CN103090728A - 一种基于滑模控制的带末角约束制导方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于滑模控制的带末角约束的制导方法，属于制导技术领域。首先建立一种新的飞行器运动学和动力学模型,然后以制导末时刻，飞行器位置坐标与目标位置坐标(x_f,y_f)距离最小，并且为期望的末端弹道倾角γ_f为设计目标,根据反步法设计虚拟控制量，使得滑模函数及其导数在飞行末时刻同时到0；根据Lyapunov方法求解得到辅助控制量弹道倾角变化率γ'，再将其转化为攻角α，输入最初建立的飞行器新模型，对飞行器轨迹进行实时调整，使其满足期望的终端条件，从而实现末制导。本发明方法考虑了飞行器的气动特性对制导过程的影响，更接近实际情况，且需要信息量少，可获得的弹道倾角末值范围广，得到的控制量变化平滑，易于姿态控制系统进行跟踪。

Description

一种基于滑模控制的带末角约束制导方法

技术领域

本发明涉及一种基于滑模控制的带末角约束的制导方法，属于制导技术领域。

背景技术

在现代战争中，作战环境日趋多样，对制导律的要求也越来越高。某些特殊任务要求制导律不仅能够实现脱靶量最小，还期望实现以特定的末角对目标进行打击，例如：希望反坦克导弹能够垂直命中前装甲，从而使得毁伤力度最大；反导导弹能够头对头直接碰撞来袭导弹，从而尽最大可能摧毁作战弹头；某些反舰导弹希望从侧面对舰船进行攻击。传统的制导律（如比例制导）由于其信息需求量小，从而被广泛应用于实际作战系统中。然而，此类制导律通常无法满足末角约束。因此，近年来，针对带末角约束的制导方法，各国学者展开了深入研究。

其中研究较为广泛的一类方法是以比例制导为基础的。Kim等人在传统的比例制导基础上加了一个时变偏置项，用来满足末角约束的要求；Lu等人提出了一种自适应的带末角约束制导律，该方法通过实时在线调整比例系数从而实现期望的末角约束；Ratnoo等人提出了另一种时变比例系数的带末角约束的制导律，该制导律分为两段，第一段为指向制导，该段比例系数是时变的，第二段为传统的比例制导，该段比例系数为常值。另一类广泛研究的方法是基于最优控制的。Ratnoo等人提出了一种基于状态相关Riccati方程（SDRE）的带末角约束的制导律，将制导问题转化成了非线性规划问题；Ryoo等人针对恒速导弹打击固定目标问题，给出了具有末角约束的最优制导律；Oza等人基于模型预测静态规划（MPSP）方法，针对地面目标提出了一种次优的带末角约束的制导律。

由于滑模控制方法对外部扰动具有鲁棒性，该方法也被广泛应用于制导律设计。Hou等人基于自适应滑模算法提出了一种打击地面固定目标的带末角约束的制导控制方法，然而该方法可获得的末角范围较窄；Harl等人基于滑模与反步法设计了一种同时对末角和飞行时间进行控制的末制导律；Kumar等人基于终端滑模设计了一种全方位带落角约束的制导控制方法，该方法可以用来打

击静止、常值速度以及机动目标。然而以上两种方法都进行了相应假设（如导

弹速度恒定），在真实情况下会对其结果造成较大影响。因此，需要提出一种简

单易行且符合实际情况的制导方法来解决该领域的问题。

发明内容

本发明为解决带末角约束的末制导问题，提出了一种基于滑模控制的带末角约束的制导方法。该方法根据末制导段的终端约束设计滑模函数，并结合反步法和Lyapunov方法得到制导控制量。

本发明的技术方案具体如下：

步骤1，建立二维平面飞行器的运动学和动力学模型：

$\stackrel{\·}{x}=V\cos \mathrm{\γ}---\left(1\right)$

$\stackrel{\·}{y}=V\sin \mathrm{\γ}---\left(2\right)$

$\stackrel{\·}{V}=-\frac{D}{m}-g\sin \mathrm{\γ}---\left(3\right)$

$\stackrel{\·}{\mathrm{\γ}}=\frac{L}{\mathrm{mV}}-\frac{g\cos \mathrm{\γ}}{V}---\left(4\right)$

