DE112004000199B4

DE112004000199B4 - Verfahren zum Abschätzen der Beziehung zwischen der Elementenverzerrung und dem Analysefehler

Info

Publication number: DE112004000199B4
Application number: DE112004000199T
Authority: DE
Inventors: Noboru Kikuchi; Minako Ann Arbor Sekiguchi; Hiroo Yamaoka; Hiroyuki Umetani
Original assignee: Toyota Central R&D Labs Inc
Current assignee: Toyota Central R&D Labs Inc
Priority date: 2003-03-17
Filing date: 2004-03-16
Publication date: 2009-01-15
Anticipated expiration: 2024-03-17
Also published as: CN1745384A; US20060288255A1; WO2004084101A1; US7734453B2; DE112004000199T5

Abstract

Verfahren zum Abschätzen eines Elementen-Verzerrungs-zu-Analysefehler Verhältnisses zwischen einerseits einer geometrischen Verzerrung eines Elements, das dazu verwendet wird, eine Gestalt eines Objekts approximierend darzustellen und eine Deformation des Objekts durch ein Finite-Elemente-Verfahren zu analysieren, und andererseits einem Analysefehler, der aufgrund der geometrischen Verzerrung des Elements in Analyseergebnissen des Objekts durch das Finite-Elemente-Verfahren (S5) für ein erzeugtes Gitter (S1) auftritt, wobei das Verfahren enthält:
einen Vermutungsschritt, in dem zumindest ein Deformationsmodus vermutet wird, der in dem Element bei der Deformation des Objekts auftritt, in der Gestalt von zumindest einer Form aus Spannung, Biegung, Scherung und Torsion; und
einen Abschätzschritt zum Abschätzen (S2) des Analysefehlers für jeden Deformationsmodus aus dem zumindest einen vermuteten Deformationsmodus als eine Funktion eines Maßes der geometrischen Verzerrung des Elements.

