CN108490786A - 一种基于终端滑模的高超声速飞行器鲁棒跟踪控制方法 - Google Patents
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Abstract
一种基于终端滑模的高超声速飞行器鲁棒跟踪控制方法，本发明涉及基于终端滑模的高超声速飞行器鲁棒跟踪控制方法。本发明为了解决现有飞行器的控制模型复杂、鲁棒性差以及没有考虑控制器输入受限的问题。本发明给出了高超声速飞行器输入输出线性化模型，通过引入误差辅助变量，将其转化为二阶系统模型。针对系统干扰存在未知上界和执行器无输入饱和的情形，基于快速非奇异终端滑模面，设计了自适应快速终端滑模控制器，保证了滑模面为实际限时间收敛的。引入双曲正切函数和构造辅助系统，设计了抗饱和的自适应快速终端滑模控制器，满足高超声速飞行器执行器物理约束的要求同时保证系统滑模面在有限时间内收敛的。本发明用于飞行器领域。
Description
技术领域
本发明涉及基于终端滑模的高超声速飞行器鲁棒跟踪控制方法。
背景技术
与传统飞行器相比，高超声速飞行器独特的一体化设计方式，使其机体、推进系统和结构动态之间存在高度非线性和强耦合性(Dydek Z T,Annaswamy A M,LavretskyE.Adaptive control and the NASA X-15-3flight revisited[J].Control Systems,IEEE,2010,30(3):32-48.Xu B,Shi Z K.An overview on flight dynamics and controlapproaches for hypersonic vehicles[J].Science China Information Sciences,2015,58(7):1-19)。此外，由于高超声速飞行器具有大空域和高机动的飞行特性，进一步加剧了气动特性和飞行参数剧烈变化，从而在飞行过程呈现出各种复杂的动态特性。对具有飞行环境复杂、气动特性变化剧烈和模型强不确定性的高超声速飞行器控制系统设计面临着巨大的困难。因此，对高超声速飞行器相关控制技术的研究成为一项极具挑战性的研究课题(Sigthorsson D,Jankovsky P,Serrani A,et al.Robust linear output feedbackcontrol of an airbreathing hypersonic vehicle[J].Journal of Guidance,Control,and Dynamics,2008,31(4):1052-1066.Chang-Yin S,Chao-Xu M,Yao Y.Some controlproblems for near space hypersonic vehicles[J].Acta Automatica Sinica,2013,39(11):1901-1913)。
近年来，随着对高超声速飞行器控制技术的认识不断深化，各种控制算法日渐成熟，逐渐应用于高超声速飞行器控制器设计中，并获得了许多有价值的成果。文献(ChavezF,Schmidt D.Uncertainty modeling for multivariable-control robustnessanalysis of elastic high-speed vehicles[J].Journal of Guidance,Control,andDynamics,1999,22(1):87-95.Sigthorsson D,Jankovsky P,Serrani A,et al.Robustlinear output feedback control of an airbreathing hypersonic vehicle[J].Journal of Guidance,Control,and Dynamics,2008,31(4):1052-1066)基于线性控制算法对高超声速飞行器进行控制器的设计。由于高超声速飞行器具有复杂的非线性特性，使得基于线性模型的控制器设计方法不再使用。目前，针对存在不确定性的非线性系统控制问题得到了广泛关注。其中滑模控制理论具有对参数摄动的不变性和对外界干扰的鲁棒性，且设计简单，控制精度高等优点，在航天控制领域中得到了广泛的应用文献(ShtesselY,McDuffie J,Jackson M.Sliding mode control of the X-33 vehicle in launch andre-entry modes[J].American Institute of Aeronautics and Astronautics,1998,13521362.Wallsgrove R J,Akella M R.Globally Stabilizing Saturated AttitudeControl in the Presence of Bounded Unknown Disturbances[J].Journal ofGuidance,Control,and Dynamics,2005,28(5):957–963.)。文献(Xu H,Mirmirani M D,Ioannou P A.Adaptive sliding mode control design for a hypersonic flightvehicle[J].Journal of guidance,control,and dynamics,2004,27(5):829-838)以高超声速飞行器为控制对象，采用线性函数作为滑模面，当系统轨迹到达滑模面，跟踪误差只能渐近的收敛到零。为符合实际工程应用中对系统在有限时间内稳定的需求。