CN106370059A - 一种随机快速光滑二阶滑模末制导方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及武器系统与运用工程技术领域，公开了一种随机快速光滑二阶滑模末制导方法，包括步骤：1、建立随机不确定制导模型；2、随机快速光滑二阶滑模控制律；3、将随机快速光滑二阶滑模控制律应用于随机不确定制导模型得到有限时间收敛的随机快速光滑二阶滑模制导律。本发明的有益效果为：所提出的随机快速光滑二阶滑模制导律滑模变量收敛速度明显优于非有限时间制导律；考虑了目标的随机机动，相比于确定的快速光滑二阶滑模方法，脱靶量更小；所提出的制导律能够抑制制导中段控制量的大幅抖振，使得控制量更容易实现，且视线角速度更加平稳；制导律具有很强的抗干扰和应对目标随机机动的能力；具有广泛的应用前景。

Description

一种随机快速光滑二阶滑模末制导方法

技术领域

本发明涉及武器系统与运用工程技术领域，特别涉及一种随机快速光滑二阶滑模末制导方法。

背景技术

导弹拦截目标的过程中会受到探测误差、外界干扰等的影响，再加上目标机动的随机性，制导系统实际上是一个随机不确定系统。另一方面，随着目标的不断发展，尤其是高超声速目标的出现，使得在栏截或打击目标的末制导过程中，弹目相对运动关系很快。而且为达到摧毁目标的目的，要求导弹有更高的精度，即动能杀伤法(Hit-to-Kill)，就是利用高速度高质量的导弹的巨大动能撞击目标达到摧毁目标的目的。为了实现对高速目标高精度的拦截，迫切地需要设计能够快速收敛的制导律，有必要从有限时间收敛方面考虑设计快速收敛的导引规律。

针对参数摄动和外界干扰，利用滑模变结构控制方法设计制导律已经有了初步的研究成果。但是上述研究没有考虑系统状态的有限时间收敛。于是考虑系统状态有限时间收敛特性的基于一阶滑模方法的制导律陆续被提出。此类方法虽然实现了有限时间收敛，但是滑模变量和控制量都存在比较严重的抖振，需要进一步进行光滑才能使用。因此有限时间稳定的高阶滑模制导律被提出，使得控制作用具有光滑特性。然而该方法对目标的机动作了大量的限制，将其视为可微的有界干扰而忽略了其随机特性。为实现有限时间收敛并提高制导精度，随机快速光滑二阶滑模制导律的研究是十分必要的。

发明内容

本发明的目的就是克服现有技术的不足，提供了一种随机快速光滑二阶滑模末制导方法，该方法提高了导弹末制导阶段对参数摄动和外界干扰的鲁棒性，提高目标的随机机动、惯性延迟、参数变化等条件下的制导精度；可以实现目标随机机动条件下制导系统状态的有限时间收敛，且抑制了滑模变量和控制量的抖振。

本发明一种随机快速光滑二阶滑模末制导方法，包括如下步骤：

步骤一、建立随机不确定制导模型；

考虑了系统参数测量和估计的有界干扰误差的制导模型为：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·\·}{q}=-\frac{2\stackrel{\‾}{\stackrel{\·}{r}}}{\stackrel{\‾}{r}}\stackrel{\‾}{\stackrel{\·}{q}}-\[2\stackrel{\‾}{\stackrel{\·}{r}}\mathrm{\Δ}R+(\frac{1}{\stackrel{\‾}{r}}+\mathrm{\Δ}R)\mathrm{\Δ}\stackrel{\·}{r}\]\stackrel{\‾}{\stackrel{\·}{q}}-\\ 2(\stackrel{\‾}{\stackrel{\·}{r}}+\mathrm{\Δ}\stackrel{\·}{r})(\frac{1}{\stackrel{\‾}{r}}+\mathrm{\Δ}R)\mathrm{\Δ}\stackrel{\·}{q}-\\ (\frac{1}{\stackrel{\‾}{r}}+\mathrm{\Δ}R)u_q+(\frac{1}{\stackrel{\‾}{r}}+\mathrm{\Δ}R)w_q\end{array}---\left(1\right)$

式中：q为视线角；r为导弹目标相对距离；u_q、w_q分别为目标和导弹的加速度在视线法向上的分量；表示参数真值，Δ*表示有界干扰。取状态变量并令

$\begin{array}{c}A=\frac{2\stackrel{\‾}{\stackrel{\·}{r}}}{\stackrel{\‾}{r}},\mathrm{\Δ}A=-\[2\stackrel{\‾}{\stackrel{\·}{r}}\mathrm{\Δ}R+(\frac{1}{\stackrel{\‾}{r}}+\mathrm{\Δ}R)\mathrm{\Δ}\stackrel{\·}{r}\],\\ B=-\frac{1}{\stackrel{\‾}{r}},\mathrm{\Δ}B=-\mathrm{\Δ}R,\\ f=-2(\stackrel{\‾}{\stackrel{\·}{r}}+\mathrm{\Δ}\stackrel{\·}{r})(\frac{1}{\stackrel{\‾}{r}}+\mathrm{\Δ}R)\mathrm{\Δ}\stackrel{\·}{q},x=w_q\end{array}---\left(13\right)$

