CN110955979B - 一种考虑几何误差偏相关性的机床加工精度可靠性灵敏度分析方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种考虑几何误差偏相关性的机床加工精度可靠性灵敏度分析方法，属于机床精度设计领域。具体内容为四轴高精密卧式加工中心的误差建模方法，加工中心的可靠性计算及可靠性灵敏度分析模型。应用多体建模技术表示加工精度与各个误差的非线性关系。基于误差单独作用时和误差间的非线性相关关系，提出一种新的计算机床加工精度可靠性及其可靠性灵敏度方法，其灵敏度分析结果可为机床的设计，装配和加工提供参照，可有效提高机床在运行过程中的可靠性。
Description
技术领域
本发明涉及一种考虑几何误差偏相关性的机床加工精度可靠性灵敏度分析方法，属于机床精度设计领域。
背景技术
数控机床作为现代工业发展的重要载体和一切生产机器的母机，其工作性能的优劣一直是各国工程师关注的焦点。而精度是评价机床工作性能的关键参数。机床的精度主要表现为：加工精度、定位精度和重复定位精度，其中加工精度则是机床的最终追求。机床的加工精度受诸多因素的影响，如机床的电主轴在工作过程中由于轴承摩擦生热导致电主轴的轴向热伸长，以及由于轴承相对环位移的热变化引起的主轴径向线性热误差和角热误差，而主轴的热变形将会直接影响刀具加工点的轨迹。此外经过长时间的运行，机床滑块与导轨的接触面会产生明显的磨损。随着Abbe误差的增加，这种磨损会降低机床的精度。这两种误差约占加工总误差的50-70％，其中的几何误差约占加工总误差的40％。因此研究如何降低几何误差对加工精度的影响，是提高加工质量的重要途径。
为定量描述加工精度与几何误差间的关系，必须构建机床这一复杂系统的精度模型，对此许多学者进行了大量的研究。目前，应用最为广泛的为基于旋量理论和MBS两种方法建模。在本发明中，选择MBS系统理论对所选机床进行综合误差建模，模型显示出加工精度与几何误差间的非线性复杂关系。
机床必须保持对产品质量控制的准确性。随着工作时间的延长，诸多因素如：几何误差、热误差、刀具磨损、环境温度和振动等都会降低机床保持其加工精度的能力，甚至会发生故障而停止工作。本文将这种能力定义为机床加工精度可靠性。即在规定的时间和工况下，机床能够正常工作，达到工件所要求的加工精度的能力。为了实现对生产过程的有效控制，有很多学者在提高机床可靠性方面做了许多研究。
但在大多数对机床可靠性评价的研究中，没有考虑到机床在多工况下，使其加工精度可靠性降低的几何误差是相互影响的。对于作为高度非线性串联系统数控机床来说，几何误差间也存在着非线性相关关系，因此以往的评价结果较为局限，与实际情况偏差较大。针对这一问题，本发明基于改进的结构可靠性中均值一次二阶矩法，提出了一种新的机床加工精度可靠性数学模型。并根据误差的分布形式和数字特征，引入偏相关系数来衡量几何误差间的相关性，使计算结果更接近真实值。
基于上述模型可计算机床在运行过程中的加工精度可靠性，其值可作为评价机床工作性能的优劣。为提高机床的可靠性，必须对几何误差进行灵敏度分析，来辨识出对其影响较大的关键性几何误差，以便于技术人员有针对性的进行控制。灵敏度分析(SA)是一种识别并量化复杂模型输入与输出间的不确定性关系，按照分析区域，可分为局部灵敏度和全局灵敏度。
本发明中，从局部和全局出发，分别提出两种加工精度可靠性灵敏度数学模型。利用功能函数对几何误差直接求偏导数并带入误差均值，计算影响加工精度可靠性的几何误差局部灵敏度系数；通过改进JC法中计算结构可靠性灵敏度的迭代公式，并引入上述偏相关系数，提出了机床加工精度可靠性的全局灵敏度数学模型。
发明内容
本发明提出一种考虑几何误差偏相关性的机床加工精度可靠性灵敏度分析方法，其特征在于：
1)针对四轴卧式机床中工作台绕Y轴转动的运动方式，结合多体系统理论构建机床B轴方向的齐次变换特征矩阵和其余X、Y、Z轴方向变换矩阵。
2)针对机床几何误差彼此间复杂的耦合性，非线性特点，引入偏相关系数去判定两个误差间的相关性，并对结构可靠度中的均值一次二阶矩法进行改进，二者结合提出一种机床加工精度可靠性分析方法。
3)为综合分析机床几何误差，现从局部和全局考虑，提出了两种误差灵敏度分析方法，通过综合比较分析结果，辨识出影响加工精度可靠性的关键性几何误差。
图1为本发明方法的流程图，一种考虑几何误差偏相关性的机床加工精度可靠性灵敏度分析方法，该方法的实现过程如下：