Description

Technisches Gebiet
Die vorliegende Erfindung bezieht sich auf Techniken zum Abschätzen eines Analysefehlers aufgrund einer Verzerrung eines Elements, das dazu verwendet wird, die Gestalt eines Objekts approximierend darzustellen, und zum Analysieren der Deformation des Objekts durch ein Finite-Elemente-Verfahren, wobei der Analysefehler in Analyseergebnissen des Objekts durch das Finite-Elemente-Verfahren auftritt.
Stand der Technik
Ein Finite-Elemente-Verfahren ist als Ansatz zum Analysieren der Deformation eines Objekts bekannt. Bei dem Finite-Elemente-Verfahren wird ein Objekt zur Darstellung in einem Satz aus einer Vielzahl von Elementen angenähert bzw. approximiert, und die Deformation des Objekts wird durch Verwendung des Satzes der Vielzahl von Elementen analysiert. Insbesondere wird gemäß einem bekannten Beispiel für das Finite-Elemente-Verfahren die Gestalt eines zu analysierenden Objekts näherungsweise durch Elemente dargestellt, und dann wird die Deformation des Objekts unter Verwendung der Elemente analysiert. Jedes der Elemente (ebene Elemente oder ebenenartige Elemente) kann als Membranelement, als Schalenelement, das eine dünne Wand aufweist, als Element, das eine vierseitige Fläche oder Ebene aufweist, ein Element, das eine dreiecksförmige Fläche oder Ebene aufweist, usw. definiert werden.
Die Annäherungsgenauigkeit des Finite-Elemente-Verfahren hängt von dem Typ einer gewählten Technik ab, ein Objekt in eine Vielzahl von Elementen zu teilen, was anschließend als "Elementenerzeugung" oder "Gittererzeugung" bezeichnet wird. Daher wird zum Verringern von Fehlern in den Ergebnissen der Analyse durch das Finite-Elemente-Verfahren (anschließend als "Analysefehler" bezeichnet) ein zu analysierendes Objekt in eine Vielzahl von Elementen geteilt, so dass die Größe oder die Gestalt von jedem Element passend in Bezug auf die Position jedes Elements innerhalb des Objekts ist, wie es beispielsweise im JP Hei 04-268674 und JP Hei 11-25292 offenbart ist.
JP Hei 04-268674 offenbart Techniken des Optimierens der Gittererzeugung, wenn ein analysiertes Objekt, d. h. eine Struktur, in eine finite Anzahl von Maschen (Elementen) geteilt wurde, indem Knoten, die anfänglich dem analysierten Objekt zugewiesen wurden, unter Berücksichtigung der daraus resultierenden Fehler in Analyseergebnissen, wie z. B. Spannung, Dehnungsenergie usw. verschoben werden. Diese Technik sieht ein Beispiel für eine Modifikation von Elementen in ihrer Gestalt vor.
JP Hei 11-25292 offenbart Techniken zum Erzeugen von Maschen eines analysierten Objekts, von denen jede eine Größe hat, die der erforderlichen Analysegenauigkeit entspricht, und Techniken zum Wählen des Typs der Gittererzeugung als ein Verfahren aus: gleichmäßiger Gittererzeugung, nicht gleichmäßiger Gittererzeugung und zusammengesetzter Gittererzeugung, abhängig vom Ort jeder Masche innerhalb des analysierten Objekts. Diese Technik sieht ein anderes Beispiel für eine Modifikation von Elementen in der Gestalt vor.
Es gibt ein Beispiel für eine herkömmliche Gittererzeugungstechnik, die es erlaubt, dass die Oberfläche eines Objekts in eine Mehrzahl von Gittern oder Elementen geteilt wird, so dass jedes Gitter oder Element von der Gestalt her wünschenswert sein kann. Die herkömmliche Technik ermöglicht es, eine Gittererzeugung so auszuführen, dass jedes von einer Vielzahl von Elementen (vierseitige Elemente), in die die Oberfläche eines Objekts geteilt ist, so gestaltet wird, dass es so nah wie möglich an einem Quadrat ist, d. h. ein nicht verzerrtes Viereck.
Ferner wird bei der oberstehenden konventionellen Technik zum Untersuchen zum Bestimmen, ob die Gestalt von jedem Element, das durch die Gittererzeugung erzeugt wird, wünschenswert ist oder nicht, die geometrische Verzerrung der Gestalt von jedem Element aufgrund der Gittererzeugung durch vier geometrische, charakteristische Größen dargestellt, nämlich das Seiten- bzw. Aspektverhältnis; die Menge bzw. das Maß der Verwölbung; die Menge bzw. das Maß der Gehrung (skew) und die Menge bzw. das Maß des Trapezoids jedes Elements.
Das Seitenverhältnis wird beispielsweise als das Verhältnis zwischen einem ersten und einem zweiten Abstand bestimmt. Der erste Abstand wird zwischen einem Referenzpunkt eines verzerrten Elements, der im allgemeinen im Zentrum des verzerrten Elements liegt, und dem Mittelpunkt einer ersten Seite von vier Seiten des verzerrten Elements (anschließend bezeichnet als "Element-Seiten") gemessen. Der zweite Abstand wird zwischen dem Referenzpunkt und dem Mittelpunkt einer zweiten Seite der vier Elementseiten gemessen, die eine ausgewählte Seite von zwei Elementseiten ist, die sich an die erste Elementseite anschließen.
Das Maß der Verwölbung wird beispielsweise unter Verwendung einer Projektionsebene definiert, die für ein verzerrtes Element derart angenommen wird, dass die Projektionsebene äquidistant von vier Knoten des verzerrten Elements ist. Genauer wird das Maß von der Verwölbung als der Arcus Sinus des Verhältnisses einer Projektionshöhe, das gleich dem Abstand zwischen der Projektionsebene und jedem Knoten des verzerrten Elements ist, zur Hälfte der Länge einer ausgewählten Seite der vier Elementseiten des verzerrten Elements definiert.
Das Maß der Gehrung (skew) wird beispielsweise als die Differenz von 90 Grad minus einem kleinern Winkel der Winkel zwischen einer ersten und einer zweiten Linie definiert. Die erste Linie läuft durch sowohl den vorher erwähnten Referenzpunkt als auch den Mittelpunkt der vorher erwähnten ersten Elementseite. Die zweite Linie läuft durch sowohl den Referenzpunkt als auch den Mittelpunkt der vorher erwähnten zweiten Elementseite.
Das Maß der Trapezform wird beispielsweise unter Verwendung eines Dreiecks für jede Elementseite eines verzerrten Elements definiert. Das Dreieck wird durch eine Kombination der jeweiligen Elementseite und zwei geradlinigen Segmenten, welche den vorher erwähnten Referenzpunkt und jeden der zwei Knoten der jeweiligen Elementseite verbinden, gebildet. In dem Beispiel wird das Maß der Trapezoidform dann als das Vierfache der kleinsten der vier Flächen von vier Dreiecken, die aus den vier Elementseiten jeweils resultierend erzeugt wurden, geteilt durch die Gesamtheit der vier Flächen bestimmt.
