CN111157943B - 在异步网络中基于toa的传感器位置误差抑制方法 - Google Patents

在异步网络中基于toa的传感器位置误差抑制方法 Download PDF

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CN111157943B CN201911408921.0A CN201911408921A CN111157943B CN 111157943 B CN111157943 B CN 111157943B CN 201911408921 A CN201911408921 A CN 201911408921A CN 111157943 B CN111157943 B CN 111157943B
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    • G01S5/021—Calibration, monitoring or correction

Abstract

本发明公开了一种在异步网络中基于TOA的传感器位置误差抑制方法，其建立传感器获得的距离测量值的测量模型，并结合传感器在参考坐标系中的实际坐标位置模型、鲁棒最小二乘准则，得到求解目标源位置和起始发送时间的非凸定位问题；通过在非凸定位问题中引入松弛变量、辅助变量，并结合S‑程序和半正定松弛技术，将非凸定位问题松弛为求解目标源位置和起始发送时间的半正定规划问题；采用内点法对求解目标源位置和起始发送时间的半正定规划问题进行求解，得到目标源位置的估计值；优点是其能够有效减轻传感器位置误差的影响，在较大传感器位置误差的情况下性能依然稳定，且定位精度高。

Description

在异步网络中基于TOA的传感器位置误差抑制方法
技术领域
本发明涉及一种误差抑制技术，尤其是涉及一种在异步网络中基于TOA的传感器位置误差抑制方法。
背景技术
目标源定位有着广阔的应用前景，如水质监测、目标跟踪和紧急救援等，因此它引起了研究界的广泛关注。在无线传感器网络(WSN)中，目标源定位由多个传感器执行，传感器通过收集携带目标源位置信息的测量值来确定目标源的位置。常用的测量值有到达时间(TOA)、到达时间差(TDOA)、接收信号强度(RSS)、到达角度(AOA)。其中，由于基于TOA的目标源定位算法具有高定位精度的优点，因此受到了研究者们的关注，然而，基于TOA的目标源定位算法要求传感器与目标源在时间上是同步的，这是为了保证该算法不受目标源发送信号的起始发送时间的影响，但这一同步过程会产生大量执行成本的消耗，为了节约成本，目前往往采用联合估计目标源的位置和信号起始发送时间的算法。
除了时间同步问题，在实际中，由于在传感器部署过程中存在不确定性或者传感器的位置更新中存在延时现象，因此传感器的位置无法精确获得，研究者们综合考虑这些问题，提出了一系列更加符合实际的并且经济有效的目标源定位算法。
Yanbin Zou等人在IEEE Communications Letters(电气和电子工程师协会(IEEE)通信快报)中提出了一种基于最大似然估计(ML)的目标定位算法，其通过半正定松弛技术近似求解基于最大似然估计(ML)的目标定位问题，然而该算法在较大传感器位置误差的情况下性能急剧下降。Enyang Xu等人在IEEE Transactions on Signal Processing(电气和电子工程师协会(IEEE)信号处理汇刊)中提出了两种鲁棒定位算法，这两个目标定位问题可以通过半正定松弛技术和S-程序近似求解，实验表明这两种算法在较大传感器位置误差的情况下性能依然稳定，然而这两种算法的定位性能还有提升的空间。
发明内容
本发明所要解决的技术问题是提供一种在异步网络中基于TOA的传感器位置误差抑制方法，其能够有效减轻传感器位置误差的影响，在较大传感器位置误差的情况下性能依然稳定，且定位精度高。
本发明解决上述技术问题所采用的技术方案为：一种在异步网络中基于TOA的传感器位置误差抑制方法，其特征在于包括以下步骤：
步骤1：在二维异步无线传感器网络环境下建立一个平面直角坐标系作为参考坐标系，并设定在二维异步无线传感器网络环境中存在N个传感器和一个目标源，将第i个传感器在参考坐标系中的真实的坐标位置记为ai，将目标源在参考坐标系中的坐标位置记为x，ai＝(ai1,ai2)，x＝(x1,x2)；其中，N为正整数，N表示二维异步无线传感器网络环境中的传感器的总个数，N≥3，i为正整数，1≤i≤N，ai1表示ai的第1个坐标分量，ai2表示ai的第2个坐标分量，x1表示x的第1个坐标分量，x2表示x的第2个坐标分量；
