JPWO2011061843A1 - 被検面の形状を計測する装置及び被検面の形状を算出するためのプログラム - Google Patents

Abstract

測定部は、被検面の一部を測定範囲に設定して、複数の測定範囲において各測定範囲が少なくとも１つの他の測定範囲と重なり領域を形成するように被検面の形状を測定する測定部と、各測定範囲の測定データを読み出し、測定範囲の設定毎に係数の値が定められる項と各測定範囲の設定に依らず係数の値が定められる項とを含む多項式で各測定における測定誤差を表すことによって、かつ、重なり領域における各測定データに対して最小２乗法を用いることによって得られる多項式の各係数についての行列方程式に、重なり領域における多項式の各項のデータ及び前記各測定データを代入し、データが代入された行列方程式について特異値分解を行うことにより前記多項式の各係数の値を求め、該各係数を用いて各測定範囲の測定データを補正し、複数の測定範囲における被検面の形状を算出する算出部を有する計測装置。

Description

本発明は、被検面の形状を計測する装置及び被検面の形状を算出するためのプログラムに関する。

大きな径の被検物を測定するために、被検物より小さな基準を用いて、被検物のある部分ごとに形状測定を繰り返し、その後、各形状測定データを演算処理してつなぎ合わせるスティッチング方式が行われている。

このスティッチング方式では２つの測定誤差が生じ得る。１つ目は、部分領域を測定する際に機械的な不安定性から被検物の姿勢が動いてしまうことに起因する誤差である。本明細書では、この誤差をセッティングエラーと呼ぶ。セッティングエラーがある場合は、それぞれの部分領域の測定により得られた各形状データには互いに異なる測定誤差が生じる。２つ目は、測定系（光学系）固有の誤差である。本明細書では、この誤差をシステムエラーと呼ぶ。システムエラーがある場合は、それぞれの部分領域の測定により得られた各形状データに同一のシステムエラーが生じる。

これらの誤差を除去する方法として、逐次スティッチ法と一括スティッチ法が知られている。逐次スティッチ法では、まず基準となる形状データを決定し、次に基準の隣のデータとつなぎ合わせ、さらに、つなぎ合わせたデータと隣のデータとをつなぎ合わせる。これを繰り返せば、全データをつなぎ合わせることができるが、測定誤差が積み重なるという問題があった。一括スティッチ法では、各形状データの重ね合わせ誤差が最小になるようにつなぎ合わせる方法である（非特許文献１、非特許文献２、特許文献１参照）。一般的に、一括スティッチ法の方が被検物の形状を高精度に求めることができると言われている。

非特許文献１では、方程式を用いて、セッティングエラーとシステムエラーを同時に補正する方法を開示している。非特許文献２では、各形状データに重なりがある場合のスティッチ方法を開示している。特許文献１では、各形状データに重なりがあり、かつ、セッティングエラーとシステムエラーを同時に除去する方法を開示している。

Ｗｅｎｇ Ｗ． Ｃｈｏｗ ａｎｄ Ｇｅｏｒｇｅ Ｎ． Ｌａｗｒｅｎｃｅ，「Ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｓｕｂａｐｅｒｔｕｒｅ ｔｅｓｔｉｎｇ ｉｎｔｅｒｆｅｒｏｇｒａｍ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ」，ＯＰＴＩＣＳ ＬＥＴＴＥＲＳ，アメリカ合衆国，１９８３年９月，Ｖｏｌ．８，Ｎｏ．９，ｐｐ．４６８−４７０ Ｍａｓａｓｈｉ Ｏｔｓｕｂｏ，Ｋａｔｓｕｙｕｋｉ Ｏｋａｄａ，Ｊｕｍｐｅｉ Ｔｓｕｊｉｕｃｈｉ著，「Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｏｆ ｌａｒｇｅ ｐｌａｎｅ ｓｕｒｆａｃｅ ｓｈａｐｅｓ ｂｙ ｃｏｎｎｅｃｔｉｎｇ ｓｍａｌｌ−ａｐｅｒｔｕｒｅ ｉｎｔｅｒｆｅｒｏｇｒａｍｓ」，ＯＰＴＩＣＡＬ ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ，日本，ＳＰＩＥ ｐｒｅｓｓ，１９９４年２月，Ｖｏｌ．３３ Ｎｏ．２，ｐｐ．６０８−６１３

米国特許第６９５６６５７号明細書

非特許文献１では、当該方程式は、各部分領域の形状データに重なりがない状態で導かれた方程式であり、各形状データに重なりがある場合は当該方程式を解くことができなかった。また、非特許文献２では、システムエラーを無視してセッティングエラーだけを補正する方程式を解いているため、システムエラーの補正ができない。特許文献１では、スティッチする際の方程式は記述されておらず、重なり誤差が最小になるように最適化ループを繰り返している。一般に、最適化問題を解くのは非常に困難である。そのため、特許文献１では、非常に高度なデータ処理を行う必要があり、データ処理が複雑になり、計算時間がかかる。

