CN103034166A - 一种机床关键性几何误差源识别方法 - Google Patents

Abstract

一种机床几何关键性误差识别方法，属于机床精度设计技术范畴,其特征在于包括：（1）根据机床的结构与运动特点，将机床抽象成多体系统，用拓扑结构和低序体阵列描述机床各部分的关联性；（2）在多体系统中建立广义坐标系，用齐次变换矩阵把机床各部件的误差量之间的耦合关系表述出来；推导出机床中两相邻体之间相对运动的特征矩阵和运动方程，从而建立加工中心的精度模型；（3）据精密卧式加工中心的精度模型，利用矩阵微分法建立四轴机床误差敏感度分析的一般数学模型；（4）通过计算各个部件单元几何误差的敏感度，比较各个误差元素对总的空间误差的影响程度，最终识别出了影响机床加工精度的关键性误差源。

Description

一种机床关键性几何误差源识别方法

技术领域

本发明涉及到机床误差分析与精度设计领域，更具体地涉及到对机床加工精度影响比较大的关键几何误差源参数的识别。

背景技术

随着航空航天、军工、船舶、汽车等行业对精密零件加工的要求越来越高，机床的精度性能显得更加重要。影响机床整体加工精度的各类误差主要有机床零部件的几何误差、热误差、载荷误差、伺服误差和插补误差。机床的几何误差体现在各零部件上，最终均将反映在被加工工件的加工误差上。传统的机床设计中，主要依靠经验的方法设计各部件的精度等级。由于各环节误差对机床整体精度的影响程度不同，因此为了节约机床的设计及制造成本，对机床进行误差敏感度分析并找到影响加工精度的关键几何误差因素显得尤其重要。

国内外许多学者对数控机床空间误差建模方法进行了较广泛而深入的研究，先后出现了几何建模法、误差矩阵法、二次关系模型法、机构学建模法、刚体运动学法和多体系统理论法等。其中，多体系统是一般机械系统最为全面的完整抽象、高度概括和有效描述，是分析和研究机械系统的有效模型形式，目前国内外众多学者已应用多体系统理论对机床进行了精度建模与分析。在灵敏度分析方面，已有研究针对并联机构及并联机床建立了基于统计的灵敏度系数数学模型，但是针对串联机床误差进行敏感度分析的研究和方法很少，对机床的误差溯源研究深度不够，缺乏具有一般通用性的机床误差敏感度分析及关键参数识别方法。

发明内容

本发明的目的是提供一种机床关键几何源误差识别方法，为合理经济地提高机床的精度提供重要的理论依据，为机床的精度设计提供有效借鉴。

本发明的特征在于，本发明是一种精密卧式加工中心的机床几何关键性误差识别方法,是在计算机中依次按以下步骤实现的:

步骤(1)计算机初始化:

向所述计算机输入所述精密卧式加工中心的下述技术指标:

工作台面l×b/mm²,三轴方向的行程S_X,S_Y,S_Z/mm，快速进给Vm/min，定位精度Δ/mm，重复定位精度Δ₁/mm，刀柄型号和主轴最高转速r_max/(r·min^-1),

所述精密卧式加工中心由床身（0），X轴运动部件（1），Y轴运动部件（2），刀具（3），Z轴运动部件（4），工作台（5）组成，所述X轴沿所述精密卧式加工中心的宽度设置，Y轴沿作为Y轴运动部件的主轴箱的高度设置，Z轴沿作为X轴运动部件的床身（0）的长度方向设置，所述工作台是绕垂直地设在所述工作台（5）上的B轴转动的，工件（6）固定在所述工作台（5）上，所述刀具（3）垂直地安装在主轴箱上,

步骤（2）所述精密卧式加工中心的初始化，设置广义坐标系；

步骤（2.1）建立所述精密卧式加工中心的低序体阵列；

定义包括工件（6）在内的所述精密卧式加工中心各个组成部件为“体”，用B_j表示，j=0,1,2,3,4,5,6，j表示所述“体”的序号；

把所述精密卧式加工中心分为刀具分支和工件分支，共两个分支，所述的刀具分支是指床身（0）—X轴运动部件（1）—Y轴运动部件（2）—刀具（3）这一个分支，所述工件分支是指床身（0）—Z轴运动部件（4）—工作台（5）—工件（6）这一个分支，分别按所述“体”B_j的序号排列，排成一个机床拓扑结构图。

根据所述机床拓扑结构图构建所述精密卧式加工中心的低序体阵列：

以所述“体”B_j的序号j为所述低序体阵列的序号，j=1,2,3,4,5,6增长数列顺序编号，

以所述“体”B_j的n阶低序体数列Lⁿ(j)为行，n=3,2,1,0,L³(j)为零阶低序体序列，L⁰(j)为三阶低序体，以此类推，阶n的编号按降序排列，阶数按升序排列，所述低序体阵列中左边的元素取自所建刀具分支中的各个所述“体”的序号，右边的元素取自所建工件分支中的各个所述“体”的序号，各有三列元素，元素表示的是所述机床拓扑结构中对应的所述“体”的序号，每列元素中排除床身（0）的序号，按照L⁰(j)→L³(j)的次序，从所建的刀具分支和工件分支中各自按最低的所述“体”的序列，向下面的序号值选取,若无所建“体”的序号，则元素值为0，随着列的序号j的值递增则从所述刀具分支和工件分支中逐步提高所述“体”的序号值，

所述低序体阵列表示了所述精密卧式加工中心中各个所述组成部件即“体”之间的位置和相对运动的关系，

步骤（2.2）用相应设置的坐标系的位置和姿态变换来表示所述各“体”之间的位置和运动关系，

在床身和所述X、Y、Z各轴运动部件上建立固接的右手笛卡尔坐标系，称为广义坐标系，也称参考坐标系数，各个所述“体”的坐标系称为子坐标系，每个子坐标系的3个正交基按右手定则分别为X轴、Y轴和Z轴，各个子坐标系的相对应的坐标轴分别对应地平行，

X轴运动部件（1）、Y轴运动部件（2）、Z轴运动部件（4）、装有工件（6）的工作台（5）的子坐标系与对应的低序体的坐标系重合，

刀具（3）的子坐标系的原点与主轴端面的中心重合，

工件（6）的子坐标系设在工件（6）上，

步骤（2.3）所述精密卧式加工中心所需测量的各项误差的允许范围，输入到所述计算机中，

步骤（3）建立所述精密卧式加工中心的特征矩阵，所述特征矩阵是指各所述相邻近“体”间的变换特征矩阵：

表1精密卧式加工中心的特征矩阵

其中，p为静止下标，s为运动下标，Δ为相对误差符号。

现在详细表述各个特征矩阵如下：

T_01p＝I_4×4，ΔT_01p＝I_4×4， $T_{01s}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),$ ${\mathrm{\ΔT}}_{01s}=\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_X& {\mathrm{\Δ\β}}_X& {\mathrm{\Δx}}_X\\ \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_X& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_X& {\mathrm{\Δy}}_X\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_X& {\mathrm{\Δ\α}}_X& 1& {\mathrm{\Δz}}_X\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

T_12p＝I_4×4， ${\mathrm{\ΔT}}_{12p}=\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{XY}}& 0& 0\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{XY}}& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),$ $T_{12s}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& y\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),$

${\mathrm{\ΔT}}_{12s}=\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_Y& {\mathrm{\Δ\β}}_Y& {\mathrm{\Δx}}_Y\\ \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_Y& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_y& {\mathrm{\Δy}}_Y\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_Y& {\mathrm{\Δ\α}}_Y& 1& {\mathrm{\Δz}}_Y\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),$ T_23p＝I_4×4， ${\mathrm{\ΔT}}_{23p}=\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{XC}}& {\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{YC}}& 0\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{XC}}& 1& 0& 0\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{XC}}& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),$

$T_{23s}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& \cos A& -\sin A& 0\\ 0& \sin A& \cos A& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),$ ${\mathrm{\ΔT}}_{23s}=\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_C& {\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{YC}}& {\mathrm{\Δx}}_A\\ \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_A& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_A& {\mathrm{\Δy}}_A\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_A& {\mathrm{\Δ\α}}_A& 1& {\mathrm{\Δz}}_A\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),$ T0_4p＝I_4×4，ΔT_04p＝I_4×4，

$T_{04s}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& z\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),$ ${\mathrm{\ΔT}}_{04s}=\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_Z& {\mathrm{\Δ\β}}_Z& {\mathrm{\Δx}}_C\\ \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_C& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_Z& {\mathrm{\Δy}}_C\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_C& {\mathrm{\Δ\α}}_Z& 1& {\mathrm{\Δz}}_C\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),$

T_45p＝I_4×4， ${\mathrm{\ΔT}}_{45p}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& {\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{zB}}& 0\\ 0& 1& {-\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{xC}}& 0\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{zB}}& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{xC}}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),$ $T_{45s}=\left(\begin{array}{cccc}\cos B& -\sin B& 0& 0\\ \sin B& \cos B& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),$

${\mathrm{\ΔT}}_{45s}=\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_b& {\mathrm{\Δ\β}}_b& {\mathrm{\Δx}}_b\\ \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_b& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_b& {\mathrm{\Δy}}_b\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{zb}}& {\mathrm{\Δ\α}}_b& 1& {\mathrm{\Δz}}_b\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),$ $T_{56p}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x_{\mathrm{wd}}\\ 0& 1& 0& y_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 1& z_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),$

${\mathrm{\ΔT}}_{56p}=\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δx}}_{\mathrm{wd}}\\ \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{wd}}& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δy}}_{\mathrm{wd}}\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{wd}}& 1& {\mathrm{\Δz}}_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),$ T_56s＝I_4×4，ΔT_56s＝I_4×4    （1）

式中，T_ijp,i＝1,2...表示体B_i和B_j之间的理想静止特征矩阵,T_ijp,i＝1,2...j＝1,2表示体B_i和B_j之间的理想运动特征矩阵,ΔT_ijp,i＝1,2..j＝1,2..表示体B_i和B_j之间的静止误差特征矩阵,ΔT_ijs,i＝1,2..j＝1,2..表示B_i和B_j之间的运动误差特征矩阵,x，y，z分别表示X轴部件，Y轴部件，Z轴部件的位移；α,β，γ分别表示X，Y，Z轴的转角，矩阵中其他误差参数分别表示了机床X，Y，Z轴各部件之间的几何误差，表示如下：

