DE69912046T2

DE69912046T2 - Verfahren und Gerät zur Erzeugung eines Netzes

Info

Publication number: DE69912046T2
Application number: DE69912046T
Authority: DE
Inventors: Takayuki Winchester Itoh; Keisuke Winchester Inoue; Atsushi Winchester Yamada; Kenji Winchester Shimada
Original assignee: Carnegie Mellon University; International Business Machines Corp
Current assignee: Carnegie Mellon University; International Business Machines Corp
Priority date: 1998-08-12
Filing date: 1999-08-10
Publication date: 2004-06-24
Anticipated expiration: 2019-08-11
Also published as: EP0980049A3; JP2000076486A; EP0980049A2; US6124857A; JP3245133B2; DE69912046D1; ATE252257T1; EP0980049B1

Description

Die vorliegende Erfindung betrifft ein Verfahren zum Erzeugen eines Netzes und insbesondere ein Verfahren zum Erzeugen eines Netzes unter Verwendung vierseitiger oder hexaedrischer Blasen.
Das Vernetzen oder die Erzeugung eines Netzes ist ein Prozess zum Aufteilen eines zum Beispiel durch ein CAD-Tool (Computer Aided Design, Computergestützte Konstruktion) erzeugten geometrischen Modells in eine Menge kleiner Elemente. Das Netz kann ein zweidimensionales Netz wie zum Beispiel ein dreiseitiges oder ein vierseitiges Netz sein. Bei einer Computersimulation wie etwa bei der Analyse eines Autozusammenstoßes vermag ein dreiseitiges Netz üblicherweise keine zuverlässige Lösung zu liefern. Demzufolge wird oft ein vierseitiges Netz verwendet. Andererseits werden für die automatische Erzeugung des dreiseitigen Netzes Verfahren wie das Blasennetzverfahren entwickelt, das in den ungeprüften japanischen PatentAnmeldungen Hei 7-230487 und 8-315183 beschrieben wird. Die automatische Erzeugung eines vierseitigen Netzes findet jedoch selten praktische Anwendung. Daher wird ein vierseitiges Netz in den meisten Fällen unter Verwendung eines Verfahrens erzeugt, das riesigen manuellen Aufwand erfordert, beispielsweise mehrere Monate zur Erstellung der CAD-Daten für ein Automobil.
Deshalb besteht ein großer Bedarf an einem Verfahren zur automatischen Erzeugung des vierseitigen Netzes. Außerdem ist es wünschenswert, dass das Verfahren auch die folgenden Forderungen erfüllt:

(1) Möglichst geringe Verzerrung bei den erzeugten vierseitigen Elementen. Bei einer Analyse auf dynamischer Berechnungen wirkt sich ein extrem langes und gestrecktes Element oder ein Element mit einem extrem großen (oder kleinen) Winkel nachteilig auf das Analyseergebnis aus. Daher ist es Idealerweise wünschenswert, dass die Form jedes vierseitigen Elements einem Quadrat möglichst nahe kommt.
(2) Die Orientierungsrichtungen der erzeugten vierseitigen Elemente können beeinflusst werden. Bei einer Analyse auf der Grundlage dynamischer Berechnungen ist es oft wünschenswert, Elemente in einer bestimmten Richtung auszurichten, z. B. in Richtung einer Spannung oder einer Begrenzung von Bereichen des geometrischen Modells. Deshalb ist die Erzeugung eines Netzes wünschenswert, bei dem viele Elemente gleichmäßig in einer durch einen Benutzer festgelegten Richtung ausgerichtet sind.
(3) Die Verteilung der Elementgrößen kann beeinflusst werden. Aus Sicht der Verringerung des Rechenvolumens ist es wünschenswert, an einer wichtigen Stelle feine Netzelemente und an einer weniger wichtigen Stelle grobe Netzelemente zu erzeugen. Plötzliche Änderungen der Elementgrößen erzeugen jedoch eine T-Struktur (einen Zustand, bei dem sich ein Knoten eines angrenzenden Elements auf einer Sehne befindet), was die Analyse nachteilig beeinflusst. Deshalb ist es wichtig, eine Größenverteilung der Netzelemente anzugeben und gleichzeitig sicherzustellen, dass jedes Element durch einen gemeinsamen Knoten und eine Sehne angebunden ist.
(4) Ein komplexes geometrisches Modell mit gekrümmten Flächen kann erfasst werden. Bei einem mittels CAD-Tools konstruierten geometrischen Modell gibt es verschiedene gekrümmte Flächen wie beispielsweise eine begrenzte gekrümmte Fläche, die durch Ausschneiden eines Teils eines gekrümmten Bereichs oder einer extrem verdrehten gekrümmten Fläche erhalten wurde. Es ist wünschenswert, dass selbst bei einem solchen geometrischen Modell mit gekrümmten Flächen ein vierseitiges Netz automatisch erzeugt werden kann.

Das folgende Blasenvernetzungsverfahren kann zur Erzeugung eines vierseitigen Netzes verwendet werden.
Die vier Punkte mit niedrigstem Potenzial werden in Kreuzform um den Mittelpunkt eines sphärischen Objekts angeordnet, mittels einer dynamischen Simulation die Anziehungskraft zu den umgebenden sphärischen Objekten in einer Richtung der Punkte mit dem niedrigsten Potenzial definiert, ein zu vernetzendes Objekt mit den sphärischen Objekten ausgefüllt und der Mittelpunkt des sphärischen Objekts als Knoten verwendet (siehe Itoh, Qamada, Inoue, Shimada und Furuhata, „Automated well-shaped Quadrilateral Mesh Generation Using the Squarely-packing Bubble Mesh Method", Information Processing Graphics and CAD Study Report 96-CG-87, 1997, S. 7 bis 12).
Wenn benachbarte sphärische Objekte zufällig im Mittelpunkt von zwei Punkten mit dem niedrigsten Potenzial angeordnet werden, weist das oben erwähnte Verfahren den Nachteil auf, dass die Anziehungskraft zu den Punkten mit niedrigstem Potenzial ausgeglichen ist und die Objekte fixiert werden, sodass sie nicht zu einer optimalen Position verschoben werden können. Außerdem verwendet ein solches Verfahren sphärische Objekte (kreisrunde oder sphärische Blasen).
Andererseits wurde ein Verfahren zur Umwandlung eines dreiseitigen Netzes in ein vierseitiges Netz entwickelt, welches eine gemeinsame Kante von dreiseitigen Elementen in einer bestimmten Reihenfolge entfernt, um ein Paar angrenzender dreiseitiger Elemente in ein vierseitiges Element umzuwandeln. Wenn dieser Prozess abgeschlossen ist, sind die meisten dreiseitigen Elemente in die vierseitigen Elemente umgewandelt, und ein vierseitiges Netz ist entstanden, das die vierseitigen Elemente und einige wenige dreiseitige Elemente umfasst. Falls ein vierseitiges Netz benötigt wird, welches nur die vierseitigen Elemente umfasst, wird ein Verfahren zur Umwandlung dreiseitiger und vierseitiger Elemente in halb so große vierseitige Elemente verwendet (Literaturstelle 1: Shimada, K., Itoh, T., „Automated Conversion of 2D Triangular Mesh into Quadrilateral Mesh", International Conference on Computational Engineering Science '95, Proceedings, 1995, S. 350 bis 355). Die Qualität des durch diese Umwandlung erzeugten vierseitigen Netzes wird durch die Reihenfolge der umgewandelten Paare angrenzender dreiseitiger Elemente bestimmt. Außerdem kann die Reihenfolge umgewandelter Paare angrenzender dreiseitiger Elemente nach den drei folgenden Typen eingeteilt werden:

(1) Ein Verfahren zur Umwandlung von Paaren angrenzender dreiseitiger Elemente in vierseitige Elemente ausgehend von einem Paar, welches ein Quadrat erzeugt, das einem idealen Quadrat nahe kommt (Siehe Lo, S. H., „Generating Quadrilateral Elements on Plane and Over Curved Surfaces", Computer and Structures, Bd. 31, Nr. 3, 1989, S. 421 bis 426; Borouochaki, H., Frey, P. J. und George, P. L., „Unstructured Triangle-Quadrilateral Mesh Generation, Application to Surface Meshing", Proceedings of 5^th International Meshing Roundtable, 1996, S. 299 bis 242). Während bei diesem Verfahren der Schwerpunkt auf der Verbesserung der geometrischen Gleichmäßigkeit liegt (Erzeugung eines vierseitigen Elements, das einem idealen Quadrat nahe kommt), werden die Beeinflussung der Orientierungsrichtungen (Erzeugung eines vierseitigen Elements mit Seiten, die mit einer vorgegebenen Orientierungsrichtung einen kleinen Winkel einschließen) und die Verbesserung der topologischen Gleichmäßigkeit (Verringerung der Zahl isolierter dreiseitiger Elemente und Umwandlung möglichst vieler dreiseitiger Elemente in vierseitige Elemente) nicht berücksichtigt.