そこで、本発明では、比較的簡単な演算処理でスティッチングを行うことを目的とする。

上述の課題を解決するために、本発明の側面としての計測装置は、被検面の形状を測定する測定部と、前記測定部による測定データを用いて前記被検面の形状を算出する算出部とを有する計測装置において、前記測定部は、前記被検面の一部を測定範囲に設定して、複数の測定範囲において各測定範囲が少なくとも１つの他の測定範囲と重なり領域を形成するように前記被検面の形状を測定し、前記算出部は、前記測定部による前記各測定範囲の測定データを読み出し、前記測定範囲の設定毎に係数の値が定められる項と各測定範囲の設定に依らず係数の値が定められる項とを含む多項式で各測定における測定誤差を表すことによって、かつ、前記重なり領域における各測定データに対して最小２乗法を用いることによって得られる前記多項式の各係数についての行列方程式に、前記重なり領域における前記多項式の各項のデータ及び前記各測定データを代入し、データが代入された前記行列方程式について特異値分解を行うことにより前記多項式の各係数の値を求め、該求められた各係数を用いて前記各測定範囲の測定データを補正し、該補正された測定データを用いて前記複数の測定範囲における前記被検面の形状を算出することを特徴とする計測装置。

本発明によれば、比較的簡単な演算処理で測定誤差を補正してスティッチングを行うことができる。

本実施形態における、被検面の形状を計測する装置の構成を示す図である。 フィゾー型干渉計の模式図である。 被検面の一部を測定する際の測定範囲を示す図である。 システムエラーのアス成分を求めるための測定の様子を示す図である。 測定誤差を算出するためのフローチャートを示す図である。 平面ミラーの形状及び各測定範囲を示す図である。 実施例１における各測定範囲の測定データを示す図である。 （ａ）実施例１における数式２０に記載のΨ（ｘ，ｙ）の分母（Ｎ＝５）を示す図である。（ｂ）実施例１における数式１９のＦ（ｘ，ｙ）を示す図である。（ｃ）算出された全体形状を示す図である。 （ａ）つなぎ目近傍の領域を検出した結果を示す図である。（ｂ）段差を除去した結果を示す図である。（ｃ）段差除去前と後におけるデータの比較図である。 （ａ）被検面の形状及び各測定範囲を示す図である。（ｂ）６軸ステージを用いたＳ”１３の測定結果である。（ｃ）５軸ステージを用いたＳ”１３の測定結果である。 座標の不等間隔について説明する図である。 （ａ）システムエラーの各項の値を示す図である。（ｂ）実施例２における測定誤差補正後の被検面の形状を示す図である。 実施例３における多項式のデータを示す図である。 実施例３における測定誤差補正後の被検面の形状を示す図である。

本発明の実施形態に係る計測装置の構成を図１に示す。計測装置１は、測定部としての干渉計Ｋ、被検物Ｔを保持して操作するためのステージＳＴＧ、干渉計ＫとステージＳＴＧを制御するコンピュータＰＣ（制御部）を有する。本実施形態では一般的な干渉計による被検面の形状計測を考える。干渉計とは、参照波面と被検波面の干渉により、被検面の形状又は透過波面を測定する装置である。

干渉計Ｋの一例としてフィゾー型干渉計を図２に示す。干渉計Ｋは、準単色光源ＳＯを持つ。光源ＳＯから発した光はレンズＬ１により、ピンホールＰＨに集光される。ピンホール透過後の発散光はビームスプリッターＢＳを透過し、コリメーターレンズＣＬ１で平行光になる。平行光は、集光レンズＣＬ２で集束光になり参照光を形成するレンズＴＳに入射する。レンズＴＳは、被検物Ｔ側の面ＴＳ１で光を一部反射し、参照光（参照波面または基準波面）を形成する。面ＴＳ１で反射した光は、レンズＣＬ２とレンズＣＬ１を透過し、さらに、ビームスプリッターＢＳで反射され、レンズＬ２を透過した後、撮像素子Ｃに到達する。一方、レンズＴＳを透過した光も存在する。レンズＴＳを透過した光は集光位置ＣＰに集光する。

被検物Ｔの測定領域が凹であるならば、被検物Ｔは集光位置ＣＰよりステージＳＴＧ側に配置される。被検物Ｔの測定領域が凸であるならば、被検物Ｔは集光位置ＣＰより干渉計Ｋ側に配置される。図２では測定領域が凹の被検物Ｔを配置した状態を示している。レンズＴＳを透過した光は被検物Ｔに入射し、反射される。被検物Ｔで反射された光は、再び集光位置ＣＰで一度集光し、レンズＴＳ、レンズＣＬ２及びレンズＣＬ１を透過し、さらに、ビームスプリッターＢＳで反射され、レンズＬ２を透過した後、撮像素子Ｃに到達する。レンズＴＳで反射した参照光と被検物Ｔで反射した光は互いに干渉するので撮像素子Ｃの撮像面上に干渉縞を形成する。撮像素子Ｃとして例えばＣＣＤが用いられる。

ステージＳＴＧは６軸ステージが好ましい。図２において、レンズＴＳの光軸をＯＡで表し、ｚ軸はレンズＴＳの光軸と平行とする。ｚ軸と垂直に直交座標系の座標軸としてｘ軸とｙ軸を決める。なお、ｘ軸とｙ軸は垂直である。６軸ステージは、ｘ軸、ｙ軸及びｚ軸方向に移動するステージと、ｘ軸、ｙ軸及びｚ軸回りの回転機構を有する。後に述べるように、ｚ軸回りの回転機構があればデータの繋ぎ合わせを高精度化できる。なお、被検物Ｔが球面または非球面以外の平面であれば、ｘ軸、ｙ軸及びｚ軸方向に移動するステージのみでもよい。また、６軸ステージは高価であるため、より安価な５軸ステージでも代用可能である。

