CN104820204A - 一种减小偏差的加权最小二乘定位方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种减小偏差的加权最小二乘定位方法，特点是根据布置好的每个接收机的位置、测量噪声功率以及信号从目标源到参考接收机和其它接收机的到达时间差，构造一个加权最小二乘关系式，然后构造拉格朗日函数，并利用二分法得到最优拉格朗日乘子，利用最优拉格朗日乘子得到目标源位置的有偏估计值，再计算偏差，并将得到有偏估计值减去偏差得到最终的无偏估计值，优点在于能够有效降低目标源位置的最终估计值的偏差，并能在大噪声环境下降低均方根误差，定位精度高且非常稳健。

Description

一种减小偏差的加权最小二乘定位方法

技术领域

本发明涉及一种目标定位方法，尤其是涉及到在基于到达时间差定位问题中，一种减小偏差的加权最小二乘定位方法。

背景技术

在雷达和声纳的研究中，目标定位是一个经典的研究课题。最近30年来，尤其在911事件之后，人们对定位服务的要求越来越高，从而使目标定位受到了越来越多的关注。目标定位技术在军事侦察、交通监视、工农业控制、生物医疗、环境监测、抢险救灾及危险区域远程控制等领域都有广阔的应用前景，因此研究定位方法具有十分重要的意义。

在定位问题中，一个未知目标源发出信号，由一定数量的定位传感器接收信号，并产生测量信息，根据这些测量信息来定位未知目标源。本专利考虑测量信息为到达时间差的定位方法。

在基于到达时间差的定位方法中，由于测量噪声是高斯分布，最大似然方法是处理该定位问题的最优方法。然而，由于最大似然问题的非线性和非凸性，它的性能依赖于初始估计的准确性。为了克服这个困难，人们提出了一些闭式解方法。这些方法将非线性定位问题近似为线性问题处理。事实证明，这种方法在小的测量噪声下能够达到性能下界，但是在大的测量噪声下并不理想。为改善定位性能，通常有两种方法。一种是将原本的测量模型和定位问题近似转换为非线性估计问题，这种方法虽然不是最优的且计算稍复杂，但它们通常在大的测量噪声下性能更好；另一种是对闭式解减少偏差以改善该方法在大噪声下的性能。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是提供一种减小偏差的加权最小二乘定位方法，在基于信号到达时间差定位方法中，能够有效减小非线性定位方法的偏差以进一步提高定位精度。

本发明解决上述技术问题所采用的技术方案：一种减小偏差的加权最小二乘定位方法，包括以下步骤：

(1)对于在无线网络环境中的一个待定位的目标源，首先在无线网络环境中建立一个n维坐标系作为参考坐标系，其中n＝2或3，并在该无线网络中设置N+1个接收机，N≥n+1，选择任意一个接收机作为参考接收机并将其在参考坐标系的坐标记为s₀，将其它接收机在参考坐标系的坐标记为s_i，i＝1,...,N，将目标源在参考坐标系的坐标记为x^o，将目标源发出的测量信号到达第i个接收机和到达参考接收机所经历的时间差记为t_i，进而得到信号传输的距离差d_i＝ct_i，其中c为光速；

(2)定义系数矩阵A、向量b以及噪声协方差矩阵Q如下：

       $A=-2\left[\begin{array}{cc}{(s_1-s_0)}^T& d_1\\ .& .\\ .& .\\ .& .\\ {(s_N-s_0)}^T& d_N\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}{d}_1^2-{\left|\right|\left|s_1\right||}^2+{\left|\right|s_0\left|\right|}^2\\ .\\ .\\ .\\ d_N^2-{\left|\right|s_N\left|\right|}^2+{\left|\right|s_0\left|\right|}^2\end{array}\right],$       