其中，x，y是地面坐标系下的位置坐标（即射程和高度），V是飞行速度，γ为弹道倾角，m是飞行器质量，g是重力加速度，LD分别为升力和阻力，其中，

ρ为大气密度，C_x,C_y分别为阻力系数和升力系数，是关于攻角和马赫的函数，S_ref为飞行器的参考面积。

设计新的独立变量Y=y₀-y   （5）其中，y₀是飞行器的初始高度。末制导段飞行器高度y单调递减，Y单调递增。

以Y作为独立变量，得到新模型如下：

$x^{\′}=\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dY}}=-\cot \mathrm{\γ}---\left(6\right)$

$y^{\′}=\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dY}}=-1---\left(7\right)$

$V^{\′}=\frac{\mathrm{dV}}{\mathrm{dY}}=\frac{D+\mathrm{ma}\sin \mathrm{\γ}}{\mathrm{mV}\sin \mathrm{\γ}}---\left(8\right)$

${\mathrm{\γ}}^{\′}=\frac{\mathrm{d\γ}}{\mathrm{dY}}=\frac{L-\mathrm{mg}\cos \mathrm{\γ}}{{\mathrm{mV}}^2\sin \mathrm{\γ}}---\left(9\right)$

$t^{\′}=\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dY}}=-\frac{1}{V\sin \mathrm{\γ}}---\left(10\right)$

步骤2，设计带末角约束的制导律

设计的目标为：在制导末时刻，飞行器位置坐标与目标位置坐标(x_f,y_f)距离最小，并且飞行器的弹道倾角为期望的末端弹道倾角γ_f。其中下标f表示变量末值。

步骤2.1，设计滑模函数

根据终端约束，设计滑模函数如下：

S₁=x-x_f-x'_f(Y-Y_f)    （11）

将S₁对Y求导，得到

S₁'=x'-x'_f    （12）

为达到设计目标，设计控制律，使得滑模函数S₁及其导数S₁'在飞行末时刻同时收敛到0。

步骤2.2，求解辅助控制量

首先，根据反步法设计虚拟控制量，使得S₁,S₁'在飞行末时刻同时到0；然后根据Lyapunov方法求解得到辅助控制量。

将S₁'作为虚拟控制量，为使得Y到达Y_f时，S₁,S₁'同时到0，设计S₁'为如下形式：

${S_1}^{\′}=-\frac{n{S}_1}{Y_f-Y},$ n为常数且n>1    （13）

选取弹道倾角变化率γ'为辅助控制量，利用Lyapunov方法求解，得到辅助控制量使从某一时刻开始直到制导结束所设计的S₁'形式一直成立，即式（13）成立。求解得到的γ'为：

γ'=-Msin²γ-ksin²γsgn(S₂)；

其中， $M=\frac{n{S_1}^{\′}(Y_f-Y)+n{S}_1}{{(Y_f-Y)}^2},$ $k=\frac{\left|S_2\left(0\right)\right|}{Y_b},$ k>0， $S_2={S_1}^{\′}+\frac{n{S}_1}{Y_f-Y};$ γ为即时的弹道倾角。

步骤3，将辅助控制量转化为实际控制量

将步骤2中得到的作为辅助控制量的弹道倾角变化率γ'转化为攻角α。

将步骤2得到的γ'和即时状态代入新模型，即代入式（9），得到升力L，然后计算出升力系数C_y。攻角α和升力系数C_y存在一一对应的关系，由升力系数对飞行器气动数据插值，得到末制导段需要的攻角。

步骤4，将步骤3得到的攻角α输入步骤1建立的飞行器新模型，对飞行器轨迹进行实时调整，使其满足期望的终端条件，从而实现末制导。

有益效果

本发明有四方面优点：1.考虑了飞行器的气动特性（气动阻力和重力）对制导过程的影响，更接近实际情况。2.只需知道飞行的初始条件、末端要求和飞行器的即时状态信息便可实现末制导，需要信息量少。3.可获得的弹道倾角末值范围广。4.得到的控制量变化平滑，易于姿态控制系统进行跟踪。

