CN110532667A - 一种用于提高精密机床空间几何误差模型建模精度的方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于精密加工与测试技术领域，为解决精密机床含参变量表征空间几何误差模型的建立所存在一定理论计算误差的难题，从数学理论基础和数据处理方面，结合引起精密机床建模精度降低及理论计算误差增大的相关因素，对于体间静止、运动理想特征矩阵以及体间静止、运动误差特征矩阵的迭代求解，提出一种用于提高精密机床空间几何误差模型建模精度的方法；消除了基于小误差假设理论且忽略高阶无穷小的迭代求解精度对其所造成的理论计算误差；实现其建模精度保证在一定数值量级的基础上，达到了实效实用的目的。本方法可拓展应用于超精密机床的精度建模技术中，从理论建模精度方面，实现超精密机床精度的提高，故具有良好的市场应用前景与推广价值。

Description

一种用于提高精密机床空间几何误差模型建模精度的方法

技术领域

本发明属于精密加工与测试技术领域，涉及一种用于提高精密机床空间几何误差模型建模精度的方法。

背景技术

精密和超精密加工技术是以高精度为目标的制造技术，不仅成为各国重点发展的技术，而且成为衡量一个国家制造水平高低的标志。其中精密和超精密机床精度建模技术作为提高精密和超精密加工技术的有效途径之一，此项技术依据多体系统理论和齐次坐标变换方法，基于小误差假设理论且忽略高阶无穷小，同时借助不同测量仪器及其相应的测量方法、工艺改进的有关方法等，通过建立数控机床综合空间误差模型，以误差补偿的方式对精密和超精密机床进行精度改良和提高。然而，在上述建模技术中，必然会涉及到建立含参变量表征误差特征矩阵的空间几何误差模型。此外，在以含参变量表征空间几何误差模型为必要条件的有关误差分析中，其建模精度的提高和理论计算误差的降低则会显得更为重要。

但是，通过对数控机床含参变量表征几何误差的空间几何误差模型进行了大量的数值模拟类比分析发现，随着数控机床联动轴数的增加，含参变量表征几何误差的特征矩阵迭代求解的计算量与难度也在不断的提高与提升，与此同时，基于小误差假设且忽略高阶无穷小含参变量表征空间几何误差模型建模精度确实存在一定的理论计算误差，比如：若需要仪器测量或工艺改进的几何误差数值偏差处于10^-5量级左右，则舍去高阶无穷小的含参变量表征几何误差的空间几何误差模型建模精度需至少保证在10^-6量级及以上的数值偏差，以消除因建模精度的降低所引起的理论计算误差。然而，目前的求解方法只能够达到同数值偏差量级的求解精度，且当数控机床联动轴的轴数越多时，此数值偏差量级存在进一步增大的现象，甚至会大于仪器测量值、工况需求值、工艺改进实测值的数值量级，即建模精度会进一步降低，故由此所产生的建模精度误差会造成较大的未确定的理论计算误差，并将对精密机床的加工精度和性能造成一定的影响。

基于上述分析，理论建模精度在精密机床精度建模技术中尤为重要，若存在一定的理论计算误差，使得数控机床建模精度与误差分析将产生较大的未确定性，同时对于误差分析也会造成一定的阻碍作用；特别对于多轴联动的精密机床，其建模精度则显得更为突出。

发明内容

本发明为解决精密机床含参变量表征空间几何误差模型的建立所存在一定理论计算误差的难题，从数学理论基础和数据处理方面，结合引起精密机床建模精度降低及其理论计算误差增大的相关因素，基于小误差假设理论且忽略高阶无穷小，对于体间静止、运动理想特征矩阵以及体间静止、运动误差特征矩阵的迭代求解，提出一种用于提高精密机床空间几何误差模型建模精度的方法；消除了基于小误差假设理论且忽略高阶无穷小的迭代求解精度对其所造成的理论计算误差；实现其建模精度保证在一定数值量级的基础上，达到了实效实用的目的。

