CN104950672A - 一种最优积分滑模控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开的一种最优积分滑模控制方法，涉及一种积分滑模控制方法，属于控制技术领域。本发明包括如下步骤：步骤1，建立二阶非线性系统的动态模型；步骤2，通过改进基于状态相关黎卡提方程(ISDRE)，实现系统状态有限时间收敛，解决有效折衷系统响应时间与超调量之间的矛盾；步骤3，将改进基于状态相关黎卡提方程(ISDRE)与积分滑模相结合进一步提高系统在扰动下的鲁棒性。本发明可实现系统状态有限时间收敛，并可有效折衷系统响应时间与超调量之间的矛盾，此外，将改进基于状态相关黎卡提方程(ISDRE)与积分滑模相结合可进一步提高系统的鲁棒性。本发明具有普适性，例如可应用于飞行器、倒立摆等控制系统中。

Description

一种最优积分滑模控制方法

技术领域

本发明涉及一种积分滑模控制方法，尤其涉及一种最优积分滑模控制方法，属于控制技术领域。

背景技术

最优控制作为现代控制理论的一个重要分支，取得了巨大发展。该控制方法利用寻优策略，得到满足特定性能指标的控制量，能够获取期望系统动态，有效地改善了系统的响应特性。针对线性系统，基于二次型性能指标的最优控制算法研究已经得到了充分的发展，积累了丰富的理论基础与设计经验。但是针对非线性系统，由于系统形式的复杂性，对于一般的二次型性能指标优化问题，无法通过代数方法获取最优问题解析解，同时，难以直接采用求解HJB来进行控制器设计。

因此，针对非线性系统的次优控制策略得到了极大的发展。1962年，Pearson率先提出了基于状态相关黎卡提方程(State-Dependent Riccati Equation,SDRE)的次优控制策略，较之线性系统LQR控制方法，SDRE控制方法在牺牲一定的最优性的前提下，将优化策略扩展至非线性系统，将简单的线性化算法应用于复杂非线性系统中，降低了控制器的实现代价，获得了较高的控制品质。SDRE控制算法中，系统状态矩阵与性能指标矩阵均可包含状态量与时间，给控制律的设计带来了极大灵活性，通过设计状态相关加权矩阵，实现权重矩阵在线调整，有效地改善了系统的响应特性，获取所需的控制性能。同时状态依赖系数(SDC)参数化不具有唯一性，增加了控制器的设计自由度。该方法不仅能够充分保留系统非线性，同时大大简化了非线性HJB方程的求解。

SDRE控制作为最优控制的一种拓展延伸，是一种基于准确的数学模型的控制算法。当系统中存在参数不确定性或外部干扰时，系统状态将很有可能偏离最优控制下的期望轨线。滑模控制作为一种新型变结构控制策略，设计简单，同时能够大大提高系统在匹配干扰下的鲁棒性。采用积分滑模与SDRE控制相结合，将SDRE控制律作为标称控制律，实现了对具有强不确定性系统的鲁棒控制器设计。这种方法在很大程度上，结合了两种控制器的优势，在确保控制性能次优的前提下减小了系统对外部扰动及系统不确定性的敏感性。

常规无限时间状态相关黎卡提方程(SDRE)控制方法只能保证系统状态实现渐进收敛，无法实现系统状态有限时间收敛；同时无法有效折衷系统响应时间与超调量之间的矛盾。因此需要设计控制器，具有如下特征：(1)能够确保系统误差在有限时间内收敛；(2)有效折衷系统响应速度与超调量之间的矛盾，获得快速、小超调量的响应特性；(3)对于外部扰动以及系统不确定性具有较好的鲁棒性。

发明内容

本发明公开的一种最优积分滑模控制方法要，求解决的技术问题是通过改进基于状态相关黎卡提方程(ISDRE)，实现系统状态有限时间收敛，有效折衷系统响应时间与超调量之间的矛盾，此外将改进基于状态相关黎卡提方程(ISDRE)与积分滑模相结合进一步提高系统的鲁棒性。

