CN103427609A - 一种mmc的谐波特性解析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种MMC的谐波特性解析方法，其根据MMC的运行工况及系统参数，并考虑桥臂电流的二次谐波分量，计算出MMC各桥臂的桥臂电流；其次运用实际情况下的平均开关函数模型，计算出MMC子模块平均电容电流；然后根据电容两端电压与流过电容电流的关系，计算出MMC子模块平均电容电压；再次运用实际情况下的平均开关函数模型，计算出MMC相桥臂总电压；最后运用傅里叶级数谐波分析法，并取二次谐波进行分析，计算出桥臂二倍频环流。基于本发明方法可以计算MMC各电气量的谐波分量，计算通用性强，适用范围广，精确度较现有方法有较大的提升。

Description

一种MMC的谐波特性解析方法

技术领域

本发明属于电力电子系统性能评估技术领域，具体涉及一种MMC的谐波特性解析方法。

背景技术

模块化多电平换流器（modular multilevel converter，MMC）采用子模块级联形式，避免大量开关器件直接串联，具有良好的电压输出特性，且不存在动态均压等问题，非常适用于高压直流输电场合。在2010年和2011年的两次国际电力电子会议上，德国慕尼黑联邦国防军大学的学者R.Marquardt进一步提出广义MMC的概念，以子模块为基本单元，根据内部构造不同将子模块分为三种基本类型：半桥子模块（half bridge sub-module，HBSM）、全桥子模块（full bridgesub-module，FBSM）和箝位双子模块（clamp double sub-module，CDSM）。

然而，由于模块化多电平换流器的非线性特性，在稳态运行情况下，交直流系统中不可避免地会产生谐波分量，这些谐波分量将改变MMC内部各电气量的数值，从而进一步影响主回路参数的设计。另外，各电气量的谐波分量还会影响电能质量，进而引起一系列问题，例如桥臂电流的谐波量在换流器内部形成环流，引起暂态过程的不平衡与扰动，增大输电损耗。因此，建立MMC谐波特性解析计算表达式在理论上和应用上都具有非常重要的意义。

目前，对模块化多电平换流器谐波特性解析分析的研究并不深入，王姗姗等在标题为模块化多电平换流器的数学模型（中国电机工程学报，2011,31(24)：1-8）的文献介绍了一种MMC谐波分析方法，该方法将理想情况平均开关函数模型与瞬时功率结合，给出了交直流电压、桥臂电流电压、桥臂子模块电容电压总和以及单个子模块电容的电压电流的时域解析表达式。但该方法的平均开关函数只取了理想情况下的基波分量，并且桥臂电流也只考虑到基波分量，而忽略了二次及其以上次谐波，这与实际情况不一致，会带来一定的误差。此外，宋强等在标题为模块化多电平换流器稳态运行特性的解析分析（电网技术，2012,36(11)：198-204）的文献中介绍了一种考虑桥臂电流二倍频分量的MMC稳态各电气量解析方法，但该方法的平均开关函数也只取了理想情况下的基波分量，计算精度也会受到影响。

发明内容

针对现有技术所存在的上述技术问题，本发明提供了一种MMC的谐波特性解析方法，解析结果精确、使用范围广，在工程中具有非常强的参考意义与使用价值。

一种MMC的谐波特性解析方法，包括如下步骤：

（1）根据MMC的运行工况及系统参数，建立MMC各桥臂含有二次谐波分量的桥臂电流模型；

（2）根据所述的桥臂电流模型以及实际运行工况下的平均开关函数模型，建立MMC各桥臂的子模块平均电容电流模型；

（3）根据所述的子模块平均电容电流模型以及子模块电容，建立MMC各桥臂的子模块平均电容电压模型；

（4）根据所述的子模块平均电容电压模型以及平均开关函数模型，建立MMC各相的桥臂总电压模型；

（5）利用傅里叶级数谐波分析法从所述的桥臂总电压模型中提取MMC各相桥臂总电压的二倍频波动分量，进而联立所述的桥臂电流模型，计算出MMC各相桥臂的二倍频环流以及各次谐波。

所述的步骤（1）中桥臂电流模型的表达式如下：

其中：i_u,j和i_l,j分别为MMC中j相的上桥臂电流和下桥臂电流，I_d,j为MMC中j相的直流电流分量，I_j为MMC交流侧j相电流的幅值，I_2,j为MMC中j相桥臂二倍频环流的幅值，

为MMC的j相功率因数角，θ_j为MMC中j相桥臂二倍频环流的相位，ω=100π，t为时间。

所述的步骤（2）中子模块平均电容电流模型的表达式如下：

i_{u_c,j}＝i_c,j(1)+i_c,j(2)+i_c,j(3)-i_c,j(4)-i_c,j(5)-i_c,j(6)

i_{l_c,j}＝i_c,j(1)-i_c,j(2)+i_c,j(3)+i_c,j(4)-i_c,j(5)+i_c,j(6)