具体技术方案如下：

一种用于提高精密机床空间几何误差模型建模精度的方法，包括步骤如下：

第一步，对不同条件下特征矩阵所涉及的逆矩阵进行预处理；

在理想状态条件下，由于体间静止、运动理想特征矩阵的逆矩阵中不含微元特征，故首先将拓扑结构一个分支的体间运动理想特征矩阵N₁，依据可逆矩阵的性质得到N₁ ^-1；然后得到刀具坐标系相对于工件坐标系的体间静止、运动理想特征矩阵齐次坐标变换T_ij；最后对T_ij直接求得其逆矩阵(T_ij)^-1；

在存在误差状态条件下，由于拓扑结构一个分支的体间运动理想特征矩阵与体间运动误差特征矩阵的齐次坐标变换R₁ ^-1，既存在含分母多项式项数的迭代，又存在含微元特征及其高阶无穷小项数的迭代，首先通过拓扑结构一个分支的体间运动理想特征矩阵与体间运动误差特征矩阵的齐次坐标变换得到R₁，然后直接求得R₁ ^-1。

第二步，去除逆矩阵中的分母多项式；

对于理想状态条件下，体间静止、运动理想特征矩阵齐次坐标变换所需的逆矩阵中含分母多项式的去除，利用可逆矩阵的性质，即通过除对角线以外的元素，经“+”、“-”号变换后互换位置，得到不含分母多项式的逆矩阵；

对于存在误差状态条件下，体间静止、运动误差特征矩阵齐次坐标变换所需的逆矩阵中含分母多项式的去除，利用倒数将其转换为乘积形式或者采用手动去除分母的方法，实现含分母多项式的去除并简化合并。

第三步，转化经第一、二步处理得到的含参变量表征误差特征矩阵中6个误差项元素⁶E_ij中每项之间的多项乘积相加形式。

首先，将误差特征矩阵E_ij的每个误差项元素⁶E_ij中每项之间的多项乘积相加形式，由数学表征转化为字符串表征；其次，去掉字符串中所包含的空格；然后，依次按照正负号进行分割，并将每个误差项元素中项数和符号分别储存；最后，将⁶E_ij中每项之间的多项乘积相加的数学表征转换为多项乘积相加形式的字符串表征关系。

第四步，判断与舍去第三步得到每个误差项元素⁶E_ij的多项乘积相加形式的字符串表征关系的高阶无穷小；

首先，依据微元特征识别及其指数的判断，若为含多个字符串的元胞数组，则是高阶无穷小；若含单个字符串，则否；其次，对于上述得到的含多个字符串的元胞数组，按照“*”(乘号)、“^”(指数符号)进行分割，且通过微元特征的判断进行循环迭代，得到⁶E_ij中每个误差项元素所包含的每一项微元特征指数，并统计和叠加微元特征的指数；再次，判断微元特征的指数，若微元特征的指数≥2，则舍去该项；若微元特征的指数＜2，则进一步判断符号数和项数是否一致，若一致，则表明第一个符号为负号，则直接一一对应保存；若不一致，则第一项为正号且已省略，并进一步判断是否为第一个符号，若是，则后面项数需将其前一个符号进行保存；然后，将舍去高阶无穷小⁶E_ij'每个误差项元素中分开的项合在一起，得到⁶E_ij'中每个误差项元素的字符串表征形式；最后，将上述得到的结果括号内的字符串视为语句并运行。

进一步地，上述在理想状态条件下，刀具坐标系相对工件坐标系的齐次坐标变换矩阵T_ij，包括体间静止、运动理想特征矩阵，分别记为T_ijp，T_ijs；在误差状态条件下，刀具坐标系相对工件坐标系的齐次坐标变换矩阵ΔT_ij，包括体间静止、运动误差特征矩阵，分别记为ΔT_ijp，ΔT_ijs。

进一步地，上述的特征矩阵中误差项元素由含参变量表征几何误差和几何位移量组成，其中含参变量表征几何误差包括相对转角误差δ_ij、相对位移误差ε_ij、垂直度误差S_ii，i为机床所涉及的直线运动轴，j为机床所涉及的直线运动轴与旋转轴；含参变量表征几何位移量包括X、Y、Z直线导轨轴的位移量x，y，z与沿X、Y、Z轴转动的A、B、C轴的转动量α，β，γ。