其中σ²为测量环境噪声功率，“T”为矩阵转置，“||·||”是欧几里德范数，然后根据下式计算对目标源位置的初始估计：

       ${[{\hat{x}}_0^T,{\hat{r}}_0]}^T={\left(A^T{Q}^{-1}A\right)}^{-1}{A}^T{Q}^{-1}b,$

其中为目标源位置的初始估计，为目标源到参考接收机距离的初始估计；

(3)根据步骤(1)中定义的接收机的坐标s_i以及信号传输的距离差d_i，采用非线性加权最小二乘方法估计目标源的位置，表示为以下非线性加权最小二乘关系式：

       $\underset{y={\left[\begin{array}{cc}{x}^T& r\end{array}\right]}^T}{\min }{(\mathrm{Ay}-b)}^T\hat{W}(\mathrm{Ay}-b)$

s.t.r＝||x-s₀||

其中y＝[x^T r]^T为优化变量，x表示目标源位置变量，r表示目标源到参考接收机的距离变量，为权矩阵，矩阵B定义为“s.t.”表示“受约束为”，“min”表示“使最小化”；

(4)定义矩阵 $D=\left[\begin{array}{cc}{I}_n& 0_{n\×1}\\ 0_{n\×1}^T& -1\end{array}\right]$ 及向量 $f=\left[\begin{array}{c}{-s}_0\\ 0\end{array}\right],$ 其中“I_n”为n×n单位矩阵，“0_n×1”为n×1零向量，将步骤(3)中的非线性加权最小二乘关系式等价写为如下关系式：

       $\underset{y}{\min }{(\mathrm{Ay}-b)}^T\hat{W}(\mathrm{Ay}-b)$

s.t.y^TDy+2f^Ty+||s₀||²＝0.

然后，构造上述关系式的拉格朗日函数 $L\left(\mathrm{\λ}\right)={(\mathrm{Ay}-b)}^T\hat{W}(\mathrm{Ay}-b)+\mathrm{\λ}(y^T\mathrm{Dy}+2f^{T}y+{\left|\right|s_0\left|\right|}^2),$ 其中λ为拉格朗日乘子，最后，利用二分法得到最优拉格朗日乘子，记为λ^*；

(5)将步骤(4)得到的最优拉格朗日乘子λ^*代入关系式中，得到 $\hat{y}={(A^T\hat{W}A+{\mathrm{\λ}}^{*}D)}^{-1}(A^T\hat{W}b-{\mathrm{\λ}}^{*}f),$ 其中为加权最小二乘关系式的全局最优解，将代入公式y＝[x^T r]^T，得到其中即为目标源在参考坐标系中坐标的有偏估计值；

(6)定义矩阵F为

       $F=-2\left[\begin{array}{c}{d}_1{\mathrm{\ρ}}^T+{(s_1-s_0)}^T\\ .\\ .\\ .\\ d_i{\mathrm{\ρ}}^T+{(s_i-s_0)}^T\\ .\\ .\\ .\\ d_N{\mathrm{\ρ}}^T+{(s_N-s_0)}^T\end{array}\right],$

其中为n×1维列向量，再定义矩阵V和U为 $U=\hat{W}B-\hat{W}F{\left(F^T\hat{W}F\right)}^{-1}{F}^T\hat{W}B,$ 定义向量g，h为

       $g=-2\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^N{\mathrm{\ρ}}^T{v}_i{Q}_{1,i}\\ .\\ .\\ .\\ {\mathrm{\Σ}}_{i=1}^N{\mathrm{\ρ}}^T{v}_i{Q}_{j,i}\\ .\\ .\\ .\\ {\mathrm{\Σ}}_{i=1}^N{\mathrm{\ρ}}^T{v}_i{Q}_{N,i}\end{array}\right],h=-2\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^N{{\mathrm{\ρ}}_1}^T{u}_i^T{q}_i\\ .\\ .\\ .\\ {\mathrm{\Σ}}_{i=1}^N{{\mathrm{\ρ}}_k}^T{u}_i^T{q}_i\\ .\\ .\\ .\\ {\mathrm{\Σ}}_{i=1}^N{{\mathrm{\ρ}}_n}^T{u}_i^T{q}_i\end{array}\right],$