文献(Venkataraman S T,Gulati S.Terminal sliding modes:a new approach to nonlinearcontrol synthesis[C]//Advanced Robotics,1991.'Robots in UnstructuredEnvironments',91ICAR.,Fifth International Conference on.IEEE,1991:443-448)提出了有限时间的终端滑模控制方法受到广泛关注。对于终端滑模理论一般具有两大局限：(1)控制过程中的奇异问题；(2)当系统状态离平衡点较远时，系统状态的收敛速率较慢的问头。为了解决奇异问题，文献(Mu C,Sun C,Xu W.Fast sliding mode control on air-breathing hypersonic vehicles with transient response analysis[J].Proceedingsof the Institution of Mechanical Engineers,Part I:Journal of Systems andControl Engineering,2016,230(1):23-34)针对高超声速飞行器输入输出线性化模型，在选取非奇异终端面基础上，设计了非奇异终端滑模控制器，使得系统滑模面在有限时间内收敛到零，并通过仿真验证了所设计控制器的有效性。为了解决当系统状态离平衡点较远时，收敛速率慢的问题，文献(Xiaohu Z X W,Gongzhang Z J S.Disturbance compensatedterminal sliding mode control for hypersonic vehicles[J].Journal of BeijingUniversity of Aeronautics and Astronautics,2012,11:008)提出了一种简单的改进型Terminal滑模面，通过在平衡点附近从非线性滑模面切换至高增益线性滑模面，避免了控制奇异问题，同时保持了较高的收敛速度。为了进一步降低系统抖振问题,文献(Sun H,LiS,Sun C.Finite time integral sliding mode control of hypersonic vehicles[J].Nonlinear Dynamics,2013,73(1-2):229-244)针对高超声速飞行器输入输出线性化后模型设计了有限时间积分滑模控制器，并利用非线性扰动观测器来估计外界扰动的值，降低了滑模切换增益，从而减弱了系统抖振。另外，文献(Zhang Y,Li R,Xue T,et al.Ananalysis of the stability and chattering reduction of high-order sliding modetracking control for a hypersonic vehicle[J].Information Sciences,2016,348:25-48.Wang L,Sheng Y,Liu X.High-order sliding mode attitude controller designfor reentry flight[J].Journal of Systems Engineering and Electronics,2014,25(5):848-858.Wang J,Zong Q,Tian B,et al.Flight control for a flexible air-breathing hypersonic vehicle based on quasi-continuous high-order slidingmode[J].Journal of Systems Engineering and Electronics,2013,24(2):288-295)针对高超声速飞行器利用高阶滑模理论，设计了高阶滑模控制器，进一步削弱了系统抖振并同时提高了控制精度。
目前大部分文献都是针对执行器无输入饱和的理想条件下进行控制器设计的，而在实际高超声速飞行器控制系统中，执行机构所能提供的控制力是有限的，即存在输入受限的物理约束。如果在控制器设计时不考虑输入饱和约束，那么控制规律在实际执行过程中可能会执行器出现饱和现象，造成输出跟踪误差的积累，甚至导致闭环系统的不稳定。文献(Xu B,Wang S,Gao D,et al.Command filter based robust nonlinear control ofhypersonic aircraft with magnitude constraints on states and actuators[J].Journal of Intelligent&Robotic Systems,2014,73(1-4):233-247)基于动态面控制，利用指令滤波器及跟踪误差补偿信号来解决高超声速飞行器控制系统输入饱和问题。文献(Zong Q,Wang F,Su R,et al.Robust adaptive backstepping tracking control for aflexible air-breathing hypersonic vehicle subject to input constraint[J].Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers,Part G:Journal ofAerospace Engineering,2015,229(1):10-25)以高超声速飞行器为控制对象，利用反步法并构造指令滤波辅助系统，设计了抗饱和的自适应反步控制器，但误差变量是最终一致有界的。