(2) Ein Verfahren, bei dem ständig die Anzahl an jedes dreiseitige Element angrenzender unbearbeiteter dreiseitiger Elemente (Nt) erfasst, die dreiseitigen Elemente entsprechend Nt geordnet und vorzugsweise diejenigen dreiseitigen Elemente zu Paaren zusammengefasst und in vierseitige Elemente umgewandelt werden, bei denen Nt gleich 1 ist (siehe Heighway, E. A., „A Mesh Generator for Automatically Subdividing Irregular Polygons into Quadrilaterals", IEEE Transactions on Magnetics, Mag-19, 1983, S. 2535 bis 2538; Johnston, B. P., Sullivan, J. M. und Kwasnik, A., „Automatic Conversion of Triangle Finite Element Meshes to Quadrilateral Elements", International Journal for Numerical Methods in Engineering, Bd. 31, 1991, S. 67 bis 84). Die Verbesserung der topologischen Gleichmäßigkeit wird berücksichtigt und ein Netz mit einer kleinen Anzahl dreiseitiger Elemente erzeugt. Die Verbesserung der geometrischen Gleichmäßigkeit und die Beeinflussung der Orientierungsrichtungen werden nicht berücksichtigt.
(3) Ein Verfahren, bei dem dreiseitige Elemente in mehreren bandförmigen Flächen zu Gruppen zusammengefasst und in solchen Gruppen möglichst viele angrenzende dreiseitige Elemente zu Paaren vereint werden (siehe oben in Gruppe 1 zitierte Literatur). Dieses Verfahren zielt auf die Verbesserung der topologischen Gleichmäßigkeit und die Beeinflussung der Orientierungsrichtungen ab, führt jedoch nicht immer zu brauchbaren Ergebnissen, da nicht immer geeignete bandförmige Flächen erzeugt werden können. Außerdem können sich die Ergebnisse je nach Realisierungsart stark unterscheiden, da die Bearbeitungsreihenfolge der dreiseitigen Elemente nicht eindeutig festliegt.

Eine weitere Aufgabe der vorliegenden Erfindung besteht darin, ein vierseitiges Netz zu erzeugen.
Eine weitere Aufgabe besteht darin, ein Hexaedernetz zu erzeugen.
Die vorliegende Erfindung umfasst die folgenden Schritte: Eingeben eines zu vernetzenden geometrischen Modells; Erzeugen einer Vielzahl vierseitiger virtueller Objekte (in den Ausführungsarten: vierseitiger Blasen) in einem Bereich des zu vernetzenden geometrischen Modells; Festlegen der stabilen Anordnung der vierseitigen virtuellen Objekte durch Verschieben jedes Objekts mit einer durch Potenzialfelder der angrenzenden vierseitigen virtuellen Objekte definierten Kraft und Speichern der Anordnung in einer Speichervorrichtung sowie Beeinflussen der Anzahl der virtuellen Objekte; Erzeugen eines Netzes durch Verbinden der Mittelpunkte angrenzender vierseitiger virtueller Objekte; und Speichern des erzeugten Netzes in der Speichervorrichtung. Im Fall von drei Dimensionen wird anstelle eines vierseitigen virtuellen Objekts ein virtuelles Hexaederobjekt verwendet. Darüber hinaus kann der Mittelpunkt gleich dem Schwerpunkt sein und umgekehrt.
Das herkömmliche Blasenvernetzungsverfahren besteht darin, dass Blasen, die kreisrunde oder sphärische virtuelle Objekte darstellen, durch dynamische Simulation auf einer Fläche oder innerhalb eines zu vernetzenden Objekts verschoben werden und der Mittelpunkt der stabil angeordneten Blase als Netzknoten verwendet wird. Die vorliegende Erfindung verwendet für dieses virtuelle Objekt ein Viereck oder ein Hexaeder. Die obere Figur in 1 zeigt ein vierseitiges Netz, das mit fetten Linien dargestellte ideale Quadrate und das in gestrichelten Linien dargestellte zugehörige Voronoi-Diagramm umfasst. Das Voronoi-Diagramm umfasst ideale Quadrate und wird als vierseitiges Netz aufgefasst, das durch Verbindung der Schwerpunkte aller idealen Quadrate gebildet wird. Demzufolge wird ein vierseitiges Netz durch Auffüllen eines zu vernetzenden Objekts mit vierseitigen virtuellen Objekten erzeugt, welche dem Voronoi-Diagramm aus den verbundenen Schwerpunkten der Objekte entsprechen (1 unten). Dies stellt ein Grundprinzip der vorliegenden Erfindung dar. Bei dem herkömmlichen Blasenvernetzungsverfahren ist das Voronoi-Diagramm eines gleichseitige Dreiecke umfassenden dreiseitigen Netzes ein gleichseitiges Sechseck, und ein dreiseitiges Netz wird als Verbindung der Schwerpunkte der gleichseitigen Sechsecke aufgefasst. Der Prozess des Auffüllens eines zu vernetzenden Objekts mit kreisförmigen Blasen, deren Form einem gleichseitigen Sechseck ähnelt, und des Verbindens ihrer Mittelpunkte stellt ein Grundprinzip des herkömmlichen Blasenvernetzungsverfahrens dar.
Die Punkte mit dem höchsten Potenzial können sich am oder in der Nähe des Mittelpunkts der vierseitigen virtuellen Objekte und an den oder in der Nähe der Eckpunkte des vierseitigen virtuellen Objekts befinden. Es können sich auch ein Punkt mit dem höchsten Potenzial am Mittelpunkt eines vierseitigen virtuellen Objekts und Punkte mit dem niedrigsten Potenzial entlang der Seiten eines ähnlichen Vierecks befinden, das größer als das vierseitige virtuelle Objekt ist und denselben Mittelpunkt wie das virtuelle Objekt hat. Darüber hinaus werden im Fall von drei Dimensionen sechs den einzelnen Flächen entsprechende Punkte mit dem niedrigsten Potenzial definiert.
Außerdem können die vier Punkte mit dem niedrigsten Potenzial auch außerhalb des vierseitigen virtuellen Objekts jeweils auf einer Seitennormalen liegen, die sich von oder ungefähr von einem Mittelpunkt jeder Seite des Vierecks aus erstreckt. Im Fall von drei Dimensionen liegen die Punkte auf einer Normalen jeder Fläche, die sich vom oder ungefähr vom Mittelpunkt jeder Fläche aus erstreckt. Im Ergebnis dessen werden angrenzende virtuelle Objekte in einer gewünschten Richtung ausgerichtet.
Darüber hinaus kann ein vierseitiges virtuelles Objekt einer Größenverteilung unterliegen und anstelle eines idealen Quadrats ein Rechteck sein.
Die oben erwähnte Beeinflussung der Anzahl der virtuellen Objekte wird nach der Prüfung durchgeführt, ob in einem vorgegebenen Bereich um ein bestimmtes vierseitiges virtuelles Objekt herum ein anderes vierseitiges virtuelles Objekt vorhanden ist; wenn in dem vorgegebenen Bereich kein anderes vierseitiges virtuelles Objekt vorhanden ist, kann ein neues vierseitiges virtuelles Objekt angefügt werden.
Der vorgegebene Bereich kann zum Beispiel auch so vorgegeben werden, dass er vier vierseitige Bereiche umfasst, die jeder Seite eines bestimmten vierseitigen virtuellen Objekts entsprechen. Zum Beispiel können die Seiten der vierseitigen Bereiche länger gemacht werden als die Seiten des vierseitigen virtuellen, Objekts. Man kann auch ein Viereck erzeugen, dessen Mittelpunkt einen Punkt mit dem niedrigsten Potenzial eines vorgegebenen Bereichs ist.
