CN104375460B - 一种数控机床加工精度可靠性敏感度分析方法 - Google Patents

一种数控机床加工精度可靠性敏感度分析方法 Download PDF

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Abstract

一种数控机床加工精度可靠性敏感度分析方法，属于机床精度设计领域。具体涉及到三轴机床的空间误差的建模方法和机床的加工精度可靠性及加工精度可靠性敏感度分析方法。通过多体系统运动特征分析方法建立机床的空间误差模型，并结合蒙特卡洛数字模拟方法，分析机床的加工精度可靠性，以及机床各项几何误差的波动作用对加工精度可靠性的影响程度，从而辨识出影响加工精度可靠性的关键性几何误差。可为机床的设计，装配和加工提出指导性建议，从根本上提高机床的加工精度可靠性。

Description

一种数控机床加工精度可靠性敏感度分析方法
技术领域
本发明涉及一种数控机床加工精度可靠性敏感度分析方法，属于机床精度设计领域。
技术背景
作为机械设备生产的机械制造业，为整个国民经济提供技术装备，其发展水平是国家工业化程度的主要标志之一，随着现代科学技术的飞速发展，精密超精密加工技术已经成为现代机械制造业发展的主要趋势。数控机床是一种高精度、高效率、高技术的现代机电设备，作为先进制造技术的基础与核心设备，越来越广泛的应用于机械生产之中，并制约着制造领域和各高新科技的发展。随着现代科学技术的飞速发展，精密和超精密加工技术已经成为现代机械制造业发展的主要趋势，所以数控机床的加工精度可靠性问题受到全世界的广泛关注。
数控机床的加工精度可靠性指标主要是指：机床在给定时间内，满足特定加工精度要求的能力，体现着机械制造业的制造能力和发展水平，也是整个国家科技和工业水平的重要标志之一。机床的几何误差是指由于机床设计、制造、装配等中的缺陷，使得机床中各组成环节或部件的实际几何参数和位置相对于理想几何参数和位置发生偏离。该误差一般与机床各个组成环节或部件的几何要素有关，是机床本身固有的误差。
机床的几何误差直接影响刀具加工点的位置误差，50％的加工误差都是由机床的几何误差引起的。机床具有多种几何误差，包括定位误差，直线度误差，滚摆误差，颠摆误差，偏摆误差，以及运动轴之间的垂直度和平行度误差等。这些误差的波动作用影响机床的加工精度及加工精度可靠性。如何辨识出对加工精度可靠性影响较大的几何误差项，并且有效的控制它们是提高机床加工精度可靠性的关键问题。
为了解决这一关键性的问题，需要三个重要步骤：
第一、根据几何误差之间的关系，建立机床的空间误差模型；
国内外专家学者一直在建立数控机床空间误差模型领域进行不懈的探索和研究，开展了多方面的工作。例如三角关系建模法、误差矩阵法、二次关系模型法、机构学建模法、刚体运动学法等。多体系统运动特征分析方法采用齐次列阵表示点的位置和矢量的姿态，在多体系统中建立广义坐标系，将三轴机床抽象为多体系统，将在理想条件下和实际条件下的静态和动态过程中的体间的相对位置和姿态变化以及误差情况作了统一的、完整的描述，使多体系统误差的分析变得简单、迅速、明了和普遍适用，从而为实现计算机快速建模提供基础。
第二、采用蒙特卡洛数字模拟的方法，对机床的加工精度可靠性进行分析；
第三、采用蒙特卡洛数字模拟的方法，对机床的加工精度可靠性进行敏感度分析。
蒙特卡罗数字模拟方法，又称随机抽样或统计试验方法，它是在本世纪四十年代中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的。传统的经验方法由于不能逼近真实的几何误差随机波动过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际几何误差随机波动过程，故解决机床加工精度可靠性及加工精度可靠性敏感度问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
本发明在多体系统运动特征分析方法的基础上，建立了机床的空间误差分析模型，随后对机床进行了加工精度可靠性分析，以及各项几何误差对机床的加工精度可靠性的敏感度分析，得出了各项几何误差的敏感度系数。
发明内容
本发明的目的是提供一种三轴数控机床的加工精度可靠性以及几何误差对加工精度可靠性的敏感度的分析方法。通过建立机床的空间误差模型，分析机床的加工精度可靠性，进一步分析各项几何误差对加工精度可靠性的影响程度，提出新的机床设计和改进理念，从根本上解决机床加工精度可靠性问题。
本发明的特征在于通过多体系统运动特征分析方法建立机床的空间误差模型，并结合蒙特卡洛数字模拟方法，分析机床的加工精度可靠性，以及机床各项几何误差的波动作用对加工精度可靠性的影响程度，从而辨识出影响加工精度可靠性的关键性几何误差。可为机床的设计，装配和加工提出指导性建议，从根本上提高机床的加工精度可靠性。
如图1所示，本方法具体包括如下步骤：
步骤1 为三轴机床设置广义坐标系，并建立机床的空间误差模型。
基于多体系统运动学理论，采用低序体阵列描述抽象机床系统的拓扑结构，在多体系统中建立广义坐标系，用矢量及其列向量表达位置关系，用齐次坐标变换矩阵表示多体系统间的相互关系；
步骤1.1 建立三轴机床的拓扑结构
分析机床的结构，定义三轴机床的各个组成部件，以及刀具和工件为“典型体”，用“Bj”表示，其中j＝1，2，3，4…n，j表示各典型体的序号,n表示机床所包含典型体的个数。
典型体的编号规则如下：
1.选定床身为典型体“B1”
2.将三轴机床分为刀具分支和工件分支，共两个分支。首先对刀具分支沿远离床身的方向，按照自然增长数列，对各典型体进行编号。再对工件分支沿远离床身的方向，按照自然增长数列，对各典型体进行编号，如图2，其中m表示刀具分支中典型体的个数，n表示机床总共包含的典型体的个数。
步骤1.2 建立三轴机床的特征矩阵
该方法所研究的三轴数控机床几何误差项的几何意义及其表达式如表1所示
表1：几何误差释义表
在床身B1和所有部件Bj上均建立起与其固定联接的右手直角笛卡尔三维坐标系O1-x1y1z1和Oj-xjyjzj，这些坐标系的集合称为广义坐标系，各体坐标系称为子坐标系，每个坐标系的三个正交基按右手定则分别取名为X,Y,Z轴；各个子坐标系的相对应的坐标轴分别对应平行；坐标轴的正方向与其所对应的运动轴的正方向相同。
将各体之间的运动和静止情况，看作坐标系之间的运动和静止情况。根据两相邻典型体之间的静止和运动情况，在理想运动特征矩阵和误差特征矩阵表中选择相应的运动特征矩阵，如表:2；
表2：理想运动特征矩阵和运动误差特征矩阵表
其中：Mij表示典型体Bj相对于典型体Bi运动的理想运动特征矩阵；
ΔMij表示典型体Bj相对于典型体Bi运动的运动误差特征矩阵；
xs表示沿X轴平移的距离；
ys表示沿Y轴平移的距离；
zs表示沿Z轴平移的距离；
其余参数均已在表1(几何误差释义表)中列出。
若相邻的典型体Bi与典型体Bj之间不存在相对运动，则理想运动特征矩阵Mij＝I4×4，运动误差特征矩阵ΔMij＝I4×4，I4×4表示4×4的单位矩阵。
本发明的使用过程中忽略除几何误差之外的所有误差因素，因此典型体间的体间静止特征矩阵均为Sij＝I4×4。根据相邻典型体在静止状态下的实际位置关系，确定典型体间的体间静止误差特征矩阵ΔSij。
步骤1.3 建立机床的空间误差模型
刀具成型点实际运动位置与理想运动位置的偏差即为机床的空间误差。
