CN103512426A - 一种次优的带末角约束制导方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种次优的带末角约束的制导方法，属于制导技术领域。本发明有六方面优点：1.考虑了飞行器的气动特性(气动阻力和重力)对制导过程的影响，更接近实际情况。2.只需知道飞行的初始条件、末端要求和飞行器的即时状态信息便可实现末制导，需要信息量少。3.可获得的弹道倾角末值范围广。4.得到的控制量变化平滑，易于姿态控制系统进行跟踪。5.权重矩阵Q是基于剩余高度y-to-go(或剩余射程x-to-go)的函数，在工程中这些量都较为容易测得。6.不仅能够以期望的末角打击固定目标，还能对常值速度目标以期望姿态进行打击。

Description

一种次优的带末角约束制导方法

技术领域

本发明涉及一种次优的带末角约束的制导方法，属于制导技术领域。

背景技术

在现代制导领域，由于末端碰撞角与实际强毁伤效果息息相关，因此对于末制导段，不仅要求末点脱靶量最小，还需要满足期望的末角约束。

带末角约束的制导概念是由Kim和Grider在1973年提出的。之后，国内外大量研究人员对该领域进行了深入研究。比例制导由于其形式简单，易于工程应用等特点，被广泛应用于带末角约束制导律的设计中。Kim等人提出了一种偏置比例制导方法，该方法通过在比例制导律中添加一个时变项来得到期望的末角；Ratnoo等人分别针对静止目标和常值速度目标，采用时变比例系数的方法进行了带末角约束的制导律设计；Lu等人设计的自适应带末角约束的制导律也是通过设计时变比例系数得到的，并且该方法能应用与三维空间中。

虽然很多制导方法均能满足末端指标要求，然而得到的控制律往往不是最优的，这就意味着更多的能量消耗，这显然是不利的。因此，最优控制理论被广泛应用于带末角约束的制导律设计，该类方法不仅能够获得满意的脱靶量和末角精度，还能够得到最优的控制指令。Song等人设计的最优制导律通过旋转参考坐标系来满足末角约束。Ryoo等人提出的最优制导律不仅能够适应较大的发射角范围，还能够保证控制量全程有界。Shaferman等人引入了一个新变量(零效角)来设计带末角约束的最优制导律。状态相关黎卡提方程(SDRE)方法，属于次优的控制的范畴。该方法是由最优控制延伸而来，由于其系统矩阵是时变的，因此得到的控制指令无法保证系统全局最优。然而由于其形式直观且对系统非线性特性进行了充分利用，也已经被广泛应用于了制导领域。Ratnoo等人首次通过SDRE方法设计了带末角约束的制导律。然而，该方法仅能够对静止目标进行打击，而对于移动目标则无能为力。此外，该方法应用了剩余飞行时间这一变量，该变量在目前实际应用中无法准确测量。因此，需要提出一种形式简单且易于实际应用的制导方法来解决该领域的问题。

发明内容

本发明为解决带末角约束的末制导问题，提出了一种次优的带末角约束的制导方法。采用SDRE与积分滑模相结合的方法设计制导律使得脱靶量和末角误差均在要求范围内。

本发明的技术方案具体如下：

步骤1，建立二维平面飞行器的运动学和动力学模型：

$\stackrel{\·}{x}=V\cos \mathrm{\γ}---\left(1\right)$

$\stackrel{\·}{y}=V\sin \mathrm{\γ}---\left(2\right)$

$\stackrel{\·}{V}=-\frac{D}{m}-g\sin \mathrm{\γ}---\left(3\right)$

$\stackrel{\·}{\mathrm{\γ}}=\frac{L}{\mathrm{mV}}-\frac{g\cos \mathrm{\γ}}{V}---\left(4\right)$

此模型为仿真模型，以时间t为独立变量。其中，x，y是地面坐标系下的位置坐标(即射程和高度)，V是飞行速度，γ为弹道倾角，m是飞行器质量，g是重力加速度，L、D分别为升力和阻力，其中，D＝qSC_D，L＝qSC_L，q＝0.5ρV²，ρ为大气密度，C_D，C_L分别为阻力系数和升力系数，是关于攻角和马赫的函数，S为飞行器的参考面积。

引入独立变量Y＝y₀-y    (5)其中，y₀是飞行器的初始高度。末制导段飞行器高度y单调递减，Y单调递增。

以Y作为独立变量，得到制导系统模型①如下：

$x^{\′}=\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dY}}=-\cot \mathrm{\γ}---\left(6\right)$

$V^{\′}=\frac{\mathrm{dV}}{\mathrm{dY}}=\frac{D+\mathrm{mg}\sin \mathrm{\γ}}{\mathrm{mV}\sin \mathrm{\γ}}---\left(7\right)$