$i_{c,j}\left(1\right)=\frac{I_{d,j}}{2}$

$i_{c,j}\left(3\right)=\frac{I_{2,j}}{2}\cos (2\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\θ}}_j)$

$i_{c,j}\left(4\right)=\frac{I_{d,j}}{2}\underset{h=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{D}_h\cos (\mathrm{h\ωt}+{\mathrm{\γ}}_{h,j})$

$i_{c,j}\left(6\right)=\frac{I_{2,j}}{4}(\underset{h=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{D}_h\cos ((h-2)\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\γ}}_{h,j}-{\mathrm{\θ}}_j)+\underset{h=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{D}_h\cos ((h+2)\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\γ}}_{h,j}+{\mathrm{\θ}}_j))$

其中：i_{u_c,j}和i_{l_c,j}分别为MMC中j相上下桥臂的子模块平均电容电流，I_d,j为MMC中j相的直流电流分量，I_j为MMC交流侧j相电流的幅值，I_2,j为MMC中j相桥臂二倍频环流的幅值，

为MMC的j相功率因数角，θ_j为MMC中j相桥臂二倍频环流的相位，ω=100π，t为时间，h为奇数，D_h为平均开关函数h次分量幅值的一半，γ_h,j为平均开关函数j相h次分量的初相位。

所述的步骤（3）中子模块平均电容电压模型的表达式如下：

v_{u_c,j}＝v_c,j(1)+v_c,j(2)-v_c,j(3)-v_c,j(4)+C_u,j

v_{l_c,j}＝-v_c,j(1)+v_c,j(2)-v_c,j(3)+v_c,j(4)+C_l,j

$v_{c,j}\left(2\right)=\frac{I_{2,j}}{4\mathrm{\ωC}}\sin (2\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\θ}}_j)$

$v_{c,j}\left(4\right)=\frac{I_{2,j}}{4\mathrm{\ωC}}(\underset{h=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{D_h}{h-2}\sin ((h-2)\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\γ}}_{h,j}-{\mathrm{\θ}}_j)+\underset{h=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{D_h}{h+2}\sin ((h+2)\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\γ}}_{h,j}+{\mathrm{\θ}}_j))$

其中：v_{u_c,j}和v_{l_c,j}分别为MMC中j相上下桥臂的子模块平均电容电压，I_d,j为MMC中j相的直流电流分量，I_j为MMC交流侧j相电流的幅值，I_2,j为MMC中j相桥臂二倍频环流的幅值，

为MMC的j相功率因数角，θ_j为MMC中j相桥臂二倍频环流的相位，ω=100π，t为时间，h为奇数，D_h为平均开关函数h次分量幅值的一半，γ_h,j为平均开关函数j相h次分量的初相位，C为MMC中子模块电容的容值，C_u,j和C_l,j分别为MMC中j相上下桥臂的积分常数项。

所述的步骤（4）中桥臂总电压模型的表达式如下：

$v_{\mathrm{ph},j}=v_{u,j}+v_{l,j}=\frac{N}{2}((v_{u\_c,j}+v_{l\_c,j})-\underset{h=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{D}_h\cos (\mathrm{h\ωt}+{\mathrm{\γ}}_{h,j})(v_{u\_c,j}-v_{l\_c,j}))$

v_{u_c,j}+v_{l_c,j}＝2v_c,j(2)-2v_c,j(3)+C_u,j+C_l,j

v_{u_c,j}-v_{l_c,j}＝2v_c,j(1)-2v_c,j(4)+C_u,j-C_l,j

$v_{c,j}\left(2\right)=\frac{I_{2,j}}{4\mathrm{\ωC}}\sin (2\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\θ}}_j)$

$v_{c,j}\left(4\right)=\frac{I_{2,j}}{4\mathrm{\ωC}}(\underset{h=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{D_h}{h-2}\sin ((h-2)\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\γ}}_{h,j}-{\mathrm{\θ}}_j)+\underset{h=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{D_h}{h+2}\sin ((h+2)\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\γ}}_{h,j}+{\mathrm{\θ}}_j))$

其中：v_{ph_,j}为MMC中j相桥臂总电压，v_u,j和v_l,j分别为MMC中j相的上桥臂电压和下桥臂电压，v_{u_c,j}和v_{l_c,j}分别为MMC中j相上下桥臂的子模块平均电容电压，I_d,j为MMC中j相的直流电流分量，I_j为MMC交流侧j相电流的幅值，I_2,j为MMC中j相桥臂二倍频环流的幅值，

为MMC的j相功率因数角，θ_j为MMC中j相桥臂二倍频环流的相位，ω=100π，t为时间，h为奇数，D_h为平均开关函数h次分量幅值的一半，γ_h,j为平均开关函数j相h次分量的初相位，C为MMC中子模块电容的容值，C_u,j和C_l,j分别为MMC中j相上下桥臂的积分常数项，N为桥臂的子模块级联个数。

所述的积分常数项C_u,j和C_l,j的计算表达式如下：

$C_{u,j}=\frac{V_{\mathrm{dc}}}{N}-C\left(1\right)-C\left(2\right)+C\left(3\right)+C\left(4\right)$