制导模型(1)可表达为：

$\stackrel{\·}{x}=(A+\mathrm{\Δ}A)x+(B+\mathrm{\Δ}B)u_q+f+(\frac{1}{\stackrel{\‾}{r}}+\mathrm{\Δ}R)x---\left(14\right)$

式中：ΔA、ΔB、f为由测量误差引起的系统不确定性，在工程实践中都是有界的；目标机动项x为零均值高斯白噪声过程，其方差为Q(t)；

步骤二、随机快速光滑二阶滑模控制律；

考虑如下的动态系统

$\stackrel{\·}{s}=g\left(t\right)+u+x---\left(15\right)$

式中，s是滑模变量；u为系统的输入；g(t)为充分光滑的不确定函数，且其导数项是有界的，即为已知的正常数；

令m₁＝s，随机快速光滑二阶滑模动态如下：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{m}}_1=-k_1|m_1{|}^{(m-1)/m}\mathrm{sgn}\left(m_1\right)-k_2{m}_1-k_3|m_2|\mathrm{sgn}\left(m_1\right)+x\\ {\stackrel{\·}{m}}_2=-k_4|m_1{|}^{(m-2)/m}\mathrm{sgn}\left(m_2\right)-k_5{m}_2\end{array}\right.---\left(16\right)$

式中，m>2,k_i>0(i＝1,2,…5)；其中参数k_i调整系统收敛速度，当初始位置距离s＝0较远时，收敛速度主要取决于式(5)中的线性项；当接近s＝0时，收敛速度主要取决于式(5)中的非线性项；参数m调整系统函数的光滑程度；

步骤三、将随机快速光滑二阶滑模控制律应用于随机不确定制导模型得到有限时间收敛的随机快速光滑二阶滑模制导律；

选取导弹直接命中目标条件滑模面为：

$m_1=s=V_q-c_0\sqrt{r}=r\stackrel{\·}{q}-c_0\sqrt{r}---\left(17\right)$

得到可以使得随机不确定系统(2)在有限时间内收敛的快速光滑二阶滑模制导律如下：

$\left\{\begin{array}{c}{u}_q=-\stackrel{\·}{r}x-\frac{c_0}{2}\frac{1}{\sqrt{r}}+k_1|m_1{|}^{(m-1)/m}\mathrm{sgn}\left(m_1\right)+k_2{m}_1+k_3|m_2|\mathrm{sgn}\left(m_1\right)\\ {\stackrel{\·}{m}}_2=-k_4|m_1{|}^{(m-2)/m}\mathrm{sgn}\left(m_2\right)-k_5{m}_2\end{array}\right.---\left(18\right)$

进一步的，所述随机快速光滑二阶滑模控制律的参数按下述方式选择：

构造矩阵如下

$\mathrm{\Λ}=\frac{m}{2m+1}\left[\begin{array}{cc}{k}_5& 0\\ 0& k_2\end{array}\right]---\left(19\right)$

当参数选取m>2，k_i>0(i＝1,2,3,4，5)，并且精度指标e满足

$e\≥\frac{l_{max}\left(\mathrm{\Λ}\right)}{l_{min}\left(\mathrm{\Λ}\right)}\frac{Q}{2k_2}---\left(20\right)$

其中l_max(Λ)和l_max(Λ)分别表示构造矩阵Λ的最大和最小特征根；m₁(t₀)为状态m₁的初值，Q为状态噪声的方差。则当实数d满足

$d>\frac{Q}{2k_2}---\left(21\right)$

时，制导系统可以在有限时间内关于实数对(d,e)均方实用收敛到原点，系统是二阶有限时间均方实用可达的。

进一步的，所述的均方实用可达定义如下：

考虑如下的随机非线性系统

$\stackrel{\·}{x}=f\left(x\right)+x---\left(22\right)$

在初始条件x(t₀)＝x₀下的解为x＝x(t)，滑模切换函数为s(t)＝s(x(t))。如果对于满足一定条件的实数对d,e>0，当E||s(t₀)||²≤d时，有

$E{\left|\right|s\left(t\right)\left|\right|}^2\≤e,\∀t-t_0>T---\left(23\right)$

则称系统是有限时间均方实用可达的。

若进一步存在T>0，当时，有

$E\left(\right|\left|s\right(t)|{|}^2+|\left|\stackrel{\·}{s}\left(t\right)\right|{|}^2)\≤e,\∀t-t_0>T---\left(24\right)$

则称系统实现了二阶滑模有限时间控制，系统是二阶有限时间均方实用可达的。二阶有限时间均方实用可达意味着当t-t₀>T时，在实际中已经充分接近原点。

本发明的有益效果为：所提出的随机快速光滑二阶滑模制导律滑模变量收敛速度明显优于非有限时间制导律；考虑了目标的随机机动，相比于确定的快速光滑二阶滑模方法，脱靶量更小；所提出的制导律能够抑制制导中段控制量的大幅抖振，使得控制量更容易实现，且视线角速度更加平稳；制导律具有很强的抗干扰和应对目标随机机动的能力；具有广泛的应用前景。