Dann wird gemäß der oben beschriebenen herkömmlichen Technik der aktuelle Wert von jeder der vorher erwähnten vier geometrischen, charakteristischen Größen mit einem tolerierbaren Wert für jedes Element verglichen. Wenn der aktuelle Wert von zumindest einer der vier geometrischen, charakteristischen Größen für ein Element den tolerierbaren Wert übersteigt, wird bestimmt, dass das Element in der Form nicht passend ist.
Keating, S. C.: An element-level error estimator for mesh refinement of finite elment models; in: Collection of technical papers; 36th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC structures, structural dynamics and materials conference and AIAA/ASME adaptive structures forum, 11.–13. April 1995, Teil 2, S. 1280–1288 offenbart ein Verfahren mit einem Berechnungsschritt für Span nungsdeformation basierend auf einem Finite-Elemente-Verfahren. Nach dem Berechnungsschrit werden Fehler der Berechnungsergebnisse abgeschätzt. Der Fehler wird elementunabhängig und folglich unabhängig von einer Elementverzerrung abgeschätzt.
Darstellung der Erfindung
Bei der oben beschriebenen herkömmlichen Technik wird es jedoch versäumt, dass das Verhältnis zwischen den geometrischen, charakteristischen Größen und den Analysefehlern, die auf Grund der geometrischen, charakteristischen Größen in Analyseergebnissen auftreten, klargemacht wird. Als Folge wird dafür, um zu bestimmen, ob die Gestalt eines Elements passend in Bezug auf den aktuellen Wert der vorher erwähnten geometrischen, charakteristischen Größen ist, ein reiner Rückgriff auf Erfahrung erlaubt.
Aus dem obigen Grund kann die herkömmliche Technik möglicherweise eine falsche Bestimmung hervorbringen, dass ein Element, dessen Gestalt tatsächlich zu einer Verringerung in einem Analysefehler beiträgt, dennoch unpassend in der Gestalt ist, was zu einer vergeudeten Zeit für unnötige Modifikation von Elementen führt.
Ferner kann bei der herkömmlichen Technik möglicherweise auch eine andere falsche Bestimmung dahingehend auftreten, dass ein Element, dessen Gestalt tatsächlich einen Analysefehler vergrößert, dennoch passend in Gestalt ist, was dazu führt, dass ein Forscher fehlerhaft auf Analyseergebnisse vertraut, die nicht durch eine erforderliche Modifikation von Elementen vorgesehen werden.
Eine Studie der vorliegenden Erfinder über das Verhältnis zwischen den geometrischen, charakteristischen Größen und dem Analysefehler hat aufgedeckt, dass das Verhältnis zwischen den geometrischen, charakteristischen Größen und dem Analysefehler auf mathematische Weise abgeleitet werden kann, wenn ein Deformationsmodus, der in jedem Element eines analysierten Objekts während dessen Deformation auftritt, bestimmt oder identifiziert wird.
Daher ist es eine Aufgabe der vorliegenden Erfindung, quantitativ basierend auf den oben beschriebenen Erkenntnissen, einen Analysefehler auf Grund einer geometrischen Verzerrung jedes Elements eines analysierten Objekts abzuschätzen, der in Analyseergebnissen des analysierten Objekts auftritt.
Die vorliegende Erfindung sieht ein Verfahren zum Abschätzen eines Elementen-Verzerrungs-zu-Analyse-Fehler Verhältnisses zwischen einerseits einer geometrischen Verzerrung eines Elements, das dazu verwendet wird, eine Gestalt eines Objekts darzustellen, und zum Analysieren einer Deformation des Objekts durch das Finite-Elemente-Verfahren, und einem Analysefehler, der aufgrund der geometrischen Verzerrung des Elements in Analyseergebnissen des Objekts durch das Finite-Elemente-Verfahren auftritt, durch einen Computer vor.
Insbesondere sieht die vorliegende Erfindung ein Verfahren vor, das enthält: Vermuten von zumindest einem Deformationsmodus, der in dem Element bei einer Deformation des Objekts auftritt, in der Gestalt von zumindest entweder Spannung, Biegung, Scherung und/oder Torsion; und Abschätzen des Analysefehlers, der mit der geometrischen Verzerrung einhergeht, für jeden des zumindest einen vermuteten Deformationsmodus.
Kurze Beschreibung der Zeichnungen
Die vorhergehende Offenbarung sowie die folgende detaillierte Beschreibung des besten Wegs zum Ausführen der Erfindung werden besser verstanden, wenn sie in Verbindung mit den beigefügten Zeichnungen gelesen werden. Aus dem Zweck des Veranschaulichens der Erfindung sind in den Zeichnungen Ausführungsformen dargestellt, die gegenwärtig bevorzugt werden. Es sollte jedoch verstanden werden, dass die Erfindung nicht auf die präzisen Anordnungen und dargestellten Instrumente beschränkt ist. In den Zeichnungen ist folgendes gezeigt:
1 1 zeigt Gleichungen 1.1 bis 1.3 zum Erklären des theoretischen Hintergrunds des Prinzips der Abschätzung, welches zum Abschätzen eines Analysefehlers aufgrund einer Elementenverzerrung in einem numerischen Analyseverfahren gemäß einer Ausführungsform der vorliegenden Erfindung angewendet wird;
2 zeigt Gleichungen 1.4 bis 1.6 zum Erklären des vorher erwähnten theoretischen Hintergrunds des Prinzips der Abschätzung;
3 stellt die Arten von Verzerrungen eines vierseitigen Elements bei dem obigen Prinzip der Abschätzung dar;
4 zeigt Gleichungen 1.7 bis 1.10 zum Erklären des vorher erwähnten theoretischen Hintergrunds des Prinzips der Abschätzung;
5 zeigt Gleichungen 1.11 bis 1.14 zum Erklären des vorher erwähnten theoretischen Hintergrunds des Prinzips der Abschätzung;
6 stellt das Aufstellen eines lokalen Koordinatensystems x-y-z bei dem vorher erwähnten Prinzip der Abschätzung und die Verwölbung eines vierseitigen Elements in dem lokalen Koordinatensystem dar;
7 zeigt Gleichungen 1.15 und 1.18 zum Erklären des vorher erwähnten theoretischen Hintergrunds des Prinzips der Abschätzung;
8 zeigt Gleichung 1.19 zum Erklären des vorher erwähnten theoretischen Hintergrunds des Prinzips der Abschätzung;
9 ist eine Tabelle, die ein Beispiel der globalen Koordinaten der Knoten eines willkürlichen vierseitigen Elements darstellt, des Ursprungs des lokalen Koordinatensystems und von Achsenvektoren, um den vorher erwähnten theoretischen Hintergrund des Prinzips der Abschätzung zu erklären;
10 ist eine Tabelle, die ein Beispiel der lokalen Koordinaten von Knoten eines willkürlichen vierseitigen Elements zum Erklären des vorher erwähnten theoretischen Hintergrunds des Prinzips der Abschätzung veranschaulicht;
11 stellt das lokale Koordinatensystem eines willkürlichen vierseitigen Elements zum Erklären des vorher erwähnten theoretischen Hintergrunds des Prinzips der Abschätzung dar;
12 stellt dar, wie ein willkürliches vierseitiges Element in eine Vielzahl von Arten von Verzerrungen gemäß dem vorher erwähnten Prinzip der Abschätzung zerlegt wird;
13 zeigt Gleichungen 1.20 und 1.21 zum Erklären des vorher erwähnten theoretischen Hintergrunds des Prinzips der Abschätzung;