附图说明

图1为本发明的末制导段二维弹目几何关系；

图2为本发明方法的流程图；

图3为具体实施方式中不同末角约束条件下的飞行轨迹曲线；

图4为具体实施方式中不同末角约束条件下的弹道倾角变化曲线；

图5为具体实施方式中不同末角约束条件下的攻角变化曲线；

图6为具体实施方式中大气密度拉偏情况下的飞行轨迹曲线；

图7为具体实施方式中大气密度拉偏情况下的弹道倾角变化曲线；

图8为具体实施方式中大气密度拉偏情况下的攻角变化曲线；

图9为具体实施方式中大气密度拉偏情况下的速度变化曲线；

图10为具体实施方式中存在系统滞后情况下的飞行轨迹曲线；

图11为具体实施方式中存在系统滞后情况下的弹道倾角变化曲线；

图12为具体实施方式中存在系统滞后情况下的攻角变化曲线。

具体实施方式

为了更好的说明本发明的目的和优点，下面结合附图和实例对技术方案做进一步详细说明。

1.带末角约束的制导律设计

选用某升力式再入飞行器，以垂直打击（即弹道倾角末值为-90度）地面目标为例进行介绍。飞行器起始位置坐标(x₀,y₀)为(0,20)km，起始弹道倾角为-3deg，初始速度为1700m/s。末端位置坐标(x_f,y_f)为(100,0)km，末端弹道倾角为-90deg。其他需要用到的参数选择如下：

n=4,∈＝1e-3,p＝0.3

末制导段二维弹目几何关系如图1所示，其中横轴为射程，纵轴为高度，三角形代表目标。本发明设计过程如图2所示。首先建立飞行器模型，从模型中获得飞行的即时状态，考虑终端约束条件，设计滑模函数S₁；然后利用反步法设计滑模函数S₂；利用Lyapunov方法求解得到辅助控制量（弹道倾角变化率），进而得到实际控制量（攻角）。在仿真过程中，将得到的控制指令输入给飞行器，从而控制其飞行轨迹满足期望的要求。具体步骤为：

步骤1，建立二维平面飞行器的运动学和动力学模型：

$\stackrel{\·}{x}=V\cos \mathrm{\γ}---\left(1\right)$

$\stackrel{\·}{y}=V\sin \mathrm{\γ}---\left(2\right)$

$\stackrel{\·}{V}=-\frac{D}{m}-g\sin \mathrm{\γ}---\left(3\right)$

$\stackrel{\·}{\mathrm{\γ}}=\frac{L}{\mathrm{mV}}-\frac{g\cos \mathrm{\γ}}{V}---\left(4\right)$

其中，x，y是地面坐标系下的位置坐标（即射程和高度），V是飞行速度，γ为弹道倾角，m是飞行器质量，g是重力加速度，LD分别为升力和阻力，其中，

ρ为大气密度，C_x,C_y分别为阻力系数和升力系数，是关于攻角和马赫的函数，S_ref为飞行器的参考面积。

以上模型是以时间作为独立变量，而在末制导研究中，飞行时间往往不是大家关心的主要问题。因此，设计新的独立变量为：

Y＝y₀-y    （5）其中，y₀是飞行器的初始高度。末制导段飞行器高度y单调递减，Y单调递增。

以Y作为独立变量，得到新模型如下：

$x^{\′}=\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dY}}=-\cot \mathrm{\γ}---\left(6\right)$

$y^{\′}=\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dY}}=-1---\left(7\right)$

$V^{\′}\frac{\mathrm{dV}}{\mathrm{dY}}=\frac{D+\mathrm{mg}\sin \mathrm{\γ}}{\mathrm{mV}\sin \mathrm{\γ}}---\left(8\right)$

${\mathrm{\γ}}^{\′}=\frac{\mathrm{d\γ}}{\mathrm{dY}}=-\frac{L-\mathrm{mg}\cos \mathrm{\γ}}{{\mathrm{mV}}^2\sin \mathrm{\γ}}---\left(9\right)$

$t^{\′}=\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dY}}=-\frac{1}{V\sin \mathrm{\γ}}---\left(10\right)$