文献(Wang S X,Zhang Y,Jin Y Q,et al.Neural control of hypersonic flightdynamics with actuator fault and constraint[J].Science China InformationSciences,2015,58(7):1-10.Hu X,Wu L,Hu C,et al.Adaptive fuzzy integral slidingmode control for flexible air-breathing hypersonic vehicles subject to inputnonlinearity[J].Journal of Aerospace Engineering,2011,26(4):721-734)基于智能优化算法通过在线学习来逼近包含实际控制输入与所设计控制输入之间差值的非线性函数，利用滑模控制理论，设计了抗饱和的滑模控制器，但在线学习参数较多不利于实时控制。文献(Zong Q,Wang F,Tian B,et al.Robust adaptive approximate backsteppingcontrol of a flexible air-breathing hypersonic vehicle with input constraintand uncertainty[J].Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers,Part I:Journal of Systems and Control Engineering,2014,228(7):521-539)通过对高超声速飞行器面向控制模型的分析，将其划分为速度子系统和高度子系统，为了处理各子系统的输入约束，设计相应的附加系统并将附加系统的状态用于控制器设计和稳定性分析中。文献(Chen M,Ren B B,Wu Q X,et al.Anti-disturbance control of hypersonicflight vehicles with input saturation using disturbance observer[J].ScienceChina Information Sciences,2015,58(7):1-12)基于自抗扰理论对带有输入饱和的高超声速飞行器设计了抗饱和的终端滑模控制器，但存在对控制输入幅值有界的假设条件。文献(Bu X,Wu X,Tian M,et al.High-order tracking differentiator based adaptiveneural control of a flexible air-breathing hypersonic vehicle subject toactuators constraints[J].ISA transactions,2015,58:237-247)针对高超声速飞行器输入饱和问题，基于高阶微分器，利用神经网络通过在线学习逼近包含有实际控制输入与所设计控制输入的差值的非线性函数，设计了自适应神经网络动态逆控制器，能够保证系统为半全局一致有界的。但在线学习参数较多，增加了控制器设计的复杂度。
发明内容
本发明的目的是为了解决现有飞行器的控制模型复杂、鲁棒性差以及没有考虑控制器输入受限的问题，而提出一种基于(快速)终端滑模的高超声速飞行器鲁棒跟踪控制方法。
一种基于(快速)终端滑模的高超声速飞行器鲁棒跟踪控制方法包括以下步骤：
首先，本发明给出了高超声速飞行器输入输出线性化模型，通过引入误差辅助变量，将其转化为二阶系统模型。其次，针对系统干扰存在未知上界和执行器无输入饱和的情形，基于快速非奇异终端滑模面，设计了自适应快速终端滑模控制器，保证了滑模面为实际限时间收敛的。为进一步解决输入饱和问题，引入双曲正切函数和构造辅助系统，设计了抗饱和的自适应快速终端滑模控制器，满足高超声速飞行器执行器物理约束的要求同时保证系统滑模面在有限时间内收敛的。最后，利用李雅普诺夫理论对所设计控制器给出了严格证明，并在给定参考信号下进行数字仿真验证，进一步验证了所设计两个控制器的有效性。
步骤一：利用终端滑模理论和自适应方法设计终端滑模面；
步骤二：根据步骤一设计的终端滑模面，设计高超声速飞行器的终端滑模控制器u；
u＝-k3tanh(ε1ζ)-k4tanh(ε2σ1)-k5tanh(ε3σ2)
其中ε1，ε2，ε3为设计参数，取值为正数；k3，k4，k5为增益系数，取值为正数；ζ为抗饱和参数，σ1和σ2为以高超声速飞行器的速度误差和高度误差为自变量的函数；
步骤三：在当前第i个采样周期内，根据步骤二得到的终端滑模控制器u，通过调整控制参数：滑模面s，抗饱和参数ζ，增益系数k3、k4和k5，设计参数ε1、ε2和ε3，最终计算得出控制器u的值，然后将控制器输入u的值代入高超声速飞行器模型中，使得高超声速飞行器的高度跟踪误差和速度跟踪误差减小，当进入第i+1个采样周期时，根据当前高超声速飞行器的高度h和速度V，重新计算滑模面s，抗饱和参数ζ，增益系数k3、k4和k5，设计参数ε1、ε2和ε3，获得当前第i+1时刻的控制器u的值，依次类推，实现高超声速飞行器的跟踪控制。
高超声速飞行器动力学模型为：
美国国家航空航天局兰利研究中心提出的刚性高超声速飞行器模型如下所示：
其中，V为飞行的速度，h为高度，α为攻角，θ为俯仰角，q为俯仰角速率，φ为发动机节流阀和为节流阀的一阶导数。而μ为地球引力常数，r＝h+RE，RE为地球半径，γ＝θ-α为航迹角，其他相关力及力矩系数见文献(Xu H J,Mirmirani M D,and Ioannou PA.Adaptive sliding mode control design for a hypersonic flight vehicle[J],Journal of Guidance,Control and Dynamics,2004,27(5):829-838)。
本发明的有益效果为：
为了进一步解决高超声速飞行器输入饱和的跟踪控制问题，本发明基于快速终端滑模理论设计了具有抗饱和的自适应快速终端控制器。