设刀具加工点在刀具坐标系中的坐标为：
T＝[xt,yt,zt,0] (1)
机床在理想状态时成型点的运动位置：
式中Sij表示典型体Bj与典型体Bi之间的静止特征矩阵；
Mij表示典型体Bj与典型体Bi之间的理想运动特征矩阵；
T表示刀具加工点在刀具坐标系中的坐标；
Wideal表示理想条件下成型点在工件坐标系中的坐标，
m表示刀具分支中典型体的个数；
n表示三轴机床所包含的典型体的总个数。
机床在实际状态时成型点的运动位置：
W＝[P(n-1)n…P(m+2)(m+3)]-1[P12…Pm(m+1)]T (3)
其中Pij＝SijΔSijMijΔMij
则机床的空间误差模型表示为：
E＝Wideal-W (4)
可进一步的表述为：
E＝E(G,T,H) (5)
其中：E＝[Ex,Ey,Ez,0]T表示空间误差向量，Ex表示X方向的空间误差，Ey表示Y方向的空间误差，Ez表示Z方向的空间误差；
G＝[g1,g2,...,g21]T表示由21项几何误差组成的误差向量.其中令Δxx，Δyx，Δzx，Δαx，Δβx，Δγx，Δxy，Δyy，Δzy，Δαy，Δβy，Δγy，Δxz，Δyz，Δzz，Δαz，Δβz，Δγz，ΔγXY，ΔβXZ，ΔαYZ＝g1，g2，g3，g4，g5，g6，g7，g8，g9，g10，g11，g12，g13，g14，g15，g16，g17，g18，g19，g20，g21；
H＝[xs,ys,zs,0]表示机床X轴，Y轴，Z轴运动部件的位置向量。
T＝[xt,yt,zt,0]表示刀具加工点在刀具坐标系中的坐标，t表示刀具。
在本发明中，着重研究几何误差对机床加工精度可靠性的影响，刀具加工点在刀具坐标系中的坐标T，以及机床各运动轴的位置H，都是无误差且预先设定好的，则公式(5)可进一步写为：
E＝E(G)＝[Ex(G),Ey(G),Ez(G),0] (6)
步骤2 数控机床各几何误差的测量及其测量数据的整理
步骤2.1 三轴精密卧式加工中心几何误差数据测试
沿机床工作空间的4条空间体对角线，均匀的取H个测试点。在每一个测试点处，利用双频激光干涉仪，采用九线法原理，测量导轨的9项位移误差和9项转动误差，测试10次，记录数据。
使用垂直度测量仪测量机床的三项垂直度误差。
步骤2.2 测量数据的整理与采样
应用概率论和数理统计的基本原理，计算出各项误差的分布特征。三轴机床的垂直度误差是固定不变的，不会随着机床的运动而波动，因此仅研究其余18项误差对加工精度可靠性的敏感度，将除垂直度误差以外的18项几何误差组成一个18维的单元体Ω18作为输入因素的空间域，应用拉丁高次采样法在空间域Ω18中进行采样，采样N组数据，表示为Gi(i＝1,2,…N,N≥10000)。
步骤3 数控机床加工精度可靠性分析
假设数控机床的最大允许空间误差可表示为A＝(ax,ay,az,0)T，其中ax，ay，az分别表示机床在X-,Y-,Z-方向的最大允许误差。则机床的功能函数矩阵可以表示为：
X-方向的极限状态方程可表示为：
Fx(G)＝Fx(g1,g2,g3,…,g18)＝0 (8)
Y-方向的极限状态方程可表示为：
Fy(G)＝Fy(g1,g2,g3,…,g18)＝0 (9)
Z-方向的极限状态方程可表示为：
Fz(G)＝Fz(g1,g2,g3,…,g18)＝0 (10)
X-方向失效域的指示函数可表示为：
Y-方向失效域的指示函数可表示为：
Z-方向失效域的指示函数可表示为：
机床在第h个测试点处的X-方向的可靠性可表示为：
机床在第h个测试点处的Y-方向的加工精度可靠性可表示为：
机床在第h个测试点处的Z-方向的加工精度可靠性可表示为：
将N组采样数据代入公式(14)(15)和(16)，计算可得在第h个测试点处机床在X,Y,Z方向的加工精度可靠性。
步骤4 针对于点的数控机床加工精度可靠性的敏感度分析
各项几何误差的均值对X-向加工精度可靠性的敏感度分析公式：
各项几何误差的均值对Y-向加工精度可靠性的敏感度分析公式：
各项几何误差的均值对Z-向加工精度可靠性的敏感度分析公式：
各项几何误差的标准差对X-向加工精度可靠性的敏感度分析公式：
各项几何误差的标准差对Y-向加工精度可靠性的敏感度分析公式：
各项几何误差的标准差对Z-向加工精度可靠性的敏感度分析公式：
其中：N：表示采样数组的个数；
Gk：表示第k个采样数组；
Ix(*)：表示X-方向失效域的指示函数；
Iy(*)：表示Y-方向失效域的指示函数；
Iz(*)：表示Z-方向失效域的指示函数；
CG：表示几何误差向量G的协方差矩阵，具体表示为
表示第i项几何误差gi的方差；
表示第i项几何误差gi与第j项几何误差gj的协方差；
表示第i项几何误差gi的均值；
表示协方差矩阵CG的逆矩阵的第p行第i列的元素；
|CG|：表示协方差矩阵CG的行列式；
gkp：表示第k个采样数组中的第p项几何误差；
μG：表示各项几何误差的均值
表示在第h个测试点处，第i项几何误差gi的均值对机床X向加工精度可靠性的敏感度系数；
表示在第h个测试点处，第i项几何误差gi的均值对机床Y向加工精度可靠性的敏感度系数；
表示在第h个测试点处，第i项几何误差gi的均值对机床Z向加工精度可靠性的敏感度系数；
表示在第h个测试点处，第i项几何误差gi的标准差对机床X向加工精度可靠性的敏感度系数；
表示在第h个测试点处，第i项几何误差gi的标准差对机床Y向加工精度可靠性的敏感度系数；
表示在第h个测试点处，第i项几何误差gi的标准差对机床Z向加工精度可靠性的敏感度系数；
步骤5 针对于整个加工空间的数控机床加工精度可靠性的敏感度分析
重复步骤四，计算出各项几何误差在H个测试点处的加工精度可靠性的敏感度系数。
就整个加工空间而言：
将第i项几何误差gi的均值对机床X向加工精度可靠性的敏感度系数表示为：
将第i项几何误差gi的均值对机床Y向加工精度可靠性的敏感度系数表示为：
将第i项几何误差gi的均值对机床Z向加工精度可靠性的敏感度系数表示为：
将第i项几何误差gi的标准差对机床X向加工精度可靠性的敏感度系数表示为：
将第i项几何误差gi的标准差对机床Y向加工精度可靠性的敏感度系数表示为：
将第i项几何误差gi的标准差对机床Z向加工精度可靠性的敏感度系数表示为：
机床加工精度可靠性敏感度系数高，说明该项几何误差的波动对机床加工精度的可靠性影响较大，是主要误差。机床加工精度可靠性敏感度系数低，说明该项几何误差的波动对机床加工精度的可靠性影响较小，是次要误差。根据机床加工精度可靠性敏感度分析结果，对相应的主要误差进行严格的限制，从而提高机床的加工精度可靠性。
与现有技术相比，本发明具有如下有益效果。
1、可为机床的设计，装配和加工提出指导性建议，从根本上提高机床的加工精度可靠性。
2、该方法充分考虑了机床各几何误差的波动性和不确定性，通过分析各项几何误差的概率分布特征，得出几何误差的分布特征参数对机床加工精度可靠性的敏感度，与现有技术相比，该方法免去了对参数的复杂迭代调整和修复过程，大大减少了计算量。
附图说明
图1为本发明方法的实施流程图。
图2为典型体的编号规则示意图。
图3为机床的结构示意图。
图4为三轴机床的拓扑结构图。
图5为测试点分布图。
图6为各项误差的均值对X向加工精度可靠性敏感度系数图。
图7为各项误差的均值对Y向加工精度可靠性敏感度系数图。
图8为各项误差的均值对Z向加工精度可靠性敏感度系数图。
图9为各项误差的标准差对X向加工精度可靠性敏感度系数图。
