CN106405533A - 基于约束加权最小二乘的雷达目标联合同步与定位方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于雷达目标同步与定位，公开了一种基于约束加权最小二乘的雷达目标联合同步与定位方法。通过引入辅助变量将观测得到的一系列非线性方程转化为一组伪线性方程，然后根据变量与辅助变量之间的关系把伪线性定位方程转化为约束加权最小二乘问题，最后利用拉格朗日乘子法对目标位置进行求解；该方法不仅可以得到目标位置的闭式解，而且在近场和远场的环境下都可以达到较高的估计精度。

Description

基于约束加权最小二乘的雷达目标联合同步与定位方法

技术领域

本发明属于雷达目标同步与定位领域，尤其涉及一种基于约束加权最小二乘的雷达目标联合同步与定位方法。

背景技术

无源定位技术是指观测平台不发射对目标照射的电磁波，仅通过测量目标辐射或反射的电磁波来实现定位的技术。近年来，由于在雷达，声呐，导航，目标跟踪和无线传感器网络等领域得到广泛应用，无源定位技术受到越来越多的重视，正逐渐成为定位方法发展的主流。

根据定位参数的不同无源定位技术可以分为不同的定位模型，主要包括：到达时间(Time of arrival，TOA)定位，到达时间差(Time difference of arrival，TDOA)定位，到达角度(Angle of arrival，AOA)定位以及信号到达强度(Received signal strength，RSS)定位等。每一种定位模式都会根据相应的观测数据，得到一系列的关于目标位置的定位方程。但是，由这些定位方程所得到的目标函数，具有高度的非线性和非凸性，不易求解。此外，以上这些定位模型都是在假设目标与雷达接收站精确同步的情况下进行的；但是在实际环境中，往往目标与雷达接收站都存在着时钟误差，因此很难做到精确同步，从而对定位精度产生严重的影响。

对于TOA定位而言，通过观测的数据得到目标与雷达接收站的距离，因而得到一系列的圆，由这些圆的交点来确定目标位置。显然，其定位方程具有高度非线性的特点，再加上目标与雷达接收站具有时钟偏差，因此很难进行求解。

发明内容

针对上述现有技术的不足，本发明的目的在于提供一种基于约束加权最小二乘的雷达目标联合同步与定位方法，不仅可以获得闭式解，而且通过对时钟误差进行估计，克服了时钟不同步对定位精度的影响，得到对目标定位较高的估计精度。

为达到上述目的，本发明的实施例采用如下技术方案予以实现。

一种基于约束加权最小二乘的雷达目标联合同步与定位方法，所述方法包括如下步骤：

步骤1，设定M个雷达接收站，获取M个雷达接收站的定位测量数据r＝[r₁，r₂，…，r_M]^T，其中，第i个雷达接收站的定位方程r_i＝||s_i-x||₂+τ+n_i，i＝1，2，…，M，M为雷达接收站的个数，s_i表示第i个雷达接收站位置；x表示目标位置，τ表示目标与第i个雷达接收站之间的时钟偏差，n_i表示观测噪声，且目标位置x＝[x₁，x₂]^T，x₁表示目标位置的横坐标，x₂表示目标位置的纵坐标，第i个雷达接收站位置s_i＝[s_i1，s_i2]^T，s_i1表示第i个雷达接收站位置的横坐标，s_i2表示第i个雷达接收站位置的纵坐标；

步骤2，对所述第i个雷达接收站的定位测量数据等式两边分别求平方，得到一组关于目标位置的非线性定位方程：

令i＝1，2，…，M，从而得到M组关于目标位置的非线性定位方程；

步骤3，定义辅助变量η＝x^Tx-τ²，以及组合矢量ξ＝[τ，x，η]^T，将所述M组关于目标位置的非线性定位方程转换为如下伪线性方程：

其中，数据矩阵数据向量数据误差向量其中，n是测量误差矢量：n＝[n₁，n₂，….n_M]^T，并且服从均值为零，方差为的高斯分布。B为距离矩阵，B＝diag(||s₁-x||₂，||s₂-x||₂，…，||s_M-x||₂)，组合矢量ξ＝[τ，x，η]^T是关于目标位置x、目标与雷达接收站之间的时钟偏差τ的变量；