コンピュータＰＣは、ステージＳＴＧと干渉計Ｋに通信ケーブルで接続されている。コンピュータＰＣは、ステージＳＴＧを駆動するために制御信号をステージＳＴＧに送信する。ステージＳＴＧは制御信号を受信してアクチュエータを駆動し、被検物Ｔを移動する。さらに、コンピュータＰＣは、干渉計Ｋに被検物Ｔの被検面の形状を計測するために、撮像素子Ｃを用いて干渉縞を取得するための制御信号を送信する。干渉計Ｋ（撮像素子Ｃ）が撮像した干渉縞のデータはコンピュータＰＣに送信され、コンピュータＰＣのＣＰＵ、ＤＳＰ等（算出部）で演算処理され、被検面の形状が算出される。干渉縞のデータから被検面の形状を算出するために、例えば位相シフト法を用いれば良い。位相シフト法とは、参照波面の位相をずらしながら複数枚の干渉縞を取得し、複数枚の干渉縞のデータから被検面の形状を算出する方法である。

コンピュータＰＣは制御信号をステージＳＴＧに送信し、ステージＳＴＧは被検物Ｔを第１の位置に移動する。その後、コンピュータＰＣは干渉計Ｋに制御信号を送信し、干渉計Ｋは干渉縞を取得する。取得された干渉縞のデータはコンピュータＰＣに送信され、コンピュータＰＣで演算処理され、測定範囲として設定された被検面の一部の領域の形状が算出される。被検物の第１の位置と被検面の形状はコンピュータＰＣの記憶部に記憶される。被検物の位置を変えて、同様の処理をＮ回繰り返すことでコンピュータＰＣの記憶部に、被検物の位置と被検面の形状との組がＮ組分だけ記憶される。このようにして得られたＮ組の被検面の部分形状をつなぎ合わせれば、被検面の全体形状を算出することができる。

以下、被検面の部分形状データの繋ぎあわせ方法を説明する。説明を簡単にするため、被検面の全体形状は平面とする。

図３において、実線は被検物Ｔの被検面全体を表す。点線で示した領域Ｓ１乃至Ｓ４は、測定範囲を示す。測定範囲の大きさは干渉計Ｋに依存する。Ｓ１乃至Ｓ４は被検物Ｔの被検面全体をカバーしているが、Ｓ１乃至Ｓ４のいずれも単独では被検面の全領域を測定することはできない。この例では、Ｓ１乃至Ｓ４の４つの形状データをつなぎ合わせる。

Ｓ１乃至Ｓ４で測定された形状（測定データ）をΦ’_１乃至Φ’_４とする。Φ’_１乃至Φ’_４にはセッティングエラーとシステムエラーが含まれている。初めに、セッティングエラーとシステムエラーを記述する関数を定義する。ここではＺｅｒｎｉｋｅ多項式を用いる。本明細書では、Ｚｅｒｎｉｋｅ多項式の第ｉ項（ｉは１以上の整数）をＺ_ｉと記述する。一般的に、Ｚｅｒｎｉｋｅ多項式の１項から４項までは各測定状態に依存するため、セッティングエラーとみなすことができる。よって、セッティングエラーは測定範囲の設定毎に係数の値が定められる項といえる。Ｚｅｒｎｉｋｅ多項式の５項以上は各測定状態に関わらず係数の値が定められるので、システムエラーとみなすことができる。よって、システムエラーは各測定状態に関わらず係数の値が定められる項といえる。

以下では、Φ’_ｉを具体的に数式で記述する。Φ_ｉを被検面の真の形状とする。ａ^ｉ _ｊはＳｉ（ｉは１以上の整数）の領域の形状データにセッティングエラーとして付加されるＺｅｒｎｉｋｅ多項式の第ｊ項（ｊは１以上の整数）の係数を表す。ｂ_ｋは、システムエラーとして各Ｓｉ領域の形状データに付加されるＺｅｒｎｉｋｅ多項式の第ｋ項（ｊは１以上の整数）の係数とする。さらに、（ｘ_ｉ，ｙ_ｉ）はＳｉ領域を測定する際のｘｙステージの位置（被検物を基準とした場合は被検物）とする。Φ’_ｉは、数式１のように定義される。

セッティングエラーはＺｅｒｎｉｋｅ多項式の１項から４項までとしたので、Ｍ＝４である。Ｌは、除去されるシステムエラーの上限を表す。

Φ’_１とΦ’_２の重なり誤差を最小にするには、数式２の条件を満たすようにａ^１ _ｊ、ａ^２ _ｊ及びｂ_ｋを決定すればよい。

１∩２はＳ１とＳ２が重なっている領域であって、図３の斜線部の領域に相当する。数式２はＳ１とＳ２の領域における重なり誤差を低減するが、他の領域Ｓ３またはＳ４の領域における形状データ同士の重なり誤差は考慮していない。

そのため、数式２を全ての領域に拡張し、Δを数式３のように定義する。

この例では、数式３のＮは４である。Δが最小になるように、例えば最小２乗法を用いて、ａ^ｉ _ｊ及びｂ_ｋを決定すればよい。すなわち、Δをａ^ｉ _ｊ、及び、ｂ_ｋで微分した値が０になる場合にΔが最小になる。よって、数式４を得ることができる。

