JPH08155524A - 熱間圧延における鋼板先端部の温度予測方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【目的】 鋼板先端部における内部温度の予測を、２次
元熱伝導方程式に基づきこれを簡易な計算で解析するこ
とで、圧延ラインでのセットアップの精度向上を図った
熱間圧延における鋼板先端部の温度予測方法を提供する
こと。 【構成】 鋼板の厚さ方向の位置ｘと長手方向の位置ｙ
とを独立変数とする２次元熱伝導方程式∂Ｔ／∂ｔ＝ａ
〔（∂² Ｔ／∂ｘ² ）＋（∂² Ｔ／∂ｙ² ）〕を、鋼板
の厚さ方向における温度勾配ならびに長手方向における
温度勾配と、鋼板の上面における抜熱条件ならびに端面
における抜熱条件と、を境界条件として解き、これに初
期条件を与えて２次元温度予測モデルを構築し、この２
次元温度予測モデルに基づいて鋼板先端部の温度を予測
する。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【産業上の利用分野】本発明は、熱間圧延における鋼板
先端部の温度を予測する方法に関する。

【０００２】

【従来の技術】圧延ラインにおける鋼板の板厚，平坦度
等の制御は、一般に自動板厚制御（autmatic gauge con
trol；略称ＡＧＣ）により行われている。この自動板厚
制御は、鋼板の圧延方向の板厚をＸ線厚み計あるいはゲ
ージメータ等により検出し、この検出結果と所望の板厚
との間に差があれば、その偏差信号に基づき圧延機のロ
ールの圧下位置あるいはスタンド間の張力を変更して板
厚を制御するフィードバック制御である。したがって、
この自動板厚制御では、フィードバック制御を基本とし
ているため、特に鋼板先端部がロールに噛み込まれる時
点での板厚の制御を行うことができず、それゆえ、この
ような鋼板先端部の板厚は、当該鋼板先端部の内部温度
を推定し、この推定温度に基づき前記ロールの圧下位置
あるいはスタンド間の張力を変更することにより制御し
ている。

【０００３】そこで、上記内部温度の予測に当たって
は、従来特開昭６４─５６１７号公報や特開平５─５０
１２８号公報に開示されたような方法がある。すなわ
ち、特開昭６４─５６１７号公報の『熱間圧延材の温度
測定方法』は、圧延機の入側に設置した第一温度計及び
前記圧延機と第一温度計との間に設置した第二温度計の
測定温度結果と、これら第一，第二温度計間の鋼板移動
時間とに基づき、伝熱差分方程式を解くことで圧延鋼板
の板厚方向の平均温度を求めるものである。また、特開
平５─５０１２８号公報の『熱間圧延における鋼板の圧
延温度予測方法』は、熱伝導方程式に基づく連立偏微分
方程式を解くことにより、圧延工程における冷却形態の
みに支配される鋼板板厚方向の第一温度分布と、鋼板内
の復熱挙動を表す鋼板板厚方向の第二温度分布とを求
め、この二つの温度分布を重畳することで鋼板板厚方向
の圧延温度を推定するものである。

【０００４】

【発明が解決しようとする課題】しかしながら、上述し
たような従来の方法は、鋼板の板厚方向の温度分布のみ
を計算して内部温度を推定するものであるため、鋼板の
長手方向の温度分布を全く考慮しておらず、鋼板先端部
と、当該先端部より長手方向奥側における部分とで、同
一の温度分布を推定していることになる。そして、鋼板
の長手方向の温度分布は、実際には一様でないにもかか
わらず一様と見なすため、鋼板先端部の予測温度は誤差
が増大してしまう。このことから、鋼板先端部における
内部温度の高精度な推定が困難となり、したがって圧延
機のスタンドの速度，ロール及びサイドガイドの開度等
の設定をするセットアップの精度が低下してしまうとい
った問題点があった。

【０００５】本発明は、上記の問題に着目してなされた
ものであり、その目的は、鋼板先端部における内部温度
の予測を、２次元熱伝導方程式に基づきこれを簡易な計
算で解析することで、圧延ラインでのセットアップの精
度向上を図った熱間圧延における鋼板先端部の温度予測
方法を提供することにある。

【０００６】

【課題を解決するための手段】本発明の熱間圧延におけ
る鋼板先端部の温度予測方法は、熱伝導方程式と、その
境界条件と、初期条件と、に基づき鋼板先端部の温度を
予測する方法において、前記熱伝導方程式は、鋼板の厚
さ方向の位置と長手方向の位置とを独立変数とする２次
元熱伝導方程式であることを特徴としている。