步骤4，根据最小二乘理论，将式(2)转化为如下代价函数：

表示所述代价函数的最小二乘解，上标T表示转置运算；

得到：

进而得到目标参数的初始值 表示目标位置的初始值，表示目标与雷达接收站之间的时钟偏差的初始值；

步骤5，根据目标参数的初始值构造加权矩阵，对步骤4中式(3)的代价函数进行加权，将其转化为加权最小二乘优化式，且对组合矢量ξ＝[τ，x，η]^T进行约束，从而进一步将加权最小二乘优化式转化为约束加权最小二乘优化式；

步骤6，引入拉格朗日乘子，将所述约束加权最小二乘优化式转换为拉格朗日函数，对所述拉格朗日函数进行求解，得到目标位置x、目标与雷达接收站之间的时钟偏差τ。

本发明技术首先通过引入辅助变量将观测得到的一系列非线性方程转化为一组伪线性方程，然后根据变量与辅助变量之间的关系把伪线性定位方程转化为约束加权最小二乘问题，最后利用拉格朗日乘子法对目标位置进行求解。该方法不仅可以得到目标位置的闭式解，而且在近场和远场的环境下都可以达到较高的估计精度；主要优点在于：将约束加权最小二乘理论应用到目标联合同步与定位问题中；采用拉格朗日乘子法对有约束的目标函数进行求解，充分考虑了变量之间的相互关系，而且得到了闭式解；在近场目标和远场目标的环境下都可以达到较高的定位估计精度。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1本发明实施例提供的一种基于约束加权最小二乘的雷达目标联合同步与定位方法的流程示意图；

图2(a)表示在近场环境下，本发明方法与其他方法的目标位置估计的均方根误差随信噪比的变化曲线示意图；

图2(b)表示在近场环境下，本发明方法与其他方法的目标与雷达接收站的时钟偏差估计的均方根误差随信噪比的变化曲线示意图；

图3(a)表示在远场环境下，本发明方法与其他方法的目标位置估计的均方根误差随信噪比的变化曲线示意图；

图3(b)表示在远场环境下，本发明方法与其他方法的目标与雷达接收器的时钟偏差估计的均方根误差随信噪比的变化曲线示意图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

本发明实施例提供一种基于约束加权最小二乘的雷达目标联合同步与定位方法，参考图1，所述方法包括如下步骤：

步骤1，设定M个雷达接收站，获取M个雷达接收站的定位测量数据r＝[r₁，r₂，…，r_M]^T，其中，第i个雷达接收站的定位测量数据r_i＝||s_i-x||₂+τ+n_i，i＝1，2，…，M，M为雷达接收站的个数，s_i表示第i个雷达接收站位置；x表示目标位置，τ表示目标与第i个雷达接收站之间的时钟偏差，n_i表示观测噪声，且目标位置x＝[x₁，x₂]^T，x₁表示目标位置的横坐标，x₂表示目标位置的纵坐标，第i个雷达接收站位置s_i＝[s_i1，s_i2]^T，s_i1表示第i个雷达接收站位置的横坐标，s_i2表示第i个雷达接收站位置的纵坐标；

步骤2，对所述第i个雷达接收站的定位测量数据等式两边分别求平方，得到一组关于目标位置的非线性定位方程：

令i＝1，2，…，M，从而得到M组关于目标位置的非线性定位方程；

步骤3，定义辅助变量η＝x^Tx-τ²，以及组合矢量ξ＝[τ，x，η]^T，将所述M组关于目标位置的非线性定位方程转换为如下伪线性方程：

其中，数据矩阵数据向量数据误差向量其中，n是测量误差矢量：n＝[n₁，n₂，….n_M]^T，并且服从均值为零，方差为的高斯分布，B为距离矩阵，B＝diag(||s₁-x||₂，||s₂-x||₂，…，||s_M-x||₂)，组合矢量ξ＝[τ，x，η]^T是关于目标位置x、目标与雷达接收站之间的时钟偏差τ的变量；

步骤4，根据最小二乘理论，将式(2)转化为如下代价函数：

表示所述代价函数的最小二乘解，上标T表示转置运算；

得到：

进而得到目标参数的初始值 表示目标位置的初始值，表示目标与雷达接收站之间的时钟偏差的初始值；

步骤5，根据所述目标参数的初始值构造加权矩阵，对步骤4中式(3)的代价函数进行加权，将其转化为加权最小二乘优化式，且对组合矢量ξ＝[τ，x，η]^T进行约束，从而进一步将加权最小二乘优化式转化为约束加权最小二乘优化式；