附图说明

图1所示为本发明实施例在尾追态势下滑模变量收敛特性对比图。

图2所示为本发明实施例尾追态势下导弹法向过载对比图。

图3所示为本发明实施例在迎头态势下滑模变量收敛特性对比图。。

图4所示为本发明实施例迎头态势下导弹法向过载对比图。

具体实施方式

下文将结合具体附图详细描述本发明具体实施例。应当注意的是，下述实施例中描述的技术特征或者技术特征的组合不应当被认为是孤立的，它们可以被相互组合从而达到更好的技术效果。在下述实施例的附图中，各附图所出现的相同标号代表相同的特征或者部件，可应用于不同实施例中。

本发明实施例一种随机快速光滑二阶滑模末制导方法，包括以下步骤：

步骤一、建立随机不确定制导模型。

本发明假设导弹采用雷达导引头，可以提供视线角、相对距离、相对距离变化率等信息。视线角速率需要根据视线角信息进行估计，而目标的机动信息无法直接提供。而且在现实空战中，传感器测量的不精确性会导致参数有界误差。考虑系统参数测量和估计的有界干扰误差的制导模型为：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·\·}{q}=-\frac{2\stackrel{\‾}{\stackrel{\·}{r}}}{\stackrel{\‾}{r}}\stackrel{\‾}{\stackrel{\·}{q}}-\[2\stackrel{\‾}{\stackrel{\·}{r}}\mathrm{\Δ}R+(\frac{1}{\stackrel{\‾}{r}}+\mathrm{\Δ}R)\mathrm{\Δ}\stackrel{\·}{r}\]\stackrel{\‾}{\stackrel{\·}{q}}-\\ 2(\stackrel{\‾}{\stackrel{\·}{r}}+\mathrm{\Δ}\stackrel{\·}{r})(\frac{1}{\stackrel{\‾}{r}}+\mathrm{\Δ}R)\mathrm{\Δ}\stackrel{\·}{q}-\\ (\frac{1}{\stackrel{\‾}{r}}+\mathrm{\Δ}R)u_q+(\frac{1}{\stackrel{\‾}{r}}+\mathrm{\Δ}R)w_q\end{array}---\left(25\right)$

式中：q为视线角；r为导弹目标相对距离；u_q、w_q分别为目标和导弹的加速度在视线法向上的分量；表示参数真值，Δ*表示有界干扰。

取状态变量并令

$\begin{array}{c}A=\frac{2\stackrel{\‾}{\stackrel{\·}{r}}}{\stackrel{\‾}{r}},\mathrm{\Δ}A=-\[2\stackrel{\‾}{\stackrel{\·}{r}}\mathrm{\Δ}R+(\frac{1}{\stackrel{\‾}{r}}+\mathrm{\Δ}R)\mathrm{\Δ}\stackrel{\·}{r}\],\\ B=-\frac{1}{\stackrel{\‾}{r}},\mathrm{\Δ}B=-\mathrm{\Δ}R,\\ f=-2(\stackrel{\‾}{\stackrel{\·}{r}}+\mathrm{\Δ}\stackrel{\·}{r})(\frac{1}{\stackrel{\‾}{r}}+\mathrm{\Δ}R)\mathrm{\Δ}\stackrel{\·}{q},x=w_q\end{array}---\left(26\right)$

制导系统模型可以表达为：

$\stackrel{\·}{x}=(A+\mathrm{\Δ}A)x+(B+\mathrm{\Δ}B)u_q+f+(\frac{1}{\stackrel{\‾}{r}}+\mathrm{\Δ}R)x---\left(27\right)$

式中：ΔA、ΔB、f为由测量误差引起的系统不确定性，在工程实践中都是有界的；x为目标机动信息，无法通过传感器获得。为了更加贴近实际，本发明引入目标机动模型，由于目标的机动未知且具有随机性，假定目标机动项x为零均值高斯白噪声过程，其方差为Q(t)。因此系统(2)为带有不确定项的随机系统。

步骤二：随机快速光滑二阶滑模控制律。

考虑如下的动态系统

$\stackrel{\·}{s}=g\left(t\right)+u+x---\left(28\right)$

式中，s可以看作是滑模变量；u为系统的输入；g(t)为充分光滑的不确定函数，且其导数项是有界的，即g_d为已知的正常数。

令m₁＝s，随机快速光滑二阶滑模动态如下：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{m}}_1=-k_1|m_1{|}^{(m-1)/m}\mathrm{sgn}\left(m_1\right)-k_2{m}_1-k_3|m_2|\mathrm{sgn}\left(m_1\right)+x\\ {\stackrel{\·}{m}}_2=-k_4|m_1{|}^{(m-2)/m}\mathrm{sgn}\left(m_2\right)-k_5{m}_2\end{array}\right.---\left(29\right)$