本发明的目的是通过下述技术方案实现：

本发明公开的一种最优积分滑模控制方法，包括如下步骤：

步骤1，建立二阶非线性系统的动态模型。所述的二阶非线性系统的动态模型如公式(1)：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=f(x,t)+g(x,t)u\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中：x＝[x₁,x₂]^T为系统的状态向量，f(x)和g(x)≠0为关于x的光滑非线性函数，u∈R¹为系统控制量。

对此非线性系统进行扩展线性化，得到状态相关系数SDC(state-dependentcoefficient)形式如公式(2):

$\stackrel{\·}{x}=A(x,t)x+B(x,t)u---\left(2\right)$

其中f(x,t)＝A(x,t)x，B(x,t)＝g(x,t)。

步骤2，通过改进基于状态相关黎卡提方程(ISDRE)，实现系统状态有限时间收敛，解决有效折衷系统响应时间与超调量之间的矛盾。

步骤2.1，根据改进基于状态相关黎卡提方程(ISDRE)计算标称控制量u^*。

根据实际控制要求给定最优性能指标J如公式(3)：

$J=\frac{1}{2}{\∫}_{t_0}^{\∞}[x^T{Q}_1(x,t)x+{\stackrel{\·}{x}}^T{Q}_2(x,t)\stackrel{\·}{x}+u^{T}R(x,t)u]\mathrm{dt}---\left(3\right)$

其中，Q₁(x,t),Q₂(x,t)为二维矩阵，Q₁(x,t)为半正定的状态加权矩阵，Q₂(x,t)为半正定的状态导数加权矩阵，R(x,t)为正定的一维控制加权矩阵。t₀为初始时刻。

通过最优性能指标J公式(3)计算标称控制量u^*如公式(4)：

u^*＝-[B(x,t)^TQ₂(x,t)B(x,t)+R(x,t)]^-1[B(x,t)^TQ₂(x,t)A(x,t)+B^T(x,t)P(x,t)]x  (4)

其中，A(x,t)，B(x,t)通过二阶非线性系统的动态模型定义，Q₁(x,t),Q₂(x,t),R(x,t)根据实际控制要求给定的性能指标参数。二维矩阵P(x)由如下代数黎卡提方程(5)所确定：

P(x,t)A(x,t)+A^T(x,t)P(x,t)+(Q₁(x,t)+A^T(x,t)Q₂(x,t)A(x,t))

-(P(x,t)B(x,t)+(B^T(x,t)Q₂(x,t)A(x,t))^T)(R(x,t)  (5)

+B^T(x,t)Q₂(x,t)B(x,t))^-1(B^T(x,t)Q₂(x,t)A(x,t)+B^T(x,t)P(x,t))＝0

步骤2.2，给出状态加权矩阵Q₁和状态导数加权矩阵Q₂，实现系统状态有限时间收敛，解决有效折衷系统响应时间与超调量之间的矛盾。

状态加权矩阵Q₁对状态x变化进行约束。为实现状态x有限时间收敛，给出状态加权矩阵Q₁如公式(6)，状态加权矩阵Q₁需为半正定矩阵，为简化设计，令状态加权矩阵Q₁为具有如下形式的对角阵：

$Q_1=\left[\begin{array}{cc}{q}^2& 0\\ 0& q\end{array}\right]---\left(6\right)$

式中： $q=\left\{\begin{array}{cc}\frac{N}{{(t_d-t)}^k}& t<t_d\\ +\&infin;& t>t_d\end{array}\right.,k\&GreaterEqual;2,$ 其中t_d为设定的期望收敛时间。在实际应用过程中，由于物理能力的限制，q的取值无法增至无限大，因此对上述q的取值进行调整：

$q=\left\{\begin{array}{cc}\frac{N}{{(t_d-t)}^k}& t<t_d-\mathrm{\&Delta;t}\\ N_c& t\&GreaterEqual;t_d-\mathrm{\&Delta;t}\end{array}\right.,k\&GreaterEqual;2---\left(7\right)$