其中ρ_k为ρ的第k个元素，k＝1,…n，v_i,u_i,q_i分别是V、U以及Q的第i列向量，而Q_j,i是Q的第j行，第i列元素，j＝1,…,N，定义偏差 $E\left[\mathrm{\Δx}\right]={\left(F^T\hat{W}F\right)}^{-1}{F}^T\hat{W}\stackrel{\‾}{q}-{\left(F^T\hat{W}F\right)}^{-1}{F}^T\hat{W}g+{\left(F^T\hat{W}F\right)}^{-1}h,$ 得到目标源在参考坐标系中坐标的最终无偏估计值为这里，是由Q的对角线元素组成的列向量。

步骤(4)中利用二分法得到最优拉格朗日乘子的具体步骤为：

①定义关于λ的函数： $\mathrm{\φ}\left(\mathrm{\λ}\right)={(A^T\hat{W}A+\mathrm{\λD})}^{-1}(A^T\hat{W}b-\mathrm{\λf});$

②求解矩阵的特征值，并取其最大特征值为u₁，最小特征值为u₀，令 ${\mathrm{\&alpha;}}_1=-\frac{1}{u_1},{\mathrm{\&alpha;}}_0=-\frac{1}{u_0},$ 其中α₁<0<α₀；

③令并将λ＝α₀、λ＝α₁和λ＝α₂分别代入φ(λ)得到φ(α₀)、φ(α₁)和φ(α₂)，判断φ(α₀)φ(α₂)<0是否成立，若成立，令α₁＝α₂；否则，令α₀＝α₂；

④给定求解精度ε＝10^-10，并判断|α₀-α₁|<ε是否成立。若成立，执行第⑤步；否则执行第③步；

⑤输出α₂，此时，α₂即为最优拉格朗日乘子λ^*。

与闭式解方法相比，本发明的优点在于以下两点：(1)该定位方法能够有效降低偏差，并能大噪声环境下降低均方根误差9.65-127.24米；(2)在接收机数量较少时，该定位方法仍能准确地定位目标源。因此，其定位精度高且非常稳健。

附图说明

图1为典型的基于到达时间差的定位环境示意图；

图2为本发明的总体流程示意图；

图3为本发明在测量中均方根误差和偏差随噪声大小的变化图；

图4为本发明在测量中均方根误差和偏差随传感器数目的变化图。

具体实施方式

以下结合附图实施例对本发明作进一步详细描述。

本发明提出了一种减小偏差的加权最小二乘定位方法，图2给出了其总体流程示意图，其主要包括以下步骤：

(1)对于在无线网络环境中的一个待定位的目标源，首先在无线网络环境中建立一个n维坐标系作为参考坐标系，其中n＝2或3，并在该无线网络中设置N+1个接收机，N≥n+1，选择任意一个接收机作为参考接收机并将其在参考坐标系的坐标记为s₀，将其它接收机在参考坐标系的坐标记为s_i，i＝1,...,N，将目标源在参考坐标系的坐标记为x^o，将目标源发出的测量信号到达第i个接收机和到达参考接收机所经历的时间差记为t_i，进而得到信号传输的距离差d_i＝ct_i，其中c为光速；

(2)定义系数矩阵A、向量b以及噪声协方差矩阵Q如下：

       $A=-2\left[\begin{array}{cc}{(s_1-s_0)}^T& d_1\\ .& .\\ .& .\\ .& .\\ {(s_N-s_0)}^T& d_N\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}{d}_1^2-{\left|\right|\left|s_1\right||}^2+{\left|\right|s_0\left|\right|}^2\\ .\\ .\\ .\\ d_N^2-{\left|\right|s_N\left|\right|}^2+{\left|\right|s_0\left|\right|}^2\end{array}\right],$       