${\mathrm{\γ}}^{\′}=\frac{\mathrm{d\γ}}{\mathrm{dY}}=-\frac{L-\mathrm{mg}\cos \mathrm{\γ}}{m{V}^2\sin \mathrm{\γ}}---\left(8\right)$

$t^{\′}=\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dY}}=-\frac{1}{V\sin \mathrm{\γ}}---\left(9\right)$

以x为独立变量，得到制导系统模型②如下：

其中，期望的末角在(-180，-30)deg范围内时，利用模型①进行制导律推导，期望末角在[-30，0]deg范围时，利用模型②进行制导律推导。

步骤2，设计带末角约束的制导律

设计的目标为：在制导末时刻，飞行器位置坐标与目标位置坐标(x_f，y_f)距离最小，并且飞行器的弹道倾角为期望的末端弹道倾角γ_f。其中下标f表示变量末值。

步骤2.1，设计状态空间表达式

期望末角范围为(180，-30)deg范围内时，根据终端约束，设计状态变量σ₁如下：

${\mathrm{\σ}}_1=x-x_f-{x^{\′}}_f(Y-Y_f)---\left(14\right)$

其中，x_f＝x_f0+V_tt为目标末点位置的x坐标，V_t为目标速度，x_f0为目标初始点位置的x坐标。将σ₁微分得到σ₂

${\mathrm{\σ}}_2={{\mathrm{\σ}}_1}^{\′}=x^{\′}-{x^{\′}}_f+\frac{V_t}{V\sin \mathrm{\γ}}---\left(15\right)$

对σ₂进行微分，得到

${\mathrm{\σ}}_2^{\′}=\frac{1}{{\sin }^2\mathrm{\γ}}{\mathrm{\γ}}^{\′}+\frac{V_t(\frac{D}{m}\sin \mathrm{\γ}-\frac{L}{m}\cos \mathrm{\γ}+g)}{{-V}^3\mathrm{si}{n}^3\mathrm{\γ}}---\left(16\right)$

将σ₁和σ₂作为状态变量，式(15)和式(16)可以写为如下状态空间表达式：

其中

为聚合扰动。显然Δ₁满足匹配条件，即Δ₁∈span{B₁(x)}。

期望末角范围为[-30，0]deg范围内时，根据终端约束，设计状态变量如下：

对式(19)进行微分，得到

以Ξ₁和Ξ₂为状态变量，将式(19)和式(20)写成状态空间表达式如下：

其中

被视为聚合扰动。显然Δ₂满足匹配条件。

为达到设计目标，设计控制律，使得状态变量(即σ₁，σ₂或Ξ₁，Ξ₂)，在飞行末时刻同时收敛到0。

步骤2.2，基于SDRE的标称控制律设计

在不考虑聚合扰动的情况下，系统为标称系统。此时，式(17)和式(21)简化为：

将γ′和

作为辅助控制量，期望控制量为攻角α。在设计控制律时，首先求得辅助控制量，进而得到期望控制量。

下面以式(22)为例，进行基于SDRE的标称控制律设计。

设计目标为：使得如下价值函数最小。

$J=\frac{1}{2}{\∫}_{Y_0}^{\∞}({\mathrm{\σ}}^T\mathrm{Q\σ}+{\mathrm{R\γ}}^{\′2})\mathrm{dt}---\left(24\right)$

其中σ＝[σ₁，σ₂]^T为状态变量； $Q=\left[\begin{array}{cc}{q}_1^2& 0\\ 0& q_2^2\end{array}\right]$ 为状态权矩阵，R＝1为控制量权系数。

利用黎卡提方程进行求解，得到标称控制律γ′_*为：

${\mathrm{\γ}}_{*}^{\text{'}}=-(q_1{\mathrm{\σ}}_1+\sqrt{q_2^2+{2q}_1{\sin }^2\mathrm{\γ}}{\mathrm{\σ}}_2)---\left(25\right)$

简单起见，令

因此得到最终的标称控制律为：

${\mathrm{\γ}}_{*}^{\′}=-(q{\mathrm{\σ}}_1+\sqrt{q(1+2{\sin }^2\mathrm{\γ})}{\mathrm{\σ}}_2)---\left(26\right)$

其中，σ₁和σ₂为即时状态量，γ为即时的弹道倾角，q为时变函数，设为

$q=\frac{N}{{(y-y_f)}^2}---\left(27\right)$

其中N为待定常数。同理，可以针对式(23)求解标称控制律如下：

其中q为时变函数，设为

$q=\frac{N}{{(x-x_f)}^2}---\left(29\right)$

步骤2.3，积分滑模控制律设计

积分滑模控制器的设计目的为利用切换项将聚合扰动抵消，从而实现期望的系统动态。

首先，以式(17)为例进行积分滑模控制律设计。设计滑模函数如下：

S₁=σ₂+z₁      (30)

其中z₁为待确定的积分项。

根据Lyapunov方法求解得到积分滑模控制律为：

γ′_dis＝-ksin²γsgn(S₁)      (31)

