CN108052747A - 一种基于价值分析法的机床几何精度优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于价值分析法的机床几何精度优化方法，该方法基于价值分析法采用机床加工精度的全局敏感度分析和几何误差相关性分析相结合的方法，对四轴加工中心的各误差项进行分析。首先利用齐次变换矩阵法对四轴机床进行几何误差建模；然后对数控机床的加工精度进行全局敏感度分析以及相关性分析，确定各误差项对于机床加工精度的影响程度并确定价值分析法中的功能系数及成本系数；第三，建立机床几何误差的精度分配优化模型；最后，根据价值分析法对机床加工精度进行优化设计。

Description

一种基于价值分析法的机床几何精度优化方法

技术领域

本发明涉及到多轴机床几何精度的分析方法，属于机床精度设计领域，具体涉及一种基于价值分析法的机床几何精度优化方法。

背景技术

在现代机械设计及制造过程中，随着尖端科学技术的发展，对于精密及超精密仪器的加工技术要求越来越高，机床的加工精度便显得更加重要。近些年来，数控机床的加工精度问题越来越受到重视，相关技术也不断取得突破性进展，但是，随着加工精度的不断提高，机床的加工成本也随之增加，因此，为了适应市场需求，必须在确保精度的同时严格控制成本，协调好两者的关系。

精度分配是精度设计的一个重要方面，是根据给定机器或机构等的总位置精度制定其主要零部件的精度，不仅直接决定了产品的技术质量，也影响到产品的加工成本。目前国内外已有许多研究着眼于机床几何误差的精度分配优化设计，但大多数研究仍然不够重视精度与成本两者的紧密联系，许多研究仍然停留在使用传统方法对机床进行精度设计，虽有一定的适用性，但其普遍存在不足之处，主要在于缺乏全面、深入、细致地考虑零部件的功能和结构特征，加工难度和成本等各方面因素，工作效率低且成本较高。

价值分析法的根本目的在于从降低成本和改善功能两个方面进行合理化工作,找出产品中功能与成本两方面的不合理成份进行改进,从而达到提高其价值的目的。价值分析理论认为，在产品设计中既不应单纯追求降低成本,也不应片面追求提高功能,而是要研究功能和成本的最佳匹配。其本质不是以产品为中心，而是以功能为中心。只有通过对与成本紧密联系的功能进行全面系统的科学分析，才能科学地确定产品的必要功能和实现该功能所需要的成本，确定其价值大小，提出创造革新的方案，调节功能之间的比重，减少费用，降低成本，使产品的功能结构进一步合理化。

为了有效地识别对机床加工精度影响较大的几何误差参数，本发明首先基于齐次变换矩阵理论方法，分析各部件几何误差对机床精度的影响，建立精密加工中心的几何误差模型；然后对数控机床的加工精度进行全局敏感度分析以及相关性分析，确定各误差项对于机床加工精度的影响程度并确定价值分析法中的功能系数及成本系数；最后，根据价值分析法对机床加工精度进行优化设计。这种方法可以在一定程度上放宽几何误差的范围，从而在确保加工精度的同时降低机床的制造成本。

发明内容

本发明的目的是提供一种基于价值分析法的机床几何精度优化方法，将机床的几何误差在最大允许范围内适当放大，从而避免为了提高机床加工精度而盲目提高关键部件精度等级，有效降低了机床的生产成本，使机床实现价值最大化。

本发明的特征在于引入了价值分析法，从功能和成本等多方面考虑生产过程中如何通过提高关键部件的精度等级来提高机床的加工精度，在传统的精度分配模型基础上建立了一种新的优化模型。

具体包括如下步骤：

步骤1：建立精密加工中心的几何误差模型；

步骤1.1建立所述精密卧式加工中心的特征矩阵；

对卧式坐标镗加工中心几何误差进行建模及分析，卧式加工中心作为四轴数控机床，有包含定位误差、直线度误差、角度误差等在内的三十项几何误差。基于齐次变换矩阵理论，分析各部件几何误差对机床精度的影响，得到各运动部件之间的齐次变换矩阵。

步骤1.2建立精密加工中心的几何误差模型

假设刀具成形点在刀具坐标系t-xyz内的坐标P_t是：

P_t＝(p_tx p_ty p_tz 1)^T (1)

工件成形点在工件坐标系w-xyz内的坐标是：

P_w＝(p_wx p_wy p_wz 1)^T (2)

在理想运动情况下，机床不产生误差，刀具成形点和工件成形点重合，即

其中，公式(3)右上角的P和S分别表示静态和动态，即和分别表示相邻部件的理想静态齐次变换矩阵和理想运动齐次变换矩阵。

得理想刀具成形点在工件坐标系中的坐标P_wideal为：

然而在实际加工过程中，实际刀具成形点的位置要偏离理想刀具成形点的位置。因此，实际刀具成形点在工件坐标系中的坐标是：

其中，和分别表示工件分支和刀具分支的误差齐次变换矩阵。误差齐次变换矩阵表达式分别如下：

在公式(6)中，和分别表示相邻部件的静态误差齐次变换矩阵和运动误差齐次变换矩阵。于是可得卧式加工中心的误差模型表达式：

E表示此四轴机床的几何误差，其中包含三个部分E_x、E_y、E_z，即

E＝[E_x E_y E_z 1]^T (8)

