CN103969622A - 一种基于多运动接收站的时差定位方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于多运动接收站的时差定位方法，涉及无源定位技术。其步骤为：步骤1，得到目标到各个接收站的多时刻距离差RDOA定位方程组；步骤2，将多时刻距离差RDOA定位方程组转化为辅助变量的伪线性方程组；步骤3，利用辅助变量的伪线性方程组和辅助变量估计值得到辅助变量估计值的估计偏差；步骤4，得到目标位置坐标的初始估计偏差的线性模型的矩阵表达式；步骤5，根据目标位置坐标的初始估计值和加权最小二乘估计得到校正后的目标位置坐标。本发明主要解决现有技术中定位结果具有模糊性以及定位偏差会随着测量误差的增大而迅速增加即定位性能不稳定的问题，本发明主要用于无源定位的场景。

Description

一种基于多运动接收站的时差定位方法

技术领域

本发明属于信号处理技术领域，涉及无源定位技术，尤其涉及一种基于多运动接收站的时差定位方法。

背景技术

对目标的准确定位，在许多军用和民用系统中都具有很重要的意义。雷达、声纳、激光等有源设备对目标的定位通常称为有源定位，它具有全天候、高精度等优点。然而，有源定位系统的使用是靠发射大功率信号来实现的，这样就很容易暴露自己，从而容易遭到对方电子干扰的软杀伤和反辐射导弹等硬杀伤武器的攻击，使得定位精度受到很大影响，甚至会危及到系统自身的安全。无源定位技术相对于传统的有源定位系统而言，具有作用距离远、隐蔽性强等优点，因而在雷达、声纳和传感器网络等领域都有广泛应用。当前流行的定位技术比较多，根据定位参数的不同，可以分为到达时间(time of arrival，TOA)定位技术、到达时差(time difference of arrival，TDOA)定位技术、到达角(angle ofarrival，AOA)定位技术和信号到达强度(received signal strength，RSS)定位技术等。其中，基于多站TDOA的定位技术具有定位成本低、精度较高等优点，因而受到越来越多的关注。

经典的基于TDOA的多站无源定位算法有泰勒级数法、牛顿法以及Chan算法等。其中，泰勒级数法和牛顿法是一类需要初始估计位置的迭代算法，当初始值接近真实值时，算法能快速收敛，定位精度高；但是在初始值选择不好的情况下，算法计算收敛较慢，甚至可能发散以至于得不到真实的定位解。Chan算法利用两级加权最小二乘估计对目标位置进行解算，但是该算法要求在三维空间中接收站数目不少于4个，然而在实际应用中，这一条件可能不满足，此时Chan算法将不再适用。此外，Chan算法是利用多接收站单个时刻TDOA测量值的定位方法。

加权最小二乘(Weighted Least Square，WLS)算法是一种利用多运动接收站多个时刻TDOA测量值的无源定位算法，但是该算法没有考虑最小二乘解中各分量之间的相关性，定位性能不太理想。两级加权最小二乘(Two-step Weighted Least Square,Two-step WLS)算法是一种基于多参考接收站的TDOA定位算法，它求解定位方程组的原理与基于多运动接收站的TDOA定位方法的求解原理非常相似，因而完全适用于基于多运动接收站的TDOA定位问题，但是该算法在第二级求解过程中需要进行开方运算，定位结果具有模糊性，并且可能会产生虚数解,定位性能也不理想。

现有的目标TDOA定位算法中，收敛速度和定位精度依赖于初始值的选取，对接收站的数目有要求，定位结果具有模糊性以及定位偏差会随着测量误差的增大而迅速增加即定位性能不稳定的缺点。

发明内容

针对现有目标TDOA定位算法存在的不足，本发明提出一种基于多运动接收站的时差定位方法，以实现对目标位置的精确估计。

为达到上述目的，本发明采用以下技术方案预以实现。

一种基于多运动接收站的时差定位方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，根据多运动接收站的时差定位模型，得到目标到各个接收站的多时刻距离差RDOA定位方程组；

步骤2，引入目标位置坐标u的辅助变量将多时刻距离差RDOA定位方程组转化为辅助变量的伪线性方程组；

步骤3，对辅助变量的伪线性方程组进行加权最小二乘估计，得到辅助变量估计值目标位置坐标u的初始估计值以及信号从目标到第k时刻的参考接收站的真实距离r_1,k的估计值利用辅助变量的伪线性方程组和辅助变量估计值得到辅助变量估计值的估计偏差所述参考接收站取自于多运动接收站的时差定位模型中的第一个接收站；

步骤4，通过辅助变量估计值的估计偏差得到目标位置坐标u的初始估计偏差Δu；利用信号从目标到第k时刻的参考接收站的真实距离r_1,k的估计值通过泰勒级数展开，得到目标位置坐标u的初始估计偏差Δu的线性模型的矩阵表达式；

步骤5，利用线性模型的矩阵表达式，通过加权最小二乘估计求解目标位置坐标的初始估计偏差Δu的加权最小二乘估计根据目标位置坐标u的初始估计值和加权最小二乘估计得到校正后的目标位置坐标

上述技术方案的特点和进一步改进在于：

(1)步骤1具体包括以下子步骤：

1a)设定三维空间中静止的目标位置坐标为u＝[x,y,z]^T，空间第i个接收站在第k时刻的位置坐标s_i,k＝[x_i,k,y_i,k,z_i,k]^T＝s_i,0+kv_i，i＝1,...,N，0≤k≤K，其中，k表示时刻，K为非负常数，N表示空间运动接收站的个数，s_i,0表示第i个接收站的初始位置坐标，v_i表示该接收站相应的速度矢量，T表示转置操作；

1b)第k时刻，目标到第i个接收站的距离r_i,k为：

r_i,k＝||u-s_i,k||₂，i＝1,...,N，0≤k≤K (1)

其中，r_i,k表示第k时刻，信号从目标到第i个接收站的距离，u表示目标位置坐标，s_i,k表示第i个接收站在第k时刻的位置坐标，||·||₂表示取二范数操作，K为非负常数，N表示运动接收站的个数，k表示时刻；

1c)选取第k时刻的第一个接收站作为第k时刻的参考接收站，目标到接收站和参考接收站的到达时差TDOA测量值表示为如下形式：

${\tilde{t}}_{i1,k}=t_{i1,k}+\mathrm{\Δ}{t}_{i1,k}=(r_{i,k}-r_{1,k})/c+\mathrm{\Δ}{t}_{i1,k},i=2,...,N,0\≤k\≤K---\left(2\right)$

其中，表示第k时刻，信号从目标到第i个接收站和到参考接收站之间的TDOA测量值，t_i1,k表示第k时刻信号从目标到第i个接收站和到参考接收站之间的真实时间差，c表示电磁波传播速度，Δt_i1,k表示第k时刻的到达时差TDOA测量误差，N表示运动接收站的个数，k表示时刻，K为非负常数；