式中，m>2,k_i>0(i＝1,2,…5)。其中参数k_i调整系统收敛速度，当初始位置距离s＝0较远时，收敛速度主要取决于式(4)中的线性项；当接近s＝0时，收敛速度主要取决于式(4)中的非线性项；参数m调整系统函数的光滑程度。

令μ＝[m₁,m₂]^T，则上式是关于状态μ的随机系统。令

$\begin{array}{c}f\left(\mathrm{\μ}\right)=\left[\begin{array}{c}-k_1|m_1{|}^{(m-1)/m}\mathrm{sgn}\left(m_1\right)-k_2{m}_1-k_3|m_2|\mathrm{sgn}\left(m_1\right)\\ -k_4|m_1{|}^{(m-2)/m}\mathrm{sgn}\left(m_2\right)-k_5{m}_2\end{array}\right]\\ g=\left[\begin{array}{c}\sqrt{Q}\\ 0\end{array}\right]\end{array}---\left(30\right)$

式(30)可改写为：

dμ＝f(μ)dt+gdW(t) (31)

式中，W(t)是定义在完全概率空间上的标准1维Wiener过程。容易看出，系统(31)是一个带有加性噪声的随机非线性系统。

步骤三：将随机快速光滑二阶滑模控制律应用于随机不确定制导模型得到有限时间收敛的随机快速光滑二阶滑模制导律。

可根据不同的要求，选取不同的滑模面，设计相应的制导律。导弹直接命中目标条件为：

$V_q=c_0\sqrt{r}---\left(32\right)$

因此选取滑模面为：

$m_1=s=V_q-c_0\sqrt{r}=r\stackrel{\·}{q}-c_0\sqrt{r}---\left(33\right)$

上式两侧分别对t求导得到：

$\stackrel{\·}{s}=r\stackrel{\·\·}{q}+\stackrel{\·}{r}q-\frac{c_0}{2}\frac{1}{\sqrt{r}}=r\stackrel{\·}{x}+\stackrel{\·}{r}x-\frac{c_0}{2}\frac{1}{\sqrt{r}}---\left(34\right)$

将制导不确定系统方程(2)的标称系统代入上式，并考虑到得到控制量的表达式

$u_q=-\stackrel{\·}{s}-\stackrel{\‾}{\stackrel{\·}{r}}x-\frac{c_0}{2}\frac{1}{\sqrt{\stackrel{\‾}{r}}}+f+x---\left(35\right)$

由于在工程实际中系统(2)的干扰和摄动项都是有界的，且变结构制导律对制导参数的摄动具有鲁棒性，无需检验。再由控制律表达式(4)，得到可以使得随机不确定系统(2)在有限时间内收敛的快速光滑二阶滑模制导律如下：

$\left\{\begin{array}{c}{u}_q=-\stackrel{\·}{r}x-\frac{c_0}{2}\frac{1}{\sqrt{r}}+k_1|m_1{|}^{(m-1)/m}\mathrm{sgn}\left(m_1\right)+k_2{m}_1+k_3|m_2|\mathrm{sgn}\left(m_1\right)\\ {\stackrel{\·}{m}}_2=-k_4|m_1{|}^{(m-2)/m}\mathrm{sgn}\left(m_2\right)-k_5{m}_2\end{array}\right.---\left(36\right)$

现结合附图对本发明作进一步描述。

步骤一：定义随机系统滑模运动的均方实用可达性。

由于加性噪声的存在，导致系统(31)不存在平衡点，因此分析系统的有限时间收敛特性时，不能采用传统的稳定性定义，使得在有限时间内趋于0。考虑加性噪声的情况下，闭环系统到达滑动模的程度必须使用概率、数学期望等数字特征来描述。在工程实际中，不需要系统状态与滑动曲面的距离在有限时间内达到理论上的零，只要系统状态能在有限时间内到达滑动面附近充分小的范围内即可。基于这一应用背景，本发明引入均方实用稳定性的概念，即只需要使得能在有限时间内到达原点附近充分小的范围内。

定义随机系统滑模运动的均方实用可达性如下：

定义1：考虑如下的随机非线性系统

$\stackrel{\·}{x}=f\left(x\right)+x---\left(37\right)$

在初始条件x(t₀)＝x₀下的解为x＝x(t)，滑模切换函数为s(t)＝s(x(t))。如果对于满足一定条件的实数对d,e>0，当E||s(t₀)||²≤d时，有

$E\left|\right|s\left(t\right)|{|}^2\≤e,\∀t-t_0>T---\left(38\right)$

则称系统是有限时间均方实用可达的。

若进一步存在T>0，当时，有

$E\left(\right|\left|s\right(t)|{|}^2+|\left|\stackrel{\·}{s}\left(t\right)\right|{|}^2)\≤e,\∀t-t_0>T---\left(39\right)$