步骤2：建立卧式加工中心几何误差的价值分析法模型

步骤2.1价值分析法基本模型

价值分析就是综合考虑功能、成本与价值三个因素之间的关系，从降低成本和改善功能两方面进行合理化工作。三者的关系式如下：

其中V为价值；F为功能；C为成本。根据不同的评价方法，上式各项可以有不同的定义和取值方法。将F定义为功能系数，将C定义为成本系数。对数控机床的加工精度进行全局敏感度分析以及相关性分析，确定各误差项对于机床加工精度的影响程度并确定价值分析法中的功能系数及成本系数

按照价值分析法的观点：当V_i＝1时，功能和成本能够达到协调、相称，这时的整体价值最高，也是最有利的情况，即

可推得：

为了更加明确各项几何误差对总体精度的影响，根据SPSS软件的聚类分析结果，利用价值分析法公式对各分类项进行求和计算，确定整体价值最高的状态，即：

n为每一类几何误差的总个数。

则推得：

这就是价值分析法几何误差分配的优化模型。A_i通过敏感度分析求得，E₀为精度综合中给定的设计参数，则通过优化计算求得各项几何误差优化值Δ_i。

步骤2.2建立机床加工精度的全局敏感度分析模型

为了更加精确地分析各误差因素及其相互作用对加工精度的影响程度，找出关键性几何误差，需对各误差因素进行全局敏感度分析，从而确定价值分析法中的功能系数。

将机床几何误差模型进一步写成如下形式：

E＝[E_x E_y E_z 1]^T＝P_wideal-P_wactual＝E(H,P_t,I) (12)

式中，E_x,E_y,E_z表示机床各向几何误差；H＝[h₁,h₂,......,h_n]^T，h₁,h₂,......,h_n表示n个机床各零部件几何误差；P_t和I分别表示刀具成形点在刀具坐标系中的坐标以及机床X轴，Y轴，Z轴运动部件的位置向量。由于分析的是机床运动几何误差对加工精度的影响，P_t和I都认为是无误差且预先设定的，则数控机床的空间误差模型可转化为各项几何误差的函数：

E＝E(H)＝[E_x(H),E_y(H),E_z(H),1]^T (13)

对于四轴机床而言只需研究二十四项运动几何误差对加工精度的敏感度，与运动量相关的几何误差项均具有不确定性，且服从正态分布，包括Δx_x，Δy_x，Δz_x，Δα_x，Δβ_x，Δγ_x，Δx_y，Δy_y，Δz_y，Δα_y，Δβ_y，Δγ_y，Δx_z，Δy_z，Δz_z，Δα_z，Δβ_z，Δγ_z，Δx_B，Δy_B，Δz_B，Δα_B，Δβ_B，Δγ_B共24项。则定义一个24维的单元体U²⁴作为输入因素的空间域。

采用Sobol’法进行全局灵敏度分析，X方向的空间加工误差E_x表示为：

总方差D表示为

偏方差为

式中1≤i₁＜...＜i_s≤k且s＝1,2,...,k。

将总方差分解为

全局敏感度表示为

式中，S_i为h_i的一阶全局敏感度；S_ij(i≠j)为几何误差h_i和h_j的二阶敏感度；S_1,2,...n为几何误差h₁,h₂,...,h_n的n阶敏感度。

第i项几何误差的全局敏感度可用来表示第i项几何误差对机床的误差的总影响。表示为：

式中，

由蒙特卡洛数值估计法计算得出：

在式(20)(21)(22)(23)中，k为蒙特卡洛法的采样个数；上标(1)(2)为由蒙塔卡洛采样得到的两个不同的k×n维的样本组；H_m表示从域Uⁿ采样得到的样本组中的第m项样本，即H_(-i)m表示从域Uⁿ采样得到的样本组中的第m项样本中取出第i项元素后的其他元素，即 表示在第1个样本组中的第m个样本中的第i项误差因素。

几何误差h_i的一阶敏感度和全局敏感度分别表示为：

机床零部件的各项几何误差相互独立且可看作正态分布，它们综合作用的结果仍符合正态分布。在机床加工空间四条对角线上各选取8个点测量其各项几何误差，共29个测试点，每个点测10次。选取点(300,100,200)，分析该点处各项几何误差对机床加工精度的影响程度。采用拉丁超立方采样法在空间域U²⁴中对各几何误差进行抽样，样本大小为5000。

由几何误差对机床加工精度的全局敏感度分析模型可得到X方向加工精度敏感度分析公式。第j个测试点处，第i项几何误差对X向空间误差的一阶敏感度及全局敏感度分析公式分别为：

式中k表示每个采样集合中采样数组的个数，k＝5000；

对其它各点采用同样的方法，计算出各项几何误差在其它测试点处的一阶敏感度系数和全局敏感度系数。

就整个工作空间而言，将第i项几何误差对X方向的空间误差的一阶敏感度及全局敏感度系数表示为：

Y、Z方向采用同样的方法。

经过计算得到各项几何误差对整个加工空间的一阶敏感度系数及全局敏感度系数，

步骤2.3对机床几何误差进行相关性分析及分类

运用SPSS中的系统聚类与相关性分析相结合对加工中心的各几何误差进行分析，首先将相关性较强的误差项分为一类，然后求各误差相关系数，并根据价值分析法公式对各类几何误差分别进行计算。

步骤3：机床几何误差精度分配优化

步骤3.1建立精度分配优化模型

根据零部件精度参数与几何误差之间的关系，结合几何误差相关性聚类分析的分类结果，将零部件精度参数作为设计变量，构造下列目标函数，即基于机床几何误差相关性分析的优配模型：