进一步地，上述特征矩阵对应的逆矩阵，包括在理想状态下体间静止、运动理想特征矩阵齐次坐标变换所涉及的逆矩阵N^-1，包括拓扑结构一个分支的体间运动理想特征矩阵N₁，拓扑结构另一个分支的体间运动理想特征矩阵N₂；在存在误差状态条件下体间静止、运动误差特征矩阵齐次坐标变换所涉及的逆矩阵为R^-1，包括拓扑结构一个分支的体间运动理想特征矩阵与体间运动误差特征矩阵的齐次坐标变换R₁，拓扑结构另一个分支的体间运动理想特征矩阵与体间运动误差特征矩阵的齐次坐标变换R₂。

进一步地，上述含参变量表征误差特征矩阵，即刀具坐标系与工件坐标系包含几何误差项的变换矩阵，包括未舍去高阶无穷小的误差特征矩阵E_ij、舍去高阶无穷小的误差特征矩阵E_ij'，设误差特征矩阵E_ij为：

式中，η_x,η_y,η_z,P_x,P_y,P_z分别为特征矩阵迭代后刀具坐标系与工件坐标系沿数控机床X、Y、Z轴运动方向的相对位置误差和相对转角误差；含参变量表征误差特征矩阵中6个误差项元素，包括未舍去高阶无穷小误差特征矩阵中6个误差项元素记为⁶E_ij，舍去高阶无穷小误差特征矩阵中6个误差项元素记为⁶E_ij'。

进一步地，上述第四步中，微元特征，是指含有相对转角误差δ_ij、相对位移误差ε_ij和垂直度误差S_ii的参变量特征；含参变量表征误差特征矩阵中6个误差项元素每项之间的多项乘积相加形式，是包括数学表征形式和字符串表征形式。

本发明的有益效果在于，本发明为解决精密机床含参变量表征空间几何误差模型的建立所存在一定理论计算误差的难题，从数学理论基础和数据处理方面，结合引起精密机床建模精度降低及其理论计算误差增大的相关因素，基于小误差假设理论且忽略高阶无穷小，对于体间静止、运动理想特征矩阵以及体间静止、运动误差特征矩阵的迭代求解，提出一种用于提高精密机床空间几何误差模型建模精度的方法；消除了基于小误差假设理论且忽略高阶无穷小的迭代求解精度对其所造成的理论计算误差；实现其建模精度保证在一定数值量级的基础上，达到了实效实用的目的。本方法可拓展应用于超精密机床的精度建模技术中，从理论建模精度方面，实现超精密机床精度的提高，故具有良好的市场应用前景与推广价值。

附图说明

图1一种用于提高精密机床空间几何误差模型建模精度的方法。

图2数控成型磨齿机SKMC-3000/20的运动原理及其拓扑结构。

图中：0床身；1C轴(转台台面)；2工件；3X轴；4Z轴；5A轴；6Y轴；7砂轮。

具体实施方式

现以五联动数控成型磨齿机SKMC-3000/20为实体建模对象进行举例说明，如图2所示，依据多体系统理论和齐次坐标变换方法，基于小误差假设理论且忽略高阶无穷小，针对其含参变量表征几何误差项元素的空间几何误差模型建模精度问题，通过数学理论基础和数据处理分析，提出一种用于提高精密机床空间几何误差模型建模精度的方法。

为方便下述表达，现进行有关定义和相关假设：

1.依据多体系统理论和齐次坐标变换可知，齐次坐标变换矩阵ΔT₂₇相当于在理想状态条件下，砂轮坐标系相对工件齿轮坐标系的齐次坐标变换矩阵T₂₇叠加一个误差特征矩阵E₂₇，则：

E₂₇＝ΔT₂₇·(T₂₇)^-1 (2)

式中，未舍去高阶无穷小的误差特征矩阵E₂₇可以表示为：

基于小误差假设理论且忽略高阶无穷小的误差特征矩阵E₂₇'可以表示为：

2.未舍去高阶无穷小的误差特征矩阵中含参变量表征6个误差项元素为⁶E₂₇，且满足

舍去高阶无穷小的误差特征矩阵中含参变量表征6个误差项元素为⁶E₂₇'，且满足

3.在该成型磨齿机各运动副理想状态条件下，砂轮坐标系相对于工件齿轮坐标系的齐次坐标变换矩阵T₂₇可表示为：

T₂₇＝(T_01s)^-1·T_03s·T_34s·T_45s·T_56s (5)