表2精密卧式加工中心的几何误差

步骤（4）建立所述精密卧式加工中心的精度模型E：

$E=\left(\underset{u=n,L^n\left(w\right)=o}{\overset{u=1}{\mathrm{\Π}}}{T}_{L^u\left(w\right)L^{u-1}\left(w\right)}\right)P_w-\left(\underset{j=n,L^n\left(t\right)=o}{\overset{j=1}{\mathrm{\Π}}}{T}_{L^j\left(t\right)L^{j-1}\left(t\right)}\right)P_t=$

$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \mathrm{\Δ}{\mathrm{\β}}_{\mathrm{XZ}}& 0\\ 0& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{YZ}}& 0\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{XZ}}& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{YZ}}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_Z& {\mathrm{\Δ\β}}_Z& {\mathrm{\Δx}}_Z\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_Z& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_Z& {\mathrm{\Δy}}_Z\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_Z& {\mathrm{\Δ\α}}_Z& 1& {\mathrm{\Δz}}_Z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& {-\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{Xb}}& 0& 0\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{Xb}}& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{Xb}}& 0\\ 0& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{Xb}}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cccc}\cos B& -\sin B& 0& 0\\ \sin B& \cos B& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_b& {\mathrm{\Δ\β}}_b& {\mathrm{\Δx}}_b\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_b& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_b& {\mathrm{\Δy}}_b\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_b& {\mathrm{\Δ\α}}_b& 1& {\mathrm{\Δz}}_b\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x_{\mathrm{wd}}\\ 0& 1& 0& y_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 1& z_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& {-\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δx}}_{\mathrm{wd}}\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{wd}}& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δy}}_{\mathrm{wd}}\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{wd}}& 1& {\mathrm{\Δz}}_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)P_w$

$-\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& {-\mathrm{\Δ\γ}}_X& {\mathrm{\Δ\β}}_X& {\mathrm{\Δx}}_X\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_X& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_X& {\mathrm{\Δy}}_X\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_X& {\mathrm{\Δ\α}}_X& -& {\mathrm{\Δz}}_X\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& {-\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{XY}}& 0& 0\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{XY}}& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& y\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cccc}1& {\mathrm{\Δ\γ}}_Y& {\mathrm{\Δ\β}}_Y& {\mathrm{\Δx}}_Y\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_Y& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_X& {\mathrm{\Δy}}_Y\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_Y& {\mathrm{\Δ\α}}_Y& 1& {\mathrm{\Δz}}_Y\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x_{\mathrm{td}}\\ 0& 1& 0& y_{\mathrm{td}}\\ 0& 0& 1& z_{\mathrm{td}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -x_{\mathrm{td}}\\ 0& 1& 0& -y_{\mathrm{td}}\\ 0& 0& 1& -z_{\mathrm{td}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\·$

$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& -y\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -x\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}\cos B& -\sin B& 0& 0\\ \sin B& \cos B& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x_{\mathrm{wd}}\\ 0& 1& 0& y_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 1& z_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)P_t---\left(2\right)$

在机械加工中，机床加工精度最终是由机床上刀具成形点与工件成形点之间的相对位移误差决定的，

刀具成形点在刀具坐标系内的坐标表示为P_t＝(P_tx P_ty P_tz 1)^T，式中，P_tx，P_ty，P_tz分别为刀具成形点在坐标系X轴，Y轴，Z轴上的坐标值。工件上成形点在工件坐标系中的坐标表示为P_w＝(P_wx P_wy P_wz 1)^T，式中p_wx，p_wy，p_wz分别为工件上成形点在坐标系X轴，Y轴，Z轴上的坐标值，

实际加工过程中，刀具成形点的实际位置会偏离理想位置，产生空间位置误差。则实际成形点与理想刀具成形点的综合空间位置误差，即所求加工精度模型表示为E：表示了所建卧式加工中心的加工精度模型是由各个部件的几何误差组成的，

步骤（5）建立所述精密卧式加工中心的空间误差敏感度分析模型

按下式表示步骤（4）得到的所述精密卧式加工中心的精度模型E：

E＝F(G,P_w,U,U_w,U_t)    （3）

其中，E，为机床的空间误差矢量，E＝(E_x,E_y,E_z,0)^T，

G，为所述各“体”几何误差的矢量集合

G＝(Δe_i,Δe₂,…,Δe_n)^T，Δe_i为第i个“体”的几何误差，i=1,2,3，..I，I=6，

P_w为工件上成形点在工件坐标系中的坐标向量，P_w＝(p_wx p_wy p_wz 1)^T，p_wx，p_wy，p_wz为在X、Y、Z轴上的分量，W表示工件，下同，

工件上成形点在工件坐标系中的坐标向量。

U,为各运动轴X、Y、Z、b的位置向量，U＝(x,y,z,b)^T

U_w为工件位置坐标向量，U_w＝(x_w,y_w,z_w,1)^T，

U_t＝(x_t,y_t,z_t,1)^T为刀具位置坐标向量，U_t＝(x_t,y_t,z_t,1)^T，t为刀具，

接下来得到加工精度的敏感度分析模型，

ΔE＝SΔG，其中

ΔE为加工精度的敏感度，

为雅克比矩阵，表示：以E对各Δe_i的偏导数的绝对值，

为元素组成的矩阵。ΔG，为各“体”几何误差在理想值处的微小波动，G、P_w、U、U_w、U_t的理想值是在计算机中预置的，

所述各项由于加工而产生的几何误差是实时测量的共35项，现列出如下：

在X轴平动时：

ΔX_X，定位误差，ΔY_X，Y方向直线度误差，

在Y轴平动时：

ΔX_Y，X方向直线度误差，ΔY_Y，定位误差，

在Z轴平动：

ΔX_Z，X方向直线度误差，ΔY_Z，Y方向直线度误差，

再把事先设置的工件安装位置(x_td y_td z_td 1)^T，实时测量得到的各导轨的运动位移x_sw,y_sw,z_sw连同所述35项几何误差代入到步骤(4)所述空间误差矢量E的表达式，得到工件上每个加工位置的误差(p_wx p_wy p_wz 1)^T，其中，在计算时，

工件坐标系原点在工作台坐标系中的位置坐标系为设定值，

刀具坐标系原点在主轴坐标系中的坐标为设定值，

各运动轴X，Y，Z的取值范围分别用x_ax,y_ax,z_ax，是设定的，

工作台相对C轴的转角b的初值为0，

工件上加工点的坐标取值范围是用区间表示的，p_wx,p_wy，p_wz，为设定值，

对所述误差敏感度分析的参数值的单位为mm，

步骤(6)，按下式计算所述各几何误差的误差敏感度

i＝1,2,3,…6,其中，Δγ_z的误差敏感度为：

$S_{{\mathrm{\Δ\γ}}_z}=\left|\frac{\∂E}{\∂\left({\mathrm{\Δ\γ}}_z\right)}\right|$

$=\left|\frac{\∂\left(M\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_z& {\mathrm{\Δ\β}}_z& {\mathrm{\Δx}}_z\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_z& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_z& {\mathrm{\Δy}}_z\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_z& {\mathrm{\Δ\α}}_z& 1& {\mathrm{\Δz}}_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right){\mathrm{NP}}_w\right)}{\∂\left({\mathrm{\Δ\γ}}_z\right)}\right|---\left(4\right)$

式中

$M=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& {\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{xz}}& 0\\ 0& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{yz}}& 0\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{xz}}& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{yz}}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

$N=\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{xb}}& 0& 0\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{xb}}& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{zb}}& 0\\ 0& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{zb}}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}\cos B& -\sin B& 0& 0\\ \sin B& \cos B& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right.)]\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_b& {\mathrm{\Δ\β}}_b& {\mathrm{\Δx}}_b\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_b& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_b& {\mathrm{\Δy}}_b\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_b& {\mathrm{\Δ\α}}_b& 1& {\mathrm{\Δz}}_b\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x_w\\ 0& 1& 0& y_w\\ 0& 0& 1& z_w\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_w& {\mathrm{\Δ\β}}_w& {\mathrm{\Δx}}_w\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_w& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_w& {\mathrm{\Δy}}_w\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_w& {\mathrm{\Δ\α}}_w& 1& {\mathrm{\Δz}}_w\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

Δβ_xz的误差敏感度为：

$S_{\mathrm{xz}}=\left|\frac{\∂E}{\∂\left({\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{xz}}\right)}\right|$

$=\left|\frac{\∂\left(\left(\begin{array}{cccc}1& 0& {\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{XZ}}& 0\\ 0& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{YZ}}& 0\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{XZ}}& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{YZ}}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right){\mathrm{NP}}_w\right)}{\∂\left({\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{xz}}\right)}\right|---\left(5\right)$

式中

$N=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_Z& {\mathrm{\Δ\β}}_Z& {\mathrm{\Δx}}_Z\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_Z& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_Z& {\mathrm{\Δy}}_Z\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_Z& {\mathrm{\Δ\α}}_Z& 1& {\mathrm{\Δz}}_Z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& {-\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{Xb}}& 0& 0\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{Xb}}& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{Xb}}& 0\\ 0& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{Xb}}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cccc}\cos B& -\sin B& 0& 0\\ \sin B& \cos B& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_b& {\mathrm{\Δ\β}}_b& {\mathrm{\Δx}}_b\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_b& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_b& {\mathrm{\Δy}}_b\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_b& {\mathrm{\Δ\α}}_b& 1& {\mathrm{\Δz}}_B\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x_{\mathrm{wd}}\\ 0& 1& 0& y_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 1& z_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& {-\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δx}}_{\mathrm{wd}}\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{wd}}& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δy}}_{\mathrm{wd}}\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{wd}}& 1& {\mathrm{\Δz}}_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

Δβ_z的误差敏感度为：

$S_{{\mathrm{\Δ\β}}_z}=\left|\frac{\∂E}{\∂\left({\mathrm{\Δ\β}}_z\right)}\right|$

$=\left|\frac{\∂\left(M\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_Z& {\mathrm{\Δ\β}}_Z& {\mathrm{\Δx}}_Z\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_Z& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_Z& {\mathrm{\Δy}}_Z\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_Z& {\mathrm{\Δ\α}}_Z& 1& {\mathrm{\Δz}}_Z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right){\mathrm{NP}}_w\right)}{\∂\left({\mathrm{\Δ\β}}_z\right)}\right|---\left(6\right)$