其中σ²为测量环境噪声功率，“T”为矩阵转置，“||·||”是欧几里德范数，然后根据下式计算对目标源位置的初始估计：

       ${[{\hat{x}}_0^T,{\hat{r}}_0]}^T={\left(A^T{Q}^{-1}A\right)}^{-1}{A}^T{Q}^{-1}b,$

其中为目标源位置的初始估计，为目标源到参考接收机距离的初始估计；

(3)根据步骤(1)中定义的接收机的坐标s_i以及信号传输的距离差d_i，采用非线性加权最小二乘方法估计目标源的位置，表示为以下非线性加权最小二乘关系式：

       $\underset{y={\left[\begin{array}{cc}{x}^T& r\end{array}\right]}^T}{\min }{(\mathrm{Ay}-b)}^T\hat{W}(\mathrm{Ay}-b)$

s.t.r＝||x-s₀||

其中y＝[x^T r]^T为优化变量，x表示目标源位置变量，r表示目标源到参考接收机的距离变量，为权矩阵，矩阵B定义为“s.t.”表示“受约束为”，“min”表示“使最小化”；

(4)定义矩阵 $D=\left[\begin{array}{cc}{I}_n& 0_{n\&times;1}\\ 0_{n\&times;1}^T& -1\end{array}\right]$ 及向量 $f=\left[\begin{array}{c}{-s}_0\\ 0\end{array}\right],$ 其中“I_n”为n×n单位矩阵，“0_n×1”为n×1零向量，将步骤(3)中的非线性加权最小二乘关系式等价写为如下关系式：

       $\underset{y}{\min }{(\mathrm{Ay}-b)}^T\hat{W}(\mathrm{Ay}-b)$

s.t.y^TDy+2f^Ty+||s₀||²＝0.

然后，构造上述关系式的拉格朗日函数 $L\left(\mathrm{\&lambda;}\right)={(\mathrm{Ay}-b)}^T\hat{W}(\mathrm{Ay}-b)+\mathrm{\&lambda;}(y^T\mathrm{Dy}+2f^{T}y+{\left|\right|s_0\left|\right|}^2),$ 其中λ为拉格朗日乘子，最后，利用二分法得到最优拉格朗日乘子，记为λ^*，具体步骤为：

①定义关于λ的函数： $\mathrm{\&phi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right)={(A^T\hat{W}A+\mathrm{\&lambda;D})}^{-1}(A^T\hat{W}b-\mathrm{\&lambda;f});$

②求解矩阵的特征值，并取其最大特征值为u₁，最小特征值为u₀，令 ${\mathrm{\&alpha;}}_1=-\frac{1}{u_1},{\mathrm{\&alpha;}}_0=-\frac{1}{u_0},$ 其中α₁<0<α₀；

③令并将λ＝α₀、λ＝α₁和λ＝α₂分别代入φ(λ)得到φ(α₀)、φ(α₁)和φ(α₂)，判断φ(α₀)φ(α₂)<0是否成立，若成立，令α₁＝α₂；否则，令α₀＝α₂；

④给定求解精度ε＝10^-10，并判断|α₀-α₁|<ε是否成立。若成立，执行第⑤步；否则执行第③步；

⑤输出α₂，此时，α₂即为最优拉格朗日乘子λ^*；

(5)将步骤(4)得到的最优拉格朗日乘子λ^*代入关系式中，得到 $\hat{y}={(A^T\hat{W}A+{\mathrm{\&lambda;}}^{*}D)}^{-1}(A^T\hat{W}b-{\mathrm{\&lambda;}}^{*}f),$ 其中为加权最小二乘关系式的全局最优解，将代入公式y＝[x^T r]^T，得到其中即为目标源在参考坐标系中坐标的有偏估计值；