约束条件如下：

Δx_max≤mpe(Δx)

Δy_max≤mpe(Δy)

Δz_max≤mpe(Δz)

且有：

lb(Δs_i(u))≤Δs_i(u)≤ub(Δs_i(u))，i＝1,2,3；u＝x,y,z,B

lb(S(u))≤S(u)≤ub(S(u))，u＝x,y,z,B

式中，mpe(Δx)，mpe(Δy)，mpe(Δz)分别表示X，Y，Z向最大允许误差。

基于价值分析法的几何误差精度分配的优化模型如下：

A_i可通过敏感度分析求得，E₀为精度综合中给定的设计参数，则可通过优化计算求得各项几何误差优化值Δ_i。约束条件为：

Δx_max≤mpe(Δx)

Δy_max≤mpe(Δy)

Δz_max≤mpe(Δz)

所以，卧式加工中心的精度分配问题可描述为一个二目标优化问题。总优化模型为：

约束条件如下：

Δx_max≤mpe(Δx)

Δy_max≤mpe(Δy)

Δz_max≤mpe(Δz)

lb(Δs_i(u))≤Δs_i(u)≤ub(Δs_i(u))

(i＝1,2,3；u＝x,y,z,B)

lb(S(u))≤S(u)≤ub(S(u))

(u＝x,y,z,B)

式中,S_max表示所有几何误差项的欧式范数和函数。

根据用户加工精度要求，该四轴加工中心X、Y、Z向最大允许误差为：

mpe(Δx)＝-0.015,mpe(Δy)＝0.015,mpe(Δz)＝0.015

步骤3.2基于NCGA算法的精度分配优化

通过Isight软件中的matlab组件与matlab结合，采用NCGA算法对几何误差项进行集成优化。

以上述二目标优化问题为目标函数，24项几何误差为变量，设定好约束条件及机床精度要求后，采用NCGA算法进行优化。

附图说明

图1卧式坐标镗加工中心JIG630的拓扑结构。

图2为本发明方法的实施流程图。

具体实施方式

步骤1：建立精密加工中心的几何误差模型

步骤1.1建立所述精密卧式加工中心的特征矩阵

本发明以卧式坐标镗加工中心JIG630为例，对其几何误差进行建模及分析。拓扑结构见图1，有包含定位误差、直线度误差、角度误差等在内的30项几何误差，此30项误差的表示符号及说明见表1。本发明应用齐次变换矩阵进行误差建模，各运动部件之间的齐次变换矩阵见表2。

步骤1.2建立精密加工中心的几何误差模型

假设刀具成形点在刀具坐标系内的坐标是：

P_t＝(p_tx p_ty p_tz 1)^T (33)

工件成形点在工件坐标系内的坐标是：

P_w＝(p_wx p_wy p_wz 1)^T (34)

理想运动情况下，机床不产生误差，即刀具成形点和工件成形点重合，有：

上式中，和分别表示相邻部件的理想静态齐次变换矩阵和理想运动齐次变换矩阵。可得理想刀具成形点在工件坐标系中的坐标为：

然而在实际加工过程中，实际刀具成形点的位置要偏离理想刀具成形点的位置。因此，实际刀具成形点在工件坐标系中的坐标是：

其中，和分别表示工件分支和刀具分支的误差齐次变换矩阵。有：

在公式(38)中，和分别表示相邻部件的静态误差齐次变换矩阵和运动误差齐次变换矩阵。于是可得卧式加工中心的误差模型表达式：

E表示此四轴机床的几何误差，其中包含三个部分E_x、E_y、E_z，即

E＝[E_x E_y E_z 1]^T (40)

步骤2：建立卧式加工中心几何误差的价值分析法模型

步骤2.1价值分析法基本模型

价值分析就是综合考虑功能、成本与价值三个因素之间的关系，从降低成本和改善功能两方面进行合理化工作。三者的关系式如下：

其中V为价值；F为功能；C为成本。根据不同的评价方法，上式各项可以有不同的定义和取值方法。本发明将F定义为功能系数，将C定义为成本系数。对数控机床的加工精度进行全局敏感度分析以及相关性分析，确定各误差项对于机床加工精度的影响程度并确定价值分析法中的功能系数及成本系数。

按照价值分析法的观点：当V_i＝1时，功能和成本能够达到协调、相称，这时的整体价值最高，也是最有利的情况，即

可推得：

在这里，为了更加明确各项几何误差对总体精度的影响，根据SPSS软件的聚类分析结果，利用价值分析法公式对各分类项进行求和计算，确定整体价值最高的状态，即：

n为每一类几何误差的总个数。

则可推得：

这就是价值分析法几何误差分配的优化模型。A_i可通过敏感度分析求得，E₀为精度综合中给定的设计参数，则可通过优化计算求得各项几何误差优化值Δ_i。步骤2.2建立机床加工精度的全局敏感度分析模型

为了更加精确地分析各误差因素及其相互作用对加工精度的影响程度，找出关键性几何误差，需对各误差因素进行全局敏感度分析，从而确定价值分析法中的功能系数。

将机床几何误差模型进一步写成如下形式：

E＝[E_x E_y E_z 1]^T＝P_wideal-P_wactual＝E(H,P_t,I) (44)

式中，E_x,E_y,E_z表示机床各向几何误差；H＝[h₁,h₂,......,h_n]^T，h₁,h₂,......,h_n表示n个机床各零部件几何误差；P_t和I分别表示刀具成形点在刀具坐标系中的坐标，以及机床X轴，Y轴，Z轴运动部件的位置向量。本发明主要研究机床运动几何误差对加工精度的影响，P_t和I都认为是无误差且预先设定好的，则数控机床的空间误差模型可转化为各项几何误差的函数：