图10为各项误差的标准差对Y向加工精度可靠性敏感度系数图。
图11为各项误差的标准差对Z向加工精度可靠性敏感度系数图。
具体实施方式
本发明以三轴精密立式加工中心为例，对上述数控机床加工精度可靠性敏感度分析方法进行验证。
具体包括如下步骤：
步骤1 为三轴机床设置广义坐标系，并建立机床的空间误差模型。
基于多体系统运动学理论，采用低序体阵列描述抽象机床系统的拓扑结构，在多体系统中建立广义坐标系，用矢量及其列向量表达位置关系，用齐次坐标变换矩阵表示多体系统间的相互关系；
步骤1.1 建立三轴机床的拓扑结构
该机床的结构如图3所示。该机床包括滑枕、刀具、工件、工作台、溜板、床身；
该三轴数控机床的成型系统由X轴平动单元、Y轴平动单元、Z轴平动单元组成。在数控机床成型运动中，本发明只考虑机床的几何误差。本机床共有21项几何误差，包括X,Y,Z轴各六项几何误差(ΔxxΔyxΔzxΔαxΔβxΔγxΔxyΔyyΔzyΔαyΔβyΔγyΔxzΔyzΔzzΔαzΔβzΔγz)和三项垂直度误差(ΔγXYΔβXZΔαYZ)。
根据多体理论的基本原理将该机床抽象对多体系统，该机床主要由6个典型体组成，定义三轴机床的各个组成部件，以及刀具和工件为“典型体”，用“Bj”表示，其中j＝1,2,3,4,5,6,j表示各典型体的序号。
根据编号规则选定床身为典型体“B1”，将三轴机床分为刀具分支和工件分支，共两个分支。首先对刀具分支沿远离床身的方向，按照自然增长数列，对各典型体进行编号。再对工件分支沿远离床身的方向，按照自然增长数列，对各典型体进行编号。编号结果如图4所示。
步骤1.2 建立三轴机床的特征矩阵。
在床身B1和所有部件Bj上均建立起与其固定联接的右手直角笛卡尔三维坐标系O1-X1Y1Z1和Oj-XjYjZj，这些坐标系的集合称为广义坐标系，各体坐标系称为子坐标系，每个坐标系的三个正交基按右手定则分别取名为X,Y,Z轴；各个子坐标系的相对应的坐标轴分别对应平行；坐标轴的正方向与其所对应的运动轴的正方向相同。
将各体之间的运动和静止情况，看作坐标系之间的运动和静止情况。根据两相邻典型体之间的静止和运动情况，在理想运动特征矩阵和运动误差特征矩阵表(表2)中选择相应的运动特征矩阵。选择结果如表3
表3：该三轴机床的运动特征矩阵和运动误差特征矩阵表
由于B4相对于B3无相对运动，则M34＝I4×4ΔM34＝I4×4；
B6相对于B5无相对运动，则M56＝I4×4ΔM56＝I4×4。
根据相邻典型体在静止状态下的位置关系，确定典型体间静止特征矩阵和静止误差特征矩阵。结果如表4。
表4：该三轴机床的静止特征矩阵和静止误差特征矩阵表
步骤1.3 建立机床的空间误差模型
刀具成型点实际运动位置与理想运动位置的偏差即为机床的空间误差
设刀具加工点在刀具坐标系中的坐标为：
T＝[xt,yt,zt,0]T (29)
其中：xt表示刀具加工点在刀具坐标系中X轴方向的坐标值；
yt表示刀具加工点在刀具坐标系中Y轴方向的坐标值；
zt表示刀具加工点在刀具坐标系中Z轴方向的坐标值；
下标t表示刀具，
机床在理想状态时成型点的运动位置：
Wideal＝[S15M15S56M56]-1[S12M12S23M23S34M34]T (30)
式中：Sij表示典型体Bj与典型体Bi之间的体间静止特征矩阵；
Mij表示典型体Bj与典型体Bi之间的理想运动特征矩阵；
T表示刀具加工点在刀具坐标系中的坐标；
Wideal表示理想条件下成型点在工件坐标系中的坐标，
机床在实际状态时成型点的运动位置：
W＝[P15P56]-1[P12P23P34]T (31)
其中：Pij＝SijΔSijΜijΔMij
Sij表示典型体Bj与典型体Bi之间的体间静止特征矩阵；
ΔSij表示典型体Bj与典型体Bi之间的体间静止误差特征矩阵；
Mij表示典型体Bj与典型体Bi之间的理想运动特征矩阵；
ΔMij表示典型体Bj与典型体Bi之间的运动误差特征矩阵；
T表示刀具加工点在刀具坐标系中的坐标。
则机床的空间误差模型表示为：
E＝Wideal-W (32)
可进一步的表述为：
E＝E(G,T,H) (33)
式中E＝[Ex,Ey,Ez,0]T表示空间误差向量，Ex表示X方向的空间误差，Ey表示Y方向的空间误差，Ez表示Z方向的空间误差；
G＝[g1,g2,...,g21]T表示由21项几何误差组成的误差向量.其中令Δxx，Δyx，Δzx，Δαx，Δβx，Δγx，Δxy，Δyy，Δzy，Δαy，Δβy，Δγy，Δxz，Δyz，Δzz，Δαz，Δβz，Δγz，ΔγXY，ΔβXZ，ΔαYZ＝g1，g2，g3，g4，g5，g6，g7，g8，g9，g10，g11，g12，g13，g14，g15，g16，g17，g18，g19，g20，g21；
H＝[xs,ys,zs,0]T表示机床X,Y,Z轴的位置向量；
T＝[xt,yt,zt,0]T表示刀具加工点在刀具坐标系中的坐标。
在本发明中，着重研究几何误差对加工精度可靠性的影响，刀具加工点在刀具坐标系中的坐标T，以及机床各运动轴的位置H，都是无误差且预先设定好的，则公式(33)可进一步写为：
E＝E(G)＝[Ex(G),Ey(G),Ez(G),0]T (34)
步骤二 数控机床各几何误差的测量及其测量数据的整理
步骤2.1 三轴精密卧式加工中心几何误差数据测试
沿三轴机床的工作空间的每一条体对角线均匀的取9个测试点，共33个测试点，如图5。任取一个测试点，利用双频激光干涉仪，测量导轨的9项位移误差和9项转动误差。使用垂直度测量仪测量三项垂直度误差。其结果如表5～8所示。
表5：X轴几何误差测量值(mm)
表6：Y轴几何误差测量值(mm)
表7：Z轴几何误差测量值(mm)
表8：单元间误差测量值(mm)
步骤2.2 测量数据的整理
应用概率论和数理统计的基本原理，计算出各项误差的分布特征。如表9
表9：几何误差的概率分布特征表
步骤3 数控机床加工精度可靠性分析
三轴机床的垂直度误差是固定不变的，不会随着机床的运动而波动，因此仅研究其余18项误差对机床加工精度可靠性的敏感度，将除垂直度误差以外的18项几何误差组成一个18维的单元体Ω18作为输入因素的空间域，应用拉丁高次采样法在空间域Ω18中进行采样，采样10000组数据，表示为Gi(i＝1,2,…10000)。
该数控机床的最大允许空间误差可表示为A＝(ax,ay,az,0)T，其中ax＝0.02532mm，ay＝0.01228mm，az＝0.03725mm分别表示机床在X-,Y-,Z-方向的最大允许误差。则机床的功能函数矩阵可以表示为：
X-方向的极限状态方程可表示为：
Fx(G)＝Fx(g1,g2,g3,…,g18)＝0 (36)
Y-方向的极限状态方程可表示为：
Fy(G)＝Fy(g1,g2,g3,…,g18)＝0 (37)
Z-方向的极限状态方程可表示为：
Fz(G)＝Fz(g1,g2,g3,…,g18)＝0 (38)
X-方向失效域的指示函数可表示为：
Y-方向失效域的指示函数可表示为：
Z-方向失效域的指示函数可表示为：
机床在第h个测试点处的X-方向的加工精度可靠性可表示为：
机床在第h个测试点处的Y-方向的加工精度可靠性可表示为：
机床在第h个测试点处的Z-方向的加工精度可靠性可表示为：
将10000组采样数据代入公式(42)(43)和(44)，计算可得在该测试点处机床在X,Y,Z方向的加工精度可靠性。重复步骤2与步骤3，就可以计算出机床在各测试点处的加工精度可靠性，计算结果如表10
