JP2003347301A

JP2003347301A - 均質化法を用いた構造解析方法及び構造設計方法

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Publication number: JP2003347301A
Application number: JP2002155173A
Authority: JP
Inventors: Chihiro Uchibori; 千尋内堀
Original assignee: Fujitsu Ltd
Current assignee: Fujitsu Ltd
Priority date: 2002-05-29
Filing date: 2002-05-29
Publication date: 2003-12-05

Abstract

(57)【要約】【課題】均質化法を用いた構造解析方法及び構造設計
方法に関し、解析する構造の要素数を低減させて、計算
リソースを節約する。【解決手段】均一な材料中に周期的に異種材料が配置
されている複合材料と前記複合材料に他の材料が接続し
ている構造の構造解析する際に、前記複合材料に均質化
法を適用して同等の弾性定数をもつ均一材に置き換えて
前記複合材料に接続している他の材料中の応力計算を行
う。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】本発明は均質化法を用いた構
造解析方法及び構造設計方法に関するものであり、特
に、均一な材料中に周期的に異種材料が配置されている
複合材料とそれに他の材料が接続している構造において
複合材料に接続している他の材料中の応力計算を行う構
造解析手法に特徴のある均質化法を用いた構造解析方法
及び構造設計方法に関するものである。

【０００２】

【従来の技術】近年の半導体集積回路装置の高集積化、
デバイスの微細化に伴って、配線の微細化の進んでお
り、この様な配線の微細化に伴う信号遅延を抑制するた
めには、配線材料としては低比抵抗のＣｕを、また、層
間絶縁膜としては低誘電率材料、即ち、ｌｏｗ−ｋ材料
の採用が求められている。

【０００３】Ｃｕを配線材料として用いる場合には、適
当な選択エッチングが可能な反応ガスがないため、ＣＭ
Ｐ（化学機械研磨）法を用いることが一般的であるが、
層間絶縁膜を構成するｌｏｗ−ｋ材料はＳｉＯ₂等の通
常の誘電体材料に比べて剛性が低いために、応力等によ
って多層配線構造が耐えられなくなる虞がある。

【０００４】この様な応力による多層配線構造の破壊に
よる断線等の発生を確認するためには、試作を行って検
証すれば良いが、近年、開発から生産までの期間が短く
なっており、この様な試作によるフィードバックに時間
を取れなくなりつつあるため、予めシミュレーションに
よって構造強度を評価する方向にある。

【０００５】従来、この様な層間絶縁膜と配線とからな
る複合材料が用いられている構造設計をシミュレーショ
ンにより行う際には、有限要素法を用いて母材に分散し
ている異種材料、例えば、層間絶縁膜中に分散して埋め
込まれているＣｕビアにも要素を作成して計算する必要
があった。

【０００６】なお、有限要素法とは、解析対象範囲を有
限の要素に分割して離散化し、与えられた境界条件をも
とに近似解を求める方法であり、例えば、構造物の応力
と歪みを求める場合の実際の手順としては、（１）離散
化工程：解析対象範囲を有限の要素に分割（メッシュ切
り）、（２）補間関数の選択工程：各有限要素内での変
位や歪みを近似する補間関数、即ち、要素の種類を選
択、（３）要素剛性マトリックスの導出工程：各有限要
素に働く力と変位を関係づける剛性マトリックスの導
出、（４）全体剛性方程式の合成工程：解析対象物全体
に働く力と変位を関係づけあって方程式の導出、（５）
全体剛性方程式の組替え工程：与えられた境界条件か
ら、既知の外力と既知の変位に関係する項を、例えば、
方程式の右辺に移項し、未知の力と未知の変位に関係す
る項を左辺に移項することにより、既知量から未知変数
を求めやすい連立一次方程式の形に全体剛性方程式を組
み替える、（６）未知力及び未知変位の導出工程：
（５）で得られた全体剛性方程式を解いて、未知の力や
変位を求める。ここにおいて、得られた解が、得られた
境界条件、即ち、与えられた外力や拘束状態に対する構
造物の反力や変位量になる。（７）応力及び歪みの導出
工程：（６）によって得られた反力や変位量から、応力
や歪みを求める、工程よりなる。なお、本発明はこの有
限要素法自体には特徴がなく、通常の手法を採用するも
のであるので、詳細な説明は省略する（必要ならば、詳
しくは、例えば、ＣＡＤ／ＣＡＥ研究会編「ＡＮＳＹＳ
工学解析入門」理工学社刊、参照）。