式中

$M=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& {\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{XZ}}& 0\\ 0& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{YZ}}& 0\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{XZ}}& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{YZ}}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

$N=\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{Xb}}& 0& 0\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{Xb}}& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{Xb}}& 0\\ 0& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{Xb}}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}\cos B& -\sin B& 0& 0\\ \sin B& \cos B& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_b& {\mathrm{\Δ\β}}_b& {\mathrm{\Δx}}_b\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_b& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_b& {\mathrm{\Δy}}_b\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_b& {\mathrm{\Δ\α}}_b& 1& {\mathrm{\Δz}}_b\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x_{\mathrm{wd}}\\ 0& 1& 0& y_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 1& z_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δx}}_{\mathrm{wd}}\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{wd}}& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δy}}_{\mathrm{wd}}\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{wd}}& 1& {\mathrm{\Δz}}_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

Δα_zb的误差敏感度为：

$S_{{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{zb}}}=\left|\frac{\∂E}{\∂\left({\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{zb}}\right)}\right|$

$=\left|\frac{\∂\left(M\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{Xb}}& 0& 0\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{XB}}& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{zb}}& 0\\ 0& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{Xb}}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right){\mathrm{NP}}_w\right)}{\∂\left({\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{zb}}\right)}\right|---\left(7\right)$

式中

$M=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& {\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{XZ}}& 0\\ 0& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{YZ}}& 0\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{XZ}}& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{YZ}}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_Z& {\mathrm{\Δ\β}}_Z& {\mathrm{\Δx}}_Z\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_Z& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_Z& {\mathrm{\Δy}}_Z\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_Z& {\mathrm{\Δ\α}}_Z& 1& {\mathrm{\Δz}}_Z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

$N=\left(\begin{array}{cccc}\cos B& -\sin B& 0& 0\\ \sin B& \cos B& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_b& {\mathrm{\Δ\β}}_b& {\mathrm{\Δx}}_B\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_b& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_b& {\mathrm{\Δy}}_B\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_b& {\mathrm{\Δ\α}}_b& 1& {\mathrm{\Δz}}_B\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x_{\mathrm{wd}}\\ 0& 1& 0& y_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 1& z_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& {-\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δx}}_{\mathrm{wd}}\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{wd}}& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δy}}_{\mathrm{wd}}\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{wd}}& 1& {\mathrm{\Δz}}_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

Δγ_z的误差敏感度为：

$S_{{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{YZ}}}=\left|\frac{\∂E}{\∂\left({\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{YZ}}\right)}\right|$

$=\left|\frac{\∂\left(\left(\begin{array}{cccc}1& 0& {\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{XZ}}& 0\\ 0& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{YZ}}& 0\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{XZ}}& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{YZ}}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right){\mathrm{NP}}_w\right)}{\∂\left({\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{YZ}}\right)}\right|---\left(8\right)$

式中

$N=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_Z& {\mathrm{\Δ\β}}_Z& {\mathrm{\Δx}}_Z\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_Z& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_Z& {\mathrm{\Δy}}_Z\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_Z& {\mathrm{\Δ\α}}_Z& 1& {\mathrm{\Δz}}_Z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& {-\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{Xb}}& 0& 0\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{Xb}}& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{Xb}}& 0\\ 0& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{Xb}}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cccc}\cos B& -\sin B& 0& 0\\ \sin B& \cos B& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_B& {\mathrm{\Δ\β}}_b& {\mathrm{\Δx}}_b\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_b& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_b& {\mathrm{\Δy}}_b\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_b& {\mathrm{\Δ\α}}_b& 1& {\mathrm{\Δz}}_b\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x_{\mathrm{wd}}\\ 0& 1& 0& y_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 1& z_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δx}}_{\mathrm{wd}}\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{wd}}& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δy}}_{\mathrm{wd}}\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{wd}}& 1& {\mathrm{\Δz}}_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

Δγ_xb的误差敏感度为：

$S_{{\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{xy}}}=\left|\frac{\∂E}{\∂\left({\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{xb}}\right)}\right|$

$=\left|\frac{\∂\left(M\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{Xb}}& 0& 0\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{Xb}}& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right){\mathrm{NP}}_t\right)}{\∂\left({\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{xb}}\right)}\right|---\left(9\right)$

式中

$M=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_X& {\mathrm{\Δ\β}}_X& {\mathrm{\Δx}}_X\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_X& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_X& {\mathrm{\Δy}}_X\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_X& {\mathrm{\Δ\α}}_X& 1& {\mathrm{\Δz}}_X\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

$N=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& y\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_Y& {\mathrm{\Δ\β}}_Y& {\mathrm{\Δx}}_Y\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_Y& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_X& {\mathrm{\Δy}}_Y\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_Y& {\mathrm{\Δ\α}}_Y& 1& {\mathrm{\Δz}}_Y\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x_{\mathrm{td}}\\ 0& 1& 0& y_{\mathrm{td}}\\ 0& 0& 1& z_{\mathrm{td}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -x_{\mathrm{td}}\\ 0& 1& 0& {-y}_{\mathrm{td}}\\ 0& 0& 1& -z_{\mathrm{td}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& -y\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -x\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}\cos B& -\sin B& 0& 0\\ \sin B& \cos B& 0& \text{0}\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x_{\mathrm{wd}}\\ 0& 1& 0& y_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 1& z_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

Δα_yz的误差敏感度为：

$S_{{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{yz}}}=\left|\frac{\∂E}{\∂\left({\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{yz}}\right)}\right|$

$=\left|\frac{\∂\left(M\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_Z& {\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{yz}}& {\mathrm{\Δx}}_Z\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_Z& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_Z& {\mathrm{\Δy}}_Z\\ -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{yz}}& {\mathrm{\Δ\α}}_Z& 1& {\mathrm{\Δz}}_Z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right){\mathrm{NP}}_w\right)}{\∂\left({\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{yz}}\right)}\right|---\left(10\right)$

式中

$M=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& {\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{XZ}}& 0\\ 0& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{YZ}}& 0\\ {-\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{XZ}}& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{YZ}}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

$N=\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{Xb}}& 0& 0\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{Xb}}& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{XB}}& 0\\ 0& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{Xb}}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}\cos B& -\sin B& 0& 0\\ \sin B& \cos B& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_b& {\mathrm{\Δ\β}}_b& {\mathrm{\Δx}}_B\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_b& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_b& {\mathrm{\Δy}}_B\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_b& {\mathrm{\Δ\α}}_b& 1& {\mathrm{\Δz}}_B\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x_{\mathrm{wd}}\\ 0& 1& 0& y_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 1& z_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

Δγ_b的误差敏感度为：

$S_{{\mathrm{\Δ\γ}}_b}=\left|\frac{\∂E}{\∂\left({\mathrm{\Δ\γ}}_b\right)}\right|$

$=\left|\frac{\∂\left(M\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{XB}}& 0& 0\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{XB}}& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{zb}}& 0\\ 0& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{XB}}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right){\mathrm{NP}}_w\right)}{\∂\left({\mathrm{\Δ\γ}}_z\right)}\right|---\left(11\right)$

式中

$M=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& {\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{XZ}}& 0\\ 0& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{YZ}}& 0\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{XZ}}& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{YZ}}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_Z& {\mathrm{\Δ\β}}_Z& {\mathrm{\Δx}}_Z\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_Z& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_Z& {\mathrm{\Δy}}_Z\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_Z& {\mathrm{\Δ\α}}_Z& 1& {\mathrm{\Δz}}_Z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

$N=\left(\begin{array}{cccc}\cos B& -\sin B& 0& 0\\ \sin B& \cos B& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_b& {\mathrm{\Δ\β}}_b& {\mathrm{\Δx}}_B\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_b& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_b& {\mathrm{\Δy}}_B\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_b& {\mathrm{\Δ\α}}_b& 1& {\mathrm{\Δz}}_B\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x_{\mathrm{wd}}\\ 0& 1& 0& y_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 1& z_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

Δβ_b的误差敏感度为：

$S_{{\mathrm{\Δ\β}}_b}=\left|\frac{\∂E}{\∂\left({\mathrm{\Δ\β}}_b\right)}\right|$

$=\left|\frac{\∂\left(\left(\begin{array}{cccc}1& 0& {\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{XZ}}& 0\\ 0& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{YZ}}& 0\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{XZ}}& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{YZ}}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right){\mathrm{NP}}_w\right)}{\∂\left({\mathrm{\Δ\β}}_b\right)}\right|---\left(12\right)$

式中

$N=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_Z& {\mathrm{\Δ\β}}_Z& {\mathrm{\Δx}}_Z\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_Z& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_Z& {\mathrm{\Δy}}_Z\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_Z& {\mathrm{\Δ\α}}_Z& 1& {\mathrm{\Δz}}_Z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{XB}}& 0& 0\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{XB}}& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{XB}}& 0\\ 0& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{XB}}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cccc}\cos B& -\sin B& 0& 0\\ \sin B& \cos B& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_B& {\mathrm{\Δ\β}}_B& {\mathrm{\Δx}}_B\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_B& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_B& {\mathrm{\Δy}}_B\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_B& {\mathrm{\Δ\α}}_B& 1& {\mathrm{\Δz}}_B\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

步骤（7）按步骤（6）取得的结果得到对应于所述各体的误差敏感度

的空间误差E的表达式E＝（E_x，E_y，E_z，0）的表达式，建立两者的映射表，步骤（8）识别关键性误差源参数

从步骤（7）得到的用单个几何误差在表述空间误差的表达式

中得到：

总误差与各几何误差Δei的表达式：

E＝α_i+k_iΔei,α_i为常数,k_i为

按下式各误差源参数即几何误差Δei的敏感度系数S_i进行归一化处理，得到归一化后的误差敏感度系数S_mi，m＝x,y,z,

$S_{\mathrm{xi}}=\frac{\left|S_{i\left(\mathrm{Ex}\right)}\right|}{\mathrm{\Σ}\left|S_{i\left(\mathrm{Ex}\right)}\right|},$ $S_{\mathrm{yi}}=\frac{\left|S_{i\left(\mathrm{Ey}\right)}\right|}{\mathrm{\Σ}\left|S_{i\left(\mathrm{Ey}\right)}\right|},$ $S_{\mathrm{zi}}=\frac{\left|S_{i\left(\mathrm{Ez}\right)}\right|}{\mathrm{\Σ}\left|S_{i\left(\mathrm{Ez}\right)}\right|},$

