CN109557814B - 一种有限时间积分滑模末制导律 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种基于super‑twisting算法的有限时间积分滑模末制导律，包括：步骤一、三维的目标‑导弹相对运动方程的建立；步骤二、制导律设计。并对制导律进行了稳定性分析。本发明结合积分滑模、super‑twisting算法和有限时间扰动观测器，提出一种基于super‑twisting算法的有限时间积分滑模末制导律。其能够保证有限时间收敛，消弱抖振现象，能够较好地估计目标机动加速度，且具有较高的制导精度。其能够用于拦截无人机、弹道导弹等高速大机动目标，具有广泛的应用前景。

Description

一种有限时间积分滑模末制导律
技术领域
本发明涉及一种基于super-twisting算法的有限时间积分滑模末制导方法，属于制导控制技术领域。
背景技术
随着科学技术的不断进步，现代及未来战争中的目标威胁向着高速、大机动方向发展。这对制导律的设计提出了新的挑战，要求制导能够快速响应，保证有限时间收敛。另外，为了彻底摧毁目标，以直接碰撞为要求的动能杀伤技术成为了研究的热点，这对制导精度提出了更高的要求。
滑模控制对满足匹配条件的有界不确定性和干扰具有良好的鲁棒性。另外，滑模控制算法具有结构简单、易于实施和快速响应等优点。因此，滑模控制在导弹制导设计中获得了极为广泛的应用。为了实现全局滑模，保证制导系统在整个响应过程中的鲁棒性，积分滑模也被应用于导弹制导律的设计。考虑到实际的末制导过程十分有限且十分短暂，能够实现有限时间收敛的终端滑模控制在导弹制导设计得到了应用。然而，上述研究均是基于一阶滑模控制展开的，无法避免地会引起抖振现象，影响实际应用。为了克服抖振问题，高阶滑模控制，尤其是以super-twisting算法为代表的二阶滑模控制在导弹制导设计中得到了应用。通常情况，一阶滑模控制要求扰动的上界已知，高阶滑模控制要求扰动的各阶导数的上界已知。然而在实际中，这些信息往往难以获得，为了保证鲁棒性和有限时间收敛特性，往往需要选择较大的设计参数，会产生保守性。为解决此问题，同时进一步弱化抖振现象，扰动观测器被引入用于实时估计扰动信息，在制导设计中主要是估计目标的机动信息。综合积分滑模、super-twisting算法和扰动观测器的优点，结合积分滑模、super-twisting算法和有限时间扰动观测器设计导弹末制导律十分有必要。
发明内容
本发明针对现有技术的不足，结合积分滑模、super-twisting算法和有限时间扰动观测器，提出一种基于super-twisting算法的有限时间积分滑模末制导律。
本发明是这样实现的：
一种基于super-twisting算法的有限时间积分滑模末制导律，具体步骤如下：
步骤一、三维的目标-导弹相对运动方程
建立在视线球面坐标系下的三维的目标-导弹相对运动的动力学方程，可以表示为如下的二阶非线性微分方程：
Figure GDA0003095499470000021
Figure GDA0003095499470000022
Figure GDA0003095499470000023
式中，r，φ和θ分别表示目标-导弹相对距离，视线倾角和视线偏角；
Figure GDA0003095499470000024
Figure GDA0003095499470000025
和
Figure GDA0003095499470000026
分别表示目标-导弹的径向相对速度，纵向平面内的切向相对速度和侧向平面内的切向相对速度；[aTr aTθ aTφ]T和[aMr aMθ aMφ]T分别表示目标和导弹的加速度矢量。其中
Figure GDA0003095499470000027
和
Figure GDA0003095499470000028
分别表示相对时间的一阶导数，aTr和aMr分别表示目标和导弹的径向加速度，aTθ和aMθ分别表示目标和导弹在侧向平面内的切向加速度，aTφ和aMφ分别表示目标和导弹在纵向平面内的切向加速度。
制导的主要目标是通过控制导弹的切向加速度aMθ和aMφ使视线保持稳定，从而使导弹准平行接近目标并对目标实施拦截。稳定视线可以通过零化目标-导弹切向相对速度Vθ和Vφ来实现。自然地，零化切向相对速度Vθ和Vφ就是制导律设计的目标。一旦目标-导弹接近速度Vr由负值变为正值，制导过程结束。此时，目标与导弹之间的相对距离称为脱靶量。综上，在整个末制导过程中，有
Figure GDA0003095499470000031
Figure GDA0003095499470000032
是数学符号，意思是“对于任意的”；“t”表示时间；r(0)表示初始时刻，亦即零时刻目标-导弹的相对距离。
考虑到制导律设计的目标，选择Vθ和Vφ作为制导系统状态。令x1＝[x11 x12]T、x11＝Vθ、x12＝Vφ、u1＝aMθ和u2＝aMφ，则有
Figure GDA0003095499470000033
其中
Figure GDA0003095499470000034
步骤二、制导律设计
定义积分类型的滑模面为