(6)定义矩阵F为

       $F=-2\left[\begin{array}{c}{d}_1{\mathrm{\&rho;}}^T+{(s_1-s_0)}^T\\ .\\ .\\ .\\ d_i{\mathrm{\&rho;}}^T+{(s_i-s_0)}^T\\ .\\ .\\ .\\ d_N{\mathrm{\&rho;}}^T+{(s_N-s_0)}^T\end{array}\right],$

其中为n×1维列向量，再定义矩阵V和U为 $U=\hat{W}B-\hat{W}F{\left(F^T\hat{W}F\right)}^{-1}{F}^T\hat{W}B,$ 定义向量g，h为

       $g=-2\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^N{\mathrm{\&rho;}}^T{v}_i{Q}_{1,i}\\ .\\ .\\ .\\ {\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^N{\mathrm{\&rho;}}^T{v}_i{Q}_{j,i}\\ .\\ .\\ .\\ {\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^N{\mathrm{\&rho;}}^T{v}_i{Q}_{N,i}\end{array}\right],h=-2\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^N{{\mathrm{\&rho;}}_1}^T{u}_i^T{q}_i\\ .\\ .\\ .\\ {\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^N{{\mathrm{\&rho;}}_k}^T{u}_i^T{q}_i\\ .\\ .\\ .\\ {\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^N{{\mathrm{\&rho;}}_n}^T{u}_i^T{q}_i\end{array}\right],$

其中ρ_k为ρ的第k个元素，k＝1,…n，v_i,u_i,q_i分别是V、U以及Q的第i列向量，而Q_j,i是Q的第j行，第i列元素，j＝1,…,N，定义偏差 $E\left[\mathrm{\&Delta;x}\right]={\left(F^T\hat{W}F\right)}^{-1}{F}^T\hat{W}\stackrel{\&OverBar;}{q}-{\left(F^T\hat{W}F\right)}^{-1}{F}^T\hat{W}g+{\left(F^T\hat{W}F\right)}^{-1}h,$ 得到目标源在参考坐标系中坐标的最终无偏估计值为这里，是由Q的对角线元素组成的列向量。

步骤(1)中获得信号从目标源到达参考接收机和其它接收机所经历的时间差t_i，过程如下：

接收机检测目标源辐射信号之后，接收一段目标源辐射的信号并记录接收时间，然后将这段信号和接收时间信息发送到融合中心。由于各接收机之间为有线骨干网连接(相比于到达时间测量误差，有线同步的误差是可以忽略不计的)或采用高精确度无线同步算法实现同步，融合中心可通过对各接收机接收的信号与参考接收机接收的信号作互相关运算。具体操作为：对某一接收机接收的信号，每次平移一个时隙并与参考接收机接收的信号作互相关运算，直到互相关函数得到峰值为止。记录平移次数并乘以时隙长度即为信号到达该接收机与到达参考接收机的时间差。通过仿真来验证本发明的定位方法的可行性、有效性以及定位性能。

场景一：本场景测试本专利算法的性能随测量噪声大小的变化情况。假设安置8个接收机(其中一个为参考接收机)来进行测量。首先建立一个平面坐标系，参考接收机的坐标为(0,0)，其余7个接收机的坐标则随机分布在以(0,0)为圆心，以300m为半径的圆内。目标源位置随机分布在以内径300m外径1000m的圆环内。测量噪声的功率σ²在-20dB到5dB之间。

场景二：本场景测试本专利算法的性能随接收机个数的变化情况，即接收机的个数从6个依次增加到10个。测量噪声的功率σ²固定为0dB。参考接收机的坐标仍为(0,0)，其它接收机的的坐标则随机分布在以内径300m外径800m的圆环内。

图3为在场景一中本发明的均方根误差和偏差随噪声大小的变化图。从图中可以看出在测量噪声功率由小至大的变化过程中，本发明提出的定位方法在均方根误差和偏差两方面都要优于现有的闭式解方法。具体来说，在噪声功率为0dB和5dB时，偏差能够分别降低0.172米和0.4米，均方根误差能够降低9.65米到127.24米。

