CN104050316B - 一种数控机床空间加工误差分布特征分析方法 - Google Patents

Abstract

一种数控机床空间加工误差分布特征分析方法，属于机床精度设计领域，具体涉及到一种基于空间误差分布特征的分析方法。在多体系统建立的空间几何误差确定性建模与几何误差测量的基础上，基于矩阵全微分及随机过程理论，建立了精密卧式加工中心的空间误差不确定分析模型，分析机床几何误差及空间加工误差的分布特征。提出新的机床设计理念，从根本上解决机床精度问题。也可为实际装配和加工提出指导性建议，从而减小误差的输出，提高数控机床加工精度，从根本上解决机床精度问题。

Description

一种数控机床空间加工误差分布特征分析方法

技术领域

本发明涉及到多轴机床几何误差的分析方法，属于机床精度设计领域，具体涉及到一种基于空间误差分布特征的分析方法。

背景技术

作为机械设备生产的机械制造业，为整个国民经济提供技术装备，其发展水平是国家工业化程度的主要标志之一，随着现代科学技术的飞速发展，精密超精密加工技术已经成为现代机械制造业发展的主要趋势。数控机床是一种高精度、高效率、高技术的现代机电设备，作为先进制造技术的基础与核心设备，越来越广泛的应用于机械生产之中，并制约着制造领域和各高新科技的发展。而衡量数控机床设计与使用性能的重要指标是数控机床的精度。

数控机床的精度指标主要有加工精度、定位精度和重复定位精度，其中加工精度是数控机床追求的最终精度，体现着机械制造业的制造能力和发展水平，也是整个国家科技和工业水平的重要标志之一。机床的几何误差是指由于机床设计、制造、装配等中的缺陷，使得机床中各组成环节或部件的实际几何参数和位置相对于理想几何参数和位置发生偏离。该误差一般与机床个各组成环节或部件的几何要素有关，是机床本身固有的误差。

如何协调加工精度与机床几何误差的关系，尽可能的减少几何误差对加工精度的影响是我们需要关注的问题，要准确地分析机床误差对加工精度的影响，建立一个准确的机床误差分析模型至关重要。因此，建立准确的、便于求解的机床误差模型是进行误差分析与误差补偿的第一步。国内外专家学者一直在建立数控机床空间误差模型领域进行不懈的探索和研究，开展了多方面的工作。例如三角关系建模法、误差矩阵法、二次关系模型法、机构学建模法、刚体运动学法等。但是这些方法主要在确定性误差建模领域，而在随机误差领域建模较少。随着纳米技术的发展，超精密加工的迫切要求下，随机性误差建模也越来越广泛受人们关注。

多体系统运动特征分析方法采用齐次列阵表示点的位置和矢量的姿态，在多体系统中建立广义坐标系，将多轴机床抽象为多体系统，将在理想条件下河实际条件下的静态和动态过程中的体间的相对位置和姿态变化以及误差情况作了统一的、完整的描述，使多体系统误差的分析变得简单、迅速、明了和普遍适用，从而为实现计算机快速建模提供基础。

本发明在以多体系统建立的空间几何误差确定性建模与几何误差测量的基础上，基于矩阵全微分及随机过程理论，建立了精密卧式加工中心的空间误差不确定分析模型，得出了空间误差的均值与方差的分布图，并利用球杆仪对分析结果进行了测试验证。

发明内容

本发明的目的是提供一种数控机床空间加工误差分布特征分析方法，通过分析机床的误差源、整体的空间误差分布，提出新的机床设计理念，从根本上解决机床精度问题。

本发明的特征在于通过建立多轴数控机床空间误差的确定性模型与不确定性模型，分析机床几何误差及空间加工误差的分布特征。可为实际设计，装配和加工提出指导性建议，从而减小误差的输出，提高数控机床加工精度。

具体包括如下步骤：

步骤1为所述精密卧式加工中心设置广义坐标系，并建立精密卧式加工中心的确定性误差模型；

步骤1.1建立所述精密卧式加工中心的低序体阵列；

基于多体系统运动学理论，采用低序体阵列描述抽象机床系统的拓扑结构，在多体系统中建立广义坐标系，用矢量及其列向量表达位置关系，用齐次变换矩阵表示多体系统间的相互关系；

所述精密卧式加工中心包括床身(1)，X轴运动部件(2)，Y轴运动部件(3)，刀具(4)，Z轴运动工作台(5)，工件(6)固定在所述工作台(5)上，所述刀具(4)垂直地安装在主轴箱上；