1d)将式(2)两端同时乘以电磁波传播速度c，得到如下的多时刻距离差RDOA定位方程组：

${\tilde{r}}_{i1,k}=c{\tilde{t}}_{i1,k}=r_{i1,k}+n_{i1,k},i=2,...,N,0\≤k\≤K---\left(3\right)$

其中，表示第k时刻，信号从目标到第i个接收站和到参考接收站之间的RDOA测量值，c表示电磁波传播速度，表示第k时刻，信号从目标到第i个接收站和到参考接收站之间的TDOA测量值，r_i1,k＝r_i,k-r_1,k表示第k时刻，信号从目标到第i个接收站和到参考接收站之间的真实距离差，r_i,k表示第k时刻，信号从目标到第i个接收站的距离，r_1,k表示第k时刻，信号从目标到参考接收站的距离；n_i1,k＝cΔt_i1,k表示第k时刻的RDOA测量误差，N表示运动接收站的个数，k表示时刻，K为非负常数；

1e)将多时刻距离差RDOA定位方程组式(3)写成矢量形式，得到：

$\tilde{r}={[{\tilde{r}}_0^T,{\tilde{r}}_1^T,...,{\tilde{r}}_K^T]}^T=r+n---\left(4\right)$

其中，表示目标到各接收站和参考接收站之间的测量距离差矢量，并且为(K+1)×(N-1)维的列矢量，表示信号从目标到第k时刻的各个接收站和到第k时刻的参考接收站之间的测量距离差矢量，r为(K+1)×(N-1)维的列矢量，表示目标到各接收站和参考接收站之间的真实距离差矢量，r_k＝[r_21,k,r_31,k,...,r_N1,k]^T表示信号从目标到第k时刻的各个接收站和到第k时刻的参考接收站之间的真实距离差矢量，表示RDOA测量误差，n服从均值为零，协方差矩阵为Q的高斯分布，n_k＝[n_21,k,n_31,k,...,n_N1,k]^T表示第k时刻的RDOA测量误差矢量，N表示运动接收站的个数，k表示时刻，K为非负常数，T表示转置操作。

(2)步骤2具体包括以下子步骤：

2a)将多时刻距离差RDOA定位方程组式(3)变形为方程两边同时平方，并代入 $r_{i,k}^2={(u-s_{i,k})}^T(u-s_{i,k})$ 和 $r_{1,k}^2={(u-s_{1,k})}^T(u-s_{1,k}),$ 得到：

$0.5({\tilde{r}}_{i1,k}^2-s_{i,k}^T{s}_{i,k}+s_{1,k}^T{s}_{1,k})+{(s_{i,k}-s_{1,k})}^{T}u+{\tilde{r}}_{i1,k}{r}_{1,k}=r_{i,k}{n}_{i1,k}---\left(5\right)$

其中，表示第k时刻，信号从目标到第i个接收站和到参考接收站之间的RDOA测量值，s_i,k表示第i个接收站在第k时刻的位置坐标，s_1,k表示第k时刻的参考接收站的位置坐标，u表示目标位置坐标，r_1,k表示第k时刻，信号从目标到参考接收站的距离，r_i,k表示第k时刻，信号从目标到第i个接收站的距离，n_i1,k表示第k时刻的RDOA测量误差，T表示转置操作；

2b)设定 $h_{1i,k}=0.5({\tilde{r}}_{i1,k}^2-s_{i,k}^T{s}_{i,k}+s_{1,k}^T{s}_{1,k}),$ 将式(5)写成关于辅助变量的伪线性方程组：

其中，h₁表示由TDOA测量值以及传感器位置信息组成的列矢量，且h₁为(K+1)×(N-1)维，其各个分量b_k＝[h_12,k,h_13,k,...,h_1N,k]^T，表示辅助变量，G₁为系数矩阵，由伪线性方程组中辅助变量各分量的系数组成，R_k＝[s_1,k-s_2,k,...,s_1,k-s_N,k]^T为系数矩阵G₁的矩阵分量，η表示误差项，其各个分量η_k＝B_kn_k，B_k＝diag{r_2,k,...,r_N,k}为对角阵，n_k表示第k时刻的RDOA测量误差矢量，为系数矩阵G₁的矢量分量，T表示转置操作。

(3)步骤3具体包括以下子步骤：

3a)用加权最小二乘法求解辅助变量的伪线性方程组式(6)，令残差η^TWη最小，即令对辅助变量的偏导数等于零，得到辅助变量估计值表示为下式：

其中，表示辅助变量的估计值，表示目标位置坐标u的初始估计值，表示取的前三个元素，表示信号从目标到第k时刻的参考接收站的真实距离r_1,k为的估计值，k＝0,1,...,K，k表示时刻，K为非负常数，G₁为系数矩阵，h₁是由TDOA测量值以及传感器位置信息组成的列矢量；W＝E[ηη^T]^-1＝(BQB)^-1表示加权矩阵,B＝diag{B₀,...,B_K}为块对角矩阵，Q＝E[nn^T]为RDOA测量误差的协方差矩阵，n表示RDOA测量误差，E表示进行期望，T表示转置操作，(·)^-1表示取逆操作；

3b)设定目标位置坐标u的初始估计值取辅助变量估计值的前三个元素，即通过公式(7)得出目标位置坐标u的初始估计值以及信号从目标到第k时刻的参考接收站的真实距离r_1,k的估计值

3c)利用辅助变量的伪线性方程组和辅助变量估计值得到辅助变量估计值的估计偏差

子步骤3c)具体包括3c1)和3c2)：

3c1)辅助变量的伪线性方程组式(6)等价于其中，h₁表示由TDOA测量值以及传感器位置信息组成的列矢量，表示辅助变量，G₁为系数矩阵，η表示误差项；

3c2)将式代入式(7)，得到辅助变量估计值的估计偏差表示为下式：

其中，表示辅助变量估计值的估计偏差，表示辅助变量，表示辅助变量估计值，G₁表示系数矩阵，W表示加权矩阵,η表示误差项，T表示转置操作，(·)^-1表示取逆操作。

(4)步骤4包括以下子步骤：

4a)设定目标位置坐标u的初始估计值取辅助变量估计值的前三个元素，即目标位置坐标的初始估计偏差Δu取估计偏差的前三个元素，即

4b)根据估计偏差的表达式(8)得到：

$u=\hat{u}-\mathrm{\Δu};$

其中，u表示目标位置坐标，Δu表示目标位置坐标的初始估计偏差并且 表示目标位置坐标u的初始估计值并且和分别表示取辅助变量估计值和估计偏差的前三个元素；

4c)将目标到第k时刻的参考接收站的真实距离r_1,k在目标位置坐标u的初始估计值处进行一阶泰勒级数展开，得到如下泰勒级数展开式：

$r_{1,k}\≈{\hat{r}}_{1,k}-{\mathrm{\ρ}}_{\hat{u},s_{1,k}}^T\mathrm{\Δu},k=\mathrm{0,1},...,K---\left(9\right)$