セッティングエラーはＺｅｒｎｉｋｅ多項式の第１項から４項までとしたので（Ｍ＝４としたので）、ａ^１ _ｊは４種類（ｊ＝１，２，３，４）ある。同様にａ^２ _ｊ、ａ^３ _ｊ及びａ^４ _ｊも４種類ある。システムエラーを表現するＺｅｒｎｉｋｅ多項式の上限項数Ｌを３６とすれば、ｂ_ｋは３２種類ある（ｋ＝５，６，・・・，３６）。そのため、数式４から、４×４＋３２＝４８次元の連立方程式を得ることができる。連立方程式を数式５のように行列方程式で記述する。

ただし、Ｙは４８行１列のベクトル、Ｚは４８行４８列の行列、Ａは４８行１列のベクトルである。ＹとＺは数式４から求めることができる。Ａは未知数を表す。

Ｙを具体的に書くと、数式６のようになる。

Ｚを具体的に書くと、数式７のようになる。

数式７において、上付き文字のＴは転置行列を表す。Ｚ_ｉ，ｊは、Ｍ行Ｍ列の行列で、この例では４行４列の行列である。ｉ≠ｊのとき、Ｚ_ｉ，ｊのｓ行ｔ列成分は、数式８のようになる。

ｉ＝ｊのとき、Ｚ_ｉ，ｉのｓ行ｔ列成分は、ｋ≦Ｎを定義し、数式９のようになる。

Ｓ_ｉは、Ｍ行（Ｌ−Ｍ）列の行列で、Ｓ_ｉのｓ行ｔ列成分は、数式１０のようになる。

Ｓは、（Ｌ−Ｍ）行（Ｌ−Ｍ）列の行列で、Ｓのｓ行ｔ列成分は、数式１１のようになる。

Ａを具体的に記述すると、数式１２のようになる。

未知数Ａを求めるには数式５を解けばよい。数式５を解くには、数式５の両辺にＺの逆行列をかければよい。しかし、行列Ｚには逆行列が存在しない。すなわち、行列Ｚの行列式が０、もしくは、無限大になってしまう。この原因は、測定誤差をＺｅｒｎｉｋｅ多項式で表現したことに起因する。

以下では、数式５を解く方法を紹介する。行列Ｚを特異値分解すると、数式１３を得る。

ここで、†は転置共役（アジョイント）を表し、Ｕはユニタリー行列、Ｓは対角行列である。逆行列を表すために、−１を用いれば、Ｕ^−１＝Ｕ^†の関係がある。Ｖには、Ｖ^†Ｖが単位行列になるという特徴がある。これが特異値分解の特徴である。特異値分解を用いれば、行列Ｚの擬似逆行列（Ｐｓｅｕｄｏ−ｉｎｖｅｒｓｅ ｍａｔｒｉｘ）Ｚ’を数式１４のように求めることが出来る。

数式１４を用いて数式５を解くには、数式１５を実行すればよい。

数式１５を用いることで、Ａを求めることができる。すなわち、セッティングエラーとシステムエラーを補正するためのＺｅｒｎｉｋｅ多項式の係数を求めることができる。

ただし、擬似逆行列を用いれば必ず方程式が解けるとは限らない。例えば、セッティングエラーが小さいときは数式１５からセッティングエラーとシステムエラーを補正することができる。しかし、セッティングエラーが大きくなると、数式１５を用いてもセッティングエラーとシステムエラーを補正することができない場合がある。セッティングエラーを小さくするにはステージＳＴＧの位置決め精度を向上させなければならない。ステージＳＴＧの位置決め精度を向上させるには、ステージを大型化させる必要があるが、コストが高価になり好ましくない。

そこで、以下ではセッティングエラーが大きくても、セッティングエラーとシステムエラーとを補正する方法を説明する。本発明者は、セッティングエラーが大きいときに数式１５が正しく解けない場合を検討した結果、システムエラーにＺｅｒｎｉｋｅ多項式の第５項と第６項が入っていることが原因だということを突き止めた。そこで、数式１を以下の数式１６に置き換える。

通常、数式１６においてＭ＝４である。数式１と数式１６の違いは、数式１ではＺｅｒｎｉｋｅ多項式の第Ｍ＋１項以上をシステムエラーとみなしていることに対し、数式１６ではＺｅｒｎｉｋｅ多項式の第７項以上をシステムエラーとみなしていることである。

数式１６を用いて数式５を導出する。その後、数式１５を用いればセッティングエラーとシステムエラーを補正することが可能となる。ただし、システムエラーの成分の中で、Ｚｅｒｎｉｋｅ多項式の第５項と第６項に依存する成分は補正できない。以下では、簡単のため、システムエラーの成分の中でＺｅｒｎｉｋｅ多項式の第５項と第６項に依存する成分を、システムエラーのアス成分と呼ぶ。システムエラーのアス成分は、関数表記では、ｘとｙの２次関数である。具体的には、Ｚｅｒｎｉｋｅ多項式の第５項はｘ^２−ｙ^２であり、Ｚｅｒｎｉｋｅ多項式の第６項は２ｘｙである。よって、アス成分といえば、ｘとｙの２次関数である。なお、Ｚｅｒｎｉｋｅ多項式の７項以上をｘとｙであらわせば、ｘとｙの３次以上の関数である。