在该成型磨齿机各运动副存在误差条件下，砂轮坐标系相对于工件齿轮坐标系的齐次坐标变换矩阵ΔT₂₇可表示为：

ΔT₂₇＝(T_01s·ΔT_01s)^-1·(T_03s·ΔT_03s)·(ΔT_34p·T_34s·ΔT_34s)·(T_45s·ΔT_45s)·(ΔT_56p·T_56s·ΔT_56s) (6)

4.设在理想状态下特征矩阵对应的逆矩阵为N^-1，其中令N₁ ^-1＝(T_01s)^-1，N₂ ^-1＝(T_03s·T_34s·T_45s·T_56s)^-1，T_ij ^-1＝((T_01s)^-1·(T_03s·T_34s·T_45s·T_56s))^-1；

设在存在误差状态条件下特征矩阵对应的逆矩阵为R^-1，令R₁ ^-1＝(T_01s·ΔT_01s)^{- 1}R₂ ^-1＝((T_03s·ΔT_03s)·(ΔT_34p·T_34s·ΔT_34s)·(T_45s·ΔT_45s)·(ΔT_56p·T_56s·ΔT_56s))^-1；

一种用于提高精密机床空间几何误差模型建模精度的方法，包括步骤如下：

第一步，对不同条件下特征矩阵所涉及的逆矩阵进行预处理；

在理想状态条件下，由于体间静止、运动理想特征矩阵的逆矩阵N₁ ^-1,N₂ ^-1,T₂₇ ^-1中不含微元特征，即不含相对转角误差(δ_ij)、相对位移误差(ε_ij)和垂直度误差(S_xy,S_zy,S_zx)参变量的特征，其中i＝x,y,z；j＝x,y,z,a,c，首先将拓扑结构一个分支的体间运动理想特征矩阵N₁，依据可逆矩阵的性质得到N₁ ^-1；然后得到砂轮坐标系相对于工件齿轮坐标系的体间静止、运动理想特征矩阵齐次坐标变换矩阵(N₁ ^-1·N₂)(即T₂₇)；最后对其整体直接求解(N₁ ^-1·N₂)^-1(即T₂₇ ^-1)。

在存在误差状态条件下，由于拓扑结构一个分支的体间运动理想特征矩阵与体间运动误差特征矩阵的齐次坐标变换R₁ ^-1，既存在含分母多项式项数的迭代，又存在含微元特征及其高阶无穷小项数的迭代，首先通过C轴的体间运动理想特征矩阵与体间运动误差特征矩阵的齐次坐标变换T_01s·ΔT_01s得到R₁，然后直接求得R₁ ^-1；

第二步，去除逆矩阵中的分母多项式；

对于理想状态条件下，体间静止、运动理想特征矩阵齐次坐标变换所需的逆矩阵中含分母多项式的去除，利用可逆矩阵的性质，即通过除对角线以外的元素，经“+”、“-”号变换后互换位置，得到不含分母多项式的逆矩阵；

对于存在误差状态条件下，体间静止、运动误差特征矩阵齐次坐标变换所需的逆矩阵中含分母多项式的去除，利用倒数将其转换为乘积形式或者采用手动去除分母的方法；

最后，通过Simplify函数，实现含分母多项式的去除并简化合并；

第三步，转化经第一、二步处理得到的含参变量表征误差特征矩阵中6个误差项元素⁶E₂₇中每项之间的多项乘积相加形式；

首先，将误差特征矩阵E₂₇的每个误差项元素⁶E₂₇中每项之间的多项乘积相加形式，由数学表征转化为字符串表征；其次，去掉字符串中所包含的空格；然后，通过Strsplit函数，依次按照“+”、“-”号进行分割，并将每个误差项元素中项数和符号分别进行储存；最后，将⁶E₂₇中每项之间的多项乘积相加的数学表征转换为多项乘积相加形式的字符串表征关系；