步骤5具体包括如下子步骤：

(5a)利用目标位置初始值根据上述B的定义可以得到：距离矩阵估计值构造加权矩阵结合代价函数：对其进行加权可以得到所述加权最小二乘优化式：

表示所述加权最小二乘优化式的加权最小二乘解，表示噪声功率；

(5b)由于引入的辅助变量η＝x^Tx-τ²是目标位置和目标与雷达接收站的时钟偏差的函数，从而导致矢量ξ＝[τ，x，η]^T中的变量不是相互独立的，因此步骤4中得到的目标参数的初始值误差较大。由于组合矢量ξ＝[τ，x，η]^T中的变量不是相互独立的，因此需要对组合矢量ξ＝[τ，x，η]^T进行约束，确定组合矢量ξ＝[τ，x，η]^T的约束条件：

q^Tξ+ξ^Tpξ＝0 (6)

其中，0_i×j表示i行j列的零矩阵；I_s×s表示s阶的单位矩阵。

(5c)将所述加权最小二乘优化式和所述约束条件构造为约束加权最小二乘优化式：

其中，表示所述约束加权最小二乘优化式的约束加权最小二乘解。

步骤6，引入拉格朗日乘子，将所述约束加权最小二乘优化式转换为拉格朗日函数，对所述拉格朗日函数进行求解，得到目标位置x、目标与雷达接收站之间的时钟偏差τ。

步骤6具体包括如下子步骤：

(6a)根据约束加权最小二乘优化式：

通过引入拉格朗日乘子λ，构造拉格朗日函数，将(7)式变为一个无约束优化问题：

(6b)对所述拉个朗日函数求微分，并令结果等于0，得到：

从而得到：

(6c)求解拉格朗日乘子λ，并代入式(10)，从而得到组合矢量ξ＝[τ，x，η]^T，进而得到目标位置x、目标与雷达接收站之间的时钟偏差τ。

为了求解出拉格朗日乘子λ的数值，根据拉格朗日理论，将(10)式带入到(7)式的约束条件中，可以得到：

通过对(A^TWA)^-1p进行特征值分解得到：

(A^TWA)^-1p＝UΛU^-1(12)

由上可知A是M×4维矩阵，W是M×M维矩阵，p是4×4维矩阵，因此式中分解结果有四个特征值。式中Λ＝diag(γ₁，…γ₄)，其中，γ_i，i＝1，…，4.，为矩阵(A^TWA)^-1p的特征值。

把(12)代入到式(11)中，经过整理可以得到：

e(I+λΛ)^-1h-0.5λe(I+λΛ)^-1U^-1g+h(I+λΛ)^-1Λ(I+λΛ)^-1f

-0.5λh(I+λΛ)^-1Λ(I+λΛ)^-1g-0.5λe(I+λΛ)^-1Λ(I+λΛ)^-1f (13)

+0.25λ²e(I+λΛ)^-1Λ(I+λΛ)^-1g＝0

式中，

利用式(14)将式(13)展开可得关于参数λ的方程：

式(15)是关于参数λ的多项式方程，对其进行求解可以得到参数λ的大小。

(6d)式(15)是一个高次方程，求解过程比较复杂而且容易出现多解和虚数解的情况，因此我们利用优化搜索的技术对式(15)进行求解。

利用式(15)进行参数λ进行微分，并令结果等于零，经过整理可得：

上式参数λ的解并不唯一；有研究表明参数λ的值非常小，而且在0的附近，因此我们利用牛顿法在0的一个很小的邻域内对式(16)进行搜索，搜索初始值为0，搜索步长为1，参数λ的迭代更新公式为：

当|λ_k+1-λ_k|＜ε时，即可以获得参数λ的值λ＝λ_k+1。式中ε为收敛条件。

(6e)根据步骤(6d)中式(17)得到的参数λ的数值，将其代入式(10)中即可得到目标的位置与目标与雷达接收站的时钟偏差的估计结果：得到目标位置x＝ξ(2：3)目标与传感器的时钟偏差τ＝ξ(1)。

下面通过仿真实验对本发明效果做进一步验证。

(一)实验条件

本实验测试了本发明方法在近场目标和远场目标两种环境下的同步与定位性能。选择的分布式接收系统共有八个接收传感器，其二维位置坐标如下表所示：

表一：雷达接收站的位置坐标

接收站序号	1	2	3	4	5	6	7	8
									横坐标x(m)	40	40	-40	-40	40	0	-40	0
纵坐标y(m)	40	-40	40	-40	0	40	0	-40