システムエラーのアス成分を除去するには別の方法が必要となる。その方法の一例を図４を用いて説明する。図４では、被検物Ｔと部分領域（測定範囲）Ｓ’の向きの関係を示すために三角形のマークをつけてある。初めに、図４（ａ）の状態で部分領域Ｓ’における被検面の形状Ｗを計測する。次に、図４（ｂ）のように被検物Ｔを光軸周りに角度αだけ回転させる。図４（ｂ）では、αを９０度とした。この状態で部分領域Ｓ’における被検面の形状Ｗ’を計測する。回転時にステージＳＴＧの位置決め誤差があり、かつ、干渉計Ｋのシステムエラーがあるため、通常はＷとＷ’は一致しない。

Ｗ’−ＷをδＷとし、δＷをＺｅｒｎｉｋｅ多項式でフィッティングする。フィッティング結果のＺｅｒｎｉｋｅ多項式の第５項をＷ_５、第６項をＷ_６とする。このとき、システムエラーの第５項ｂ_５と第６項ｂ_６は、数式１７で求めることができる。

ただし、αは１８０度の整数倍以外に設定する必要がある。数式１７は被検物Ｔの被検面が平面でも球面でも適用可能である。

算出したセッティングエラーとシステムエラーをａ’^ｉ _ｊ、及び、ｂ’_ｋとする。測定により得られた被検面の形状データを補正するには、以下の数式１８を用いれば良い。

そして、補正後の形状データΨ_ｉをつなぎ合わせる。Ｓｉ領域における被検面の形状データにおいて、データが存在する領域を１、データが存在しない領域を０とした関数をｆ_ｉとする。ｆ_ｉを足し合わせたＦを数式１９のように定義する。

例えば、Ｆ＝２の領域は２つの形状データが重なっていることを意味し、Ｆ＝３の領域は３つの形状データが重なっていることを意味する。Ｆを用いれば、被検面の各部分領域のおける形状を繋ぎ合わせ全体形状Ψは、数式２０で与えられる。

数式２０を用いれば、形状データが重なっている領域では平均化効果でランダムノイズや、干渉計Ｋの再現性などの誤差の影響を低減できる。さらには、平均化効果で、繋ぎ合わせ部分の段差を低減することができる。

以上をまとめて、本実施形態におけるスティッチング方法を図５を用いて説明する。ステップＳ１０１では、被検面の形状データ等を取得する。コンピュータＰＣは、ステージＳＴＧに制御信号を送信し、ステージＳＴＧが被検物Ｔを第１の位置に移動する。干渉計Ｋの撮像素子Ｃは、コンピュータＰＣの制御信号に従い、干渉縞の撮像を行い、撮像データをコンピュータＰＣに送信する。なお、干渉縞の撮像を複数回行い、複数の撮像データをコンピュータＰＣに送信してもよい。コンピュータＰＣは撮像データを演算処理し、被検面の一部の測定範囲における形状データを算出する。

次に、被検物Ｔの位置を変えることで被検面の測定範囲を変え、同様に形状データを算出する。なお、被検面の測定範囲は、少なくとも他の測定範囲の１箇所と重なるように設定する。すなわち、被検面の一部を測定範囲に設定して、複数の測定範囲において各測定範囲が少なくとも１つの他の測定範囲と重なり領域を形成するように被検面の形状を測定する。被検面の測定範囲（被検物Ｔの位置）Ｎ箇所について、以上の操作を繰り返し、被検面の各測定範囲における形状データをＮ個取得する。そして、コンピュータＰＣは、形状データとステージＳＴＧ（被検物Ｔ）の位置をＮ組分、記憶部に記憶する。

さらに、コンピュータＰＣは、システムエラーのアス成分を算出するためのデータも取得する。システムエラーのアス成分を算出するには、被検物Ｔを光軸回りに回転させて複数枚の形状データを算出する必要がある。ここでは、Ｐ個（Ｐ＞１）のデータを取得する。コンピュータＰＣの記憶部は、光軸回りの回転角度と形状データをＰ組分記憶する。

ステップＳ１０２では、ステップＳ１０１で取得したシステムエラーのアス成分算出用のデータからシステムエラーのアス成分を算出する。ステップＳ１０３では、各測定範囲における形状データをつなぎ合わせるため、セッティングエラーとシステムエラーを補正する係数を算出する。まず、記憶部からＳ１０２において得られた各測定範囲における形状データを読み出し、数式１６を用いて導かれる数式５の行列方程式に、Ｚｅｒｎｉｋｅ多項式の各項のデータ（Ｚ）と、Ｓ１０２において得られた各測定範囲における形状データとを代入する。そして、数式１３〜１５のように、行列Ｚを特異値展開し、擬似逆行列を求め、数式１５を用いてセッティングエラーとシステムエラーを補正する係数Ａを算出する。

ステップＳ１０４では、被検面の各部分領域における形状データを補正する。すなわち、数式１８に基づき、各形状データを対象としてセッティングエラーとシステムエラーを補正する。ステップＳ１０５では、ステップＳ１０４でセッティングエラーとシステムエラーを補正したデータを、数式２０を用いてつなぎ合わせる。すなわち、補正後の各部分領域における形状データを用いて、複数の測定範囲における被検面の形状を算出する。