步骤2：在二维异步无线传感器网络环境下由目标源发射测量信号，每个传感器接收目标源发射的测量信号后获得TOA测量值，将TOA测量值乘以测量信号的传播速度c得到相应的距离测量值；然后建立每个传感器获得的距离测量值的测量模型，将第i个传感器获得的距离测量值的测量模型描述为：di＝||x-ai||+d0+mi；其中，di表示第i个传感器获得的距离测量值，d0为引入的中间变量，d0＝ct0，c表示测量信号的传播速度，t0表示目标源发射测量信号的起始发送时间，d0的取值范围为1～6，符号“|| ||”为求欧几里得范数符号，mi表示di中存在的测量噪声，mi服从高斯分布
Figure BDA0002349447570000031
Figure BDA0002349447570000032
表示mi的功率；
步骤3：建立每个传感器在参考坐标系中的实际坐标位置模型，将第i个传感器在参考坐标系中的实际坐标位置模型描述为：
Figure BDA0002349447570000033
然后根据每个传感器在参考坐标系中的实际坐标位置模型，对每个传感器获得的距离测量值的测量模型做近似变换，得到每个传感器对应的近似的距离测量值的测量模型，将第i个传感器对应的近似的距离测量值的测量模型描述为：
Figure BDA0002349447570000041
其中，
Figure BDA0002349447570000042
表示第i个传感器在参考坐标系中的实际坐标位置，ei表示第i个传感器的位置误差，ei服从二维高斯分布
Figure BDA0002349447570000043
所有传感器的位置误差的上界为ρ，
Figure BDA0002349447570000044
σe表示设定的传感器的位置误差的标准差，令
Figure BDA0002349447570000045
02×1表示维数为2×1维的全零向量，
Figure BDA0002349447570000046
表示ei的功率，I2表示二阶单位矩阵，bi为引入的中间变量，
Figure BDA0002349447570000047
bi的上界也为ρ，( )T表示向量的转置；
步骤4：根据
Figure BDA0002349447570000048
并结合鲁棒最小二乘准则，得到求解x和d0的非凸定位问题，描述为：
Figure BDA0002349447570000049
其中，1≤i≤N，
Figure BDA00023494475700000410
为求使得
Figure BDA00023494475700000411
最大时的bi的值，
Figure BDA00023494475700000412
为求使得
Figure BDA00023494475700000413
最小时的x和d0的值；
步骤5：在求解x和d0的非凸定位问题的描述中引入松弛变量μi以及辅助变量y，得到求解x和d0的非凸定位问题的初步等价问题，描述为：
Figure BDA0002349447570000051
其中，
Figure BDA0002349447570000052
为求使得
Figure BDA0002349447570000053
最小时的x、d0、y、μi的值，“s.t.”表示“受约束于……”，
Figure BDA0002349447570000054
为在满足条件||bi||≤ρ时求(di-Aiy-bi)2的最大值，Ai表示矩阵A的第i行，A为引入的中间变量，A＝[IN,1N×1]，IN表示N阶单位矩阵，1N×1表示维数为N×1维的全1向量，符号“[ ]”为向量表示符号，[ ]T表示向量的转置，
Figure BDA0002349447570000055
表示第1个传感器在参考坐标系中的实际坐标位置，
Figure BDA0002349447570000056
表示第2个传感器在参考坐标系中的实际坐标位置，
Figure BDA0002349447570000057
表示第N个传感器在参考坐标系中的实际坐标位置；
步骤6：在求解x和d0的非凸定位问题的初步等价问题的描述中引入辅助变量Y、fi、λi，结合S-程序，得到求解x和d0的非凸定位问题的最终等价问题，描述为：
Figure BDA0002349447570000061
其中，
Figure BDA0002349447570000062
为求使得
Figure BDA0002349447570000063
最小时的x、d0、y、μi、Y、fi、λi的值，