其中△t为一较小的正实数，N_c为一较大的正实数，且满足

状态导数加权矩阵Q₂对状态量导数进行约束。在误差较大时，减小状态导数加权矩阵Q₂的值，降低对状态导数的约束，加快状态量收敛速度，在误差较小时，增大状态导数加权矩阵Q₂的值，对状态变化速率进行约束，令状态变量平缓变化，降低超调量。给出的状态导数加权矩阵Q₂形式可解决有效折衷系统响应时间与超调量之间的矛盾。状态导数加权矩阵Q₂如公式(8)：

$\begin{array}{c}{Q}_2\left(x\right)=\left[\begin{array}{cc}{q}_{21}& 0\\ 0& q_{22}\end{array}\right]\\ q_{2i}\left(x_i\right)=m_{i0}+n_i{e}^{-k_i{x}_i^2},i=\mathrm{1,2}\end{array}---\left(8\right)$

式中：m_i0,n_i∈R⁺，k_i∈R⁺决定了参数q₂₁(x₁),q₂₂(x₂)的变化速率。

步骤3，将改进基于状态相关黎卡提方程(ISDRE)与积分滑模相结合进一步提高系统在扰动下的鲁棒性。

含有扰动的二阶系统如公式(9)所示：

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}=A(x,t)x+B(x,t)u+d(x,t)---\left(9\right)$

其中：d(x,t)代表了包含模型不确定性以及外部干扰的聚合扰动项，假设该聚合扰动满足匹配条件且有界，即存在函数以及正数△d_max使得： $\left|d(x,t)\right|=\left|B(x,t)\stackrel{\&OverBar;}{d}(x,t)\right|<{\mathrm{\&Delta;d}}_{\max }$ 成立，△d_max为|d(x,t)|的上界。

步骤3.1，给出积分滑模面s如公式(10)：

s＝C[x(t)+z]  (10)

其中z为引入的辅助滑模变量，如公式(11)

$z=-{\&Integral;}_0^t(A(x,t)x+B(x,t)u^{*})\mathrm{dt}---\left(11\right)$

式中：s,z∈R^m，C∈R^1×2为滑模面的增益矩阵，C由正常数构成，C的选择应保证CB(x,t)可逆。赋初值，令z₀＝x(0)，则有s(0)＝0。由于初值s(0)＝0，公式(10)-公式(11)所示的积分滑模面s可保证系统状态一直处于滑模面上，受控的系统对参数不确定性和外部扰动具有全局鲁棒性。

步骤3.2，给出最优积分滑模控制量u，由标称控制量u^*以及积分滑模切换项u_dis组成，形式如公式(12)所示：

u＝u^*+u_dis  (12)

其中u^*为步骤2得到的标称控制量，主要决定了系统的响应动态。

u_dis由步骤3.1给出的积分滑模面s确定，主要抵消外部干扰与参数摄动对系统状态响应的不良影响，其形式如公式(13)所示：

u_dis＝-η[CB(x,t)]^-1sgn(s)  (13)

其中：η为切换增益，应满足η≥C△d_max+ε，ε为任意正数。符号函数sgn(s)满足如下定义： $\mathrm{sgn}\left(s\right)=\left\{\begin{array}{cc}1& s>0\\ -1& s<0\end{array}\right..$

通过步骤3得到最优滑模控制律能够保证系统状态将全局处于滑模段，即对于t∈[0,+∞]，有s≡0，这将大大提高系统对于外部干扰与参数摄动的鲁棒性；同时在聚合扰动作用下，系统的动态响应与标称系统在改进状态相关黎卡提方程(ISDRE)控制律作用下的动态响应一致。