定义包括工件(6)在内的所述精密卧式加工中心各个组成部件为“体”，用B_j表示，j＝1,2,3,4,5,6，j表示所述“体”的序号；

把所述精密卧式加工中心分为刀具分支和工件分支，共两个分支，所述的刀具分支是指床身(1)—X轴运动部件(2)—Y轴运动部件(3)—刀具(4)这一个分支，所述工件分支是指床身(1)—Z轴运动工作台(5)—工件(6)这一个分支，分别按所述“体”B_j的序号排列，排成一个机床拓扑结构图；

根据所述机床拓扑结构图构建所述精密卧式加工中心的低序体阵列：

选择惯性参考系床身(1)为B₁，以所述“体”B_j的序号j为所述低序体阵列的序号，j＝1,2,3,4,5,6，然后按自然增长数列，从一个分支到另一分支，依次为各体编号；所述低序体阵列表示了所述精密卧式加工中心中各个所述组成部件即“体”之间的位置和相对运动的关系；

其中“体”B₁对应床身；

“体”B₂对应X轴运动部件；

“体”B₃对应Y轴运动部件；

“体”B₄对应刀具；

“体”B₅对应Z轴运动部件(工作台)；

“体”B₆对应工件；

步骤1.2建立所述精密卧式加工中心的特征矩阵。

在床身B₁和所有运动部件B_j上均建立起与其固定联接的右手直角笛卡尔三维坐标系，这些坐标系的集合称为广义坐标系，各体坐标系称为子坐标系，每个坐标系的三个正交基按右手定则分别取名为X,Y,Z轴；各个子坐标系的相对应的坐标轴分别对应平行；

X轴运动部件(2)、Y轴运动部件(3)、Z轴运动工作台(5)的子坐标系与对应的低序体的坐标系重合，

刀具(4)的子坐标系的原点与主轴端面的中心重合，

工件(6)的子坐标系设在工件(6)上；

所述特征矩阵是指各所述相邻近“体”间的变换特征矩阵：

其中，p为静止下标，s为运动下标，Δ为相对误差符号；

T_ijp,i＝1,2...,j＝1,2…表示体B_i和B_j之间的理想静止特征矩阵；

T_ijp,i＝1,2...j＝1,2表示体B_i和B_j之间的理想运动特征矩阵；

ΔT_ijp,i＝1,2..j＝1,2..表示体B_i和B_j之间的静止误差特征矩阵；

ΔT_ijs,i＝1,2..j＝1,2..表示B_i和B_j之间的运动误差特征矩阵；

x,y,z分别表示X轴部件，Y轴部件，Z轴部件的位移；

α,β,γ分别表示X，Y，Z轴的转角；

矩阵中误差参数分别表示了机床X，Y，Z轴各部件之间的几何误差，表示如下

精密卧式加工中心X轴6项几何误差(单位：mm)

精密卧式加工中心Y轴6项几何误差(单位：mm)

精密卧式加工中心Z轴6项几何误差(单位：mm)

精密卧式加工中心单元间姿态几何误差(单位：mm)

步骤1.3建立精密卧式加工中心的确定性误差模型

设刀具成形点在刀具坐标系内的坐标为:

P_t＝[P_tx P_ty P_tz 1]^T (1)

且工件成型点在工件坐标系内的坐标为：

P_w＝[P_wx P_wy P_wz 1]^T (2)

式中，P_tx，P_ty，P_tz分别为刀具成形点在刀具坐标系X轴，Y轴，Z轴上的坐标值，t代表刀具；式中p_wx，p_wy，p_wz分别为工件上成形点在工件坐标系X轴，Y轴，Z轴上的坐标值，w代表工件；

实际刀具成形点与理想刀具成形点的综合空间位置误差即加工点的综合空间误差为：

E＝[T_15pT_15s]^-1T_12pT_12sT_23pT_23sP_t-[T_15pΔT_15pT_15sΔT_15s]^-1T_12pΔT_12pT_12sΔT_12sT_23pΔT_23pT_23sΔT_23sP_t(3)

步骤2：所述精密卧式加工中心几何误差测试；

分别在所述三轴加工中心的X,Y,Z运动轴的运动行程上均匀的取10个测试点，利用双频激光干涉仪，采用九线法原理，测量导轨的9项位移误差和9项转动误差；使用垂直度测量仪测量三项垂直度误差；