步骤1分析机床拓扑结构，并建立机床综合体积误差模型；
应用多体系统理论，由机床的结构示意图抽象出机床的拓扑结构，并采用低序体阵列加以描述，同时分析拓扑结构中各个体之间的自由度。在机床每个个体上建立广义坐标，利用齐次坐标变换特征矩阵表示多体间运动的相互关系。
步骤1.1建立机床的拓扑结构；
根据多体系统理论，机床各部分简化为几个任意经典体。其拓扑结构为双绞线形式，一支为床身-滑座-主轴箱-刀具，另一支为床身-转台-工件。将固定于地基不动的床身和固联在床身上静止不动的立柱设为惯性体，标号为B0体，滑座为B1体，按照机床的结构形式，沿着远离B0、B1体的方向依次进行编号。
步骤1.2建立低序体阵列和自由度表；
利用低序体阵列更为简单直观地描述机床的拓扑结构，表达多体系统各个结构件的运动联系。分析多体系统各部分之间的自由度，为特征矩阵建立提供参照。
步骤1.3建立机床的运动特征矩阵；
在机床相邻经典体上建立特殊的直角坐标系，对该直角坐标系进行如下设置：
(1)直角坐标系是直接固定联接在惯性体和所有运动部件上，这些坐标系的集合为广义坐标系。在广义坐标系中，各个典型体上的坐标系为子坐标系，其中也称惯性体上的坐标系为参考坐标系，其它运动体上的坐标系为动坐标系。
(2)每个坐标系均有3个正交轴，按右手法则命名为X、Y、Z轴。
由多体系统理论和设置的广义坐标系，所选机床各相邻体之间的运动用4×4齐次坐标变换矩阵加以描述。表1给出了机床所有几何误差的表示符号及其物理意义。表2为所选机床B轴的有误差相对运动时的理想运动特征矩阵和误差矩阵。
表1几何误差的表示符号及物理意义
表2机床B轴运动特征矩阵
其中：
Kij表示典型体Bj相对于Bi的理想运动特征矩阵；
ΔKij表示典型体Bj相对于Bi的运动误差特征矩阵；
B表示工作台绕Y轴转动的角度；
各参数的误差物理意义在表1中列出。
步骤1.4建立机床体积误差模型；
设刀具成型点在刀具坐标系中的坐标为：
Pt＝(ptx pty ptz 1)T (1)
设工件成型点在工件坐标系中的坐标为：
Pw＝(pwx pwy pwz 1)T (2)
机床在没有误差的理想状态下工作时，则工件成形点在刀具坐标系中的理想坐标为：
表示刀具分支相邻体间理想运动特征矩阵；
表示工件分支相邻体间理想运动特征矩阵；
在实际情况下，工件成形点在刀具坐标系中的实际坐标为：
表示刀具分支相邻体间实际运动特征矩阵；
表示工件分支相邻体间实际运动特征矩阵；
机床总误差矩阵为：
E＝Ptideal-Ptactual (5)
其中E为机床综合体积误差模型，建立机床的体积误差模型。
E＝E(G，Pw，H) (6)
其中：
E＝[Ex，Ey，Ez，0]T表示机床三个方向上的体积误差矢量；
H＝[x，y，z，B]T，其中x，y，z表示机床进给轴在三个方向的位置向量；B表示B轴或工件转过的角度。
G＝[g1，g2，…，g30]T表示由机床的30项几何误差组成的矢量，并令Δxx，Δyx，…，ΔzBy＝g1，g2，…，g30；
步骤2几何误差测量数据与数字特征分析；
步骤2.1机床几何误差数据测量方法；
在重点研究几何误差对机床的影响时，Pw和H假设为没有误差，设为已知常量，只考虑30项几何误差。由机床在X、Y、Z三个方向上进给轴的运行轨迹组成的加工空间，看成一个空间长方体，在长方体的三条体对角线上取点，每条对角线均匀的选取9个点，共选取33个测量点，每个测量点采用XD激光测量系统测量100次。
步骤2.2几何误差数据统计与概率特征分析；
对所测得的数据进行多次拟合，得到各项误差大致的概率分布，以某点为例，采用三次方拟合和正态拟合方法对某项误差测得数据进行概率统计分析。结果表明，在残差可接受范围内认为其分布形式为正态分布。实际上，对其它误差进行分析可得，每个与位置相关的几何误差均属于正态分布。
对于n维服从正态分布彼此相关的机床几何误差G＝[g1，g2，…，g30]T来说，其概率密度函数为：
式中，CG＝为几何误差G的协方差矩阵，|CG|为协方差矩阵的行列式；CG -1为协方差矩阵的逆矩阵；μG＝(μg1，μg2……，μg30)T为误差的均值向量；令μgi和σgi分别表示几何误差的均值和标准差，表示其方差，Cov(g2，g1)表示两个误差间协方差。由协方差矩阵CG，利用下式：
即令协方差矩阵中每一个元素除以对应两个相关元素的标准差。由此得到误差间的简单相关系数矩阵为Ρgi，gj。
步骤2.3几何误差相关性分析；