该特性可由如下推导得到：

选择如下Lyapunov函数：

$V=\frac{1}{2}{s}^2---\left(14\right)$

沿控制律作用下的闭环曲线求导可得

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}=s\stackrel{\&CenterDot;}{s}\\ =C(\stackrel{\&CenterDot;}{x}+\stackrel{\&CenterDot;}{z})s\\ =C[A(x,t)x+B(x,t)(u^{*}-\mathrm{\&eta;}{\left[\mathrm{CB}(x,t)\right]}^{-1}\mathrm{sgn}\left(s\right))\\ +d\left(x\right)-(A(x,t)x+B(x,t)u^{*})]s\\ =\mathrm{Cd}\left(x\right)s-\mathrm{\&eta;sgn}\left(s\right)s\\ \&le;\mathrm{C\&Delta;}{d}_{\max }{\left|\right|s\left|\right|}_2-\mathrm{\&eta;}{\left|\right|s\left|\right|}_2\end{array}---\left(15\right)$

由于η≥C△d_max+ε，则易证明：

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}\&le;{\left|\right|s\left|\right|}_2(C{\mathrm{\&Delta;d}}_{\max }-\mathrm{\&eta;})<0---\left(16\right)$

为半负定，Lyapunov函数为渐进稳定的，此时V为单调递减的，即V(t)<V(0)。由上述给出的滑模面定义可知，滑模面初值满足s(0)＝0，则V(0)＝0，同时由Lyapunov函数的正定性可知，在整个状态运动过程中，恒有V(t)≥0。至此，由上述分析可以看到，对于t∈[0,+∞]，有s≡0，系统状态全程处于滑模面上。由滑模控制理论可知，系统对外界扰动与参数摄动具有全局鲁棒性。

对步骤3.1给出的积分滑模函数求导得：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{s}=C(\stackrel{\&CenterDot;}{x}+\stackrel{\&CenterDot;}{z})\\ =C[A(x,t)x+B(x,t)(u_{\mathrm{eq}}+u_{\mathrm{dis}})+d\left(x\right)]\\ -C[A(x,t)x+B(x,t)u^{*}]\end{array}---\left(17\right)$

由上述分析可知，s≡0。此时有数学性质易知，则可以得到系统位于滑模面上的等效控制量u_eq

u_eq＝(CB(x,t))^-1[CB(x,t)u^*-Cd(x)]  (18)

利用滑模控制律中的等效控制律能够简便直观地分析系统闭环的动态响应，将式(18)所示等效控制量带入系统状态方程式(2)可得：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}=B(x,t){\left(\mathrm{CB}(x,t)\right)}^{-1}[\mathrm{CB}(x,t)u^{*}-\mathrm{CB}(x,t)d\left(x\right)]\\ +A(x,t)x+d\left(x\right)\\ =A(x,t)x+B(x,t)u^{*}\end{array}---\left(19\right)$

由上述分析可以看出，系统在存在聚合扰动的情况下，状态响应与标称系统在改进基于状态相关黎卡提方程ISDRE控制律作用下的动态响应相同。通过步骤3.1和3.2实现将改进基于状态相关黎卡提方程(ISDRE)与积分滑模相结合进一步提高系统在扰动下的鲁棒性。并能够获得改进状态相关黎卡提方程(ISDRE)控制作用下的系统响应效果。

有益效果：

1、本发明的标称控制量u^*决定了系统的响应，令系统响应满足最优性能指标，当存在不确定性时，系统依然能够实现与标称系统同样的相应。

2、本发明系统能够实现期望的最优指标，通过调整状态及状态导数加权矩阵Q₁,Q₂，能够确保状态有限时间收敛，同时效折衷系统响应时间与超调量之间的矛盾，且改进基于状态相关黎卡提方程(ISDRE)标称控制律完全保留了系统的非线性。