(1)本发明与文献(Xiaohu Z X W,Gongzhang Z J S.Disturbance compensatedterminal sliding mode control for hypersonic vehicles[J].Journal of BeijingUniversity of Aeronautics and Astronautics,2012,11:008.Sun H,Li S,SunC.Finite time integral sliding mode control of hypersonic vehicles[J].Nonlinear Dynamics,2013,73(1-2):229-244.)相比，本发明考虑了输入饱和问题，与文献(Zong Q,Wang F,Tian B,et al.Robust adaptive approximate backsteppingcontrol of a flexible air-breathing hypersonic vehicle with input constraintand uncertainty[J].Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers,Part I:Journal of Systems and Control Engineering,2014,228(7):521-539.)不需要对控制输入有界性的假设条件；
(2)本发明与文献(Mu C,Sun C,Xu W.Fast sliding mode control on air-breathing hypersonic vehicles with transient response analysis[J].Proceedingsof the Institution of Mechanical Engineers,Part I:Journal of Systems andControl Engineering,2016,230(1):23-34.)相比，本发明提出的快速非奇异终端滑模面，具有更快收敛速度；
(3)本发明与文献(Wang S X,Zhang Y,Jin Y Q,et al.Neural control ofhypersonic flight dynamics with actuator fault and constraint[J].ScienceChina Information Sciences,2015,58(7):1-10.Hu X,Wu L,Hu C,et al.Adaptivefuzzy integral sliding mode control for flexible air-breathing hypersonicvehicles subject to input nonlinearity[J].Journal of Aerospace Engineering,2011,26(4):721-734.Bu X,Wu X,Tian M,et al.High-order tracking differentiatorbased adaptive neural control of a flexible air-breathing hypersonic vehiclesubject to actuators constraints[J].ISA transactions,2015,58:237-247)相比，本发明引入双曲正切函数和辅助系统处理输入饱和问题，降低了控制器设计的复杂度。
本发明通过引入双曲正切函数和辅助系统以及自适应控制理论对高超声速飞行器饱和跟踪问题进行研究分析。主要效果如下：
(1)利用输入输出线性化对高超声速飞行器非线性控制系统模型简化基础上，引入误差辅助变量将其转化为二阶系统模型，为控制器方便设计提供了模型基础。
(2)针对无输入受限和外界干扰存在未知上界的情形，在提出快速非奇异终端滑模基础上，设计了自适应快速非奇异终端滑模控制器，保证了系统滑模面为实际有限时间稳定的。为进一步解决输入饱和问题，引入双曲正切函数和辅助系统，设计了抗饱和的自适应快速非奇异终端滑模控制器，满足高超声速飞行器执行器物理受限的要求。同时保证了系统滑模面为有限时间稳定的，速度误差和高度误差为渐进稳定的。
(3)利用李雅普诺夫定理对所设计的控制器给出了严格理论证明，通过对高超声速飞行器纵向动力学模型对给定的参考轨迹进行数字仿真，验证了所设计两个控制器的有效性。
相同仿真条件下，本发明控制精度提高了10％～15％。
附图说明
图1为速度参考指令跟踪曲线；
图2为速度误差跟踪曲线；
图3为高度参考指令跟踪曲线；
图4为高度误差跟踪曲线；
图5为控制输入φc,δe曲线；
图6为攻角、俯仰角和俯仰角速率曲线；
图7为自适应参数曲线；
图8为考虑输入饱和的速度参考指令跟踪曲线；
图9为考虑输入饱和的速度误差参考指令跟踪曲线；
图10为考虑输入饱和的高度参考指令跟踪曲线；
图11为考虑输入饱和的高度误差参考指令跟踪曲线；
图12为考虑输入饱和的控制输入φc,δe曲线；
图13为考虑输入饱和的攻角、俯仰角和俯仰角速率曲线；
图14为考虑输入饱和的自适应参数曲线；
图15为自适应参数ζ曲线。
具体实施方式
具体实施方式一：一种基于终端滑模的高超声速飞行器鲁棒跟踪控制方法包括以下步骤：
高超声速飞行器故障模型
为了便于高超声速飞行器控制系统的设计，为了控制器方便设计，采用输入输出线性化方法来处理非线性系统模型，采用文献(Sun H,Li S,Sun C.Finite time integralsliding mode control of hypersonic vehicles[J].Nonlinear Dynamics,2013,73(1-2):229-244.)反馈线性化后系统模型。
其中φc和δe为控制输入，fv，fh，b11，b12，b21和b22具体定义见文献(Sun H,Li S,SunC.Finite time integral sliding mode control of hypersonic vehicles[J].Nonlinear Dynamics,2013,73(1-2):229-244.)。