【０００７】

【作用】本発明の熱間圧延における鋼板先端部の温度予
測方法によれば、鋼板の厚さ方向の位置と長手方向の位
置とを独立変数とする２次元熱伝導方程式と、その境界
条件と初期条件とに基づいて鋼板先端部の温度を推定す
る。具体的には、例えば鋼板の厚さ方向における温度勾
配ならびに長手方向における温度勾配と、鋼板の上面に
おける抜熱条件ならびに端面における抜熱条件と、を境
界条件として前記２次元熱伝導方程式を解いて２次元熱
伝導解析モデルを得るとともに、この２次元熱伝導解析
モデルに初期条件（２次元熱伝導解析モデルにおいて時
間変数を零としたもの）を与えることにより２次元熱伝
導解析解を得る。そして、この２次元熱伝導解析解から
２次元温度予測モデルを構築し、この２次元温度予測モ
デルに基づいて鋼板先端部の温度を予測する。このよう
な方法では、２次元温度分布，つまり鋼板の厚さ方向と
長手方向とに基づく温度分布が得られることになり、こ
れによって一層精度良く鋼板先端部の温度を予測するこ
とが可能となる。

【０００８】

【実施例】以下、本発明の実施例について詳細に説明す
る。本実施例では、圧延ラインにおけるセットアップ，
つまりスタンドの速度，ロール及びサイドガイドの開度
等の設定をする際に、当該セットアップの高精度化を実
現するため重要な要素となる鋼板先端部の温度を精密に
推定するため、温度計算に２次元熱伝導方程式を適用し
てオンライン圧延温度予測モデルを構築した。以下、こ
のオンライン圧延温度予測モデルの概略を記す。

【０００９】圧延荷重の計算には、以下の（１）式を用
いている。 Ｑ＝ｋｗ〔Ｒ（ｈ₁ −ｈ₂ ）〕^1/2 Ｏ_p ………（１） ここに、 Ｑ ：荷重 [ton] Ｏ_p ：圧下力関数 [-] ｋ ：変形抵抗 [ton/mm²] ｗ ：板幅 [mm] Ｒ ：ロール径 [mm] ｈ₁ ：入側板厚 [mm] ｈ₂ ：出側板厚 [mm] である。

【００１０】変形抵抗ｋの予測には、いくつかの実験式
が提示されているが、冶金学的考察から概念的に表した
一例として、（２）式を示す。 ｋ＝ａ₀ ρ^1/2 ＋ａ₂ 〔Ｑ₀ −κＴln（ａ₁ ｂρ／ε′）〕＋Ｄ₀ ｄ^1/2 ………（２） ここに、 ａ₀ ，ａ₁ ，ａ₂ ，Ｄ₀ ：任意定数 ρ ：密度 Ｔ ：絶対温度 κ ：ボルツマン定数（κ＝1.3804
4 ×10^-23 J/K ） Ｑ₀ ：熱的活性化エネルギ ｂ ：バーガース・べクトルの大き
さ ｄ ：結晶粒径 ε′ ：歪み速度 である。

【００１１】この（２）式によれば、変形抵抗は温度の
関数となっている。これが、前記セットアップ時におけ
る圧延荷重の推定に際して、鋼板の温度の精密な推定が
必要な理由である。そこで、この鋼板先端部の温度計算
に、鋼板の板厚方向の位置と、長手方向の位置とを独立
変数とする２次元熱伝導方程式を適用し、この２次元熱
伝導方程式に基づきオンライン圧延温度予測モデルを構
築していく。

【００１２】すなわち、鋼板先端部内部の熱伝導を、２
次元熱伝導方程式を用いて表すと、以下のようになる。 ∂Ｔ／∂ｔ＝ａ〔（∂² Ｔ／∂ｘ² ）＋（∂² Ｔ／∂ｙ² ）〕 ………（３） ここに、 ｔ：時間 [hr] ｘ：板厚方向の位置 [m] ｙ：長手方向の位置 [m] ａ：温度伝般率 [m²/hr] Ｔ：温度 [ ℃] である。

【００１３】具体的には、図１に示すように、鋼板の板
厚方向中心位置より上側において、板厚方向の位置ｘ
（ｄ[m] ）と、長手方向の位置ｙ（ｌ[m] ）とによって
決定される鋼板先端部の面積に上記（３）式を適用す
る。そして、この（３）式を以下の境界条件にて解いた
ものを２次元熱伝導解析解モデルとする。 ｘ＝ｄにおいて γ（∂Ｔ／∂ｘ）＝−α_s （Ｔ_s −Ｔ_infi）………（４） ｙ＝ｌにおいて γ（∂Ｔ／∂ｙ）＝−α_e （Ｔ_e −Ｔ_infi）………（５） ｘ＝０において γ（∂Ｔ／∂ｘ）＝０ ………（６） ｙ＝０において γ（∂Ｔ／∂ｙ）＝０ ………（７） ここに、 γ ：熱伝導率 [kcal/mhr ℃] α_s ：表面熱伝達係数 [kcal/m²hr℃] α_e ：端部側面熱伝達係数 [kcal/m²hr℃] Ｔ_s ：表面温度 [ ℃] Ｔ_e ：端部側面温度 [ ℃] Ｔ_infi：冷媒温度 [ ℃] である。