Die Anzahl der virtuellen Objekte kann auch nach der Prüfung beeinflusst werden, ob in einem für ein bestimmtes vierseitiges virtuelles Objekt vorgesehenen vorgegebenen Bereich ein anderes vierseitiges virtuelles Objekt vorhanden ist; wenn in dem vorgegebenen Bereich ein anderes vierseitiges virtuelles Objekt vorhanden ist, kann das andere vierseitige virtuelle Objekt entfernt werden. Beispielsweise ist auch denkbar, diesen vorgegeben Bereich als Quadrat einer vorgegebenen Größe zu gestalten, dessen Mittelpunkt gleichzeitig der Mittelpunkt des vierseitigen virtuellen Objekts ist. Das ist notwendig, weil die Überlappung der vierseitigen virtuellen Objekte zu stark wird, wenn in diesem Bereich noch ein weiteres vierseitiges virtuelles Objekt vorhanden ist.
Der oben erwähnte Schritt zur Erzeugung eines Netzes kann auch die folgenden Schritte umfassen: Erzeugen eines dreiseitigen Netzes durch Verbinden der Mittelpunkte der vierseitigen virtuellen Objekte; und Erzeugen eines vierseitigen Netzes durch Zusammenfügen dreiseitiger Elemente eines dreiseitigen Netzes. Ein dreiseitiges Netz wird hier in einer Anordnung erzeugt, die zur Bildung eines Quadrats geeignet ist.
Der oben erwähnte Verarbeitungsablauf kann entweder als spezielle Apparatur oder als Computerprogramm realisiert werden. Dieses Computerprogramm wird in einem Speichermedium wie einer CD-ROM, einer Diskette, einer magnetooptischen Platte (MO) oder einer Speichervorrichtung wie einer Festplatte gespeichert.
Im folgenden werden Ausführungsarten der Erfindung unter Bezug auf die beiliegenden Zeichnungen beschrieben, in denen:
1 eine Darstellung zur Erläuterung eines Grundprinzips der vorliegenden Erfindung ist;
2 eine Darstellung zur Erläuterung eines Beispiels eines Eingabeobjekts ist;
3 ein Ablaufplan ist, der den Arbeitsablauf der vorliegenden Erfindung zeigt;
4 eine Darstellung für ein Beispiel einer Orientierungsrichtung ist;
5 eine Darstellung ist, die ein Beispiel eines Potenzialfeldes einer vierseitigen Blase zeigt;
6 eine Darstellung ist, die ein Beispiel eines Potenzialfeldes einer vierseitigen Blase zeigt;
7 eine Darstellung zur Erläuterung eines Beispiels der zwischen zwei vierseitigen Blasen wirkenden Kraft ist;
8 eine Darstellung zur Erläuterung eines Beispiels der zwischen zwei vierseitigen Blasen wirkenden Kraft ist;
9 eine Darstellung ist, die ein Beispiel eines ersten Bereichs zeigt, der zur Beeinflussung der Anzahl der Blasen verwendet wird;
10 eine Darstellung ist, die ein Beispiel eines zweiten Bereichs zeigt, der zur Beeinflussung der Anzahl der Blasen verwendet wird;
11 ein Ablaufplan zur Erläuterung der Arbeitsweise der Umwandlung eines dreiseitigen Netzes in ein vierseitiges Netz ist;
12 eine Darstellung ist, die ein Beispiel eines Prozesses zur Umwandlung eines dreiseitigen Netzes in ein vierseitiges Netz zeigt, bei dem die Verarbeitung in der Reihenfolge von (a) bis (e) erfolgt;
13 ein Blockschaltbild zur Erläuterung eines normalen Computersystems ist;
14 ein Beispiel für das Auffüllen mit einer vierseitigen Blase ist;
15 eine Darstellung ist, in der gezeigt wird, dass aus 14 ein Netz erzeugt wurde;
16 eine Darstellung ist, in der gezeigt wird, dass aus dem dreiseitigen Netz in 15 ein vierseitiges Netz erzeugt wurde, wobei die Koeffizienten b und c der Bewertungsfunktionen F₂ und F₃ fest sind und der Koeffizient a von F₁ gleich 0,0 ist;
17 eine Darstellung ist, in der gezeigt wird, dass aus einem dreiseitigen Netz in 15 ein vierseitiges Netz erzeugt wurde, wobei die Koeffizienten b und c der Bewertungsfunktionen F₂ und F₃ fest sind und der Koeffizient a von F₁ gleich 0,15 ist;
18 eine Darstellung ist, in der gezeigt wird, dass aus einem dreiseitigen Netz in 15 ein vierseitiges Netz erzeugt wurde, wobei die Koeffizienten b und c der Bewertungsfunktionen F₂ und F₃ fest sind und der Koeffizient a von F₁ gleich 0,5 ist;
19 eine Darstellung ist, in der gezeigt wird, dass aus einem dreiseitigen Netz in 15 ein vierseitiges Netz erzeugt wurde, wobei die Koeffizienten a und b der Bewertungsfunktionen F₁ und F₂ fest sind und der Koeffizient c von F₃ gleich 0,0 ist;
20 eine Darstellung ist, in der gezeigt wird, dass aus einem dreiseitigen Netz in 15 ein vierseitiges Netz erzeugt wurde, wobei die Koeffizienten a und b der Bewertungsfunktionen F₁ und F₂ fest sind und der Koeffizient c von F₃ gleich 1,3 ist;
21 eine Darstellung ist, in der gezeigt wird, dass aus einem dreiseitigen Netz in 15 ein vierseitiges Netz erzeugt wurde, wobei die Koeffizienten a und b der Bewertungsfunktionen F₁ und F₂ fest sind und der Koeffizient c von F₃ gleich 3,0 ist.
Diese Ausführungsart beschreibt ein Beispiel der Vernetzung einer unverzweigten Datenstruktur. 2 zeigt ein Beispiel von Objekten, die durch die unverzweigte Datenstruktur dargestellt werden. Die Objekte von 2 stellen einen Tetraederkörper 6002 als dreidimensionales Objekt dar, der über eine Begrenzungslinie 6005 ein Dreieck 6004 als zweidimensionales Objekt berührt. Außerdem berührt das Dreieck 6004 in einem gemeinsamen Punkt 6007 eine Gerade 6008, die ein eindimensionales Objekt ist. Darüber hinaus liegt einer Seitenfläche des Tetraederkörpers 6002 ein eindimensionales Objekt an. Außerdem ist im Tetraederkörper 6002 selbst eine Begrenzungslinie 6012 enthalten.
3 zeigt den Verarbeitungsablauf der Vernetzung eines Objekts nach 2. Zuerst werden ein zu vernetzendes Objekt und eine Orientierungsrichtung des Netzes eingegeben (Schritt 110). Die eingegebenen Daten werden in einer Speichervorrichtung gespeichert. Das zu vernetzende Objekt entspricht dem in 2 gezeigten Objekt. Die Orientierungsrichtung des Netzes stellt eine Richtung jedes Netzelements innerhalb des Eingabeobjekts dar und wird als Vektor angegeben. Ein dreidimensionales geometrisches Modell wird als Tensorfeld dargestellt. Wenn zum Beispiel eine Ebene vernetzt wird, werden wie in 4 gezeigt die Richtungen eingegeben, in denen die Netzelemente ausgerichtet werden (die Richtungen der in 4 gezeichneten Linien). Diese müssen nicht so detailliert wie in 4 eingegeben werden.
Als Nächstes werden an Eckpunkten und Seitenlinien des Eingabeobjekts Netzknoten angeordnet (Schritt 120). Die Eckpunkte und die Seitenlinien werden genauso behandelt wie beim herkömmlichen Blasenvernetzungsverfahren. Sie können jedoch auch auf andere Weise behandelt werden. Das ist darauf zurückzuführen, dass die vorliegende Erfindung an den Eckpunkten und den Seitenlinien nicht wirksam ist. Zum Beispiel werden bei dem Verfahren in der ungeprüften japanischen Patentanmeldung Nr. Hei 7-230487 (1) Blasen (virtuelle Objekte) an den Eckpunkten angeordnet, (2) Blasen an den Seitenlinien angeordnet, (3) Blasen durch die nach einer vorgegebenen Regel definierte Kraft zwischen den Blasen verschoben, die Blasenanzahl durch Prüfen der Blasendichte geregelt und die stabile Anordnung der Blasen durch diese Prozesse festgelegt und (4) die Mittelpunkte der Blasen zu Netzknoten erklärt und deren Positionen in einer Speichervorrichtung gespeichert. Damit ist die Verarbeitung der Eckpunkte und der Seitenlinien abgeschlossen. Die Blasen können in diesem Schritt eine kreisförmige, eine sphärische oder eine quadratische Form haben.