【０００７】

【発明が解決しようとする課題】ところが、有限要素法
においては、要素の大きさは母材に分散している異種材
料の大きさに律束されるため、配線構造の微細化に伴っ
て要素の大きさが小さくなり且つ要素数が多くなる結
果、巨大な計算リソースが必要となっていた。

【０００８】したがって、本発明は、解析する構造の要
素数を低減させて、計算リソースを節約することを目的
とする。

【０００９】

【課題を解決するための手段】ここで、図１を参照して
本発明における課題を解決するための手段を説明する
が、図１は本発明の原理的構成を示すフロー図である。図１参照上記の課題を解決するために、本発明は、均一な材料中
に周期的に異種材料が配置されている複合材料と前記複
合材料に他の材料が接続している構造の構造解析方法に
おいて、前記複合材料に均質化法を適用して同等の弾性
定数をもつ均一材に置き換えて前記複合材料に接続して
いる他の材料中の応力計算を行うことを特徴とする。

【００１０】この様に、応力計算を厳密に行わなければ
ならない部分以外の複合材料が用いられている構造部に
均質化法を適用することで、その構造部に大きな要素を
形成することができ、それによって、解析する要素数を
減少することができるので、計算リソースの節約を行う
ことができる。

【００１１】この場合、図１に示すように、まず、構造設計をし、次いで、構造中における均質化領域を選択し、次いで、選択した領域に均質化法を適用し、次いで、有限要素法によって全体構造を解析することによって、応力計算を行えば良い。なお、本発明で
言うところに周期性は数学的に厳密な意味での周期性で
はなく、近似計算において問題がない程度の非周期性を
有していても良いものである。

【００１２】また、均質化法の適用に当たっては、複合
材料と同等の物理的挙動を示す均一な材料の弾性定数
を、周期的構造を単位構造としたものに有限要素法を用
いた仮想実験により求めれば良い。

【００１３】この様に、有限要素法を用いた仮想実験に
おいて、実際に測定した物理定数を既知量とし、有限要
素法によって得られた全体剛性方程式に代入して、未知
の力や変位を求めることによって、均質化した複合材料
の弾性定数を実体に近いかたちで求めることができる。

【００１４】なお、解析が複雑になるだけで、均一な材
料中に周期的に異種材料が、二種類或いはそれ以上であ
っても、本発明の対象となるものである。

【００１５】この様な均質化法を適用する好適な対象
は、半導体技術分野において多層配線構造が典型的なも
のであり、したがって、均一な材料は層間絶縁膜を構成
する誘電体材料となり、且つ、異種材料はビアを構成す
る金属材料となり、それによって微細な配線層と剛性の
低いｌｏｗ−ｋ膜からなる多層配線構造の構造安定性を
計算リソースを節約しながら予め予測することが可能に
なる。

【００１６】また、図１においてで示すように、上記
の均質化法を用いた構造解析方法による解析結果に基づ
いて、複合材料に接続している他の材料中の応力が所期
の応力以下になるように構造の設計変更を行うことによ
り、新製品の開発期間を大幅に短縮することができる。

【００１７】

【発明の実施の形態】ここで、図２乃至図７を参照し
て、本発明の実施の形態の均質化法を用いた構造解析方
法を説明する。図２（ａ）参照図２（ａ）は、解析対象となる多層配線構造を説明が簡
単になるようにモデル化したものであり、Ｃｕ平板１２
中にＳｉＯ₂膜１３が周期的に配置された複合材料構造
１１と、ＳｉＯ₂膜１５中にＣｕビア１６が周期的に配
置された複合材料構造１４とを交互に三層重ねた構造を
解析対象とする。