步骤2，设计带末角约束的制导律

设计的目标为：在制导末时刻，飞行器位置坐标与目标位置坐标(x_f,y_f)距离最小，并且飞行器的弹道倾角为期望的末端弹道倾角γ_f。其中下标f表示变量末值。

步骤2.1，设计滑模函数

根据终端约束，设计滑模函数如下：

S₁＝x-x_f-x'_f(Y-Y_f)    （11）

将S₁对Y求导，得到

S₁'=x'-x'_f    （12）

在制导过程中，飞行器高度y逐渐接近目标高度y_f，并在末时刻与其相等。因此，由式（5）可知，在飞行末点Y=y₀-y_f=Y_f。从式（11）可以看出，如果在制导末时刻S₁收敛到0，则可得到x=x_f，即飞行器末点位置坐标与目标位置坐标距离最小。由式（6）可知，x'仅与弹道倾角γ有关，因此，根据式（12），如果在制导末时刻S₁'也同时收敛到0，则可得到x'=x'_f，即末角约束得到满足。

为达到设计目标，设计控制律，使得滑模函数S₁及其导数S₁'在飞行末时刻同时收敛到0。

步骤2.2，求解控制律

首先，根据反步法设计虚拟控制量，使得S₁,S₁’在飞行末时刻同时到0；然后根据Lyapunov方法求解得到辅助控制量。

以S₁'为虚拟控制量，使得在Y到达Y_f时，S₁,S₁'同时到0，其中S₁'设计为如下形式：

${S_1}^{\′}=-\frac{n{S}_1}{Y_f-Y},$ n>1    （13）经整理可以得到

$\frac{1}{S_1}d{S}_1=-n\frac{1}{Y_f-Y}\mathrm{dY}---\left(14\right)$

将式（14）的积分初值分别设为S_1b,Y_b，可以得到如下积分等式

${\∫}_{S_{1b}}^{S_1}\frac{1}{S_1}d{S}_1=-n{\∫}_{Y_b}^Y\frac{1}{Y_f-Y}\mathrm{dY}---\left(15\right)$

求解式（15）可以得到

$\ln \left(\frac{S_1}{S_{1b}}\right)=\ln \left(\frac{{(Y_f-Y)}^n}{{(Y_f-Y_b)}^n}\right)---\left(16\right)$

将式（16）等式两边取指数即可得到S₁的表达式如下

$S_1=\frac{S_{1b}}{{(Y_f-Y_b)}^n}{(Y_f-Y)}^n---\left(17\right)$

将式（17）对Y求导，即可得到下式

${S_1}^{\′}=-\frac{{\mathrm{nS}}_{1b}}{{(Y_f-Y_b)}^n}{(Y_f-Y)}^{n-1}---\left(18\right)$

其中Y_b=pY_f，0<p<1，S_1b是S₁在Y=Y_b时刻的值。

若在飞行过程中从Y=Y_b时刻开始到制导末时刻，式（13）一直成立，则根据式（17）和式（18）可知：Ｓ₁，S₁'最后同时为0。

由于初始时刻式（13）不成立，因此选取弹道倾角变化率γ'为辅助控制量，利用Lyapunov方法求解，得到辅助控制量使得从Y=Y_b时刻开始直到制导过程结束式（13）一直成立。具体求解过程为：

设计新的滑模函数如下

$S_2={S_1}^{\&prime;}+\frac{n{S}_1}{Y_f-Y},$ n>1    （19）

将S₂对Y求导得到

${S_2}^{\&prime;}={S_1}^{\&prime;\&prime;}+\frac{n{S_1}^{\&prime;}(Y_f-Y)+{\mathrm{nS}}_1}{{(Y_f-Y)}^2},$ n>1    （20）

令 $M=\frac{n{S_1}^{\&prime;}(Y_f-Y)+{\mathrm{nS}}_1}{{(Y_f-Y)}^2},$ 得到

${S_2}^{\&prime;}=\frac{1}{{\sin }^2\mathrm{\&gamma;}}{\mathrm{\&gamma;}}^{\&prime;}+M---\left(21\right)$

定义半正定的Lyapunov函数 $V_1=\frac{1}{2}{S}_2^2---\left(22\right)$

将V₁对Y求导得到

${V_1}^{\&prime;}=S_2{S_2}^{\&prime;}=S_2(\frac{1}{{\sin }^2\mathrm{\&gamma;}}{\mathrm{\&gamma;}}^{\&prime;}+M)---\left(23\right)$