$C_{l,j}=\frac{V_{\mathrm{dc}}}{N}+C\left(1\right)-C\left(2\right)+C\left(3\right)-C\left(4\right)$

$C\left(2\right)=\frac{I_{2,j}}{4\mathrm{\ωC}}\sin \left({\mathrm{\θ}}_j\right)$

$C\left(4\right)=\frac{I_{2,j}}{4\mathrm{\ωC}}(\underset{h=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{D_h}{h-2}\sin ({\mathrm{\γ}}_{h,j}-{\mathrm{\θ}}_j)+\underset{h=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{D_h}{h+2}\sin ({\mathrm{\γ}}_{h,j}+{\mathrm{\θ}}_j))$

其中：V_dc为MMC的直流侧电压，N为桥臂的子模块级联个数。

所述的步骤（5）中，通过以下算式计算MMC各相桥臂的二倍频环流：

$I_{2,j}=\frac{\sqrt{X^2+Y^2}}{1-A}$ ${\mathrm{\θ}}_j=\arctan \left(\frac{Y}{X}\right)$ $A=\frac{N}{16{\mathrm{\ω}}^2\mathrm{LC}}-\frac{N}{8{\mathrm{\ω}}^2\mathrm{LC}}\underset{h=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{D_h}^2}{h^2-4}$

其中：I_2,j为MMC中j相桥臂二倍频环流的幅值，θ_j为MMC中j相桥臂二倍频环流的相位，I_d,j为MMC中j相的直流电流分量，I_j为MMC交流侧j相电流的幅值，

为MMC的j相功率因数角，ω=100π，h为奇数，D_h为平均开关函数h次分量幅值的一半，γ_h,j为平均开关函数j相h次分量的初相位，C为MMC中子模块电容的容值，L为MMC中桥臂电感的感值，N为桥臂的子模块级联个数。

本发明考虑实际情况下的平均开关函数，并运用傅里叶级数谐波分析法，研究了稳态下MMC的谐波特性，并给出了子模块平均电容电压电流、桥臂电压电流、相桥臂总电压、桥臂二倍频环流的时域解析表达式。

故本发明具有以下有益技术效果：

（1）本发明考虑了实际情况平均开关函数模型，计算结果具有较高的精确度，可以满足实际工程的需要；

（2）本发明将平均开关函数模型与傅里叶级数谐波分析法相结合，有助于深入理解MMC运行原理和物理本质；

（3）本发明给出了子模块平均电容电压电流、桥臂电压电流、相桥臂总电压、桥臂二倍频环流的时域解析表达式，研究结果对MMC主回路参数设计、降低损耗、提高电能质量具有实际应用价值。

附图说明

图1(a)为MMC单相拓扑结构示意图。

图1(b)为MMC半桥子模块拓扑结构示意图。

图2为MMC-HVDC系统结构示意图。

图3为MMC上桥臂子模块平均电容电压的波形示意图。

图4为MMC上桥臂电压的波形示意图。

图5为MMC相桥臂总电压的波形示意图。

图6为MMC上桥臂子模块平均电容电流的波形示意图。

图7为MMC上桥臂电流的波形示意图。

图8为MMC桥臂二倍频环流的波形示意图。

具体实施方式

为了更为具体地描述本发明，下面结合附图及具体实施方式对本发明的技术方案进行详细说明。

图1(a)为模块化多电平换流器型直流输电单相拓扑示意图，换流器的桥臂采用图1(b)所示的半桥子模块（submodule，SM）级联的方式组成。每一桥臂由N个子模块和一个串联电抗器L组成。

为了简化分析，便于理解，本实施方式的理论推导基于以下假设

1）MMC采用实时触发方式。实时触发可以看成是控制频率无穷大的触发方式；

2）所有子模块完全相同；

3）MMC正式投入运行前，子模块的预充电电压为V_dc/N。

从MMC的拓扑结构可以看出，A点对地电压可以表示为

$v_{\mathrm{AO},j}=\frac{V_{\mathrm{dc}}}{2}-v_{u,j}-L\frac{{\mathrm{di}}_{u,j}}{\mathrm{dt}}---\left(1\right)$

$v_{\mathrm{AO},j}=-\frac{V_{\mathrm{dc}}}{2}+v_{l,j}+L\frac{{\mathrm{di}}_{l,j}}{\mathrm{dt}}---\left(2\right)$

其中下标j=a,b,c，分别表示a,b,c三相；u、l分别表示上下桥臂。

图1(a)定义了各电流和电压的正方向。为方便起见，定义S_ui,j为j相上桥臂第i个子模块的开关函数，S_li,j为j相下桥臂第i个子模块的开关函数。它们的值取1表示该子模块投入运行，取0表示将该子模块切除。同时定义平均开关函数

$N_{u,j}=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{S}_{\mathrm{ui},j}---\left(3\right)$