Als Nächstes werden in einem Anfangsschritt die Blasen auf Flächen des Eingabeobjekts angeordnet (Schritt 130). Bei dieser Ausführungsart sind für diese Erstanordnung der Blasen keine besonderen Maßnahmen erforderlich. Die Größe einer Blase wird gesondert festgelegt. Man kann auch Blasen mit einer durch den Vektor festgelegten Größe erzeugen und sie innerhalb einer Fläche anordnen. In diesem Fall ist die Form einer Blase bei der Erstanordnung vierseitig.
Eine Fläche ist wie oben erwähnt entweder eben oder gekrümmt. Während eine ebene Fläche keine besonderen Probleme bereitet, gibt es für eine gekrümmte Fläche auch ein Verfahren zur Erstanordnung von Blasen, indem diese zunächst in einem der gekrümmten Fläche entsprechenden Parameterraum angeordnet werden und diese Anordnung dann auf die gekrümmte Oberfläche übertragen wird.
Als Nächstes wird die stabile Anordnung von Blasen festgelegt (Schritt 140). Dieser Prozess in dem folgenden Pseudocode genauer beschrieben:
Im Folgenden wird dieser Pseudocode erklärt. Die Zeilen 10 bis 170 werden so lange wiederholt, bis die längste Verschiebungsstrecke der Blasen gleich oder kleiner als ein Schwellenwert ist. Dieser Schwellenwert kann einem Mittelwert der Bewegungsstrecken aller Blasen entsprechen. Auf jeden Fall werden die Zeilen 10 bis 170 so lange wiederholt, bis die Verschiebung der Blasen fast aufhört.
Die Zeilen 10 bis 170 werden grob in drei Abschnitte unterteilt. Der erste Abschnitt ist die Dreieckaufteilung von Zeile 15, der zweite Abschnitt umfasst die Zeilen 20 bis 70, in denen die Kräfte zwischen den Blasen und die Verschiebung der Blasen berechnet werden und der dritte Abschnitt umfasst die Zeilen 80 bis 160, in denen die Anzahl der Blasen geregelt wird.
Zeile 15 als erster Abschnitt stellt die Dreieckaufteilung dar, die die Beziehungen zwischen angrenzenden Blasen erklärt. Als Verfahren zur Dreieckaufteilung kann zum Beispiel die Delaunay'sche Dreieckaufteilung verwendet werden. Die Dreieckaufteilung ist nicht erforderlich, wenn die Beziehungen bereits ohne diese Aufteilung klar sind.
Im zweiten Abschnitt werden die Zeilen 20 bis 70 in drei Teile weiter unterteilt. In Zeile 40 werden erste Blasen bezeichnet, die an eine zweite Blase als Berechnungsobjekt angrenzen, und Potenzialfelder für die ersten Blasen vorgegeben. Dies kannzum Beispiel ein Potenzialfeld wie in 5 sein. Die Punkte mit dem höchsten Potenzial werden nämlich am oder in der Nähe des Mittelpunktes der vierseitigen Blase und an oder in der Nähe der Eckpunkte des Vierecks bereitgestellt, während außerhalb der vierseitigen Blase vier Punkte mit dem niedrigstem Potenzial bereitgestellt werden. Die vier Punkte mit dem niedrigstem Potenzial außerhalb der vierseitigen Blase liegen jeweils auf einer Normalen jeder Seite, die sich genau oder ungefähr von einem Mittelpunkt jeder Seite des Vierecks aus erstreckt. Ein Potenzialfeld wie in 6 ist denkbar. Mit dem Potenzialfeld von 5 ist jedoch die gewünschte Blasenanordnung leichter zu erreichen.
Im Folgenden wird ein Beispiel einer mathematischen Darstellung des in 5 gezeigten Potenzialfeldes gegeben. Im Fall einer vierseitigen Blase gemäß 5 mit einem Mittelpunkt (oder Schwerpunkt) bei xi und den vier Eckpunkten bei x_i1, x_i2, x_i3 bzw. x_i4 wird das Potenzialfeld durch Summation der Abstandsfunktionen von allen fünf Punkten dargestellt. Zu den Funktionen gehören eine Abstandsfunktion vom Mittelpunkt (Schwerpunkt) zum Mittelpunkt (Schwerpunkt) einer zu berechnenden Blase und Abstandsfunktionen von jedem Eckpunkt zum Mittelpunkt (Schwerpunkt) einer zu berechnenden Blase. Bei der Bestimmung der durch eine vierseitige Blase i auf eine vierseitige Blase j ausgeübten Kraft, wobei die Lage der Mittelpunkte (Schwerpunkte) der beiden vierseitigen Blasen durch x_i und x_j und die Seitenlängen durch d (x_i) und d (x_j ) angegeben werden, erhält man den stabilen Abstand l₀(x_i, x_j) zwischen den Mittelpunkten (Schwerpunkten) der beiden vierseitigen Blasen zu L0(xi, xj) = d(xi)/2 + d(xj)/2 (1) Wenn der Abstand zwischen den Mittelpunkten (Schwerpunkten) der beiden vierseitigen Blasen 1(x_i, x_j) und das Verhältnis von l₀ und lω = l/l₀ beträgt, ist die Abstandsfunktion zur Berechnung des Potenzialfelds Ψ₀ durch die folgende Gleichung gegeben.
In gleicher Weise liegen die vier Eckpunkte der vierseitigen Blase i bei x_ik (k = 1, 2, 3, 4). s kann in Gleichung 3 definiert werden, und der stabile Abstand l_0k zwischen dem Eckpunkt k und dem Mittelpunkt (Schwerpunkt) der vierseitigen Blase i wird wie folgt dargestellt:
l0k(xik, xj) = S*d(xik)/2 + d(xj)/2 mit
wenn der Abstand zwischen den beiden Eckpunkten 1k(x_ik, x_j) und das Verhältnis von l_0k und l_k ω_k = l_k/l_0k ist, ergibt sich die Abstandsfunktion Ψ_k zur Berechnung des Potenzialfelds wie folgt .
Durch Summation dieser Funktionen ergibt sich der Wert des Potenzials zu Ψ = Ψ0 + sΨ1 + sΨ2 + sΨ3 + sΨ4 (5)
Dann wird in Zeile 50 die Summe der von den Potenzialfeldern der angrenzenden vierseitigen Blasen einwirkenden Kräfte berechnet. In der vorliegenden Ausführungsart stellt eine Blase ein virtuelles Objekt der Masse m dar. Jede Blase kann dieselbe Masse haben, jedoch kann je nach der Größe einer Blase eine unterschiedliche Masse gewählt werden usw. 7 zeigt ein Beispiel der auf eine vierseitige Blase einwirkenden Anziehungskraft und Schwerkraft. Auf eine zu berechnende Blase A wirkt schließlich die durch die gestrichelte Linie dargestellte Kraft von einer angrenzenden Blase B mit einem Potenzialfeld ein. Diese Kraft setzt sich aus der Schwerkraft von dem Eckpunkt x_b3 der angrenzenden Blase, der Anziehungskraft vom Schwerpunkt x_b und der Anziehungskraft vom Eckpunkt x_b2 zusammen. 8 zeigt auch ein Beispiel der auf eine vierseitige Blase einwirkenden Anziehungskraft und Schwerkraft. Auf die zu berechnende Blase A wirken die Schwerkraft von x_b2 und x_b, die Anziehungskraft von xb3 und schließlich die durch die gestrichelte Linie dargestellte Kraft ein. Diese Kräfte werden jeweils für jede angrenzende vierseitige Blase berechnet und addiert.
Anschließend folgt in Zeile 60 der Prozess der eigentlichen Verschiebung der Blasen. Die Länge der Verschiebungsstrecke der Blase wird berechnet. Im vorliegenden Fall wird jede Blase als ein Punkt der Masse m betrachtet (ohne Trägheitsmoment), und die Positionen der Blasen werden geändert, indem gewöhnliche Differenzialgleichungen zweiter Ordnung unter Berücksichtigung der oben genannten Kräfte zwischen den Blasen und der Viskosität gelöst werden. Die Newton'schen Gleichungen lauten wie folgt.