则称系统实现了二阶滑模有限时间控制，系统是二阶有限时间均方实用可达的。二阶有限时间均方实用可达意味着当t-t₀>T时，在实际中已经充分接近原点。

步骤二：制导律有限时间收敛性分析。

在分析制导律的有限时间收敛特性之前，首先给出如下定理：

定理1考虑系统(31)，构造矩阵如下：

$\mathrm{\Λ}=\frac{m}{2m+1}\left[\begin{array}{cc}{k}_5& 0\\ 0& k_2\end{array}\right]---\left(40\right)$

当参数选取m>2，k_i>0(i＝1,2,3,4，5)，并且精度指标e满足

$e\≥\frac{l_{max}\left(\mathrm{\Λ}\right)}{l_{min}\left(\mathrm{\Λ}\right)}\frac{Q}{2k_2}---\left(41\right)$

其中m₁(t₀)为状态m₁的初值，Q为状态噪声的方差。则当实数d满足

$d>\frac{Q}{2k_2}---\left(42\right)$

时，系统(31)可以在有限时间内关于实数对(d,e)均方实用收敛到原点，系统是二阶有限时间均方实用可达的。

证明：

针对系统(31)，定义Lyapunov候选函数为

$V=\frac{1}{2}\left(k_5\right|m_1{|}^2+k_2\left|m_2{|}^2\right)---\left(43\right)$

构造向量η＝[|m₁|,|m₂|]^T，则V(μ)可以表示为如下形式：

V＝η^TΛη (44)

式中

$\mathrm{\Λ}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}{k}_5& 0\\ 0& k_2\end{array}\right]---\left(45\right)$

显然当m>2，k_i>0(i＝1,2,3,4,5)时，Λ正定。函数V是径向无界正定函数。由式(44)有

l_min(Λ)E(||η||²)≤EV≤l_max(Λ)E(||η||²) (46)

式中，表示欧式范数，l_min(Λ)和l_max(Λ)分别表示矩阵Λ的最小和最大特征值，且

E||η||²＝E|m₁|²+E|m₂|² (47)

用L表示式(31)生成的伴随偏微分算子，表示Hasse矩阵，利用公式可以得到

$LV=\frac{\∂V(\mathrm{\μ},t)}{\∂t}+{\left(\frac{\∂V(\mathrm{\μ},t)}{\∂\mathrm{\μ}}\right)}^{T}f+\frac{1}{2}trace\left(g^T\frac{{\∂}^{2}V(\mathrm{\μ},t)}{\∂{\mathrm{\μ}}^2}g\right)---\left(48\right)$

将V的表达式代入可以得到：

$\begin{array}{c}LV=\frac{\∂V}{\∂t}+{\left(\frac{\∂V}{\∂\mathrm{\μ}}\right)}^{T}f+\frac{1}{2}trace\left(g^T\frac{{\∂}^{2}V}{\∂{\mathrm{\μ}}^2}g\right)\\ =-k_1{k}_5|m_1{|}^{\frac{2m-1}{m}}-k_2{k}_5|m_1{|}^2-k_3{k}_5\left|m_1\right|\left|m_2\right|-k_2{k}_4\left|m_1{|}^{\frac{m-2}{m}}\right|m_2|-\\ k_2{k}_5|m_2{|}^2+\frac{1}{2}trace\left(g^T\frac{{\∂}^{2}V}{\∂{\mathrm{\μ}}^2}g\right)\\ \≤-k_2{k}_5\left|\right|\mathrm{\η}|{|}^2+\frac{1}{2}trace\left(g^T\frac{{\∂}^{2}V}{\∂{\mathrm{\μ}}^2}g\right)\end{array}---\left(49\right)$

将上式中第二项记为LV₂可以得到

${\mathrm{LV}}_2=\frac{1}{2}trace\left(g^T\frac{{\∂}^{2}V}{\∂{\mathrm{\μ}}^2}g\right)=\frac{1}{2}{g}^T\mathrm{\Δ}Vg=\frac{1}{2}Q\frac{{\∂}^{2}V}{\∂m_1^2}=\frac{1}{2}{\mathrm{Qk}}_5---\left(50\right)$

将LV₂代入(49)，得到

$LV\≤-k_2{k}_5\left|\right|\mathrm{\η}|{|}^2+\frac{k_5}{2}Q---\left(51\right)$

根据微分公式(EV)′＝E(LV)，并结合式(46)，有

${\left(EV\right)}^{\′}=E\left(LV\right)\≤-k_2{k}_5\frac{EV}{l_{max}\left(\mathrm{\Λ}\right)}+\frac{k_5}{2}Q=-g_{1}EV+g_2---\left(52\right)$

式中显然当m>2，k_i>0(i＝1,2,3,4,5)时，有g_j>0，j＝1,2。

考虑如下微分方程

其解析解为

$j\left(t\right)=(j_0-\frac{g_2}{g_1})e^{-g_1(t-t_0)}+\frac{g_2}{g_1}---\left(54\right)$