【００１８】この場合、Ｃｕ平板１２は配線層をモデル
的に表すものであり、このＣｕ平板１２は下層のＣｕビ
ア１６と接続した構造であることを前提としており、こ
こでは、例えば、Ｃｕ平板１２中に埋め込まれたＳｉＯ
₂膜１３の一辺は２μｍの長さとする。

【００１９】この様な多層配線構造において最下層のＳ
ｉＯ₂膜１５中に配置されているＣｕビア１６にかかる
応力をそのまま有限要素法を用いて計算する場合の要素
数は、メッシュの切り方によるが、例えば、２１１００
０（２．１１×１０⁵）要素となる。これは、ＳｉＯ₂
膜１５中に配置されているＣｕビア１６に作成する要素
の大きさが小さいため、全体的にも小さな要素を作成し
なければならないためである。

【００２０】図２（ｂ）参照図２（ｂ）は、厳密な応力計算が必要な最下層以外の構
造に均質化法を適用して、同等の機械的挙動を示す均質
化構造１７に置き換えたモデルであり、このモデルによ
り計算を行う場合には、計算に必要な部分のみ小さな要
素を作成すれば良く、均質化構造１７については大きな
要素を作成すれば良いため、全体の要素は７７０００
（７．７×１０⁴）要素しか必要とならず、均質化法を
適用しない場合の約１／３の要素しか必要とせず、その
ため、計算リソースを節約することができる。

【００２１】次に、均質化法を適用してＣｕ平板１２の
中にＳｉＯ₂膜１３が周期的に配置されている複合材料
構造１１と同等の機械的挙動を示すような弾性定数を求
める方法を説明する。図３（ａ）参照図３（ａ）は、図２（ａ）の上層における周期的な構造
を取り出したものであり、この単位構造１８について引
っ張り試験を行い、弾性定数を求める。

【００２２】この単位構造１８を構成している材料が等
方弾性材料の場合、この単位構造は直交異方性材料と同
等の機械的挙動を示すので、求める弾性定数は、下記の
式（１）の行列式で表される７種類の弾性定数Ｅ₁₁，Ｅ
₁₂，Ｅ₁₃，Ｅ₃₃，Ｅ₄₄，Ｅ₅₅，Ｅ₆₆となる。

【数１】

【００２３】図３（ｂ）参照したがって、図３（ｂ）に示すモデルに対しａ、ｂ、ｃ
の各方向の試料を切出し、ａ〜ｃの各方向への引っ張り
試験を行い、応力とひずみの関係を調べれば公知の方法
で各弾性定数を求めることができる。なお、試験片が非
常に小さくて引っ張り試験を行うことが困難な場合には
同等のモデルを作成し、構造解析ソフト等を用いて仮想
引っ張り試験を行うことにより同様の結果が得られる。

【００２４】図４（ａ）参照図４（ａ）はａ方向に切り出した単位構造１８であり、
この単位構造１８に対して仮想試験において、図３
（ｂ）に示すａ方向、即ち、Ｚ方向の引っ張り試験を行
う。この仮想試験において、下記の拘束条件を設定す
る。まず、面₆を、図４（ｂ）及び（ｃ）に示すようにｚ方向に
移動できないように拘束条件を設定する。

【００２５】図４（ｂ）参照図４（ｂ）はｚ−ｘ面を微小メッシュに分割したもので
あり、三角印で示す面 ₆上にある全ての節点を選択し、
ｚ方向に移動できないように設定する。

【００２６】図４（ｃ）参照図４（ｃ）は単位構造に応力加えたのちの変位を示す図
であり、三角印で示す節点は、応力が加わるとｘ方向や
ｙ方向には移動できるが、ｚ方向には移動できない条件
で応力シミュレーションが行われる。

【００２７】また、と同様に、面₅をｙ方向に移動できないように拘束条件を設定す
る。面₄をｘ方向に移動できないように拘束条件を設定す
る。

【００２８】図５（ａ）参照次に、面₃にｚ方向の引っ張り応力をかけるように設定す
る。この時、図５（ａ）に示すように、面₃のｚ方向の
変位が等しくなるように拘束条件を設定する。この様
に、単位構造１８の面₃にｚ方向の引っ張り応力をかけ
ることにより、変位後の単位構造１９は、高さがΔＬだ
け増え、ｙ方向の長さがΔＴだけ縮む。

