CN113923590B - 一种锚节点位置不确定情况下的toa定位方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种锚节点位置不确定情况下的TOA定位方法，获取原始TOA量测，对节点位置误差进行建模，在锚节点与目标节点通信的原始TOA量测中引入锚节点误差项，对锚节点误差项进行转化，将定位问题转化为一个凸问题，将凸优化问题用MATLAB求解，从而得到目标位置坐标的估计。本发明仅减弱了先验信息要求的苛求程度，实用性得到了较大的提升；有效解决了在锚节点位置误差项不服从任何先验分布的这种更符合实际的情况下，以往发明所没有解决的过度松弛问题，在定位系统受环境影响，导致锚节点真实位置与量测得到的位置出现较大偏差时仍然能够较为准确地得到目标位置的估计，具有较强的实用性。

Description

一种锚节点位置不确定情况下的TOA定位方法

技术领域

本发明涉及信号处理领域，尤其是一种TOA定位方法，适合应用于非合作无线传感器网络中多个锚节点定位一个目标节点的定位系统。

背景技术

无线传感器网络(WSN)的灵活性，广泛的覆盖范围和易于部署的特性在过去的几年中引起了广泛的关注。通常，一个无线传感器网络由一群在一定空间范围内分布的低成本和低功耗的锚节点组成，它们可以用来执行常见的信号处理任务，例如探测、定位以及目标跟踪和目标状态变化的监测。在并行网络拓扑结构下，这些传感器获取到某种量测(例如温度，湿度，到达时间等)，并将量测结果传送给融合中心。融合中心再通过对接收到的量测结果进行数据处理，得出最终的估计结果。

目标定位是无线传感器网络中最重要的信号处理任务之一。融合中心在已知锚节点位置的假设下，有效地融合各个锚节点的量测，完成目标定位任务。许多类型的量测值都可以用来进行目标定位，例如到达时间(TOA)，到达时间差(TDOA)，到达角度(AOA)和信号强度(RSSI)。其中基于TOA与TDOA量测的定位方法取得了广泛的应用，尤其是针对非合作目标的定位问题。

基于TOA与TDOA的目标定位问题的常见的处理方法是在最大似然估计框架下估计目标位置，该方法涉及非线性优化问题求解。常用的处理方法有：最大似然估计方法(Maximum Likelihood Estimation,MLE)、最小二乘估计方法(Least SquaresEstimation,LSE)、凸优化方法(Convex Optimization,CVX)。其中凸优化方法取得了广泛的应用。凸优化方法不用设置初始值，只要将问题松弛为一个凸问题，所得结果就是最优的。而基于最大似然与最小二乘的估计方法需要设定迭代初值进行搜索，因此在非合作定位场景下，其实用性就会大大降低。

在基于TOA的定位问题中，往往存在锚节点与待定位的目标节点时钟不同步的问题，即目标节点的信号产生时刻未知。消除时间不同步的影响主要有两种方法，一是将TOA定位问题转化为TDOA定位问题；二是将目标节点未知的信号产生时刻与目标位置一同估计。另外，传统模型大多假设锚节点的位置是精确已知的，但是在实际应用中，这个条件很难达到，因为受环境的影响，锚节点的真实位置和通过量测得到的位置总会存在一定的误差。例如水上浮标节点，即使预先使用GPS获取了其位置，在定位过程中，受洋流的影响，节点也会发生漂移，导致其真实位置偏离量测得到的位置。如果不采取一定的措施，就会造成定位性能的下降。