记则式：(1)可重新写为：
其中，Δfv，Δfh，Δb11，Δb12，Δb21，Δb22是由参数不确定性和外界干扰产生的有界项。令Δ1＝ΔfV+Δb11δe+Δb12φc，Δ2＝Δfh+Δb21δe+Δb22φc。
假设期望输出速度、高度参考指令分别为Vd(x)、hd(x)，参考文献(Mu C,Sun C,XuW.Fast sliding mode control on air-breathing hypersonic vehicles withtransient response analysis[J].Proceedings of the Institution of MechanicalEngineers,Part I:Journal of Systems and Control Engineering,2016,230(1):23-34.)定义相应的误差辅助变量σV(x)＝Vd(x)-V(x)，σh(x)＝hd(x)-h(x)。
引入误差辅助变量
其中，
对σ2(x)求导可得：
其中，式(5)中可根据式(1)求得，根据输入变量与之间的关系式可得
将式(5)中右侧第二项可转为形式如下：
将式(7)代入式(5)中，可重新整理得
其中，fV(x)、fh(x)为已知的，b(x)由文献(Sun H,Li S,Sun C.Finitetime integral sliding mode control of hypersonic vehicles[J].NonlinearDynamics,2013,73(1-2):229-244.)可知，为非奇异的，可由非线性系统模型可知。则式(3)联合式(8)可整理为：
其中，B(x)＝-b(x)、
当考虑输入饱和时，系统方程(9)变为：
饱和输入Bsat(υ(t))可被描述成如下形式
本发明针对高超声速飞行器系统模型(10)，同时考虑存在外部干扰、模型参数不确定性及输入饱和的情形下，设计了抗饱和的自适应滑模控制器，进而实现速度V和高度h在有限时间内跟踪上期望参考信号，并同时保证系统的攻角、俯仰角和俯仰角速率保持在一定的变化范围内。
相关引理及假设
为了方便控制的设计下面给出了相关引理及相关假设。
定义(Zhu Z,Xia Y,Fu M.Attitude stabilization of rigid spacecraft withfinite‐time convergence[J].International Journal of Robust and NonlinearControl,2011,21(6):686-702)：针对系统：
其中ξ是系统状态，u为控制输入。当ξ(t0)＝ξ(0)时，存在ε和时间T(ε,ξ(0))＜+∞，使得t≥T+t0时||ξ(t)||≤ε成立，则系统是实际有限时间稳定的(practical finite-time stability)。
引理1(Hu Q,Jiang B,Friswell M I.Robust saturated finite time outputfeedback attitude stabilization for rigid spacecraft[J].Journal of Guidance,Control,and Dynamics,2014,37(6):1914-1929.)：针对系统(12)，假设存在连续可微函数V，使得其满足下列条件：
(1)V为正定函数。
(2)存在正实数α＞0，p∈(0,1)和0＜σ＜∞，以及一个包含原点的开邻域使得成立。则系统是实际有限时间稳定的。
引理2(Pukdeboon C,Siricharuanun P.Nonsingular terminal sliding modebased finite-time control for spacecraft attitude tracking[J].InternationalJournal of Control,Automation and Systems,2014,12(3):530-540.)：针对系统(12)，假设存在连续可微函数V,并且满足条件：
(1)V为正定函数。
(2)存在正实数c＞0和ε∈(0,1)，以及一个包含原点的开邻域使得成立。
则系统是有限时间稳定的，并且收敛时间T满足其中V0为V的初始值，若U＝U0＝Rn，则系统为全局有限时间稳定的。
引理3(Wallsgrove R J,Akella M R.Globally Stabilizing SaturatedAttitude Control in the Presence of Bounded Unknown Disturbances[J].Journalof Guidance,Control,and Dynamics,2005,28(5):957–963)：对于任意的实数x和非零实数y，下面不等式成立
0≤|x|(1-tanh(|x/y|))≤α|y| (13)
其中α＞0，其最小值α*满足α*＝x*(1-tanh x*)，x*满足方程
假设1：总干扰d代表耦合响应及不确定性存在未知上界，即||d||≤dM，其中dM为已知正常数。
控制器设计
本发明针对存在外界扰动、参数不确性和输入饱和的情形下的高超声速跟踪控制问题进行研究分析。(1)考虑系统扰动存在未知上界和无输入饱和的情形，在选取快速非奇异终端滑模面基础上，设计了自适应快速非奇异终端滑模控制器。(2)为进一步解决输入饱和问题，通过在自适应终端滑模控制器中引入双曲正切函数和辅助系统，从而满足了执行器物理受限的要求。
基于快速终端滑模的有限时间控制器设计
针对系统扰动存在上界未知的情况，利用终端滑模理论和自适应方法设计了快速终端滑模控制器。
设计快速终端滑模面：
sig(σ1)γ＝sign(σ1)|σ1|γ (16)
r1＝(2-γ)ηγ-1 (17)