第四步，对第三步得到每个误差项元素⁶E₂₇的多项乘积相加形式的字符串表征关系，进行高阶无穷小的判断与舍去；

首先，依据微元特征识别及其指数的判断，若为含多个字符串的Cell，则是高阶无穷小；若含单个字符串，则否；其次，对于上述得到的含多个字符串的Cell，按照“*”(乘号)、“^”(指数符号)进行分割，且通过微元特征的判断进行循环迭代，得到⁶E₂₇中每个误差项元素所包含的每一项微元特征指数，并统计和叠加微元特征的指数；再次，判断微元特征的指数，若微元特征的指数≥2，则舍去该项；若微元特征的指数＜2，则进一步判断符号数和项数是否一致，若一致，则表明第一个符号为负号，则直接一一对应保存；若不一致，则第一项为正号且已省略，并进一步判断是否为第一个符号，若是，则后面项数需将其前一个符号进行保存；然后，将舍去高阶无穷小⁶E₂₇'每个误差项元素中分开的项合在一起，得到⁶E₂₇'中每个误差项元素的字符串表征形式；最后，经Eval函数得到的字符串表征形式作为Matlab求解命令进行运算。

基于上述方法，从而有效的避免了影响建模精度的相关因素所导致的较大的计算量和高阶无穷小难以准确舍去以及难以保证理论计算精度等建模精度问题，通过依据微元特征识别，利用高阶无穷小判断和舍去算法的循环迭代，结合Strsplit函数和几何误差项的微元特征及其指数的统计判断，得到以字符串形式表征的舍去高阶无穷小的空间几何误差模型；然后经Eval函数进行Matlab求解运算；最后以Latex形式导入Mathtype中，得到优化后的含参变量表征几何误差项的空间几何误差模型⁶E₂₇'。

综上所述，以五联动数控成型磨齿机SKMC-3000/20为实体建模对象进行举例说明，与目前求解方法类比，得出对于舍去高阶无穷小的含参变量表征几何误差项元素的空间几何误差模型⁶E₂₇'的建模精度由10^-4～10^-6数值偏差量级(由于相对位置误差和相对转角误差的单位不同，故跨度比较大)提高到10^-8～10^-10数值偏差量级及以上，其中部分几何误差项元素的数值偏差量级达到了与数值迭代结果完全相符。此外，本方法可拓展应用于超精密机床的精度建模技术中，从理论建模精度方面，以有效地提高机床的精度，故具有良好的市场应用前景与推广价值。

Claims (6)

1.一种用于提高精密机床空间几何误差模型建模精度的方法，其特征在于，包括步骤如下：

第一步，对不同条件下特征矩阵所涉及的逆矩阵进行预处理；

在理想状态条件下，由于体间静止、运动理想特征矩阵的逆矩阵中不含微元特征，故首先将拓扑结构一个分支的体间运动理想特征矩阵N₁，依据可逆矩阵的性质得到N₁ ^-1；然后得到刀具坐标系相对于工件坐标系的体间静止、运动理想特征矩阵齐次坐标变换T_ij；最后对T_ij直接求得其逆矩阵(T_ij)^-1；

在存在误差状态条件下，由于拓扑结构一个分支的体间运动理想特征矩阵与体间运动误差特征矩阵的齐次坐标变换既存在含分母多项式项数的迭代，又存在含微元特征及其高阶无穷小项数的迭代，首先通过拓扑结构一个分支的体间运动理想特征矩阵与体间运动误差特征矩阵的齐次坐标变换得到R₁，然后直接求得

第二步，去除逆矩阵中的分母多项式；

对于理想状态条件下，体间静止、运动理想特征矩阵齐次坐标变换所需的逆矩阵中含分母多项式的去除，利用可逆矩阵的性质，即通过除对角线以外的元素，经“+”、“-”号变换后互换位置，得到不含分母多项式的逆矩阵；

对于存在误差状态条件下，体间静止、运动误差特征矩阵齐次坐标变换所需的逆矩阵中含分母多项式的去除，利用倒数将其转换为乘积形式或者采用手动去除分母的方法，实现含分母多项式的去除并简化合并；

第三步，转化经第一、二步处理得到的含参变量表征误差特征矩阵中6个误差项元素⁶E_ij中每项之间的多项乘积相加形式；

首先，将误差特征矩阵E_ij的每个误差项元素⁶E_ij中每项之间的多项乘积相加形式，由数学表征转化为字符串表征；其次，去掉字符串中所包含的空格；然后，依次按照正负号进行分割，并将每个误差项元素中项数和符号分别储存；最后，将⁶E_ij中每项之间的多项乘积相加的数学表征转换为多项乘积相加形式的字符串表征关系；