S_i(Ex)、S_i(Ey)、S_i(Ez)分别为E_X、E_Y、E_Z表达式中涉及的各项几何误差，也称误差源参数Δei的敏感度系数，

对X、Y、Z各轴，分别以对应的S_mi为中轴，Δei为横轴组成三个直方图，从中找出关键性误差源参数，其Δei是最大的。

本发明与现有技术相比，具有明显的优势和有益效果：

本发明的特点在于基于多体系统理论，提出了一种机床误差敏感度分析一般模型及方法，通过此方法可以识别出对机床空间加工误差影响较大的关键性几何误差源参数。发明内容包括两部分，在第一部分中，根据机床（以精密卧式加工中心为例）的结构与运动特点，将机床抽象成多体系统，用拓扑结构和低序体阵列描述机床各部分的关联性；在多体系统中建立广义坐标系，用齐次变换矩阵把机床各部件的误差量之间的耦合关系表述出来；推导出机床中两相邻体之间相对运动的特征矩阵和运动方程，从而建立加工中心的精度模型。在第二部分中，利用矩阵微分法，对机床精度模型进一步分析，得出机床误差敏感度分析的数学模型。通过计算与分析误差敏感度系数，识别出影响机床加工精度的关键性几何误差。

通过下面的描述并结合附图说明，本发明会更加清晰，附图说明用于解释本发明方法及实施例。

附图说明

图1精密卧式加工中心的结构简图；

其中，0-床身  1-X轴部件  2-Y轴部件(主轴箱)  3-刀具  4-Z轴部件  5-B轴旋转工作台  6-工件；

图2精密卧式加工中心的拓扑结构图；

其中，0-床身  1-X轴部件  2-Y轴部件(主轴箱)  3-刀具  4-Z轴部件  5-B轴旋转工作台  6-工件；

图3精密卧式加工中心的误差敏感度系数分析图；

其中，a-E_x误差敏感度系数  b-E_y误差敏感度系数  c-E_z误差敏感度系数

图4本发明机床关键性几何误差源识别方法的流程模型图；

图5本发明机床关键性几何误差源识别方法的功能模块图；

具体实施方式

本发明的具体实施步骤如下：

第一步基于多体系统理论，建立空间加工精度模型

按多体理论，根据机床的结构与运动特点，把机床抽象成多体系统。运用多体理论中的简单拓扑结构和低序体阵列，描述出机床各部件之间的关联；然后，在多体系统中建立广义坐标系，用齐次变换矩阵把机床各部件误差量之间的耦合关系表述出来；推导机床中两相邻体之间相对运动的特征矩阵和运动方程，从而建立加工中心的精度模型，具体实施步骤如下。

步骤（1）：设置机床广义坐标系

精密卧式加工中心是一台四轴数控机床，具有高刚度、高精度、高速度的特点，根据设计要求，其技术指标为表3所示。

表3精密卧式加工中心的技术指标

加工中心结构简图如附图1，它由床身，X、Y、Z三轴运动部件、主轴箱(刀具)和绕B轴旋转的工作台组成。

根据多体系统理论，对应机床各组成部件建立相应的“体”，由B_j(j=0,1,2…）表示。并按床身-X轴运动部件—Y轴运动部件—主轴箱(刀具)分支，和床身—Z轴运动部件—工作台—工件分支，分别按增长数列顺序对其编号，机床拓扑结构如附图2，低序体阵列如下表2。其中，Lⁿ(j)表示体B_j的n阶低序体数列(序号比体B_j低的体），例如，如表2第三列，体3的零阶低序体是体3，一阶低序体是体2，二阶低序体是体1。

表4精密卧式加工中心的低序体阵列

多体系统中各体之间的位置和运动关系，用相应的坐标系的位置和姿态变换来表示，为了方便机床的精度建模，需要对坐标系进行特殊设置。现设置如下：

①在床身B₀和所有机床运动部件(B_j)上，建立固接的右手笛卡尔坐标系，这些子坐标系的集合称为广义坐标系（又称参考坐标系），各体坐标系称为子坐标系。每个坐标系的3个正交基按右手定则分别为X、Y、Z轴；

②广义坐标系内的个元素X、Y、Z轴分别对应平行；

③X轴运动部件、Y轴运动部件（主轴箱）、Z轴部件、装有工件的工作台的体运动参考系与其对应的相邻低序体体坐标系重合；

④刀具子坐标系原点与主轴端面中心重合；

⑤工件子坐标系设在工件上。

步骤（2）：建立机床的特征矩阵

根据加工中心的结构、各部件之间的运动关系，建立各相邻近体间的变换特征矩阵。由于运动部件的一些静止误差和非运动部件的运动误差相对极小，令其误差特征矩阵为单阵I_4×4。为便于后面条理推导，描述部分加工中心部件特征矩阵T及各个特征矩阵的详细表述分别如表1和式（1），

式(1)中，T_ijp(i＝1，2..j＝1，2..)表示体B_i和B_j之间的理想静止特征矩阵，T_ijs(i＝1，2..j＝1，2..)表示体B_i和B_j之间的理想运动特征矩阵，ΔT_ijp(i＝1，2..j＝1，2..)表示体B_i和B_j之间的静止误差特征矩阵，ΔT_ijs(i＝1，2..j＝1，2..)表示体B_i和B_j之间的运动误差特征矩阵，x，y，z分别表示X轴部件，Y轴部件，Z轴部件的位移；α，β，γ分别表示X，Y，Z轴的转角，矩阵中其他误差参数分别表示了机床X，Y，Z轴各部件之间的几何误差，其具体意义详细见列表2。

步骤（3）建立机床的精度模型

在机械加工中，机床加工精度最终是由机床上刀具成形点与工件成形点之间的相对位移误差决定的，

刀具成形点在刀具坐标系内的坐标表示为P_t＝(P_tx P_ty P_tz 1)^T，式中，P_tx，P_ty，P_tz分别为刀具成形点在坐标系X轴，Y轴，Z轴上的坐标值。工件上成形点在工件坐标系中的坐标表示为P_w＝(P_wx P_wy P_wz 1)^T，式中p_wx，p_wy，p_wz分别为工件上成形点在坐标系X轴，Y轴，Z轴上的坐标值，

在机床理想运动条件（在无误差情况）下，刀具成形点与工件上成形点应重合，即零阶低序体经由两条相邻体之间特征矩阵传递的变换线路后，应有

$\left(\underset{j=n,L^n\left(t\right)=o}{\overset{j=1}{\mathrm{\Π}}}{T}_{L^j\left(t\right)L^{j-1}\left(t\right)p}{T}_{L^j\left(t\right)L^{j-1}\left(t\right)s}\right)P_t=$

$\left(\underset{u=n,L^n\left(w\right)=o}{\overset{u=1}{\mathrm{\Π}}}{T}_{L^u\left(w\right)L^{u-1}\left(w\right)p}{T}_{L^u\left(w\right)L^{u-1}\left(w\right)s}\right)P_w---\left(13\right)$

将式（12）进行变换，得到刀具成形点在工件坐标系内的理想成形函数为：

$P_t={\left(\underset{j=n,L^n\left(t\right)=o}{\overset{j=1}{\mathrm{\Π}}}{T}_{L^j\left(t\right)L^{j-1}\left(t\right)p}{T}_{L^j\left(t\right)L^{j-1}\left(t\right)s}\right)}^{-1}\·$

(14)

$\underset{u=n,L^n\left(w\right)=o}{\overset{u=1}{\mathrm{\Π}}}{T}_{L^u\left(w\right)L^{u-1}\left(w\right)p}{T}_{L^u\left(w\right)L^{u-1}\left(w\right)s}{P}_w$

实际加工过程中，刀具成形点的实际位置会偏离理想位置，产生空间位置误差。则实际成形点与理想刀具成形点的综合空间位置误差，即所求加工精度模型表示为E：

$E=\left(\underset{u=n{,L}^n\left(w\right)=o}{\overset{u=1}{\mathrm{\Π}}}{T}_{L^u\left(w\right)L^{u-1}\left(w\right)}\right)P_w-\left(\underset{j=n,L^n\left(t\right)=o}{\overset{j=1}{\mathrm{\Π}}}{T}_{L^j\left(t\right)L^{j-1}\left(t\right)}\right)P_t=$

$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \mathrm{\Δ}{\mathrm{\β}}_{\mathrm{XZ}}& 0\\ 0& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{YZ}}& 0\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{XZ}}& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{YZ}}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_Z& {\mathrm{\Δ\β}}_Z& {\mathrm{\Δx}}_Z\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_Z& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_Z& {\mathrm{\Δy}}_Z\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_Z& {\mathrm{\Δ\α}}_Z& 1& {\mathrm{\Δz}}_Z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& {-\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{Xb}}& 0& 0\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{Xb}}& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{Xb}}& 0\\ 0& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{Xb}}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\·$

$\left(\begin{array}{cccc}\cos B& -\sin B& 0& 0\\ \sin B& \cos B& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_b& {\mathrm{\Δ\β}}_b& {\mathrm{\Δx}}_b\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_b& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_b& {\mathrm{\Δy}}_b\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_b& {\mathrm{\Δ\α}}_b& 1& {\mathrm{\Δz}}_b\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x_{\mathrm{wd}}\\ 0& 1& 0& y_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 1& z_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\·$

$\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δx}}_{\mathrm{wd}}\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{wd}}& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δy}}_{\mathrm{wd}}\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{wd}}& 1& {\mathrm{\Δz}}_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)P_w-\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& {-\mathrm{\Δ\γ}}_X& {\mathrm{\Δ\β}}_X& {\mathrm{\Δx}}_X\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_X& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_X& {\mathrm{\Δy}}_X\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_X& {\mathrm{\Δ\α}}_X& 1& {\mathrm{\Δz}}_X\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\·$

$\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{XY}}& 0& 0\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{XY}}& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& y\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_Y& {\mathrm{\Δ\β}}_Y& {\mathrm{\Δx}}_Y\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_Y& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_X& {\mathrm{\Δy}}_Y\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_Y& {\mathrm{\Δ\α}}_Y& 1& {\mathrm{\Δz}}_Y\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x_{\mathrm{td}}\\ 0& 1& 0& y_{\mathrm{td}}\\ 0& 0& 1& z_{\mathrm{td}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -x_{\mathrm{td}}\\ 0& 1& 0& -y_{\mathrm{td}}\\ 0& 0& 1& -z_{\mathrm{td}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\·---\left(15\right)$