其中k>|δ₁|_mαx。

同理，可针对式(21)进行积分滑模控制律设计，得到相应的控制律为：

其中，k>|δ₂|_mαx，

为相应的滑模函数。

步骤2.4，辅助控制量求解

将步骤2.2和步骤2.3得到的标称控制律和积分滑模控制律对应相加即可得到最终的辅助控制量。即：

${\mathrm{\γ}}^{\′}=-(q{\mathrm{\σ}}_1+\sqrt{q(1+2{\sin }^2\mathrm{\γ})}{\mathrm{\σ}}_2)-k{\sin }^2\mathrm{\γsgn}\left(S_1\right),{\mathrm{\γ}}_f\∈(-180\mathrm{deg},-30\mathrm{deg})---\left(33\right)$

步骤3，将辅助控制量转化为实际控制量

将步骤2中得到的作为辅助控制量的弹道倾角变化率γ’和

转化为攻角α。

首先，将步骤2得到的γ’和

按以下关系进行转化

因此，得到时域内的辅助控制量。

将

和即时状态代入仿真模型，即代入式(4)，得到升力L，然后计算出升力系数C_L。攻角α和升力系数C_L存在一一对应的关系，由升力系数对飞行器气动数据插值，得到末制导段需要的攻角。

步骤4，将步骤3得到的攻角α输入步骤1的仿真模型，对飞行器轨迹进行实时调整，使其满足期望的终端条件，从而实现末制导。

有益效果

本发明有六方面优点：1.考虑了飞行器的气动特性(气动阻力和重力)对制导过程的影响，更接近实际情况。2.只需知道飞行的初始条件、末端要求和飞行器的即时状态信息便可实现末制导，需要信息量少。3.可获得的弹道倾角末值范围广。4.得到的控制量变化平滑，易于姿态控制系统进行跟踪。5.权重矩阵Q是基于剩余高度y-to-go(或剩余射程x-to-go)的函数，在工程中这些量都较为容易测得。6.不仅能够以期望的末角打击固定目标，还能对常值速度目标以期望姿态进行打击。

附图说明

图1为本发明的末制导段二维弹目几何关系；

图2为本发明方法的流程图；

图3为本发明具体实施方式中末角误差分析(以Y为自变量)

图4为本发明具体实施方式中末角误差分析(以x为自变量)

图5为具体实施方式中针对静止目标在不同末角约束条件下的飞行轨迹曲线；

图6为具体实施方式中针对静止目标在不同末角约束条件下的弹道倾角变化曲线；

图7为具体实施方式中针对静止目标在不同末角约束条件下的攻角变化曲线；

图8为具体实施方式中约束弹道倾角末值为-60deg针对常值速度目标进行打击的飞行轨迹曲线；

图9为具体实施方式中约束弹道倾角末值为-60deg针对常值速度目标进行打击的飞行轨迹曲线的局部放大图；

图10为具体实施方式中约束弹道倾角末值为-60deg针对常值速度目标进行打击的弹道倾角变化曲线；

图11为具体实施方式中约束弹道倾角末值为-60deg针对常值速度目标进行打击的攻角变化曲线；

图12为具体实施方式中约束弹道倾角末值为-60deg针对常值速度目标进行打击的速度变化曲线；

图13为具体实施方式中约束弹道倾角末值为-60deg针对常值速度目标进行打击的滑模函数及自适应增益变化曲线；

具体实施方式

为了更好的说明本发明的目的和优点，下面结合附图和实例对技术方案做进一步详细说明。

1.带末角约束的制导律设计

选用某升力式再入飞行器为例进行方法介绍，飞行器质量为1000kg，参考面积为2.5m²。飞行器起始位置坐标(x₀,y₀)为(0，30)km，起始弹道倾角为-3deg，初始速度为1500m/s。目标起始位置坐标(x_f0，y_f)为(100,0)km，目标速度为水平20m/s，末端弹道倾角为-60deg。其他需要用到的仿真参数选择如下：

N=10，ζ=1e6。

步骤1，建立二维平面飞行器的运动学和动力学模型：

$\stackrel{\·}{x}=V\cos \mathrm{\γ}---\left(1\right)$

$\stackrel{\·}{y}=V\sin \mathrm{\γ}---\left(2\right)$

$\stackrel{\·}{V}=-\frac{D}{m}-g\sin \mathrm{\γ}---\left(3\right)$

$\stackrel{\·}{\mathrm{\γ}}=\frac{L}{\mathrm{mV}}-\frac{g\cos \mathrm{\γ}}{V}---\left(4\right)$

此模型为仿真模型，以时间t为独立变量。其中，x,y是地面坐标系下的位置坐标(即射程和高度)，V是飞行速度，γ为弹道倾角，m是飞行器质量，g是重力加速度，L、D分别为升力和阻力，其中，D=qSC_D，L=qSC_L，q=0.5ρV²，ρ为大气密度，C_D，C_L分别为阻力系数和升力系数，是关于攻角和马赫的函数，S为飞行器的参考面积。