In dieser Gleichung (6) sind xi die Koordinate x einer i-ten Blase, mi die Masse einer i-ten Blase, y_i die Koordinate y der i-ten Blase und z_i die Koordinate z der i-ten Blase. Der Term des Differenzials erster Ordnung enthält einen Viskositätskoeffizienten c_i, der die Viskosität berücksichtigt. Für den Viskositätskoeffizienten können für jede Blase bzw. für die entsprechenden Richtungen x, y und z unterschiedliche Werte gewählt oder alle auf einen festen Wert c gesetzt werden. f_xi(t), f_yi(t) und f_zi(t) auf der rechten Seite von Gleichung 6 stellen die Summe der x-Komponenten, die Summe der y-Komponenten bzw. die Summe der z-Komponenten der von den angrenzenden Blasen zum Zeitpunkt t auf die i-te Blase einwirkenden Kraft dar.
Mittels dieser Gleichung 6 wird der Koordinatenwert einer einzelnen Blase durch Erhöhen der Zeit t um einen Deltawert Δ mittels eines bekannten numerischen Analyseverfahrens für gewöhnliche Differenzialgleichungen wie zum Beispiel des Runge-Kutta-Verfahrens berechnet. Da die Iteration der Zeilen 10 bis 170 des Pseudocodes wie oben erwähnt durch die Prüfung bestimmt wird, ob die Verschiebungsstrecke gleich oder kleiner als ein Schwellenwert ist, wird auch die Verschiebungsstrecke (Δx, Δy, Δz) berechnet. Da die Ausgangskoordinaten bekannt sind, kann nur die Verschiebungsstrecke (Δx, Δy, Δz) berechnet werden. Als numerisches Analyseverfahren für gewöhnliche Differenzialgleichungen kann darüber hinaus nicht nur das Runge-Kutta-Verfahren, sondern auch das Adams-Verfahren, das Euler-Verfahren usw. verwendet werden. Siehe zum Beispiel in Osamu Jonouchi, „Numerical Calculation", Mathematics 15 for Engineering, Science Co., Ltd., September 1978.
Diese Verarbeitung der Zeilen 40 und 60 des Pseudocodes wird für alle Blasen durchgeführt. Während der Verarbeitung sind bis dahin die Koordinaten (und/oder die Verschiebungsstrecke (Δx, Δy, Δz) nach dem kurzen Zeitraum t berechnet worden. Die Koordinaten werden in einer Speichervorrichtung gespeichert.
Es gibt auch Blasen, die beim Verschieben nicht innerhalb einer Fläche bleiben. Bei einer gekrümmten Fläche wird durch einen Prozess dafür gesorgt, dass sie wieder in die Fläche zurückgelangen. Zu diesem Zweck kann zum Beispiel ein Prozess zum Zurückführen der Blasen in Richtung der Flächennormalen verwendet werden. Es können jedoch auch andere Verfahren verwendet werden. Im Fall einer ebenen Fläche werden solche Blasen zerstört.
Als Nächstes wird im dritten Abschnitt in den Zeilen 80 bis 160 der Prozess des Zufügens oder Entfernens von Blasen erläutert. Zeile 90 zeigt an, dass der Prozess bis zur Zeile 160 für jede Blase wiederholt wird. Es wird ermittelt, ob in einem für eine zu berechnende Blase bereitgestellten ersten Bereich ein Mittelpunkt anderer Blasen vorliegt (Zeile 100). Der erste Bereich umfasst vier vierseitige Bereiche, deren Mittelpunkte die in 9 gezeigten Punkte mit niedrigstem Potenzial sind. Eine Seite dieses vierseitigen Bereichs ist um den Faktor 1,1 länger als die Seite einer vierseitigen Blase der vorliegenden Ausführungsart. Die vorliegende Erfindung ist jedoch nicht darauf beschränkt. Wenn in keinem der vierseitigen Bereiche ein Mittelpunkt einer vierseitigen Blase vorhanden ist, wird in dem vierseitigen Bereich eine vierseitige Blase erzeugt (Zeile 110). Dies geschieht, weil durch das Vorhandensein einer vierseitigen Blase im vierseitigen Bereich eine stabile Anordnung der vierseitigen Blase bewirkt wird.
Andererseits wird geprüft, ob in einem zweiten für eine zu berechnende Blase bereitgestellten Bereich ein Mittelpunkt anderer Blasen vorhanden ist (Zeile 130). Der zweite Bereich ist ein vierseitiger Bereich, dessen Mittelpunkt gleichzeitig der Mittelpunkt einer vierseitigen Blase ist und dessen Seitenlänge um den Faktor 1,1 größer ist als die der vierseitigen Blase. Die vorliegende Erfindung ist jedoch nicht darauf beschränkt. Wenn in den vierseitigen Bereichen ein Mittelpunkt einer anderen vierseitigen Blase vorhanden ist, wird die vierseitige Blase entfernt (Zeile 140). Dies geschieht, weil es in dem vierseitigen Bereich nur eine vierseitige Blase geben darf.
Durch die obigen Prozessschritte wird die Anzahl der Blasen angepasst.
Wenn der Prozess zu Zeile 10 zurückspringt, wird geprüft, ob der Maximalwert der in Zeile 60 berechneten Verschiebungsstrecke von Blasen den Schwellenwert übersteigt. Als Verschiebungsstrecke kann der Wert (Δx², Δy², Δz²)^0,5 oder auch einfach |Δx| + |Δy| + |Δz| verwendet werden. Wenn der Maximalwert der Verschiebungsstrecke den Schwellenwert übersteigt, wird die Verarbeitung der Zeilen 10 bis 170 wiederholt. Wenn er den Schwellenwert nicht übersteigt, wird die Verarbeitung mit dem folgenden Prozess fortgesetzt, und die Blasen werden als stabil angeordnet betrachtet. Die Positionen der Blasenmittelpunkte in der stabilen Anordnung werden in der Speichervorrichtung gespeichert.
Die obige Verarbeitung betrifft die Verarbeitung von Schritt 140 in 3. Als Nächstes wird ein vierseitiges Netz erzeugt (3, Schritt 150). Das vierseitige Netz in der vorliegenden Ausführungsart wird durch Umwandlung eines dreiseitigen Netzes in ein vierseitiges Netz erzeugt. Ein dreiseitiges Netz kann mittels der Delaunay'schen Dreieckaufteilung erzeugt werden, bei der der Netzknoten ein Mittelpunkt einer vierseitigen Blase ist (siehe Zeile 15 in Tabelle 1). Das erzeugte dreiseitige Netz wird durch den folgenden Prozess in ein vierseitiges Netz umgewandelt. Alle Seiten der dreiseitigen Elemente außer den Seiten an den Bereichsgrenzen sind zwei aneinander grenzenden dreiseitigen Elementen gemein. Bei der folgenden Beschreibung werden durch ein Paar angrenzender dreiseitiger Elemente P_ij die beiden Dreieckelemente T_i und T_j angezeigt, die eine Seite gemeinsam haben.
Zuerst werden Bewertungsfunktionen erläutert, die eingeführt werden müssen. Diese Bewertungsfunktionen werden zur Verbesserung der geometrischen Gleichmäßigkeit, zur Festlegung der Orientierungsrichtungen und zur Verbesserung der topologischen Gleichmäßigkeit eingeführt.
Erstens kann die Bewertungsfunktion eine Bewertungsfunktion F₁ für die Orientierungsrichtungen der vierseitigen Elemente sein. Diese Bewertungsfunktion wird zur Beeinflussung der Orientierungsrichtungen eingeführt. Bei den durch Umwandlung eines Paars angrenzender dreiseitiger Elemente P_ij (auch als zukünftiges vierseitiges Element bezeichnet) erzeugten vierseitigen Elementen wird die Bewertungsfunktion F₁(P_ij) verwendet, die einen um so größeren Wert ausgibt, je kleiner der durch jede Seite und einen durch ein Vektorfeld (3: Schritt 110, Beispiel in 4) gezeigten Vektor eingeschlossene Winkel wird. Diese Funktion F_l(P_ij) wird beispielsweise wie folgt dargestellt.