第四步，判断与舍去第三步得到每个误差项元素⁶E_ij的多项乘积相加形式的字符串表征关系的高阶无穷小；

首先，依据微元特征识别及其指数的判断，若为含多个字符串的元胞数组，则是高阶无穷小；若含单个字符串，则否；其次，对于上述得到的含多个字符串的元胞数组，按照“*”(乘号)、“^”(指数符号)进行分割，且通过微元特征的判断进行循环迭代，得到⁶E_ij中每个误差项元素所包含的每一项微元特征指数，并统计和叠加微元特征的指数；再次，判断微元特征的指数，若微元特征的指数≥2，则舍去该项；若微元特征的指数＜2，则进一步判断符号数和项数是否一致，若一致，则表明第一个符号为负号，则直接一一对应保存；若不一致，则第一项为正号且已省略，并进一步判断是否为第一个符号，若是，则后面项数需将其前一个符号进行保存；然后，将舍去高阶无穷小⁶E_ij'每个误差项元素中分开的项合在一起，得到⁶E_ij'中每个误差项元素的字符串表征形式；最后，将上述得到的结果括号内的字符串视为语句并运行。

2.根据权利要求1所述的用于提高精密机床空间几何误差模型建模精度的方法，其特征在于，在理想状态条件下，刀具坐标系相对工件坐标系的齐次坐标变换矩阵T_ij，包括体间静止、运动理想特征矩阵，分别记为T_ijp，T_ijs；在误差状态条件下，刀具坐标系相对工件坐标系的齐次坐标变换矩阵ΔT_ij，包括体间静止、运动误差特征矩阵，分别记为ΔT_ijp，ΔT_ijs。

3.根据权利要求1所述的用于提高精密机床空间几何误差模型建模精度的方法，其特征在于，特征矩阵中误差项元素由含参变量表征几何误差和几何位移量组成，其中含参变量表征几何误差包括相对转角误差δ_ij、相对位移误差ε_ij、垂直度误差S_ii，i为机床所涉及的直线运动轴，j为机床所涉及的直线运动轴与旋转轴；含参变量表征几何位移量包括X、Y、Z直线导轨轴的位移量x，y，z与沿X、Y、Z轴转动的A、B、C轴的转动量α，β，γ。

4.根据权利要求1所述的用于提高精密机床空间几何误差模型建模精度的方法，其特征在于，所述的特征矩阵对应的逆矩阵，包括在理想状态下体间静止、运动理想特征矩阵齐次坐标变换所涉及的逆矩阵N^-1，包括拓扑结构一个分支的体间运动理想特征矩阵N₁，拓扑结构另一个分支的体间运动理想特征矩阵N₂；在存在误差状态条件下体间静止、运动误差特征矩阵齐次坐标变换所涉及的逆矩阵为R^-1，包括拓扑结构一个分支的体间运动理想特征矩阵与体间运动误差特征矩阵的齐次坐标变换R₁，拓扑结构另一个分支的体间运动理想特征矩阵与体间运动误差特征矩阵的齐次坐标变换R₂。

5.根据权利要求1所述的用于提高精密机床空间几何误差模型建模精度的方法，其特征在于，含参变量表征误差特征矩阵，即刀具坐标系与工件坐标系包含几何误差项的变换矩阵，包括未舍去高阶无穷小的误差特征矩阵E_ij、舍去高阶无穷小的误差特征矩阵E_ij'，设误差特征矩阵E_ij为：

式中，η_x,η_y,η_z,P_x,P_y,P_z分别为特征矩阵迭代后刀具坐标系与工件坐标系沿数控机床X、Y、Z轴运动方向的相对位置误差和相对转角误差；含参变量表征误差特征矩阵中6个误差项元素，包括未舍去高阶无穷小误差特征矩阵中6个误差项元素记为⁶E_ij，舍去高阶无穷小误差特征矩阵中6个误差项元素记为⁶E_ij'。

6.根据权利要求1所述的用于提高精密机床空间几何误差模型建模精度的方法，其特征在于，所述第四步中，微元特征，是指含有相对转角误差δ_ij、相对位移误差ε_ij和垂直度误差S_ii的参变量特征；含参变量表征误差特征矩阵中6个误差项元素每项之间的多项乘积相加形式，是包括数学表征形式和字符串表征形式。