几何误差是造成数控机床加工精度降低的重要原因，几何误差相关性客观存在。偏相关分析是在控制某两个变量以外的其他变量对它们的影响之后，计算这两个变量之间的相关关系。针对机床几何误差来源的复杂性、不确定性特点，选择偏相关系数更能深刻地反映了误差间的本质联系，因此引用偏相关系数衡量误差间的相关性。
步骤3机床加工精度可靠性分析
步骤3.1构造功能函数
机床中心的综合体积误差模式表示为：
E＝[E(G)x，E(G)y，E(G)z，0]T (9)
机床在三个方向的最大允许误差矩阵为B＝[δx δy δz 0]T＝[-0.015 0.0150.010 0]T，则机床功能函数为：
步骤3.2机床加工精度可靠性分析
基于结构可靠度中均值一次二阶矩法，在充分考虑误差间的相关关系和机床系统的非线性后，引入偏相关系数对其原有公式进行改进。以X轴为例，计算X轴可靠度数学模型为：
Prx＝Φ(βx) (12)
式中，βx表示X轴加工精度可靠度指标，Prx为X轴加工精度可靠度，Φ(·)为正态变量的累积函数，Fx(μg1，μg2，μg3，…，μgn)表示将各误差项的均值带入功能函数中，表示X方向功能函数对某一误差求偏导数得到的函数，并带入各误差的均值，/>表示机床几何误差的偏相关系数，/>计算步骤如下：
首先对误差间简单相关系数矩阵求逆矩阵，记作Ρgi，gj -1，逆矩阵中每一个元素记为Pi，j,则几何误差的偏相关系数为：
根据提出的加工精度可靠性模型，结合各测点几何误差的分布特征，得到各测点在X、Y、Z三轴上的加工精度可靠性。
步骤4机床加工精度可靠度灵敏度分析；
步骤4.1机床几何误差局部灵敏度分析；
由于机床的6个单元间几何误差在机床制造、装配过程中人为控制，在这里只考虑与机床位置有关的24项几何误差。
机床单点处各项几何误差均值对加工精度可靠性局部灵敏度分析公式：
利用上述方法得到各测试点的加工精度可靠度局部灵敏度分析结果，然后利用加权平均法对整个工作空间进行灵敏度分析。
步骤4.2机床几何误差全局灵敏度分析；
机床单点处各项几何误差均值对加工精度可靠性全局灵敏度分析公式：
由此得到各测试点的加工精度可靠性全局灵敏度分析结果，然后利用加权平均法对整个工作空间进行灵敏度分析。
αwi，part：某测量点处第i项几何误差均值对机床w(＝x、y、z)方向上加工精度可靠性的局部灵敏度系数；
αwi，global：某测量点处第i项几何误差均值对机床w(＝x、y、z)方向上加工精度可靠性的全局灵敏度系数；
与现有技术相比较，本方法的优点在于：针对机床工作时受到人为和磨损、振动等复杂自然环境的影响，引起机床加工精度下降的几何误差间复杂的耦合关系，在引入偏相关系数的基础上，发明一种机床加工精度可靠性分析方法。分析结果更接近实际加工情况。此外，综合比较几何误差的局部灵敏度和全局灵敏度分析结果，灵敏度系数较大的为对机床加工精度可靠性影响较大的关键性几何误差，是主要误差；灵敏度系数较小的为对机床加工精度可靠性影响很小，为次要误差。专业技术人员可依据分析结果对机床主要误差进行修正，直接提高机床的可靠性，保证加工产品的质量。
附图说明
图1机床加工精度可靠性灵敏度分析法流程图。
图2高精密卧式加工中心结构简图，图中：B0-床身+立柱；B1-滑座；B2-主轴箱；B3-刀具；B4-静压转台；B5-工件。
图3高精密卧式加工中心拓扑图。
图4机床几何误差数据拟合。
图5单测量点处可靠性局部灵敏度分析。
图6整个工作空间内可靠性的局部灵敏度分析。
图7单测量点处可靠性全局灵敏度分析。
图8整个工作空间内可靠性的全局灵敏度分析。
具体实施方式
结合附图说明本发明的具体实施方式。
本发明以四轴高精密卧式加工中心为例，对上述提出的机床加工精度可靠性灵敏度分析方法经行验证。
具体步骤如下：
步骤1基于多体建模理论建立机床的体积误差模型
基于多体系统理论，由机床的结构示意图抽象出机床的拓扑结构，并采用低序体阵列加以描述，同时分析拓扑结构中各个体之间的自由度。在机床每个个体上建立广义坐标，利用齐次坐标变换特征矩阵表示多体间运动的相互关系。图2高精密卧式加工中心结构简图。
步骤1.1建立机床的拓扑结构
基于多体系统理论，机床各部分可简化为几个任意经典体。拓扑结构为双绞线形式，一支为床身-滑座-主轴箱-刀具，另一支为床身-转台-工件。将固定于地基不动的床身和固联在床身上静止不动的立柱设为惯性体，标号为B0体，滑座为B1体，按照机床的结构形式，沿着远离B0、B1体的方向依次进行编号。机床拓扑结构如图3所示。