【００１４】上記（４），（５）式は、それぞれ鋼板上
部表面，端部側面での抜熱条件（外部への鋼板内部温度
の逃げ）を与え、（６），（７）式は、板厚中心部（ｘ
＝０）及び長手方向基点（ｙ＝０）での温度勾配を０と
している。そして、これら（４）〜（７）式に、２階定
数係数線形偏微分方程式の変数分離法を適用すると、以
下の一般解が得られる。

【００１５】 ここで、μ_m は、板厚方向の温度分布を表す係数であ
り、これは以下の定義のもとに算出される。 μ_m ＝Ｘ_m ／ｄ ………（９ａ） 但し、（９ａ）式中のＸ_m は、次の超越方程式を解くこ
とにより求められる解である。 cot Ｘ_m ＝（γ／α_s ｄ）Ｘ_m ………（９ｂ） 同様に、ν_n は、長手方向の温度分布を表す係数であ
り、 ν_n ＝Ｙ_n ／ｌ ………（１０ａ） としたときの次式の解より求められる。 cot Ｙ_n ＝（γ／α_e ｌ）Ｙ_n ………（１０ｂ） また、λ_mnは、鋼板の板厚方向ならびに長手方向を合わ
せた鋼板温度分布を表す係数であり、上記したμ_m ，ν
_n をもとに次式で表される。 λ_mn ² ＝μ_m ² ＋ν_n ² ………（１１） ここで、（８）式の解析解係数Ａ_mnを求めるためには、
初期条件Ｔ(x,y,0) を与えなければならない。この初期
温度分布として（１２）式を与えることで、２次元熱伝
導解析解を得ることができる。

【００１６】 そして、結局、解は以下のように表現されることになる
（但し、′は初期温度分布を表すパラメータである）。

【００１７】 ここで、Ｘ_m は次式（１４）の根，Ｙ_n は次式（１５）
の根である。 cot Ｘ_m ＝Ｘ_m ／Ｂ_x ………（１４） cot Ｙ_n ＝Ｙ_n ／Ｂ_y ………（１５） また、Ａ_mnは、 ここに、 ＲＸ_mp＝( Ｂ_x ′−Ｂ_x )cosＸ_P ′cos Ｘ_m ／
[(Ｘ_P ′)²−Ｘ_m ²]ＲＳＸ_m ， （Ｂ_x ′≠Ｂ_x のとき） ＲＸ_mp＝０， （Ｂ_x ′＝Ｂ_x ，ｍ≠ｐのとき） ＲＸ_mp＝１， （Ｂ_x ′＝Ｂ_x ，ｍ＝ｐのとき） ＳＸ_m ＝sin Ｘ_m ／（Ｘ_m ×ＲＳＸ_m ） ＲＳＸ_m ＝（Ｂ_x ＋sin²Ｘ_m ）／２Ｂ_x ＲＹ_nq＝( Ｂ_y ′−Ｂ_y )cosＹ_q ′cos Ｙ_n ／
[(Ｙ_q ′)²−Ｙ_n ²]ＲＳＹ_n ， （Ｂ_y ′≠Ｂ_y のとき） ＲＹ_nq＝０， （Ｂ_y ′＝Ｂ_y ，ｎ≠ｑのとき） ＲＹ_nq＝１， （Ｂ_y ′＝Ｂ_y ，ｎ＝ｑのとき） ＳＹ_n ＝sin Ｙ_n ／（Ｙ_n ×ＲＳＹ_n ） ＲＳＹ_n ＝（Ｂ_y ＋sin²Ｙ_n ）／２Ｂ_y ここで、Ｆ_x ，Ｆ_y は、物体に温度波が浸透する程度を
表すフーリェ数であり、Ｂ_x ，Ｂ_y は、物体内部の熱抵
抗に対する物体表面における熱伝達への抵抗を表すビオ
ー数である。また、X ，Y は、ｘ，ｙを無次元化したも
のである。これらの値は以下のようにして求めることが
できる。 Ｆ_x ＝ｋｔ／Ｃ_p ρｄ² ，Ｂ_x ＝α_s ｄ／ｋ，X ＝ｘ／ｄ ………（１７） Ｆ_y ＝ｋｔ／Ｃ_p ρｌ² ，Ｂ_y ＝α_e ｌ／ｋ，Y ＝ｘ／ｌ ………（１８） これら（１２）〜（１８）式によって、Ｔ(x,y,0) から
Ｔ(X,Y,t) へのｔ時間の温度変化を計算することができ
る。そして、さらに以下の変換を行うことで、Ｔ(X,Y,
t) の計算結果を初期の温度分布とし、次回の温度計算
を実行することができる。 Ａ_ij′＝Ａ_ijexp(−Ｘ_i ² Ｆ_x −Ｙ_j ² Ｆ_y ) ， Ｘ_i ′＝Ｘ_i ， Ｙ_j ′＝Ｙ_j ， Ｂ₀ ′＝Ｔ_infi， Ｂ_x ′＝Ｂ_x ， Ｂ_y ′＝Ｂ_y ………（１９） 上式の右辺は今回の計算結果であり、左辺は次回の計算
初期値である。