$N_{l,j}=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{S}_{\mathrm{li},j}---\left(4\right)$

平均开关函数表示上下桥臂子模块的平均投入比。为了保持直流侧输出电压稳定，每个相单元上下桥臂的平均开关函数之和应该等于1。换流器采用阶梯波调制时，可将平均开关函数展开成傅里叶级数形式。由于调制波具有半波对称性质，故平均开关函数的谐波不含偶次谐波分量。这样，平均开关函数的傅里叶级数形式可以表示为

$N_{u,j}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\underset{h=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{D}_h\cos (\mathrm{h\ωt}+{\mathrm{\γ}}_{h,j})---\left(5\right)$

$N_{l,j}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\underset{h=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{D}_h\cos (\mathrm{h\ωt}+{\mathrm{\γ}}_{h,j})---\left(6\right)$

式中，h为奇数；D_h表示平均开关函数h次分量幅值的一半，其值可以通过题为“模块多电平换流器型直流输电的调制策略”（电力系统自动化，2010，34(2)：48-52）的文献中所记述的方法求出；γ_h,j表示D_h的初相位，对基波来说，三相之间互差120°，本发明取γ_1,a=0，γ_1,b=120°，γ_1,c=240°作为参考初相位。

由于上下桥臂电路参数完全相同，因此交流电流在上下桥臂间平分。同样，由于MMC三相间的电路参数完全一样，流入各相单元的直流电流为线路总直流电流的三分之一。环流的主要成分为负序性质的二次谐波分量，其他分量非常小，可以忽略不计。这样，桥臂电流可以定义为如下形式

式中：i_u,j为j相上桥臂电流；i_l,j为j相下桥臂电流；I_d,j为j相的直流电流分量；I_j为j相交流侧电流幅值；I_2,j为j相桥臂二倍频环流的幅值。

子模块平均电容电流的求取方法：

桥臂电流通过子模块的开关动作耦合到子模块的直流侧，这部分电流流过子模块电容，称为电容电流。对j相上桥臂第i个子模块有

i_{ui_c,j}＝S_ui,ji_u,j    (9)

对该桥臂上所有子模块求和

$\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{i}_{\mathrm{ui}\_c,j}=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{S}_{\mathrm{ui},j}{i}_{u,j}---\left(10\right)$

上式左右两边同时除以子模块个数N得

$\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{i}_{\mathrm{ui}\_c,j}=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{S}_{\mathrm{ui},j}{i}_{u,j}---\left(11\right)$

将式(3)代入式(11)得

$\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{i}_{\mathrm{ui}\_c,j}=N_{u,j}{i}_{u,j}---\left(12\right)$

定义j相上桥臂子模块平均电容电流

$i_{u\_c,j}=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{i}_{\mathrm{ui}\_c,j}---\left(13\right)$

则有

i_{u_c,j}＝N_u.ji_u,j    (14)

同理，j相下桥臂子模块平均电容电流可以表示为

i_{l_c,j}＝N_l.ji_l,j    (15)

将式(5)、(6)和式(7)、(8)分别代入式(14)、(15)，可得

i_{u_c,j}＝i_c,j(1)+i_c,j(2)+i_c,j(3)-i_c,j(4)-i_c,j(5)-i_c,j(6)    (16)

i_{l_c,j}＝i_c,j(1)-i_c,j(2)+i_c,j(3)+i_c,j(4)-i_c,j(5)+i_c,j(6)    (17)式中：

$i_{c,j}\left(1\right)=\frac{I_{d,j}}{2}$

$i_{c,j}\left(3\right)=\frac{I_{2,j}}{2}\cos (2\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\θ}}_j)$

$i_{c,j}\left(4\right)=\frac{I_{d,j}}{2}\underset{h=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{D}_h\cos (\mathrm{h\ωt}+{\mathrm{\γ}}_{h,j})$

$i_{c,j}\left(6\right)=\frac{I_{2,j}}{4}(\underset{h=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{D}_h\cos ((h-2)\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\γ}}_{h,j}-{\mathrm{\θ}}_j)+\underset{h=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{D}_h\cos ((h+2)\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\γ}}_{h,j}+{\mathrm{\θ}}_j))$

式(16)和(17)中的第一项i_c,j(1)和第五项i_c,j(5)包含了直流分量，直流分量的具体表达式为

在稳态运行情况下，子模块电容电流的直流分量应该为零，否则将造成电容电压无穷大，系统不稳定。这样，式(18)所表示的子模块平均电容电流的直流分量i_{c_dc,j}等于零，这也可以通过后续的解析计算和仿真计算得到验证。

子模块平均电容电压的求取方法：

根据电容两端电压与流过电容电流的关系，可得子模块平均电容电压为

$v_{u\_c,j}=\frac{1}{C}\∫i_{u\_c,j}\mathrm{dt}$

$=v_{c,j}\left(1\right)+v_{c,j}\left(2\right)-v_{c,j}\left(3\right)-v_{c,j}\left(4\right)+C_{u,j}---\left(19\right)$