辅助控制量γ'=γ_eq'+γ_disc'    （24）

其中，γ_eq'是等效控制，使得S₂'=0；γ_disc'是非连续切换控制，使得滑模面S₂=0具有吸引性。

等效控制γ_eq′＝-Msin²γ    （25）

将式（25）带入式（24），再将结果带入式（23），得到

${V_1}^{\&prime;}=S_2\left(\frac{1}{{\sin }^2\mathrm{\&gamma;}}{{\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{disc}}}^{\&prime;}\right)---\left(26\right)$

非连续切换控制γ_disc'＝-ksin²γsgn(S₂)k>0    （27）

将式（27）带入式（26）得到V₁'＝-k|S₂|    （28）

根据Lyapunov稳定性理论，得出系统是渐进稳定的。

将式（25）和式（27）带入式（24），再将结果带入式（21）得到：

S₂'＝-ksgn(S₂)    （29）

从式（29）得到，切换增益k表示滑模函数向滑模面的趋近速度。由于设计期望为在Y=Y_b时刻，滑模面S₂=0。因此，切换增益计算如下

$k=\frac{\left|S_2\left(0\right)\right|}{Y_b}---\left(30\right)$

其中S₂(0)是滑模函数S₂的初值。从而滑模函数S₂以常值速度k趋近于滑模面S₂=0，并在Y=Y_b时到达滑模面。在此之后，系统状态一直保持在滑模面S₂=0上，即式（13）一直成立，从而保证在制导末时刻，S₁,S₁'同时到0。

由于制导过程在Y=Y_f时刻结束，上述方法所能获得的弹道倾角末值范围为：(-180,0)deg，0deg和-180deg的反正切值不存在因而排除在外。

为了减弱在沿着滑模面滑动过程中，由于使用切换函数sgn(·)引起的抖振现象，用饱和函数取代切换函数，其中∈是边界层。该设计能使滑模函数收敛到边界层内，若边界层厚度选取足够小，则滑模函数近似收敛到0。

步骤3，将辅助控制量转化为实际控制量

将步骤2中得到的作为辅助控制量的弹道倾角变化率γ'转化为攻角α。

将步骤2得到的γ'和即时状态带入式（9），得到升力L，然后计算出升力系数C_y。攻角α和升力系数C_y存在一一对应的关系，由升力系数对飞行器气动数据插值，即可得到末制导段需要的攻角。

步骤4，将步骤3得到的攻角α输入步骤1建立的飞行器模型，对飞行器轨迹进行实时调整，使其满足期望的终端条件，从而实现末制导。

2.验证本发明提出的制导律的有效性

针对不同情况对该发明的有效性进行验证。首先，验证该发明提出的制导律可满足不同的弹道倾角末值需求；然后，验证该发明提出的制导律能够应对大气密度拉偏的情况；最后，验证在系统存在高阶滞后的情况下该发明提出的制导律仍然有着很高的精度。以下仿真结果，最终脱靶量均在1e-3m以内，末角误差均在1e-4deg以内。

①不同的末端弹道倾角的情况

在本实施例中，目标横坐标为60km，要求的末端弹道倾角分别为-10deg,-30deg,-90deg,-150deg,-170deg。图3为不同末角约束条件下的飞行轨迹曲线，图4为不同末角约束条件下的弹道倾角变化曲线，图5为不同末角约束条件下的攻角变化曲线。由图3和图4中可以看出，飞行器在击中目标的同时，所有的末角约束情况都得到了满足。在实际应用中，通常会对控制量进行限幅，在本发明中，攻角变化范围均限定在（-30，+30）deg之间。图5中与末角要求为-150deg和-170deg相对应的攻角曲线均存在控制量饱和现象，这是由于为了实现该末角约束，飞行轨迹需要很大程度的弯曲，导致控制量需求很大。