记EV(t₀)＝EV₀，根据比较原理，当EV₀≤j₀时有EV(t)≤j(t)。取j₀＝EV₀，可以得到

$EV\left(t\right)\≤({\mathrm{EV}}_0-\frac{g_2}{g_1})e^{-g_1(t-t_0)}+\frac{g_2}{g_1}---\left(55\right)$

记η(t₀)＝η₀，易知E||η₀||²≤d。根据式(46)求得：

由定理1条件中参数再根据g₂和g₁的定义，可得下式成立

$\frac{l_{max}\left(\mathrm{\Λ}\right)}{l_{min}\left(\mathrm{\Λ}\right)}d-\frac{g_2}{l_{min}\left(\mathrm{\Λ}\right)g_1}>0$

因此h(t)关于t为单调递减函数，且存在下界h_min

$h_{min}=\underset{t\→\mathrm{\∞}}{\lim }h\left(t\right)=\frac{g_2}{l_{min}\left(\mathrm{\Λ}\right)g_1}=\frac{l_{max}\left(\mathrm{\Λ}\right)}{l_{\min }\left(\mathrm{\Λ}\right)}\frac{Q}{2k_2}---\left(57\right)$

由于e≥h_min，因此存在有限时间T，使得当t>t₀+T时，有E||η(t)||²<e。有限时间T由下式来确定

$E\left|\right|\mathrm{\&eta;}\left(t\right)|{|}^2\&le;\&lsqb;\frac{l_{max}\left(\mathrm{\&Lambda;}\right)}{l_{min}\left(\mathrm{\&Lambda;}\right)}d-\frac{g_2}{l_{\min }\left(\mathrm{\&Lambda;}\right)g_1}\&rsqb;e^{-g_1(t-t_0)}+\frac{g_2}{l_{min}\left(\mathrm{\&Lambda;}\right)g_1}\&le;e---\left(58\right)$

求解式(58)可得

$T=\frac{1}{g_1}ln\left(\frac{l_{max}\left(\mathrm{\&Lambda;}\right)d-\frac{g_2}{g_1}}{l_{min}\left(\mathrm{\&Lambda;}\right)e-\frac{g_2}{g_1}}\right)=\frac{1}{g_1}ln\left(\frac{g_1{l}_{max}\left(\mathrm{\&Lambda;}\right)d-g_2}{g_1{l}_{min}\left(\mathrm{\&Lambda;}\right)e-g_2}\right)---\left(59\right)$

根据定义1，可知系统(31)实现了二阶滑模有限时间均方实用收敛控制。

实施例1

选取导弹在纵向平面内拦截目标场景进行仿真。将随机快速光滑二阶滑模末制导律(SFSS_SMG)仿真结果与经典的扩展比例导引(APN)，普通滑模变结构导引(SMG)以及确定性光滑二阶滑模末制导律(SS_SMG)进行对比。仿真条件：导弹初始位置为(0,0)km，初始速度3Ma，最大过载为30g，初始速度方向0°；当地音速根据温度和高度插值拟合得到。目标机动方式为以最大n_t过载的法向加速度做机动，每隔2s随机改变一次机动方向和大小。分别在两种情况下仿真对比制导律性能：

1、尾追态势下，目标初始位置为(8,4)km，初始速度方向角10°，速度1.5Ma。

2、迎头态势下，导弹的发射距离会相应增大，目标初始位置(20,2)km，初始速度方向角170°，速度1.5Ma。

尾追态势下，经过100次Monte-Carlo仿真，得到n_t取不同值时四种导引律脱靶量仿真对比如表1所示。

表1不同机动加速度情况下的脱靶量(米)

从表1可以看出，在目标机动、导引头探测延迟、舵机延迟的影响下，APN在目标机动信息完全可知情况下的脱靶量仍然是四种制导律中最大的，说明该制导律在抑制干扰、延迟和噪声方面有固有的缺点。SMG在抑制参数摄动方面表现明显优于APN，但是相比SS_SMG和SFSS_SMG比较脱靶量依然很大，说明其在滑模面的收敛性方面仍有缺陷。SFSS_SMG的脱靶量在四种制导律中是最小的。

图1为尾追态势下各制导律滑模变量的收敛情况。从图1中可以看出，四种导引律中只有具备有限时间收敛特性的SFSS_SMG和SS_SMG使得滑模变量迅速收敛到了0附近邻域，SMG收敛速度较慢，而APN的滑模变量不具备收敛特性，因此APN无法实现直接碰撞，导致脱靶量很大。从局部放大图中可以看到，SMG的滑模变量具有较大的抖振，而SFSS_SMG和SS_SMG抑制了抖振。但是由于SS_SMG没有考虑目标机动随机的情况，导致其收敛性有偏差，而SFSS_SMG的滑模变量更加接近0，因此表现优于SS_SMG。