步骤1.2建立低序体阵列和自由度表
利用低序体阵列更为简单直观地描述机床的拓扑结构，可清晰表达多体系统各个结构件的运动联系。分析多体系统各部分之间的自由度，可为特征矩阵建立提供参照。该方法所研究机床的低序体阵列如表3所示。多体系统各部分之间的自由度如表4所示，其中“0”表示无自由度，“1”表示单自由度。
表3多体系统各阶低序体阵列
| 典型体j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| L0(j) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| L1(j) | 0 | 1 | 2 | 0 | 4 | 5 |
| L2(j) | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 4 |
| L3(j) | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
表4精密卧式加工中心的自由度
| 相邻体 | X | Y | Z | α | β | γ |
| 0—1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1—2 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 2—3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0—4 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 4—5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
步骤1.3建立机床的特征矩阵
在机床相邻经典体上建立特殊的直角坐标系，对坐标系进行如下设置：
(1)直角坐标系是直接固定联接在惯性体和所有运动部件上的，这些坐标系的集合为广义坐标系。在广义坐标系中，各个典型体上的坐标系为子坐标系，其中也称惯性体上的坐标系称为参考坐标系，其它运动体上的坐标系称为动坐标系。
(2)每个坐标系均有3个正交轴，按右手法则命名为X、Y、Z轴。
基于MBS理论和设置的广义坐标系，所选机床各相邻体之间的运动可用4×4齐次坐标变换矩阵加以描述。表5为机床相邻体有误差相对运动时的理想运动特征矩阵和误差矩阵。
表5加工中心理想运动特征矩阵和误差矩阵
其中：
Kij表示典型体Bj相对于Bi的理想运动特征矩阵；
ΔKij表示典型体Bj相对于Bi的运动误差特征矩阵；
xij表示沿X轴运动距离；
yij表示沿Y轴运动距离；
zij表示沿Z轴运动距离；
B表示工作台绕Y轴转动的角度；
其它误差物理意义在表1中列出。
步骤1.4建立机床体积误差模型
设刀具成型点在刀具坐标系中的坐标为：
Pt＝(ptx pty ptz 1)T (1)
设工件成型点在工件坐标系中的坐标为：
Pw＝(pwx pwy pwz 1)T (2)
机床在没有误差的理想状态下工作时，刀具成形点与工件成形点将会在加工空间内重合。基于此，给出理想状态下的运动约束方程：
K03Pt＝K05Pw (3)
其中，P和S分别表示静态和动态，K03表示刀具分支的理想状态下齐次变换矩阵，K05表示工件分支的理想状态下齐次变换矩阵，将其展开为以下形式：
则工件成形点在刀具坐标系中的理想坐标为：
在实际情况下，由于几何误差的存在，刀具的运行轨迹会偏离指令指定的理想位置点，因此加工精度最终与机床的刀具成形点与工件成形点之间的相对位移误差有关，给出实际状态下的运动约束方程为[29]：
EK03Pt＝EK05Pw (6)
其中，EK03表示刀具分支的实际状态下齐次变换矩阵，EK05表示工件分支的实际状态下齐次变换矩阵：
则工件成形点在刀具坐标系中的实际坐标为：
由以上各式总误差矩阵为：
E＝Ptideal-Ptactual (10)
其中E表示在刀具坐标系中工件成形点的理想坐标与实际坐标的偏差，即为综合体积误差模型。通过测量该模型的几何误差，可计算出该机床的体积误差。同时可建立机床的一般体积误差模型。
E＝E(G，Pw，H) (11)