【００１８】このようにして、鋼板先端部の内部温度を
推定する温度予測モデルが構築された。このような温度
予測モデルによって計算して得られた鋼板先端部の推定
温度と、従来の板厚方向の温度分布のみを用いる温度予
測モデルによって計算して得られた推定温度とを比較し
た結果を図２のグラフに示すが、この図から明らかなよ
うに、本発明による推定温度と従来法による推定温度と
ではその値に差が生じている。これは、従来の温度予測
モデルが、鋼板の長手方向の温度分布を考慮していない
がために、この鋼板先端部の温度と先端部より圧延方向
逆側の鋼板中央部との温度差を誤差として含むからであ
って、本発明の温度予測モデルでは、このような誤差は
解消されているから、温度の推定精度が向上していると
判断することができる。

【００１９】また、任意に抽出した４６本の鋼板につい
て、上記推定温度と鋼板先端部の実測温度との差を調べ
た。その結果、標準偏差σと平均値Ｍとを表１に示す。

【００２０】

【表１】

【００２１】この表から明らかなように、本発明による
温度予測モデルにより推定した鋼板先端部の温度は、実
測温度との差の平均値が−０．２℃である一方、従来の
温度予測モデルにより推定した場合は２９．５℃も差が
生じている。したがって、本発明の温度予測モデルによ
れば、鋼板先端部の温度推定精度を著しく向上させるこ
とができ、これによってセットアップ時の圧延荷重を精
度良く推定することができる。

【００２２】

【表２】

【００２３】また、表２には、任意に抽出した２００本
ずつの鋼板について、本発明を適用してセットアップし
た圧延機により得られた鋼板と、従来法を適用してセッ
トアップした圧延機により得られた鋼板との板厚の誤差
を測定した結果を示す。この表から明らかなように、温
度の推定精度が向上すると、それに対応して圧延される
鋼板の板厚の精度も向上することとなり、したがって本
発明の温度予測モデルによれば、鋼板の板厚精度を向上
させることができ、高品質の鋼板を得ることができる。

【００２４】さらに、所見によれば、本実施例の温度予
測モデルによる推定温度の計算は、従来の推定温度の計
算に対して変数が増加しているため若干多くの時間を要
することになるが、例えば差分モデルによる推定温度の
計算と比較すると、本実施例のように解析解モデルを使
用して計算した場合には、約４０分の１程度の計算量で
行うことができ、温度予測に要する時間を短縮すること
ができる。しかしながら、解析解モデルに限らず、
（３）式を差分式に展開して計算することも実際可能で
ある。また、本発明は、熱延ラインに限らず、板厚，条
鋼ラインへの適用も可能である。

【００２５】

【発明の効果】以上の説明から明らかなように、本発明
の熱間圧延における鋼板先端部の温度予測方法によれ
ば、鋼板先端部の推定温度を極めて簡易な計算により高
精度で算出することができ、これによって、圧延機にお
いては、鋼板の噛み込み時のセットアップを高精度に実
行することができ、したがって鋼板の精度を向上させ、
高品質の鋼板を得ることができるといった効果を奏す
る。

【図面の簡単な説明】

【図１】本実施例で説明した温度予測モデルにおいて、
鋼板先端部の温度計算を行う範囲を示す説明図である。

【図２】本発明に係る２次元熱伝導方程式を用いて推定
した温度と、従来の１次元熱伝導方程式を用いて推定し
た温度とを示すグラフである。

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (51)Int.Cl.⁶ 識別記号 庁内整理番号 ＦＩ 技術表示箇所 Ｂ２１Ｂ 37/18 Ｂ２１Ｂ 37/12 ＢＢＬ 8315−4Ｅ １１１ Ａ

Claims (1)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 熱伝導方程式と、その境界条件と、初期
   条件と、に基づき鋼板先端部の温度を予測する方法にお
   いて、前記熱伝導方程式は、鋼板の厚さ方向の位置と長
   手方向の位置とを独立変数とする２次元熱伝導方程式で
   あることを特徴とする熱間圧延における鋼板先端部の温
   度予測方法。