Figure BDA0002349447570000064
表示
Figure BDA0002349447570000065
是半正定矩阵，tr()表示求矩阵的迹；
步骤7：将求解x和d0的非凸定位问题的最终等价问题的描述中的约束条件
Figure BDA0002349447570000066
和Y＝yyT转化为
Figure BDA0002349447570000067
Figure BDA0002349447570000068
yN+1＝d0和X＝xTx，然后将Y＝yyT松弛为线性矩阵不等式的形式
Figure BDA0002349447570000069
将X＝xTx松弛为线性矩阵不等式的形式
Figure BDA00023494475700000610
得到求解x和d0的半正定规划问题，描述为：
Figure BDA0002349447570000071
其中，
Figure BDA0002349447570000072
为求使得
Figure BDA0002349447570000073
最小时的x、d0、y、μi、Y、fi、λi、X的值，Yii表示矩阵Y的第i行第i列元素，1≤j≤N，i＞j，Yij表示矩阵Y的第i行第j列元素，X为引入的辅助变量，符号“| |”为取绝对值符号，
Figure BDA0002349447570000074
表示第j个传感器在参考坐标系中的实际坐标位置，yN+1表示矢量y的第N+1个分量，
Figure BDA0002349447570000075
表示
Figure BDA0002349447570000076
是半正定矩阵，
Figure BDA0002349447570000077
表示
Figure BDA0002349447570000078
是半正定矩阵，0N+2表示N+2阶的全零矩阵，03表示3阶的全零矩阵；
步骤8：采用内点法对求解x和d0的半正定规划问题进行求解，得到x和d0各自的全局最优解，其中，x的全局最优解即为目标源在参考坐标系中的坐标位置估计值。
与现有技术相比，本发明的优点在于：
1)本发明方法通过鲁棒最小二乘准则将目标定位问题公式化为求解x和d0的非凸定位问题，再结合半正定松弛技术以及S-程序将求解x和d0的非凸定位问题松弛为求解x和d0的半正定规划问题，这样能够保证获得目标源在参考坐标系中的坐标位置的全局最优解，从而提高了定位精度。
2)本发明方法联合估计目标源位置和目标源发射测量信号的起始发送时间，大大节约了执行成本。
3)通过实验验证了本发明方法能够有效减轻传感器位置误差的影响，在较大传感器位置误差的情况下性能依然稳定，并且能达到较高的定位精度。
附图说明
图1为本发明方法的总体实现框图；
图2为给定的传感器的位置误差的标准差为1米时，本发明方法与现有的三种定位方法的均方根误差随给定的距离测量值中存在的测量噪声的标准差变化的曲线示意图；
图3为给定的距离测量值中存在的测量噪声的标准差为0.5米时，本发明方法与现有的三种定位方法的均方根误差随给定的传感器的位置误差的标准差变化的曲线示意图；
图4为在不存在传感器位置误差的情况下，本发明方法与现有的三种定位方法的均方根误差随给定的距离测量值中存在的测量噪声的标准差变化的曲线示意图。
具体实施方式
以下结合附图实施例对本发明作进一步详细描述。
本发明提出的一种在异步网络中基于TOA的传感器位置误差抑制方法，其总体实现框图如图1所示，其包括以下步骤：
步骤1：在二维异步无线传感器网络环境下建立一个平面直角坐标系作为参考坐标系，并设定在二维异步无线传感器网络环境中存在N个传感器和一个目标源，将第i个传感器在参考坐标系中的真实的坐标位置记为ai，将目标源在参考坐标系中的坐标位置记为x，ai＝(ai1,ai2)，x＝(x1,x2)；其中，N为正整数，N表示二维异步无线传感器网络环境中的传感器的总个数，N≥3，本实施例中取N＝8，i为正整数，1≤i≤N，ai1表示ai的第1个坐标分量，ai2表示ai的第2个坐标分量，x1表示x的第1个坐标分量，x2表示x的第2个坐标分量，ai为不带误差的坐标位置，ai未知。
步骤2：在二维异步无线传感器网络环境下由目标源发射测量信号，每个传感器接收目标源发射的测量信号后获得TOA测量值，将TOA测量值乘以测量信号的传播速度c得到相应的距离测量值；然后建立每个传感器获得的距离测量值的测量模型，将第i个传感器获得的距离测量值的测量模型描述为：di＝||x-ai||+d0+mi；其中，di表示第i个传感器获得的距离测量值，d0为引入的中间变量，d0＝ct0，c表示测量信号的传播速度，t0表示目标源发射测量信号的起始发送时间，d0的取值范围为1～6，符号“|| ||”为求欧几里得范数符号，mi表示di中存在的测量噪声，mi服从高斯分布