在式中，E＝[Ex，Ey，Ez，0]T表示机床3个方向上的体积误差矢量，H＝[x，y，z，B]T，其中x，y，z表示机床进给轴在三个方向的位置向量，B表示B轴或工件转过的角度。G＝[g1，g2，…，g30]T表示由机床的30项几何误差组成的矢量,并令Δxx，Δyx，…，ΔzBy＝g1，g2，…，g30。
步骤2几何误差测量数据与数字特征分析
步骤2.1四轴高精密数控机床几何误差数据测量方法
在重点研究几何误差对机床的影响时，Pw和H假设为没有误差，应设为已知常量，只考虑30项几何误差。由机床在X、Y、Z三个方向上进给轴的运行轨迹组成的加工空间，可看成一个空间长方体，可采用九线法在长方体的三条体对角线上，每条对角线均匀的选取9个点，共选取33个测量点，每个测量点采用XD激光测量系统测量100次。
步骤2.2几何误差数据统计与概率特征分析
对所测得的数据进行多次拟合，可得到各项误差大致的概率分布，以(200,250,250)测量点为例，采用三次方拟合和正态拟合方法对Δxx(＝g1)测得数据进行概率统计分析，拟合结果如图4所示。结果表明，在残差可接受范围内认为其分布形式大致为正态分布。实际上，对其它误差进行分析可得，每个与位置相关的几何误差均属于正态分布。由测量数据可得出各项几何误差的均值和方差，如表6所示。
表6各误差的数字特征
| 序号 | 误差项 | 均值(mm) | 方差(mm2) |
| 1 | Δxx | 4.153e-03 | 4.980e-07 |
| 2 | Δyx | 3.937e-03 | 6.390e-07 |
| 3 | Δzx | 3.891e-03 | 1.500e-06 |
| 4 | Δαx | 2.529e-06 | 9.610e-13 |
| 5 | Δβx | 2.675e-06 | 2.050e-12 |
| 6 | Δγx | 2.469e-06 | 2.950e-12 |
| 7 | Δxy | 4.022e-03 | 2.890e-06 |
| 8 | Δyy | 3.730e-03 | 3.950e-06 |
| 9 | Δzy | -4.496e-03 | 5.320e-06 |
| 10 | Δαy | -2.671e-06 | 4.290e-12 |
| 11 | Δβy | -2.401e-06 | 5.720e-12 |
| 12 | Δγy | -2.198e-06 | 4.530e-12 |
| 13 | Δxz | 3.862e-03 | 2.590e-06 |
| 14 | Δyz | 3.910e-03 | 1.570e-06 |
| 15 | Δzz | 3.639e-03 | 1.260e-05 |
| 16 | Δαz | 1.931e-06 | 5.350e-12 |
| 17 | Δβz | 2.885e-06 | 1.790e-11 |
| 18 | Δγz | 2.667e-06 | 9.200e-12 |
| 19 | ΔxB | 5.780e-03 | 2.190e-06 |
| 20 | ΔyB | 5.866e-03 | 9.680e-07 |
| 21 | ΔzB | 6.218e-03 | 2.740e-06 |
| 22 | ΔαB | 5.671e-06 | 4.420e-12 |
| 23 | ΔβB | 3.221e-05 | 6.080e-12 |
| 24 | ΔγB | 7.084e-06 | 9.080e-12 |
| 25 | Δγxy | 8.653e-06 | 2.100e-11 |
| 26 | Δβxz | 6.526e-06 | 7.050e-11 |
| 27 | Δαyz | 6.722e-06 | 1.110E-10 |
| 28 | ΔγyB | 3.512e-05 | 2.570e-09 |
| 29 | ΔαyB | 2.223e-05 | 1.670e-09 |
| 30 | ΔzBy | 5.165e-03 | 2.640e-06 |
对于n维服从正态分布彼此相关的机床几何误差G＝[g1，g2，…，g30]T来说，其概率密度函数为：
式中，CG为几何误差G的协方差矩阵，|CG|为协方差矩阵的行列式；CG -1为协方差矩阵的逆矩阵；μG＝(μg1，μg2……，μg30)T为误差的均值向量；令μgi和σgi分别表示几何误差的均值和标准差，表示其方差，Cov(g2，g1)表示两个误差间协方差。由协方差矩阵CG，利用下式：
步骤2.3几何误差相关性分析