步骤3：机床空间误差均值模型的建立；

通过单个几何误差与整体空间加工误差的关系，可以求得整个加工空间区域加工误差的分布特征；机床的均值模型可以写成如下形式：

E＝E(G,P_t,U,U_w,U_t)或

F＝F(E,G,P_t,U,U_W,U_t)＝0 (4)

式中F＝[f₁,f₂,f₃,f₄]^T——4个独立方程组成的向量；

E＝[E_x,E_y,E_z,0]^T——机床的空间误差向量，E_x,E_y,E_z分别表示X,Y,Z方向的误差值；

G＝[g₁,g₂,……,g_n]^T——n个机床各零部件几何误差组成的向量，g_i表示第i项几何误差；

P_t＝[P_tx,P_ty,P_tz,1]^T——刀具上成形点在刀具坐标系中的坐标向量，p_tx，p_ty，p_tz为在X、Y、Z轴上的分量，t表示刀具；

U＝[x,y,z,1]^T——机床各运动轴X、Y、Z的位置向量；

U_w＝[x_w,y_w,z_w,1]^T——工件位置坐标向量，w为工件；

U_t＝[x_t,y_t,z_t,1]^T——刀具位置坐标向量，t为刀具；

本发明中，认为P_t、U、U_w、U_t没有误差的，式(4)可写成：

F＝F(E,G) (5)

式中F＝[f₁,f₂,f₃,f₄]^T——4个独立方程组成的向量；

E＝[E_x,E_y,E_z,0]^T——精密卧式加工中心的空间误差向量；

G＝[g₁,g₂,……,g_n]^T——精密卧式加工中心n项几何误差组成的向量；

在方程(5)中，各几何误差值取测量数据均值，并且代入空间任意点的坐标值(x，y，z)，求出整个加工空间中加工误差的均值；

步骤4：机床空间误差方差模型的建立

将方程(4)在各随机变量理想值处按一阶泰勒级数展开，可以得到：

其中　ΔE，为加工精度的敏感度；

ΔG，为各“体”几何误差在理想值处的微小波动；

ΔP_t，为成型点在刀具坐标系中理想坐标处的微小波动，t表示刀具；

ΔU，为各运动轴X、Y、Z的位置坐标在理想坐标处的微小波动；

ΔU_w，为工件的位置坐标在理想坐标处的微小波动，w表示工件；

ΔU_t，为刀具的位置坐标在理想坐标处的微小波动，t表示刀具；

设定P_t、U、U_w、U_t没有误差的，即ΔP_tΔUΔU_wΔU_t全部为零；

因此上式(6)可写成：

其中

g_i,i＝1,2,3…n表示第i项几何误差，共n项几何误差；

I表示单位矩阵；

方程(7)可进一步写成为：

ΔE＝SΔG＝[ΔE_x，ΔE_y，ΔE_z，0] (8)

式中

S称为敏感系数矩阵；S是4×n矩阵,n为误差项的个数；因为各个随机变量的互不相关,根据概率统计理论得到机床空间误差的协方差矩阵：

V_E＝SV_GS^T (9)

式中

表示空间误差在x方向的方差；

表示空间误差在y方向的方差；

表示空间误差在z方向的方差；

表示x方向的误差与y方向的误差的协方差；

表示x方向的误差与z方向的误差的协方差；

表示z方向的误差与y方向的误差的协方差；

G中各项几何误差是互不相关的，

表示几何误差g_i的方差值，i＝1,2,3……n；n为几何误差的个数；

则式(9)可写成

(10)

将步骤2中测得的各项误差的方差代入式(10)，并且代入空间任意点的坐标值(x，y，z)求得V_E；即空间任意点处的空间误差的方差值，得到机床空间误差的随机特征。

本发明可以获得如下有益效果：

根据本方法得到的空间误差分布特征模型的分析结果，机床设计者应该考虑合理的结构分布，减少各个轴的空间误差的不确定性；机床的使用者可以通过选择合理的加工位置，降低加工精度的不确定性。