$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& -y\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -x\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}\cos B& -\sin B& 0& 0\\ \sin B& \cos B& 0& \text{0}\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x_{\mathrm{wd}}\\ 0& 1& 0& y_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 1& z_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)P_t$

可以看到，精密卧式加工中心的加工精度模型是由机床各部件的几何误差组成的。第二步基于敏感度分析的关键误差源识别

根据精密卧式加工中心（该中心为四轴机床）的精度模型，利用矩阵微分法建立其误差敏感度分析的一般模型。通过计算各个部件（体）几何误差的敏感度，比较各个误差元素对总的空间误差的影响程度，最终识别出影响机床加工精度的关键性误差源，从而为合理经济地提高机床的精度提供重要的理论依据。

步骤（1）：建立机床空间误差敏感度分析模型

根据第一步式(15)，可以建立四轴数控机床精度模型，该模型表示为：

E＝F(G,P_w,U,U_w,U_t)    （16）

式中，E——机床的空间误差矢量，表示为E＝(E_x,E_y,E_z,0)^T，其中E_x,_Ey,E_z为机床在X轴，Y轴，Z轴方向上的误差。

G——机床各零部件（体）几何误差的矢量集合，表示为G＝(Δe_i,Δe₂,…,Δe_n)^T  其中Δe_i（i＝1,2,3…n）为机床第i个部件的几何误差。

P_w＝(p_wx p_wy p_wz 1)^T——工件上成形点在工件坐标系中的坐标向量。

U＝(x,y,z,B)^T——机床各运动轴的位置向量。

U_w＝(x_w,y_w,z_w,1)^T——工件位置坐标向量。

U_t＝(x_t,y_t,z_t,1)^T——刀具位置坐标向量。

根据E＝F(G,P_w,U,U_w,U_t)形式，可知F是变量G、P_w、U、U_w、U_t的连续可微函数，对其按一阶泰勒级数展开：

$F(G+\mathrm{\ΔG},P_w+{\mathrm{\ΔP}}_w,U+\mathrm{\ΔU},U_w+{\mathrm{\ΔU}}_w,U_t+{\mathrm{\ΔU}}_t)$

$=F(G,P_w,U,U_w,U_t)+$

$\frac{\∂F}{\∂G}\mathrm{\ΔG}+\frac{\∂F}{{\∂P}_w}{\mathrm{\ΔP}}_w+\frac{\∂F}{\∂U}\mathrm{\ΔU}+\frac{\∂F}{{\∂U}_w}{\mathrm{\ΔU}}_w+\frac{\∂F}{{\∂U}_t}{\mathrm{\ΔU}}_t---\left(17\right)$

$+O\sqrt{{\left(\mathrm{\ΔG}\right)}^2+{\left({\mathrm{\ΔP}}_w\right)}^2+{\left(\mathrm{\ΔU}\right)}^2+{\left({\mathrm{\ΔU}}_w\right)}^2+{\left({\mathrm{\ΔU}}_t\right)}^2}$

式中，ΔG、ΔP_w、ΔU、ΔU_w、ΔU_t分别为G、P_w、U、U_w、U_t在理想值处的微小波动。同时，实际分析过程中，几个坐标位置向量P_w、U、U_w、U_t可设为定值，这样就可在固定的工件、刀具安装位置下，模拟加工相同的工件轨迹，分析由机床各部件的几何误差G变化时，对总的空间误差F影响程度的大小。因此，可以得到：

$F(G+\mathrm{\ΔG},P_w,U,U_w,U_t)$

$=F(G,P_w,U,U_w,U_t)+\frac{\∂F}{\∂G}\mathrm{\ΔG}---\left(18\right)$

$=E+\mathrm{\ΔE}$

进而得到机床加工精度的敏感度分析模型为：

$\mathrm{\ΔE}=\frac{\∂F}{\∂G}\mathrm{\ΔG}=\mathrm{S\ΔG}---\left(19\right)$

式中，

为雅可比矩阵，称为误差敏感度矩阵。这样通过矩阵微分，得到数控机床的误差敏感度矩阵的表达式。

步骤（2）检定机床零部件（体）几何误差参数

以说明书附图1所示的精密卧式加工中心为对象进行分析，利用API XD-6D双频激光干涉仪和激光跟踪仪等测量工具对各几何误差进行多点测试检定（测量装置及方法原理如后详述），测得精密卧式加工中心的35项几何误差，前表2列出了多次测量的几何误差的均值。

将表2所示的检测几何误差以及工件的安装位置(x_wd y_wd z_wd 1)^T、刀具的安装位置(x_td y_td z_td1)^T、各导轨的运动位移x_sw、y_sw、z_sw代入到式（3），就可以得到工件上每个加工位置(p_wx p_wy p_wz1)^T的误差。根据精密加工中心的几何精度检验标准GB/T 20957.7—2007《精密加工中心检验条件第7部分：精加工试件精度检验》，检验前面建立模型的加工精度，即将加工试件安装在工作台中心，然后在x-y平面上切削一个直径d为218mm的圆。

在机床的工作空间区域中，各坐标轴处于中间位置的工作区域使用最频繁，因此主要对机床中间工作区域进行误差敏感度的分析。根据精密卧式加工中心的设计结构、技术参数及多体系统中广义坐标系的设置，可设定工件坐标系原点在工作台坐标系中的位置坐标为：[x_wd y_wd z_wd 1]^T＝[500 -190 118 1]^T；

刀具坐标系原点在主轴坐标系中的坐标为：[x_td y_td z_td 1]^T＝[0 0 -190 1]^T；

工件上加工点的坐标取值范围为：p_wx＝[-109,109]，p_wy＝[553.5,771.5]，p_wz＝-150。

各个运动轴的取值范围为：x_ax＝[391,609]，y_ax＝[363.5,581.5]，z_ax＝118。

工作台转角b=0，并有p_wx＝x_ax-500，p_wy＝y_ax+190，其中，根据典型试件加工轨迹的特点，可得x、y的关系为(x_ax-500)²+(y_ax-472.5)²＝109²。

本发明中，取机床加工试件时运动到最高点(x_ax，y_ax，z_ax)＝(500,581.5,118)的位置，对机床进行误差敏感度分析(以上各参数值的单位为：mm)。

步骤（3）：识别关键性误差源参数

误差敏感度反映的是各个误差元素产生微小变化时，总空间误差的变化程度。根据式(3)的精度模型和式(6)的误差敏感度矩阵，可以定义：机床的空间误差E对各个几何误差Δe_i的偏导数的绝对值，为精密卧式加工中心的误差敏感度：

(i=1,2,3……)。

具体机床的空间误差E对于Δγ_z、Δβ_xz、Δβ_z、Δα_zb、、Δγ_xb、Δα_yz、Δγ_b、Δβ_b的误差敏感度

如前式（4）-（12），

以分析Δγ_z对应的误差敏感度为例，将上面的误差参数值代入到式(7)，进行整理计算得：

$E=\left(\begin{array}{c}{E}_x\\ E_y\\ E_z\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-0.0147-581.54{\mathrm{\Δ\γ}}_z\\ 0.0318+499.98{\mathrm{\Δ\γ}}_z\\ 0.0223+0.0087{\mathrm{\Δ\γ}}_z\\ 0\end{array}\right),$

进一步，计算得到Δγ_z对应的误差敏感度：

$S_{{\mathrm{\Δ\γ}}_z}=\left(\begin{array}{c}{S}_{{\mathrm{x\Δ\γ}}_z}\\ S_{{\mathrm{y\Δ\γ}}_z}\\ S_{\mathrm{z\Δ}{\mathrm{\γ}}_z}\\ 0\end{array}\right)=\left|\left(\begin{array}{c}-581.54\\ 499.98\\ 0.0087\\ 0\end{array}\right)\right|=\left(\begin{array}{c}581.54\\ 499.98\\ 0.0087\\ 0\end{array}\right).$

用同样方法计算出加工中心的精度模型中各误差元素的敏感度。表5列出了加工中心各误差元素对应的空间误差E的表达式(部分)，从E的表达式中很容易得到相应的S_i。

表5单个误差项与总空间误差的关系

由表5知，精度模型中的几何误差元素值按表2的数值取，并按试件的加工情况设定坐标变量后，总误差E与各项误差元素Δe_i的关系为：E＝a_i+k_iΔe_i。

对E_m(m＝x，y,z)进行分析知道，上式中系数k_i的绝对值越大，表明误差元素Δe_i相对应的敏感度S_i大，其对空间误差E_m的变化影响也越大。为了更好地识别和分析关键性误差源，将各误差源参数的敏感度系数进行归一化处理，定义：

$s_{\mathrm{mi}}=\frac{\left|S_{\mathrm{mi}}\right|}{\mathrm{\Σ}\left|S_{\mathrm{mi}}\right|}(m=x,y,z),$

式中s_mi为Δe_i对应的误差敏感度系数，敏感度系数之和为1。

对各几何误差对应的敏感度系数进行分析，可知误差敏感度系数越大，总误差E对误差元素Δe_i的变化敏感度越大，则几何误差源是影响机床总加工精度的一个关键因素，其对应的机床零部件对机床整机的加工精度影响越大。

对X轴方向的空间误差E_x，识别出对其影响较大的关键性误差源有6项，其对应的误差表达式、敏感度和敏感度系数如表6。

表6 E_x主要误差元素及其敏感度和敏感度系数

表6中，Δγ_x、Δγ_z、Δγ_b、Δγ_xy、Δγ_xb这几项误差为机床本身设计误差，Δγ_w为工件安装时产生的误差。

附图3a为此六项误差元素对应的误差敏感度系数比较图。从图中可以看出，这6项误差的敏感度系数之和为0.89，其它误差对应的敏感度系数仅为0.11。进行计算分析可看到机床的x轴运动部件、z轴运动部件、工作台b轴转动部件绕z轴的转角误差，x、y轴的垂直度误差，x、b轴的垂直度误差，以及工件安装时绕z轴的转角误差在加工零件时，对总的空间误差在x轴方向的误差分量E_x影响较大。