几何误差是造成数控机床加工精度降低的重要原因，几何误差相关性客观存在。偏相关分析是在控制某两个变量以外的其他变量对它们的影响之后，计算这两个变量之间的相关关系。针对机床几何误差来源的复杂性、不确定性特点，选择偏相关系数更能深刻地反映了误差间的本质联系。因此本研究主要引用偏相关系数衡量误差间的相关性
步骤3机床加工精度可靠性分析
步骤3.1构造功能函数
机床中心的综合体积误差模式可以表示为：
E＝[E(G)x，E(G)y，E(G)z，0]T (14)
机床在三个方向的最大允许误差矩阵为B＝[δx δy δz 0]T＝[-0.015 0.0150.010 0]T，则机床功能函数为：
步骤3.2机床加工精度可靠性分析
本研究基于结构可靠度中均值一次二阶矩法，在充分考虑误差间的相关关系和机床系统的非线性后，引入偏相关系数对其原有公式进行改进。以X轴为例，计算X轴可靠度数学模型为：
Prx＝Φ(βx) (17)
式中，βX表示X轴加工精度可靠度指标，Prx为X轴加工精度可靠度,Φ(·)为正态变量的累积函数，Fx(μg1，μg2，μg3，…，μgn)表示将各误差项的均值带入功能函数中，表示X方向功能函数对某一误差求偏导数得到的函数，并带入各误差的均值，/>表示机床几何误差的偏相关系数，/>计算步骤如下：
首先对上述的误差间简单相关系数矩阵求逆矩阵，记作Ρgi，gj -1，逆矩阵中每一个元素记为Pi，j,则几何误差的偏相关系数为：
/>
基于上述提出的加工精度可靠性模型，结合各测点几何误差的分布特征，可以得到各测点在X、Y、Z三轴上的加工精度可靠性。各测量点可靠性计算结果如表7所示。
表7各测量点可靠度值
步骤4机床加工精度可靠度灵敏度分析
步骤4.1机床几何误差局部灵敏度分析
机床单点处各项几何误差均值对加工精度可靠性局部灵敏度分析公式：
通过上述公式，(200,250,250)测量点处局部灵敏度分析结果如表8所示。为了便于分析，计算结果用柱状图表示，如图5所示。利用上述方法可以得到各测试点的加工精度可靠度局部灵敏度分析结果，然后利用加权平均法对整个工作空间进行灵敏度分析，分析结果如图6所示。
步骤4.2机床几何误差全局灵敏度分析
机床单点处各项几何误差均值对加工精度可靠性全局灵敏度分析公式：
通过上述公式，(200,250,250)测量点处全局灵敏度分析结果如表9所示。图7为柱状图表示结果。利用上述方法可以得到各测试点的加工精度可靠性全局灵敏度分析结果，然后利用加权平均法对整个工作空间进行灵敏度分析，分析结果如图8所示。
αwi，part：测量点处第i项几何误差均值对机床w(＝x、y、z)方向上加工精度可靠性的局部灵敏度系数；
αwi，global：测量点处第i项几何误差均值对机床w(＝x、y、z)方向上加工精度可靠性的全局灵敏度系数；
表8单点(200,250,250)处可靠性局部灵敏度分析结果
/>
表9单点(200,250,250)处可靠性全局灵敏度分析结果
| 序号 | 几何误差项 | X轴 | Y轴 | Z轴 |
| 1 | Δxx | 2.019e-01 | 2.284e-06 | 2.909e-08 |
| 2 | Δyx | 2.000e-06 | 2.841e-01 | 1.668e-08 |
| 3 | Δzx | 1.213e-07 | 7.939e-08 | 2.330e-01 |
| 4 | Δαx | 1.004e-08 | 3.041e-03 | 2.185e-02 |
| 5 | Δβx | 4.176e-03 | 4.063e-08 | 1.938e-02 |
| 6 | Δγx | 5.063e-02 | 3.270e-02 | 9.214e-09 |
| 7 | Δxy | 1.639e-01 | 4.565e-07 | 2.070e-07 |
| 8 | Δyy | 3.866e-07 | 2.229e-01 | 2.471e-07 |
| 9 | Δzy | 1.966e-06 | 2.772e-06 | 4.308e-01 |
| 10 | Δαy | 5.182e-08 | 5.441e-03 | 1.342e-02 |
| 11 | Δβy | 1.538e-02 | 5.022e-07 | 7.139e-02 |
| 12 | Δγy | 2.406e-02 | 4.527e-02 | 1.978e-08 |
| 13 | Δxz | 7.518e-08 | 4.921e-08 | 1.444e-01 |