附图说明

图1某三轴精密卧式加工中心整机结构示意图；

图2三轴精密卧式加工中心拓扑结构；

图3该方法的功能模块图。

图中：1-床身；2-X轴运动部件；3-Y轴运动部件；4-主轴箱(刀具)；5-Z轴运动部件(工作台)；6-工件。

具体实施方式

本发明以某三轴精密卧式加工中心为例，对上述多轴数控机床空间误差分布特征分析方法进行验证。该三轴精密卧式加工中心的技术指标如表1，其机构图如图1

表1精密卧式加工中心的技术指标

三轴精密卧式加工中心成形系统中主要由X轴平动单元、Y轴平动单元、Z轴平动单元。本发明主要考虑机床静态误差，故该机床共有21项几何误差，包括X、Y、Z、B各六项基本误差(Δx_xΔy_xΔz_xΔα_xΔβ_xΔγ_xΔx_yΔy_yΔz_yΔα_yΔβ_yΔγ_yΔx_zΔy_zΔz_zΔα_zΔβ_zΔγ_z)和三项垂直度误差(Δγ_XYΔβ_XZΔα_YZ)。

具体实施步骤如下：

步骤1为所述精密卧式加工中心设置广义坐标系，并建立精密卧式加工中心的确定性误差模型

步骤1.1建立所述精密卧式加工中心的低序体阵列

通过多体系统理论建立该三轴立式机床的综合空间误差模型，将该机床抽象为多体系统，该系统主要由6个典型体组成，根据多体系统理论，对应机床各组成部件建立相应的“体”，由B_j(j＝1,2…6)表示。并按床身—X轴运动部件—Y轴运动部件—主轴箱(刀具)分支，和床身—Z轴运动工作台—工件分支，分别按增长数列顺序对其编号，机床拓扑结构如附图2，低序体阵列如下表2。

其中，Lⁿ(j)表示体B_j的n阶低序体数列(序号比体B_j低的体)，例如，如表2第三列，体3的零阶低序体是体3，一阶低序体是体2，二阶低序体是体1。

表3是该机床的自由度，它表示机床各单元之间的约束情况，其中“0”表示不能自由运动，“1”表示可以自由运动。

表2精密卧式加工中心的低序体阵列

表3精密卧式加工中心的自由度

步骤1.2建立所述精密卧式加工中心的特征矩阵。

多体系统中各体之间的位置和运动关系，用相应的坐标系的位置和姿态变换来表示，为了方便机床的精度建模，需要对坐标系进行特殊设置。现设置如下：

①在床身B₁和所有机床运动部件(B_j)上，建立固接的右手笛卡尔坐标系，这些子坐标系的集合称为广义坐标系(又称参考坐标系)，各体坐标系称为子坐标系。每个坐标系的3个正交基按右手定则分别为X、Y、Z轴；

②广义坐标系内的个元素X、Y、Z轴分别对应平行；

③X轴运动部件、Y轴运动部件(主轴箱)、Z轴部件工作台的体运动参考系与其对应的相邻低序体体坐标系重合；

④刀具子坐标系原点与主轴端面中心重合；

⑤工件子坐标系设在工件上。

其中，p为静止下标，s为运动下标，Δ为相对误差符号。

式中T_ijp,i＝1,2...,j＝1,2…表示体B_i和B_j之间的理想静止特征矩阵；

T_ijp,i＝1,2...j＝1,2表示体B_i和B_j之间的理想运动特征矩阵；

ΔT_ijp,i＝1,2..j＝1,2..表示体B_i和B_j之间的静止误差特征矩阵；

ΔT_ijs,i＝1,2..j＝1,2..表示B_i和B_j之间的运动误差特征矩阵；

x,y,z分别表示X轴部件，Y轴部件，Z轴部件的位移；

α,β,γ分别表示X，Y，Z轴的转角；

矩阵中误差参数分别表示了机床X，Y，Z轴各部件之间的几何误差。表示如下

精密卧式加工中心X轴6项几何误差(单位：mm)

精密卧式加工中心Y轴6项几何误差(单位：mm)

精密卧式加工中心Z轴6项几何误差(单位：mm)

步骤1.3建立精密卧式加工中心的确定性误差模型

设刀具成形点在刀具坐标系内的坐标为:

P_t＝[P_tx P_ty P_tz 1]^T (11)

且工件成型点在工件坐标系内的坐标为：

P_w＝[P_wx P_wy P_wz 1]^T (12)