②大气密度拉偏的情况

在本实施例中，分别将大气密度正向、负向拉偏20%进行仿真，并与标称情况进行对比分析。图6为大气密度拉偏情况下的飞行轨迹曲线，图7为大气密度拉偏情况下的弹道倾角变化曲线，图8为大气密度拉偏情况下的攻角变化曲线，图9为大气密度拉偏情况下的速度变化曲线。由图6可以看出，大气密度拉偏对实际飞行轨迹几乎没有产生任何影响。结合图7，可以看出在这三种情况下本发明提出的制导律均能准确满足末角约束。图8和图9说明大气密度拉偏对控制量和飞行速度有较大影响，大气密度越大，飞行速度下降越快，相应的控制量峰值越小。这是因为飞行器所受的阻力随着大气密度的增大而增大。

③存在系统滞后的情况

在实际情况中，制导系统给出的指令不能被立即实现，而是需要经过一定的时间滞后。因此，在本实例中引进了系统滞后来验证本发明所提出的制导律的鲁棒性。由于一阶滞后往往不能表现实际情况，本例引入五阶滞后如下式所示：

$\frac{{\mathrm{\&alpha;}}_r}{{\mathrm{\&alpha;}}_c}=\frac{1}{{(\mathrm{\&tau;s}+1)}^5}--\left(31\right)$

其中，τ为滞后时间常数，α_c为制导系统给出的指令，α_r为实现的指令。

图10为在系统滞后情况下的飞行轨迹曲线，图11为在系统滞后情况下的弹道倾角变化曲线，图12为在系统滞后情况下的攻角变化曲线。从图12可以看出，虽然系统存在5阶滞后，然而实现的控制量曲线和期望的控制量曲线几乎完全重合，这是由于本发明提出的制导律产生的控制指令变化非常平缓。图10和图11说明在这种情况下制导律对给定末端指标要求仍然可以精确达到。因此，该制导律在实际应用中也可以达到非常好的效果。

综上所述，该发明提出的制导律形式简单，鲁棒性强，不但能够使得脱靶量最小，而且可以精确地满足末角约束，具有很高的工程应用价值。

Claims (5)

1.一种基于滑模控制的带末角约束制导方法，其特征在于：具体实现步骤如下：

步骤1，建立二维平面飞行器的运动学和动力学模型：

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}=V\cos \mathrm{\&gamma;}---\left(1\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;}{y}=V\sin \mathrm{\&gamma;}---\left(2\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}=-\frac{D}{m}-g\sin \mathrm{\&gamma;}---\left(3\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&gamma;}}=\frac{L}{\mathrm{mV}}-\frac{g\cos \mathrm{\&gamma;}}{V}---\left(4\right)$

其中，x，y是地面坐标系下的位置坐标，V是飞行速度，γ为弹道倾角，m是飞行器质量，g是重力加速度，LD分别为升力和阻力，

ρ为大气密度，C_x,C_y分别为阻力系数和升力系数，S_ref为飞行器的参考面积；

设计新的独立变量Y=y₀-y   （5）其中，y₀是飞行器的初始高度；

以Y作为独立变量，得到新模型如下：

$x^{\&prime;}=\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dY}}=-\cot \mathrm{\&gamma;}---\left(6\right)$

$y^{\&prime;}=\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dY}}=-1---\left(7\right)$

$V^{\&prime;}=\frac{\mathrm{dV}}{\mathrm{dY}}=\frac{D+\mathrm{mg}\sin \mathrm{\&gamma;}}{\mathrm{mV}\sin \mathrm{\&gamma;}}---\left(8\right)$

${\mathrm{\&gamma;}}^{\&prime;}=\frac{\mathrm{d\&gamma;}}{\mathrm{dY}}=-\frac{L-\mathrm{mg}\cos \mathrm{\&gamma;}}{{\mathrm{mV}}^2\sin \mathrm{\&gamma;}}---\left(9\right)$

$t^{\&prime;}=\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dY}}=-\frac{1}{V\sin \mathrm{\&gamma;}}---\left(10\right)$