其中，r_1,k表示信号从目标位置坐标u到第k时刻的参考接收站的真实距离，表示信号从目标到第k时刻的参考接收站的真实距离r_1,k的估计值，s_1,k表示第k时刻的参考接收站的位置坐标，k表示时刻，表示单位矢量，Δu表示目标位置坐标的初始估计偏差，表示目标位置坐标u的初始估计值，目标位置坐标其中表示目标位置坐标的初始估计偏差，和分别表示取辅助变量估计值和估计偏差的前三个元素；||·||₂表示取二范数操作，T表示转置操作；

4d)将及式(9)代入式(5)得到目标位置坐标u的初始估计偏差Δu的线性模型，表达式为：

h_2i,k-g_2i,kΔu＝η_k (10)

其中，i＝2,...,N，N表示运动接收站的个数，k表示时刻，k＝0,1,...,K， $h_{2i,k}=\frac{1}{2}({\tilde{r}}_{i1,k}^2-s_{i,k}^T{s}_{i,k}+s_{1,k}^T{s}_{1,k})+{\tilde{r}}_{i1,k}{\hat{r}}_{1,k}+{(s_{i,k}-s_{1,k})}^T$ 为TDOA测量值及传感器位置信息分量，表示系数矢量，Δu表示目标位置坐标的初始估计偏差，η_k表示误差项η的分量项；

4e)将目标位置坐标u的初始估计偏差Δu的线性模型方程式(10)转换为目标位置坐标的初始估计偏差Δu的线性模型的矩阵表达式，为下式：

h₂-G₂Δu＝η (11)

其中，h₂是由TDOA测量值、传感器位置信息以及目标位置坐标的初始估计值构成的列矢量，且h₂为(K+1)×(N-1)维，其分量h_2,k＝[h_22,k,h_23,k,...,h_2N,k]^T，G₂是目标位置初始估计偏差Δu的系数矩阵， $G_2={[G_{\mathrm{2,0}}^T,G_{\mathrm{2,1}}^T,...,G_{2,K}^T]}^T,$ $G_{2,k}={[g_{22,k}^T,g_{23,k}^T,...,g_{2N,k}^T]}^T$ 为系数矩阵G₂的矢量分量，η表示误差项，k＝0,1,...,K，k表示时刻，K为非负常数，N表示运动接收站的个数，T表示转置操作。

(5)步骤5包括以下子步骤：

5a)用加权最小二乘法求解目标位置坐标的初始估计偏差Δu的线性模型的矩阵表达式，也就是公式(11)，令残差η^TWη最小，即令f(Δu)＝(h₂-G₂Δu)^TW(h₂-G₂Δu)对Δu的偏导数等于零，得到：

$\mathrm{\Δ}\hat{u}={\left(G_2^T{\mathrm{WG}}_2\right)}^{-1}{G}_2^T{\mathrm{Wh}}_2---\left(12\right)$

其中，表示目标位置坐标的初始估计偏差Δu的加权最小二乘估计，G₂表示目标位置初始估计偏差Δu的系数矩阵，h₂是由TDOA测量值、传感器位置信息以及目标位置坐标的初始估计值构成的列矢量，W表示加权矩阵,T表示转置操作，(·)^-1表示取逆操作；

5b)校正后的目标位置坐标为：

$\tilde{u}=\hat{u}-\mathrm{\Δ}\hat{u}---\left(13\right)$

其中，表示校正后的目标位置坐标，表示目标位置坐标u的初始估计值，表示目标位置坐标u的初始估计偏差Δu的加权最小二乘估计。

与现有技术相比，本发明具有突出的实质性特点和显著的进步。本发明与现有技术相比，具有以下优点：

(1)本发明方法是基于多个运动接收站的TDOA定位方法，它利用运动接收站在多个时刻的TDOA测量值对目标进行定位，与现有的基于单个时刻TDOA测量值的定位方法(如Chan算法)相比，本发明方法利用了更多的有效信息来估计目标位置，定位精度更高，定位性能也更稳定，如图6(a)和图6(b)所示。图6(a)和图6(b)分别给出了本发明方法和Chan算法对目标位置估计的偏差和均方根误差随测量误差变化的统计结果。从图6(a)可以看出，在测量误差较小时，本发明方法的估计偏差略低于Chan算法，具有较好的定位精度；随着测量误差的增大，Chan算法的估计偏差出现剧烈增加的现象，而本发明方法则保持相对稳定。从图6(b)可以看出，本发明方法的均方根误差一直接近克拉美罗界，说明本发明方法具有较高的定位精度，随着测量误差的增大，本发明方法的均方根误差只是稍偏离克拉美罗界，而Chan算法的均方根误差明显增加，说明本发明方法的定位性能比较稳定。

(2)传统的TDOA定位方法，例如泰勒级数法和牛顿法，需要先估计一个目标位置的初始近似解，若该近似解比较接近目标的真实位置，则定位精度较高且收敛速度较快。但是，如果该近似解与目标真实位置相差较远，算法收敛速度很慢甚至有可能会发散而得不到目标真实位置的估计。而本发明方法不存在类似的问题。

3、与现有的TDOA定位方法相比，本发明方法的定位精度较高且定位性能比较稳定。如图3、图4和图5所示，泰勒级数法的定位精度和定位性能依赖于对目标初始位置的估计，基于多运动接收站的WLS算法没有考虑最小二乘解中各分量之间的相关性，基于多运动接收站的Two-step WLS算法在第二级运算过程中需要进行开方运算，定位结果具有模糊性，因而这些定位算法的定位精度都不太理想。此外，当TDOA量测误差较大时，这三种算法对目标位置估计的偏差和均方根误差都会剧烈增加，定位性能不太稳定，而本发明方法无论是从定位精度还是定位性能的稳定度而言都要优于上述几种算法。

附图说明

下面结合附图和具体实施方式对本发明做进一步说明。

图1是多运动接收站的时差定位模型图；

图2是本发明方法的流程图；

图3是仿真实验一中各方法对近场目标的定位性能比较图：图3(a)是WLS算法、Two-step WLS算法、泰勒级数法以及本发明方法对目标位置估计的偏差随测量误差变化的曲线图；图3(b)是WLS算法、Two-step WLS算法、泰勒级数法以及本发明方法对目标位置估计的均方根误差随测量误差变化的曲线图；

图4是仿真实验二中各方法对远场目标的定位性能比较图：图4(a)是WLS算法、Two-step WLS算法、泰勒级数法以及本发明方法对目标位置估计的偏差随测量误差变化的曲线图；图4(b)是WLS算法、Two-step WLS算法、泰勒级数法以及本发明方法对目标位置估计的均方根误差随测量误差变化的曲线图；

图5是仿真实验三中各方法对多个目标的定位性能比较图：图5(a)是WLS算法、Two-step WLS算法、泰勒级数法以及本发明方法对三个目标位置估计的偏差随测量误差变化的曲线图；图5(b)是WLS算法、Two-step WLS算法、泰勒级数法以及本发明方法对三个目标位置估计的均方根误差随测量误差变化的曲线图；