式中，P_tx，P_ty，P_tz分别为刀具成形点在刀具坐标系X轴，Y轴，Z轴上的坐标值。，

式中p_wx，p_wy，p_wz分别为工件上成形点在工件坐标系X轴，Y轴，Z轴上的坐标值。

加工点的综合空间位置误差为

式(13)即为三轴精密卧式加工中心的综合空间误差模型。

步骤二：数控机床各几何误差的测量及其测量数据的整理

步骤2.1三轴精密卧式加工中心几何误差数据测试

分别在所述三轴加工中心的X,Y,Z运动轴的运动行程上均匀的取10个测试点，利用双频激光干涉仪，采用九线法原理，测量导轨的9项位移误差和9项转动误差。使用垂直度测量仪测量三项垂直度误差。其结果如表3-1～3-4所示。

表3-1X轴几何误差测量值

表3-2Y轴几何误差测量值

表3-3Z轴几何误差测量值

表3-4单元间误差测量值

步骤三：三轴精密卧式加工中心空间误差分布特征建模与分析

3.1建立三轴精密卧式加工中心误差均值模型

机床的均值模型可以写成如下形式：

E＝E(G,P_t,U,U_w,U_t)或

F＝F(E,G,P_t,U,U_W,U_t)＝0(14)

式中F＝[f₁,f₂,f₃,f₄]^T——4个独立方程组成的向量；

E＝[E_x,E_y,E_z,0]^T——机床的空间误差向量，E_x,E_y,E_z分别表示X,Y,Z方向的误差；

G＝[g₁,g₂,……,g₂₁]^T——机床的21项几何误差组成的向量，g_i表示第i项几何误差；

P_t＝[P_tx,P_ty,P_tz,1]^T——刀具上成形点在刀具坐标系中的坐标向量，p_tx，p_ty，p_tz为在X、Y、Z轴上的分量，t表示刀具；

U＝[x,y,z,1]^T——机床各运动轴X、Y、Z的位置向量；

U_w＝[x_w,y_w,z_w,1]^T——工件位置坐标向量，w为工件；

U_t＝[x_t,y_t,z_t,1]^T——刀具位置坐标向量，t为刀具；

本发明中，认为P_t、U、U_w、U_t没有误差的，式(14)可写成：

F＝F(E,G) (15)

式中F＝[f₁,f₂,f₃,f₄]^T——4个独立方程组成的向量；

E＝[E_x,E_y,E_z,0]^T——精密卧式加工中心的空间误差向量，E_x,E_y,E_z分别表示X,Y,Z方向的误差；

G＝[g₁,g₂,……,g₂₁]^T——精密卧式加工中心21项几何误差组成的向量；

将测得的几何误差的均值带入方程(15)中，并且代入空间任意点的坐标值(x，y，z)求得精密卧式加工中心整体空间误差的均值。

通过求得的精密卧式加工中心空间误差总体均值分布特征，可以看出整个加工空间的空间误差大约是以(-400，-400，250)为中心，空间误差数值向四周逐渐增大。

3.2建立三轴精密卧式加工中心的空间误差方差模型

将方程(15)在各随机变量理想值处按一阶泰勒级数展开，可以得到：

其中　ΔE，为加工精度的敏感度；

ΔG，为各“体”几何误差在理想值处的微小波动；

ΔP_t，为成型点在刀具坐标系中理想坐标处的微小波动，t表示刀具；

ΔU，为各运动轴X、Y、Z的位置坐标在理想坐标处的微小波动；

ΔU_w，为工件的位置坐标在理想坐标处的微小波动，w表示工件；

ΔU_t，为刀具的位置坐标在理想坐标处的微小波动，t表示刀具；

设定P_t、U、U_w、U_t没有误差的，即ΔP_tΔUΔU_wΔU_t全部为零；因此上式(16)可写成：

其中

g_i,i＝1,2,3…21表示第i项几何误差，共21项几何误差。

I表示单位矩阵

方程(17)可进一步写成为：

ΔE＝SΔG＝[ΔE_x,ΔE_y,ΔE_z,0] (18)

式中

S称为敏感系数矩阵。S是4×21矩阵。因为各个随机变量的互不相关,根据概率统计理论得到机床空间误差的协方差矩阵：

V_E＝SV_GS^T (19)

式中

表示空间误差在x方向的方差；

表示空间误差在y方向的方差；

表示空间误差在z方向的方差；

表示x方向的误差与y方向的误差的协方差；

表示x方向的误差与z方向的误差的协方差；

表示z方向的误差与y方向的误差的协方差；

G中各项几何误差是互不相关的，

表示几何误差g_i的方差值，i＝1,2,3……21。

则式(19)可写成

(20)