算法的估计性能用估计的均方根误差来衡量，均方根误差的计算公式为：其中为第l次的估计值，P为真实值，L为蒙德卡罗试验次数。本实验中试验次数L＝10000。

(二)实验内容

为了进一步说明本发明方法较其它定位与同步方法的优越性，做如下两组仿真实验。

实验一：本实验采用本发明方法对一个近场目标的位置坐标和目标与传感器的时钟偏差进行估计。目标的真实位置坐标为x＝[-20；30]，目标与传感器的时钟偏差为10ns(转化为距离偏差时需要乘光速c＝3×10⁸m/s)。

目标位置坐标和目标与传感器的时钟偏差的估计精度随传感器观测噪声功率变化的仿真结果如图2(a)和图2(b)所示；其中噪声功率的变化范围为-15～15dB。实验中，本发明(实验中用CWLS表示)与最小二乘算法(实验中用LS表示)、Zhu等的联合估计算法(实验中用WLS表示)以及CRLB进行了估计性能对比。

实验二：本实验采用本发明方法对一个远场目标的位置坐标和目标与传感器的时钟偏差进行估计。目标的真实位置坐标为x＝[60；80]，其目标与传感器的时钟偏差为10ns(转化为距离偏差时需要乘光速c＝3×10⁸)。

目标位置坐标和目标与传感器的时钟偏差的估计精度随传感器观测噪声功率变化的仿真结果如图3(a)和图3(b)所示；其中噪声功率的变化范围为-20～10dB。实验中，本发明(实验中用CWLS表示)与最小二乘算法(实验中用LS表示)、Zhu等的联合估计算法(实验中用WLS表示)以及CRLB进行了估计性能对比。

(三)结果分析

实验一：通过图2(a)和图2(b)可以看出，在近场环境下，本发明方法对目标位置和目标与传感器的时钟偏差的估计优于最小二乘算法，这是由于最小二乘算法没有考虑辅助变量与目标参数之间的关系所导致的。本发明方法与Zhu等的联合估计算法性能近似都可以在噪声功率先对较小的环境下达到CRLB。

实验二：通过观察图3(a)和图3(b)可以看出，在远场环境下，Zhu等提出的联合估计算法几乎崩溃，因为在远场环境下，由于目标不在接收传感器所构成的凸包内，Zhu等所提算法的条件不再适用，所以出现了较大的误差，换句话说，Zhu等所提的算法只适用于近场目标环境下。而本发明所提的算法在远场目标环境下仍然可以达到CRLB，获得较高的目标位置和和目标与传感器的时钟偏差的估计精度。

综上所述，通过仿真实验说明了本发明不仅在近场目标情况下，而且在远场情况下依然可以获得较好的估计性能。而这一点优于现有的算法。

以上所述，仅为本发明的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，可轻易想到变化或替换，都应涵盖在本发明的保护范围之内。因此，本发明的保护范围应以所述权利要求的保护范围为准。

Claims (3)

1.一种基于约束加权最小二乘的雷达目标联合同步与定位方法，其特征在于，所述方法包括如下步骤：

步骤1，设定M个雷达接收站，获取M个雷达接收站的定位测量数据r＝[r₁，r₂，…，r_M]^T，其中，第i个雷达接收站的定位测量数据r_i＝||s_i-x||₂+τ+n_i，i＝1，2，…，M，M为雷达接收站的个数，s_i表示第i个雷达接收站位置；x表示目标位置，τ表示目标与第i个雷达接收站之间的时钟偏差，n_i表示观测噪声，且目标位置x＝[x₁，x₂]^T，x₁表示目标位置的横坐标，x₂表示目标位置的纵坐标，第i个雷达接收站位置s_i＝[s_i1，s_i2]^T，s_i1表示第i个雷达接收站位置的横坐标，s_i2表示第i个雷达接收站位置的纵坐标；

步骤2，对所述第i个雷达接收站的定位测量数据等式两边分别求平方，得到一组关于目标位置的非线性定位方程：

$\left|\right|s_i-x|{|}_2{n}_i=s_i^{T}x-r_i\mathrm{\τ}-0.5(x^{T}x-{\mathrm{\τ}}^2)-0.5(s_i^T{s}_i-r_i^2)---\left(1\right)$