表10：各测试点处的加工精度可靠性
步骤4 针对于点的数控机床加工精度可靠性的敏感度分析
应用以下公式进行计算得到该测试点处的加工精度可靠性敏感度。
各项几何误差均值对X-向加工精度可靠性的敏感度分析公式：
各项几何误差均值对Y-向加工精度可靠性的敏感度分析公式：
各项几何误差均值对Z-向加工精度可靠性的敏感度分析公式：
各项几何误差的标准差对X-向加工精度可靠性的敏感度分析公式：
各项几何误差的标准差对Y-向加工精度可靠性的敏感度分析公式：
各项几何误差的标准差对Z-向加工精度可靠性的敏感度分析公式：
其中：N：表示采样数组的个数；
Gk：表示第k个采样数组；
Ix(*)：表示X-方向失效域的指示函数；
Iy(*)：表示Y-方向失效域的指示函数；
Iz(*)：表示Z-方向失效域的指示函数；
CG：表示几何误差向量G的协方差矩阵，具体表示为
表示第i项几何误差gi的方差；
表示第i项几何误差gi与第j项几何误差gj的协方差；
表示第i项几何误差gi的均值；
表示协方差矩阵CG的逆矩阵的第p行第i列的元素；
|CG|：表示协方差矩阵CG的行列式；
表示第k个采样数组中的第p项几何误差；
μG：表示各项几何误差的均值
表示在第h个测试点处，第i项几何误差gi的均值对机床X向加工精度可靠性的敏感度系数；
表示在第h个测试点处，第i项几何误差gi的均值对机床Y向加工精度可靠性的敏感度系数；
表示在第h个测试点处，第i项几何误差gi的均值对机床Z向加工精度可靠性的敏感度系数；
表示在第h个测试点处，第i项几何误差gi的标准差对机床X向加工精度可靠性的敏感度系数；
表示在第h个测试点处，第i项几何误差gi的标准差对机床Y向加工精度可靠性的敏感度系数；
表示在第h个测试点处，第i项几何误差gi的标准差对机床Z向加工精度可靠性的敏感度系数；
步骤5 针对于整个加工空间的数控机床加工精度可靠性的敏感度分析
重复步骤2，4，计算出各项几何误差在33个测试点处的加工精度可靠性的敏感度系数。
就整个加工空间而言：
将第i项几何误差gi的均值对机床X向加工精度可靠性的敏感度系数表示为：
将第i项几何误差gi的均值对机床Y向加工精度可靠性的敏感度系数表示为：
将第i项几何误差gi的均值对机床Z向加工精度可靠性的敏感度系数表示为：
将第i项几何误差gi的标准差对机床X向加工精度可靠性的敏感度系数表示为：
将第i项几何误差gi的标准差对机床Y向加工精度可靠性的敏感度系数表示为：
将第i项几何误差gi的标准差对机床Z向加工精度可靠性的敏感度系数表示为：
经过计算可以得到各项几何误差对整个空间的加工精度可靠性敏感度系数，现将计算结果列于表11至12中。
表11：各项几何误差的均值对机床整个工作空间的加工精度可靠性的敏感度系数
表12：各项几何误差的标准差对机床整个工作空间的加工精度可靠性的敏感度系数
为了便于分析，将计算结果用柱状图表示，如图6至11所示。
机床加工精度可靠性敏感度分析结论：
(1)就整个工作空间而言，当各项几何误差同时波动时，几何误差Δαx，Δαz，ΔγxΔβz的均值的加工精度可靠性敏感度系数较大，这就表明几何误差Δαx，Δαz，ΔγxΔβz的均值是影响机床加工精度可靠性的关键性参数；
(2)就整个工作空间而言，当各项几何误差同时波动时，几何误差Δxx和Δyz的标准差的加工精度可靠性敏感度系数较大，这就表明几何误差Δxx和Δyz的标准差是影响机床加工精度可靠性的关键性参数；
综上所述，为了显著提高机床的加工精度可靠性，应该对包括Δαx，Δαz，ΔγxΔβzΔxx和Δyz在内的6项几何误差进行严格的控制。

Claims (1)

1.一种数控三轴机床加工精度可靠性敏感度分析方法，其特征在于：通过多体系统运动特征分析方法建立机床的空间误差模型，并结合蒙特卡洛数字模拟方法，分析数控三轴机床的加工精度可靠性，以及数控三轴机床各项几何误差的波动作用对加工精度可靠性的影响程度，从而辨识出影响加工精度可靠性的关键性几何误差；
具体包括如下步骤：
步骤1为数控三轴机床设置广义坐标系，并建立机床的空间误差模型
基于多体系统运动学理论，采用低序体阵列描述抽象机床系统的拓扑结构，在多体系统中建立广义坐标系，用矢量及其列向量表达位置关系，用齐次坐标变换矩阵表示多体系统间的相互关系；
步骤1.1建立数控三轴机床的拓扑结构
分析数控三轴机床的结构，定义数控三轴机床的各个组成部件，以及刀具和工件为“典型体”，用“Bj”表示，其中j＝1，2，3，4…n,j表示各典型体的序号,n表示数控三轴机床所包含典型体的个数；
典型体的编号规则如下：
第一、选定床身为典型体“B1”
第二、将数控三轴机床分为刀具分支和工件分支，共两个分支；首先对刀具分支沿远离床身的方向，按照自然增长数列，对各典型体进行编号；再对工件分支沿远离床身的方向，按照自然增长数列，对各典型体进行编号，其中m表示刀具分支中典型体的个数；
步骤1.2建立数控三轴机床的特征矩阵
该方法所研究的数控三轴机床几何误差项的几何意义及其表达式如表1所示
表1：几何误差释义表
在床身B1和所有部件Bj上均建立起与其固定联接的右手直角笛卡尔三维坐标系O1-x1y1z1和Oj-xjyjzj，这些坐标系的集合称为广义坐标系，各体坐标系称为子坐标系，每个坐标系的三个正交基按右手定则分别取名为X,Y,Z轴；各个子坐标系的相对应的坐标轴分别对应平行；坐标轴的正方向与其所对应的运动轴的正方向相同；
将各体之间的运动和静止情况，看作坐标系之间的运动和静止情况；根据两相邻典型体之间的静止和运动情况，在理想运动特征矩阵和误差特征矩阵表中选择相应的运动特征矩阵，如表2；
表2：理想运动特征矩阵和运动误差特征矩阵表
其中：Mij表示典型体Bj相对于典型体Bi运动的理想运动特征矩阵；
ΔMij表示典型体Bj相对于典型体Bi运动的运动误差特征矩阵；
xs表示沿X轴平移的距离；
ys表示沿Y轴平移的距离；
zs表示沿Z轴平移的距离；
其余参数均已在表1中列出；
若相邻的典型体Bi与典型体Bj之间不存在相对运动，则理想运动特征矩阵Mij＝I4×4，运动误差特征矩阵ΔMij＝I4×4，I4×4表示4×4的单位矩阵；
本方法的使用过程中忽略除几何误差之外的所有误差因素，因此典型体间的体间静止特征矩阵均为Sij＝I4×4；根据相邻典型体在静止状态下的实际位置关系，确定典型体间的体间静止误差特征矩阵ΔSij；
步骤1.3建立数控三轴机床的空间误差模型
刀具成型点实际运动位置与理想运动位置的偏差即为数控三轴机床的空间误差；
设刀具加工点在刀具坐标系中的坐标为：
T＝[xt,yt,zt,0] (1)
数控三轴机床在理想状态时成型点的运动位置：
<mrow> <mfenced open='' close=''> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>W</mi> <mi>ideal</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>[</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>]</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>[</mo> <msub> <mi>S</mi> <mn>12</mn> </msub> <msub> <mi>M</mi> <mn>12</mn> </msub> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> <mo>]</mo> <mi>T</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中Sij表示典型体Bj与典型体Bi之间的静止特征矩阵；