ステップＳ１０６では、つなぎ合わせにより発生した段差（データの不連続性）を除去するかどうか判別する。判断基準は、つなぎ合わせた結果を見て決めても良いが、段差が事前に決められた閾値以上であるならば、段差を除去するというように設定してもよい。ステップＳ１０６で段差を除去するのであれば、処理をステップＳ１０７へ進める。段差を除去しないのであれば、処理を終了する。ステップＳ１０７では段差を除去する。すなわち、段差が発生する領域を検出し、その領域で段差を除去する。除去した領域をデータ補間する。段差の除去に関しては実施例１で詳しく説明する。以上で、全ての処理を終了する。

本実施形態によれば、従来の最適化ループが不要となり、比較的簡単な演算処理で測定誤差を補正してスティッチングを行うことができる。また、システムエラーとしてＺｅｒｎｉｋｅ多項式の第７項以上（ｘとｙの３次以上の関数）を設定することで、セッティングエラーが大きくてもシステムエラーを除去することが可能となる。さらに、数式２０による平均化効果で、つなぎ合わせ誤差の低減を実現している。さらに、後の実施例で詳しく説明するように、繋ぎ合わせ時に発生する段差を除去する方法も有する。

さらに、本実施形態によれば、基準となる部分形状を必要としない。非特許文献２に記載の発明では、数式５の方程式を解くために、ある１つの基準となる部分形状を選択する必要がある。例えば、上述の例で、非特許文献２に記載の発明によれば、基準となる部分形状を第二の部分形状としたとき、数式１２は、以下の数式２１で表される。なお、基準となる部分形状のセッティングエラーは補正しない。数式５及び数式２１を用いると方程式を解くことができる。

しかし、本発明によれば、特異値展開を用いることで基準となる部分形状がない場合でも数式５の方程式が解けるようになった。

以下、本発明の実施例を説明する。

本実施例では、被検物を平面ミラーとしてスティッチングをした結果を示す。平面ミラーの被検面の形状を図６（ａ）に示す。色の濃淡が被検面の凹凸を示している。被検面の長辺の長さは１ｍを越す大型のミラーである。なお、図６（ａ）に示す実際の被検面の形状と理想的な平面との誤差は２０６．５ｎｍＲＭＳである。図６（ｂ）は、直径８００ｍｍの参照球面波形成レンズＴＳを用いて、被検面を５つの部分領域Ｓ’１乃至Ｓ’５に分割して測定する様子を示した図である。白線が各測定における測定領域である。本実施例では、Ｎ＝５である。

５つの部分領域Ｓ’１乃至Ｓ’５において被検面形状の計測を行うと、ステージＳＴＧの位置決め誤差（セッティングエラー）と干渉計の誤差（システムエラー）があるために、実際の被検面の形状に当該誤差が加算された形状が計測される。当該誤差を含む計測結果を図７（ａ）乃至（ｅ）に示す。図７（ａ）、（ｂ）、（ｃ）、（ｄ）及び（ｅ）は、それぞれ順に部分領域Ｓ’１、Ｓ’２、Ｓ’３、Ｓ’４及びＳ’５における計測結果を示す。

図７の計測データを用いて、数式５に基づいてセッティングエラーとシステムエラーを算出する。そして、算出されたセッティングエラーとシステムエラーを用いて、数式１８に基づきΨ_ｉ（ｘ−ｘ_ｉ，ｙ−ｙ_ｉ）を算出する。数式２０に記載のΨ（ｘ、ｙ）の分母（Ｎ＝５）を図８（ａ）に示し、数式１９のＦ（ｘ，ｙ）を図８（ｂ）に示す。これらのデータを用いて、数式２０に基づき、部分形状をつなぎ合わせた全体形状Ψを図８（ｃ）に示す。図６（ａ）に示す実際の被検面の形状と、図８（ｃ）に示す算出された被検面の全体形状との誤差は、９．２ｎｍＲＭＳであった。十分な精度でスティッチできていることがわかる。

なお、セッティングエラーとシステムエラーを除去できずに、部分形状のつなぎ目に段差が残る場合がある。以下では、段差を除去する方法を説明する。Ｆ（ｘ，ｙ）を２回微分（ラプラシアン）すれば、部分形状のつなぎ目（段差）を検出することができる。つなぎ目近傍の領域を検出した結果を図９（ａ）に示す。図９（ａ）において、値が１の箇所（白色部分）が、段差が発生する箇所を示している。算出された全体形状のデータ（図８（ｃ））から、図９（ａ）のデータにおいて値が１の領域を削除する。その後、削除した領域のデータを補間すれば段差を除去することができる。

次に、データの補間方法を説明する。まず、図８（ｃ）のデータから図９（ａ）で値が１の領域を削除したデータをフーリエ変換し、空間周波数が低い成分を取り出したのち、逆フーリエ変換する。そして、逆フーリエ変換したデータを図９（ａ）で値が１の領域にはめ込む。さらに、そのデータに対して再びフーリエ変換をし、空間周波数が低い成分を取り出したのち、逆フーリエ変換する。逆フーリエ変換したデータを図９（ａ）で値が１の領域にはめ込む。上記手順を繰り返すことで、データの補間が可能となる。