F1 = v*E1 + v*E2 + v*E3 + v*E4 E_i (i = 1, 2, 3, 4) ist ein Vektor der Seiten einesvierseitigen Elements, wobei v ein durch ein Vektorfeld gegebener Vektor und jeder Term ein Skalarprodukt des Vektors ist. Da ein Skalarprodukt am größten ist, wenn der eingeschlossene Winkel gleich 0 ist, wird F₁ am größten, wenn die Richtung jeder Seite des vierseitigen Elements mit der des Vektors übereinstimmt. Demzufolge werden viele vierseitige Elemente in einer bestimmten Orientierungsrichtung durch vorzugsweise Umwandlung von Paaren angrenzender dreiseitiger Elemente mit einem großen F₁-Wert in vierseitige Elemente erzeugt.
Zweitens kann die Bewertungsfunktion eine Bewertungsfunktion F₂ für die Form vierseitiger Elemente sein. Diese Bewertungsfunktion wird für die Verbesserung der geometrischen Gleichmäßigkeit eingeführt. Die Bewertungsfunktion F₂(P_ij) wird bei durch Umwandlung eines Paars angrenzender dreiseitiger Elemente P_ij erzeugten vierseitigen Elementen verwendet und gibt einen um so größeren Wert aus, je mehr deren Form einem idealen Quadrat nahe kommt. Diese F₂(P_ij) wird wie folgt als Beispiel dargestellt.
Fij = 4,0 – (|E1E2| + |E2E3| + |E3E4| + |E4E1|)
Jeder Ausdruck stellt den Absolutwert eines Skalarprodukts einer angrenzenden Seite eines vierseitigen Elements dar. Der Wert von F₂ wird am größten, wenn jede Ecke des vierseitigen Elements ein rechter Winkel ist. Demzufolge werden viele brauchbare vierseitige Elemente mit einer dem idealen Quadrat nahe kommenden Form durch vorzugsweise Umwandlung von Paaren angrenzender dreiseitiger Elemente mit einem großen Wert F₂ in vierseitige Elemente erzeugt.
Drittens kann die Bewertungsfunktion eine Bewertungsfunktion F₃ zum Verhindern der Erzeugung isolierter dreiseitiger Elemente sein. Diese Bewertungsfunktion wird zur Verbesserung der topologischen Gleichmäßigkeit eingeführt. Die Bewertungsfunktion F₃(P_ij) wird bei zwei dreiseitigen Elementen T₁ und T₂ verwendet, die ein Paar angrenzender dreiseitiger Elemente P_ij umfassen, und nimmt nur dann einen ersten Wert (zum Beispiel 1) an, wenn T₂ das angrenzende unverarbeitete dreiseitige Element von T1 oder wenn T1 das angrenzende unverarbeitete dreiseitige Element von T₂ ist, anderenfalls nimmt sie einen zweiten Wert an (zum Beispiel 0). Wenn bei einem Paar angrenzender dreiseitiger Elemente F₃ den ersten Wert annimmt, bedeutet dies, dass mit Sicherheit ein isoliertes dreiseitiges Element entsteht, wenn die beiden dreiseitigen Elemente des Paars nicht in ein vierseitiges Element umgewandelt werden. Durch vorzugsweise Umwandlung dieser dreiseitigen Elemente in solche vierseitigen Elemente kann die Anzahl dreiseitiger Elemente in einem vierseitigen Netz verringert werden.
Ausgehend von dem oben Gesagten wird in 11 ein Ablaufplan der Verarbeitung gezeigt. Zuerst wird für jedes Paar angrenzender dreiseitiger Elemente eine Bewertungszahl V₁ = aF₁ + bF₂ (a, b sind positive Konstanten, die jeweils das Gewicht von F₁ bzw. F₂ anzeigen) berechnet, dann werden die Paare angrenzender dreiseitiger Elemente beginnend mit einem Paar mit dem größten Wert V₁ in absteigender Reihenfolge geordnet und in eine Liste L₁ eingetragen (Schritt 210). Als Nächstes werden diejenigen Paare angrenzender dreiseitiger Elemente mit F₃ > 0 entnommen und beginnend mit einem Paar mit der größten Bewertungszahl V₂ = aF₁ + bF₂ + cF₃ (c ist eine positive Konstante, die das Gewicht von F₃ anzeigt) in absteigender Reihenfolge geordnet und in eine Liste L₂ eingetragen (Schritt 220). Dann werden ein Paar mit dem größten Wert V₁ in der Liste L₁ und ein Paar mit dem größten Wert V₂ in der Liste L₂ miteinander verglichen und ein Paar angrenzender dreiseitiger Elemente P_ij mit einem größeren Wert entnommen (Schritt 230). Da ein Paar angrenzender dreiseitiger Elemente mit F₃ > 0 in L₂ eingegeben und mit der Reihenfolge in L₂ verglichen wird, nimmt somit die Priorität dieses Paar zu. Da V₂ auch einen Term cF₃ enthält, ist V2 auch dann größer als V1, wenn der Wert v₁ des Paars genauso groß wie der von L₁ ist. Auch in dieser Hinsicht besitzt das Paar Priorität.
wenn eines der dreiseitigen Elemente T_i oder T_j, welches das entnommene Paar umfasst, bereits verarbeitet wurde (Schritt 240), wird das Paar P_ij aus den Listen L₁ und L₂ entfernt (Schritt 250), und die Verarbeitung kehrt zu Schritt 230 zurück. Zur Prüfung, ob ein Element bereits verarbeitet worden ist, können verschiedene Verfahren angewendet werden, wie zum Beispiel die Verwendung einer Liste zum Prüfen, ob die Verarbeitung bereits stattgefunden hat, oder das Markieren in einer Tabelle zur Verwaltung dreiseitiger Elemente. wenn hingegen noch keines der dreiseitigen Elemente Ti und T_i verarbeitet worden ist, wird das Paar P_ij angrenzender dreiseitiger Elemente in ein vierseitiges Element umgewandelt und aus den Listen L₁ und L₂ gelöscht (Schritt 260). Außerdem werden die das Paar P_ji umfassenden dreiseitigen Elemente als verarbeitet markiert. Weiterhin wird den an Ti und T_j angrenzenden dreiseitigen Elementen ein unverarbeitetes dreiseitiges Element T_n entnommen. Dann wird nach dem Zeitpunkt, da die dreiseitigen Elemente T_i und T_j als verarbeitet markiert wurden, der Wert F₃ des Paars angrenzender dreiseitiger Elemente P_mn einschließlich Tn neu berechnet (Schritt 270). Dies ist erforderlich, weil die Anzahl der an Tn angrenzenden unverarbeiteten dreiseitigen Elemente um 1 verringert und aus T_n ein isoliertes Dreieck werden kann. Wenn F₃ neu berechnet wird und ein Paar mit F₃ > 0 vorhanden ist, ändert sich auch die Bewertungszahl V₂, sodass auch V₂ neu berechnet und in Liste L₂ eingetragen wird (Schritt 270).
Wenn zu diesem Zeitpunkt noch nicht alle Paare verarbeitet worden sind (Schritt 280), springt der Prozess zurück zu Schritt 230 und wiederholt die Schritte 230 bis 270. Sobald alle Paare verarbeitet worden sind, endet die Verarbeitung mit Schritt 290. Der Schritt 280 kann nach Schritt 260 ausgeführt werden.
12(a) zeigt ein Beispiel eines dreiseitigen Netzes. Ein Paar dreiseitiger Elemente einschließlich eines schraffierten dreiseitigen Elements hat einen Wert F₃ > 0 und V₂ wird berechnet. 12(b) zeigt einen Zustand, nachdem drei Paare angrenzender dreiseitiger Elemente in vierseitige Elemente umgewandelt worden sind. Das Paar angrenzender dreiseitiger Elemente, dessen Wert V₂ bereits zuvor berechnet wurde, ist bereits in ein vierseitiges Element umgewandelt worden. Eine dunkel gefärbte Fläche stellt ein umgewandeltes vierseitiges Element dar. Ein Paar angrenzender dreiseitiger Elemente einschließlich eines schraffierten dreiseitigen Elements hat einen Wert F₃ > 0, und V₂ wird berechnet. Mit fortschreitender Umwandlung gelangt man zu 12(c). Die nach 12(b) in vierseitige Elemente umgewandelten dreiseitigen Elemente sind wiederum anders gefärbt. Ein schraffiertes Dreieck hat dieselbe Bedeutung wie oben. Mit fortschreitender Umwandlung gelangt man zu 12(d). Die nach 12(c) in vierseitige Elemente umgewandelten dreiseitigen Elemente sind wiederum anders gefärbt dargestellt. Hier ist bereits ein Dreieck als isoliertes Dreieck (schraffiertes Dreieck) fixiert. Das liegt daran, dass dessen Bewertungszahl größer ist, wenn ein anderes angrenzendes dreiseitiges Element in ein vierseitiges Element umgewandelt wird, als wenn dieses Dreieck selbst in ein Quadrat umgewandelt würde. 12(e) zeigt ein fertiges umgewandeltes vierseitiges Netz.