E＝E(H)＝[E_x(H),E_y(H),E_z(H),1]^T (45)

对于四轴机床而言只需研究24项运动几何误差对加工精度的敏感度，与运动量相关的几何误差项均具有不确定性，且服从正态分布，包括Δx_x，Δy_x，Δz_x，Δα_x，Δβ_x，Δγ_x，Δx_y，Δy_y，Δz_y，Δα_y，Δβ_y，Δγ_y，Δx_z，Δy_z，Δz_z，Δα_z，Δβ_z，Δγ_z，Δx_B，Δy_B，Δz_B，Δα_B，Δβ_B，Δγ_B共24项。则定义一个24维的单元体U²⁴作为输入因素的空间域。

本发明采用Sobol’法进行全局灵敏度分析，以X方向的空间加工误差E_x为例，可以表示为：

其总方差D可表示为

偏方差为

式中1≤i₁＜...＜i_s≤k且s＝1,2,...,k。

可将总方差分解为

这样，全局敏感度可表示为

式中，S_i为h_i的一阶全局敏感度；S_ij(i≠j)为几何误差h_i和h_j的二阶敏感度；S_1,2,...n为几何误差h₁,h₂,...,h_n的n阶敏感度。

第i项几何误差的全局敏感度可用来表示第i项几何误差对机床的误差的总影响。表示为：

式中，

由蒙特卡洛数值估计法计算得出：

在式(52)(53)(54)(55)中，k为蒙特卡洛法的采样个数；上标(1)(2)为由蒙塔卡洛采样得到的两个不同的k×n维的样本组；H_m表示从域Uⁿ采样得到的样本组中的第m项样本，即H_(-i)m表示从域Uⁿ采样得到的样本组中的第m项样本中取出第i项元素后的其他元素，即 表示在第1个样本组中的第m个样本中的第i项误差因素。

则可得，几何误差h_i的一阶敏感度和全局敏感度可分别表示为：

一般情况下，机床零部件的各项几何误差相互独立且可看作正态分布，它们综合作用的结果仍符合正态分布。本发明在机床加工空间四条对角线上各选取8个点测量其各项几何误差，共29个测试点，每个点测10次。选取点(300,100,200)为例，分析该点处各项几何误差对机床加工精度的影响程度。采用拉丁超立方采样法在空间域U²⁴中对各几何误差进行抽样，样本大小为5000。

由几何误差对机床加工精度的全局敏感度分析模型可得到X方向加工精度敏感度分析公式。第j个测试点处，第i项几何误差对X向空间误差的一阶敏感度及全局敏感度分析公式分别为：

式中k表示每个采样集合中采样数组的个数，k＝5000；

对其它各点采用同样的方法，计算出各项几何误差在其它测试点处的一阶敏感度系数和全局敏感度系数。

就整个工作空间而言，将第i项几何误差对X方向的空间误差的一阶敏感度及全局敏感度系数表示为：

Y、Z方向采用同样的方法。

经过计算可以得到各项几何误差对整个加工空间的一阶敏感度系数及全局敏感度系数。计算结果列于表3至表5中。

步骤2.3对机床几何误差进行相关性分析及分类

本发明运用SPSS中的系统聚类与相关性分析相结合对加工中心的各几何误差进行分析，首先将相关性较强的误差项分为一类，然后求各误差相关系数，并根据价值分析法公式对各类几何误差分别进行计算。分类结果见表6。各误差相关系数部分数据见表7.

根据价值分析法公式：将24项几何误差分四类分别进行计算，以第19、20、21项几何误差为例，分别对应误差Δx_B、Δy_B、Δz_B，三者在聚类分析中分为一类。根据价值分析法公式，有：即

步骤3：机床几何误差精度分配优化

步骤3.1建立精度分配优化模型

机床几何误差与精度参数之间的关系见表8。其中L(k)表示k向运动部件的长度，在本发明的卧式加工中心中，k表示X、Y、Z、B。设定直线度误差与坐标轴方向相同时为正，角度误差按右手螺旋法则确定。

根据零部件精度参数与几何误差之间的关系，结合几何误差相关性聚类分析的分类结果，将零部件精度参数作为设计变量，构造下列目标函数，即基于机床几何误差相关性分析的优配模型：

约束条件如下：

Δx_max≤mpe(Δx)

Δy_max≤mpe(Δy)

Δz_max≤mpe(Δz)

且有：

lb(Δs_i(u))≤Δs_i(u)≤ub(Δs_i(u))，i＝1,2,3；u＝x,y,z,B

lb(S(u))≤S(u)≤ub(S(u))，u＝x,y,z,B

式中，mpe(Δx)，mpe(Δy)，mpe(Δz)分别表示X，Y，Z向最大允许误差。

基于价值分析法的几何误差精度分配的优化模型如下：

A_i可通过敏感度分析求得，E₀为精度综合中给定的设计参数，则可通过优化计算求得各项几何误差优化值Δ_i。约束条件为：

Δx_max≤mpe(Δx)

Δy_max≤mpe(Δy)

Δz_max≤mpe(Δz)

所以，该卧式加工中心的精度分配问题可描述为一个二目标优化问题。总优化模型为：

约束条件如下：

Δx_max≤mpe(Δx)

Δy_max≤mpe(Δy)