引入独立变量Y=y₀-y      (5)

其中，y₀是飞行器的初始高度。末制导段飞行器高度y单调递减，Y单调递增。

以Y作为独立变量，得到制导系统模型①如下：

$x^{\′}=\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dY}}=-\cot \mathrm{\γ}---\left(6\right)$

$V^{\′}=\frac{\mathrm{dV}}{\mathrm{dY}}=\frac{D+\mathrm{mg}\sin \mathrm{\γ}}{\mathrm{mV}\sin \mathrm{\γ}}---\left(7\right)$

${\mathrm{\γ}}^{\′}=\frac{\mathrm{d\γ}}{\mathrm{dY}}=-\frac{L-\mathrm{mg}\cos \mathrm{\γ}}{m{V}^2\sin \mathrm{\γ}}---\left(8\right)$

$t^{\′}=\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dY}}=-\frac{1}{V\sin \mathrm{\γ}}---\left(9\right)$

以x为独立变量，得到制导系统模型②如下：

其中，期望的末角在(-180，-30)deg范围内时，利用模型①进行制导律设计，期望末角在[-30，0]deg范围时，利用模型②进行制导律设计。之所以这样设计是因为只用模型①进行设计无法满足某些特殊的末角需求。例如，当要求末角为0deg时，在模型①中会引起歧义(cot(0)不存在)。此外，末角接近0度时会导致控制量很大，容易出现饱和现象。然而在小末角要求时，采用模型②则可避免上述问题。

步骤2，设计带末角约束的制导律

设计的目标为：在制导末时刻，飞行器位置坐标与目标位置坐标(x_f，y_f)距离最小，并且飞行器的弹道倾角为期望的末端弹道倾角γ_f。其中下标f表示变量末值。

步骤2.1，设计状态空间表达式

期望末角范围为(180，-30)deg范围内时，根据终端约束，设计状态变量σ₁如下：

σ₁＝x-x_f-x′_f(Y-Y_f)    (14)

其中，x_f＝x_f0+V_tt为目标末点位置的x坐标，V_t为目标速度，x_f0为目标初始点位置的x坐标。将σ₁微分得到σ₂

${\mathrm{\σ}}_2={{\mathrm{\σ}}_1}^{\′}=x^{\′}-{x^{\′}}_f+\frac{V_t}{V\sin \mathrm{\γ}}---\left(15\right)$

对σ₂进行微分，得到

${\mathrm{\σ}}_2^{\′}=\frac{1}{{\sin }^2\mathrm{\γ}}{\mathrm{\γ}}^{\′}+\frac{V_t(\frac{D}{m}\sin \mathrm{\γ}-\frac{L}{m}\cos \mathrm{\γ}+g)}{-V^3{\sin }^3\mathrm{\γ}}---\left(16\right)$

将σ₁和σ₂作为状态变量，式(15)和式(16)可以写为如下状态空间表达式：

其中

为聚合扰动。显然Δ₁满足匹配条件，即Δ₁∈span{B₁(x)}。

期望末角范围为[-30，0]deg范围内时，根据终端约束，设计状态变量如下：

对式(19)进行微分，得到

以Ξ₁和Ξ₂为状态变量，将式(19)和式(20)写成状态空间表达式如下：

其中

被视为聚合扰动。显然Δ₂满足匹配条件。

为达到设计目标，设计控制律，使得状态变量(即σ₁，σ₂或Ξ₁，Ξ₂)，在飞行末时刻同时收敛到0。

从式(15)和式(19)可以看出，σ₂→0或Ξ₂→0并不等价于弹道倾角末值与期望末角相等。然而通过以下的精度分析可知，这种近似是合理的。

以式(15)为例进行分析。将式(6)带入式(15)，并在等式两边同时乘以sinγ，可以得到：

$-\cos \mathrm{\γ}+\cot {\mathrm{\γ}}_f\sin \mathrm{\γ}+\frac{V_t}{V}=0---\left(22\right)$

为了保证打击力度，一般情况下飞行器末速要求大于900m/s。为了便于分析，假设飞行器末速为900m/s。由于期望末角为已知条件，因此式(22)中只有一个未知量γ，可以针对不同的末角值得到对应的γ值，然后再与期望的末角γ_f做差即得到相应的末角误差。对应的结果如图3所示，从该图中可以看出，最大的末角误差为1.3deg左右，在允许的误差范围内。同理，对式(19)进行分析，可得到图4的误差结果，可以看出最大误差为0.63deg左右，在允许的误差范围内。因此，末角指标要求的满足可以近似等价于将σ₂或Ξ₂约束到0。