r2＝(γ-1)ηγ-2 (18)
根据式(9)和式(14)可得：
其中，
由于提出的新型快速终端滑模面(14)是连续可微的，因此与文献(VenkataramanS T,Gulati S.Terminal sliding modes:a new approach to nonlinear controlsynthesis[C]//Advanced Robotics,1991.'Robots in Unstructured Environments',91ICAR.,Fifth International Conference on.IEEE,1991:443-448.)相比能够避免奇异问题，当|x|≤η时，并利用泰勒展开，可得β(x)＝(exp(α0|x|)-1)sign(x)r1/α0＞x＞0,x＞0，因此，滑模面(14)比文献(Mu C,Sun C,Xu W.Fast sliding mode control on air-breathing hypersonicvehicles with transient response analysis[J].Proceedings of the Institutionof Mechanical Engineers,Part I:Journal of Systems and Control Engineering,2016,230(1):23-34.)滑模面具有更快的收敛速度。
为了处理未知上界的时变扰动d，设计连续的控制器(21)-(23)，其中k1，k2和γd为正常数。d满足|d|≤dM，其中dM是一个未知的正常数，是dM的估计值，
定理1：针对系统(9)，系统干扰d在满足假设1条件下，利用快速终端滑模控制器(21)-(23)可以得到如下结论。
(1)变量s和p有界，对自适应参数的估计值存在一个上界，即在正常数满足
(2)滑模面s是实际有限时间收敛的。
(3)误差辅助变量σ1、σ2在有限时间内分别收敛于区域|σ1|≤Δσ1和|σ2|≤Δσ2
证明：选取Lyapunov函数为：
对式(26)沿系统轨线求导，可以得到：
将控制器(21)-(23)代入式(27)，整理得：
根据引理3中的不等式(13)可以写为：
-x/y·tanh(x/y)≤α-|x/y| (29)
由式(22)和可知，对于任意的t≥0，成立。利用|d|≤dM和式(29)可以推导出
把式(30)代入式(28)可得：
由式(31)可以得到得到V1是不增的，进一步得到s、和p是一致有界的。因此，自适应参数的估计值是有界的，即存在正常数满足
至此(1)得证。
选择李雅普诺夫函数
其中为一个正常数，并且满足和对式(32)求导可得：
把控制器(21)-(23)代入式(33)，整理得：
由式(22)和可知，对于任意的t≥0，成立。利用和式(29)可以推导出：
把式(35)代入式(34)可得：
其中，由于和p是有界的，因此χ是有界的，根据引理和式(36)可以得出，V2是实际有限时间收敛的。进一步可以得到滑模面s是实际有限时间收敛的。
至此(2)得证。
为证明辅助变量σ1、σ2在有限时间内收敛到一个区域，下面对两种情况进行分析
因为滑模面s是实际有限时间收敛的，所以滑模面s在有限时间内收敛到区域||s||≤Δs，其中Δs是一个未知的小正数。
(a)如果σ1≤η，表明辅助变量σ1在该区域范围内，根据式(14)可获得：
因此，
(b)如果σ1＞η，可得到：
其中，根据式(39)可以整理为两种形式，
其中，T(σ1)＝(exp(α0|σ1|)-1)sgn(σ1)，根据式(40)，如果满足下列不等式，
则
根据式(41)式，如果满足不等式：
则
综上所示，辅助标量σ1在有限时间内收敛到如下区域：
根据式(39)、式(46)，辅助变量σ2，收敛到如下区域：
至此结论(3)得证。
定理1完成证明。
基于快速终端滑模理论的快速非奇异终端滑模控制器(21)-(23)，没有考虑输入饱和问题，然而执行器饱和是实际应用中的一个关键问题。因此，很有必要对带有执行器输入饱和情形下的高超声速飞行器控制器设计进行研究。
考虑输入饱和的快速非奇异终端滑模控制器设计
执行器输入饱和是影响高超声速飞行器跟踪控制效果的一个重要因素，甚至会导致系统不稳定。为了处理执行器输入饱和问题，引入双曲正切函数和辅助系统设计抗饱和的自适应快速终端滑模控制器。
设计滑模面
s＝σ2+α1σ1(x)+α2f(σ1) (48)
sig(σ1)γ＝sign(σ1)|σ1|γ (50)
r1＝(2-γ)ηγ-1 (51)
r2＝(γ-1)ηγ-2 (52)
根据式(9)和式(48)可得：
其中，
基于终端滑模和辅助系统，设计抗饱和的快速非奇异终端滑模控制器(48)-(52)，其中k3，k4，k5，k6，k7，ε1，ε2，ε3为待设计的正常数。
u＝-k3tanh(ε1ζ)-k4tanh(ε2σ1)-k5tanh(ε3σ2) (55)
λ＝σ2+α1σ1(x)+α2f(σ1)-ζ (56)
定理2：针对系统(10)，系统扰动d存在未知上界的情形，在控制器(55)-(59)作用下，变量s、σ1和σ2在有限时间内收敛到零。
证明：选择李雅普诺夫函数：
对V4求导，整理可得：
将式(9)代入式(61)整理可得：
将式(55)-(59)代入式(62)整理可得：
参考式(30)可推导：
将式(64)代入式(63)可得：
对进行积分可得：
对式(66)求解，可得V3满足：
其中：
因为当t≥t*时V3(t)＝0,可知s和σ1在有限时间内收敛到0，结合式(14)可知，σ2在有限时间内收敛到0。
定理2得证。
定理3：考虑系统(9)在定理1在所设计的快速终端控制器(21)-(23)作用下，误差变量σV(x)、σh(x)为最终一致有界的。
证明：
由定理1可知，σ1和σ2在有限时间内分别收敛到区域|σ1|≤Δσ1和|σ2|≤Δσ2。
根据式(4)可整理为：
定义李雅普诺夫函数：
根据式(69)对式(71)求导：
令则式(72)可写为
由式(73)可知，σV为最终一致有界的。