Δz_max≤mpe(Δz)

lb(Δs_i(u))≤Δs_i(u)≤ub(Δs_i(u))

(i＝1,2,3；u＝x,y,z,B)

lb(S(u))≤S(u)≤ub(S(u))

(u＝x,y,z,B)

式中,S_max表示所有几何误差项的欧式范数和函数。

根据用户加工精度要求，该四轴加工中心X、Y、Z向最大允许误差为：

mpe(Δx)＝-0.015,mpe(Δy)＝0.015,mpe(Δz)＝0.015

为了实现优化目的，优化后的误差值应不小于标准值，且同一部件上的精度参数不应差异过大，故这里将标准值取为变量的下界，标准值的3倍取为变量上界。

步骤3.2基于NCGA算法的精度分配优化

本发明通过Isight软件中的matlab组件与matlab结合，采用NCGA算法对几何误差项进行集成优化。

以上述二目标优化问题为目标函数，24项几何误差为变量，设定好约束条件及机床精度要求后，便可采用NCGA算法进行优化。为保证优化结果的精确性，将多次优化结果进行对比，得出最优解。优化结果见表9。

通过表9中的优化结果可以看出x,y,z各方向几何误差e_x、e_y、e_z的值均在最大允许误差范围内，且优化后的所有变量均不小于标准值。

通过上面的描述并结合附图说明，本发明会更加清晰，附图说明用于解释本发明方法及实施过程。

表1四轴机床的几何误差项说明及其表示符号

表2卧式坐标镗加工中心的理想和误差齐次变换矩阵

表3基于整个加工空间的X向全局敏感度分析结果

表4基于整个加工空间的Y向全局敏感度分析结果

表5基于整个加工空间的Z向全局敏感度分析结果

表6各项几何误差聚类分析结果

表7各误差相关系数(部分数据)

表8四轴机床几何误差项与精度参数之间的关系

表9四轴加工中心几何误差优化结果

Claims (1)

1.一种基于价值分析法的机床几何精度优化方法，其特征在于：该方法具体包括如下步骤：

步骤1：建立精密加工中心的几何误差模型；

步骤1.1建立所述精密卧式加工中心的特征矩阵；

对卧式坐标镗加工中心几何误差进行建模及分析，卧式加工中心作为四轴数控机床，有包含定位误差、直线度误差、角度误差在内的三十项几何误差；基于齐次变换矩阵理论，分析各部件几何误差对机床精度的影响，得到各运动部件之间的齐次变换矩阵；

步骤1.2建立精密加工中心的几何误差模型

假设刀具成形点在刀具坐标系t-xyz内的坐标P_t是：

P_t＝(p_tx p_ty p_tz 1)^T (1)

工件成形点在工件坐标系w-xyz内的坐标是：

P_w＝(p_wx p_wy p_wz 1)^T (2)

在理想运动情况下，机床不产生误差，刀具成形点和工件成形点重合，即

<mrow> <msubsup> <mi>K</mi> <mn>01</mn> <mi>P</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>K</mi> <mn>01</mn> <mi>S</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>K</mi> <mn>12</mn> <mi>P</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>K</mi> <mn>12</mn> <mi>S</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>K</mi> <mn>23</mn> <mi>P</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>K</mi> <mn>23</mn> <mi>S</mi> </msubsup> <msub> <mi>P</mi> <mi>t</mi> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>K</mi> <mn>04</mn> <mi>P</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>K</mi> <mn>04</mn> <mi>S</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>K</mi> <mn>45</mn> <mi>P</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>K</mi> <mn>45</mn> <mi>S</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>K</mi> <mn>56</mn> <mi>P</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>K</mi> <mn>56</mn> <mi>S</mi> </msubsup> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mi>i</mi> <mi>d</mi> <mi>e</mi> <mi>a</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，公式(3)右上角的P和S分别表示静态和动态，即和分别表示相邻部件的理想静态齐次变换矩阵和理想运动齐次变换矩阵；

得理想刀具成形点在工件坐标系中的坐标P_wideal为：

<mrow> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mi>i</mi> <mi>d</mi> <mi>e</mi> <mi>a</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>K</mi> <mn>04</mn> <mi>P</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>K</mi> <mn>04</mn> <mi>S</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>K</mi> <mn>45</mn> <mi>P</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>K</mi> <mn>45</mn> <mi>S</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>K</mi> <mn>56</mn> <mi>P</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>K</mi> <mn>56</mn> <mi>S</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msubsup> <mi>K</mi> <mn>01</mn> <mi>P</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>K</mi> <mn>01</mn> <mi>S</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>K</mi> <mn>12</mn> <mi>P</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>K</mi> <mn>12</mn> <mi>S</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>K</mi> <mn>23</mn> <mi>P</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>K</mi> <mn>23</mn> <mi>S</mi> </msubsup> <msub> <mi>P</mi> <mi>t</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

然而在实际加工过程中，实际刀具成形点的位置要偏离理想刀具成形点的位置；因此，实际刀具成形点在工件坐标系中的坐标是：

P_wactrual＝(^EK₀₆)^-1EK₀₃P_t (5)