将步骤2中测得的各项误差的方差代入式(21)，并且代入不同的坐标值(x，y，z)求得V_E。即空间各点处的空间误差的方差值，得到机床空间误差的随机特征。

通过计算得到的精密卧式加工中心空间误差总体方差特征，可以看出整个加工空间的方差分布在x＝-400平面左侧几乎一致，概率分布相对较小。而在当x>-400时数值逐渐增大。这说明在整个机床的加工空间中，大部分地方概率分布较一致，比较集中，而在x>-400时概率分布逐渐发散通过上面的描述并结合附图说明，本发明会更加清晰，附图说明用于解释本发明方法及实施过程。

Claims (1)

1.一种数控机床空间加工误差分布特征分析方法，是应用多体理论建立机床的确定性与非确定性模型，应用双频激光干涉仪和垂直度测量仪测量误差数据，分析机床几何误差及空间加工误差的分布特征；其特征在于通过建立数控机床空间误差的确定性模型与不确定性模型，分析机床几何误差及空间加工误差的分布特征；

具体包括如下步骤：

步骤(1)为精密卧式加工中心设置广义坐标系，并建立精密卧式加工中心的确定性误差模型；

首先，建立所述精密卧式加工中心的低序体阵列，并由此确定所述精密卧式加工中心特征；基于多体系统运动学理论，采用低序体阵列描述抽象机床系统的拓扑结构，在多体系统中建立广义坐标系，用矢量及其列向量表达位置关系，用齐次变换矩阵表示多体系统间的相互关系；

所述精密卧式加工中心由如下特征定义：其包括，床身(1)、X轴运动部件(2)、Y轴运动部件(3)、刀具(4)、Z轴运动部件(5)；此外，工件(6)固定在Z轴运动部件(5)上，所述刀具(4)垂直地安装在主轴箱上；定义包括工件(6)在内的所述精密卧式加工中心各个组成部件为“体”，用B_j表示，j＝1，2，3，4，5，6，j表示所述“体”的序号；

把所述精密卧式加工中心分为刀具分支和工件分支，共两个分支，所述的刀具分支是指床身(1)—X轴运动部件(2)—Y轴运动部件(3)—刀具(4)这一个分支，所述工件分支是指床身(1)—Z轴运动部件(5)—工件(6)这一个分支，分别按所述“体”B_j的序号排列，排成一个机床拓扑结构图；

根据所述机床拓扑结构图构建所述精密卧式加工中心的低序体阵列：

选择惯性参考系床身(1)为B₁，以所述“体”B_j的序号j为所述低序体阵列的序号，j＝1，2，3，4，5，6，然后按自然增长数列，从一个分支到另一分支，依次为各体编号；所述低序体阵列表示了所述精密卧式加工中心中各个所述组成部件即“体”之间的位置和相对运动的关系；

其中“体”B₁对应床身；

“体”B₂对应X轴运动部件；

“体”B₃对应Y轴运动部件；

“体”B₄对应刀具；

“体”B₅对应Z轴运动部件；

“体”B₆对应工件；

继而，建立所述精密卧式加工中心的特征矩阵；在床身B₁和所有运动部件B₂、B₃、B₄、B₅、B₆上均建立起与其固定联接的右手直角笛卡尔三维坐标系，这些坐标系的集合称为广义坐标系，各体坐标系称为子坐标系，每个坐标系的三个正交基按右手定则分别取名为X，Y，Z轴；各个子坐标系的相对应的坐标轴分别对应平行；

X轴运动部件(2)、Y轴运动部件(3)、Z轴运动部件(5)的子坐标系与对应的低序体的坐标系重合，

刀具(4)的子坐标系的原点与主轴端面的中心重合，

工件(6)的子坐标系设在工件(6)上；

精密卧式加工中心的特征矩阵是指各相邻近“体”间的变换特征矩阵：

其中，p为静止下标，s为运动下标，Δ为相对误差符号；

T_ijp,i＝1,2表示体B_i和B_j之间的理想静止特征矩阵；

T_ijs,i＝1,2表示体B_i和B_j之间的理想运动特征矩阵；

ΔT_ijp,i＝1,2表示体B_i和B_j之间的静止误差特征矩阵；

ΔT_ijs,i＝1,2表示B_i和B_j之间的运动误差特征矩阵；i表示所述“体”的另一序号；ij组成相邻体的序号；

x，y，z分别表示X轴部件，Y轴部件，Z轴部件的位移；α，β，γ分别表示X，Y，Z轴的转角；

矩阵中误差参数分别表示了机床X，Y，Z轴各部件之间的几何误差，表示如下：

精密卧式加工中心X轴6项几何误差(单位：mm)