Figure BDA0002349447570000101
Figure BDA0002349447570000102
表示mi的功率。
步骤3：建立每个传感器在参考坐标系中的实际坐标位置模型，将第i个传感器在参考坐标系中的实际坐标位置模型描述为：
Figure BDA0002349447570000103
然后根据每个传感器在参考坐标系中的实际坐标位置模型，对每个传感器获得的距离测量值的测量模型做近似变换，得到每个传感器对应的近似的距离测量值的测量模型，将第i个传感器对应的近似的距离测量值的测量模型描述为：
Figure BDA0002349447570000104
其中，
Figure BDA0002349447570000105
表示第i个传感器在参考坐标系中的实际坐标位置，
Figure BDA0002349447570000106
为带误差的坐标位置，
Figure BDA0002349447570000107
已知，ei表示第i个传感器的位置误差，ei服从二维高斯分布
Figure BDA0002349447570000108
所有传感器的位置误差的上界为ρ，由于||ei||服从瑞利分布，因此在本实施例中取
Figure BDA0002349447570000109
σe表示设定的传感器的位置误差的标准差，令
Figure BDA00023494475700001010
02×1表示维数为2×1维的全零向量，
Figure BDA00023494475700001011
表示ei的功率，I2表示二阶单位矩阵，bi为引入的中间变量，
Figure BDA0002349447570000111
根据柯西施瓦兹不等式，得到bi的上界也为ρ，( )T表示向量的转置。
步骤4：根据
Figure BDA0002349447570000112
并结合鲁棒最小二乘准则，得到求解x和d0的非凸定位问题，描述为：
Figure BDA0002349447570000113
其中，1≤i≤N，
Figure BDA0002349447570000114
为求使得
Figure BDA0002349447570000115
最大时的bi的值，
Figure BDA0002349447570000116
为求使得
Figure BDA0002349447570000117
最小时的x和d0的值。
步骤5：在求解x和d0的非凸定位问题的描述中引入松弛变量μi以及辅助变量y，得到求解x和d0的非凸定位问题的初步等价问题，描述为：
Figure BDA0002349447570000118
其中，
Figure BDA0002349447570000119
为求使得
Figure BDA00023494475700001110
最小时的x、d0、y、μi的值，“s.t.”表示“受约束于……”，
Figure BDA00023494475700001111
为在满足条件||bi||≤ρ时求(di-Aiy-bi)2的最大值，Ai表示矩阵A的第i行，A为引入的中间变量，A＝[IN,1N×1]，IN表示N阶单位矩阵，1N×1表示维数为N×1维的全1向量，符号“[ ]”为向量表示符号，[ ]T表示向量的转置，
Figure BDA0002349447570000121
表示第1个传感器在参考坐标系中的实际坐标位置，
Figure BDA0002349447570000122
表示第2个传感器在参考坐标系中的实际坐标位置，
Figure BDA0002349447570000123
表示第N个传感器在参考坐标系中的实际坐标位置。
步骤6：在求解x和d0的非凸定位问题的初步等价问题的描述中引入辅助变量Y、fi、λi，结合S-程序，得到求解x和d0的非凸定位问题的最终等价问题，描述为：
Figure BDA0002349447570000124
其中，
Figure BDA0002349447570000125
为求使得
Figure BDA0002349447570000126
最小时的x、d0、y、μi、Y、fi、λi的值，
Figure BDA0002349447570000127
表示
Figure BDA0002349447570000128
是半正定矩阵，tr( )表示求矩阵的迹。
步骤7：将求解x和d0的非凸定位问题的最终等价问题的描述中的约束条件