对微分方程(70)求解可得：
其中，Ci(i＝1,2,3,4)与初值相关的常值，进一步放缩处理；
当t→+∞，式(75)满足下式：
根据式(76)可知，σh为σh最终一致有界的。
定理3得证。
定理4：针对考虑系统(10)在定理2所设计抗饱和的快速非奇异终端滑模控制器(55)-(59)作用下，σ1(x)、σ2(x)在有限时间内收敛到零，则σV(x)、σh(x)为渐近收敛到零。
证明：
根据定理2可知，系统状态σ1(x)、σ2(x)在有限时间内收敛零，根据式(4)可整理为：
定义李雅普诺夫函数：
对式(78)求导：
由式(79)可知，当σV≠0和σh≠0时，和因此，σV(x)、σh(x)在有限时间内渐近收敛到零.
定理4得证。
注3：抗饱和的快速非奇异终端滑模控制器(55)-(59)中，ε1，ε2，ε3的值越大，系统的控制精度越高。然而，ε1，ε2，ε3的值越大双曲正切函数的功能越类似符号函数，有可能会产生抖振现象。
步骤一：利用终端滑模理论和自适应方法设计终端滑模面；
步骤二：根据步骤一设计的终端滑模面，设计高超声速飞行器的终端滑模控制器u；
u＝-k3tanh(ε1ζ)-k4tanh(ε2σ1)-k5tanh(ε3σ2)
其中ε1，ε2，ε3为设计参数，取值为正数；k3，k4，k5为增益系数，取值为正数；ζ为抗饱和参数，σ1和σ2为以高超声速飞行器的速度误差和高度误差为自变量的函数；
步骤三：在当前第i个采样周期内，根据步骤二得到的终端滑模控制器u，通过调整控制参数：滑模面s，抗饱和参数ζ，增益系数k3、k4和k5，设计参数ε1、ε2和ε3，最终计算得出控制器u的值，然后将控制器输入u的值代入高超声速飞行器模型中，使得高超声速飞行器的高度跟踪误差和速度跟踪误差减小，当进入第i+1个采样周期时，根据当前高超声速飞行器的高度h和速度V，重新计算滑模面s，抗饱和参数ζ，增益系数k3、k4和k5，设计参数ε1、ε2和ε3，获得当前第i+1时刻的控制器u的值，依次类推，实现高超声速飞行器的跟踪控制。
具体实施方式二：本实施方式与具体实施方式一不同的是：所述步骤一中利用终端滑模理论和自适应方法设计终端滑模面的具体过程为：
执行器输入饱和是影响高超声速飞行器跟踪控制效果的一个重要因素，甚至会导致系统不稳定。为了处理执行器输入饱和问题，引入双曲正切函数和辅助系统设计抗饱和的自适应快速终端滑模控制器。
设计滑模面s为：
s＝σ2+α1σ1+α2f(σ1)
其中α1和α2为滑模面的设计参数，f(σ1)为以σ1为自变量的分段函数；
其中r1、r2、γ、η为滑模面的设计参数，sign(σ1)为符号函数，sig(σ1)为中间函数；
sig(σ1)γ＝sign(σ1)|σ1|γ
r1＝(2-γ)ηγ-1
r2＝(γ-1)ηγ-2
其它步骤及参数与具体实施方式一相同。
具体实施方式三：本实施方式与具体实施方式一或二不同的是：所述步骤二中根据步骤一设计的终端滑模面，设计高超声速飞行器的终端滑模控制器u的具体过程为：
根据下式和滑模面s得到滑模面s的导数
其中为σ1的导数，为σ2的导数，d为系统(80)(公式(80))干扰，B为控制增益矩阵，F为中间函数，v为控制输入，为f(σ1)的导数；
B＝-b
其中为参考速度信号的三阶导数，为参考高度的四阶导数，fV为以高超声速飞行器的速度为自变量的非线性函数，fh为以高超声速飞行器的高度为自变量的非线性函数，为σV的导数，σV为高超声速飞行器的速度跟踪误差，为σh的导数，σh为高超声速飞行器的高度跟踪误差，b为中间变量，φc为高超声速飞行器的节流阀指令输入，δe为高超声速飞行器的舵偏角，Δ1为关于速度系统的系统干扰，Δ2为关于高度系统的系统干扰；根据滑模面s，得到高超声速飞行器的终端滑模控制器u。
其它步骤及参数与具体实施方式一或二相同。
具体实施方式四：本实施方式与具体实施方式一至三之一不同的是：所述步骤二中ζ的导数的表达式为：
其中k6、k7为设计参数，取值为正数；为d的上界的估计值，p为中间变量，λ为中间变量；
λ＝σ2+α1σ1+α2f(σ1)-ζ
其中α为设计参数，取值为0.2875。
其它步骤及参数与具体实施方式一至三之一相同。
具体实施方式五：本实施方式与具体实施方式一至四之一不同的是：所述的导数的表达式为：
其中γd设计参数。
其它步骤及参数与具体实施方式一至四之一相同。
实施例一：
以文献(Sun H,Li S,Sun C.Finite time integral sliding mode control ofhypersonic vehicles[J].Nonlinear Dynamics,2013,73(1-2):229-244.)高超声速飞行器巡航纵向运动非线性方程为仿真对象，验证自适应快速非奇异终端控制器(21)-(23)、抗饱和的自适应快速非奇异终端滑模控制器(55)-(59)的有效性。参考文献(Sun H,Li S,SunC.Finite time integral sliding mode control of hypersonic vehicles[J].Nonlinear Dynamics,2013,73(1-2):229-244.)高超声速飞行器参数和飞行环境参数见表1，空气动力学系数取值见表2。
表1飞行器参数和飞行环境参数
表2空气动力学系数取值
在上述高超声速飞行器模型的基本参数下，首先利用matlab提供的trim函数求出高超声速飞行器的一组平衡工作点，后面数值仿真阶段将其作为初值，仿真初值设置为x(0)＝[4590.3 33528 0.0334 0.0334 0 0.1802 0]T。在仿真过程中，高超声速飞行器设计参数转为相应的国际单位。模型参数不确定性取为Δm＝-0.05，ΔIyy＝-0.05，Δc＝0.05，Δce＝0.05，Δρ＝0.05，ΔS＝0.05。外界干扰取为d1(t)＝0.0024sin(0.2t)，d2(t)＝0.012sin(0.2t)。
快速终端滑模的有限时间控制器仿真分析