图6是仿真实验四中本发明方法和Chan算法的性能比较图：图6(a)是本发明方法和Chan算法对目标位置估计的偏差随测量误差变化的曲线图；图6(b)是本发明方法和Chan算法对目标位置估计的均方根误差随测量误差变化的曲线图。

具体实施方式

参照图1和图2，说明本发明一种基于多运动接收站的时差定位方法，其具体实施步骤如下：

步骤1，根据多运动接收站的时差定位模型，得到目标到各个接收站的多时刻距离差(range difference of arrival，RDOA)定位方程组；

1a)设定三维空间中静止的目标位置坐标为u＝[x,y,z]^T，空间第i个接收站在第k时刻的位置坐标s_i,k＝[x_i,k,y_i,k,z_i,k]^T＝s_i,0+kv_i，i＝1,...,N，0≤k≤K，其中，k表示时刻，K为非负常数，N表示空间运动接收站的个数，s_i,0表示第i个接收站的初始位置坐标，v_i表示该接收站相应的速度矢量，T表示转置操作。

图1为三维空间中多运动接收站的时差定位模型。

1b)第k时刻，目标到第i个接收站的距离r_i,k为：

r_i,k＝||u-s_i,k||₂，i＝1,...,N，0≤k≤K (1)

其中，r_i,k表示第k时刻，信号从目标到第i个接收站的距离，u表示目标位置坐标，s_i,k表示第i个接收站在第k时刻的位置坐标，||·||₂表示取二范数操作，K为非负常数，N表示运动接收站的个数，k表示时刻。

1c)选取第k时刻的第一个接收站作为第k时刻的参考接收站，目标到接收站和参考接收站的到达时差TDOA测量值表示为如下形式：

${\tilde{t}}_{i1,k}=t_{i1,k}+\mathrm{\Δ}{t}_{i1,k}=(r_{i,k}-r_{1,k})/c+\mathrm{\Δ}{t}_{i1,k},i=2,...,N,0\≤k\≤K---\left(2\right)$

其中，表示第k时刻，信号从目标到第i个接收站和到参考接收站之间的TDOA测量值，t_i1,k表示第k时刻信号从目标到第i个接收站和到参考接收站之间的真实时间差，c表示电磁波传播速度，Δt_i1,k表示第k时刻的到达时差TDOA测量误差，N表示运动接收站的个数，k表示时刻，K为非负常数。

在本发明中，目标和各个接收站采用位置坐标区分；第k时刻第一个接收站，位置坐标为s_1,k；第k时刻第i个接收站的位置坐标为s_i,ki＝2,...,N，且设定各个时刻的参考接收站均为第一个接收站，N表示运动接收站的个数，k表示时刻。

在本发明1c)过程中不考虑非视距传播的影响。

1d)将式(2)两端同时乘以电磁波传播速度c，得到如下的多时刻距离差RDOA定位方程组：

${\tilde{r}}_{i1,k}=c{\tilde{t}}_{i1,k}=r_{i1,k}+n_{i1,k},i=2,...,N,0\≤k\≤K---\left(3\right)$

其中，表示第k时刻，信号从目标到第i个接收站和到参考接收站之间的RDOA测量值，c表示电磁波传播速度，表示第k时刻，信号从目标到第i个接收站和到参考接收站之间的TDOA测量值，r_i1,k＝r_i,k-r_1,k表示第k时刻，信号从目标到第i个接收站和到参考接收站之间的真实距离差，r_i,k表示第k时刻，信号从目标到第i个接收站的距离，r_1,k表示第k时刻，信号从目标到参考接收站的距离；n_i1,k＝cΔt_i1,k表示第k时刻的RDOA测量误差，N表示运动接收站的个数，k表示时刻，K为非负常数。

在本发明中，到达目标的信号为能够发射电磁波的有源设备发出的信号，如雷达。

1e)将多时刻距离差RDOA定位方程组式(3)写成矢量形式，得到：

$\tilde{r}={[{\tilde{r}}_0^T,{\tilde{r}}_1^T,...,{\tilde{r}}_K^T]}^T=r+n---\left(4\right)$

其中，表示目标到各接收站和参考接收站之间的测量距离差矢量，并且为(K+1)×(N-1)维的列矢量，表示信号从目标到第k时刻的各个接收站和到第k时刻的参考接收站之间的测量距离差矢量，r为(K+1)×(N-1)维的列矢量，表示目标到各接收站和参考接收站之间的真实距离差矢量，r_k＝[r_21,k,r_31,k,...,r_N1,k]^T表示信号从目标到第k时刻的各个接收站和到第k时刻的参考接收站之间的真实距离差矢量，表示RDOA测量误差，n服从均值为零，协方差矩阵为Q的高斯分布，n_k＝[n_21,k,n_31,k,...,n_N1,k]^T表示第k时刻的RDOA测量误差矢量，N表示运动接收站的个数，k表示时刻，K为非负常数，T表示转置操作。

式(4)是一组高度非线性的多时刻距离差定位方程组，基于多运动接收站的TDOA定位问题转换为估计目标位置坐标u，执行以下步骤2。

步骤2，引入目标位置坐标u的辅助变量将多时刻距离差RDOA定位方程组转化为辅助变量的伪线性方程组；

由式(1)可知，多时刻距离差定位方程组(3)是关于目标位置坐标u的高度非线性方程组。

2a)将多时刻距离差RDOA定位方程组式(3)变形为方程两边同时平方，并代入 $r_{i,k}^2={(u-s_{i,k})}^T(u-s_{i,k})$ 和 $r_{1,k}^2={(u-s_{1,k})}^T(u-s_{1,k}),$ 得到：

$0.5({\tilde{r}}_{i1,k}^2-s_{i,k}^T{s}_{i,k}+s_{1,k}^T{s}_{1,k})+{(s_{i,k}-s_{1,k})}^{T}u+{\tilde{r}}_{i1,k}{r}_{1,k}=r_{i,k}{n}_{i1,k}---\left(5\right)$

其中，表示第k时刻，信号从目标到第i个接收站和到参考接收站之间的RDOA测量值，s_i,k表示第i个接收站在第k时刻的位置坐标，s_1,k表示第k时刻的参考接收站的位置坐标，u表示目标位置坐标，r_1,k表示第k时刻，信号从目标到参考接收站的距离，r_i,k表示第k时刻，信号从目标到第i个接收站的距离，n_i1,k表示第k时刻的RDOA测量误差，T表示转置操作。

2b)设定 $h_{1i,k}=0.5({\tilde{r}}_{i1,k}^2-s_{i,k}^T{s}_{i,k}+s_{1,k}^T{s}_{1,k}),$ 将式(5)写成关于辅助变量的伪线性方程组：

其中，h₁表示由TDOA测量值以及传感器位置信息组成的列矢量，且h₁为(K+1)×(N-1)维，其各个分量b_k＝[h_12,k,h_13,k,...,h_1N,k]^T，表示辅助变量，G₁为系数矩阵，由伪线性方程组中辅助变量各分量的系数组成，R_k＝[s_1,k-s_2,k,...,s_1,k-s_N,k]^T为系数矩阵G₁的矩阵分量，η表示误差项，其各个分量η_k＝B_kn_k，B_k＝diag{r_2,k,...,r_N,k}为对角阵，n_k表示第k时刻的RDOA测量误差矢量，为系数矩阵G₁的矢量分量，T表示转置操作。