Mij表示典型体Bj与典型体Bi之间的理想运动特征矩阵；
T表示刀具加工点在刀具坐标系中的坐标；
Wideal表示理想条件下成型点在工件坐标系中的坐标；
m表示刀具分支中典型体的个数；
数控三轴机床在实际状态时成型点的运动位置：
W＝[P(n-1)n…P(m+2)(m+3)]-1[P12…Pm(m+1)]T (3)
其中Pij＝SijΔSijMijΔMij
则数控三轴机床的空间误差模型表示为：
E＝Wideal-W (4)
可进一步的表述为：
E＝E(G,T,H) (5)
其中：E＝[Ex,Ey,Ez,0]T表示空间误差向量，Ex表示X方向的空间误差，Ey表示Y方向的空间误差，Ez表示Z方向的空间误差；
G＝[g1,g2,...,g21]T表示由21项几何误差组成的误差向量.其中令Δxx，Δyx，Δzx，Δαx，Δβx，Δγx，Δxy，Δyy，Δzy，Δαy，Δβy，Δγy，Δxz，Δyz，Δzz，Δαz，Δβz，Δγz，ΔγXY，ΔβXZ，ΔαYZ＝g1，g2，g3，g4，g5，g6，g7，g8，g9，g10，g11，g12，g13，g14，g15，g16，g17，g18，g19，g20，g21；
H＝[xs,ys,zs,0]表示数控三轴机床X轴，Y轴，Z轴运动部件的位置向量；
T＝[xt,yt,zt,0]表示刀具加工点在刀具坐标系中的坐标，t表示刀具；
在本方法中，着重研究几何误差对数控三轴机床加工精度可靠性的影响，刀具加工点在刀具坐标系中的坐标T，以及数控三轴机床各运动轴的位置H，都是无误差且预先设定好的，则公式(5)可进一步写为：
E＝E(G)＝[Ex(G),Ey(G),Ez(G),0] (6)
步骤2数控三轴机床各几何误差的测量及其测量数据的整理
步骤2.1三轴精密卧式加工中心几何误差数据测试
沿数控三轴机床工作空间的4条空间体对角线，均匀的取H个测试点；在每一个测试点处，利用双频激光干涉仪，采用九线法原理，测量导轨的9项位移误差和9项转动误差，测试10次，记录数据；
使用垂直度测量仪测量数控三轴机床的三项垂直度误差；
步骤2.2测量数据的整理与采样
应用概率论和数理统计的基本原理，计算出各项误差的分布特征；数控三轴机床的垂直度误差是固定不变的，不会随着数控三轴机床的运动而波动，因此仅研究其余18项误差对加工精度可靠性的敏感度，将除垂直度误差以外的18项几何误差组成一个18维的单元体Ω18作为输入因素的空间域，应用拉丁高次采样法在空间域Ω18中进行采样，采样N组数据，表示为Gi，i＝1,2,…N,N≥10000；
步骤3数控三轴机床加工精度可靠性分析
假设数控三轴机床的最大允许空间误差可表示为A＝(ax,ay,az,0)T，其中ax，ay，az分别表示数控三轴机床在X-,Y-,Z-方向的最大允许误差，则数控三轴机床的功能函数矩阵可以表示为：
<mrow> <mi>F</mi> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>E</mi> <mo>-</mo> <mi>A</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>E</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>G</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>E</mi> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>G</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>a</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>E</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>G</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>a</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>=</mo> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>G</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>G</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>G</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
X-方向的极限状态方程可表示为：
Fx(G)＝Fx(g1,g2,g3,…,g18)＝0 (8)
Y-方向的极限状态方程可表示为：
Fy(G)＝Fy(g1,g2,g3,…,g18)＝0 (9)
Z-方向的极限状态方程可表示为：
Fz(G)＝Fz(g1,g2,g3,…,g18)＝0 (10)
X-方向失效域的指示函数可表示为：
<mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>G</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>G</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&gt;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>G</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;le;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
Y-方向失效域的指示函数可表示为：
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Z-方向失效域的指示函数可表示为：
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数控三轴机床在第h个测试点处的X-方向的可靠性可表示为：
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数控三轴机床在第h个测试点处的Y-方向的加工精度可靠性可表示为：
<mrow> <msub> <mi>R</mi> <mi>h</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Y</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>N</mi> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <msub> <mi>I</mi> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