为了处理节点位置误差项，首先需要对锚节点误差项进行建模，再进行后续处理。目前大多数研究都假设锚节点位置误差向量服从零均值的高斯分布。这种建模方法的优点是形式简单，有利于理论分析和推导。还有少部分研究不假设锚节点位置误差服从任何先验分布，而是只假设锚节点误差向量模的最大值已知。在实际环境中，后一种假设更符合实际情况，因为后一种假设减弱了对先验信息的苛求程度。同时，想要获取锚节点误差向量的协方差矩阵有时并不是一件容易的事，而锚节点误差向量模的最大值却较易估计。因此，只假设锚节点误差模的最大值已知是一种较为合理的模型。然而在假设锚节点误差模的最大值已知的研究中，往往都将不同节点的位置误差项向量化，再对这个向量进行处理，这样就带来了过度松弛的问题；因此，为了提升性能，这些算法又都引入了惩罚项。惩罚项是指设置一个较小的惩罚因子乘以一个变量，再将其与目标函数相加，作为新的目标函数。引入了惩罚项的定位算法的性能受惩罚因子的变化而发生剧烈变化，而最优惩罚因子的选择过程是无法通过理论推导得到的。这就使算法陷入了繁琐的惩罚因子选择过程，增加了计算复杂度，降低了算法实用性。

综上所述，基于锚节点位置不确定的TOA定位方法研究还不是很充分，因此，需要研究使用凸优化方法基于TOA量测的锚节点位置不确定的定位问题，并解决由于向量化节点位置误差向量而带来的过度松弛问题。

发明内容

为了克服现有技术的不足，本发明提供一种锚节点位置不确定情况下的TOA定位方法。针对TOA定位问题中锚节点位置受环境影响而与量测所得位置不一致的问题，提出了一种在锚节点位置存在误差情况下的TOA定位方法。本发明仅仅需要已知锚节点误差向量的模的最大值，而不需要提前已知误差的统计分布，减弱了先验信息要求的苛求程度。同时对节点位置误差项进行逐个处理，而没有进行向量化，且没有设置需要手动调节的惩罚项，使算法的实用性得到了较大的提升。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案的详细步骤如下：

第一步：获取原始TOA量测，对节点位置误差进行建模；

选择l维定位场景；传感器网络中共M个锚节点和1个目标节点，锚节点位置已知但是存在误差，目标节点位置待估计，M个位置已知的锚节点的真实坐标分别为x₁，x₂，…，x_M，位置待估计的目标节点的坐标为y；

设目标节点的信号产生时刻为t₀，M个锚节点分别在ti时刻收到信号，ti的表达式为：

其中i＝1，2，...，M，x_i为M个锚节点的坐标，位置为锚节点的真实位置；y是未知的目标节点的坐标，c是信号传播速度，n_i为量测噪声，服从均值为零，标准差为σ_i的高斯分布，“||·||”表示取模，也即求向量的2-范数；

锚节点的真实位置坐标是未知的，已知的只有通过量测得到的带有误差的锚节点位置坐标，带有误差的锚节点位置坐标与真实的锚节点位置坐标的关系为：

其中是带有误差但是已知的锚节点位置坐标，ξ_i是锚节点误差向量，其2-范数值小于一个预设的已知值ε；

第二步：在锚节点与目标节点通信的原始TOA量测中引入锚节点误差项；

将式(2)代入到原始TOA量测的表达式中，并在左右两边同时乘以声速c，得到：

使用一阶泰勒展开式将式(3)线性化，得到：

式(4)中(.)^T表示向量的转置；

同时，令

则带有锚节点误差项的TOA量测表达式最终转化为：

r_i＝d_i-δ_i+t₀c+n_i (5)

同时，经过推导得到：

|δ_i|≤ε

其中，r_i表示锚节点i与目标节点之间通过量测得到的伪距，d_i表示锚节点i与目标节点之间的距离，锚节点i的坐标是已知的带有误差的锚节点位置，δ_i表示锚节点i与目标节点之间的模的误差值，符号“||”为求绝对值符号；

第三步：对锚节点误差项进行转化；

根据已有条件，将待优化的原始目标函数表示为如下的最小二乘问题：

根据第二步所得到的带锚节点误差项的TOA量测，将式(6)中的目标函数用式(5)代替，同时为了使最小二乘问题包括所有的锚节点位置误差项δ_i，得到如下的min-max优化问题：