步骤3，对辅助变量的伪线性方程组进行加权最小二乘估计，得到辅助变量估计值目标位置坐标u的初始估计值以及信号从目标到第k时刻的参考接收站的真实距离r_1,k的估计值利用辅助变量的伪线性方程组和辅助变量估计值得到辅助变量估计值的估计偏差所述参考接收站取自于多运动接收站的时差定位模型中的第一个接收站；

3a)用加权最小二乘法求解辅助变量的伪线性方程组式(6)，令残差η^TWη最小，即令对辅助变量的偏导数等于零，得到辅助变量估计值表示为下式：

其中，表示辅助变量的估计值，表示目标位置坐标u的初始估计值，表示取的前三个元素，表示信号从目标到第k时刻的参考接收站的真实距离r_1,k为的估计值，k＝0,1,...,K，k表示时刻，K为非负常数，G₁为系数矩阵，h₁是由TDOA测量值以及传感器位置信息组成的列矢量；W＝E[ηη^T]^-1＝(BQB)^-1表示加权矩阵,B＝diag{B₀,...,B_K}为块对角矩阵，Q＝E[nn^T]为RDOA测量误差的协方差矩阵，n表示RDOA测量误差，E表示进行期望，T表示转置操作，(·)^-1表示取逆操作。

3b)设定目标位置坐标u的初始估计值取辅助变量估计值的前三个元素，即通过公式(7)得出目标位置坐标u的初始估计值以及信号从目标到第k时刻的参考接收站的真实距离r_1,k的估计值

3c)利用辅助变量的伪线性方程组和辅助变量估计值得到辅助变量估计值的估计偏差

3c1)辅助变量的伪线性方程组式(6)等价于其中，h₁表示由TDOA测量值以及传感器位置信息组成的列矢量，表示辅助变量，G₁为系数矩阵，η表示误差项；

3c2)将式代入式(7)，得到辅助变量估计值的估计偏差表示为下式：

其中，表示辅助变量估计值的估计偏差，表示辅助变量，表示辅助变量估计值，G₁表示系数矩阵，W表示加权矩阵,η表示误差项，T表示转置操作，(·)^-1表示取逆操作。

步骤4，通过辅助变量估计值的估计偏差得到目标位置坐标u的初始估计偏差Δu；利用信号从目标到第k时刻的参考接收站的真实距离r_1,k的估计值通过泰勒级数展开，得到目标位置坐标u的初始估计偏差Δu的线性模型的矩阵表达式；

4a)设定目标位置坐标u的初始估计值取辅助变量估计值的前三个元素，即目标位置坐标的初始估计偏差Δu取估计偏差的前三个元素，即

4b)根据估计偏差的表达式(8)得到：

$u=\hat{u}-\mathrm{\Δu};$

其中，u表示目标位置坐标，Δu表示目标位置坐标的初始估计偏差并且 表示目标位置坐标u的初始估计值并且和分别表示取辅助变量估计值和估计偏差的前三个元素；

4c)将目标到第k时刻的参考接收站的真实距离r_1,k在目标位置坐标u的初始估计值处进行一阶泰勒级数展开，得到如下泰勒级数展开式：

$r_{1,k}\≈{\hat{r}}_{1,k}-{\mathrm{\ρ}}_{\hat{u},s_{1,k}}^T\mathrm{\Δu},k=\mathrm{0,1},...,K---\left(9\right)$

其中，r_1,k表示信号从目标位置坐标u到第k时刻的参考接收站的真实距离，表示信号从目标到第k时刻的参考接收站的真实距离r_1,k的估计值，s_1,k表示第k时刻的参考接收站的位置坐标，k表示时刻，表示单位矢量，Δu表示目标位置坐标的初始估计偏差，表示目标位置坐标u的初始估计值，目标位置坐标其中表示目标位置坐标的初始估计偏差，和分别表示取辅助变量估计值和估计偏差的前三个元素；||·||₂表示取二范数操作，T表示转置操作。

4d)将及式(9)代入式(5)得到目标位置坐标u的初始估计偏差Δu的线性模型，表达式为：

h_2i,k-g_2i,kΔu＝η_k (10)

其中，i＝2,...,N，N表示运动接收站的个数，k表示时刻，k＝0,1,...,K， $h_{2i,k}=\frac{1}{2}({\tilde{r}}_{i1,k}^2-s_{i,k}^T{s}_{i,k}+s_{1,k}^T{s}_{1,k})+{\tilde{r}}_{i1,k}{\hat{r}}_{1,k}+{(s_{i,k}-s_{1,k})}^T$ 为TDOA测量值及传感器位置信息分量，表示系数矢量，Δu表示目标位置坐标的初始估计偏差，η_k表示误差项η的分量项。

4e)将目标位置坐标u的初始估计偏差Δu的线性模型方程式(10)转换为目标位置坐标的初始估计偏差Δu的线性模型的矩阵表达式，为下式：

h₂-G₂Δu＝η (11)

其中，h₂是由TDOA测量值、传感器位置信息以及目标位置坐标的初始估计值构成的列矢量，且h₂为(K+1)×(N-1)维，其分量h_2,k＝[h_22,k,h_23,k,...,h_2N,k]^T，G₂是目标位置初始估计偏差Δu的系数矩阵， $G_2={[G_{\mathrm{2,0}}^T,G_{\mathrm{2,1}}^T,...,G_{2,K}^T]}^T,$ $G_{2,k}={[g_{22,k}^T,g_{23,k}^T,...,g_{2N,k}^T]}^T$ 为系数矩阵G₂的矢量分量，η表示误差项，k＝0,1,...,K，k表示时刻，K为非负常数，N表示运动接收站的个数，T表示转置操作。

步骤5，利用线性模型的矩阵表达式，通过加权最小二乘估计求解目标位置坐标的初始估计偏差Δu的加权最小二乘估计根据目标位置坐标u的初始估计值和加权最小二乘估计得到校正后的目标位置坐标

本发明中，通过求解校正后的目标位置坐标实现对目标位置坐标u的初始估计值的校正，能够提高定位精度，实现对目标的定位。

5a)用加权最小二乘法求解目标位置坐标的初始估计偏差Δu的线性模型的矩阵表达式，也就是公式(11)，令残差η^TWη最小，即令f(Δu)＝(h₂-G₂Δu)^TW(h₂-G₂Δu)对Δu的偏导数等于零，得到：

$\mathrm{\Δ}\hat{u}={\left(G_2^T{\mathrm{WG}}_2\right)}^{-1}{G}_2^T{\mathrm{Wh}}_2---\left(12\right)$