图4为在场景二中本发明的均方根误差和偏差随传感器数目的变化图。在接收机数目由少至多的变化过程中，本发明在均方根误差和偏差两方面仍然都要优于现有的闭式解方法。具体来说，在接收机小于8个时，闭式解方法的性能急剧变差，以致无法完成定位，而本专利的方法仍能完成准确定位。

由仿真结果可以看出，本发明提出的定位方法具有良好的性能。与现有的闭式解方法相比，本发明提出的定位方法能够同时减小均方根误差和偏差，可以很好地满足定位高精度的需求。

Claims (2)

1.一种减小偏差的加权最小二乘定位方法，其特征在于包括以下步骤：

(1)对于在无线网络环境中的一个待定位的目标源，首先在无线网络环境中建立一个n维坐标系作为参考坐标系，其中n＝2或3，并在该无线网络中设置N+1个接收机，N≥n+1，选择任意一个接收机作为参考接收机并将其在参考坐标系的坐标记为s₀，将其它接收机在参考坐标系的坐标记为s_i，i＝1,...,N，将目标源在参考坐标系的坐标记为x^o，将目标源发出的测量信号到达第i个接收机和到达参考接收机所经历的时间差记为t_i，进而得到信号传输的距离差d_i＝ct_i，其中c为光速；

(2)定义系数矩阵A、向量b以及噪声协方差矩阵Q如下：

$A=-2\left[\begin{array}{cc}{(s_1-s_0)}^T& d_1\\ .& .\\ .& .\\ .& .\\ {(s_N-s_0)}^T& d_N\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}{d}_1^2-{\left|\right|s_1\left|\right|}^2+{\left|\right|s_0\left|\right|}^2\\ .\\ .\\ .\\ d_N^2-{\left|\right|s_N\left|\right|}^2+{\left|\right|s_0\left|\right|}^2\end{array}\right],$

其中σ²为测量环境噪声功率，“T”为矩阵转置，“||·||”是欧几里德范数，然后根据下式计算对目标源位置的初始估计：

${[{\hat{x}}_0^T,{\hat{r}}_0]}^T={\left(A^T{Q}^{-1}A\right)}^{-1}{A}^T{Q}^{-1}b,$

其中为目标源位置的初始估计，为目标源到参考接收机距离的初始估计；

(3)根据步骤(1)中定义的接收机的坐标s_i以及信号传输的距离差d_i，采用非线性加权最小二乘方法估计目标源的位置，表示为以下非线性加权最小二乘关系式：

$\begin{array}{cc}\underset{y={\left[\begin{array}{cc}{x}^T& r\end{array}\right]}^T}{\min }& {(\mathrm{Ay}-b)}^T\hat{W}(\mathrm{Ay}-b)\end{array}$

s.t.  r＝||x-s₀||

其中y＝[x^T r]^T为优化变量，x表示目标源位置变量，r表示目标源到参考接收机的距离变量，为权矩阵，矩阵B定义为“s.t.”表示“受约束为”，“min”表示“使最小化”；

(4)定义矩阵 $D=\left[\begin{array}{cc}{I}_n& 0_{n\&times;1}\\ 0_{n\&times;1}^T& -1\end{array}\right]$ 及向量 $f=\left[\begin{array}{c}-s_0\\ 0\end{array}\right],$ 其中“I_n”为n×n单位矩阵，“0_n×1”为n×1零向量，将步骤(3)中的非线性加权最小二乘关系式等价写为如下关系式：

$\begin{array}{cc}\underset{y}{\min }& {(\mathrm{Ay}-b)}^T\hat{W}(\mathrm{Ay}-b)\end{array}$

s.t.  y^TDy+2f^Ty+||s₀||²＝0.