【００２９】図５（ｂ）参照また、面₁、面₂、面₄、面₅についても各面に垂直な方向
への変位が面内でばらつかないように拘束条件を設定す
る。これは、上記の単位構造の場合には、異種材料が混
在するため、単純に引っ張り試験を行うと材料の違いに
より図に示すように均一に歪まないためである。

【００３０】図５（ｃ）参照そこで、変位が均一になるように節点が等しく移動する
ように、シミュレーションの機能を使って設定すると、
図に示すように節点が等しく移動するため、歪みの計算
が容易になる。

【００３１】次に、ｚ方向のヤング率をＥ_z、引っ張り応力をσ_z、歪み
をε_zとし、単位構造のｚ方向に長さをＬ、ｚ方向の変
位量をΔＬとすると、Ｅ_z＝σ_z／ε_z、 ε_z= ΔＬ／Ｌとなる。また、この時のポワソン比ν_zxは、単位構造の
圧縮後のｘ方向の長さをＴ、ｘ方向の変位量をΔＴとす
ると、 ν_zx＝−ε_x／ε_z、 ε_x= ΔＴ／Ｔとなる。

【００３２】この場合の応力σと歪みεの関係をｚ−ｘ
平面の二次元で表すと、下記の式（２）の行列式で表さ
れる。

【数２】

【００３３】ここで、Ｑ₁₁＝Ｅ_z／（１−ν_zxν_xz）、Ｑ₂₂＝Ｅ_x／（１−ν_zxν_xz）、Ｑ₁₂＝ν_xzＥ_z／（１−ν_zxν_xz）＝ν_zxＥ_x／（１−
ν_zxν_xz）、Ｑ₆₆＝Ｇ_zx で表されるので、ｚ方向に引っ張った時のヤング率Ｅ_z
やポアソン比ν_xz、及び、ｘ方向に引っ張った時のヤン
グ率Ｅ_xやポアソン比ν_zxを代入することによって、Ｑ
₁₁，Ｑ₁₂，Ｑ₂₂の各弾性定数を求めることができる。

【００３４】なお、この式（２）は、上記の式（１）か
らｚ−ｘ平面について取り出したものであり、弾性定数
Ｑ₁₁，Ｑ₁₂，Ｑ₂₂，Ｑ₆₆と、式（１）における弾性定数
Ｅ₁₁，Ｅ₁₂，Ｅ₁₃，Ｅ₃₃，Ｅ₄₄，Ｅ₅₅，Ｅ₆₆との間に
は、Ｑ₁₁＝Ｅ₃₃ Ｑ₂₂＝Ｅ₁₁（＝Ｅ₂₂）Ｑ₁₂＝Ｅ₁₃（＝Ｅ₂₃）Ｑ₆₆＝Ｅ₅₅（＝Ｅ₄₄）の対応関係がある。

【００３５】図６参照次に、図３（ｂ）におけるｃ方向の引っ張り試験を行い、ス
テップと同様の手順を踏むことで求められる。即ち、
図３（ｂ）でｃ方向が引っ張り軸方向になるように、４
５°傾けた向きに試料を切り出して仮想試験を行う。

【００３６】この時の応力とひずみの関係は、下記の式
（３）の行列式で表される。

【数３】なお、Ｘ′Ｙ′Ｚ′座標系は、ＸＹＺ座標系に対して４
５°傾いた関係になる。

【００３７】ここで、この場合の各弾性定数Ｑ₁₁′，Ｑ
₁₂′，Ｑ₂₂′，Ｑ₁₆′，Ｑ₂₆′，Ｑ ₆₆′と、弾性定数Ｑ
₁₁，Ｑ₁₂，Ｑ₂₂，Ｑ₆₆との間には、Ｑ₁₁′＝Ｑ₁₁／４＋（Ｑ₁₂＋２Ｑ₆₆）／２＋Ｑ₂₂／４、Ｑ₁₂′＝Ｑ₁₂／２＋（Ｑ₁₁＋Ｑ₂₂−４Ｑ₆₆）／４、Ｑ₁₆′＝Ｑ₂₆′＝（Ｑ₁₁−Ｑ₂₂）／４、Ｑ₆₆′＝（Ｑ₁₁＋Ｑ₂₂−２Ｑ₁₂）／４の関係がある。