图2为尾追态势下制导过程中导弹的法向过载情况，容易看出SFSS_SMG和SS_SMG末制导初段的机动过载较大，这一点与实际情况中导弹制导初段速度较大可以提供较大的过载是相符的，说明这两种制导律充分利用了导弹的机动能力，因此可以达到有限时间收敛；SMG在制导初段过载较小，因此收敛速度较慢；而APN在末制导的初中段都没有充分利用导弹的机动能力。在制导中段，SMG的过载具有较大的抖振，SFSS_SMG和SS_SMG的控制量明显更加光滑。由于目标机动噪声的影响，SFSS_SMG在制导中段的调节能力要优于SS_SMG。

实施例2

迎头态势下经过100次Monte-Carlo仿真，得到n_t取不同值时四种导引律脱靶量仿真对比如表2所示。

表2迎头态势情况下的脱靶量对比(米)

从表2和表1的结果可以看出，迎头态势下的脱靶量普遍要比尾追态势大，这是因为迎头态势下，弹目相互关系变化更快，尤其是弹目距离变小的情况下，更快的相对运动关系会导致脱靶量的变大。结果表明，迎头态势下SFSS_SMG的表现是四种制导律中最好的。

图3为迎头态势下各制导律滑模变量的收敛情况。从图3中可以看出，四种导引律中收敛特性与尾追态势是一致的。从局部放大图中可以看到，SMG的滑模变量仍然有较大的抖振。SFSS_SMG和SS_SMG抑制了抖振，在迎头态势下二者的收敛情况比较接近，SFSS_SMG的滑模变量在在0附近有小幅上下波动，而SS_SMG的波动中心在1附近，这也是该制导律未将考虑目标随机机动造成的。

图4为迎头态势下导弹的法向过载情况，总体情况与尾追态势一致。对比图4可以看出，由于弹目相对运动的变快，导致了制导中段SFSS_SMG与SS_SMG导弹机动过载的调整更加频繁，以使得滑模变量尽快收敛。

本发明的有益效果为：所提出的随机快速光滑二阶滑模制导律滑模变量收敛速度明显优于非有限时间制导律；考虑了目标的随机机动，相比于确定的快速光滑二阶滑模方法，脱靶量更小；所提出的制导律能够抑制制导中段控制量的大幅抖振，使得控制量更容易实现，且视线角速度更加平稳；制导律具有很强的抗干扰和应对目标随机机动的能力；具有广泛的应用前景。

本文虽然已经给出了本发明的几个实施例，但是本领域的技术人员应当理解，在不脱离本发明精神的情况下，可以对本文的实施例进行改变。上述实施例只是示例性的，不应以本文的实施例作为本发明权利范围的限定。

Claims (3)

1.一种随机快速光滑二阶滑模末制导方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤一、建立随机不确定制导模型；

考虑了系统参数测量和估计的有界干扰误差的制导模型为：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{q}=-\frac{2\stackrel{\&OverBar;}{\stackrel{\&CenterDot;}{r}}}{\stackrel{\&OverBar;}{r}}\stackrel{\&OverBar;}{\stackrel{\&CenterDot;}{q}}-\&lsqb;2\stackrel{\&OverBar;}{\stackrel{\&CenterDot;}{r}}\mathrm{\&Delta;}R+(\frac{1}{\stackrel{\&OverBar;}{r}}+\mathrm{\&Delta;}R)\mathrm{\&Delta;}\stackrel{\&CenterDot;}{r}\&rsqb;\stackrel{\&OverBar;}{\stackrel{\&CenterDot;}{q}}-\\ 2(\stackrel{\&OverBar;}{\stackrel{\&CenterDot;}{r}}+\mathrm{\&Delta;}\stackrel{\&CenterDot;}{r})(\frac{1}{\stackrel{\&OverBar;}{r}}+\mathrm{\&Delta;}R)\mathrm{\&Delta;}\stackrel{\&CenterDot;}{q}-\\ (\frac{1}{\stackrel{\&OverBar;}{r}}+\mathrm{\&Delta;}R)u_q+(\frac{1}{\stackrel{\&OverBar;}{r}}+\mathrm{\&Delta;}R)w_q\end{array}---\left(1\right)$

式中：q为视线角；r为导弹目标相对距离；u_q、w_q分别为目标和导弹的加速度在视线法向上的分量；表示参数真值，Δ*表示有界干扰。取状态变量并令

$\begin{array}{c}A=-\frac{2\stackrel{\&OverBar;}{\stackrel{\&CenterDot;}{r}}}{\stackrel{\&OverBar;}{r}},\mathrm{\&Delta;}A=-\&lsqb;2\stackrel{\&OverBar;}{\stackrel{\&CenterDot;}{r}}\mathrm{\&Delta;}R+(\frac{1}{\stackrel{\&OverBar;}{r}}+\mathrm{\&Delta;}R)\mathrm{\&Delta;}\stackrel{\&CenterDot;}{r}\&rsqb;,\\ B=-\frac{1}{\stackrel{\&OverBar;}{r}},\mathrm{\&Delta;}B=-\mathrm{\&Delta;}R,\\ f=-2(\stackrel{\&OverBar;}{\stackrel{\&CenterDot;}{r}}+\mathrm{\&Delta;}\stackrel{\&CenterDot;}{r})(\frac{1}{\stackrel{\&OverBar;}{r}}+\mathrm{\&Delta;}R)\mathrm{\&Delta;}\stackrel{\&CenterDot;}{q},x=w_q\end{array}---\left(1\right)$