步骤2.2，基于SDRE的标称控制律设计

在不考虑聚合扰动的情况下，系统为标称系统。此时，式(17)和式(21)简化为：

将γ′和

作为辅助控制量，期望控制量为攻角α。在设计控制律时，首先求得辅助控制量，进而得到期望控制量。

下面以式(22)为例，进行基于SDRE的标称控制律设计。

由于系统矩阵B₁为非线性时变矩阵，因此传统的最优控制方法不再适用。由式(6)和式(15)，容易得到：

γ＝arccot(cotγ_f-σ₂)    (24)

因此，B₁为状态相关的，SDRE方法可以被应用来进行控制律的设计。

设计目标为：使得如下价值函数最小。

$J=\frac{1}{2}{\∫}_{Y_0}^{\∞}({\mathrm{\σ}}^T\mathrm{Q\σ}+R{\mathrm{\γ}}^{\′2})\mathrm{dt}---\left(24\right)$

其中σ＝[σ₁，σ₂]^T为状态变量； $Q=\left[\begin{array}{cc}{q}_1^2& 0\\ 0& q_2^2\end{array}\right]$ 为状态权矩阵，R＝1为控制量权系数。

在应用SDRE方法前，需要先进行如下验证。

(1)Q为半正定矩阵，R为正定矩阵。该要求显然满足。

(2)f(x)＝A₁x∈C¹，，其中x＝[σ₁，σ₂]^T，C¹表示连续可微的函数集合。根据式(22)，可以得到

$f\left(x\right)=A_{1}x=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_2\\ 0\end{array}\right]\∈C^1---\left(25\right)$

(3)f(0)＝0。由式(25)可以得到 $f\left(0\right)=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right].$

(4)矩阵A₁，B₁必须是逐点可控的。由式(22)可知，

$|B_1,A_1{B}_1|=-\frac{1}{{\sin }^4\mathrm{\γ}}\≠0$

(5)B₁≠0。由式(22)可知该条件满足。

代数状态相关黎卡提等式如下所示

A₁ ^TP(x)+P(x)A₁-P(x)B₁(x)R^-1B₁ ^T(x)P(x)+Q＝0    (26)

其中P(x)为半正定矩阵，具有如下形式。

$P\left(x\right)=\left[\begin{array}{cc}{p}_1& p_2\\ p_2& p_3\end{array}\right]---\left(27\right)$

相应的反馈控制律可由下式得到。

γ′_*=-B₁ ^T(x)P(x)x    (28)

因此，矩阵P(x)需要即时计算得到。将A₁，B₁，P，Q带入式(26)，经过计算可以得到：

$p_1=q_1\sqrt{2q_1{\sin }^2\mathrm{\γ}+q_2^2}$

p₂=q₁sin²γ    (29)

$p_3=s{\mathrm{in}}^2\mathrm{\γ}\sqrt{2q_1{\sin }^2\mathrm{\γ}+q_2^2}$

将式(29)带入式(28)，可以得到

${\mathrm{\γ}}_{*}^{\′}=-(q_1{\mathrm{\σ}}_1+\sqrt{q_2^2+2q_1{\sin }^2\mathrm{\γ}}{\mathrm{\σ}}_2)---\left(30\right)$

简单起见，令

因此得到最终的标称控制律为：

${\mathrm{\γ}}_{*}^{\′}=-(q{\mathrm{\σ}}_1+\sqrt{q(1+2{\sin }^2\mathrm{\γ})}{\mathrm{\σ}}_2)---\left(31\right)$

其中，σ₁和σ₂为即时状态量，γ为即时的弹道倾角，q为时变函数，设为

$q=\frac{N}{{(y-y_f)}^2}---\left(32\right)$

同理，可以针对式(23)求解标称控制律如下：

其中q为时变函数，设为

$q=\frac{N}{{(x-x_f)}^2}---\left(34\right)$

步骤2.3，积分滑模控制律设计

积分滑模控制器的设计目的为利用切换项将聚合扰动抵消，从而实现期望的系统动态。

首先，以式(17)为例进行积分滑模控制律设计。设计滑模函数如下：

S₁＝σ₂+z₁    (30)

其中z₁为待确定的积分项。

对S₁进行微分可以得到

$S_1^{\′}=\frac{1}{{\sin }^2\mathrm{\γ}}{\mathrm{\γ}}^{\′}+{\mathrm{\δ}}_1+z_1^{\′}=\frac{1}{{\sin }^2\mathrm{\γ}}({\mathrm{\γ}}_{*}^{\′}+{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{dis}}^{\′})+{\mathrm{\δ}}_1+z_1^{\′}---\left(31\right)$

其中γ′_*为步骤2.2得到的等效控制量，γ′_dis为要求的切换控制量。假设

为γ′_dis的等效控制，保证S₁′＝0全局成立的一个充分条件为：

$z_1^{\′}=-\frac{1}{{\sin }^2\mathrm{\γ}}{\mathrm{\γ}}_{*}^{\′}---\left(32\right)$