【００３８】したがって、Ｑ₁₁′の式に、上で求めた既
知の弾性定数Ｑ₁₁，Ｑ₁₂，Ｑ₂₂を代入することによっ
て、Ｑ₆₆は、Ｑ₁₁′と既知の値で表されることになる。
そこで、４５°方向に切り出した試料について、引っ張
り試験を行ってＱ₁₁′の具体的数値を求めることによっ
て、弾性定数Ｑ₆₆を具体的な数値として求めることがで
きる。

【００３９】この様にして求めた弾性定数Ｑ₁₁，Ｑ₁₂，
Ｑ₂₂，Ｑ₆₆を用いて、均質化領域を有限要素法を用いて
大きな要素に分割して解析することによって、計算リソ
ースを節約した状態で、必要な部分の応力を精度良く求
めることができる。

【００４０】次に、上記の実施の形態で説明した構造解
析方法を用いて、実際に応力計算を行った結果につい
て、図６及び図７を参照して説明する。図６（ａ）参照図６（ａ）は、実際の応力計算をした対象となる構造の
斜視図であり、図２（ａ）と同様に、Ｃｕ平板２２中に
ＳｉＯ₂膜２３が埋め込まれた複合材料構造２１とＳｉ
Ｏ₂膜２５中にＣｕビア２６が埋め込まれた複合材料構
造２４を交互に積層させて全体として７層としたもので
ある。

【００４１】この場合、実際に有限要素法によって解析
するのは、図において破線で囲んだ計算領域２７であ
り、後は対称条件を用いて全体構造として解析するもの
である。この場合の計算に必要な均質化領域に対応する
領域の要素数、即ち、セル数は６８３８となる。

【００４２】図６（ｂ）参照図６（ｂ）は、実際に計算した応力分布を示した図であ
り、一番重要な解析部分である一番下のＣｕビア２６に
側面にかかる応力は約１．３１×１０⁶Ｐａであり、下
面にかかる応力は約１．０８×１０⁶Ｐａとして求めら
れる。なお、図においては、概略的な応力分布を斜線の
密度で示しており、密度が高いほど応力が高いことを示
している。

【００４３】図７（ａ）参照図７（ａ）は、均質化法を適用した構造の斜視図であ
り、図に示すように、Ｃｕ平板２２中にＳｉＯ₂膜２３
が埋め込まれた複合材料構造２１を均質化の対象とした
ものである。但し、最下層のＣｕ平板２２中にＳｉＯ₂
膜２３が埋め込まれた複合材料構造２１については、重
要な解析部分となるので均質化は適用しない。

【００４４】この場合も、実際に有限要素法によって解
析するのは、図において破線で囲んだ計算領域２７であ
り、後は対称条件を用いて全体構造として解析するもの
である。この場合の計算に必要な要素数、均質化領域２
８については分割するセルを大きくすることができるの
で、均質化領域２８のセル数は２４９５となる。

【００４５】図７（ｂ）参照図７（ｂ）は、実際に計算した応力分布を示した図であ
り、一番重要な解析部分である一番下のＣｕビア２６に
側面にかかる応力は約１．２０×１０⁶Ｐａであり、下
面にかかる応力は約０．９８×１０⁶Ｐａとして求めら
れ、均質化法を適用しない場合とかなり良好な一致性が
見られる。なお、この場合も、図においては、概略的な
応力分布を斜線の密度で示しており、密度が高いほど応
力が高いことを示している。

【００４６】以上説明したように、解析に重要な部分以
外の領域に均質化法を適用することによって、少ない計
算リソースで、均質化法を適用化しない場合と同様のシ
ミュレーション結果を得ることができる。