制导模型(1)可表达为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}=(A+\mathrm{\&Delta;}A)x+(B+\mathrm{\&Delta;}B)u_q+f+(\frac{1}{\stackrel{\&OverBar;}{r}}+\mathrm{\&Delta;}R)x---\left(2\right)$

式中：ΔA、ΔB、f为由测量误差引起的系统不确定性，在工程实践中都是有界的；目标机动项x为零均值高斯白噪声过程，其方差为Q(t)；

步骤二、随机快速光滑二阶滑模控制律；

考虑如下的动态系统

$\stackrel{\&CenterDot;}{s}=g\left(t\right)+u+x---\left(3\right)$

式中，s是滑模变量；u为系统的输入；g(t)为充分光滑的不确定函数，且其导数项是有界的，即g_d为已知的正常数；

令m₁＝s，随机快速光滑二阶滑模动态如下：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{m}}_1=-k_1|m_1{|}^{(m-1)/m}\mathrm{sgn}\left(m_1\right)-k_2{m}_1-k_3|m_2|\mathrm{sgn}\left(m_1\right)+x\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{m}}_2=-k_4|m_1{|}^{(m-2)/m}\mathrm{sgn}\left(m_2\right)-k_5{m}_2\end{array}\right.---\left(4\right)$

式中，m>2,k_i>0(i＝1,2,…5)；其中参数k_i调整系统收敛速度，当初始位置距离s＝0较远时，收敛速度主要取决于式(5)中的线性项；当接近s＝0时，收敛速度主要取决于式(5)中的非线性项；参数m调整系统函数的光滑程度；

步骤三、将随机快速光滑二阶滑模控制律应用于随机不确定制导模型得到有限时间收敛的随机快速光滑二阶滑模制导律；

选取导弹直接命中目标条件滑模面为：

$m_1=s=V_q-c_0\sqrt{r}=r\stackrel{\&CenterDot;}{q}-c_0\sqrt{r}---\left(5\right)$

得到可以使得随机不确定系统(2)在有限时间内收敛的快速光滑二阶滑模制导律如下：

$\left\{\begin{array}{c}{u}_q=-\stackrel{\&CenterDot;}{r}x-\frac{c_0}{2}\frac{1}{\sqrt{r}}+k_1|m_1{|}^{(m-1)/m}\mathrm{sgn}\left(m_1\right)+k_2{m}_1+k_3|m_2|\mathrm{sgn}\left(m_1\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{m}}_2=-k_4|m_1{|}^{(m-2)/m}\mathrm{sgn}\left(m_2\right)-k_5{m}_2\end{array}\right.---\left(6\right)$

2.如权利要求1所述的随机快速光滑二阶滑模末制导方法，其特征在于，所述随机快速光滑二阶滑模控制律的参数按下述方式选择：

构造矩阵如下

$\mathrm{\&Lambda;}=\frac{m}{2m+1}\left[\begin{array}{cc}{k}_5& 0\\ 0& k_2\end{array}\right]---\left(7\right)$

当参数选取m>2，k_i>0(i＝1,2,3,4，5)，并且精度指标e满足

$e\&GreaterEqual;\frac{l_{max}\left(\mathrm{\&Lambda;}\right)}{l_{min}\left(\mathrm{\&Lambda;}\right)}\frac{Q}{2k_2}---\left(8\right)$

其中l_max(Λ)和l_max(Λ)分别表示构造矩阵Λ的最大和最小特征根；m₁(t₀)为状态m₁的初值，Q为状态噪声的方差；则当实数d满足

$d>\frac{Q}{2k_2}---\left(9\right)$

时，制导系统可以在有限时间内关于实数对(d,e)均方实用收敛到原点，系统是二阶有限时间均方实用可达的。

3.如权利要求2所述的随机快速光滑二阶滑模末制导方法，其特征在于，所述的均方实用可达定义如下：

考虑如下的随机非线性系统

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}=f\left(x\right)+x---\left(10\right)$

在初始条件x(t₀)＝x₀下的解为x＝x(t)，滑模切换函数为s(t)＝s(x(t))；如果对于满足一定条件的实数对d,e>0，当E||s(t₀)||²≤d时，有

$E\left|\right|s\left(t\right)|{|}^2\&le;e,\&ForAll;t-t_0>T---\left(11\right)$

则称系统是有限时间均方实用可达的；

若进一步存在T>0，当时，有

$E\left(\right|\left|s\right(t\left)\right|{|}^2+\left|\right|\stackrel{\&CenterDot;}{s}\left(t\right)\left|{|}^2\right)\&le;e,\&ForAll;t-t_0>T---\left(12\right)$

则称系统实现了二阶滑模有限时间控制，系统是二阶有限时间均方实用可达的；二阶有限时间均方实用可达意味着当t-t₀>T时，在实际中已经充分接近原点。