其中，d₀＝t₀×c，s.t.表示“受约束于”；

待优化的目标函数是非线性且非凸的，并且带有锚节点误差项，直接求解很容易陷入局部最优，因此需要一定的方法进行处理；与其他研究对节点位置误差向量化为δ＝[δ₁，δ₂，…，δ_M]^T，再应用S-过程对该向量进行处理不同，本发明不对节点位置进行向量化，而是对每个节点的位置误差项使用S-过程进行逐个处理，这样可以使约束的松弛程度减轻；处理步骤如下：

将锚节点误差项与其他项进行分离：

这里，令

即：

令q_i＝r_i-d_i-d₀，则式(10)转化为：

令

q＝[q₁，q₂，…，q_M]^T

Q＝qq^T

则

进一步转化为：

应用S-过程，得到：

经过上述处理，优化问题被转化为：

式中，q＝[q₁，q₂，…，q_M]^T，Q＝qq^T，是为了解决优化问题新引入的向量和矩阵，且向量q的元素q_i满足q_i＝r_i-d_i-d₀，α_i，β_i和μ_i是为了转化锚节点误差向量新引进的M个常数，表示矩阵正定；

第四步：将定位问题转化为一个凸问题；

经过第三步的转化后，锚节点误差项被消除，但这时仍然存在非凸约束，该定位问题仍然不是一个可解的凸问题；需要通过对目标函数及约束条件的一系列转化和松弛，使问题转化为一个凸问题；采用的松弛方法是半正定松弛方法，最终，目标函数被转化为一个凸函数，约束条件被转化为凸约束条件，从而该问题变为一个可解的凸问题。

定义锚节点与目标节点之间通过量测得到的伪距的集合为向量r＝[r₁，r₂，...r_M]^T，带有位置误差的锚节点与目标节点之间的距离的集合为d＝[d₁，d₂，...d_M]^T，同时定义向量d₀＝[d₀，d₀，...d₀]^T，该向量共有M个元素，且所有元素都是d₀；

定义中间向量及矩阵h＝[d₁，d₂，...，d_M，d₀]^T，H＝hh^T，同时定义常量矩阵U＝[I_M，1_M]，其中I_M表示M×M的单位矩阵，1_M表示所有元素均为1的M维列向量。通过该中间向量与矩阵与待优化变量建立联系，并进行适当的松弛，就将所有的约束转化为凸约束，从而问题转化为了一个可解的凸问题；

优化问题的最终形式为：

其中，z是为解决优化问题引入的中间变量，H_ii表示矩阵H的第i行第i列的元素，H_ij表示矩阵H第i行第j列的元素，h_i表示向量h第i个元素，H_M+1，M+1表示矩阵H第M+1行第M+1列的元素，h_M+1表示向量h第M+1个元素；

第五步：求解凸优化问题，得到目标位置的估计；

将第四步得到的凸优化问题用MATLAB中的CVX凸优化工具箱求解，从而得到目标位置坐标的估计。

所述l取值为2或3。

所述M≥3。

本发明的有益效果在于提出了一种在锚节点位置存在误差情况下的基于凸优化的TOA定位方法。以往的发明大多假设锚节点位置误差向量服从高斯分布，但是在水下等复杂环境中，高斯分布并不符合实际，且需要获得先验统计信息，十分不方便。为了有效避免该问题，本发明只假设锚节点误差向量的模的最大值已知，这更符合实际情况。在得到锚节点与目标节点之间的TOA量测信息后，列出目标函数，并引入锚节点误差量，并利用S-过程消除锚节点误差向量，最后再经过转化与松弛将问题变为一个可以解决的凸问题。以往的基于位置误差向量模的最大值已知的方法往往对节点误差进行向量化后对向量进行处理，但是这种转化并非等价转化，会造成过度松弛的问题。为了解决这个问题，本发明不对误差向量进行向量化处理，而是单独对每个误差量应用S-过程。所以，本发明有效解决了在锚节点位置误差项不服从任何先验分布的这种更符合实际的情况下，以往发明所没有解决的过度松弛问题。本发明在定位系统受环境影响，导致锚节点真实位置与量测得到的位置出现较大偏差时仍然能够较为准确地得到目标位置的估计，具有较强的实用性。

