域，方程维数与电机槽数成正比，各次谐波系数与每个槽内激励有关， 计算复杂。

发明内容

本发明的目的是提供一种重构表贴式永磁电机电枢磁场的新方法。本发明将永磁电机总的电枢反应磁 场表示为单槽通电时的气隙磁场，对单个槽磁场进行子域法求解，降低矩阵的维数，降低永磁电机磁场分 析的复杂性并能够重构出与有限元计算相吻合的电枢反应磁场。为达到上述目的，本发明所采用的技术方 案如下：

一种基于单槽模型的表贴式永磁电机电枢磁场重构方法，基于如下设定：

a)分析区域在二维平面，不计端部效应。

b)定子和转子铁芯磁导率为无穷大，铁芯磁阻产生的影响忽略不计。

c)永磁体区域的相对磁导率与空气区域相同。

d)定子槽为径向开口槽，槽内电流密度均匀分布。

其特征在于，包括下列步骤：

第一步.建立永磁电机单槽模型

在永磁电机横截面上建立平面极坐标系，极坐标系中的动点坐标为(r,θ)，其中r为该点到极点的距离， θ为从极轴到该点与极点连线所成的角度，将单槽模型求解模型划分为定子槽、气隙2个区域。电机的定 子槽数为N_s，极轴θ＝0处位于一个槽的中心，将其编号为1号槽，逆时针一次编号为1号槽，2号槽，......， N_s号槽，编号为i的槽对应的位置为θ_i，且θ_i＝2π(i-1)/N_s；选定1号槽内通有电枢电流，2～N_s号槽不通电， 此模型为单槽模型。

第二步.单层绕组磁场重构

1号槽的定子槽内存在电流密度激励，该区域中的泊松方程：

式中，A₁₁(r,θ)为矢量磁位，J₁为槽内电流密度，μ₀为空气磁导率；

气隙子域内的拉普拉斯方程：

式中，A₂(r,θ)为矢量磁位；

单槽模型的气隙磁场分布关于θ＝0对称，电枢总磁场是各定子槽内电流产生的单个磁场之和；因此， 气隙的磁通密度的径向分量B_r和切向分量B_t为：

式中，I_i为第i号槽内的电流值，B_1r ^*、B_1t ^*为1号槽通单位电流时的磁感应强度表达式，n为谐波阶次， E_n和F_n为第n次谐波系数；

第三步.双层绕组磁场重构

(1)分布绕组

在分布绕组中，槽内两相电流分别处于槽顶部和底部，将槽中的两部分电流取代数和的形式，等效电 流仍处在槽中心位置；将第i个槽内的两个绕组电流取为等效净电流I_i，即：

I_i＝I_i1+I_i2

式中I_i1、I_i2分别为槽内上层电流和下层电流；

(2)集中绕组

将电流I_i平均分解为I_i1和I_i2，即

I_i1＝I_i2＝0.5I_i

此时两个电流单独产生的磁场将关于槽中线对称；因此，在集中绕组槽内电流I_i1、I_i2为任意值时，可 等效为I_i1、I_i2两部分独立工作；当θ_i＝0时，满足

B_1r＝B_1r1+B_1r2

B_1r1(r,θ)＝-B_1r2(r,-θ)

将各个槽内电流产生的的磁场累加即可获得总的磁场分布；径向磁感应强度为：

同理，切向磁感应强度表达式为：

其中，γ表示电流I_i1、I_i2关于槽中线逆时针或顺时针偏移的角度。

本发明联立各个子域内磁场表达式及边界条件方程，减少运算矩阵维数和计算复杂度，传统电机磁 场解析求解过程中，联立的方程维数和电机槽数成正比，本发明采用的基于单槽模型的磁场重构法所列写 的矩阵的维数只与单个槽内的谐波阶数相关，降低了计算复杂度。此外，经过仿真可知，采用本发明的方 法进行的电枢磁场重构与有限元方法具有很好的吻合度。