14 stellt eine Vielzahl von Deformationsmodi bei dem vorher erwähnten Prinzip der Abschätzung zusammen mit den jeweiligen Jacobi-Matrizen dar;
15 zeigt Gleichungen 1.22 bis 1.25 zum Erklären des vorher erwähnten theoretischen Hintergrunds des Prinzips der Abschätzung;
16 zeigt Gleichungen 1.26 bis 1.29 zum Erklären des vorher erwähnten theoretischen Hintergrunds des Prinzips der Abschätzung;
17 zeigt Gleichungen 1.30 bis 1.32 zum Erklären des vorher erwähnten theoretischen Hintergrunds des Prinzips der Abschätzung;
18 stellt eine Vielzahl von Arten von Deformationsmodi eines bilinearen isoparametrischen vierseitigen Elements zum Erklären des vorher erwähnten theoretischen Hintergrunds des Prinzips der Abschätzung dar;
19 zeigt Gleichungen 1.33 bis 1.35 zum Erklären des vorher erwähnten theoretischen Hintergrunds des Prinzips der Abschätzung;
20 zeigt Gleichungen 1.36 bis 1.37 zum Erklären des vorher erwähnten theoretischen Hintergrunds des Prinzips der Abschätzung;
21 zeigt Gleichungen 1.38 bis 1.40 zum Erklären des vorher erwähnten theoretischen Hintergrunds des Prinzips der Abschätzung;
22 zeigt Gleichung 1.41 zum Erklären des vorher erwähnten theoretischen Hintergrunds des Prinzips der Abschätzung;
23 zeigt Gleichungen 2.1 bis 2.4 zum Erklären des vorher erwähnten theoretischen Hintergrunds des Prinzips der Abschätzung;
24 stellt fünf Freiheitsgrade eines Plattenelements zum Erklären des vorher erwähnten theoretischen Hintergrunds des Prinzips der Abschätzung dar;
25 zeigt Gleichungen 2.5 und 2.6 zum Erklären des vorher erwähnten theoretischen Hintergrunds des Prinzips der Abschätzung;
26 zeigt Gleichungen 2.7 bis 2.9 zum Erklären des vorher erwähnten theoretischen Hintergrunds des Prinzips der Abschätzung;
27 zeigt Gleichungen 2.10 bis 2.13 zum Erklären des vorher erwähnten theoretischen Hintergrunds des Prinzips der Abschätzung;
28 ist eine perspektivische Ansicht, die darstellt, wie ein vierseitiges Element zum Erklären des vorher erwähnten theoretischen Hintergrunds des Prinzips der Abschätzung aufgrund reiner Biegung, Torsion und Punktbelastung an einem Punkt verzerrt wird;
29 zeigt Gleichungen 3.1 bis 3.4 zum Erklären des vorher erwähnten theoretischen Hintergrunds des Prinzips der Abschätzung;
30 zeigt Gleichungen 3.5 bis 3.7 zum Erklären des vorher erwähnten theoretischen Hintergrunds des Prinzips der Abschätzung;
31 zeigt Gleichung 3.8 zum Erklären des vorher erwähnten theoretischen Hintergrunds des Prinzips der Abschätzung;
32 ist eine Tabelle, die ein Beispiel einer Vielzahl von analytischen Deformationsfunktionen zum Erklären des vorher erwähnten theoretischen Hintergrunds des Prinzips der Abschätzung darstellt;
33 zeigt Gleichungen 3.9 bis 3.10 zum Erklären des vorher erwähnten theoretischen Hintergrunds des Prinzips der Abschätzung;
34 ist ein Diagramm, das darstellt, wie sich ein Fehler in einer Dehnungsenergie, die gemäß dem vorher erwähnten Prinzip der Abschätzung abgeschätzt wird, in Abhängigkeit von der trapezoidförmigen Verzerrung eines Elements ohne Scherungskorrektur verändert;
35 stellt dar, wie ein vierseitiges Element zum Erklären des vorher erwähnten theoretischen Hintergrunds des Prinzips der Abschätzung durch Spannung, reine Biegung und Scherung verzerrt wird;
36 zeigt Gleichung 3.11 zum Erklären des vorher erwähnten theoretischen Hintergrunds des Prinzips der Abschätzung;
37 ist ein Diagramm zum Darstellen, wie sich ein Fehler in einer Dehnungsenergie, die gemäß dem vorher erwähnten Prinzip der Abschätzung abgeschätzt wird, in Abhängigkeit von einer trapezoidförmigen Verzerrung eines Elements mit Scherungskorrektur verändert;
38 ist eine perspektivische Ansicht, die ein Computersystem 10 veranschaulicht, das zum Ausführen des numerischen Analyseverfahrens verwendet wird;
39 ist ein Blockdiagramm, das schematisch die Hardwarekonstruktion des Computersystems 10 aus 38 zeigt;
40 ist ein Flussdiagramm, das schematisch das vorher erwähnte numerische Analyseverfahren veranschaulicht;
41 ist ein Flussdiagramm, das schematisch ein Abschätzungsprogramm für einen Analysefehler veranschaulicht, das durch den Computer 12 in 39 zum Ausführen des vorher erwähnten numerischen Analyseverfahrens ausgeführt wird;
42 veranschaulicht ein Beispiel einer Präsentation, die durch die Ausführung von Schritten S112 und S114 in 41 vorgesehen wird;
43 ist ein Flussdiagramm, das schematisch ein Programm zum Abschätzen einer Korrelation zeigt, das durch den Computer 12 in 39 ausgeführt wird, um das numerische Analyseverfahren auszuführen;
44 ist eine Tabelle, die zum Erklären des vorher erwähnten theoretischen Hintergrunds des Prinzips der Abschätzung ein Beispiel einer Vielzahl von analytischen Deformationsfunktionen zeigt; und
45 ist ein Diagramm, das darstellt, wie ein Fehler in einer Dehnungsenergie, die gemäß dem vorher erwähnten Prinzip der Abschätzung abgeschätzt wird, sich bei trapezoidförmiger Verzerrung eines Elements ohne Scherungskorrektur verändert.
Bester Weg zum Ausführen der Erfindung
Die oben erwähnte Aufgabe kann gemäß einem der folgenden Modi der Erfindung erzielt werden.
Diese Modi werden unten derart vorgestellt, dass diese Modi in Abschnitte geteilt und nummeriert sind, und so dass diese Modi von dem anderen Modus oder anderen Modi, wo es passt, abhängen. Dies dient zu einem besseren Verständnis von einigen einer Vielzahl von technologischen Merkmalen und einer Vielzahl von Kombinationen davon, die in dieser Beschreibung offenbart sind, und bedeutet nicht, dass der Rahmen dieser Merkmale und Kombinationen so interpretiert wird, dass er auf den Rahmen der folgenden Modi der Erfindung begrenzt ist.
Das bedeutet, die Interpretation sollte so sein, dass es möglich ist, die technologischen Merkmale, die in dieser Beschreibung festgehalten sind, die jedoch nicht in den folgenden Modi festgehalten sind, als die technologischen Merkmale der Erfindung zu wählen.
Ferner schließt das Festhalten von jedem der gewählten Modi der Erfindung in einer solchen abhängigen Form, dass sie von einem anderen Modus oder Modi abhängen, nicht eine Möglichkeit aus, dass die technologischen Merkmale in einem Modus einer abhängigen Form unabhängig von denjenigen in dem entsprechenden abhängigen Modus oder Modi werden und davon entfernt werden. Es ist so zu interpretieren, dass die technologischen Merkmale in einem Modus einer abhängigen Form unabhängig gemäß der Natur der entsprechenden technologischen Merkmale werden dürfen, wo es passend ist.