${\mathrm{\γ}}_{\mathrm{dis}}^{\′\mathrm{eq}}=-{\mathrm{\δ}}_1{\sin }^2\mathrm{\γ}---\left(33\right)$

此外，下式可以保证S₁(0)＝0成立。

z₁(0)＝-σ₂(0)    (34)

这样，积分项z₁就可以唯一确定了。

在积分滑模动态下的系统的状态方程为

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_1^{\′}\\ {\mathrm{\σ}}_2^{\′}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_1\\ {\mathrm{\σ}}_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{{\sin }^2\mathrm{\γ}}\end{array}\right]{\mathrm{\γ}}_{*}^{\′}$

可以看出，该系统正是所期望的标称系统。切换控制γ′_dis用来保证滑模面的吸引性，其具有如下形式：

${\mathrm{\γ}}_{\mathrm{dis}}^{\′}=-k{\sin }^2\mathrm{\γsgn}\left(S_1\right)---\left(35\right)$

定义如下正定的Lyapunov函数

$V=\frac{1}{2}{S}_1^2---\left(36\right)$

对上式微分可得

$V^{\′}=S_1{S}_1^{\′}=S_1(\frac{1}{{\sin }^2\mathrm{\γ}}({\mathrm{\γ}}_{*}^{\′}+{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{dis}}^{\′})+{\mathrm{\δ}}_1+z_1^{\′})---\left(37\right)$

将式(32)和式(35)带入式(37)，得到

V′=-S₁(ksgn(S₁)-δ₁)                    (38)

因此，只需k＞|δ₁|_max，即可保证系统的收敛性。

同理，可针对式(21)进行积分滑模控制律设计，得到相应的控制律为：

其中，k＞|δ₂|_max，S₂=Ξ₂+z₂为相应的滑模函数。

步骤2.4，辅助控制量求解

将步骤2.2和步骤2.3得到的标称控制律和积分滑模控制律对应相加即可得

到最终的辅助控制量。即：

${\mathrm{\γ}}^{\′}=-(q{\mathrm{\σ}}_1+\sqrt{q(1+2{\sin }^2\mathrm{\γ})}{\mathrm{\σ}}_2)-{k\sin }^2\mathrm{\γsgn}\left(S_1\right),{\mathrm{\γ}}_f\∈(-180\mathrm{deg},-30\mathrm{deg})---\left(40\right)$

由于聚合扰动大小无法事先获得，因此很难选择切换增益k的大小。切换增益选择过大，会引起控制抖振；过小又不能抵消聚合扰动。因此，采用了一种自适应算法对扰动上界进行估计，该算法如下(以S₁为例)：

${\hat{k}}^{\′}=\frac{1}{\mathrm{\ζ}}\left|S_1\right|---\left(42\right)$

其中ζ为正常数。

由于滑模控制本质为不连续控制，即控制中存在切换项。在系统沿着滑模面运动时，会存在抖振现象。因此，采用了一种连续双曲正切函数(tanh(S₁))来代替不连续项(sgn(S₁))。

步骤3，将辅助控制量转化为实际控制量

将步骤2中得到的作为辅助控制量的弹道倾角变化率γ′和转化为攻角α。

首先，将步骤2得到的γ′和

按以下关系进行转化

因此，得到时域内的辅助控制量。

将和即时状态代入仿真模型，即代入式(4)，得到升力L如下

$L=\mathrm{mV}\stackrel{\·}{\mathrm{\γ}}+\mathrm{mg}\cos \mathrm{\γ}---\left(37\right)$

然后计算出升力系数

攻角α和升力系数C_L存在一一对应的关系，由升力系数对飞行器气动数据插值，得到末制导段需要的攻角。

步骤4，将步骤3得到的攻角α输入步骤1的仿真模型，对飞行器轨迹进行实时调整，使其满足期望的终端条件，从而实现末制导。

2.验证本发明提出的制导律的有效性

针对不同情况对该发明的有效性进行验证。首先，验证该发明提出的制导律可满足不同的弹道倾角末值需求；然后，验证该发明提出的制导律可实现以期望的末角对常值速度目标进行打击。

①不同的末端弹道倾角的情况

在本实施例中，目标静止，其坐标为(100，0)km，要求的末端弹道倾角分别为-0deg，-30deg，-90deg，-150deg。图5为不同末角约束条件下的飞行轨迹曲线，图6为不同末角约束条件下的弹道倾角变化曲线，图7为不同末角约束条件下的攻角变化曲线。在此例中，末点脱靶量均在0.01m以内，末角误差均在0.001deg以内。由图5和图6中可以看出，飞行器在击中目标的同时，所有的末角约束情况都得到了满足。在实际应用中，通常会对控制量进行限幅，在本发明中，攻角变化范围均限定在(-30，+30)deg之间。从图7可以看出，除了末角为-30deg的情况，其他情况下均出现的控制量饱和。因为实现-30deg的末角要求不需要对轨迹进行较大调整，因此控制指令不会超出限定；然而，要实现末角-150deg则需要使飞行器在飞行过程中进行大幅度转向，并且在此过程中速度消耗较大，因此，需要的控制量也最大。