附图说明

图1：表贴式永磁电机横截面结构示意图

图2：单槽通电下的磁力线分布

图3：单槽通电下的径向磁通分布

图4(a)为单槽电机模型示意图，图4(b)揭示了定子槽、气隙、相邻槽之间的分界面边界条件设置

图5(a)和(b)分别为分布式双层绕组电流示意图及等效净电流示意图

图6：双层绕组磁场分布

图7：集中绕组电流示意图

图8：表贴式永磁电机10极12槽单层绕组分布示意图

图9：表贴式永磁电机10极12槽双层绕组分布示意图

图10：单层绕组电机径向磁感应强度

图11：单层绕组电机切向磁感应强度

图12：单层绕组电机径向磁感应强度谐波分量

图13：单层绕组电机切向磁感应强度谐波分量

图14：双层绕组电机径向磁感应强度

图15：双层绕组电机切向磁感应强度

图16：双层绕组电机径向磁感应强度谐波分量

图17：双层绕组电机切向磁感应强度谐波分量

具体实施方式

本发明提供了一种求解永磁电机电枢磁场的方法，下面结合附图和实施例对本发明进行详细的描述。 本发明具体实施步骤如下：

1.单层绕组

(1)电机横截面如图1所示，在电机横截面上建立平面极坐标系。极轴(图中θ＝0处)位于一个槽的中 心。定子槽数为N_s，第i个槽对应的位置为

仅1号槽通电时，激励电流为1A，磁场分布如图2、3所示。不考虑饱和效应和端部效应，第i个槽 电流I_i产生的磁场分布将旋转i个槽距角，且磁感应强度与绕组电流成正比。根据图4(b)，单槽通电时的 磁场分布关于θ＝0对称，考虑到电枢总磁场是各定子槽内电流产生的单个磁场之和，即，定子绕组磁通密 度的法向分量和切向分量可表示为：

由静磁场的唯一性原理(uniqueness theory)，并考虑到电机结构的对称性，电机模型可简化为如图4(a) 所示的单槽模型，其定子槽、气隙、相邻槽之间的分界面边界条件设置如图4(b)所示。

(2)将单槽求解模型划分为定子槽、气隙2个区域。设1号槽内电流密度为J₁，且该区域中矢量磁位为 A₁₁(r,θ)。由于定子槽内存在电流密度激励，在定子槽区域中列写泊松方程：

其边界条件可表示为：

由分离变量法可得满足边界条件的定子槽子域通解：

式中：

K₀、A_m为定子槽子域的谐波系数；m为定子槽子域磁场谐波阶数。

(3)气隙子域的拉普拉斯方程如下：

气隙子域的边界条件为：

由于气隙磁场以槽中心为轴对称分布，因此附加边界条件为：

由以上边界条件得出，气隙子域的通解如下：

式中：C_n为气隙子域的谐波系数；n为气隙子域磁场谐波阶数。

(4)在两类子域通解已知的情况下，根据定子槽与气隙子域交界面边界条件得出谐波系数。即r＝R₂处， 根据法向磁密相等，可得：

A₁₁(R₂,θ)＝A₂(R₂,θ)

结合式定子槽通解和气隙子域通解，在-β/2≤θ≤β/2范围内，可得定子槽子域中谐波系数如下：

为便于谐波系数的求解，定义函数：

则各次谐波可表示为：

在气隙与定子槽交界面处有：

即：

将定子槽子域、气隙子域通解中的傅里叶级数取为有限次，联立上式并改写为矩阵形式，并进行线性 方程组求解，即：

其中，B₁为1×1的矩阵，B₂为1×n矩阵，B₃为m×m矩阵，B₄为n×m矩阵，B₅为m×n矩阵，B₆为n×n 矩阵，K₀为1×1的矩阵，A_m为m×1矩阵，C_n为n×1矩阵。L₀为常数，L_n为n×1矩阵。通过求解上述方 程得到每个子域未知的各阶谐波系数K₀、A_m、C_n。

2.双层绕组

(1)分布式绕组

在分布绕组中，槽内两相电流分别处于槽顶部和底部，如图5(a)所示，将槽中的两部分电流取代数和 的形式，等效电流仍处在槽中心位置，如图5(b)所示。

将第i个槽内的两个绕组电流取为等效净电流I_i，即：

I_i＝I_i1+I_i2

式中I_i1、I_i2分别为槽内上层电流和下层电流。将等效电流代入单层绕组磁场表达式中，即可得到所有 槽通电情况下的气隙磁感应强度。

(2)集中绕组

将电流I_i平均分解为I_i1和I_i2，即

I_i1＝I_i2＝0.5I_i

此时两个电流单独产生的磁场将关于槽中线对称。如图6所示，当θ_i＝0时，满足：

B_1r＝B_1r1+B_1r2

B_1r1(r,θ)＝-B_1r2(r,-θ)

考虑到B_1r为n阶正弦函数之和，则B_1r1和B_1r2表示为：

其中，γ表示电流I_i1、I_i2关于槽中线逆时针或顺时针偏移的角度，G_n为谐波系数，可表示为：

在集中绕组槽内电流I_i1、I_i2为任意值时，可等效为I_i1、I_i2两部分独立工作，如图7所示。则原槽内电 流I_i产生的磁场可由I_i1和I_i2各自产生的磁场叠加而成。进一步，将各个槽内电流产生的的磁场累加即可 获得总的磁场分布。