其中，表示目标位置坐标的初始估计偏差Δu的加权最小二乘估计，G₂表示目标位置初始估计偏差Δu的系数矩阵，h₂是由TDOA测量值、传感器位置信息以及目标位置坐标的初始估计值构成的列矢量，W表示加权矩阵,T表示转置操作，(·)^-1表示取逆操作。

5b)校正后的目标位置坐标为：

$\tilde{u}=\hat{u}-\mathrm{\Δ}\hat{u}---\left(13\right)$

其中，表示校正后的目标位置坐标，表示目标位置坐标u的初始估计值，表示目标位置坐标u的初始估计偏差Δu的加权最小二乘估计。

步骤5的实现充分利用第一级加权最小二乘估计中得到的目标位置坐标u的初始估计值中各分量之间的相关性。

需要说明的是，通过5b)得到的校正后的目标位置坐标是无偏估计，通过下面方法证明目标的位置坐标为无偏估计。

将h₂＝G₂Δu+η和分别代入式(12)和(13)，得到校正后的目标的位置坐标的估计偏差的表达式为：

其中，表示校正后的目标位置坐标，u表示目标位置坐标，G₂表示目标位置初始估计偏差Δu的系数矩阵，W表示加权矩阵，η表示误差项，T表示转置操作，(·)^-1表示取逆操作。

由η＝Bn知：即校正后的目标的位置坐标为无偏估计。

下面结合仿真实验对本发明的效果做进一步说明。

(1)实验条件：

系统模型：假设三维空间中有4个运动接收站参与定位，接收站与目标位置坐标单位均为米，接收站初始位置坐标分别为：s_1,0＝[300,100,150]^T，s_2,0＝[400,150,100]^T，s_3,0＝[300,500,200]^T，s_4,0＝[350,200,100]^T；四个接收站相应的速度矢量分别为：v₁＝[30,-20,20]^T，v₂＝[-30,10,20]^T，v₃＝[10,-20,10]^T，v₄＝[10,20,30]^T，单位为米/秒。取K＝3，协方差矩阵Q为(K+1)(N-1)维对角块方阵，每个对角块为对角线元素为c²σ²，非对角线元素为0.5c²σ²的(N-1)维矩阵，c²σ²表示测量误差功率。实验中用目标位置估计的偏差 $B\left(u\right)={\left|\right|{\mathrm{\Σ}}_{l=1}^L{\tilde{u}}_l/L-u\left|\right|}_2$ 和均方根误差 $R\left(u\right)=\sqrt{{\mathrm{\Σ}}_{l=1}^L{\left|\right|{\tilde{u}}_l-u\left|\right|}_2^2/L}$ 来衡量各方法的定位性能，其中，为第l次蒙特卡罗仿真得到的目标位置的估计值，u表示目标位置坐标，||·||₂表示取二范数操作，L＝10⁴为仿真实验次数。

(2)实验结果分析

实验一：近场目标的情况。目标位置坐标为[350,450,400]^T。如图3(a)所示，横坐标是测量误差，纵坐标是估计偏差；如图3(b)所示，横坐标是测量误差，纵坐标是均方根误差。图3(a)和图3(b)分别给出了WLS算法、Two-step WLS算法、泰勒级数法以及本发明方法对近场目标位置估计的偏差和均方根误差随c²σ²变化的统计结果。可以看出，在测量误差较小时，各方法对目标位置的估计偏差均接近零，这也说明了本发明方法在测量误差较小时近似为无偏估计。WLS算法和Two-step WLS算法的均方根误差要明显高于克拉美罗界(Crammer Rao Lower Bound，CRLB)，泰勒级数法和本发明方法的均方根误差均接近克拉美罗界，说明本发明方法具有较好的定位精度。随着测量误差的增大，各方法的估计偏差和均方根误差都会有所增加，其中，泰勒级数法的估计偏差和均方根误差均出现急剧增加的现象，而本发明方法的估计偏差和均方根误差在四种方法中一直保持最小，定位性能比较稳定。

实验二：远场目标的情况。目标位置坐标为[3000,3250,3200]^T。如图4(a)所示，横坐标是测量误差，纵坐标是估计偏差。如图4(b)所示，横坐标是测量误差，纵坐标是均方根误差。图4(a)和图4(b)分别给出了WLS算法、Two-step WLS算法、泰勒级数法以及本发明方法对远场目标位置估计的偏差和均方根误差随c²σ²变化的统计结果。从图4可以得出与图3类似的结论：在测量误差较小时，各方法对目标位置的估计偏差均接近零。而WLS算法和Two-step WLS算法的均方根误差都明显高于克拉美罗界(图中标有CRLB的那根曲线)，而泰勒级数法和本发明方法的定位精度相当，均接近克拉美罗界，但是随着测量误差的增大，本发明方法的估计偏差和均方根误差一直保持最低。该实验也说明了本发明方法具有较高的定位精度且定位性能比较稳定。

实验三：多个目标的情况。设两个不相干目标位置坐标分别为u₁＝[700,750,650]^T，u₂＝[2000,2500,3000]^T。如图5(a)所示，横坐标是测量误差，纵坐标是估计偏差。如图5(b)所示，横坐标是测量误差，纵坐标是均方根误差。图5(a)和图5(b)分别给出了WLS算法、Two-step WLS算法、泰勒级数法以及本发明方法对这两个目标位置估计的偏差和均方根误差的统计结果。较低的一组曲线对应u₁，中间的一组曲线对应u₂，较高的对应u₃。从图5可以看出，各方法对这两个目标位置估计的偏差和均方根误差具有相似的变化趋势。在测量误差较小时，本发明方法对这两个目标位置估计的偏差均近似为零，均方根误差均接近克拉美罗界(CRLB)，由于TDOA定位问题的高度非线性，泰勒级数法在测量误差增加时对两个目标定位的估计偏差和均方根误差都出现急剧增加的现象。

实验四：本发明方法与经典的利用多接收站单个时刻TDOA测量值的定位算法(Chan算法)的性能比较：另增加一个接收站，其位置坐标为：s_5,0＝[-100,-100,-100]^T，相应的速度矢量为：v₄＝[-20,10,10]^T。如图6(a)所示，横坐标是测量误差，纵坐标是估计偏差。如图6(b)所示，横坐标是测量误差，纵坐标是均方根误差。图6(a)和图6(b)分别给出了本发明方法和Chan算法对目标位置估计的偏差和均方根误差随c²σ²变化的统计结果。从图6(a)可以看出，在测量误差较小时，本发明方法的估计偏差略低于Chan算法，具有较好的定位精度；随着测量误差的增大，Chan算法的估计偏差出现剧烈增加的现象，而本发明方法则保持相对稳定。从图6(b)可以看出，本发明方法的均方根误差一直接近克拉美罗界(CRLB)，说明本发明方法具有较高的定位精度，随着测量误差的增大，本发明方法的均方根误差只是稍偏离克拉美罗界(CRLB)，而Chan算法的均方根误差明显增加，说明本发明方法的定位性能比较稳定。从图6可知，本发明方法与传统的基于多接收站单时刻TDOA测量值的定位算法相比，不仅定位精度较高，而且定位性能也比较稳定。