②以-60deg末角对常值速度目标进行打击的情况

在本实施例中，指定以-60deg末角对常值速度20m/s的目标进行打击。图8为飞行轨迹曲线，图9为飞行轨迹曲线的末段局部放大图，图10为弹道倾角变化曲线，图11为攻角变化曲线，图12为速度变化曲线，图13为滑模函数和自适应增益变化曲线。从图8-图10可以看出，在目标机动的情况下，本发明提出的制导律仍能够以期望的末角对目标进行打击。该例中，末点的脱靶量在1e-3m以内，末角误差约为0.7deg。根据图11的结果可以看出有，在整个制导过程中，攻角变化平缓，说明该指令易于姿态系统进行跟踪。从图12可以看出，在打击时刻，飞行器速度约为1300m/s，说飞行器具有足够的动能，能够保证对目标的打击力度。由于初始聚合扰动未知，因此自适应增益

的初值设为0，从图13可以看出，滑模函数在开始阶段偏离了滑模面，这有两方面原因：1.初始自适应增益为0，无法抵抗聚合扰动；2.初始时刻控制量饱和，进一步限制了抵抗扰动的能力。随着自适应增益

逐渐增大，滑模函数最终回到了滑模面。之后，系统相应将不受聚合扰动的影响，系统具有强鲁棒性。

综上所述，该发明提出的制导律形式简单，鲁棒性强，并能够对常值速度目标进行打击。该方法不但能够使得脱靶量最小，而且可以满足末角约束，具有很高的工程应用价值。

Claims (1)

1.一种次优的带末角约束制导方法，其特征在于：

步骤1，建立二维平面飞行器的运动学和动力学模型：

$\stackrel{\·}{x}=V\cos \mathrm{\γ}---\left(1\right)$

$\stackrel{\·}{y}=V\sin \mathrm{\γ}---\left(2\right)$

$\stackrel{\·}{V}=-\frac{D}{m}-g\sin \mathrm{\γ}---\left(3\right)$

$\stackrel{\·}{\mathrm{\γ}}=\frac{L}{\mathrm{mV}}-\frac{g\cos \mathrm{\γ}}{V}---\left(4\right)$

此模型为仿真模型，以时间t为独立变量；其中，x，y是地面坐标系下的位置坐标，即射程和高度，V是飞行速度，γ为弹道倾角，m是飞行器质量，g是重力加速度，L、D分别为升力和阻力，其中，D=qSC_D，L=qSC_L，q=0.5ρV²，ρ为大气密度，C_D，C_L分别为阻力系数和升力系数，是关于攻角和马赫的函数，S为飞行器的参考面积；

引入独立变量Y=y₀-y      (5)其中，y₀是飞行器的初始高度；末制导段飞行器高度y单调递减，Y单调递增；

以Y作为独立变量，得到制导系统模型①如下：

$x^{\′}=\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dY}}=-\cot \mathrm{\γ}---\left(6\right)$

$V^{\′}=\frac{\mathrm{dV}}{\mathrm{dY}}=\frac{D+\mathrm{mg}\sin \mathrm{\γ}}{\mathrm{mV}\sin \mathrm{\γ}}---\left(7\right)$

${\mathrm{\γ}}^{\′}=\frac{\mathrm{d\γ}}{\mathrm{dY}}=-\frac{L-\mathrm{mg}\cos \mathrm{\γ}}{m{V}^2\sin \mathrm{\γ}}---\left(8\right)$

$t^{\′}=\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dY}}=-\frac{1}{V\sin \mathrm{\γ}}---\left(9\right)$

以x为独立变量，得到制导系统模型②如下：

其中，期望的末角在(-180，-30)deg范围内时，利用模型①进行制导律推导，期望末角在[-30，0]deg范围时，利用模型②进行制导律推导；

步骤2，设计带末角约束的制导律

设计的目标为：在制导末时刻，飞行器位置坐标与目标位置坐标(x_f，y_f)距离最小，并且飞行器的弹道倾角为期望的末端弹道倾角γ_f；其中下标f表示变量末值；

步骤2.1，设计状态空间表达式

期望末角范围为(180，-30)deg范围内时，根据终端约束，设计状态变量σ₁如下：

σ₁=x-x_f-x’_f(Y-Y_f)      (14)

其中，x_f=x_f0+V_tt为目标末点位置的x坐标，V_t为目标速度，x_f0为目标初始点位置的x坐标；将σ₁微分得到σ₂

${\mathrm{\σ}}_2={{\mathrm{\σ}}_1}^{\′}=x^{\′}-{x^{\′}}_f+\frac{V_t}{V\sin \mathrm{\γ}}---\left(15\right)$