$v_{l\_c,j}=\frac{1}{C}\∫i_{l\_c,j}\mathrm{dt}$

$={-v}_{c,j}\left(1\right)+v_{c,j}\left(2\right)-v_{c,j}\left(3\right)+v_{c,j}\left(4\right)+C_{l,j}---\left(20\right)$

式中

$v_{c,j}\left(2\right)=\frac{I_{2,j}}{4\mathrm{\ωC}}\sin (2\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\θ}}_j)$

$v_{c,j}\left(4\right)=\frac{I_{2,j}}{4\mathrm{\ωC}}(\underset{h=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{D_h}{h-2}\sin ((h-2)\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\γ}}_{h,j}-{\mathrm{\θ}}_j)+\underset{h=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{D_h}{h+2}\sin ((h+2)\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\γ}}_{h,j}+{\mathrm{\θ}}_j))$

C_u,j和C_l,j分别为MMC中j相上下桥臂的积分常数项，其值可以通过初始条件求得。在MMC投入运行之前需要对所有的子模块进行预充电，即电容的初始电压为

$v_{u\_c,j}\left(0\right)=\frac{V_{\mathrm{dc}}}{N}---\left(21\right)$

$v_{l\_c,j}\left(0\right)=\frac{V_{\mathrm{dc}}}{N}---\left(22\right)$

将式(21)和(22)分别代入式(19)和(20)，可以求得积分常数项为

$C_{u,j}=\frac{V_{\mathrm{dc}}}{N}-C\left(1\right)-C\left(2\right)+C\left(3\right)+C\left(4\right)$

$C_{l,j}=\frac{V_{\mathrm{dc}}}{N}+C\left(1\right)-C\left(2\right)+C\left(3\right)-C\left(4\right)$

其中：

$C\left(2\right)=\frac{I_{2,j}}{4\mathrm{\ωC}}\sin \left({\mathrm{\θ}}_j\right)$

$C\left(4\right)=\frac{I_{2,j}}{4\mathrm{\ωC}}(\underset{h=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{D_h}{h-2}\sin ({\mathrm{\γ}}_{h,j}-{\mathrm{\θ}}_j)+\underset{h=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{D_h}{h+2}\sin ({\mathrm{\γ}}_{h,j}+{\mathrm{\θ}}_j))$

桥臂电压的求取方法：

电容电压通过子模块的开关动作，将耦合到桥臂上。对j相上桥臂第i个子模块有

v_ui,j＝S_ui,jv_{ui_c,j}    (23)

对该桥臂所有子模块求和有

$\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{v}_{\mathrm{ui},j}=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{S}_{\mathrm{ui},j}{v}_{\mathrm{ui}\_c,j}---\left(24\right)$

$\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{v}_{\mathrm{ui},j}=\left(\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{S}_{\mathrm{ui},j}{v}_{\mathrm{ui}\_c,j}\right)N{v}_{\mathrm{ui}\_c,j}---\left(25\right)$

将式(3)代入式(25)可得

$\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{v}_{\mathrm{ui},j}=N_{u,j}\left(N{v}_{\mathrm{ui}\_c,j}\right)---\left(26\right)$

式(26)左边即为j相上桥臂电压v_u,j。根据假设，所有子模块完全相同，可用子模块平均电容电压v_{u_c,j}代替v_{ui_c,j}。这样，式(26)可以重新写成

$v_{u,j}=N_{u,j}\left(N{v}_{u\_c,j}\right)$

$=\frac{N}{2}{v}_{u\_c.j}(1-\underset{h=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{D}_h\cos (\mathrm{h\ωt}+{\mathrm{\γ}}_{h,j}))---\left(27\right)$

同理，j相下桥臂电压可以表示为

$v_{l,j}=N_{l,j}\left(N{v}_{l\_c,j}\right)$

$=\frac{N}{2}{v}_{l\_c.j}(1-\underset{h=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{D}_h\cos (\mathrm{h\ωt}+{\mathrm{\γ}}_{h,j}))---\left(28\right)$

相桥臂总电压的求取方法：

相桥臂总电压为上桥臂电压与下桥臂电压之和

$v_{\mathrm{ph},j}=v_{u,j}+v_{l,j}$

$=\frac{N}{2}((v_{u\_c,j}+v_{l\_c,j})-\underset{h=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{D}_h\cos (\mathrm{h\ωt}+{\mathrm{\γ}}_{h,j})(v_{u\_c,j}-v_{l\_c,j}))---\left(29\right)$

其中

v_{u_c,j}+v_{l_c,j}＝2v_c,j(2)-2v_c,j(3)+C_u,j+C_l,j    (30)

v_{u_c,j}-v_{l_c,j}＝2v_c,j(1)-2v_c,j(4)+C_u,j-C_l,j    (31)

根据前面推导的表达式，相单元子模块电容电压总和可以表示成基准量V_dc与波动量Δv_ph,j之和

v_ph,j＝V_dc+Δv_ph,j    (32)