3、本发明系统状态一直处于滑模面上，受控的系统对参数不确定性和外部扰动具有全局鲁棒性。

4本发明控制方法具有普适性，例如可应用于飞行器、倒立摆等控制系统中。

附图说明

图1为对于不同期望收敛时间，ISDRE控制下的状态x₁变化曲线；

图2为对于不同期望收敛时间，ISDRE控制下的状态x₂变化曲线；

图3为对于不同期望收敛时间，ISDRE控制下的控制量u变化曲线；

图4为SDRE与ISDRE状态x₁响应对比曲线；

图5为SDRE与ISDRE状态x₂响应对比曲线；

图6为SDRE与ISDRE控制量u对比曲线；

图7为本发明的流程图；

图8为最优积分控制状态x₁响应曲线；

图9为最优积分控制状态x₂响应曲线；

图10为本发明的最优积分控制器结构图；

具体实施方式

为了更好的说明本发明的目的和优点，下面结合附图和实例对技术方案做进一步详细说明。

实施例1：

本实施例针对不含扰动的标称系统开展说明，主要说明改进基于状态相关黎卡提方程(ISDRE)的控制方法优点，本实施例公开的一种最优积分滑模控制方法，包括如下步骤：

步骤1，建立二阶非线性系统的动态模型。所述的二阶非线性系统的动态模型如公式(1)所示。

系统初值x₀＝[-4,2]^T。f(x)＝0.3sin(x₁+2x₂)-2x₁+x₂，g(x)＝0.5sin(x₁+x₂)+1。

对此非线性系统进行扩展线性化，得到形式如公式(2)所示的状态相关系数SDC(state-dependent coefficient)形式，其中参数矩阵构造成如下形式：

$A\left(x\right)=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ \frac{0.3\sin (x_1+2x_2)}{x_1+2x_2}-2& \frac{0.6\sin (x_1+2x_2)}{x_1+2x_2}+1\end{array}\right]$

$B\left(x\right)=\left[\begin{array}{c}0\\ 0.5\sin (x_1+x_2)+1\end{array}\right]$

步骤2，通过改进基于状态相关黎卡提方程(ISDRE)，实现系统状态有限时间收敛，解决有效折衷系统响应时间与超调量之间的矛盾。

步骤2.1，根据改进基于状态相关黎卡提方程(ISDRE)计算标称控制量u^*。性能指标J形式如公式(3)所示，通过此性能指标计算控制量u^*为：

通过最优性能指标J公式(3)计算标称控制量u^*，其形式如公式(4)其中二维矩阵P(x,t)可由公式(5)给出的黎卡提方程计算得到。

步骤2.2，给出状态加权矩阵Q₁和状态导数加权矩阵Q₂，实现系统状态有限时间收敛，解决有效折衷系统响应时间与超调量之间的矛盾。

状态加权矩阵Q₁参数选取如公式(6)、(7)所示，其中：k＝2,N＝40,△t＝0.005,t_d为设定的收敛时间，参数N_c由公式确定。

针对ISDRE控制方法可实现收敛时间设定的特性，进行仿真验证。图1、图2、图3给出了t_d＝2,4,6(sec)情况下的系统状态响应结果。从仿真曲线可以看出，ISDRE控制律能够保证系统误差在设定时间处收敛至原点的极小邻域内。结合图3可以发现，当期望收敛时间t_d越短时，系统状态峰值越大，此时需要较大的控制量保证系统收敛。

状态导数加权矩阵Q₂形式如式(8)所示， 这里选取：m₁₀＝m₂₀＝0，n₁＝n₂＝50，k₁＝k₂＝5。

为验证本实施例提出的改进状态相关黎卡提方程(ISDRE)控制方法的有效性，针对无扰动的非线性标称系统，分别采用常规SDRE控制方法与ISDRE控制方法进行对比仿真。为了方便说明，常规SDRE控制方法采用定常状态加权矩阵Q和控制量加权矩阵R。这里为了充分验证ISDRE控制方法的有效性，针对常规SDRE控制方法，给出两组Q,R矩阵取值组合：