(1) Ein Verfahren zum Abschätzen eines Elementen-Verzerrungs-zu-Analyse-Fehler Verhältnisses zwischen einerseits einer geometrischen Verzerrung eines Elements, das dazu verwendet wird, eine Gestalt eines Objekts approximierend darzustellen und zum Analysieren der Deformation des Objekts durch ein Finite-Elemente-Verfahren und andererseits einem Analysefehler, der auftritt aufgrund der geometrischen Verzerrung des Elements in Analyseergebnissen des Objekts durch das Finite-Elemente-Verfahren, durch einen Computer, wobei das Verfahren enthält: einen Schritt des Vermutens, bei dem zumindest ein Deformationsmodus vermutet wird, der in dem Element bei der Deformation des Objekts auftritt, in der Gestalt von zumindest entweder Spannung, Biegung, Scherung und/oder Torsion, und einen Abschätzschritt des Abschätzens des Analysefehlers, der zu der geometrischen Verzerrung gehört für jeden der vermuteten Deformationsmodi des zumindest einen vermuteten Deformationsmodus.

Die vorliegenden Erfinder haben die Erkenntnis erworben, dass die geometrische Verzerrung eines beliebigen Elements vollständig durch Fokussieren auf eine Vielzahl von geometrischen Eigenschaften definiert werden kann, und dass die Vielzahl von geometrischen Eigenschaften voneinander unabhängig sind, wofür der theoretische Hintergrund später genauer beschrieben wird. Diese Erkenntnis erlaubt es, dass die Verzerrung eines Elements präzise dargestellt wird.
Nimmt man einen beliebigen virtuellen Versatz aus einem Gleichgewichtszustand an, entspricht Arbeit, die durch eine externe Kraft verrichtet wird, d. h. das Produkt des virtuellen Versatzes und der externen Kraft, einer Zunahme in Dehnungsenergie. Dies wird als "Prinzip des virtuellen Versatzes" bezeichnet. Für lineare Elastizität wird das Prinzip des virtuellen Versatzes äquivalent zum Prinzip der minimalen potentiellen Gesamtenergie. Drückt man das Prinzip im Hinblick auf die Energie aus, wird das Prinzip der minimalen potentiellen Gesamtenergie, dass die wahre Lösung des Versatzes eine Versatzfunktion minimiert, die als "potentielle Energie" bezeichnet wird, vorgesehen. Entsprechend dem Prinzip nimmt die potentielle Energie "I" auf das Minimum im Fall des wahren Versatzes "u" ab. Die potentielle Energie "I" enthält Dehnungsenergie "U" und potentielle Energie einer externen Kraft, die beide in einem Element gespeichert sind. Das Prinzip der minimalen potentiellen Gesamtenergie bildet die theoretischen Grundlagen des Finite-Elemente-Verfahrens.
Somit gibt es eine Abhängigkeit zwischen der Dehnungsenergie und dem Versatz, und als Folge bringt ein Fehler, der in einer Berechnung der Dehnungsenergie auftritt, einen Fehler, der in einer Berechnung des Versatzes auftritt, mit sich, insbesondere in den Analyseergebnissen des Versatzes.
Wenn das Maß der Verzerrung eines Elements zunimmt, nimmt auch die in dem Element gespeicherte Dehnungsenergie zu, wofür der theoretische Hintergrund später genauer beschrieben wird. Wenn ein Deformationsmodus eines Elements vorgesehen wird, kann zusätzlich eine analytische Lösung für die Dehnungsenergie des Elements berechnet werden, nicht unter Verwendung einer Finite-Elemente-Analyse, sondern unter Verwendung von theoretischen Lösungen der Spannung und Dehnung des Elements. Wenn ferner ein Deformationsmodus eines Elements vorgesehen ist, kann eine angenäherte Lösung der Dehnungsenergie des Elements basierend auf einer Finite-Elemente-Näherung unter Verwendung einer theoretischen Lösung des Knotenversatzes des Elements berechnet werden. Die Differenz zwischen der analytischen Lösung und der angenäherten Lösung bezieht sich auf einen Fehler in der Dehnungsenergie. Wie einfach von dem oben stehenden zu verstehen ist, führt dieser Fehler zu einem Fehler in den Analyseergebnissen durch das Finite-Elemente-Verfahren.
Basierend auf den oben beschriebenen Erkenntnissen wird bei dem Verfahren nach Modus (1) ein Deformationsmodus, der in einem Element während der Deformation eines Objekts auftritt, als zumindest eine Form von Spannung, Biegung, Scherung und Torsion angenommen. Ferner wird ein Analysefehler zugehörig zu der Verzerrung des Elements abgeschätzt für jeden der angenommenen Deformationsmodi bzw. den zumindest einen angenommenen Deformationsmodus.
In dem Zusammenhang bezieht sich die "Verzerrung" des Elements auf eine Abweichung der wahren Gestalt des Elements von einer Referenzgestalt (z. B. einem Referenzquadrat).