附图说明

图1是本发明锚节点位置不确定情况下TOA定位方法的流程图。

图2是本发明方法性能与TOA量测噪声方差的关系图，其中图(a)为y＝[150，50]时的关系图，图(b)为y＝[150，600]时的关系图。

图3是本发明方法性能与锚节点误差向量模的最大值的关系图，图(a)为y＝[150，50]时的关系图，图(b)为y＝[150,600]时的关系图。

图4是本发明方法性能与锚节点位置误差模的最大值的估计值的关系图，图(a)为y＝[150,50]时的关系图，图(b)为y＝[150,600]时的关系图。

图5是本发明方法性能与TOA量测噪声方差的关系图，图(a)为y在锚节点组成的凸包内随机变化图，图(b)为y在锚节点组成的凸包外随机变化图。

图6是本发明方法性能与TOA量测噪声方差的关系图，锚节点和目标节点均在给定区域内随机变化曲线。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明进一步说明。

本发明的总体方法流程图如图1所示。

方法性能的评价标准为均方误差(RMSE)计算公式为：

其中N为蒙特卡洛实验次数，这里设为1000，是第j次蒙特洛实验中的目标节点的估计值。

仿真中设置5个位置已知但有误差的锚节点和2个待定位的目标节点，5个锚节点的真实位置为[-400,400]，[-400,-400]，[400,-400]，[400,400]，[0,400]。5个锚节点围成一个800m×800m的区域。目标节点的真实位置为[150,50]和[150,600]。其中[150,50]位于锚节点组成的凸包内，[150,600]位于凸包外。未知的信号产生时刻t₀服从[0,1.5]s的均匀分布。

采用混合截断高斯模型来生成锚节点误差向量，两个截断高斯模型的均值μ₁,μ₂与标准差σ₁,σ₂满足：

μ₁＝0,σ₁＝1,截断区间为[μ₁-2σ₁,μ₁+2σ₁]

μ₂＝1,σ₂＞0,截断区间为[μ₂-2σ₂,μ₂+2σ₂]

这样，在二维情况下，节点误差模的最大值为

在仿真设置中，由于预设了节点误差模的最大值ε已知，因此根据上式可导出

根据两个截断高斯模型的均值与方差，就可以生成节点误差向量。其中，两个高斯模型混合的概率比例设置为0.6和0.4。

方法性能与TOA量测噪声方差的关系如图2所示。

方法性能与锚节点误差向量模的最大值的关系如图3所示。

方法性能与模的最大值的估计值的关系如图4所示。

在目标位置随机的情况下，方法性能与TOA量测噪声方差的关系如图5所示。

在锚节点与目标节点位置均随机的情况下，方法性能与TOA量测噪声方差的关系如图6所示。

考虑二维空间的定位问题。设在一个800m×800m的区域内有5个位置已知的锚节点，即M＝5。待定位的目标节点可以在该区域内，也可以在该区域外。设5个位置已知的锚节点的真实坐标分别为x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，待估计的目标节点的坐标为y。

第一步：获取原始TOA量测，对节点位置误差进行建模

设目标节点的信号产生时刻为t₀，5个锚节点分别在ti时刻(i＝1，2，...，5)收到信号。ti的表达式为：

其中i＝1，2，...，5，x_i为M个锚节点的坐标，位置为锚节点的真实位置；y是未知的目标节点的坐标，c是信号传播速度。n_i为量测噪声，它服从均值为零，标准差为σ_i的高斯分布，“||·||”表示取模，也即求向量的2-范数。

这里锚节点的真实位置坐标是未知的，已知的只有通过量测得到的带有误差的锚节点位置坐标。带有误差的锚节点位置坐标与真实的锚节点位置坐标的关系为：

其中是带有误差但是已知的锚节点位置坐标，ξ_i是锚节点误差向量，其2-范数值小于一个预设的已知值ε。

第二步：在锚节点与目标节点通信的原始TOA量测中引入锚节点误差项将式(18)代入到原始TOA量测的表达式中，并在左右两边同时乘以声速c，可得：

使用一阶泰勒展开式将上式线性化，得：

式中()^T表示向量的转置。

同时，令

则带有锚节点误差项的TOA量测表达式最终可以转化为：

r_i＝d_i-δ_i+t₀c+n_i (21)