同理，识别出对Y轴方向的空间误差E_y、Z轴方向的空间误差E_z产生重要影响的关键性误差源参数，如附图3b所示，对E_y变化敏感度大的误差元素有Δγ_z、Δγ_b、Δγ_xb、Δα_w，这4项误差的敏感度系数之和为0.82，其它误差对应的敏感度系数仅为0.18。可见机床的z轴运动部件、工作台b轴转动部件绕z轴的转角误差，x、b轴的垂直度误差，以及工件安装时绕x轴产生的转角误差在机床加工过程中对总的空间误差在y轴方向的误差分量E_y影响较大。

如附图3c所示，对Z轴方向的空间误差E_z变化敏感度大的误差元素，有Δα_x、Δα_z、Δα_b、Δα_w、Δα_yz、Δα_zb、Δβ_z、Δβ_b、Δβ_xz。这9项误差的敏感度系数之和为0.9，其它误差对应的敏感度系数仅为0.1。可知机床的x轴运动部件绕x轴的转角误差，z轴运动部件、工作台B轴转动部件绕x和y轴的转角误差，y、z轴的垂直度误差，x、z轴的垂直度误差，z、B轴的垂直度误差，以及工件安装时绕x轴的转角误差在加工零件时，对总的空间误差在z轴方向的误差分量E_z影响较大。

步骤（4）：分析灵敏度分析结果

对精密卧式加工中心进行误差灵敏度分析，可以得到：

(1)机床的z轴运动部件、工作台B轴转动部件绕z轴的转角误差(Δγ_z：z轴导轨在垂直平面内平行度误差的反映，Δγ_b：工作台沿x轴方向的水平度误差的反映)，以及x、b轴的垂直度误差Δγ_xb等这三项误差对X轴方向的空间误差E_x、Y轴方向的空间误差E_y的变化灵敏度都很大，因此，在机床的精度设计时，要对这几个误差的值进行重点控制。

(2)在机床的各个部件中，z轴导轨的直线度和平行度误差、工作台b轴转动部件产生的误差对总的空间误差E产生的影响较大。

(3)影响Z轴方向的空间误差E_x的主要误差有6项，影响Y轴方向的空间误差E_y的主要误差有4项，而影响Z轴方向的空间误差E_z的主要误差有9项。相比较而言，E_z受到的基本误差元素的影响更复杂。

Claims (1)

1.一种机床几何关键性误差识别方法，其特征在于是一种精密卧式加工中心的机床几何关键性误差识别方法,是在计算机中依次按以下步骤实现的:

步骤(1)计算机初始化:

向所述计算机输入所述精密卧式加工中心的下述技术指标:

工作台面l×b/mm²,三轴方向的行程S_X,S_Y，S_Z/mm，快速进给Vm/min，定位精度Δ/mm，重复定位精度Δ₁/mm，刀柄型号和主轴最高转速r_max/(r·min^-1),

所述精密卧式加工中心由床身（0），X轴运动部件（1），Y轴运动部件（2），刀具（3），Z轴运动部件（4），工作台（5）组成，所述X轴沿所述精密卧式加工中心的宽度设置，Y轴沿作为Y轴运动部件的主轴箱的高度设置，Z轴沿作为X轴运动部件的床身（0）的长度方向设置，所述工作台是绕垂直地设在所述工作台（5）上的B轴转动的，工件（6）固定在所述工作台（5）上，所述刀具（3）垂直地安装在主轴箱上,

步骤（2）所述精密卧式加工中心的初始化，设置广义坐标系；

步骤（2.1）建立所述精密卧式加工中心的低序体阵列；

定义包括工件（6）在内的所述精密卧式加工中心各个组成部件为“体”，用B_j表示，j＝0,1,2,3,4,5,6，j表示所述“体”的序号；

把所述精密卧式加工中心分为刀具分支和工件分支，共两个分支，所述的刀具分支是指床身（0）—X轴运动部件（1）—Y轴运动部件（2）—刀具（3）这一个分支，所述工件分支是指床身（0）—Z轴运动部件（4）—工作台（5）—工件（6）这一个分支，分别按所述“体”B_j的序号排列，排成一个机床拓扑结构图,

根据所述机床拓扑结构图构建所述精密卧式加工中心的低序体阵列：

以所述“体”B_j的序号j为所述低序体阵列的序号，j=1,2,3,4,5,6增长数列顺序编号，

以所述“体”B_j的n阶低序体数列Lⁿ(j)为行，n=3,2,1,0,L³(j)为零阶低序体序列，L⁰(j)为三阶低序体，以此类推，阶n的编号按降序排列，阶数按升序排列，所述低序体阵列中左边的元素取自所建刀具分支中的各个所述“体”的序号，右边的元素取自所建工件分支中的各个所述“体”的序号，各有三列元素，元素表示的是所述机床拓扑结构中对应的所述“体”的序号，每列元素中排除床身（0）的序号，按照L⁰(j)→L³(j)的次序，从所建的刀具分支和工件分支中各自按最低的所述“体”的序列，向下面的序号值选取,若无所建“体”的序号，则元素值为0，随着列的序号j的值递增则从所述刀具分支和工件分支中逐步提高所述“体”的序号值，

所述低序体阵列表示了所述精密卧式加工中心中各个所述组成部件即“体”之间的位置和相对运动的关系，

步骤（2.2）用相应设置的坐标系的位置和姿态变换来表示所述各“体”之间的位置和运动关系，

在床身和所述X、Y、Z各轴运动部件上建立固接的右手笛卡尔坐标系，称为广义坐标系，也称参考坐标系数，各个所述“体”的坐标系称为子坐标系，每个子坐标系的3个正交基按右手定则分别为X轴、Y轴和Z轴，各个子坐标系的相对应的坐标轴分别对应地平行，

X轴运动部件（1）、Y轴运动部件（2）、Z轴运动部件（4）、装有工件（6）的工作台（5）的子坐标系与对应的低序体的坐标系重合，

刀具（3）的子坐标系的原点与主轴端面的中心重合，

工件（6）的子坐标系设在工件（6）上，

步骤（2.3）所述精密卧式加工中心所需测量的各项误差的允许范围，输入到所述计算机中，

步骤（3）建立所述精密卧式加工中心的特征矩阵，所述特征矩阵是指各所述相邻近“体”间的变换特征矩阵：

其中，p为静止下标，s为运动下标，Δ为相对误差符号。

现在详细表述各个特征矩阵如下：

T_01p＝I_4×4，ΔT_01p＝I_4×4， $T_{01s}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),$ ${\mathrm{\ΔT}}_{01s}=\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_X& {\mathrm{\Δ\β}}_X& {\mathrm{\Δx}}_X\\ \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_X& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_X& {\mathrm{\Δy}}_X\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_X& {\mathrm{\Δ\α}}_X& 1& {\mathrm{\Δz}}_X\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$ T_12p＝I_4×4， ${\mathrm{\ΔT}}_{12p}=\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{XY}}& 0& 0\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{XY}}& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),$ $T_{12s}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& y\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),$

${\mathrm{\ΔT}}_{12s}=\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_Y& {\mathrm{\Δ\β}}_Y& {\mathrm{\Δx}}_Y\\ \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_Y& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_y& {\mathrm{\Δy}}_Y\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_Y& {\mathrm{\Δ\α}}_Y& 1& {\mathrm{\Δz}}_Y\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),$ T23p＝I4×4， ${\mathrm{\ΔT}}_{23p}=\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{XC}}& {\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{YC}}& 0\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{XC}}& 1& 0& 0\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{XC}}& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),$

$T_{23s}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& \cos A& -\sin A& 0\\ 0& \sin A& \cos A& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),$ ${\mathrm{\ΔT}}_{23s}=\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_C& {\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{YC}}& {\mathrm{\Δx}}_A\\ \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_A& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_A& {\mathrm{\Δy}}_A\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_A& {\mathrm{\Δ\α}}_A& 1& {\mathrm{\Δz}}_A\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),$ T_04p＝I_4×4，ΔT_04p＝I_4×4，

$T_{04s}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& z\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),$ ${\mathrm{\ΔT}}_{04s}=\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_Z& {\mathrm{\Δ\β}}_Z& {\mathrm{\Δx}}_C\\ \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_C& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_Z& {\mathrm{\Δy}}_C\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_C& {\mathrm{\Δ\α}}_Z& 1& {\mathrm{\Δz}}_C\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),$ T_45p＝I_4×4， ${\mathrm{\ΔT}}_{45p}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& {\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{zB}}& 0\\ 0& 1& {-\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{xC}}& 0\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{zB}}& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{xC}}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),$ $T_{45s}=\left(\begin{array}{cccc}\cos B& -\sin B& 0& 0\\ \sin B& \cos B& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),$

${\mathrm{\ΔT}}_{45s}=\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_B& {\mathrm{\Δ\β}}_B& {\mathrm{\Δx}}_B\\ \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_B& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_B& {\mathrm{\Δy}}_B\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{zB}}& {\mathrm{\Δ\α}}_B& 1& {\mathrm{\Δz}}_B\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),$ $T_{56p}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x_{\mathrm{wd}}\\ 0& 1& 0& y_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 1& z_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),$

${\mathrm{\ΔT}}_{56p}=\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δx}}_{\mathrm{wd}}\\ \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{wd}}& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δy}}_{\mathrm{wd}}\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{wd}}& 1& {\mathrm{\Δz}}_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),$ T_56s＝I_4×4，ΔT_56s＝I_4×4

式中，T_ijp,i＝1,2...表示体B_i和B_j之间的理想静止特征矩阵,T_ijp,i＝1,2...j＝1,2表示体B_i和B_j之间的理想运动特征矩阵,ΔT_ijp,i＝1,2..j＝1,2..表示体B_i和B_j之间的静止误差特征矩阵,ΔT_ijs,i＝1,2..j＝1,2..表示B_i和B_j之间的运动误差特征矩阵,x，y，z分别表示X轴部件，Y轴部件，Z轴部件的位移；α,β，γ分别表示X，Y，Z轴的转角，矩阵中其他误差参数分别表示了机床X，Y，Z轴各部件之间的几何误差，表示如下：

步骤（4）建立所述精密卧式加工中心的精度模型E：

$E=\left(\underset{u=n,L^n\left(w\right)=o}{\overset{u=1}{\mathrm{\Π}}}{T}_{L^u\left(w\right)L^{u-1}\left(w\right)}\right)P_w-\left(\underset{j=n,L^n\left(t\right)=o}{\overset{j=1}{\mathrm{\Π}}}{T}_{L^j\left(t\right)L^{j-1}\left(t\right)}\right)P_t=$