精密卧式加工中心Y轴6项几何误差(单位：mm)

精密卧式加工中心Z轴6项几何误差(单位：mm)

精密卧式加工中心单元间姿态几何误差(单位：mm)

步骤1.3建立精密卧式加工中心的确定性误差模型

令TR表示矩阵的转置，设刀具成形点在刀具坐标系内的坐标为:

P_t＝[P_tx P_ty P_tz 1]^TR (1)

且工件成型点在工件坐标系内的坐标为：

P_w＝[P_wx P_wy P_wz 1]^TR (2)

式中，P_tx，P_ty，P_tz分别为刀具成形点在刀具坐标系X轴，Y轴，Z轴上的坐标值，t代表刀具；式中p_wx，p_wy，p_wz分别为工件上成形点在工件坐标系X轴，Y轴，Z轴上的坐标值，w代表工件；

实际刀具成形点与理想刀具成形点的综合空间位置误差即加工点的综合空间误差为：

E＝[T_15pT_15s]^-1T_12pT_12sT_23pT_23sP_t-[T_15pΔT_15pT_15sΔT_15s]^-1T_12pΔT_12pT_12sΔT_12sT_23pΔT_23pT_23sΔT_23sP_t(3)

步骤2：所述精密卧式加工中心几何误差测试；

分别在三轴加工中心的X，Y，Z运动轴的运动行程上均匀的取10个测试点，利用双频激光干涉仪，采用九线法原理，测量导轨的9项位移误差和9项转动误差；使用垂直度测量仪测量三项垂直度误差；

步骤3：机床空间误差均值模型的建立；

通过单个几何误差与整体空间加工误差的关系，求得整个加工空间区域加工误差的分布特征；机床的均值模型可以写成如下形式：

E＝E(G,P_t,U,U_w,U_t)或

F＝F(E,G,P_t,U,U_W,U_t)＝0 (4)

式中F＝[f₁,f₂,f₃,f₄]^TR——4个独立方程组成的向量；

E＝[E_x,E_y,E_z,0]^TR——机床的空间误差向量；

G＝[g₁,g₂,……,g_n]^TR——n个机床各零部件几何误差组成的向量；

P_t＝[P_tx,P_ty,P_tz,1]^TR——刀具上成形点在刀具坐标系中的坐标向量，p_tx，pt_y，p_tz为在X、Y、Z轴上的分量，t表示刀具；

U＝[x,y,z,1]^TR——机床各运动轴X、Y、Z的位置向量；

U_w＝[x_w,y_w,z_w,1]^TR——工件位置坐标向量，w为工件；

U_t＝[x_t,y_t,z_t,1]^TR——刀具位置坐标向量，t为刀具；

本方法中，认为P_t、U、U_w、U_t没有误差的，式(4)可写成：

F＝F(E,G) (5)

式中F＝[f₁,f₂,f₃,f₄]^TR——4个独立方程组成的向量；

E＝[E_x,E_y,E_z,0]^TR——机床的空间误差向量；

G＝[g₁,g₂,……,g_n]^TR——n个机床各零部件几何误差组成的向量；

在方程(5)中，各几何误差值取测量数据均值，并且代入空间任意点的坐标值(x，y，z)，求出整个加工空间中任意点处加工误差的均值；

步骤4：机床空间误差方差模型的建立

将方程(4)在各随机变量理想值处按一阶泰勒级数展开，可以得到：

$\frac{\∂F}{\∂E}\mathrm{\Δ}E+\frac{\∂F}{\∂G}\mathrm{\Δ}G+\frac{\∂F}{\∂P_t}{\mathrm{\ΔP}}_t+\frac{\∂F}{\∂U}\mathrm{\Δ}U+\frac{\∂F}{\∂U_w}{\mathrm{\ΔU}}_w+\frac{\∂F}{\∂U_t}{\mathrm{\ΔU}}_t=0---\left(6\right)$