Nach der oben beschriebenen Erzeugung des vierseitigen Netzes (Schritt 150) wird in einem dreidimensionalen Raum ein Hexaedernetz erzeugt. Zuerst werden in einem ersten Schritt Hexaederblasen in einem Raum angeordnet (3, Schritt 160). Bis zu diesem Verarbeitungsstand wird die stabile Anordnung der Blasen bezüglich der Eckpunkte, Seitenlinien und Flächen berechnet, die dann als solche verwendet werden, und Blasen werden zum Beispiel nur innerhalb des Körpers 6002 in 2 angeordnet.
Dann wird die stabile Anordnung der Hexaederblasen berechnet (Schritt 170). Die Positionen der Blasenmittelpunkte in der stabilen Anordnung werden in einer Speichervorrichtung gespeichert. Diese Berechnung ist der Verarbeitung einer Fläche fast identisch. Es gibt jedoch die folgenden Unterschiede. (1) Anstelle von vier Punkten mit niedrigstem Potenzial gibt es jetzt sechs. Die Postionen dieser Punkte liegen auf den Normalen durch die Flächenmittelpunkte der Flächen eines Hexaeders. Ebenso liegen die Punkte mit höchstem Potenzial an den Eckpunkten und im Mittelpunkt (Schwerpunkt) des Hexaeders. (2) Es wird ein Tetraedernetz erzeugt, bei dem ein Netzknoten durch den Mittelpunkt (Schwerpunkt) einer Hexaederblase gebildet wird. Anschließend werden fünf Tetraederelemente zur Erzeugung eines Hexaeders ausgewählt, und es entsteht ein Hexaedernetz. (3) Im Gegensatz zum oben erwähnten Prozess des Zurückbringens von aus der Fläche ragenden Blasen werden die aus dem Raum ragenden Blasen nur entfernt. Unter Berücksichtigung dieser Änderungen kann die Verarbeitung der Fläche auf den Raum ausgedehnt werden.
Obwohl oben eine Ausführungsart der vorliegenden Erfindung erläutert wurde, ist die vorliegende Erfindung nicht auf die obige Ausführungsart beschränkt. Zum Beispiel wurde erwähnt, dass für die Dreieckaufteilung die Delaunay'sche Dreieckaufteilung verwendet werden kann, jedoch sind auch andere Verfahren möglich. Darüber hinaus sind die für vierseitige Blasen bereitgestellten Potenzialfelder nicht auf die oben erwähnten beschränkt. Ferner kann die Ausrichtung der Blasen festgelegt werden, indem die Positionen einzelner Punkte mit dem niedrigstem Potenzial bereitgestellt werden. Je nach dem Potenzialfeld kann man auch ein Rechteck- oder ein Rhombusnetz erzeugen. Außerdem kann eine Blase anstelle eines idealen Quadrats die Form eines Rechtecks oder eines Rhombus annehmen, was wiederum zur Änderung des Potenzialfeldes führt. Die oben erwähnte mathematische Darstellung des Potenzialfeldes stellt lediglich ein Beispiel dar, und dasselbe Potenzialfeld kann auch durch andere Formeln angegeben werden. Die Anzahl der Blasen kann ebenfalls in Abhängigkeit von einem Belegungsverhältnis einer bestimmten geraden Linie zwischen Blasenmittelpunkten oder von einem Überlappungsverhältnis mehrerer Blasen mittels eines herkömmlichen Verfahrens durch Zufügen oder Entfernen von Blasen geregelt werden. Ferner kann man dem in der vorliegenden Ausführungsart gezeigten ersten und zweiten Bereich unterschiedliche Formen zuweisen. Zum Beispiel kann der erste Bereich ein Kreis, dessen Mittelpunkt der Mittelpunkt einer vierseitigen Blase ist, oder eines von einem Dreieck oder Viereck verschiedenen Polygons sein, während der zweite Bereich ein Kreis sein kann, dessen Mittelpunkt der Mittelpunkt einer vierseitigen Blase oder eines von einem Dreieck oder Viereck verschiedenen Polygons sein kann. Desgleichen ist die Größe nicht auf den in der obigen Ausführungsart erwähnten Faktor 1,1 beschränkt. Dieser Wert kann an die Bedingungen angepasst werden. Abweichend von dem Verfahren, dass wie bei der vorliegenden Erfindung zuerst ein dreiseitiges Netz erzeugt und dieses dann in ein vierseitiges Netz umgewandelt wird, kann auch direkt ein vierseitiges Netz erzeugt werden, wenn dies möglich ist.
Die hier erläuterte Verarbeitung kann in einem normalen Computerprogramm realisiert werden. Dieses kann zum Beispiel in einem in 13 gezeigten Computersystem ausgeführt werden. In diesem Fall werden das Computerprogramm und die erforderlichen Daten in einem Festplattenlaufwerk (Hard Disk Drive, HDD) gespeichert und in einen Arbeitspeicher geladen, um dann bei Bedarf durch eine Recheneinheit (Central Processing Unit, CPU) ausgeführt zu werden. Die Verarbeitungsergebnisse (einschließlich der Zwischenergebnisse) werden ebenfalls im Hauptspeicher gespeichert. Die Daten können über eine Tastatur, ein Diskettenlaufwert (Floppy Disk Drive, FDD) und ein anderes Speichermedium oder eine mit einer Datenübertragungsvorrichtung wie zum Beispiel einem Modem verbundene Datenleitung eingegeben werden. Das Computerprogramm kann auch von einem anderen Computersystem gesendet werden. Ebenso kann das Computerprogramm durch eine Diskette, eine CD-ROM oder ein anderes Speichermedium bereitgestellt werden. Die Verarbeitungsergebnisse der vorliegenden Erfindung werden für die numerische Analyse usw. durch andere in einem Festplattenlaufwerk gespeicherte Computerprogramme verwendet. Außerdem können sie Benutzern mittels einer Anzeigevorrichtung oder eines Druckers angezeigt werden.
Außerdem kann die vorliegende Erfindung durch eine spezielle Vorrichtung realisiert werden. Zum Beispiel können Module so für die Ausführung aller Schritte der oben erläuterten Verarbeitung eingerichtet und konfiguriert werden, dass die Endergebnisse durch Datenübertragung durch die Module ausgegeben werden können. Da bei der obigen Ausführungsart ein Prozess zur Dreieckaufteilung (Prozess zur Erzeugung des dreiseitigen Netzes) mehrmals ausgeführt werden muss, kann man auch ein Modul einrichten, das nur diesen Prozess zur Dreieckaufteilung ausführt, und eine Konfiguration zur gemeinsamen Nutzung des Moduls entwerfen.
14 zeigt ein Beispiel für das Auffüllen mit vierseitigen Blasen. Während in 14 vierseitige Blasen angeordnet werden, ist in 15 ein dreiseitiges Netz zu sehen. Die 16 bis 18 zeigen Beispiele, bei denen ein vierseitiges Netz durch Festlegen des Koeffizienten b der Bewertungsfunktion F₂ und des Koeffizienten c der Bewertungsfunktion F₃ auf b = 1,0 bzw. c = 0,5 und mit verschiedenen Koeffizienten a der Bewertungsfunktion F₁ von 0,0, 0,15 und 0,5 erzeugt wird. In diesem Beispiel stellt das vierseitige Netz in 18 die beste Lösung dar, weil ein umso besseres Netz erzeugt werden kann, je gröber der Koeffizient der Bewertungsfunktion F₁ ist.
Die 19 bis 21 zeigen jeweils Beispiele für den Fall in 14, bei dem aus einem dreiseitigen Netz ein vierseitiges Netz durch Festlegen des Koeffizienten a der Bewertungsfunktion F₁ und des Koeffizienten b der Bewertungsfunktion auf a = 0,5 bzw. b = 1,0 und mit verschiedenen Koeffizienten c der Bewertungsfunktion F₃ von 0,0, 1,3 und 3,0 erzeugt wird. Die Anzahl der dreiseitigen Elemente in den 19 bis 21 beträgt 39, 29 bzw. 25, und die Anzahl der isolierten dreiseitigen Elemente wird durch.. Änderung des Wertes des Koeffizienten c beeinflusst.