Claims (6)

1.一种基于多运动接收站的时差定位方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，根据多运动接收站的时差定位模型，得到目标到各个接收站的多时刻距离差RDOA定位方程组；

步骤2，引入目标位置坐标u的辅助变量将多时刻距离差RDOA定位方程组转化为辅助变量的伪线性方程组；

步骤3，对辅助变量的伪线性方程组进行加权最小二乘估计，得到辅助变量估计值目标位置坐标u的初始估计值以及信号从目标到第k时刻的参考接收站的真实距离r_1,k的估计值利用辅助变量的伪线性方程组和辅助变量估计值得到辅助变量估计值的估计偏差所述参考接收站取自于多运动接收站的时差定位模型中的第一个接收站；

步骤4，通过辅助变量估计值的估计偏差得到目标位置坐标u的初始估计偏差Δu；利用信号从目标到第k时刻的参考接收站的真实距离r_1,k的估计值通过泰勒级数展开，得到目标位置坐标u的初始估计偏差Δu的线性模型的矩阵表达式；

步骤5，利用线性模型的矩阵表达式，通过加权最小二乘估计求解目标位置坐标的初始估计偏差Δu的加权最小二乘估计根据目标位置坐标u的初始估计值和加权最小二乘估计得到校正后的目标位置坐标

2.根据权利要求1所述的一种基于多运动接收站的时差定位方法，其特征在于，步骤1包括以下子步骤：

1a)设定三维空间中静止的目标位置坐标为u＝[x,y,z]^T，空间第i个接收站在第k时刻的位置坐标s_i,k＝[x_i,k,y_i,k,z_i,k]^T＝s_i,0+kv_i，i＝1,...,N，0≤k≤K，其中，k表示时刻，K为非负常数，N表示空间运动接收站的个数，s_i,0表示第i个接收站的初始位置坐标，v_i表示该接收站相应的速度矢量，T表示转置操作；

1b)第k时刻，目标到第i个接收站的距离r_i,k为：

r_i,k＝||u-s_i,k||₂，i＝1,...,N，0≤k≤K (1)

其中，r_i,k表示第k时刻，信号从目标到第i个接收站的距离，u表示目标位置坐标，s_i,k表示第i个接收站在第k时刻的位置坐标，||·||₂表示取二范数操作，K为非负常数，N表示运动接收站的个数，k表示时刻；

1c)选取第k时刻的第一个接收站作为第k时刻的参考接收站，目标到接收站和参考接收站的到达时差TDOA测量值表示为如下形式：

${\tilde{t}}_{i1,k}=t_{i1,k}+\mathrm{\Δ}{t}_{i1,k}=(r_{i,k}-r_{1,k})/c+\mathrm{\Δ}{t}_{i1,k},i=2,...,N,0\≤k\≤K---\left(2\right)$

其中，表示第k时刻，信号从目标到第i个接收站和到参考接收站之间的TDOA测量值，t_i1,k表示第k时刻信号从目标到第i个接收站和到参考接收站之间的真实时间差，c表示电磁波传播速度，Δt_i1,k表示第k时刻的到达时差TDOA测量误差，N表示运动接收站的个数，k表示时刻，K为非负常数；

1d)将式(2)两端同时乘以电磁波传播速度c，得到如下的多时刻距离差RDOA定位方程组：

${\tilde{r}}_{i1,k}=c{\tilde{t}}_{i1,k}=r_{i1,k}+n_{i1,k},i=2,...,N,0\≤k\≤K---\left(3\right)$

其中，表示第k时刻，信号从目标到第i个接收站和到参考接收站之间的RDOA测量值，c表示电磁波传播速度，表示第k时刻，信号从目标到第i个接收站和到参考接收站之间的TDOA测量值，r_i1,k＝r_i,k-r_1,k表示第k时刻，信号从目标到第i个接收站和到参考接收站之间的真实距离差，r_i,k表示第k时刻，信号从目标到第i个接收站的距离，r_1,k表示第k时刻，信号从目标到参考接收站的距离；n_i1,k＝cΔt_i1,k表示第k时刻的RDOA测量误差，N表示运动接收站的个数，k表示时刻，K为非负常数；

1e)将多时刻距离差RDOA定位方程组式(3)写成矢量形式，得到：

$\tilde{r}={[{\tilde{r}}_0^T,{\tilde{r}}_1^T,...,{\tilde{r}}_K^T]}^T=r+n---\left(4\right)$

其中，表示目标到各接收站和参考接收站之间的测量距离差矢量，并且为(K+1)×(N-1)维的列矢量，表示信号从目标到第k时刻的各个接收站和到第k时刻的参考接收站之间的测量距离差矢量，r为(K+1)×(N-1)维的列矢量，表示目标到各接收站和参考接收站之间的真实距离差矢量，r_k＝[r_21,k,r_31,k,...,r_N1,k]^T表示信号从目标到第k时刻的各个接收站和到第k时刻的参考接收站之间的真实距离差矢量，表示RDOA测量误差，n服从均值为零，协方差矩阵为Q的高斯分布，n_k＝[n_21,k,n_31,k,...,n_N1,k]^T表示第k时刻的RDOA测量误差矢量，N表示运动接收站的个数，k表示时刻，K为非负常数，T表示转置操作。

3.根据权利要求2所述的一种基于多运动接收站的时差定位方法，其特征在于，步骤2包括以下子步骤：

2a)将多时刻距离差RDOA定位方程组式(3)变形为方程两边同时平方，并代入 $r_{i,k}^2={(u-s_{i,k})}^T(u-s_{i,k})$ 和 $r_{1,k}^2={(u-s_{1,k})}^T(u-s_{1,k}),$ 得到：

$0.5({\tilde{r}}_{i1,k}^2-s_{i,k}^T{s}_{i,k}+s_{1,k}^T{s}_{1,k})+{(s_{i,k}-s_{1,k})}^{T}u+{\tilde{r}}_{i1,k}{r}_{1,k}=r_{i,k}{n}_{i1,k}---\left(5\right)$

其中，表示第k时刻，信号从目标到第i个接收站和到参考接收站之间的RDOA测量值，s_i,k表示第i个接收站在第k时刻的位置坐标，s_1,k表示第k时刻的参考接收站的位置坐标，u表示目标位置坐标，r_1,k表示第k时刻，信号从目标到参考接收站的距离，r_i,k表示第k时刻，信号从目标到第i个接收站的距离，n_i1,k表示第k时刻的RDOA测量误差，T表示转置操作；

2b)设定 $h_{1i,k}=0.5({\tilde{r}}_{i1,k}^2-s_{i,k}^T{s}_{i,k}+s_{1,k}^T{s}_{1,k}),$ 将式(5)写成关于辅助变量的伪线性方程组：