其中，^EK₀₆和^EK₀₃分别表示工件分支和刀具分支的误差齐次变换矩阵；误差齐次变换矩阵表达式分别如下：

<mrow> <msub> <mmultiscripts> <mi>K</mi> <mi>E</mi> </mmultiscripts> <mn>06</mn> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>K</mi> <mn>04</mn> <mi>P</mi> </msubsup> <mmultiscripts> <mi>K</mi> <mn>04</mn> <mi>P</mi> <mi>e</mi> </mmultiscripts> <msubsup> <mi>K</mi> <mn>04</mn> <mi>S</mi> </msubsup> <mmultiscripts> <mi>K</mi> <mn>04</mn> <mi>S</mi> <mi>e</mi> </mmultiscripts> <msubsup> <mi>K</mi> <mn>45</mn> <mi>P</mi> </msubsup> <mmultiscripts> <mi>K</mi> <mn>45</mn> <mi>P</mi> <mi>e</mi> </mmultiscripts> <msubsup> <mi>K</mi> <mn>45</mn> <mi>S</mi> </msubsup> <mmultiscripts> <mi>K</mi> <mn>45</mn> <mi>S</mi> <mi>e</mi> </mmultiscripts> <msubsup> <mi>K</mi> <mn>56</mn> <mi>P</mi> </msubsup> <mmultiscripts> <mi>K</mi> <mn>56</mn> <mi>P</mi> <mi>e</mi> </mmultiscripts> <msubsup> <mi>K</mi> <mn>56</mn> <mi>S</mi> </msubsup> <mmultiscripts> <mi>K</mi> <mn>56</mn> <mi>S</mi> <mi>e</mi> </mmultiscripts> </mrow>

<mrow> <msub> <mmultiscripts> <mi>K</mi> <mi>E</mi> </mmultiscripts> <mn>03</mn> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>K</mi> <mn>01</mn> <mi>P</mi> </msubsup> <mmultiscripts> <mi>K</mi> <mn>01</mn> <mi>P</mi> <mi>e</mi> </mmultiscripts> <msubsup> <mi>K</mi> <mn>01</mn> <mi>S</mi> </msubsup> <mmultiscripts> <mi>K</mi> <mn>01</mn> <mi>S</mi> <mi>e</mi> </mmultiscripts> <msubsup> <mi>K</mi> <mn>12</mn> <mi>P</mi> </msubsup> <mmultiscripts> <mi>K</mi> <mn>12</mn> <mi>P</mi> <mi>e</mi> </mmultiscripts> <msubsup> <mi>K</mi> <mn>12</mn> <mi>S</mi> </msubsup> <mmultiscripts> <mi>K</mi> <mn>12</mn> <mi>S</mi> <mi>e</mi> </mmultiscripts> <msubsup> <mi>K</mi> <mn>23</mn> <mi>P</mi> </msubsup> <mmultiscripts> <mi>K</mi> <mn>23</mn> <mi>P</mi> <mi>e</mi> </mmultiscripts> <msubsup> <mi>K</mi> <mn>23</mn> <mi>S</mi> </msubsup> <mmultiscripts> <mi>K</mi> <mn>23</mn> <mi>S</mi> <mi>e</mi> </mmultiscripts> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

在公式(6)中，和分别表示相邻部件的静态误差齐次变换矩阵和运动误差齐次变换矩阵；于是可得卧式加工中心的误差模型表达式：

E＝^EK₀₆P_wideal-^EK₀₃P_t (7)

E表示此四轴机床的几何误差，其中包含三个部分E_x、E_y、E_z，即

E＝[E_x E_y E_z 1]^T (8)

步骤2：建立卧式加工中心几何误差的价值分析法模型

步骤2.1价值分析法基本模型

价值分析就是综合考虑功能、成本与价值三个因素之间的关系，从降低成本和改善功能两方面进行合理化工作；三者的关系式如下：

<mrow> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mi>F</mi> <mi>C</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中V为价值；F为功能；C为成本；根据不同的评价方法，上式各项可以有不同的定义和取值方法；将F定义为功能系数，将C定义为成本系数；对数控机床的加工精度进行全局敏感度分析以及相关性分析，确定各误差项对于机床加工精度的影响程度并确定价值分析法中的功能系数及成本系数

按照价值分析法的观点：当V_i＝1时，功能和成本能够达到协调、相称，这时的整体价值最高，也是最有利的情况，即

可推得：

为了更加明确各项几何误差对总体精度的影响，根据SPSS软件的聚类分析结果，利用价值分析法公式对各分类项进行求和计算，确定整体价值最高的状态，即：

n为每一类几何误差的总个数；

则推得：

这就是价值分析法几何误差分配的优化模型；A_i通过敏感度分析求得，E₀为精度综合中给定的设计参数，则通过优化计算求得各项几何误差优化值Δ_i；步骤2.2建立机床加工精度的全局敏感度分析模型

为了更加精确地分析各误差因素及其相互作用对加工精度的影响程度，找出关键性几何误差，需对各误差因素进行全局敏感度分析，从而确定价值分析法中的功能系数；

将机床几何误差模型进一步写成如下形式：

E＝[E_x E_y E_z 1]^T＝P_wideal-P_wactual＝E(H,Pt,I) (12)

式中，E_x,E_y,E_z表示机床各向几何误差；H＝[h₁,h₂,......,h_n]^T，h₁,h₂,......,h_n表示n个机床各零部件几何误差；P_t和I分别表示刀具成形点在刀具坐标系中的坐标以及机床X轴，Y轴，Z轴运动部件的位置向量；由于分析的是机床运动几何误差对加工精度的影响，P_t和I都认为是无误差且预先设定的，则数控机床的空间误差模型可转化为各项几何误差的函数：

E＝E(H)＝[E_x(H),E_y(H),E_z(H),1]^T (13)