为了验证所设计高超声速飞行器控制策略(21)-(23)的有效性，针对高超声速飞行器期望速度指令期望速度指令为Vd＝4690.3m/s，即ΔV＝100m/s，期望高度指令为hd＝34528m，即Δh＝1000m。控制参数选取如下：γ＝0.99、η＝0.01、α0＝0.006、α1＝0.005、α2＝25、k1＝4.5、k2＝0.001、γd＝0.01和α＝0.2785，其仿真结果如图1所示。
图1和图2为速度V跟踪曲线；图3和图4为高度h跟踪曲线，从图1—图4的仿真结果可得自适应快速非奇异终端滑模控制器(21)-(23)能够实现对参考指令的快速稳定跟踪且跟踪性能较好，满足跟踪性能要求。图5为高超声速飞行器控制输入曲线，从仿真曲线可看出系统快速收敛，且控制输入曲线光滑抖振很小。图6为高超声速飞行器其它状态量的变化曲线，从仿真曲线可看出，攻角α、俯仰角θ和俯仰角速率q的曲线，在较短的时间内趋于其稳态值。图7给出了控制器中自适应参数的变化曲线，从图中可以看出，快速趋近于稳态值。
考虑输入饱和的自适应快速非奇异终端滑模控制器仿真分析
高超声速飞行器期望速度指令期望速度指令为Vd＝4690.3m/s，即ΔV＝100m/s期望高度指令为hd＝34528m，即Δh＝1000m。控制参数选取如下：γ＝0.77、η＝0.01、α0＝0.001、α1＝0.0001、α2＝3.5、k3＝1、k4＝1、k5＝1、k6＝58、k7＝0.1、ε1＝5、ε2＝5、ε3＝5、γd＝0.01和α＝0.2785，在抗饱和的自适应快速非奇异终端滑模控制器(55)–(59)作用下，其仿真结果如图2所示。
图8-图11分别给出了高超声速飞行器在给定参考信号下的速度、高度跟踪曲线。从图可以看出，在抗饱和的自适应快速非奇异终端滑模控制器(55)-(59)作用下，即使存在外部扰动、参数不确定性和控制受限的情形下，速度误差和高度误差快速收敛，满足控制精度要求。图12表示控制输入变化曲线，从图中可以看出控制力幅值满足控制受限的要求，且输入曲线平滑抖振较小。从图13为高超声速飞行器其它状态量的变化曲线，在较短的时间内趋于其稳态值。图14—图15给出了控制器中自适应参数的变化曲线，从图中可以看出，dM和p2收敛到某个固定值，ζ快速收敛，根据式(56)可知，λ也快速收敛到零，从而误差辅助变量同时也快速收敛到平衡点。
本发明还可有其它多种实施例，在不背离本发明精神及其实质的情况下，本领域技术人员当可根据本发明作出各种相应的改变和变形，但这些相应的改变和变形都应属于本发明所附的权利要求的保护范围。
Claims (5)
1.一种基于终端滑模的高超声速飞行器鲁棒跟踪控制方法，其特征在于：所述基于终端滑模的高超声速飞行器鲁棒跟踪控制方法包括以下步骤：
步骤一：利用终端滑模理论和自适应方法设计终端滑模面；
步骤二：根据步骤一设计的终端滑模面，设计高超声速飞行器的终端滑模控制器u；
u＝-k3tanh(ε1ζ)-k4tanh(ε2σ1)-k5tanh(ε3σ2) (1)
其中ε1，ε2，ε3为设计参数，取值为正数；k3，k4，k5为增益系数，取值为正数；ζ为抗饱和参数，σ1和σ2为以高超声速飞行器的速度误差和高度误差为自变量的函数；
步骤三：在当前第i个采样周期内，根据步骤二得到的终端滑模控制器u，通过调整控制参数：滑模面s，抗饱和参数ζ，增益系数k3、k4和k5，设计参数ε1、ε2和ε3，计算得出控制器u的值，将控制器输入u的值代入高超声速飞行器模型中，使得高超声速飞行器的高度跟踪误差和速度跟踪误差减小，当进入第i+1个采样周期时，根据当前高超声速飞行器的高度h和速度V，重新计算滑模面s，抗饱和参数ζ，增益系数k3、k4和k5，设计参数ε1、ε2和ε3，获得当前第i+1时刻的控制器u的值，依次类推，实现高超声速飞行器的跟踪控制。
2.根据权利要求1所述的一种基于终端滑模的高超声速飞行器鲁棒跟踪控制方法，其特征在于：所述步骤一中利用终端滑模理论和自适应方法设计终端滑模面的具体过程为：设计滑模面s为：
s＝σ2+α1σ1+α2f(σ1) (2)
其中α1和α2为滑模面的设计参数，f(σ1)为以σ1为自变量的分段函数；
其中r1、r2、γ、η为滑模面的设计参数，sign(σ1)为符号函数，sig(σ1)为中间函数；
sig(σ1)γ＝sign(σ1)|σ1|γ (4)
r1＝(2-γ)ηγ-1 (5)
r2＝(γ-1)ηγ-2 (6)。
3.根据权利要求1或2所述的一种基于终端滑模的高超声速飞行器鲁棒跟踪控制方法，其特征在于：所述步骤二中根据步骤一设计的终端滑模面，设计高超声速飞行器的终端滑模控制器u的具体过程为：
根据式(7)和式(2)得到滑模面s的导数
其中为σ1的导数，为σ2的导数，d为系统(7)干扰，B为控制增益矩阵，F为中间函数，v为控制输入，为f(σ1)的导数；
B＝-b
其中为参考速度信号的三阶导数，为参考高度的四阶导数，fV为以高超声速飞行器的速度为自变量的非线性函数，fh为以高超声速飞行器的高度为自变量的非线性函数，为σV的导数，σV为高超声速飞行器的速度跟踪误差，为σh的导数，σh为高超声速飞行器的高度跟踪误差，b为中间变量，φc为高超声速飞行器的节流阀指令输入，δe为高超声速飞行器的舵偏角，Δ1为关于速度系统的系统干扰，Δ2为关于高度系统的系统干扰；
根据公式(2)，得到高超声速飞行器的终端滑模控制器u。
4.根据权利要求3所述的一种基于终端滑模的高超声速飞行器鲁棒跟踪控制方法，其特征在于：所述步骤二中ζ的导数的表达式为：
其中k6、k7为设计参数，取值为正数；为d的上界的估计值，p为中间变量，λ为中间变量；
λ＝σ2+α1σ1+α2f(σ1)-ζ (11)
其中α为设计参数，取值为0.2875。
5.根据权利要求4所述的一种基于终端滑模的高超声速飞行器鲁棒跟踪控制方法，其特征在于：所述的导数的表达式为：
其中γd设计参数。
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