Figure BDA0002349447570000131
和Y＝yyT转化为
Figure BDA0002349447570000132
Figure BDA0002349447570000133
yN+1＝d0和X＝xTx，然后将Y＝yyT松弛为线性矩阵不等式(LMI)的形式
Figure BDA0002349447570000134
将X＝xTx松弛为线性矩阵不等式的形式
Figure BDA0002349447570000135
得到求解x和d0的半正定规划问题，描述为：
Figure BDA0002349447570000136
其中，
Figure BDA0002349447570000137
为求使得
Figure BDA0002349447570000138
最小时的x、d0、y、μi、Y、fi、λi、X的值，Yii表示矩阵Y的第i行第i列元素，1≤j≤N，i＞j，Yij表示矩阵Y的第i行第j列元素，X为引入的辅助变量，符号“| |”为取绝对值符号，
Figure BDA0002349447570000141
表示第j个传感器在参考坐标系中的实际坐标位置，yN+1表示矢量y的第N+1个分量，
Figure BDA0002349447570000142
表示
Figure BDA0002349447570000143
是半正定矩阵，
Figure BDA0002349447570000144
表示
Figure BDA0002349447570000145
是半正定矩阵，0N+2表示N+2阶的全零矩阵，03表示3阶的全零矩阵。
步骤8：采用内点法对求解x和d0的半正定规划问题进行求解，得到x和d0各自的全局最优解，其中，x的全局最优解即为目标源在参考坐标系中的坐标位置估计值。
以下通过仿真实验来验证本发明方法的可行性、有效性及定位性能。
设定在二维异步无线传感器网络环境中存在N＝8个传感器，8个传感器分别位于(-25，-25)，(-25，25)，(25，-25)，(25，25)，(-25，0)，(0，-25)，(0，25)，(25，0)，目标源在参考坐标系中的坐标位置是在50×50平方米的正方形内随机选择。假设任意一个传感器获得的距离测量值中存在的测量噪声的功率相同，即
Figure BDA0002349447570000146
任意一个传感器的位置误差的功率相同，即
Figure BDA0002349447570000147
其中，
Figure BDA0002349447570000148
对应表示第1个传感器获得的距离测量值d1中存在的测量噪声m1的功率、第N个传感器获得的距离测量值dN中存在的测量噪声mN的功率，
Figure BDA0002349447570000149
表示给定的距离测量值中存在的测量噪声的功率，
Figure BDA00023494475700001410
表示给定的距离测量值中存在的测量噪声的标准差，
Figure BDA00023494475700001411
对应表示第1个传感器的位置误差e1的功率、第N个传感器的位置误差eN的功率，
Figure BDA00023494475700001412
表示给定的传感器的位置误差的功率，
Figure BDA00023494475700001413
表示给定的传感器的位置误差的标准差。
测试本发明方法的性能在存在传感器位置误差情况下随测量噪声的标准差增加的变化情况。
图2给出了给定的传感器的位置误差的标准差为1米时，本发明方法与现有的三种定位方法的均方根误差(RMSE)随给定的距离测量值中存在的测量噪声的标准差变化的曲线示意图。从图2中可以观察到本发明方法的均方根误差小于现有的三种方法并更靠近克拉美罗界(CRLB)，这说明本发明方法在定位精度方面的优越性能。
测试本发明方法的性能在存在传感器位置误差情况下随给定的传感器的位置误差的标准差增加的变化情况。
图3给出了给定的距离测量值中存在的测量噪声的标准差为0.5米时，本发明方法与现有的三种定位方法的均方根误差(RMSE)随给定的传感器的位置误差的标准差变化的曲线示意图。从图3中可以观察到本发明方法的均方根误差小于现有的三种方法并更靠近克拉美罗界(CRLB)，在给定的传感器的位置误差的标准差变化内，本发明方法的性能依然稳定并能达到较好的定位精确度。
测试本发明方法的性能在不存在传感器位置误差情况下随测量噪声的标准差增加的变化情况。