Figure GDA0003095499470000035
式中，k＝const.＞0，α＝const.∈(0,1)，τ表示积分变量，这里被积函数中省略了积分变量，完整形式为
Figure GDA0003095499470000036
通常为了书写简便，可以省略被积函数中的积分变量；k是设计参数，是一个正常数；x11(0)表示状态变量x11的初始值，以即零时刻的值；sgn(.)表示符号函数。
求s1和s2相对时间的导数，并代入式(5),可得
Figure GDA0003095499470000041
基于super-twisting算法，将制导律设计为
Figure GDA0003095499470000042
式中，sgn(·)表示符号函数；α1和α2表示控制增益。
在实际制导过程中，目标加速度aTθ和aTφ通常无法预先获知。为此，将设计super-twisting扰动观测器实时估计aTθ和aTφ。为了设计观测器，将aTθ和aTφ视作扩展状态。令x21＝aTθ和x22＝aTφ，可以得到如下的扩展系统：
Figure GDA0003095499470000043
基于扩展系统(9)，估计aTθ和aTφ的super-twisting观测器可以分别设计为
Figure GDA0003095499470000044
Figure GDA0003095499470000045
式中，
Figure GDA0003095499470000046
和
Figure GDA0003095499470000047
分别表示x11、x21、x12和x22的估计值。明显地，
Figure GDA0003095499470000048
和
Figure GDA0003095499470000049
分别是aTθ和aTφ的估计。
对于制导律(8)，应用
Figure GDA00030954994700000410
和
Figure GDA00030954994700000411
分别替代aTθ和aTφ，得到易于实施的制导律为
Figure GDA00030954994700000412
在制导律(12)的作用下，闭环制导系统是有限时间收敛的。有限时间收敛的定义如下：
定义1:考虑系统
Figure GDA00030954994700000413
其中f(x,t)是连续函数，且f(0,t)＝0。若存在连续正定函数V(x，t)以及实数ρ＞0和0＜η＜1使得
Figure GDA00030954994700000414
那么原点是系统
Figure GDA00030954994700000415
的全局有限时间稳定平衡点，收敛时间满足ts≤V1-η(x0，0)/[ρ(1-η)].
步骤三、稳定性分析
定义super-twisting观测器(10)和(11)的估计误差为
Figure GDA0003095499470000051
Figure GDA0003095499470000052
和
Figure GDA0003095499470000053
将制导律(12)代入式(7)中，得
Figure GDA0003095499470000054
应用坐标转换
Figure GDA0003095499470000055
滑模动态特性(13)可以转化为
Figure GDA0003095499470000056
另外，结合式(9)～(11)，观测器(10)和(11)估计误差动态特性可以分别表示为
Figure GDA0003095499470000057
给出如下假设：假设1：
Figure GDA0003095499470000058
且
Figure GDA0003095499470000059
假设2：
Figure GDA00030954994700000510
且
Figure GDA00030954994700000511
定义如下矢量：
Figure GDA00030954994700000512
考虑式(15)和(16)，求上述矢量相对时间的导数，可得
Figure GDA00030954994700000513
Figure GDA00030954994700000514
其中
Figure GDA00030954994700000515
另外，
Figure GDA00030954994700000516
考虑Lyapunov候选函数
Figure GDA00030954994700000517
其中
Figure GDA0003095499470000061
另外，
Figure GDA0003095499470000062
明显地，若α2＞0且β2i＞0，则PXi和PEi是正定对称矩阵。那么，VXi，VEi以及V(Xi,Ei)是正定的且径向无界的函数。因此，有
Figure GDA0003095499470000063
式中，λmin(·)和λmax(·)分别表示最小和最大特征值；||·||2表示欧几里得范数。
沿着动态系统(18)和(19)，求V(Xi,Ei)相对时间的导数，根据Young不等式以及假设1和假设2，可得
Figure GDA0003095499470000064
其中C＝[1 0].