1)Q＝diag(1,20),R＝1

2)Q＝diag(50,50),R＝1

令SDRE-1和SDRE-2分别表征采用两组参数下SDRE控制方法控制效果。令ISDRE表示本实施例提出的ISDRE控制方法下的系统响应结果。

由仿真结果图4、图5、图6可以看出，ISDRE控制算法在实现较快响应速度的同时保证了较小的超调量。ISDRE控制方法的状态导数加权矩阵Q₂能够有效解决定常Q,R带来的响应速度与超调量之间的矛盾。同时，不同于常规SDRE控制方法状态误差无限时间收敛，状态加权矩阵Q₁能够保证系统状态在设定时间t_d＝4s时收敛至原点处的一极小邻域内。

实施例2：

本实施例由于说明本发明所提出的基于改进基于状态相关黎卡提方程(ISDRE)的最优滑模控制方法的优点，如图7所示，本实施例公开的一种最优积分滑模控制方法，包括如下步骤：

步骤1，建立含有扰动的二阶非线性系统的动态模型。所述的二阶非线性系统的动态模型如公式(9)所示。其中系统参数与实施例1相同，扰动项d(x,t)＝0.6sin(10t)+0.2cos(0.5x₁+7x₂)。扰动项d(x,t)满足匹配条件且有界，|d(x,t)|的上界其最大值△d_max＝0.8。

步骤2，针对不含扰动项d(x,t)的标称系统，给出基于改进基于状态相关黎卡提方程(ISDRE)的控制律。其控制量求解步骤与形式与实施例1相同。

步骤3，将改进基于状态相关黎卡提方程(ISDRE)与积分滑模相结合进一步提高系统在扰动下的鲁棒性。

步骤3.1，给出积分滑模面s如公式(10)所示，其中滑模面增益矩阵C取值为C＝[0.01 0.01]。赋初值，令z₀＝x₀，则有s(0)＝0。

步骤3.2，给出最优积分滑模控制量u，其形式如公式(12)所示，由标称控制量u^*以及积分滑模切换项u_dis两部分组成，其中u^*为步骤2得到的标称控制量，主要决定了系统的响应动态。u_dis由步骤3.1给出的积分滑模面s确定，主要抵消外部干扰与参数摄动对系统状态响应的不良影响，其形式如公式(13)所示，其中：η＝1000，满足η≥C△d_max+ε。ε为任意正数。

通过上述步骤得到的基于改进状态相关黎卡提方程(ISDRE)的最优积分滑模控制器结构图可由图8所示。分别对ISDRE控制方法及最优积分滑模控制方法的控制效果进行对比仿真。令ISDRE*表示针对标称系统，采用改进状态相关黎卡提方程(ISDRE)控制方法的控制结果；令ISDRE表示针对扰动系统，采用改进状态相关黎卡提方程(ISDRE)控制方法的控制结果；令OISMC表示针对具有扰动系统，采用最优积分滑模控制方法的控制结果。由图9、图10给出的仿真结果可以看出，当系统存在非线性匹配扰动时，单纯采用SDRE控制方法时，系统的鲁棒性差，无法抵御较大的外界干扰，响应存在类似干扰的波动，而最优积分滑模控制方法的状态响应曲线与ISDRE控制方法对于标称系统的状态响应曲线几乎完全重合，通过将改进状态相关黎卡提方程(ISDRE)控制方法与积分滑模相结合，大大提高了系统的鲁棒性，改善了系统受扰下的响应性能。

综上所述，本发明提出的控制律鲁棒性强；同时系统响应能够满足最优性能指标，在确保系统状态设定时间收敛的同时，有效地折衷了系统响应速度与超调量之间的矛盾，获得较好的响应特性。本发明具有很高的工程应用价值。

本发明保护范围不仅局限于实施例1、实施例2，实施例1、实施例2用于解释本发明，凡与本发明在相同原理和构思条件下的变更或修改均在本发明公开的保护范围之内。

Claims (6)

1.一种最优积分滑模控制方法，其特征在于：包括如下步骤，

步骤1，建立二阶非线性系统的动态模型；所述的二阶非线性系统的动态模型如公式(1)：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{.}{x}}_2=f(x,t)+g(x,t)u\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中：x＝[x₁,x₂]^T为系统的状态向量，f(x)和g(x)≠0为关于x的光滑非线性函数，u∈R¹为系统控制量；