图4给出了在不存在传感器位置误差的情况下，本发明方法与现有的三种定位方法的均方根误差(RMSE)随给定的距离测量值中存在的测量噪声的标准差变化的曲线示意图。从图4中可以观察到本发明方法的均方根误差仍然小于现有的三种方法并更靠近克拉美罗界(CRLB)。
图2至图4中第一种现有方法为Enyang Xu等人在IEEE Transactions on SignalProcessing(电气和电子工程师协会(IEEE)信号处理汇刊)中公开的Source Localizationin Wireless Sensor Networks From Signal Time-of-Arrival Measurements(无线传感器网络中基于TOA测量值的目标源定位)中的鲁棒两步最小二乘方法；第二种现有方法为Enyang Xu等人在IEEE Transactions on Signal Processing(电气和电子工程师协会(IEEE)信号处理汇刊)中公开的Source Localization in Wireless Sensor NetworksFrom Signal Time-of-Arrival Measurements(无线传感器网络中基于TOA测量值的目标源定位)中的鲁棒最小最大方法；第三种现有方法为Yanbin Zou等人在IEEECommunications Letters(电气和电子工程师协会(IEEE)通信快报)中公开的Asynchronous Time-of-Arrival-Based Source Localization With Sensor PositionUncertainties(基于传感器位置不确定性的异步到达时间源定位)。
从上述的仿真结果可以看出，本发明方法具有良好的性能，能够很好地满足定位高精度的需求，而且在存在较大传感器位置误差的情况下性能依然稳定。

Claims (1)

1.一种在异步网络中基于TOA的传感器位置误差抑制方法，其特征在于包括以下步骤：
步骤1：在二维异步无线传感器网络环境下建立一个平面直角坐标系作为参考坐标系，并设定在二维异步无线传感器网络环境中存在N个传感器和一个目标源，将第i个传感器在参考坐标系中的真实的坐标位置记为ai，将目标源在参考坐标系中的坐标位置记为x，ai＝(ai1,ai2)，x＝(x1,x2)；其中，N为正整数，N表示二维异步无线传感器网络环境中的传感器的总个数，N≥3，i为正整数，1≤i≤N，ai1表示ai的第1个坐标分量，ai2表示ai的第2个坐标分量，x1表示x的第1个坐标分量，x2表示x的第2个坐标分量；
步骤2：在二维异步无线传感器网络环境下由目标源发射测量信号，每个传感器接收目标源发射的测量信号后获得TOA测量值，将TOA测量值乘以测量信号的传播速度c得到相应的距离测量值；然后建立每个传感器获得的距离测量值的测量模型，将第i个传感器获得的距离测量值的测量模型描述为：di＝||x-ai||+d0+mi；其中，di表示第i个传感器获得的距离测量值，d0为引入的中间变量，d0＝ct0，c表示测量信号的传播速度，t0表示目标源发射测量信号的起始发送时间，d0的取值范围为1～6，符号“|| ||”为求欧几里得范数符号，mi表示di中存在的测量噪声，mi服从高斯分布
Figure FDA0002349447560000021
Figure FDA0002349447560000022
表示mi的功率；
步骤3：建立每个传感器在参考坐标系中的实际坐标位置模型，将第i个传感器在参考坐标系中的实际坐标位置模型描述为：
Figure FDA0002349447560000023
然后根据每个传感器在参考坐标系中的实际坐标位置模型，对每个传感器获得的距离测量值的测量模型做近似变换，得到每个传感器对应的近似的距离测量值的测量模型，将第i个传感器对应的近似的距离测量值的测量模型描述为：
Figure FDA0002349447560000024
其中，
Figure FDA0002349447560000025
表示第i个传感器在参考坐标系中的实际坐标位置，ei表示第i个传感器的位置误差，ei服从二维高斯分布
Figure FDA0002349447560000026
||ei||≤ρ，所有传感器的位置误差的上界为ρ，
Figure FDA0002349447560000027
σe表示设定的传感器的位置误差的标准差，令σei＝σe，02×1表示维数为2×1维的全零向量，
Figure FDA0002349447560000028
表示ei的功率，I2表示二阶单位矩阵，bi为引入的中间变量，
Figure FDA0002349447560000029