$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \mathrm{\Δ}{\mathrm{\β}}_{\mathrm{XZ}}& 0\\ 0& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{YZ}}& 0\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{XZ}}& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{YZ}}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_Z& {\mathrm{\Δ\β}}_Z& {\mathrm{\Δx}}_Z\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_Z& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_Z& {\mathrm{\Δy}}_Z\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_Z& {\mathrm{\Δ\α}}_Z& 1& {\mathrm{\Δz}}_Z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{XB}}& 0& 0\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{XB}}& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{XB}}& 0\\ 0& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{XB}}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}\cos B& -\sin B& 0& 0\\ \mathrm{simB}& \cos B& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& {-\mathrm{\Δ\γ}}_B& {\mathrm{\Δ\β}}_B& {\mathrm{\Δx}}_B\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_B& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_B& {\mathrm{\Δy}}_B\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_B& {\mathrm{\Δ\α}}_B& 1& {\mathrm{\Δz}}_B\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x_{\mathrm{wd}}\\ 0& 1& 0& y_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 1& z_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& {-\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δx}}_{\mathrm{wd}}\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{wd}}& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δy}}_{\mathrm{wd}}\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{wd}}& 1& {\mathrm{\Δz}}_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)P_w$

$-\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& {-\mathrm{\Δ\γ}}_X& {\mathrm{\Δ\β}}_X& {\mathrm{\Δx}}_X\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_X& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_X& {\mathrm{\Δy}}_X\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_X& {\mathrm{\Δ\α}}_X& -& {\mathrm{\Δz}}_X\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& {-\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{XY}}& 0& 0\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{XY}}& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& y\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_Y& {\mathrm{\Δ\β}}_Y& {\mathrm{\Δx}}_Y\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_Y& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_X& {\mathrm{\Δy}}_Y\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_Y& {\mathrm{\Δ\α}}_Y& 1& {\mathrm{\Δz}}_Y\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x_{\mathrm{td}}\\ 0& 1& 0& y_{\mathrm{td}}\\ 0& 0& 1& z_{\mathrm{td}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -x_{\mathrm{td}}\\ 0& 1& 0& -y_{\mathrm{td}}\\ 0& 0& 1& -z_{\mathrm{td}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& -y\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -x\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}\cos B& -\sin B& 0& 0\\ \sin B& \cos B& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x_{\mathrm{wd}}\\ 0& 1& 0& y_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 1& z_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)P_t$

在机械加工中，机床加工精度最终是由机床上刀具成形点与工件成形点之间的相对位移误差决定的，

刀具成形点在刀具坐标系内的坐标表示为P_t＝(P_tx P_ty P_tz 1)^T，式中，P_tx，P_ty，P_tz分别为刀具成形点在坐标系X轴，Y轴，Z轴上的坐标值。工件上成形点在工件坐标系中的坐标表示为P_w＝(P_wx P_wy P_wz 1)^T，式中p_wx，p_wy，p_wz分别为工件上成形点在坐标系X轴，Y轴，Z轴上的坐标值，

实际加工过程中，刀具成形点的实际位置会偏离理想位置，产生空间位置误差。则实际成形点与理想刀具成形点的综合空间位置误差，即所求加工精度模型表示为E：表示了所建卧式加工中心的加工精度模型是由各个部件的几何误差组成的，

步骤（5）建立所述精密卧式加工中心的空间误差敏感度分析模型

按下式表示步骤（4）得到的所述精密卧式加工中心的精度模型E:

E＝F(G,P_w,U,U_w,U_t)

其中，E，为机床的空间误差矢量，E＝(E_x,E_y,E_z,0)^T，

G，为所述各“体”几何误差的矢量集合

G＝(Δe_i,Δe₂,…,Δe_n)^T，Δe_i为第i个“体”的几何误差，i=1,2,3，..I，I=6，

P_w为工件上成形点在工件坐标系中的坐标向量，P_w＝(p_wx p_wy p_wz 1)^T，p_wx，p_wy，p_wz为在X、Y、Z轴上的分量，W表示工件，下同，

工件上成形点在工件坐标系中的坐标向量。

U,为各运动轴X、Y、Z、b的位置向量，U＝(x,y,z,b)^T

U_w为工件位置坐标向量，U_w＝(x_w,y_w,z_w,1)^T，

U_t＝(x_t,y_t,z_t,1)^T为刀具位置坐标向量，U_t＝(x_t,y_t,z_t,1)^T，t为刀具，

接下来得到加工精度的敏感度分析模型，

ΔE＝SΔG，其中

ΔE为加工精度的敏感度，

为雅克比矩阵，表示：以E对各Δe_i的偏导数的绝对值，

为元素组成的矩阵。ΔG，为各“体”几何误差在理想值处的微小波动，G、P_w、U、U_w、U_t的理想值是在计算机中预置的，

所述各项由于加工而产生的几何误差是实时测量的共35项，现列出如下：

在X轴平动时：

ΔX_X，定位误差，ΔY_X，Y方向直线度误差，

在Y轴平动时：

ΔX_Y，X方向直线度误差，ΔY_Y，定位误差，

在Z轴平动：

ΔX_Z，X方向直线度误差，ΔY_Z，Y方向直线度误差，

再把事先设置的工件安装位置(x_td y_td z_td 1)^T，实时测量得到的各导轨的运动位移x_sw,y_sw,z_sw连同所述35项几何误差代入到步骤(4)所述空间误差矢量E的表达式，得到工件上每个加工位置的误差(p_wx p_wy p_wz 1)^T，其中，在计算时，

工件坐标系原点在工作台坐标系中的位置坐标系为设定值，

刀具坐标系原点在主轴坐标系中的坐标为设定值，

各运动轴X，Y，Z的取值范围分别用x_ax,y_ax,z_ax，是设定的，

工作台相对C轴的转角b的初值为0，

工件上加工点的坐标取值范围是用区间表示的，p_wx,p_wy,p_wz，为设定值，

对所述误差敏感度分析的参数值的单位为mm，

步骤(6)，按下式计算所述各几何误差的误差敏感度

i＝1,2,3,…6,其中，Δγ_z的误差敏感度为：

$S_{{\mathrm{\Δ\γ}}_z}=\left|\frac{\∂E}{\∂\left({\mathrm{\Δ\γ}}_z\right)}\right|$

$=\left|\frac{\∂\left(M\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_z& {\mathrm{\Δ\β}}_z& {\mathrm{\Δx}}_z\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_z& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_z& {\mathrm{\Δy}}_z\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_z& {\mathrm{\Δ\α}}_z& 1& {\mathrm{\Δz}}_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right){\mathrm{NP}}_w\right)}{\∂\left({\mathrm{\Δ\γ}}_z\right)}\right|---\left(7\right)$

式中

$M=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& {\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{xz}}& 0\\ 0& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{yz}}& 0\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{xz}}& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{yz}}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

$N=\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{xB}}& 0& 0\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{xB}}& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{zB}}& 0\\ 0& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{zB}}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}\cos B& -\sin B& 0& 0\\ \sin B& \cos B& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right.)]\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_B& {\mathrm{\Δ\β}}_B& {\mathrm{\Δx}}_B\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_B& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_B& {\mathrm{\Δy}}_B\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_B& {\mathrm{\Δ\α}}_B& 1& {\mathrm{\Δz}}_B\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x_w\\ 0& 1& 0& y_w\\ 0& 0& 1& z_w\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_w& {\mathrm{\Δ\β}}_w& {\mathrm{\Δx}}_w\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_w& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_w& {\mathrm{\Δy}}_w\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_w& {\mathrm{\Δ\α}}_w& 1& {\mathrm{\Δz}}_w\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

Δβ_xz的误差敏感度为：

$S_{\mathrm{xz}}=\left|\frac{\∂E}{\∂\left({\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{xz}}\right)}\right|$

$=\left|\frac{\∂\left(\left(\begin{array}{cccc}1& 0& {\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{XZ}}& 0\\ 0& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{YZ}}& 0\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{XZ}}& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{YZ}}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right){\mathrm{NP}}_w\right)}{\∂\left({\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{xz}}\right)}\right|---\left(8\right)$

式中

$N=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_Z& {\mathrm{\Δ\β}}_Z& {\mathrm{\Δx}}_Z\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_Z& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_Z& {\mathrm{\Δy}}_Z\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_Z& {\mathrm{\Δ\α}}_Z& 1& {\mathrm{\Δz}}_Z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& {-\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{XB}}& 0& 0\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{XB}}& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{XB}}& 0\\ 0& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{XB}}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cccc}\cos B& -\sin B& 0& 0\\ \sin B& \cos B& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_B& {\mathrm{\Δ\β}}_B& {\mathrm{\Δx}}_B\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_B& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_B& {\mathrm{\Δy}}_B\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_B& {\mathrm{\Δ\α}}_B& 1& {\mathrm{\Δz}}_B\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x_{\mathrm{wd}}\\ 0& 1& 0& y_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 1& z_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& {-\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δx}}_{\mathrm{wd}}\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{wd}}& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δy}}_{\mathrm{wd}}\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{wd}}& 1& {\mathrm{\Δz}}_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

Δβ_z的误差敏感度为：

$S_{{\mathrm{\Δ\β}}_z}=\left|\frac{\∂E}{\∂\left({\mathrm{\Δ\β}}_z\right)}\right|$

$=\left|\frac{\∂\left(M\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_Z& {\mathrm{\Δ\β}}_Z& {\mathrm{\Δx}}_Z\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_Z& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_Z& {\mathrm{\Δy}}_Z\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_Z& {\mathrm{\Δ\α}}_Z& 1& {\mathrm{\Δz}}_Z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right){\mathrm{NP}}_w\right)}{\∂\left({\mathrm{\Δ\β}}_z\right)}\right|---\left(9\right)$

式中

$M=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& {\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{XZ}}& 0\\ 0& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{YZ}}& 0\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{XZ}}& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{YZ}}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

$N=\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{XB}}& 0& 0\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{XB}}& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{XB}}& 0\\ 0& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{XB}}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}\cos B& -\sin B& 0& 0\\ \sin B& \cos B& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_B& {\mathrm{\Δ\β}}_B& {\mathrm{\Δx}}_B\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_B& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_B& {\mathrm{\Δy}}_B\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_B& {\mathrm{\Δ\α}}_B& 1& {\mathrm{\Δz}}_B\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x_{\mathrm{wd}}\\ 0& 1& 0& y_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 1& z_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δx}}_{\mathrm{wd}}\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{wd}}& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δy}}_{\mathrm{wd}}\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{wd}}& 1& {\mathrm{\Δz}}_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