步骤2，设计带末角约束的制导律

设计的目标为：在制导末时刻，飞行器位置坐标与目标位置坐标(x_f,y_f)距离最小，并且飞行器的弹道倾角为期望的末端弹道倾角γ_f；其中下标f表示变量末值；

步骤2.1，设计滑模函数

根据终端约束，设计滑模函数如下：

S₁=x-x_f-x'_f(Y-Y_f)   （11）

将S₁对Y求导，得到

S₁'=x'-x'_f    （12）

步骤2.2，求解辅助控制量

为使得S₁,S₁'在飞行末时刻同时到0，根据反步法设计虚拟控制量；

将S₁'作为虚拟控制量，为使得Y到达Y_f时，'S₁S₁'同时到0，设计S₁'为如下形式：

${S_1}^{\&prime;}=-\frac{n{S}_1}{Y_f-Y},$ n为常数且n>1   （13）

再选取弹道倾角变化率γ'为辅助控制量，利用Lyapunov方法求解，得到辅助控制量使从某一时刻开始直到制导结束所设计的S₁’形式一直成立；

求解得到的γ'为：

γ'=-Msin²γ-ksin²γsgn(S₂)；

其中， $M=\frac{n{S_1}^{\&prime;}(Y_f-Y)+{\mathrm{nS}}_1}{{(Y_f-Y)}^2},$ $k=\frac{\left|S_2\left(0\right)\right|}{Y_b},$ k>0， $S_2={S_1}^{\&prime;}+\frac{n{S}_1}{Y_f-Y};$ γ为即时的弹道倾角；

步骤3，将步骤2中得到的作为辅助控制量γ'转化为攻角α；

步骤4，将步骤3得到的攻角α输入步骤1建立的飞行器新模型，对飞行器轨迹进行实时调整，使其满足期望的终端条件，实现末制导。

2.根据权利要求1所述的一种基于滑模控制的带末角约束制导方法，其特征在于：γ'的具体求解过程为：

设计新的滑模函数如下

$S_2={S_1}^{\&prime;}+\frac{n{S}_1}{Y_f-Y},$ n>1    （19）

将S₂对Y求导得到

${S_2}^{\&prime;}={S_1}^{\&prime;\&prime;}+\frac{n{S_1}^{\&prime;}(Y_f-Y)+{\mathrm{nS}}_1}{{(Y_f-Y)}^2},$ n>1   （20）

令 $M=\frac{n{S_1}^{\&prime;}(Y_f-Y)+{\mathrm{nS}}_1}{{(Y_f-Y)}^2},$ 得到

${S_2}^{\&prime;}=\frac{1}{{\sin }^2\mathrm{\&gamma;}}{\mathrm{\&gamma;}}^{\&prime;}+M---\left(21\right)$

定义半正定的Lyapunov函数 $V_1=\frac{1}{2}{S}_2^2---\left(22\right)$

将V₁对Y求导得到

${V_1}^{\&prime;}=S_2{S_2}^{\&prime;}=S_2(\frac{1}{{\sin }^2\mathrm{\&gamma;}}{\mathrm{\&gamma;}}^{\&prime;}+M)---\left(23\right)$

辅助控制量γ'=γ_eq'+γ_disc'（24）

其中，γ_eq'是等效控制，使得S₂'=0；γ_disc'是非连续切换控制，使得滑模面S₂=0具有吸引性；

等效控制γ_eq'＝-Msin²γ    （25）

从而得到

${V_1}^{\&prime;}=S_2\left(\frac{1}{{\sin }^2\mathrm{\&gamma;}}{{\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{disc}}}^{\&prime;}\right)---\left(26\right)$

非连续切换控制γ_disc'＝-ksin²γSgn(S₂)k>0   （27）

V₁'=-k|S₂|    （28）

根据Lyapunov稳定性理论，系统是渐进稳定的；

S₂'＝-ksgn(S₂)    （29）

切换增益为

$k=\frac{\left|S_2\left(0\right)\right|}{Y_b}--\left(30\right)$

其中S₂(0)是滑模函数S₂的初值。

3.根据权利要求1所述的一种基于滑模控制的带末角约束制导方法，其特征在于：用饱和函数取代切换函数，其中∈是边界层。

4.根据权利要求1所述的一种基于滑模控制的带末角约束制导方法，其特征在于：末制导段飞行器高度y单调递减，Y单调递增。

5.根据权利要求1所述的一种基于滑模控制的带末角约束制导方法，其特征在于：步骤3所述辅助控制量γ'转化为攻角α的具体方法为：将步骤2得到的γ'和即时状态代入新模型，得到升力L，然后计算出升力系数C_y；由升力系数对飞行器气动数据插值，得到末制导段需要的攻角。

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