データの補間を完了し、図８（ｃ）のデータから段差を除去した結果を図９（ｂ）に示す。図８（ｃ）と図９（ｂ）において、ｙ＝１３０ｍｍにおける断面図を示したのが図９（ｃ）である。図９（ｃ）の点線は段差除去前の断面図（図８（ｃ））で、実線は段差除去後の断面図（図９（ｂ））である。段差除去前は数ｎｍの段差があったが、上記の段差除去方法により段差が消えていることがわかる。

次に、求められた被検面の全体形状のデータを用いて、被検面を加工する方法を説明する。まず、被検面の全体形状を測定する。そして、全体形状のデータに段差がある場合は段差除去を行う。段差を含む測定データをもとに被検面の修正加工を行うと悪影響を及ぼすため、段差がないことが好ましいからである。そして、段差除去を行って得られたデータと、理想的な加工形状（設計値）との差分を求め、加工用データとする。そして、加工データを用いて、該差分がなくなるように加工機で被検面を加工する。以上の加工方法によれば、高精度に被検面を加工することができる。また、従来では作成が困難であった光学部品の作成が可能となる。

本実施例では、レンズなどの球面形状の光学素子をスティッチした結果を示す。干渉計を用いて球面の部分形状を測定してスティッチすることは、平面形状のスティッチに比べて複雑である。図１０（ａ）に、被検面の形状、及び、被検面を１３の部分領域Ｓ”１乃至Ｓ”１３に分割して測定する様子を示す。

ステージＳＴＧが６軸ステージであって位置決め誤差がないとしたとき、部分領域Ｓ”１３における部分形状として図１０（ｂ）に示すデータが得られる。ただし、６軸ステージは高価であるため、本実施例ではより安価な５軸ステージを用いる。５軸ステージとは、ｘｙｚステージと、ｘ軸回りの回転機構、及び、ｙ軸回りの回転機構を備えたステージである。５軸ステージを用いて部分領域Ｓ”１３を計測するには、初めにｘ軸回りに被検物を傾け、その後ｚ軸回りに被検物を回転させる。ステージＳＴＧの位置決め誤差がないとしたとき、部分領域Ｓ”１３における部分形状として図１０（ｃ）に示すデータが得られる。

本来ならば図１０（ｂ）のような計測結果を得たいのであるが、５軸ステージを用いることによって、図１０（ｃ）のような計測結果が得られてしまう。よって、図１０（ｃ）の計測データを回転させて図１０（ｂ）のデータに変換する必要がある。これが５軸ステージ特有の処理である。

球面形状を干渉計で測定するときにも特有の処理が存在する。干渉計を用いると、被検物のｘ座標、ｙ座標が等間隔になるようにデータが取得される。図１１を用いて説明する。被検物は半径１０ｍｍ、直径１８ｍｍの球面である。図１１は、被検物のｙ＝０断面を干渉計で測定したときの測定点を示している。ｘ＝０の位置にある測定点と隣り合う測定点の、ｘ座標の間隔をｘ１、球面上の間隔をｄ１とする。ｉ番目の測定点と（ｉ＋１）番目の測定点の、ｘ座標の間隔をｘ２、球面上の間隔をｄ２とする。図１１を見るとわかるように、干渉計では、ｘ１とｘ２が等しくなるように設計されている。しかし、被検物は球面であるため、球面上の距離ｄ１とｄ２は異なっている。

次に、ｉ番目の測定点がｘ＝０に対応するように被検物をｙ軸回りに回転させる。回転させた状態で形状を測定すると、ｉ番目の測定点と、（ｉ＋１）番目の測定点のｘ座標の間隔はｘ１のままであるが、球面上の間隔はｄ１になってしまう。結果として、回転前後で球面上の計測点が異なってしまう。そのため、回転前後で計測点を一致させる必要がある。通常は、形状データをデータ補間すればよい。このように、回転前後で計測点を一致させることを本明細書では座標変換と呼ぶ。

球面形状をスティッチングするには、計測データの座標変換が必要となる。さらに、５軸ステージを用いたときはデータを回転させる必要がある。計測データを座標変換、及び、回転させる必要があるので、各部分形状におけるシステムエラーも座標変換、及び、回転させる必要がある。すなわち、数式１、数式１６、もしくは、数式１８に記載されているＺｅｒｎｉｋｅ多項式を座標変換、及び、回転させる必要がある。

以上の処理を経て、図１０（ａ）に示す被検物を部分領域ごとに測定し、本実施形態で説明したスティッチング方法を用いて全体形状を算出した結果を示す。ステージＳＴＧには数μｍの位置決め誤差があり、干渉計Ｋには約８．５ｎｍＲＭＳのシステムエラーがあるとする。本実施例では、干渉計Ｋが持つシステムエラーのうち、Ｚｅｒｎｉｋｅ多項式の第５項から３６項までを補正係数として算出した。すなわち、数式１６でＬ＝３６とした。図１２（ａ）は、実際の干渉計のシステムエラーのＺｅｒｎｉｋｅ多項式係数と、本実施例に基づき算出したシステムエラーのＺｅｒｎｉｋｅ多項式係数を示す。干渉計が持つシステムエラーが十分な精度で算出されていることがわかる。システムエラーを補正した後、スティッチングすると結果は図１２（ｂ）のようになった。被検面とスティッチ結果の差は、約５．２ｎｍＲＭＳであった。被検面は、理想的な球面形状から約１００ｎｍＲＭＳずれていたので、十分な精度を達成していると言える。さらに精度を上げるには、より高次までシステムエラーを補正すれば良い。例えば、数式１６において、Ｌ＝１６９とすればさらに高精度なスティッチングが可能となる。さらに、実施例１のように段差を除去してもよい。