(2) Das Verfahren nach Modus (1), wobei das Element als ebenenartiges Element gebildet ist, das eine Ebene davon aufweist, und wobei der Schritt des Abschätzens einen ersten Berechnungsschritt enthält mit: (a) Durchführen einer Koordinatentransformation des ebenenartigen Elements in ein isoparametrisches Element und Ausdrücken von Gehrung und Trapezoid des ebenenartigen Elements mit einer Vielzahl von Grundverzerrungsparametern, die derart definiert sind, dass die Gehrung und die Trapezoidform unabhängig voneinander behandelt werden, wobei die Gehrung und die Trapezoidform die geometrische Verzerrung des ebenenartigen Elements sind; (b) Zerlegen des Deformationsmodus des ebenenartigen Elements in eine Vielzahl von Grunddeformationsmodi, die enthalten: Spannung, Scherung und Biegung, durch Behandeln des ebenenartigen Elements als das isoparametrische Element; (c) Berechnen der Dehnungsenergie des ebenenartigen Elements durch Formulieren von Normaldehnungen und Scherdehnungen des ebenenartigen Elements mit der Vielzahl von Grundverzerrungsparametern und der Vielzahl von Grunddeformationsmodi, durch Behandeln des ebenenartigen Elements als das isoparametrische Element; und (d) Berechnen des Analysefehlers, der mit einem Wert von jedem der Vielzahl der Grundverzerrungsparameter einhergeht für jeden der Vielzahl der Grunddeformationsmodi, basierend auf der berechneten Dehnungsenergie des ebenenartigen Elements.