bi的上界也为ρ，()T表示向量的转置；
步骤4：根据
Figure FDA00023494475600000210
并结合鲁棒最小二乘准则，得到求解x和d0的非凸定位问题，描述为：
Figure FDA0002349447560000031
其中，1≤i≤N，
Figure FDA0002349447560000032
为求使得
Figure FDA0002349447560000033
最大时的bi的值，
Figure FDA0002349447560000034
为求使得
Figure FDA0002349447560000035
最小时的x和d0的值；
步骤5：在求解x和d0的非凸定位问题的描述中引入松弛变量μi以及辅助变量y，得到求解x和d0的非凸定位问题的初步等价问题，描述为：
Figure FDA0002349447560000036
其中，
Figure FDA0002349447560000037
为求使得
Figure FDA0002349447560000038
最小时的x、d0、y、μi的值，“s.t.”表示“受约束于……”，
Figure FDA0002349447560000039
为在满足条件||bi||≤ρ时求(di-Aiy-bi)2的最大值，Ai表示矩阵A的第i行，A为引入的中间变量，A＝[IN,1N×1]，IN表示N阶单位矩阵，1N×1表示维数为N×1维的全1向量，符号“[]”为向量表示符号，[]T表示向量的转置，
Figure FDA00023494475600000310
表示第1个传感器在参考坐标系中的实际坐标位置，
Figure FDA0002349447560000041
表示第2个传感器在参考坐标系中的实际坐标位置，
Figure FDA0002349447560000042
表示第N个传感器在参考坐标系中的实际坐标位置；
步骤6：在求解x和d0的非凸定位问题的初步等价问题的描述中引入辅助变量Y、fi、λi，结合S-程序，得到求解x和d0的非凸定位问题的最终等价问题，描述为：
Figure FDA0002349447560000043
其中，
Figure FDA0002349447560000044
为求使得
Figure FDA0002349447560000045
最小时的x、d0、y、μi、Y、fi、λi的值，
Figure FDA0002349447560000046
表示
Figure FDA0002349447560000047
是半正定矩阵，tr()表示求矩阵的迹；
步骤7：将求解x和d0的非凸定位问题的最终等价问题的描述中的约束条件
Figure FDA0002349447560000048
和Y＝yyT转化为
Figure FDA0002349447560000049
Figure FDA00023494475600000410
yN+1＝d0和X＝xTx，然后将Y＝yyT松弛为线性矩阵不等式的形式
Figure FDA0002349447560000051
将X＝xTx松弛为线性矩阵不等式的形式
Figure FDA0002349447560000052
得到求解x和d0的半正定规划问题，描述为：
Figure FDA0002349447560000053
其中，
Figure FDA0002349447560000054
为求使得
Figure FDA0002349447560000055
最小时的x、d0、y、μi、Y、fi、λi、X的值，Yii表示矩阵Y的第i行第i列元素，1≤j≤N，i＞j，Yij表示矩阵Y的第i行第j列元素，X为引入的辅助变量，符号“||”为取绝对值符号，
Figure FDA0002349447560000056
表示第j个传感器在参考坐标系中的实际坐标位置，yN+1表示矢量y的第N+1个分量，
Figure FDA0002349447560000057
表示
Figure FDA0002349447560000058
是半正定矩阵，
Figure FDA0002349447560000061
表示
Figure FDA0002349447560000062
是半正定矩阵，0N+2表示N+2阶的全零矩阵，03表示3阶的全零矩阵；
步骤8：采用内点法对求解x和d0的半正定规划问题进行求解，得到x和d0各自的全局最优解，其中，x的全局最优解即为目标源在参考坐标系中的坐标位置估计值。
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