桥臂二倍频环流的求取方法：

由式(1)和(2)可以得到

$V_{\mathrm{dc}}=v_{u,j}+v_{l,j}+L\frac{{\mathrm{di}}_{\mathrm{com},j}}{\mathrm{dt}}---\left(33\right)$

其中

i_com,j＝i_u,j+i_l,j    (34)

表示的是j相上下桥臂的电流之和。

由式(32)和(33)可得

$\mathrm{\Δ}{v}_{\mathrm{ph},j}=-L\frac{{\mathrm{di}}_{\mathrm{com},j}}{\mathrm{dt}}---\left(35\right)$

若将信号x(t)展开成傅里叶级数的形式，则其k次谐波分量可以表示成

${<x\left(t\right)>}_k=\frac{1}{T}{\&Integral;}_0^{T}x\left(t\right)e^{-\mathrm{jk\&omega;t}}\mathrm{dt}---\left(36\right)$

对式(35)左右两侧同时取其k次谐波，可得

${<\mathrm{\&Delta;}{v}_{\mathrm{ph},j}>}_k=-L{<\frac{{\mathrm{di}}_{\mathrm{com},j}}{\mathrm{dt}}>}_k$

                             (37)

$=-L\frac{d{<i_{\mathrm{com},j}>}_k}{\mathrm{dt}}-\mathrm{jk\&omega;L}{<i_{\mathrm{com},j}>}_k$

在稳态情况下，谐波的幅值和相位不随时间变化，即

$\frac{d{<i_{\mathrm{com},j}>}_k}{\mathrm{dt}}=0---\left(38\right)$

因此，式(37)化简为

${<i_{\mathrm{com},j}>}_k=-\frac{1}{\mathrm{jk\&omega;L}}{<\mathrm{\&Delta;}{v}_{\mathrm{ph},j}>}_k---\left(39\right)$

取二次谐波进行分析，有

$2I_{2,j}\cos (2\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&theta;}}_j)=-\frac{{<\mathrm{\&Delta;}{v}_{\mathrm{ph},j}>}_2}{j2\mathrm{\&omega;L}}---\left(40\right)$

式中，<Δv_ph,j>₂为相单元子模块电容电压总和的二倍频波动分量，其具体表达式为

将式(41)代入式(40)可得二倍频环流的幅值和相位分别为

$I_{2,j}=\frac{\sqrt{X^2+Y^2}}{1-A}---\left(42\right)$

${\mathrm{\&theta;}}_j=\arctan \left(\frac{Y}{X}\right)---\left(43\right)$

式中

$A=\frac{N}{16{\mathrm{\&omega;}}^2\mathrm{LC}}-\frac{N}{8{\mathrm{\&omega;}}^2\mathrm{LC}}\underset{h=1}{\overset{\&infin;}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{{D_h}^2}{h^2-4}$

为了验证本实施方式的正确性，在电磁暂态仿真软件PSCAD/EMTDC中搭建了如图2所示MMC-HVDC（高压直流输电）仿真平台，主要的仿真参数如表1所示。稳态运行时整流站采用定直流电压和定无功功率控制，逆变站采用定有功功率和定无功功率控制，桥臂级联子模块的调制策略采用最近电平调制，直流线路为架空线。

表1

以逆变侧A相为研究对象。图3～5分别为上桥臂子模块平均电容电压、上桥臂电压以及相桥臂总电压的仿真波形和解析计算波形对比图。

图3是子模块平均电容电压波形图，从图中可以看出，其解析计算波形与仿真波形基本一致，其中的微小差距主要是由于解析计算模型没有考虑桥臂电流的三次及以上次谐波。

如图4所示，桥臂电压的解析计算模型能准确地反映桥臂电压的变化，与仿真波形误差非常小。两者的波形都为阶梯波，当子模块数N足够大时，阶梯波将更加逼近正弦波，两者的误差将会更小。

从图5可以看出，相桥臂总电压的解析计算波形与仿真波形基本吻合，说明解析计算模型能准确地表示相应电压的波动过程。

表2为谐波电压量有效值计算表。从表中可以看出，各电压量的谐波计算值与仿真值非常接近，误差都在3%以内，说明解析计算结果是准确的。相比其他方法的误差（5%），本实施方式的精确度更高。

表2

同样以逆变侧A相单元为研究对象。图6～8分别为上桥臂子模块平均电容电流、上桥臂电流以及桥臂二倍频环流波形图。

从图6可以看出，子模块平均电容电流的解析计算波形与仿真波形基本吻合，波形中的微小差距主要是解析计算模型中没有考虑桥臂电流的三次及以上次谐波。

图7反映了桥臂电流的解析计算波形非常好地吻合仿真波形，波形中的微小差距主要是解析计算模型中没有考虑桥臂电流的三次及以上次谐波。

从图8可以看出，桥臂二倍频环流的解析计算波形与仿真波形基本一致，两者之间的误差非常小。

表3为谐波电流量有效值计算表。从表中可以看出，电流量的各次谐波解析计算表达式能近似表示子模块平均电容电流、桥臂电流以及桥臂环流的直流分量、基波分量、二次分量真实值。相比其他方法的误差（5%），本实施方式的精确度更高。