令i＝1，2，…，M，从而得到M组关于目标位置的非线性定位方程；

步骤3，定义辅助变量η＝x^Tx-τ²，以及组合矢量ξ＝[τ，x，η]^T，将所述M组关于目标位置的非线性定位方程转换为如下伪线性方程：

其中，数据矩阵数据向量数据误差向量其中，n是测量误差矢量：n＝[n₁，n₂，….n_M]^T，并且服从均值为零，方差为的高斯分布，B为距离矩阵，B＝diag(||s₁-x||₂，||s₂-x||₂，…，||s_M-x||₂)，组合矢量ξ＝[τ，x，η]^T是关于目标位置x、目标与雷达接收站之间的时钟偏差τ的变量；

步骤4，根据最小二乘理论，将式(2)转化为如下代价函数：

${\widehat{\mathrm{\ξ}}}_{LS}=\arg \underset{\widehat{\mathrm{\ξ}}}{min}{(A\mathrm{\ξ}-b)}^T(A\mathrm{\ξ}-b)---\left(3\right)$

表示所述代价函数的最小二乘解，上标T表示转置运算；

得到：

进而得到目标参数的初始值 表示目标位置的初始值，表示目标与雷达接收站之间的时钟偏差的初始值；

步骤5，根据所述目标参数的初始值构造加权矩阵，对步骤4中式(3)的代价函数进行加权，将其转化为加权最小二乘优化式，且对组合矢量ξ＝[τ，x，η]^T进行约束，从而进一步将加权最小二乘优化式转化为约束加权最小二乘优化式；

步骤6，引入拉格朗日乘子，将所述约束加权最小二乘优化式转换为拉格朗日函数，对所述拉格朗日函数进行求解，得到目标位置x、目标与雷达接收站之间的时钟偏差τ。

2.根据权利要求1所述的一种基于约束加权最小二乘的雷达目标联合同步与定位方法，其特征在于，步骤5具体包括如下子步骤：

(5a)根据目标位置的初始值得到距离矩阵估计值构造加权矩阵结合代价函数得到所述加权最小二乘优化式：

${\widehat{\mathrm{\ξ}}}_{WLS}=\arg \underset{\mathrm{\ξ}}{min}{(A\mathrm{\ξ}-b)}^{T}W(A\mathrm{\ξ}-b)---\left(5\right)$

表示所述加权最小二乘优化式的加权最小二乘解，s_i表示第i个雷达接收站位置，i＝1，2，…，M；表示噪声功率；

(5b)组合矢量ξ＝[τ，x，η]^T中的变量不是独立的，因此对组合矢量ξ＝[τ，x，η]^T进行约束，确定组合矢量ξ＝[τ，x，η]^T的约束条件：

q^Tξ+ξ^Tpξ＝0 (6)

其中，0_i×j表示i行j列的零矩阵，I_s×s表示s阶的单位矩阵；

(5c)将所述加权最小二乘优化式和所述约束条件构造为约束加权最小二乘优化式：

$\begin{array}{c}{\widehat{\mathrm{\ξ}}}_{CWLS}=\arg \underset{\mathrm{\ξ}}{min}{(A\mathrm{\ξ}-b)}^{T}W(A\mathrm{\ξ}-b)\\ \begin{array}{cc}s.t& q^T\mathrm{\ξ}+{\mathrm{\ξ}}^{T}p\mathrm{\ξ}=0\end{array}\end{array}---\left(7\right)$

其中，表示所述约束加权最小二乘优化式的约束加权最小二乘解。

3.根据权利要求1所述的一种基于约束加权最小二乘的雷达目标联合同步与定位方法，其特征在于，步骤6具体包括如下子步骤：

(6a)根据约束加权最小二乘优化式：

$\begin{array}{c}{\widehat{\mathrm{\ξ}}}_{CWLS}=\arg \underset{\mathrm{\ξ}}{min}{(A\mathrm{\ξ}-b)}^{T}W(A\mathrm{\ξ}-b)\\ \begin{array}{cc}s.t& q^T\mathrm{\ξ}+{\mathrm{\ξ}}^{T}p\mathrm{\ξ}=0\end{array}\end{array}---\left(7\right)$

通过引入拉格朗日乘子λ，构造拉格朗日函数：

(6b)对所述拉个朗日函数求微分，并令结果等于0，得到：

从而得到：

$\mathrm{\ξ}={(A^{T}WA+\mathrm{\λ}p)}^{-1}(A^{T}Wb-\frac{\mathrm{\λ}}{2}q)---\left(10\right)$

(6c)求解拉格朗日乘子λ，并代入式(10)，从而得到组合矢量ξ＝[τ，x，η]^T，进而得到目标位置x、目标与雷达接收站之间的时钟偏差τ。