径向磁感应强度为：

同理，切向磁感应强度表达式为：

其中：

本发明在单层绕组电机且单槽通电的解析模型中施加附加边界条件，利用子域法及叠加原理，获取 电机的电枢反应磁场分布。对于双层绕组结构，同一槽内两绕组通以相同幅值的电流，推导出每个绕组产 生的磁场，进而重构出电机电枢反应的总磁场，得到磁场表达式。已有文献多是对电机整体区域建立数学 模型，在每个槽内建立子域，若与本发明划分子域相同，则其方程维数至少为(N_s+m×N_s+2×n)，本发明采 用的方法可将求解矩阵维数可减少至(1+m+n)。

3.仿真实验

分别以一台10极12槽单层绕组和一台10极12槽双层绕组表贴式永磁同步电机为例，其绕组结构分 布如图8、9所示，在双层绕组电机中，γ＝β/4。分析其电枢反应磁场，设气隙磁感应强度、槽磁感应强度 的谐波阶数均为18。三相电流瞬态情况分别为：I_a＝5A，I_b＝I_c＝-2.5A。

图10-图17为采用本发明得到的气隙内半径为29mm处电枢反应磁感应强度计算结果及分相应谐波分 量法所得的结果与有限元法所得结果的对比。由图可以看出，本发明的结果与有限元计算的结果能够很好 地吻合。

Claims (1)

1.一种基于单槽模型的表贴式永磁电机电枢磁场重构方法，基于如下设定：

a)分析区域在二维平面，不计端部效应；

b)定子和转子铁芯磁导率为无穷大，铁芯磁阻产生的影响忽略不计；

c)永磁体区域的相对磁导率与空气区域相同；

d)定子槽为径向开口槽，槽内电流密度均匀分布。

其特征在于，包括下列步骤：

第一步.建立永磁电机单槽模型

在永磁电机横截面上建立平面极坐标系，极坐标系中的动点坐标为(r,θ)，其中r为该点到极点的距离，θ为从极轴到该点与极点连线所成的角度，将单槽模型求解模型划分为定子槽、气隙2个区域。电机的定子槽数为N_s，极轴θ＝0处位于一个槽的中心，将其编号为1号槽，逆时针一次编号为1号槽，2号槽，......，N_s号槽，编号为i的槽对应的位置为θ_i，且θ_i＝2π(i-1)/N_s；选定1号槽内通有电枢电流，2～N_s号槽不通电，此模型为单槽模型；

第二步.单层绕组磁场重构

1号槽的定子槽内存在电流密度激励，该区域中的泊松方程：

式中，A₁₁(r,θ)为矢量磁位，J₁为槽内电流密度，μ₀为空气磁导率；

气隙子域内的拉普拉斯方程：

式中，A₂(r,θ)为矢量磁位；

单槽模型的气隙磁场分布关于θ＝0对称，电枢总磁场是各定子槽内电流产生的单个磁场之和；因此，气隙的磁通密度的径向分量B_r和切向分量B_t为：

式中，I_i为第i号槽内的电流值，B_1r ^*、B_1t ^*为1号槽通单位电流时的磁感应强度表达式，n为谐波阶次，E_n和F_n为第n次谐波系数；

第三步.双层绕组磁场重构

(1)分布绕组

在分布绕组中，槽内两相电流分别处于槽顶部和底部，将槽中的两部分电流取代数和的形式，等效电流仍处在槽中心位置；将第i个槽内的两个绕组电流取为等效净电流I_i，即：

I_i＝I_i1+I_i2

式中I_i1、I_i2分别为槽内上层电流和下层电流；

(2)集中绕组

将电流I_i平均分解为I_i1和I_i2，即

I_i1＝I_i2＝0.5I_i

此时两个电流单独产生的磁场将关于槽中线对称；因此，在集中绕组槽内电流I_i1、I_i2为任意值时，可等效为I_i1、I_i2两部分独立工作；当θ_i＝0时，满足

B_1r＝B_1r1+B_1r2

B_1r1(r,θ)＝-B_1r2(r,-θ)

将各个槽内电流产生的的磁场累加即可获得总的磁场分布；径向磁感应强度为：

同理，切向磁感应强度表达式为：

其中，γ表示电流I_i1、I_i2关于槽中线逆时针或顺时针偏移的角度。