对于四轴机床而言只需研究二十四项运动几何误差对加工精度的敏感度，与运动量相关的几何误差项均具有不确定性，且服从正态分布，包括Δx_x，Δy_x，Δz_x，Δα_x，Δβ_x，Δγ_x，Δx_y，Δy_y，Δz_y，Δα_y，Δβ_y，Δγ_y，Δx_z，Δy_z，Δz_z，Δα_z，Δβ_z，Δγ_z，Δx_B，Δy_B，Δz_B，Δα_B，Δβ_B，Δγ_B共24项；则定义一个24维的单元体U²⁴作为输入因素的空间域；

采用Sobol’法进行全局灵敏度分析，X方向的空间加工误差E_x表示为：

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>E</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>E</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>H</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>E</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>h</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>h</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>h</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>E</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <msub> <mi>E</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>h</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>&amp;le;</mo> <mi>i</mi> <mo>&amp;le;</mo> <mi>j</mi> <mo>&amp;le;</mo> <mi>n</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>E</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>h</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>h</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mn>...</mn> <mo>+</mo> <msub> <mi>E</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>......</mn> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>h</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>h</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>h</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

总方差D表示为

<mrow> <mi>D</mi> <mo>=</mo> <msub> <mo>&amp;Integral;</mo> <msup> <mi>U</mi> <mi>n</mi> </msup> </msub> <msup> <msub> <mi>E</mi> <mi>x</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>H</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>H</mi> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>E</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

偏方差为

<mrow> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <msub> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <msub> <mi>i</mi> <mi>s</mi> </msub> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <mn>0</mn> <mn>1</mn> </msubsup> <mo>...</mo> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <mn>0</mn> <mn>1</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>E</mi> <mrow> <msub> <mi>xi</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>i</mi> <mi>s</mi> </msub> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>h</mi> <msub> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>h</mi> <msub> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>h</mi> <msub> <mi>i</mi> <mi>s</mi> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>dh</mi> <msub> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> <msub> <mi>dh</mi> <msub> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <mo>...</mo> <msub> <mi>dh</mi> <msub> <mi>i</mi> <mi>s</mi> </msub> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

式中1≤i₁＜...＜i_s≤k且s＝1,2,...,k；

将总方差分解为

<mrow> <mi>D</mi> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <msub> <mi>D</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>&amp;le;</mo> <mi>i</mi> <mo>&lt;</mo> <mi>j</mi> <mo>&amp;le;</mo> <mi>n</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo>...</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

全局敏感度表示为

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>S</mi> <mrow> <msub> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <msub> <mi>i</mi> <mi>s</mi> </msub> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <msub> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <msub> <mi>i</mi> <mi>s</mi> </msub> </mrow> </msub> <mi>D</mi> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mn>1</mn> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&lt;</mo> <mo>...</mo> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>i</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mi>n</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

式中，S_i为h_i的一阶全局敏感度；S_ij(i≠j)为几何误差h_i和h_j的二阶敏感度；S_1,2,...n为几何误差h₁,h₂,...,h_n的n阶敏感度；

第i项几何误差的全局敏感度可用来表示第i项几何误差对机床的误差的总影响；表示为：

<mrow> <mi>T</mi> <mi>S</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>S</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <mo>~</mo> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mi>D</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

式中，

由蒙特卡洛数值估计法计算得出：

<mrow> <msub> <mover> <mi>E</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>x</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>&amp;ap;</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>k</mi> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>k</mi> </munderover> <msub> <mi>E</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>H</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>20</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <mover> <mi>D</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>k</mi> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>k</mi> </munderover> <msup> <msub> <mi>E</mi> <mi>x</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>H</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mover> <mi>E</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>x</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>21</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <msub> <mover> <mi>D</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>k</mi> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>k</mi> </munderover> <msub> <mi>E</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>H</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> <mi>m</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>h</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>m</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>E</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>H</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> <mi>m</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>h</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>m</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mover> <mi>E</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>x</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>22</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <msub> <mover> <mi>D</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>-</mo> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>k</mi> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>k</mi> </munderover> <msub> <mi>E</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>H</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> <mi>m</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>h</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>m</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>E</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>H</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> <mi>m</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>h</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>m</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mover> <mi>E</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>x</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>23</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

在式(20)(21)(22)(23)中，k为蒙特卡洛法的采样个数；上标⁽¹⁾⁽²⁾为由蒙塔卡洛采样得到的两个不同的k×n维的样本组；H_m表示从域Uⁿ采样得到的样本组中的第m项样本，即H_(-i)m表示从域Uⁿ采样得到的样本组中的第m项样本中取出第i项元素后的其他元素，即表示在第1个样本组中的第m个样本中的第i项误差因素；

几何误差h_i的一阶敏感度和全局敏感度分别表示为：

<mrow> <msub> <mi>S</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&amp;ap;</mo> <mfrac> <msub> <mover> <mi>D</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mover> <mi>D</mi> <mo>^</mo> </mover> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>24</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <mi>T</mi> <mi>S</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;ap;</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mover> <mi>D</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>~</mo> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mover> <mi>D</mi> <mo>^</mo> </mover> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>25</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

机床零部件的各项几何误差相互独立且可看作正态分布，它们综合作用的结果仍符合正态分布；在机床加工空间四条对角线上各选取8个点测量其各项几何误差，共29个测试点，每个点测10次；选取点(300,100,200)，分析该点处各项几何误差对机床加工精度的影响程度；采用拉丁超立方采样法在空间域U²⁴中对各几何误差进行抽样，样本大小为5000；