Claims

Verfahren zum Erzeugen eines Netzes, wobei das Verfahren die folgenden Schritte umfasst: Eingeben eines zu vernetzenden geometrischen Modells; Erzeugen einer Vielzahl vierseitiger virtueller Objekte innerhalb eines Bereichs des zu vernetzenden geometrischen Modells; Ermitteln einer stabilen Anordnung der vierseitigen virtuellen Objekte, die durch Verschieben jedes der vierseitigen virtuellen Objekte mittels einer Kraft erzeugt wird, welche durch auf benachbarte vierseitige virtuelle Objekte einwirkende Potenzialfelder definiert ist, Beeinflussen der Anzahl der vierseitigen virtuellen Objekte und Speichern der Anordnung in einer Speichervorrichtung; Erzeugen eines Netzes durch Verbinden der Mittelpunkte benachbarter vierseitiger virtueller Objekte; und Speichern des erzeugten Netzes in der Speichervorrichtung.
Verfahren zum Erzeugen eines Netzes nach Anspruch 1, wobei sich die Punkte des Potenzialfeldes mit dem höchsten Potenzial am Mittelpunkt oder um den Mittelpunkt des vierseitigen virtuellen Objekts herum und an den oder um die Eckpunkte des vierseitigen virtuellen Objekts herum sowie vier Punkte mit dem niedrigsten Potenzial außen um das Objekt herum befinden.
Verfahren zum Erzeugen eines Netzes nach Anspruch 2, wobei die vier Punkte mit dem niedrigsten Potenzial um das vierseitige virtuelle Objekt außen herum bereitgestellt werden beziehungsweise auf einer Normalen jeder Kante des vierseitigen virtuellen Objekts liegen, wobei sich die Normale vom Mittelpunkt jeder Kante oder von dessen Umgebung erstreckt.
Verfahren zum Erzeugen eines Netzes nach Anspruch 1, wobei die Beeinflussung der Anzahl der virtuellen Objekte ausgehend davon erfolgt, ob sich in einem vorbestimmten Bereich um ein bestimmtes vierseitiges virtuelles Objekt herum ein anderes vierseitiges virtuelles Objekt befindet, und es wird ein neues vierseitiges virtuelles Objekt hinzugefügt, wenn sich in dem vorbestimmten Bereich kein anderes vierseitiges virtuelles Objekt befindet.
Verfahren zum Erzeugen eines Netzes nach Anspruch 4, wobei der vorbestimmte Bereich vier vierseitige Bereiche umfasst, die jeder Kante des bestimmten vierseitigen virtuellen Objekts entsprechen.
Verfahren zum Erzeugen eines Netzes nach Anspruch 1, wobei das Beeinflussen der Anzahl der virtuellen Objekte ausgehend davon erfolgt, ob sich in einem für ein bestimmtes vierseitiges virtuelles Objekt vorbestimmten Bereich ein anderes vierseitiges virtuelles Objekt befindet, und das andere vierseitige virtuelle Objekt wird gelöscht, wenn sich in dem vorbestimmten Bereich ein anderes vierseitiges virtuelles Objekt befindet.
Verfahren zum Erzeugen eines Netzes nach Anspruch 1, wobei der Schritt zum Erzeugen des Netzes die folgenden Schritte umfasst: Erzeugen eines dreiseitigen Netzes durch Verbinden der Mittelpunkte des vierseitigen virtuellen Objekte; und Erzeugen eines vierseitigen Netzes durch Verknüpfen der dreiseitigen Elemente des dreiseitigen Netzes.
Verfahren zum Erzeugen eines Netzes, das die folgenden Schritte umfasst: Eingeben eines zu vernetzenden geometrischen Modells; Erzeugen einer Vielzahl sechsseitiger virtueller Objekte in einem Bereich des zu vernetzenden geometrischen Modells; Ermitteln einer stabilen Anordnung der sechsseitigen virtuellen Objekte, die durch Verschieben jedes der sechsseitigen virtuellen Objekte mittels einer Kraft erzeugt wird, welche durch auf benachbarte sechsseitige virtuelle Objekte einwirkende Potenzialfelder definiert ist, Beeinflussen der Anzahl der sechsseitigen virtuellen Objekte und Speichern der Anordnung in einer Speichervorrichtung; Erzeugen eines Netzes durch Verbinden der Mittelpunkte benachbarter sechsseitiger virtueller Objekte; und Speichern des erzeugten Netzes in der Speichervorrichtung.
Vorrichtung zum Erzeugen eines Netzes, wobei die Vorrichtung Folgendes umfasst: eine Speichervorrichtung; eine Erzeugungsvorrichtung zum Erzeugen einer Vielzahl vierseitiger virtueller Objekte in einem Bereich eines zu vernetzenden geometrischen Modells; einen Prozessor zum Ermitteln einer stabilen Anordnung der vierseitigen virtuellen Objekte, die durch Verschieben jedes der vierseitigen virtuellen Objekte mittels einer Kraft erzeugt wird, welche durch auf benachbarte vierseitige virtuelle Objekte einwirkende Potenzialfelder definiert ist, zum Beeinflussen der Anzahl der vierseitigen virtuellen Objekte und zum Speichern der Anordnung in einer Speichervorrichtung; und einen Vernetzungsgenerator zum Erzeugen eines Netzes durch Verbinden der Mittelpunkte benachbarter vierseitiger virtueller Objekte und zum Speichern des erzeugten Netzes in der Speichervorrichtung.
Vorrichtung zum Erzeugen eines Netzes, die Folgendes umfasst eine Speichervorrichtung; eine Erzeugungsvorrichtung zum Erzeugen einer Vielzahl sechsseitiger virtueller Objekte in einem Bereich eines zu vernetzenden geometrischen Modells; einen Prozessor zum Ermitteln einer stabilen Anordnung der sechsseitigen virtuellen Objekte, die durch Verschieben jedes der sechsseitigen virtuellen Objekte mittels einer Kraft erzeugt wird, welche durch auf benachbarte sechsseitige virtuelle Objekte einwirkende Potenzialfelder definiert ist, zum Beeinflussen der Anzahl der sechsseitigen virtuellen Objekte und zum Speichern der Anordnung in einer Speichervorrichtung; und einen Vernetzungsgenerator zum Erzeugen eines Netzes durch Verbinden der Mittelpunkte benachbarter sechsseitiger virtueller Objekte und zum Speichern des erzeugten Netzes in der Speichervorrichtung.
Speichermedium zum Speichern eines Programms, wobei das Programm die folgenden Schritte umfasst: Erzeugen einer Vielzahl vierseitiger virtueller Objekte in einem Bereich eines zu vernetzenden geometrischen Modells; Ermitteln einer stabilen Anordnung der vierseitigen virtuellen Objekte, die durch Verschieben jedes der vierseitigen virtuellen Objekte mittels einer Kraft erzeugt wird, welche durch auf benachbarte vierseitige virtuelle Objekte einwirkende Potenzialfelder definiert ist, Beeinflussen der Anzahl der vierseitigen virtuellen Objekte und Speichern der Anordnung in einer Speichervorrichtung; Erzeugen eines Netzes durch Verbinden der Mittelpunkte benachbarter vierseitiger virtueller Objekte; und Speichern des erzeugten Netzes in der Speichervorrichtung.
Speichermedium zum Speichern eines Programms, wobei das Programm die folgenden Schritte umfasst: Erzeugen einer Vielzahl sechsseitiger virtueller Objekte in einem Bereich eines zu vernetzenden geometrischen Modells; Ermitteln einer stabilen Anordnung der sechsseitigen virtuellen Objekte, die durch Verschieben jedes der sechsseitigen virtuellen Objekte mittels einer Kraft erzeugt wird, welche durch auf benachbarte sechsseitige virtuelle Objekte einwirkende Potenzialfelder definiert ist, Beeinflussen der Anzahl der sechsseitigen virtuellen Objekte und Speichern der Anordnung in einer Speichervorrichtung; Erzeugen eines Netzes durch Verbinden der Mittelpunkte benachbarter sechsseitiger virtueller Objekte; und Speichern des erzeugten Netzes in der Speichervorrichtung.