| 14 | Δyz | 2.735e-06 | 3.885e-01 | 1.107e-06 |
| 15 | Δzz | 3.311e-06 | 4.607e-06 | 2.786e-01 |
| 16 | Δαz | 4.346e-06 | 1.721e-01 | 2.637e-01 |
| 17 | Δβz | 8.225e-02 | 1.450e-06 | 3.144e-02 |
| 18 | Δγz | 1.387e-01 | 3.462e-02 | 5.550e-07 |
| 19 | ΔxB | 8.103e-02 | 2.965e-06 | 3.895e-07 |
| 20 | ΔyB | 5.123e-06 | 2.250e-01 | 2.897e-06 |
| 21 | ΔzB | 2.356e-06 | 1.014e-05 | 1.356e-01 |
| 22 | ΔαB | 2.346e-07 | 6.129e-02 | 9.387e-02 |
| 23 | ΔβB | 9.180e-02 | 7.352e-07 | 3.509e-02 |
| 24 | ΔγB | 3.630e-01 | 9.060e-02 | 2.912e-06 |
由机床的加工精度可靠性灵敏度分析结论：
1)在考虑几何误差独立作用时。由图5和图6可知，各个测量点的局部灵敏度分析结果相同，对机床加工精度可靠度影响最大为Δαx，Δγx，Δγy，Δγz和ΔγB的均值，而对机床加工精度可靠度影响较为次之的是Δαz，ΔαB的均值。
2)在考虑几何误差复杂的相关性，即综合考虑几何误差彼此相互作用时。由图7可知，在测量点(200,250,250)处，对机床加工精度可靠度影响最大为Δzy，Δyz，ΔγB的均值。但是，正如图8所示，对于整个工作工作空间而言，
对机床加工精度可靠度影响最大为Δyy，Δyz和Δzz的均值。
综上所述，对机床加工精度可靠性影响较大的为Δαx，Δγx，Δγy，Δγz，ΔγB，yy，Δyz和Δzz，应对这8项几何误差进行严格控制。
Claims (2)
1.一种考虑几何误差偏相关性的机床加工精度可靠性灵敏度分析方法，其特征在于：该方法的实现过程如下：
步骤1分析机床拓扑结构，并建立机床综合体积误差模型
应用多体系统理论，由机床的结构示意图抽象出机床的拓扑结构，并采用低序体阵列加以描述，同时分析拓扑结构中各个体之间的自由度；在机床每个个体上建立广义坐标，利用齐次坐标变换特征矩阵表示多体间运动的相互关系；
步骤1.1建立机床的拓扑结构
根据多体系统理论，机床各部分简化为几个任意经典体；经典体的拓扑结构为双绞线形式，一支为床身-滑座-主轴箱-刀具，另一支为床身-转台-工件；将固定于地基不动的床身和固联在床身上静止不动的立柱设为惯性体，标号为B0体，滑座为B1体，按照机床的结构形式，沿着远离B0、B1体的方向依次进行编号；
步骤1.2建立低序体阵列和自由度表
利用低序体阵列更为简单直观地描述机床的拓扑结构，表达多体系统各个结构件的运动联系；分析多体系统各部分之间的自由度，为特征矩阵建立提供参照；
步骤1.3建立机床的运动特征矩阵
在机床相邻经典体上建立特殊的直角坐标系，对坐标系进行如下设置：
(1)直角坐标系是直接固定联接在惯性体和所有运动部件上的，这些坐标系的集合为广义坐标系；在广义坐标系中，各个典型体上的坐标系为子坐标系，惯性体上的坐标系称为参考坐标系，运动体上的坐标系称为动坐标系；
(2)每个坐标系均有3个正交轴，按右手法则命名为X、Y、Z轴；
步骤2几何误差测量数据与数字特征分析
步骤2.1机床几何误差数据测量方法
Pw和H假设为没有误差，设为已知常量，只考虑30项几何误差；由机床在X、Y、Z三个方向上进给轴的运行轨迹组成的加工空间，看成一个空间长方体，在长方体的三条体对角线上取点，每条对角线均匀的选取9个点，共选取33个测量点，每个测量点采用XD激光测量系统测量100次；
步骤2.2几何误差数据统计与概率特征分析
对所测得的数据进行多次拟合，可得到各项误差大致的概率分布，采用三次方拟合和正态拟合方法对某项误差测得数据进行概率统计分析；残差分布形式为正态分布；
对于n维服从正态分布彼此相关的机床几何误差G＝[g1,g2,…,g30]T来说，其概率密度函数为：