对所述的非线性系统进行扩展线性化，得到状态相关系数SDC(state-dependent coefficient)形式如公式(2):

$\stackrel{.}{x}=A(x,t)x+B(x,t)u---\left(2\right)$

其中f(x,t)＝A(x,t)x，B(x,t)＝g(x,t)；

步骤2，通过改进基于状态相关黎卡提方程(ISDRE)，实现系统状态有限时间收敛，解决有效折衷系统响应时间与超调量之间的矛盾。

2.如权利要求1所述的一种最优积分滑模控制方法，其特征在于：所述的步骤2包括步骤2.1、2.2，

步骤2.1，根据改进基于状态相关黎卡提方程(ISDRE)计算标称控制量u^*；

根据实际控制要求给定最优性能指标J如公式(3)：

$J=\frac{1}{2}{\&Integral;}_{t_0}^{\&infin;}[x^T{Q}_1(x,t)x+{\stackrel{.}{x}}^T{Q}_2(x,t)\stackrel{.}{x}+u^{T}R(x,t)u]\mathrm{dt}---\left(3\right)$

其中，Q₁(x,t),Q₂(x,t)为二维矩阵，Q₁(x,t)为半正定的状态加权矩阵，Q₂(x,t)为半正定的状态导数加权矩阵，R(x,t)为正定的一维控制加权矩阵；t₀为初始时刻；

通过最优性能指标J公式(3)计算标称控制量u^*如公式(4)：

u^*＝-[B(x,t)^TQ₂(x,t)B(x,t)+R(x,t)]^-1[B(x,t)^TQ₂(x,t)A(x,t)+B^T(x,t)P(x,t)]x   (4)

其中，A(x,t)，B(x,t)通过二阶非线性系统的动态模型定义，Q₁(x,t),Q₂(x,t),R(x,t)根据实际控制要求给定的性能指标参数；二维矩阵P(x)由如下代数黎卡提方程(5)所确定：

P(x,t)A(x,t)+A^T(x,t)P(x,t)+(Q₁(x,t)+A^T(x,t)Q₂(x,t)A(x,t))

-(P(x,t)B(x,t)+(B^T(x,t)Q₂(x,t)A(x,t))^T)(R(x,t)   (5)

+B^T(x,t)Q₂(x,t)B(x,t))^-1(B^T(x,t)Q₂(x,t)A(x,t)+B^T(x,t)P(x,t))＝0

步骤2.2，给出状态加权矩阵Q₁和状态导数加权矩阵Q₂，实现系统状态有限时间收敛，解决有效折衷系统响应时间与超调量之间的矛盾；

状态加权矩阵Q₁对状态x变化进行约束；为实现状态x有限时间收敛，给出状态加权矩阵Q₁如公式(6)，状态加权矩阵Q₁需为半正定矩阵，为简化设计，令状态加权矩阵Q₁为具有如下形式的对角阵：

$Q_1=\left[\begin{array}{cc}{q}^2& 0\\ 0& q\end{array}\right]---\left(6\right)$

式中： $q=\left\{\begin{array}{cc}\frac{N}{{(t_d-t)}^k}& t<t_d\\ +\&infin;& t>t_d\end{array}\right.,k\&GreaterEqual;2,$ 其中t_d为设定的期望收敛时间；在实际应用过程中，由于物理能力的限制，q的取值无法增至无限大，因此对上述q的取值进行调整：

$q=\left\{\begin{array}{cc}\frac{N}{{(t_d-t)}^k}& t<t_d-\mathrm{\&Delta;t}\\ N_c& t\&GreaterEqual;t_d-\mathrm{\&Delta;t}\end{array}\right.,k-\&GreaterEqual;2--\left(7\right)$