In dem oben stehenden Zusammenhang kann das "ebenenartige Element" so interpretiert werden, dass ein ebenes Element im engen Sinn bezeichnet wird, ein Plattenelement, ein Membranelement oder ein Schalenelement. Im allgemeinen wird ein Ebenenelement im engen Sinn gewöhnlich als ein 2D Element mit Deformationen in der Ebene bezeichnet, ein Plattenelement unterliegt Querdeformation und ein Schalenelement enthält sowohl Deformationen in der Ebene als auch quer.
Gemäß den oben stehenden Definitionen sollte das "ebenenartige Element" in Modus (2) als Schalenelement kategorisiert werden, das in eine flache Ebene beispielsweise projiziert ist.
Das "Formulieren von Normaldehnungen und Scherdehnungen des ebenenartigen Elements" in Modus (2) kann "Expandieren der Normaldehnungen und Scherdehnung des ebenenartigen Elements unter Verwendung der geometrischen Parameter eines vierseitigen Elements" sein. Die "Komponenten" der Dehnungen sind beispielsweise Normaldehnungen, Scherdehnungen in der Ebene und Querdehnungen.

(3) Das Verfahren nach Modus (1), wobei der Schritt des Abschätzens einen zweiten Berechnungsschritt des Berechnens des Analysefehlers für jeden der angenommenen Deformationsmodi aus dem zumindest einen angenommenen Deformationsmodus enthält, basierend auf einer Differenz zwischen einer analytischen Lösung für die Dehnungsenergie des Elements und einer angenäherten Lösung für die Dehnungsenergie des Elements, wobei die analytische Lösung basierend auf einer wahren Spannung und Dehnungsverteilung innerhalb eines Elementegebiets, nicht durch eine Finite-Elemente-Analyse, berechnet wird, während die angenäherte Lösung durch eine Finite-Elemente-Näherung berechnet wird.

Das Verfahren nach Modus (3) erlaubt die Berechnung des Analysefehlers basierend auf der Differenz zwischen der analytischen und der angenäherten Lösung der Dehnungsenergie des Elements. Die analytische Lösung ist eine Berechnung der Dehnungsenergie des Elements, nicht unter Verwendung des Finite-Elemente-Verfahrens, sondern unter Verwendung eines wahren Spannungszustands des Elements. Im Gegensatz dazu ist die angenäherte Lösung eine Berechnung der Dehnungsenergie des gleichen Elements unter Verwendung einer Finite-Elemente-Näherung.