其中，h₁表示由TDOA测量值以及传感器位置信息组成的列矢量，且h₁为(K+1)×(N-1)维，其各个分量b_k＝[h_12,k,h_13,k,...,h_1N,k]^T，表示辅助变量，G₁为系数矩阵，由伪线性方程组中辅助变量各分量的系数组成，R_k＝[s_1,k-s_2,k,...,s_1,k-s_N,k]^T为系数矩阵G₁的矩阵分量，η表示误差项，其各个分量η_k＝B_kn_k，B_k＝diag{r_2,k,...,r_N,k}为对角阵，n_k表示第k时刻的RDOA测量误差矢量，为系数矩阵G₁的矢量分量，T表示转置操作。

4.根据权利要求3所述的一种基于多运动接收站的时差定位方法，其特征在于，步骤3包括以下子步骤：

3a)用加权最小二乘法求解辅助变量的伪线性方程组式(6)，令残差η^TWη最小，即令对辅助变量的偏导数等于零，得到辅助变量估计值表示为下式：

其中，表示辅助变量的估计值，表示目标位置坐标u的初始估计值，表示取的前三个元素，表示信号从目标到第k时刻的参考接收站的真实距离r_1,k为的估计值，k＝0,1,...,K，k表示时刻，K为非负常数，G₁为系数矩阵，h₁是由TDOA测量值以及传感器位置信息组成的列矢量；W＝E[ηη^T]^-1＝(BQB)^-1表示加权矩阵,B＝diag{B₀,...,B_K}为块对角矩阵，Q＝E[nn^T]为RDOA测量误差的协方差矩阵，n表示RDOA测量误差，E表示进行期望，T表示转置操作，(·)^-1表示取逆操作；

3b)设定目标位置坐标u的初始估计值取辅助变量估计值的前三个元素，即通过公式(7)得出目标位置坐标u的初始估计值以及信号从目标到第k时刻的参考接收站的真实距离r_1,k的估计值

3c)利用辅助变量的伪线性方程组和辅助变量估计值得到辅助变量估计值的估计偏差

子步骤3c)具体包括3c1)和3c2)：

3c1)辅助变量的伪线性方程组式(6)等价于其中，h₁表示由TDOA测量值以及传感器位置信息组成的列矢量，表示辅助变量，G₁为系数矩阵，η表示误差项；

3c2)将式代入式(7)，得到辅助变量估计值的估计偏差表示为下式：

其中，表示辅助变量估计值的估计偏差，表示辅助变量，表示辅助变量估计值，G₁表示系数矩阵，W表示加权矩阵,η表示误差项，T表示转置操作，(·)^-1表示取逆操作。

5.根据权利要求4所述的一种基于多运动接收站的时差定位方法，其特征在于，步骤4包括以下子步骤：

4a)设定目标位置坐标u的初始估计值取辅助变量估计值的前三个元素，即目标位置坐标的初始估计偏差Δu取估计偏差的前三个元素，即

4b)根据估计偏差的表达式(8)得到：

$u=\hat{u}-\mathrm{\Δu};$

其中，u表示目标位置坐标，Δu表示目标位置坐标的初始估计偏差并且 表示目标位置坐标u的初始估计值并且和分别表示取辅助变量估计值和估计偏差的前三个元素；

4c)将目标到第k时刻的参考接收站的真实距离r_1,k在目标位置坐标u的初始估计值处进行一阶泰勒级数展开，得到如下泰勒级数展开式：

$r_{1,k}\≈{\hat{r}}_{1,k}-{\mathrm{\ρ}}_{\hat{u},s_{1,k}}^T\mathrm{\Δu},k=\mathrm{0,1},...,K---\left(9\right)$

其中，r_1,k表示信号从目标位置坐标u到第k时刻的参考接收站的真实距离，表示信号从目标到第k时刻的参考接收站的真实距离r_1,k的估计值，s_1,k表示第k时刻的参考接收站的位置坐标，k表示时刻，表示单位矢量，Δu表示目标位置坐标的初始估计偏差，表示目标位置坐标u的初始估计值，目标位置坐标其中表示目标位置坐标的初始估计偏差，和分别表示取辅助变量估计值和估计偏差的前三个元素；||·||₂表示取二范数操作，T表示转置操作；

4d)将及式(9)代入式(5)得到目标位置坐标u的初始估计偏差Δu的线性模型，表达式为：

h_2i,k-g_2i,kΔu＝η_k (10)

其中，i＝2,...,N，N表示运动接收站的个数，k表示时刻，k＝0,1,...,K， $h_{2i,k}=\frac{1}{2}({\tilde{r}}_{i1,k}^2-s_{i,k}^T{s}_{i,k}+s_{1,k}^T{s}_{1,k})+{\tilde{r}}_{i1,k}{\hat{r}}_{1,k}+{(s_{i,k}-s_{1,k})}^T$ 为TDOA测量值及传感器位置信息分量，表示系数矢量，Δu表示目标位置坐标的初始估计偏差，η_k表示误差项η的分量项；

4e)将目标位置坐标u的初始估计偏差Δu的线性模型方程式(10)转换为目标位置坐标的初始估计偏差Δu的线性模型的矩阵表达式，为下式：

h₂-G₂Δu＝η (11)

其中，h₂是由TDOA测量值、传感器位置信息以及目标位置坐标的初始估计值构成的列矢量，且h₂为(K+1)×(N-1)维，其分量h_2,k＝[h_22,k,h_23,k,...,h_2N,k]^T，G₂是目标位置初始估计偏差Δu的系数矩阵， $G_2={[G_{\mathrm{2,0}}^T,G_{\mathrm{2,1}}^T,...,G_{2,K}^T]}^T,$ $G_{2,k}={[g_{22,k}^T,g_{23,k}^T,...,g_{2N,k}^T]}^T$ 为系数矩阵G₂的矢量分量，η表示误差项，k＝0,1,...,K，k表示时刻，K为非负常数，N表示运动接收站的个数，T表示转置操作。

6.根据权利要求5所述的一种基于多运动接收站的时差定位方法，其特征在于，步骤5包括以下子步骤：

5a)用加权最小二乘法求解目标位置坐标的初始估计偏差Δu的线性模型的矩阵表达式，也就是公式(11)，令残差η^TWη最小，即令f(Δu)＝(h₂-G₂Δu)^TW(h₂-G₂Δu)对Δu的偏导数等于零，得到：

$\mathrm{\Δ}\hat{u}={\left(G_2^T{\mathrm{WG}}_2\right)}^{-1}{G}_2^T{\mathrm{Wh}}_2---\left(12\right)$

其中，表示目标位置坐标的初始估计偏差Δu的加权最小二乘估计，G₂表示目标位置初始估计偏差Δu的系数矩阵，h₂是由TDOA测量值、传感器位置信息以及目标位置坐标的初始估计值构成的列矢量，W表示加权矩阵,T表示转置操作，(·)^-1表示取逆操作；

5b)校正后的目标位置坐标为：

$\tilde{u}=\hat{u}-\mathrm{\Δ}\hat{u}---\left(13\right)$

其中，表示校正后的目标位置坐标，表示目标位置坐标u的初始估计值，表示目标位置坐标u的初始估计偏差Δu的加权最小二乘估计。