对σ₂进行微分，得到

${\mathrm{\σ}}_2^{\′}=\frac{1}{{\sin }^2\mathrm{\γ}}{\mathrm{\γ}}^{\′}+\frac{V_t(\frac{D}{m}\sin \mathrm{\γ}-\frac{L}{m}\cos \mathrm{\γ}+g)}{-V^3{\sin }^3\mathrm{\γ}}---\left(16\right)$

将σ₁和σ₂作为状态变量，式(15)和式(16)可以写为如下状态空间表达式：

其中为聚合扰动；Δ₁满足匹配条件，即Δ₁∈span{B₁(x)}；

期望末角范围为[-30，0]deg范围内时，根据终端约束，设计状态变量如下：

对式(19)进行微分，得到

以Ξ₁和Ξ₂为状态变量，将式(19)和式(20)写成状态空间表达式如下：

其中被视为聚合扰动；显然Δ₂满足匹配条件；

为达到设计目标，设计控制律，使得状态变量(即σ₁，σ₂或Ξ₁，Ξ₂)，在飞行末时刻同时收敛到0；

步骤2.2，基于SDRE的标称控制律设计

当系统为标称系统时，式(17)和式(21)简化为：

将γ’和

作为辅助控制量，期望控制量为攻角α；在设计控制律时，首先求得辅助控制量，进而得到期望控制量；

下面以式(22)为例，进行基于SDRE的标称控制律设计；

设计目标为：使得如下价值函数最小；

$J=\frac{1}{2}{\∫}_{Y_0}^{\∞}({\mathrm{\σ}}^T\mathrm{Q\σ}+R{\mathrm{\γ}}^{\′2})\mathrm{dt}---\left(24\right)$

其中σ=[σ₁，σ₂]^T为状态变量； $Q=\left[\begin{array}{cc}{q}_1^2& 0\\ 0& q_2^2\end{array}\right]$ 为状态权矩阵，R=1为控制量权系数；

利用黎卡提方程进行求解，得到标称控制律γ′_*为：

${\mathrm{\γ}}_{*}^{\′}=-(q_1{\mathrm{\σ}}_1+\sqrt{q_2^2+{2q}_1{\sin }^2\mathrm{\γ}}{\mathrm{\σ}}_2)---\left(25\right)$

令

因此得到最终的标称控制律为：

${\mathrm{\γ}}_{*}^{\′}=-({\mathrm{q\σ}}_1+\sqrt{q(1+{2\sin }^2\mathrm{\γ})}{\mathrm{\σ}}_2)---\left(26\right)$

其中，σ₁和σ₂为即时状态量，γ为即时的弹道倾角，q为时变函数，设为

$q=\frac{N}{{(y-y_f)}^2}---\left(27\right)$

其中N为待定常数；同理，可以针对式(23)求解标称控制律如下：

其中q为时变函数，设为

$q=\frac{N}{{(x-x_f)}^2}---\left(29\right)$

步骤2.3，积分滑模控制律设计

积分滑模控制器的设计目的为利用切换项将聚合扰动抵消，从而实现期望的系统动态；

首先，以式(17)为例进行积分滑模控制律设计；设计滑模函数如下：

S₁=σ₂+z₁      (30)

其中z₁为待确定的积分项；

根据Lyapunov方法求解得到积分滑模控制律为：

γ′_dis=-ksin²γsgn(S₁)      (31)

其中k>|δ₁|_max；

同理，可针对式(21)进行积分滑模控制律设计，得到相应的控制律为：

其中，k>|δ₂|_max，S₂=Ξ₂+z₂为相应的滑模函数；

步骤2.4，辅助控制量求解

将步骤2.2和步骤2.3得到的标称控制律和积分滑模控制律对应相加即可得到最终的辅助控制量；即：

${\mathrm{\γ}}^{\′}=-({\mathrm{q\σ}}_1+\sqrt{q(1+{2\sin }^2\mathrm{\γ})}{\mathrm{\σ}}_2)-{k\sin }^2\mathrm{\γsgn}\left(S_1\right){\mathrm{\γ}}_f\∈(-180\mathrm{deg},-30\mathrm{deg})---\left(33\right)$

步骤3，将辅助控制量转化为实际控制量

将步骤2中得到的作为辅助控制量的弹道倾角变化率γ’和

转化为攻角α；

首先，将步骤2得到的γ’和

按以下关系进行转化

因此，得到时域内的辅助控制量；

将

和即时状态代入仿真模型，即代入式(4)，得到升力L，然后计算出升力系数C_L；攻角α和升力系数C_L存在一一对应的关系，由升力系数对飞行器气动数据插值，得到末制导段需要的攻角；

步骤4，将步骤3得到的攻角α输入步骤1的仿真模型，对飞行器轨迹进行实时调整，使其满足期望的终端条件，从而实现末制导。

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