数控三轴机床在第h个测试点处的Z-方向的加工精度可靠性可表示为：
<mrow> <msub> <mi>R</mi> <mi>h</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>N</mi> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <msub> <mi>I</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将N组采样数据代入公式(14)(15)和(16)，计算可得在第h个测试点处数控三轴机床在X,Y,Z方向的加工精度可靠性；
步骤4针对于点的数控三轴机床加工精度可靠性的敏感度分析
各项几何误差的均值对X-向加工精度可靠性的敏感度分析公式：
<mrow> <munderover> <mi>S</mi> <mi>h</mi> <mi>x</mi> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>N</mi> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <msub> <mi>I</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>G</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>p</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>18</mn> </munderover> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>C</mi> <mi>G</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>p</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>g</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mi>p</mi> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
各项几何误差的均值对Y-向加工精度可靠性的敏感度分析公式：
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各项几何误差的均值对Z-向加工精度可靠性的敏感度分析公式：
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各项几何误差的标准差对X-向加工精度可靠性的敏感度分析公式：
<mrow> <munderover> <mi>S</mi> <mi>h</mi> <mi>x</mi> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>N</mi> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>I</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>G</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>G</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>G</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>C</mi> <mi>G</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>G</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>G</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>C</mi> <mi>G</mi> </msub> <mo>|</mo> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>C</mi> <mi>G</mi> </msub> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>20</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
各项几何误差的标准差对Y-向加工精度可靠性的敏感度分析公式：
<mrow> <munderover> <mi>S</mi> <mi>h</mi> <mi>y</mi> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>N</mi> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>I</mi> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>G</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>G</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>G</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>C</mi> <mi>G</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>G</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>G</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>C</mi> <mi>G</mi> </msub> <mo>|</mo> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>C</mi> <mi>G</mi> </msub> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>21</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
各项几何误差的标准差对Z-向加工精度可靠性的敏感度分析公式：