其中ΔE，为加工精度的敏感度；

ΔG，为各“体”几何误差在理想值处的微小波动；

ΔP_t，为成型点在刀具坐标系中理想坐标处的微小波动，t表示刀具；

ΔU，为各运动轴X、Y、Z的位置坐标在理想坐标处的微小波动；

ΔU_w，为工件的位置坐标在理想坐标处的微小波动，w表示工件；

ΔU_t，为刀具的位置坐标在理想坐标处的微小波动，t表示刀具；

设定P_t、U、U_w、U_t没有误差的，即ΔP_t，ΔU，ΔU_w，ΔU_t全部为零；

因此上式(6)可写成：

其中

$\frac{\∂F}{\∂G}=\left[\begin{array}{cccc}\frac{\∂f_1}{\∂g_1}& \frac{\∂f_1}{\∂g_2}& \mathrm{...}& \frac{\∂f_1}{\∂g_n}\\ \frac{\∂f_2}{\∂g_1}& \frac{\∂f_2}{\∂g_2}& \mathrm{...}& \frac{\∂f_2}{\∂g_n}\\ .& .& & .\\ .& .& & .\\ .& .& & .\\ \frac{\∂f_4}{\∂g_1}& \frac{\∂f_4}{\∂g_2}& \mathrm{...}& \frac{\∂f_4}{\∂g_n}\end{array}\right],\frac{\∂F}{\∂E}=-I$

g_i,i＝1,2,3…n表示第i项几何误差，共n项几何误差；

I表示单位矩阵；

方程(7)可进一步写成为：

ΔE＝SΔG＝[ΔE_x,ΔE_y,ΔE_z,0] (8)

式中

S称为敏感系数矩阵；S是4×n矩阵，n为误差项的个数；因为各个随机变量的互不相关，根据概率统计理论得到机床空间误差的协方差矩阵：

V_E＝SV_GS^TR (9)

式中

$V_{e_{\mathrm{ij}}}=\mathrm{Cov}(e_i,e_j)i,j=x,y,z$

表示空间误差在x方向的方差；

表示空间误差在y方向的方差；

表示空间误差在z方向的方差；

表示x方向的误差与y方向的误差的协方差；

表示x方向的误差与z方向的误差的协方差；

表示z方向的误差与y方向的误差的协方差；

G中各项几何误差是互不相关的，

表示几何误差g_i的方差值，i＝1,2,3……n；n为几何误差的个数；

则式(9)可写成

$V_E=\left[\begin{array}{cccc}{V}_{e_{xx}}& V_{e_{xy}}& V_{e_{xz}}& 0\\ V_{e_{yx}}& V_{e_{yy}}& V_{e_{yx}}& 0\\ V_{e_{zx}}& V_{e_{zy}}& V_{e_{zz}}& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}\frac{\∂f_1}{\∂g_1}& \frac{\∂f_1}{\∂g_2}& \mathrm{...}& \frac{\∂f_1}{\∂g_n}\\ \frac{\∂f_2}{\∂g_1}& \frac{\∂f_2}{\∂g_2}& \mathrm{...}& \frac{\∂f_2}{\∂g_n}\\ .& .& & .\\ .& .& & .\\ .& .& & .\\ \frac{\∂f_4}{\∂g_1}& \frac{\∂f_4}{\∂g_2}& \mathrm{...}& \frac{\∂f_4}{\∂g_n}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{V}_{g_1}& 0& \mathrm{...}& 0\\ 0& V_{g_2}& \mathrm{...}& 0\\ .& .& & .\\ .& .& & .\\ .& .& & .\\ 0& 0& \mathrm{...}& V_{g_n}\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cccc}\frac{\∂f_1}{\∂g_1}& \frac{\∂f_1}{\∂g_2}& \mathrm{...}& \frac{\∂f_1}{\∂g_n}\\ \frac{\∂f_2}{\∂g_1}& \frac{\∂f_2}{\∂g_2}& \mathrm{...}& \frac{\∂f_2}{\∂g_n}\\ .& .& & .\\ .& .& & .\\ .& .& & .\\ \frac{\∂f_4}{\∂g_1}& \frac{\∂f_4}{\∂g_2}& \mathrm{...}& \frac{\∂f_4}{\∂g_n}\end{array}\right]}^{TR}---\left(10\right)$

将步骤2中测得的各项误差的方差代入式(10)，并且代入空间任意点的坐标值(x，y，z)求得V_E；即空间任意点处的空间误差的方差值，得到机床空间误差的随机特征。