同时，经过简单推导可推出：

|δ_i|≤ε

其中，r_i表示锚节点i与目标节点之间通过量测得到的伪距，d_i表示锚节点i与目标节点之间的距离，注意这里的使用的锚节点i的坐标是已知的带有误差的锚节点位置。δ_i表示锚节点i与目标节点之间的模的误差值，符号“||”为求绝对值符号。

第三步：对锚节点误差项进行转化

根据已有条件，可以将待优化的原始目标函数表示为如下的最小二乘问题：

根据第二步所得到的带锚节点误差项的TOA量测，可以得到如下的min-max优化问题：

其中d₀＝t₀×c，s.t.表示“受约束于”。

待优化的目标函数是非线性且非凸的，并且带有锚节点误差项，直接求解很容易陷入局部最优。因此需要一定的方法进行处理。与其他研究对节点位置误差向量化为δ＝[δ₁，δ₂，…，δ_M]^T，再应用S-过程对该向量进行处理不同，本研究不对节点位置进行向量化，而是对每个节点的位置误差项使用S-过程进行逐个处理，这样可以使约束的松弛程度减轻。

处理步骤如下：

将锚节点误差项与其他项进行分离：

这里，令

即：

令q_i＝r_i-d_i-d₀，则式(20)转化为：

令

q＝[q₁，q₂，…，q_M]^T

Q＝qq^T

则：

进一步转化为：

应用S-过程，可得：

经过上述处理，优化问题被转化为：

第四步：将定位问题转化为一个凸问题

经过第三步的转化后，锚节点误差项被消除，但这时仍然存在非凸约束，该定位问题仍然不是一个可解的凸问题。这时需要通过对目标函数及约束条件的一系列转化和松弛，使问题转化为一个凸问题。拟采用的松弛方法是半正定松弛方法，最终，目标函数被转化为一个凸函数，约束条件被转化为凸约束条件，从而该问题变为一个可解的凸问题。

令r＝[r₁，r₂，…r_M]^T，d＝[d₁，d₂，...d_M]^T，d₀＝[d₀，d₀，...d₀]^T，则：

Q＝(r-d-d₀)(r-d-d₀)^T

＝(r-Uh)(r-Uh)^T (31)

＝rr^T-2Uhr^T+UHU^T

这里

d+d₀＝Uh

U＝[I_M，1_M]

h＝[d₁，d₂，…，d_M，d₀]^T

H＝hh^T

矩阵H的对角线元素与非对角线元素满足以下性质：

这里，

z＝y^Ty (33)

接下来将三个非凸的约束Q＝qq^T，H＝hh^T，z＝y^Ty松弛成凸约束：

从矩阵H中还可以挖掘出另外一个凸约束条件：

H_M+1，M+1≥0 (35)

同时，引入二阶锥松弛约束条件

这样就可得最终的凸优化问题为：

第五步：求解凸优化问题，得到目标位置的估计

将第四步得到的凸优化问题用MATLAB中的CVX凸优化工具箱求解，从而得到目标位置的估计，求解器为Sedumi。

Claims (1)

1.一种锚节点位置不确定情况下的TOA定位方法，其特征在于包括下述步骤：

第一步：获取原始TOA量测，对节点位置误差进行建模；

选择l维定位场景，l取值为2；传感器网络中共M个锚节点和1个目标节点，锚节点位置已知但是存在误差，目标节点位置待估计，M个位置已知的锚节点的真实坐标分别为x₁,x₂,…,x_M，位置待估计的目标节点的坐标为y；

设目标节点的信号产生时刻为t₀，M个锚节点分别在t_i时刻收到信号，t_i的表达式为：

其中i＝M，M分别取值为2和5，N为高斯分布，x_i为M个锚节点的坐标，位置为锚节点的真实位置；y是未知的目标节点的坐标，c是信号传播速度，n_i为量测噪声，服从均值为零，标准差为σ_i的高斯分布，“||·||”表示取模，也即求向量的2-范数；