表3

Claims (7)

1.一种MMC的谐波特性解析方法，包括如下步骤：

（1）根据MMC的运行工况及系统参数，建立MMC各桥臂含有二次谐波分量的桥臂电流模型；

（2）根据所述的桥臂电流模型以及实际运行工况下的平均开关函数模型，建立MMC各桥臂的子模块平均电容电流模型；

（3）根据所述的子模块平均电容电流模型以及子模块电容，建立MMC各桥臂的子模块平均电容电压模型；

（4）根据所述的子模块平均电容电压模型以及平均开关函数模型，建立MMC各相的桥臂总电压模型；

（5）利用傅里叶级数谐波分析法从所述的桥臂总电压模型中提取MMC各相桥臂总电压的二倍频波动分量，进而联立所述的桥臂电流模型，计算出MMC各相桥臂的二倍频环流以及各次谐波。

2.根据权利要求1所述的谐波特性解析方法，其特征在于：所述的步骤（1）中桥臂电流模型的表达式如下：

其中：i_u,j和i_l,j分别为MMC中j相的上桥臂电流和下桥臂电流，I_d,j为MMC中j相的直流电流分量，I_j为MMC交流侧j相电流的幅值，I_2,j为MMC中j相桥臂二倍频环流的幅值，

为MMC的j相功率因数角，θ_j为MMC中j相桥臂二倍频环流的相位，ω=100π，t为时间。

3.根据权利要求1所述的谐波特性解析方法，其特征在于：所述的步骤（2）中子模块平均电容电流模型的表达式如下：

i_{u_c,j}＝i_c,j(1)+i_c,j(2)+i_c,j(3)-i_c,j(4)-i_c,j(5)-i_c,j(6)

i_{l_c,j}＝i_c,j(1)-i_c,j(2)+i_c,j(3)+i_c,j(4)-i_c,j(5)+i_c,j(6)

$i_{c,j}\left(1\right)=\frac{I_{d,j}}{2}$ $i_{c,j}\left(3\right)=\frac{I_{2,j}}{2}\cos (2\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&theta;}}_j)$

$i_{c,j}\left(4\right)=\frac{I_{d,j}}{2}\underset{h=1}{\overset{\&infin;}{\mathrm{\&Sigma;}}}{D}_h\cos (\mathrm{h\&omega;t}+{\mathrm{\&gamma;}}_{h,j})$

$i_{c,j}\left(6\right)=\frac{I_{2,j}}{4}(\underset{h=1}{\overset{\&infin;}{\mathrm{\&Sigma;}}}{D}_h\cos ((h-2)\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&gamma;}}_{h,j}-{\mathrm{\&theta;}}_j)+\underset{h=1}{\overset{\&infin;}{\mathrm{\&Sigma;}}}{D}_h\cos ((h+2)\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&gamma;}}_{h,j}+{\mathrm{\&theta;}}_j))$

其中：i_{u_c,j}和i_{l_c,j}分别为MMC中j相上下桥臂的子模块平均电容电流，I_d,j为MMC中j相的直流电流分量，I_j为MMC交流侧j相电流的幅值，I_2,j为MMC中j相桥臂二倍频环流的幅值，

为MMC的j相功率因数角，θ_j为MMC中j相桥臂二倍频环流的相位，ω=100π，t为时间，h为奇数，D_h为平均开关函数h次分量幅值的一半，γ_h,j为平均开关函数j相h次分量的初相位。

4.根据权利要求1所述的谐波特性解析方法，其特征在于：所述的步骤（3）中子模块平均电容电压模型的表达式如下：

v_{u_c,j}＝v_c,j(1)+v_c,j(2)-v_c,j(3)-v_c,j(4)+C_u,j

v_{l_c,j}＝-v_c,j(1)+v_c,j(2)-v_c,j(3)+v_c,j(4)+C_l,j

$v_{c,j}\left(2\right)=\frac{I_{2,j}}{4\mathrm{\&omega;C}}\sin (2\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&theta;}}_j)$

$v_{c,j}\left(4\right)=\frac{I_{2,j}}{4\mathrm{\&omega;C}}(\underset{h=1}{\overset{\&infin;}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{D_h}{h-2}\sin ((h-2)\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&gamma;}}_{h,j}-{\mathrm{\&theta;}}_j)+\underset{h=1}{\overset{\&infin;}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{D_h}{h+2}\sin ((h+2)\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&gamma;}}_{h,j}+{\mathrm{\&theta;}}_j))$

其中：v_{u_c,j}和v_{l_c,j}分别为MMC中j相上下桥臂的子模块平均电容电压，I_d,j为MMC中j相的直流电流分量，I_j为MMC交流侧j相电流的幅值，I_2,j为MMC中j相桥臂二倍频环流的幅值，