然后，构造上述关系式的拉格朗日函数 $L\left(\mathrm{\&lambda;}\right)={(\mathrm{Ay}-b)}^T\hat{W}(\mathrm{Ay}-b)+\mathrm{\&lambda;}(y^T\mathrm{Dy}+{2f}^{T}y+{\left|\right|s_0\left|\right|}^2),$ 其中λ为拉格朗日乘子，最后，利用二分法得到最优拉格朗日乘子，记为λ^*；

(5)将步骤(4)得到的最优拉格朗日乘子λ^*代入关系式中，得到 $\hat{y}={(A^T\hat{W}A+{\mathrm{\&lambda;}}^{*}D)}^{-1}(A^T\hat{W}b-{\mathrm{\&lambda;}}^{*}f),$ 其中为加权最小二乘关系式的全局最优解，将代入公式y＝[x^T r]^T，得到其中即为目标源在参考坐标系中坐标的有偏估计值；

(6)定义矩阵F为

$F=-2\left[\begin{array}{c}{d}_1{\mathrm{\&rho;}}^T+{(s_1-s_0)}^T\\ .\\ .\\ .\\ d_i{\mathrm{\&rho;}}^T+{(s_i-s_0)}^T\\ .\\ .\\ .\\ d_N{\mathrm{\&rho;}}^T+{(s_N-s_0)}^T\end{array}\right],$

其中为n×1维列向量，再定义矩阵V和U为 $U=\hat{W}B-\hat{W}F{\left(F^T\hat{W}F\right)}^{-1}{F}^T\hat{W}B,$ 定义向量g，h为

$g=-2\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^N{\mathrm{\&rho;}}^T{v}_i{Q}_{1,i}\\ .\\ .\\ .\\ {\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^N{\mathrm{\&rho;}}^T{v}_i{Q}_{j,i}\\ .\\ .\\ .\\ {\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^N{\mathrm{\&rho;}}^T{v}_i{Q}_{N,i}\end{array}\right],h=-2\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^N{{\mathrm{\&rho;}}_1}^T{u}_i^T{q}_i\\ .\\ .\\ .\\ {\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^N{{\mathrm{\&rho;}}_k}^T{u}_i^T{q}_i\\ .\\ .\\ .\\ {\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^N{{\mathrm{\&rho;}}_n}^T{u}_i^T{q}_i\end{array}\right]$

其中ρ_k为ρ的第k个元素，k＝1,…n，v_i,u_i,q_i分别是V、U以及Q的第i列向量，而Q_j,i是Q的第j行，第i列元素，j＝1,…,N，定义偏差 $E\left[\mathrm{\&Delta;x}\right]={\left(F^T\hat{W}F\right)}^{-1}{F}^T\hat{W}\stackrel{\&OverBar;}{q}-{\left(F^T\hat{W}F\right)}^{-1}{F}^T\hat{W}g+{\left(F^T\hat{W}F\right)}^{-1}h,$ 得到目标源在参考坐标系中坐标的最终无偏估计值为这里，是由Q的对角线元素组成的列向量。

2.如权利要求1所述的一种减小偏差的加权最小二乘定位方法，其特征在于步骤(4)中利用二分法得到最优拉格朗日乘子的具体步骤为：

①定义关于λ的函数： $\mathrm{\&phi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right)={(A^T\hat{W}A+\mathrm{\&lambda;D})}^{-1}(A^T\hat{W}b-\mathrm{\&lambda;f});$

②求解矩阵的特征值，并取其最大特征值为u₁，最小特征值为u₀，令其中α₁<0<α₀；

③令并将λ＝α₀、λ＝α₁和λ＝α₂分别代入φ(λ)得到φ(α₀)、φ(α₁)和φ(α₂)，判断φ(α₀)φ(α₂)<0是否成立，若成立，令α₁＝α₂；否则，令α₀＝α₂；

④给定求解精度ε＝10^-10，并判断|α₀-α₁|<ε是否成立。若成立，执行第⑤步；否则执行第③步；

⑤输出α₂，此时，α₂即为最优拉格朗日乘子λ^*。