锚节点的真实位置坐标是未知的，已知的只有通过量测得到的带有误差的锚节点位置坐标，带有误差的锚节点位置坐标与真实的锚节点位置坐标的关系为：

其中是带有误差但是已知的锚节点位置坐标，ξ_i是锚节点误差向量，其2-范数值小于一个预设的已知值ε；

第二步：在锚节点与目标节点通信的原始TOA量测中引入锚节点误差项；

将式(2)代入到原始TOA量测的表达式中，并在左右两边同时乘以声速c，得到：

使用一阶泰勒展开式将式(3)线性化，得到：

式(4)中(.)^T表示向量的转置；

同时，令

则带有锚节点误差项的TOA量测表达式最终转化为：

r_i＝d_i-δ_i+t₀c+n_i (5)

同时，经过推导得到：

|δ_i|≤ε

其中，r_i表示锚节点i与目标节点之间通过量测得到的伪距，d_i表示锚节点i与目标节点之间的距离，锚节点i的坐标是已知的带有误差的锚节点位置，δ_i表示锚节点i与目标节点之间的模的误差值，符号“||”为求绝对值符号；

第三步：对锚节点误差项进行转化；

根据已有条件，将待优化的原始目标函数表示为如下的最小二乘问题：

根据第二步所得到的带锚节点误差项的TOA量测，将式(6)中的目标函数用式(5)代替，同时为了使最小二乘问题包括所有的锚节点位置误差项δ_i，得到如下的min-max优化问题：

其中，d₀＝t₀×c，s.t.表示“受约束于”；

对每个节点的位置误差项使用S-过程进行逐个处理，处理步骤如下：

将锚节点误差项与其他项进行分离：

这里，令

即：

令q_i＝r_i-d_i-d₀，则式(10)转化为：

令

q＝[q₁,q₂,…,q_M]^T

Q＝qq^T

则

进一步转化为：

应用S-过程，得到：

经过上述处理，优化问题被转化为：

α_i，β_i≥0，μ_i≥0，i＝1，2，…，M.

Q＝qq^T，q_i＝r_i-d_i-d₀，i＝1，2，…，M

式中，q＝[q₁,q₂,…,q_M]^T,Q＝qq^T，是为了解决优化问题新引入的向量和矩阵，且向量q的元素q_i满足q_i＝r_i-d_i-d₀，α_i，β_i和μ_i是为了转化锚节点误差向量新引进的M个常数，≤表示矩阵正定；

第四步：将定位问题转化为一个凸问题

定义锚节点与目标节点之间通过量测得到的伪距的集合为向量r＝[r₁,r₂,…r_M]^T，带有位置误差的锚节点与目标节点之间的距离的集合为d＝[d₁,d₂,…d_M]^T，同时定义向量d₀＝[d₀,d₀,…d₀]^T，该向量共有M个元素，且所有元素都是d₀；

定义中间向量及矩阵h＝[d₁,d₂,...,d_M,d₀]^T，H＝hh^T，同时定义常量矩阵U＝[I_M,1_M]，其中I_M表示M×M的单位矩阵，1_M表示所有元素均为1的M维列向量。通过该中间向量与矩阵与待优化变量建立联系，并进行适当的松弛，就将所有的约束转化为凸约束，从而问题转化为了一个可解的凸问题；

优化问题的最终形式为：

α_i，β_i≥0，μ_i≥0，i＝1，2，…，M

Q＝rr^T-2Uhr^T+UHU^T

H_M+1，M+1≥0

其中，z是为解决优化问题引入的中间变量，H_ii表示矩阵H的第i行第i列的元素，H_ij表示矩阵H第i行第j列的元素，h_i表示向量h第i个元素，H_M+1,M+1表示矩阵H第M+1行第M+1列的元素，h_M+1表示向量h第M+1个元素；

第五步：求解凸优化问题，得到目标位置的估计；

将第四步得到的凸优化问题用MATLAB中的CVX凸优化工具箱求解，从而得到目标位置坐标的估计。