令
Figure GDA0003095499470000065
Figure GDA0003095499470000066
进而，
Figure GDA0003095499470000067
若选择α1、α2、β1i和β2i使得对称矩阵QXi和QEi是正定的，那么
Figure GDA0003095499470000071
由于
Figure GDA0003095499470000072
可以得到|si|1/2≤||Xi||2，|e1i|1/2≤||Ei||2。那么，
Figure GDA0003095499470000073
另外，由式(24)可得
Figure GDA0003095499470000074
结合上述不等式，式(30)可以进一步转化为
Figure GDA0003095499470000075
式中，
Figure GDA0003095499470000076
γX＝min{γXi,i＝1，2}，γE＝min{γEi,i＝1,2}，γ＝min{γX,γE}.
根据定义1，由式(32)可得si、yi、e1i和e2i，i＝1,2将在有限时间内收敛至零，收敛时间满足t1≤V1/2(Xi(0),Ei(0))/γ。结合式(15)可知，当si＝0且yi＝0，有
Figure GDA00030954994700000711
根据式(6)，
Figure GDA0003095499470000077
等价于
Figure GDA0003095499470000078
考虑Lyapunov候选函数
Figure GDA0003095499470000079
其沿着系统(33)，相对时间的导数为
Figure GDA00030954994700000710
根据定义1，由式(34)可得x1i将在有限时间t2i＝|x1i(0)|1-α/[k(1-α)]之内收敛至零。最终，切向相对速度Vθ和Vφ将在有限时间t＝t1+max{t2i,i＝1,2}之内收敛至零。
本发明的有益效果为：结合积分滑模、super-twisting算法和有限时间扰动观测器，提出一种基于super-twisting算法的有限时间积分滑模末制导律。其能够保证有限时间收敛，消弱抖振现象，能够较好地估计目标机动加速度，且具有较高的制导精度。其能够用于拦截无人机、弹道导弹等高速大机动目标，具有广泛的应用前景。
附图说明
图1为本发明实施例反无人机情形下不同制导律的切向相对速度对比图：a)俯仰通道切向相对速度对比图；b)偏航通道切向相对速度对比图；
图2为本发明实施例反无人机情形下不同制导律的制导指令对比图：a)俯仰通道制导指令对比图；b)偏航通道制导指令对比图；
图3为本发明实施例反无人机情形下目标侧向加速度的估计图；
图4为本发明实施例反无人机情形下不同制导律的切向相对速度对比图：a)俯仰通道切向相对速度对比图；b)偏航通道切向相对速度对比图；
图5为本发明实施例反无人机情形下不同制导律的制导指令对比图：a)俯仰通道制导指令对比图；b)偏航通道制导指令对比图；
图6为本发明实施例反无人机情形下目标加速度的估计图：a)目标法向加速度的估计图；b)目标侧向加速度的估计图。
具体实施方式
本发明提出一种基于super-twisting算法的有限时间积分滑模末制导律，主要包括三维制导方程的建立、目标机动加速度观测器设计、有限时间积分滑模末制导律设计及其稳定性分析。本发明的具体实施方式如下：
1)假设导弹采用主动式的雷达导引头，其能够提供目标-导弹相对距离信息r及其变化率
Figure GDA0003095499470000085
视线角信息φ和θ，以及视线角速率信息
Figure GDA0003095499470000081
和
Figure GDA0003095499470000082
2)由导引头的输出信息，计算目标-导弹相对接近速度分量Vr，Vφ和Vθ。以此作为目标加速度观测器(10)和(11)的输入，获得目标机动加速度的估计值
Figure GDA0003095499470000083
和
Figure GDA0003095499470000084
3)将目标机动加速度的估计值及导引头的输出信息代入公式(12)中获取实时的制导指令u1和u2。
实施例1
拦截无人机。拦截导弹的初始位置为(100，1，15)km，初始速度为1600m/s，初始的弹道倾角和弹道偏角分别为-15°和-17°。目标的初始位置为(120，5，12)km，初始速度为900m/s，初始弹道倾角和弹道偏角分别为-2°和180°。目标仅在偏航通道实施aTθ＝-8g，t≥3s形式的阶跃机动。
实施例2
拦截弹道导弹。拦截导弹的初始位置为(45，1，6)km，初始速度为1700m/s，初始的弹道倾角和弹道偏角分别为10.5°和-18.5°。目标的初始位置为(75，5，20)km，初始速度为900m/s，初始弹道倾角和弹道偏角分别为-40°和180°。弹道导弹实施螺旋机动，为aTφ＝Acos(πt/3)g和aTθ＝Asin(πt/3)g，其中幅值A随海拔高度变化而变化，如表1所示。