式中，CG为几何误差G的协方差矩阵，|CG|为协方差矩阵的行列式；CG -1为协方差矩阵的逆矩阵；μG＝(μg1,μg2……,μg30)T为误差的均值向量；令μgi和σgi分别表示几何误差的均值和标准差，表示其方差，Cov(g2,g1)表示两个误差间协方差；由协方差矩阵CG，利用下式：
即令协方差矩阵中每一个元素除以对应两个相关元素的标准差；由此可得到误差间的简单相关系数矩阵为Ρgi,gj；
步骤2.3几何误差相关性分析
步骤3机床加工精度可靠性分析
步骤3.1构造功能函数
机床中心的综合体积误差模式表示为：
E＝[E(G)x,E(G)y,E(G)z,0]T (9)
机床在三个方向的最大允许误差矩阵为B＝[δx δy δz0]T＝[-0.015 0.015 0.010 0]T，则机床功能函数为：
步骤3.2机床加工精度可靠性分析
基于结构可靠度中均值一次二阶矩法，在充分考虑误差间的相关关系和机床系统的非线性后，引入偏相关系数对其原有公式进行改进；计算X轴可靠度数学模型为：
Prx＝Φ(βX) (12)
式中，βX表示X轴加工精度可靠度指标，Prx为X轴加工精度可靠度,Φ(·)为正态变量的累积函数，Fx(μg1，μg2，μg3，…，μgn)表示将各误差项的均值代入功能函数中，表示X方向功能函数对某一误差求偏导数得到的函数，并代入各误差的均值，/>表示机床几何误差的偏相关系数，/>计算步骤如下：
首先对误差间相关系数矩阵求逆矩阵，记作Ρgi,gj -1，逆矩阵中每一个元素记为Pi,j，则几何误差的偏相关系数为：
根据提出的加工精度可靠性模型，结合各测点几何误差的分布特征，得到各测点在X、Y、Z三轴上的加工精度可靠性；
步骤4机床加工精度可靠度灵敏度分析；
步骤4.1机床几何误差局部灵敏度分析；
由于机床的6个单元间几何误差可在机床制造、装配过程中人为控制，只考虑与机床位置有关的24项几何误差；
机床单点处各项几何误差均值对加工精度可靠性局部灵敏度分析公式：
得到各测试点的加工精度可靠度局部灵敏度分析结果，然后利用加权平均法对整个工作空间进行灵敏度分析；
步骤4.2机床几何误差全局灵敏度分析
机床单点处各项几何误差均值对加工精度可靠性全局灵敏度分析公式：
得到各测试点的加工精度可靠性全局灵敏度分析结果，然后利用加权平均法对整个工作空间进行灵敏度分析；
αwi,part：某测量点处第i项几何误差均值对机床w＝x、y、z方向上加工精度可靠性的局部灵敏度系数；
αwi,global：某测量点处第i项几何误差均值对机床w＝x、y、z方向上加工精度可靠性的全局灵敏度系数。
2.根据权利要求1所述的一种考虑几何误差偏相关性的机床加工精度可靠性灵敏度分析方法，其特征在于：由多体系统理论和设置的广义坐标系，所选机床各相邻体之间的运动用4×4齐次坐标变换矩阵加以描述；表1给出了机床所有几何误差的表示符号及其物理意义；表2为所选机床Bmachine tool轴的有误差相对运动时的理想运动特征矩阵和误差矩阵；
表1几何误差的表示符号及物理意义
表2机床Bmachine tool轴运动特征矩阵
其中：
Kij表示典型体Bj相对于Bi的理想运动特征矩阵；
ΔKij表示典型体Bj相对于Bi的运动误差特征矩阵；
B表示工作台绕Y轴转动的角度；
其它误差物理意义在表1中列出；
步骤1.4建立机床体积误差模型
设刀具成型点在刀具坐标系中的坐标为：
Pt＝(ptx pty ptz1)T (1)
设工件成型点在工件坐标系中的坐标为：
Pw＝(pwx pwy pwz1)T (2)
机床在没有误差的理想状态下工作时，则工件成形点在刀具坐标系中的理想坐标为：
表示刀具分支相邻体间理想运动特征矩阵；
表示工件分支相邻体间理想运动特征矩阵；
在实际情况下，工件成形点在刀具坐标系中的实际坐标为：
表示刀具分支相邻体间实际运动特征矩阵；
表示工件分支相邻体间实际运动特征矩阵；
机床总误差矩阵为：
E＝Ptideal-Ptactual (5)
其中E为机床综合体积误差模型；同时建立机床的一般体积误差模型；
E＝E(G,Pw,H) (6)
其中：
E＝[Ex,Ey,Ez,0]T表示机床3个方向上的体积误差矢量；
H＝[x,y,z,B]T，其中x,y,z表示机床进给轴在三个方向的位置向量；B表示Bmaxhine tool轴或工件转过的角度；
G＝[g1,g2,…,g30]T表示由机床的30项几何误差组成的矢量,并令Δxx，Δyx，…，ΔzBy＝g1,g2,…,g30。
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