<mrow> <munderover> <mi>S</mi> <mi>h</mi> <mi>z</mi> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>N</mi> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>I</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>G</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>G</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>G</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>C</mi> <mi>G</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>G</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>G</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>C</mi> <mi>G</mi> </msub> <mo>|</mo> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>C</mi> <mi>G</mi> </msub> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>22</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中：
Gk：表示第k个采样数组；
Ix(*)：表示X-方向失效域的指示函数；
Iy(*)：表示Y-方向失效域的指示函数；
Iz(*)：表示Z-方向失效域的指示函数；
CG：表示几何误差向量G的协方差矩阵，具体表示为
<mrow> <msub> <mi>C</mi> <mi>G</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mrow> <msub> <mi>g</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mrow> <msub> <mi>g</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mn>3</mn> </msub> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>...</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mrow> <msub> <mi>g</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mn>18</mn> </msub> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mn>18</mn> </msub> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mrow> <msub> <mi>g</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mrow> <msub> <mi>g</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mn>3</mn> </msub> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>...</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mrow> <msub> <mi>g</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mn>18</mn> </msub> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mn>18</mn> </msub> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mrow> <msub> <mi>g</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mn>3</mn> </msub> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mrow> <msub> <mi>g</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mn>3</mn> </msub> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mrow> <msub> <mi>g</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mn>18</mn> </msub> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mn>18</mn> </msub> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mrow> <msub> <mi>g</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mi>n</mi> </msub> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mn>18</mn> </msub> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mrow> <msub> <mi>g</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mi>n</mi> </msub> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mn>18</mn> </msub> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mrow> <msub> <mi>g</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mi>n</mi> </msub> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mn>18</mn> </msub> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>...</mn> </mtd> <mtd> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mn>18</mn> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>;</mo> </mrow>
表示第i项几何误差gi的方差；