其中△t为一较小的正实数，N_c为一较大的正实数，且满足

状态导数加权矩阵Q₂对状态量导数进行约束；在误差较大时，减小状态导数加权矩阵Q₂的值，降低对状态导数的约束，加快状态量收敛速度，在误差较小时，增大状态导数加权矩阵Q₂的值，对状态变化速率进行约束，令状态变量平缓变化，降低超调量；给出的状态导数加权矩阵Q₂形式可解决有效折衷系统响应时间与超调量之间的矛盾；状态导数加权矩阵Q₂如公式(8)：

$Q_2\left(x\right)=\left[\begin{array}{cc}{q}_{21}& 0\\ 0& q_{22}\end{array}\right]---\left(8\right)$

$q_{2i}\left(x_i\right)=m_{i0}+n_i{e}^{-k_i{x}_i^2},$ i＝1,2

式中：m_i0,n_i∈R⁺，k_i∈R⁺决定了参数q₂₁(x₁),q₂₂(x₂)的变化速率。

3.如权利要求1或2所述的一种最优积分滑模控制方法，其特征在于：还包括步骤3，将改进基于状态相关黎卡提方程(ISDRE)与积分滑模相结合进一步提高系统在扰动下的鲁棒性；

含有扰动的二阶系统如公式(9)所示：

$\stackrel{.}{x}=A(x,t)x+B(x,t)u+d(x,t)---\left(9\right)$

其中：d(x,t)代表了包含模型不确定性以及外部干扰的聚合扰动项，假设该聚合扰动满足匹配条件且有界，即存在函数以及正数△d_max使得：成立，△d_max为|d(x,t)|的上界。

4.如权利要求3所述的一种最优积分滑模控制方法，其特征在于：所述的步骤3实现方法包括步骤3.1、3.2，

步骤3.1，给出积分滑模面s如公式(10)：

s＝C[x(t)+z]   (10)

其中z为引入的辅助滑模变量，如公式(11)

$z=-{\&Integral;}_0^t(A(x,t)x+B(x,t)u^{*})\mathrm{dt}---\left(11\right)$

式中：s,z∈R^m，C∈R^1×2为滑模面的增益矩阵，C由正常数构成，C的选择应保证CB(x,t)可逆；赋初值，令z₀＝x(0)，则有s(0)＝0；由于初值s(0)＝0，公式(10)、公式(11)所示的积分滑模面s可保证系统状态一直处于滑模面上，受控的系统对参数不确定性和外部扰动具有全局鲁棒性；

步骤3.2，给出最优积分滑模控制量u，由标称控制量u^*以及积分滑模切换项u_dis组成，形式如公式(12)所示：

u＝u^*+u_dis   (12)

其中u^*为步骤2得到的标称控制量，主要决定了系统的响应动态；

u_dis由步骤3.1给出的积分滑模面s确定，主要用于抵消外部干扰与参数摄动对系统状态响应的不良影响，其形式如公式(13)所示：

u_dis＝-η[CB(x,t)]^-1sgn(s)   (13)

其中：η为切换增益，应满足η≥C△d_max+ε，ε为任意正数；符号函数sgn(s)满足如下定义： $\mathrm{sgn}\left(s\right)=\left\{\begin{array}{cc}1& s>0\\ -1& s<0\end{array}\right.;$

通过步骤3得到最优滑模控制律能够保证系统状态将全局处于滑模段，即对于t∈[0,+∞]，有s≡0，将大大提高系统对于外部干扰与参数摄动的鲁棒性；同时在聚合扰动作用下，系统的动态响应与标称系统在改进状态相关黎卡提方程(ISDRE)控制律作用下的动态响应一致。

5.如权利要求4所述的一种最优积分滑模控制方法，其特征在于：所述的最优积分滑模控制方法具有普适性，例如可应用于飞行器、倒立摆等控制系统中。

6.如权利要求3所述的一种最优积分滑模控制方法，其特征在于：所述的最优积分滑模控制方法具有普适性，例如可应用于飞行器、倒立摆等控制系统中。