为MMC的j相功率因数角，θ_j为MMC中j相桥臂二倍频环流的相位，ω=100π，t为时间，h为奇数，D_h为平均开关函数h次分量幅值的一半，γ_h,j为平均开关函数j相h次分量的初相位，C为MMC中子模块电容的容值，C_u,j和C_l,j均为预设的积分常数项。

5.根据权利要求1所述的谐波特性解析方法，其特征在于：所述的步骤（4）中桥臂总电压模型的表达式如下：

$v_{\mathrm{ph},j}=v_{u,j}+v_{l,j}=\frac{N}{2}((v_{u\_c,j}+v_{l\_c,j})-\underset{h=1}{\overset{\&infin;}{\mathrm{\&Sigma;}}}{D}_h\cos (\mathrm{h\&omega;t}+{\mathrm{\&gamma;}}_{h,j})(v_{u\_c,j}-v_{l\_c,j}))$

v_{u_c,j}+v_{l_c,j}＝2v_c,j(2)-2v_c,j(3)+C_u,j+C_l,j

v_{u_c,j}-v_{l_c,j}＝2v_c,j(1)-2v_c,j(4)+C_u,j-C_l,j

$v_{c,j}\left(2\right)=\frac{I_{2,j}}{4\mathrm{\&omega;C}}\sin (2\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&theta;}}_j)$

$v_{c,j}\left(4\right)=\frac{I_{2,j}}{4\mathrm{\&omega;C}}(\underset{h=1}{\overset{\&infin;}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{D_h}{h-2}\sin ((h-2)\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&gamma;}}_{h,j}-{\mathrm{\&theta;}}_j)+\underset{h=1}{\overset{\&infin;}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{D_h}{h+2}\sin ((h+2)\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&gamma;}}_{h,j}+{\mathrm{\&theta;}}_j))$

其中：v_{ph_,j}为MMC中j相桥臂总电压，v_u,j和v_l,j分别为MMC中j相的上桥臂电压和下桥臂电压，v_{u_c,j}和v_{l_c,j}分别为MMC中j相上下桥臂的子模块平均电容电压，I_d,j为MMC中j相的直流电流分量，I_j为MMC交流侧j相电流的幅值，I_2,j为MMC中j相桥臂二倍频环流的幅值，

为MMC的j相功率因数角，θ_j为MMC中j相桥臂二倍频环流的相位，ω=100π，t为时间，h为奇数，D_h为平均开关函数h次分量幅值的一半，γ_h,j为平均开关函数j相h次分量的初相位，C为MMC中子模块电容的容值，C_u,j和C_l,j均为预设的积分常数项，N为桥臂的子模块级联个数。

6.根据权利要求1所述的谐波特性解析方法，其特征在于：所述的步骤（5）中，通过以下算式计算MMC各相桥臂的二倍频环流：

$I_{2,j}=\frac{\sqrt{X^2+Y^2}}{1-A}$ ${\mathrm{\&theta;}}_j=\arctan \left(\frac{Y}{X}\right)$ $A=\frac{N}{16{\mathrm{\&omega;}}^2\mathrm{LC}}-\frac{N}{8{\mathrm{\&omega;}}^2\mathrm{LC}}\underset{h=1}{\overset{\&infin;}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{{D_h}^2}{h^2-4}$

其中：I_2,j为MMC中j相桥臂二倍频环流的幅值，θ_j为MMC中j相桥臂二倍频环流的相位，I_d,j为MMC中j相的直流电流分量，I_j为MMC交流侧j相电流的幅值，

为MMC的j相功率因数角，ω=100π，h为奇数，D_h为平均开关函数h次分量幅值的一半，γ_h,j为平均开关函数j相h次分量的初相位，C为MMC中子模块电容的容值，L为MMC中桥臂电感的感值，N为桥臂的子模块级联个数。

7.根据权利要求4或5所述的谐波特性解析方法，其特征在于：所述的积分常数项C_u,j和C_l,j的计算表达式如下：

$C_{u,j}=\frac{V_{\mathrm{dc}}}{N}-C\left(1\right)-C\left(2\right)+C\left(3\right)+C\left(4\right)$

$C_{l,j}=\frac{V_{\mathrm{dc}}}{N}+C\left(1\right)-C\left(2\right)+C\left(3\right)-C\left(4\right)$

$C\left(2\right)=\frac{I_{2,j}}{4\mathrm{\&omega;C}}\sin \left({\mathrm{\&theta;}}_j\right)$

$C\left(4\right)=\frac{I_{2,j}}{4\mathrm{\&omega;C}}(\underset{h=1}{\overset{\&infin;}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{D_h}{h-2}\sin ({\mathrm{\&gamma;}}_{h,j}-{\mathrm{\&theta;}}_j)+\underset{h=1}{\overset{\&infin;}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{D_h}{h+2}\sin ({\mathrm{\&gamma;}}_{h,j}+{\mathrm{\&theta;}}_j))$

其中：V_dc为MMC的直流侧电压，N为桥臂的子模块级联个数。

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