【００４７】以上、本発明の実施の形態を説明してきた
が、本発明は実施の形態に記載した構成・条件に限られ
るものではなく、各種の変更が可能である。例えば、上
記実施の形態の説明においては、構造解析法としか説明
していないが、この解析結果を構造設計にフィードバッ
クするものである。

【００４８】即ち、構造解析の結果、最下層にかかる応
力が大きすぎて、断線等が発生する虞がある場合には、
ビア構造等に関する設計変形を行ったり、或いは、ＣＭ
Ｐ工程における研磨条件等を変更するものである。

【００４９】また、上記の実施の形態においては、構造
解析対象として多層配線構造としているが、必ずしも多
層配線構造に限られるものではなく、任意の構造に適用
されるものであり、特に、均一な材料中に、異種材料が
周期的に配置された構造物が解析対象として好適とな
り、対象技術分野も半導体技術分野に限られるものでは
ない。

【００５０】また、上記の実施の形態においては、均一
な材料中に配置された異種材料を一種類としているが、
複数種類あっても良いものであり、例えば、同じ層中に
異なった太さの或いは異なった材質からなるビア或いは
ピラーを設けた場合にも適用されるものである。

【００５１】

【発明の効果】本発明によれば、周期的に構造が配置さ
れている複合材料の応力計算に際して、重要な解析対象
領域以外の領域に対して均質化法を用いることにより、
計算リソースを節約しても精度の高い解析を行うことが
可能になり、それによって、短時間での構造設計が可能
になるので、高集積度半導体装置の開発期間を大幅に短
縮することが可能になる。

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明の原理的構成を示すフロー図である。

【図２】本発明の実施の形態における解析対象となる構
造物の斜視図である。

【図３】本発明の実施の形態における均質化法を適用す
る場合の単位構造の説明図である。

【図４】本発明の実施の形態の仮想試験における拘束条
件の設定の説明図である。

【図５】本発明の実施の形態の仮想試験における応力印
加による変位量及び拘束条件の設定理由の説明図であ
る。

【図６】本発明の実施の形態における解析対象となる構
造物と解析結果の説明図である。

【図７】本発明の実施の形態における均質化法を適用し
た場合の解析対象となる構造物と解析結果の説明図であ
る。

【符号の説明】

１１複合材料構造１２Ｃｕ平板１３ＳｉＯ₂膜１４複合材料構造１５ＳｉＯ₂膜１６Ｃｕビア１７均質化構造１８単位構造１９変位後の単位構造２１複合材料構造２２Ｃｕ平板２３ＳｉＯ₂膜２４複合材料構造２５ＳｉＯ₂膜２６Ｃｕビア２７計算領域２８均質化領域

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (51)Int.Cl.⁷ 識別記号ＦＩテーマコート゛(参考）Ｈ０１Ｌ 21/82 Ｗ

Claims

【特許請求の範囲】

【請求項１】均一な材料中に周期的に異種材料が配置
されている複合材料と前記複合材料に他の材料が接続し
ている構造の構造解析方法において、前記複合材料に均
質化法を適用して同等の弾性定数をもつ均一材に置き換
えて前記複合材料に接続している他の材料中の応力計算
を行うことを特徴とする均質化法を用いた構造解析方
法。
【請求項２】上記複合材料と同等の物理的挙動を示す
材料の弾性定数を、周期的構造を単位構造としたものに
有限要素法を用いた仮想実験により求めることを特徴と
する請求項１記載の均質化法を用いた構造解析方法。
【請求項３】上記均一な材料中に周期的に異種材料
が、一種類以上であることを特徴とする請求項１または
２に記載の均質化法を用いた構造解析方法。
【請求項４】上記均一な材料が層間絶縁膜を構成する
誘電体材料であり、且つ、上記異種材料がビアを構成す
る金属材料であることを特徴とする請求項１乃至３のい
ずれか１項に記載の均質化法を用いた構造解析方法。
【請求項５】請求項１乃至４のいずれか１項に記載の
均質化法を用いた構造解析方法による解析結果に基づい
て、上記複合材料に接続している他の材料中の応力が所
期の応力以下になるように構造の設計変更を行うことを
特徴とする構造設計方法。