表1目标机动幅值A
Figure GDA0003095499470000091
在上述两个实施例中，对提出的基于super-twisting算法的有限时间积分滑模制导律(SOSMG)与经典的自适应滑模制导律(ASMG)进行对比分析，以验证SOSMG的性能。
从图1和图4中可以看出，提出的SOSMG能够保证切向相对速度在有限时间内收敛至零，而ASMG则不具有有限时间收敛特性；
从图2和图5中可以看出，在SOSMG的导引下，随着切向相对速度的收敛，拦截导弹的过载能够较好地跟踪目标机动过载的变化，而ASMG对目标机动过载的跟踪效果相对较差；
从图3和图6中可以看出，所设计目标机动观测器具有较好地性能，能够保证目标机动过载的估计值在有限时间内收敛至其真实值。
尽管这里参照本发明的解释性实施例对本发明进行了描述，上述实施例仅为本发明较佳的实施方式，本发明的实施方式并不受上述实施例的限制，应该理解，本领域技术人员可以设计出很多其他的修改和实施方式，这些修改和实施方式将落在本申请公开的原则范围和精神之内。

Claims (3)

1.一种基于super-twisting算法的有限时间积分滑模末制导律，其特征在于包括如下步骤：
步骤一、三维的目标-导弹相对运动方程
建立在视线球面坐标系下的三维的目标-导弹相对运动的动力学方程，表示为如下的二阶非线性微分方程：
Figure FDA0001891871340000011
Figure FDA0001891871340000012
Figure FDA0001891871340000013
式中，r，φ和θ分别表示目标-导弹相对距离，视线倾角和视线偏角；
Figure FDA0001891871340000014
Figure FDA0001891871340000015
和
Figure FDA0001891871340000016
分别表示目标-导弹的径向相对速度，纵向平面内的切向相对速度和侧向平面内的切向相对速度；[aTr aTθ aTφ]T和[aMr aMθ aMφ]T分别表示目标和导弹的加速度矢量；aTr和aMr分别表示目标和导弹的径向加速度，aTθ和aMθ分别表示目标和导弹在侧向平面内的切向加速度，aTφ和aMφ分别表示目标和导弹在纵向平面内的切向加速度；
在整个末制导过程中，有
Figure FDA0001891871340000017
其中r(0)表示初始时刻，亦即零时刻目标-导弹的相对距离
选择Vθ和Vφ作为制导系统状态；令x1＝[x11 x12]T、x11＝Vθ、x12＝Vφ、u1＝aMθ和u2＝aMφ，则有
Figure FDA0001891871340000018
其中
Figure FDA0001891871340000019
步骤二、制导律设计
定义积分类型的滑模面为
Figure FDA0001891871340000021
式中，k＝const.＞0，α＝const.∈(0,1)，k是设计参数，是一个正常数；x11(0)表示状态变量x11的初始值，以即零时刻的值，sgn(.)表示符号函数；
求s1和s2相对时间的导数，并代入式(5),可得
Figure FDA0001891871340000022
基于super-twisting算法，将制导律设计为
Figure FDA0001891871340000023
式中，sgn(·)表示符号函数；α1和α2表示控制增益；
设计super-twisting扰动观测器实时估计aTθ和aTφ，将aTθ和aTφ视作扩展状态；令x21＝aTθ和x22＝aTφ，可以得到如下的扩展系统：
Figure FDA0001891871340000024
基于扩展系统(9)，估计aTθ和aTφ的super-twisting观测器可以分别设计为
Figure FDA0001891871340000025
Figure FDA0001891871340000026
式中，
Figure FDA0001891871340000027
和
Figure FDA0001891871340000028
分别表示x11、x21、x12和x22的估计值；明显地，
Figure FDA0001891871340000029
和
Figure FDA00018918713400000210
分别是aTθ和aTφ的估计；
对于制导律(8)，应用
Figure FDA00018918713400000211
和
Figure FDA00018918713400000212
分别替代aTθ和aTφ，得到易于实施的制导律为
Figure FDA00018918713400000213
2.根据权利要求1所述基于super-twisting算法的有限时间积分滑模末制导律，其特征在于：
在制导律(12)的作用下，闭环制导系统是有限时间收敛的；有限时间收敛的定义如下：
定义1:考虑系统
Figure FDA0001891871340000031