Δα_zb的误差敏感度为：

$S_{{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{zb}}}=\left|\frac{\∂E}{\∂\left({\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{zb}}\right)}\right|$

$=\left|\frac{\∂\left(M\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{XB}}& 0& 0\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{XB}}& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{zb}}& 0\\ 0& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{Xb}}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right){\mathrm{NP}}_w\right)}{\∂\left({\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{zb}}\right)}\right|---\left(10\right)$

式中

$M=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& {\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{XZ}}& 0\\ 0& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{YZ}}& 0\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{XZ}}& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{YZ}}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_Z& {\mathrm{\Δ\β}}_Z& {\mathrm{\Δx}}_Z\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_Z& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_Z& {\mathrm{\Δy}}_Z\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_Z& {\mathrm{\Δ\α}}_Z& 1& {\mathrm{\Δz}}_Z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

$N=\left(\begin{array}{cccc}\cos B& -\sin B& 0& 0\\ \sin B& \cos B& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_B& {\mathrm{\Δ\β}}_B& {\mathrm{\Δx}}_B\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_B& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_B& {\mathrm{\Δy}}_B\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_B& {\mathrm{\Δ\α}}_B& 1& {\mathrm{\Δz}}_B\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x_{\mathrm{wd}}\\ 0& 1& 0& y_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 1& z_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& {-\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δx}}_{\mathrm{wd}}\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{wd}}& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δy}}_{\mathrm{wd}}\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{wd}}& 1& {\mathrm{\Δz}}_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

Δγ_z的误差敏感度为：

$S_{{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{YZ}}}=\left|\frac{\∂E}{\∂\left({\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{YZ}}\right)}\right|$

$=\left|\frac{\∂\left(\left(\begin{array}{cccc}1& 0& {\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{XZ}}& 0\\ 0& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{YZ}}& 0\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{XZ}}& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{YZ}}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right){\mathrm{NP}}_w\right)}{\∂\left({\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{YZ}}\right)}\right|---\left(11\right)$

式中

$N=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_Z& {\mathrm{\Δ\β}}_Z& {\mathrm{\Δx}}_Z\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_Z& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_Z& {\mathrm{\Δy}}_Z\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_Z& {\mathrm{\Δ\α}}_Z& 1& {\mathrm{\Δz}}_Z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& {-\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{XB}}& 0& 0\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{XB}}& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{XB}}& 0\\ 0& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{XB}}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cccc}\cos B& -\sin B& 0& 0\\ \sin B& \cos B& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_B& {\mathrm{\Δ\β}}_B& {\mathrm{\Δx}}_B\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_B& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_B& {\mathrm{\Δy}}_B\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_B& {\mathrm{\Δ\α}}_B& 1& {\mathrm{\Δz}}_B\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x_{\mathrm{wd}}\\ 0& 1& 0& y_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 1& z_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δx}}_{\mathrm{wd}}\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{wd}}& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δy}}_{\mathrm{wd}}\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{wd}}& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{wd}}& 1& {\mathrm{\Δz}}_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

Δγ_xb的误差敏感度为：

$S_{{\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{xb}}}=\left|\frac{\∂E}{\∂\left({\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{xb}}\right)}\right|$

$=\left|\frac{\∂\left(M\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{Xb}}& 0& 0\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{XY}}& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right){\mathrm{NP}}_t\right)}{\∂\left({\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{xb}}\right)}\right|---\left(12\right)$

式中

$M=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_X& {\mathrm{\Δ\β}}_X& {\mathrm{\Δx}}_X\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_X& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_X& {\mathrm{\Δy}}_X\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_X& {\mathrm{\Δ\α}}_X& 1& {\mathrm{\Δz}}_X\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

$N=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& y\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_Y& {\mathrm{\Δ\β}}_Y& {\mathrm{\Δx}}_Y\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_Y& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_X& {\mathrm{\Δy}}_Y\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_Y& {\mathrm{\Δ\α}}_Y& 1& {\mathrm{\Δz}}_Y\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x_{\mathrm{td}}\\ 0& 1& 0& y_{\mathrm{td}}\\ 0& 0& 1& z_{\mathrm{td}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -x_{\mathrm{td}}\\ 0& 1& 0& {-y}_{\mathrm{td}}\\ 0& 0& 1& -z_{\mathrm{td}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& -y\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -x\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}\cos B& -\sin B& 0& 0\\ \sin B& \cos B& 0& \text{0}\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x_{\mathrm{wd}}\\ 0& 1& 0& y_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 1& z_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

Δα_yz的误差敏感度为：

$S_{{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{yz}}}=\left|\frac{\∂E}{\∂\left({\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{yz}}\right)}\right|$

$=\left|\frac{\∂\left(M\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_Z& {\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{yz}}& {\mathrm{\Δx}}_Z\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_Z& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_Z& {\mathrm{\Δy}}_Z\\ -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{yz}}& {\mathrm{\Δ\α}}_Z& 1& {\mathrm{\Δz}}_Z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right){\mathrm{NP}}_w\right)}{\∂\left({\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{yz}}\right)}\right|---\left(13\right)$

式中

$M=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& {\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{XZ}}& 0\\ 0& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{YZ}}& 0\\ {-\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{XZ}}& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{YZ}}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

$N=\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{Xb}}& 0& 0\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{Xb}}& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{XB}}& 0\\ 0& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{Xb}}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}\cos B& -\sin B& 0& 0\\ \sin B& \cos B& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_b& {\mathrm{\Δ\β}}_b& {\mathrm{\Δx}}_B\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_b& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_b& {\mathrm{\Δy}}_B\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_b& {\mathrm{\Δ\α}}_b& 1& {\mathrm{\Δz}}_B\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x_{\mathrm{wd}}\\ 0& 1& 0& y_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 1& z_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

Δγ_b的误差敏感度为：

$S_{{\mathrm{\Δ\γ}}_b}=\left|\frac{\∂E}{\∂\left({\mathrm{\Δ\γ}}_b\right)}\right|$

$=\left|\frac{\∂\left(M\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{XB}}& 0& 0\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{XB}}& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{zb}}& 0\\ 0& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{XB}}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right){\mathrm{NP}}_w\right)}{\∂\left({\mathrm{\Δ\γ}}_b\right)}\right|---\left(14\right)$

式中

$M=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& {\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{XZ}}& 0\\ 0& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{YZ}}& 0\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{XZ}}& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{YZ}}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_Z& {\mathrm{\Δ\β}}_Z& {\mathrm{\Δx}}_Z\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_Z& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_Z& {\mathrm{\Δy}}_Z\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_Z& {\mathrm{\Δ\α}}_Z& 1& {\mathrm{\Δz}}_Z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

$N=\left(\begin{array}{cccc}\cos B& -\sin B& 0& 0\\ \sin B& \cos B& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_b& {\mathrm{\Δ\β}}_b& {\mathrm{\Δx}}_B\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_b& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_b& {\mathrm{\Δy}}_B\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_b& {\mathrm{\Δ\α}}_b& 1& {\mathrm{\Δz}}_B\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x_{\mathrm{wd}}\\ 0& 1& 0& y_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 1& z_{\mathrm{wd}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

Δβ_b的误差敏感度为：

$S_{{\mathrm{\Δ\β}}_b}=\left|\frac{\∂E}{\∂\left({\mathrm{\Δ\β}}_b\right)}\right|$

$=\left|\frac{\∂\left(\left(\begin{array}{cccc}1& 0& {\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{XZ}}& 0\\ 0& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{YZ}}& 0\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{XZ}}& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{YZ}}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right){\mathrm{NP}}_w\right)}{\∂\left({\mathrm{\Δ\β}}_b\right)}\right|---\left(15\right)$

式中

$N=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_Z& {\mathrm{\Δ\β}}_Z& {\mathrm{\Δx}}_Z\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_Z& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_Z& {\mathrm{\Δy}}_Z\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_Z& {\mathrm{\Δ\α}}_Z& 1& {\mathrm{\Δz}}_Z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{XB}}& 0& 0\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_{\mathrm{XB}}& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{XB}}& 0\\ 0& {\mathrm{\Δ\α}}_{\mathrm{XB}}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cccc}\cos B& -\sin B& 0& 0\\ \sin B& \cos B& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Δ\γ}}_B& {\mathrm{\Δ\β}}_B& {\mathrm{\Δx}}_B\\ {\mathrm{\Δ\γ}}_B& 1& -{\mathrm{\Δ\α}}_B& {\mathrm{\Δy}}_B\\ -{\mathrm{\Δ\β}}_B& {\mathrm{\Δ\α}}_B& 1& {\mathrm{\Δz}}_B\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

步骤（7）按步骤（6）取得的结果得到对应于所述各体的误差敏感度

的空间误差E的表达式E＝（E_x，E_y，E_z，0）的表达式，建立两者的映射表，

步骤（8）识别关键性误差源参数

从步骤（7）得到的用单个几何误差在表述空间误差的表达式

中得到：

总误差与各几何误差Δei的表达式：

E＝α_i+k_iΔei,α_i为常数,k_i为

按下式各误差源参数即几何误差Δei的敏感度系数S_i进行归一化处理，得到归一化后的误差敏感度系数S_mi，m＝x,y,z,

$S_{\mathrm{xi}}=\frac{\left|S_{i\left(\mathrm{Ex}\right)}\right|}{\mathrm{\Σ}\left|S_{i\left(\mathrm{Ex}\right)}\right|},$ $S_{\mathrm{yi}}=\frac{\left|S_{i\left(\mathrm{Ey}\right)}\right|}{\mathrm{\Σ}\left|S_{i\left(\mathrm{Ey}\right)}\right|},$ $S_{\mathrm{zi}}=\frac{\left|S_{i\left(\mathrm{Ez}\right)}\right|}{\mathrm{\Σ}\left|S_{i\left(\mathrm{Ez}\right)}\right|},$

S_i(Ex)、S_i(Ey)、S_i(Ez)分别为E_X、E_Y、E_Z表达式中涉及的各项几何误差，也称误差源参数Δei的敏感度系数，

对X、Y、Z各轴，分别以对应的S_mi为中轴，Δei为横轴组成三个直方图，从中找出关键性误差源参数，其Δei是最大的。

Images