由几何误差对机床加工精度的全局敏感度分析模型可得到X方向加工精度敏感度分析公式；第j个测试点处，第i项几何误差对X向空间误差的一阶敏感度及全局敏感度分析公式分别为：

<mrow> <munderover> <msub> <mi>S</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>j</mi> <mi>x</mi> </munderover> <mo>&amp;ap;</mo> <mfrac> <msub> <mover> <mi>D</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mover> <mi>D</mi> <mo>^</mo> </mover> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>k</mi> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>k</mi> </munderover> <msub> <mi>E</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>H</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> <mi>m</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>h</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>m</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>E</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>H</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> <mi>m</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>h</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>m</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>k</mi> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>k</mi> </munderover> <msub> <mi>E</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>H</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>k</mi> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>k</mi> </munderover> <msup> <msub> <mi>E</mi> <mi>x</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>H</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>k</mi> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>k</mi> </munderover> <msub> <mi>E</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>H</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>26</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

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式中k表示每个采样集合中采样数组的个数，k＝5000；

对其它各点采用同样的方法，计算出各项几何误差在其它测试点处的一阶敏感度系数和全局敏感度系数；

就整个工作空间而言，将第i项几何误差对X方向的空间误差的一阶敏感度及全局敏感度系数表示为：

<mrow> <msub> <mover> <mi>S</mi> <mi>x</mi> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>H</mi> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>H</mi> </munderover> <munderover> <msub> <mi>S</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>j</mi> <mi>x</mi> </munderover> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>28</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <mover> <mrow> <mi>T</mi> <mi>S</mi> </mrow> <mi>x</mi> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>H</mi> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>H</mi> </munderover> <munderover> <mrow> <mi>T</mi> <mi>S</mi> </mrow> <mi>j</mi> <mi>x</mi> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>29</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

Y、Z方向采用同样的方法；

经过计算得到各项几何误差对整个加工空间的一阶敏感度系数及全局敏感度系数，

步骤2.3对机床几何误差进行相关性分析及分类

运用SPSS中的系统聚类与相关性分析相结合对加工中心的各几何误差进行分析，首先将相关性较强的误差项分为一类，然后求各误差相关系数，并根据价值分析法公式对各类几何误差分别进行计算；

步骤3：机床几何误差精度分配优化

步骤3.1建立精度分配优化模型

根据零部件精度参数与几何误差之间的关系，结合几何误差相关性聚类分析的分类结果，将零部件精度参数作为设计变量，构造下列目标函数，即基于机床几何误差相关性分析的优配模型：

<mrow> <msub> <mi>S</mi> <mi>max</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>max</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>9</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mo>+</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>4</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>5</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>6</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>10</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>11</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>12</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>16</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>17</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>18</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>22</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>23</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>24</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mo>+</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>7</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>8</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>13</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>14</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>15</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mo>+</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>19</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>20</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>21</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>30</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

约束条件如下：

Δx_max≤mpe(Δx)

Δy_max≤mpe(Δy)

Δz_max≤mpe(Δz)

且有：

lb(Δs_i(u))≤Δs_i(u)≤ub(Δs_i(u))，i＝1,2,3；u＝x,y,z,B

lb(S(u))≤S(u)≤ub(S(u))，u＝x,y,z,B

式中，mpe(Δx)，mpe(Δy)，mpe(Δz)分别表示X，Y，Z向最大允许误差；

基于价值分析法的几何误差精度分配的优化模型如下：

<mrow> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <msub> <mi>E</mi> <mn>0</mn> </msub> </mfrac> <mo>=</mo> <msub> <mi>n&amp;Sigma;C</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>31</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

A_i可通过敏感度分析求得，E₀为精度综合中给定的设计参数，则可通过优化计算求得各项几何误差优化值Δ_i；约束条件为：

Δx_max≤mpe(Δx)

Δy_max≤mpe(Δy)

Δz_max≤mpe(Δz)

所以，卧式加工中心的精度分配问题可描述为一个二目标优化问题；总优化模型为：

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>S</mi> <mi>max</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>max</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>9</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mo>+</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>4</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>5</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>6</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>10</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>11</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>12</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>16</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>17</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>18</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>22</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>23</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>24</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mo>+</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>7</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>8</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>13</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>14</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>15</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mo>+</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>19</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>20</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>t</mi> <mn>21</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <msub> <mi>E</mi> <mn>0</mn> </msub> </mfrac> <mo>=</mo> <mi>n</mi> <mo>&amp;Sigma;</mo> <msub> <mi>C</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>32</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

约束条件如下：

Δx_max≤mpe(Δx)

Δy_max≤mpe(Δy)

Δz_max≤mpe(Δz)

lb(Δs_i(u))≤Δs_i(u)≤ub(Δs_i(u))

(i＝1,2,3；u＝x,y,z,B)

lb(S(u))≤S(u)≤ub(S(u))

(u＝x,y,z,B)

式中,S_max表示所有几何误差项的欧式范数和函数；

根据用户加工精度要求，该四轴加工中心X、Y、Z向最大允许误差为：

mpe(Δx)＝-0.015,mpe(Δy)＝0.015,mpe(Δz)＝0.015

步骤3.2基于NCGA算法的精度分配优化

通过Isight软件中的matlab组件与matlab结合，采用NCGA算法对几何误差项进行集成优化；

以上述二目标优化问题为目标函数，24项几何误差为变量，设定好约束条件及机床精度要求后，采用NCGA算法进行优化。