其中f(x,t)是连续函数，且f(0,t)＝0；若存在连续正定函数V(x,t)以及实数ρ＞0和0＜η＜1使得
Figure FDA0001891871340000032
那么原点是系统
Figure FDA0001891871340000033
的全局有限时间稳定平衡点，收敛时间满足ts≤V1-η(x0,0)/[ρ(1-η)]。
3.根据权利要求2所述基于super-twisting算法的有限时间积分滑模末制导律，其特征在于：
对制导律(12)进行稳定性分析，如下：
定义super-twisting观测器(10)和(11)的估计误差为
Figure FDA0001891871340000034
和
Figure FDA0001891871340000035
将制导律(12)代入式(7)中，得
Figure FDA0001891871340000036
应用坐标转换
Figure FDA0001891871340000037
滑模动态特性(13)可以转化为
Figure FDA0001891871340000038
另外，结合式(9)～(11)，观测器(10)和(11)估计误差动态特性可以分别表示为
Figure FDA0001891871340000039
给出如下假设：假设1：
Figure FDA00018918713400000310
且
Figure FDA00018918713400000311
假设2：
Figure FDA00018918713400000312
且
Figure FDA00018918713400000313
定义如下矢量：
Xi＝[|si|1/2sgn(si)yi]T,Ei＝[|e1i|1/2sgn(e1i)e2i]T,i＝1,2(17)
考虑式(15)和(16)，求上述矢量相对时间的导数，可得
Figure FDA0001891871340000041
Figure FDA0001891871340000042
其中
Figure FDA0001891871340000043
另外，
Figure FDA0001891871340000044
考虑Lyapunov候选函数
Figure FDA0001891871340000045
其中
Figure FDA0001891871340000046
另外，
Figure FDA0001891871340000047
明显地，若α2＞0且β2i＞0，则PXi和PEi是正定对称矩阵；那么，VXi，VEi以及V(Xi,Ei)是正定的且径向无界的函数；因此，有
Figure FDA0001891871340000048
式中，λmin(·)和λmax(·)分别表示最小和最大特征值；||·||2表示欧几里得范数；
沿着动态系统(18)和(19)，求V(Xi,Ei)相对时间的导数，根据Young不等式以及假设1和假设2，可得
Figure FDA0001891871340000051
其中C＝[1 0].
令
Figure FDA0001891871340000052
Figure FDA0001891871340000053
进而，
Figure FDA0001891871340000054
若选择α1、α2、β1i和β2i使得对称矩阵QXi和QEi是正定的，那么
Figure FDA0001891871340000055
由于
Figure FDA0001891871340000056
可以得到|si|1/2≤||Xi||2，|e1i|1/2≤||Ei||2；那么，
Figure FDA0001891871340000057
另外，由式(24)可得
Figure FDA0001891871340000058
结合上述不等式，式(30)可以进一步转化为
Figure FDA0001891871340000059
式中，
Figure FDA00018918713400000510
γX＝min{γXi,i＝1,2}，γE＝min{γEi,i＝1,2}，γ＝min{γX,γE}.
根据定义1，由式(32)可得si、yi、e1i和e2i，i＝1,2将在有限时间内收敛至零，收敛时间满足t1≤V1/2(Xi(0),Ei(0))/γ；结合式(15)可知，当si＝0且yi＝0，有
Figure FDA0001891871340000061
根据式(6)，
Figure FDA0001891871340000062
等价于
Figure FDA0001891871340000063
考虑Lyapunov候选函数
Figure FDA0001891871340000064
其沿着系统(33)相对时间的导数为
Figure FDA0001891871340000065
根据定义1，由式(34)可得x1i将在有限时间t2i＝|x1i(0)|1-α/[k(1-α)]之内收敛至零；最终，切向相对速度Vθ和Vφ将在有限时间t＝t1+max{t2i,i＝1,2}之内收敛至零。
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