上記の実施例では、Ｚｅｒｎｉｋｅ多項式で測定誤差を表現してきたが、別の多項式を用いてスティッチングした例を説明する。計測装置、被検物及び測定データは実施例１と同じとする。

測定誤差を表現する多項式として、ｘｙ多項式をＧｒａｍ−Ｓｃｈｍｉｄｔの方法で規格化し、参照球面波形成レンズＴＳの有効円形領域で直交する関数を用いた。図１３（ａ）乃至（ｉ）はそれらの直交関数の第１項から第９項までを示している。ここで、ｘｙ多項式は、第１項が１、第２項がｘ、第３項がｙ、第４項がｘ^２、第５項がｘｙ、第６項がｙ^２、第７項がｘ^３、第８項がｘ^２ｙ、第９項がｘｙ^２、第１０項がｙ^３、として以下同様に定義している。

以上の多項式を用いてスティッチした結果は図１４のようになる。図６（ａ）に示す被検面の実際の形状と、図１９に示す形状との差分をとったところ、８．８ｎｍＲＭＳであった。十分な精度でスティッチできていることがわかる。

本実施形態によれば、平面、球面のみならず非球面もスティッチ可能である。非球面を測定する場合は、多くの小部分領域を設定して形状を測定する必要がある。また、測定系は干渉計でなくてもよい。いわゆる接触式の測定系も適用可能である。

また、本発明は上述の実施形態の機能を実現するソフトウェア（プログラム）をネットワーク又は各種記憶媒体を介してシステム又は装置に供給し、そのシステム又は装置のコンピュータ（ＣＰＵ等）がプログラムを読み出して実行することでも実現される。

Ｋ 干渉計
ＳＴＧ ステージ
ＰＣ コンピュータ

Claims (7)

1. 被検面の形状を測定する測定部と、前記測定部による測定データを用いて前記被検面の形状を算出する算出部とを有する計測装置において、
   前記測定部は、前記被検面の一部を測定範囲に設定して、複数の測定範囲において各測定範囲が少なくとも１つの他の測定範囲と重なり領域を形成するように前記被検面の形状を測定し、
   前記算出部は、
   前記測定部による前記各測定範囲の測定データを読み出し、
   前記測定範囲の設定毎に係数の値が定められる項と各測定範囲の設定に依らず係数の値が定められる項とを含む多項式で各測定における測定誤差を表すことによって、かつ、前記重なり領域における各測定データに対して最小２乗法を用いることによって得られる前記多項式の各係数についての行列方程式に、前記重なり領域における前記多項式の各項のデータ及び前記各測定データを代入し、
   データが代入された前記行列方程式について特異値分解を行うことにより前記多項式の各係数の値を求め、
   該求められた各係数を用いて前記各測定範囲の測定データを補正し、該補正された測定データを用いて前記複数の測定範囲における前記被検面の形状を算出することを特徴とする計測装置。
2. 前記算出部は、該補正された前記各測定範囲の測定データを繋ぎ合わせたことによりデータの段差の発生する領域を検出し、前記段差が検出された領域のデータを削除してデータの補間を行うことを特徴とする請求項１に記載の計測装置。
3. 前記行列方程式において、前記各測定範囲の設定に依らず係数の値が定められる項のうち、直交座標系の座標軸をｘ及びｙとすると、ｘとｙの２次の項を除くことを特徴とする請求項１に記載の計測装置。
4. 請求項１に記載の計測装置によって得られた前記被検面の形状のデータを用いて、前記被検面を加工することを特徴とする加工方法。
5. 被検面の形状をコンピュータに算出させるプログラムにおいて、
   前記被検面の一部を測定範囲に設定して複数の測定範囲において前記被検面の形状を測定する際に各測定範囲が少なくとも１つの他の測定範囲と重なり領域を形成するように測定することによって得られる、前記各測定範囲の測定データを読み出すステップと、
   各測定範囲の設定に対応して係数の値が定められる項と各測定範囲の設定に依らず係数の値が定められる項とを含む多項式で各測定における測定誤差を表すことによって、かつ、前記重なり領域における各測定データに対して最小２乗法を用いることによって得られる前記多項式の各係数についての行列方程式に、前記重なり領域における前記多項式の各項のデータ及び前記各測定データを代入するステップと、
   データが代入された前記行列方程式について特異値分解を行うことにより前記多項式の各係数の値を求めるステップと、
   該求められた各係数を用いて各測定範囲の測定データを補正し、該補正された測定データを用いて前記複数の測定範囲における前記被検面の形状を算出する算出ステップとをコンピュータに実行させることを特徴とするプログラム。
6. 前記算出ステップにおいて、該補正された前記各測定範囲の測定データを繋ぎ合わせたことによりデータの段差の発生する領域を検出し、前記段差が検出された領域のデータを削除してデータの補間を行うことを特徴とする請求項５に記載のプログラム。
7. 前記行列方程式において、前記各測定範囲の設定に依らず係数の値が定められる項のうち、直交座標系の座標軸をｘ及びｙとすると、ｘとｙの２次の項を除くことを特徴とする請求項５に記載のプログラム。