表示第i项几何误差gi与第j项几何误差gj的协方差；
表示第i项几何误差gi的均值；
表示协方差矩阵CG的逆矩阵的第p行第i列的元素；
|CG|：表示协方差矩阵CG的行列式；
gkp：表示第k个采样数组中的第p项几何误差；
μG：表示各项几何误差的均值
表示在第h个测试点处，第i项几何误差gi的均值对数控三轴机床X向加工精度可靠性的敏感度系数；
表示在第h个测试点处，第i项几何误差gi的均值对数控三轴机床Y向加工精度可靠性的敏感度系数；
表示在第h个测试点处，第i项几何误差gi的均值对数控三轴机床Z向加工精度可靠性的敏感度系数；
表示在第h个测试点处，第i项几何误差gi的标准差对数控三轴机床X向加工精度可靠性的敏感度系数；
表示在第h个测试点处，第i项几何误差gi的标准差对数控三轴机床Y向加工精度可靠性的敏感度系数；
表示在第h个测试点处，第i项几何误差gi的标准差对数控三轴机床Z向加工精度可靠性的敏感度系数；
步骤5针对于整个加工空间的数控三轴机床加工精度可靠性的敏感度分析
重复步骤4，计算出各项几何误差在H个测试点处的加工精度可靠性的敏感度系数；
就整个加工空间而言：
将第i项几何误差gi的均值对数控三轴机床X向加工精度可靠性的敏感度系数表示为：
<mrow> <mover> <mi>S</mi> <mi>x</mi> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>H</mi> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>h</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>H</mi> </munderover> <munderover> <mi>S</mi> <mi>h</mi> <mi>x</mi> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>23</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将第i项几何误差gi的均值对数控三轴机床Y向加工精度可靠性的敏感度系数表示为：
<mrow> <mover> <mi>S</mi> <mi>y</mi> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>H</mi> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>h</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>H</mi> </munderover> <munderover> <mi>S</mi> <mi>h</mi> <mi>y</mi> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>24</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将第i项几何误差gi的均值对数控三轴机床Z向加工精度可靠性的敏感度系数表示为：
<mrow> <mover> <mi>S</mi> <mi>z</mi> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>H</mi> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>h</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>H</mi> </munderover> <munderover> <mi>S</mi> <mi>h</mi> <mi>z</mi> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>25</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将第i项几何误差gi的标准差对数控三轴机床X向加工精度可靠性的敏感度系数表示为：
<mrow> <mover> <mi>S</mi> <mi>x</mi> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>H</mi> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>h</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>H</mi> </munderover> <munderover> <mi>S</mi> <mi>h</mi> <mi>x</mi> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>26</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将第i项几何误差gi的标准差对数控三轴机床Y向加工精度可靠性的敏感度系数表示为：
<mrow> <mover> <mi>S</mi> <mi>y</mi> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>H</mi> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>h</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>H</mi> </munderover> <munderover> <mi>S</mi> <mi>h</mi> <mi>y</mi> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>27</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将第i项几何误差gi的标准差对数控三轴机床Z向加工精度可靠性的敏感度系数表示为：
<mrow> <mover> <mi>S</mi> <mi>z</mi> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>H</mi> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>h</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>H</mi> </munderover> <munderover> <mi>S</mi> <mi>h</mi> <mi>z</mi> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>g</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>28</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow> 7
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