(4) Das Verfahren nach Modus (3), wobei der zweite Berechnungsschritt einen Lösungsberechnungsschritt enthält, der enthält: Definieren eines einzigen repräsentativen Elements aus einer Vielzahl von Elementen, die zusammenwirken, um die Gestalt des Objekts approximierend darzustellen; und Berechnen der analytischen Lösung und der angenäherten Lösung der Dehnungsenergie für das repräsentative Element im Hinblick auf das repräsentative Element und nicht unter Berücksichtigung anderer Elemente.

Es ist möglich, die analytische und die angenäherte Lösung der Dehnungsenergie für jedes einer Vielzahl von Elementen, die zusammenwirken, um die Gestalt eines Objekts approximierend abzubilden, zu berechnen, wobei nicht nur das gegenwärtige Element, sondern auch andere Elemente verwendet werden, die auf unterschiedlichen Finite-Elemente-Näherungsschemata beruhen. Es ist jedoch auch möglich, die analytische und die angenäherte Lösung der Dehnungsenergie unter Berücksichtigung eines Elements zu berechnen, das die Vielzahl von Elementen stellvertretend für diese Elemente darstellt, und nicht durch Berücksichtigung von anderen Elementen, und es ist auch möglich, den vorher erwähnten Analysefehler innerhalb eines tolerierbaren Bereichs von Genauigkeit unter Verwendung dieser Berechnungen abzuschätzen.
Basierend auf den oben beschriebenen Erkenntnissen wurde das Verfahren gemäß Modus (4) vorgesehen.

(5) Das Verfahren nach einem der Modi (1) bis (4), wobei die Verzerrung mit einer Vielzahl von geometrischen Parametern ausgedrückt wird, die wechselweise unabhängig geometrische Eigenschaften des Elements ausdrücken.
(6) Das Verfahren nach Modus (5), wobei die Vielzahl von geometrischen Parametern zumindest enthalten: ein Seitenverhältnis einer wahren Gestalt des Elements; Gehrung der wahren Gestalt des Elements relativ zu einem Basisrechteck, das das gleiche Seitenverhältnis wie die wahre Gestalt aufweist; und Trapezoidform der wahren Gestalt des Elements relativ zu dem Basisrechteck.

Das Verfahren nach Modus (6) erlaubt es, dass die Verzerrung eines Elements durch eine Vielzahl von geometrischen Parametern ausgedrückt wird, die voneinander unabhängig sind und die zumindest das Seitenverhältnis, die Gehrung und die Trapezoidform des Elements enthalten.
Das "Seitenverhältnis" in Modus (6), das sich auf das Verhältnis zwischen der Längsabmessung der wahren Gestalt des Elements bezieht, kann durch jede Art von Ausdruck oder Formel berechnet werden. Die "Gehrung" im Modus (6), die sich auf das Maß der Neigung der wahren Gestalt des Elements relativ zu einer Referenzgestalt bezieht, d. h. der Gestalt eines Basisrechtecks, kann ebenfalls unter Verwendung jeder Art von Ausdruck oder Formel berechnet werden. Die "Trapezoidform" in Modus (6), die sich auf das Maß der Divergenz der wahren Gestalt des Elements relativ zu der Referenzgestalt bezieht, kann ebenso unter Verwendung jeder Art von Ausdruck oder Formel berechnet werden.
Die "wahre Gestalt des Elements" im Modus (6) kann derart interpretiert werden, dass sie die Gestalt von jedem von einer Vielzahl von Elementen bezeichnet, in die ein Objekt geteilt worden ist.

(7) Das Verfahren nach Modus (6), wobei die Gehrung mit einer Gehrungsmenge der wahren Gestalt des Elements relativ zu dem Basisrechteck definiert ist, und wobei die Trapezoidform mit einem Maß der Kegelform der wahren Gestalt des Elements relativ zu dem Basisrechteck definiert ist.

Die vorliegenden Erfinder haben herausgefunden, dass beim Ausdrücken der Verzerrung eines Elements durch eine Vielzahl von geometrischen Parametern, die linear unabhängig voneinander sind, und die zumindest das Seitenverhältnis, die Gehrung und die Trapezoidform des Elements enthalten, es wichtig ist, die Gehrung unter Verwendung des Maßes der Gehrung der wahren Gestalt des Elements relativ zu dem Basisrechteck zu definieren und die Trapezoidform unter Verwendung des Maßes der Kegelform der wahren Gestalt des Elements relativ zu dem Basisrechteck zu definieren.
Basierend auf den oben beschriebenen Erkenntnissen wurde das Verfahren nach Modus (7) vorgesehen.
Das "Maß von Gehrung" im Modus (7) kann als das Maß der Scherungsdeformation definiert werden, der das Basisrechteck unterworfen werden muss, damit das Basisrechteck bei Scherdeformation die wahre Gestalt des vorliegenden Elements darstellt oder damit zusammenfallt.

(8) Das Verfahren nach Modus (6) oder (7), wobei die Vielzahl von geometrischen Parametern weiter ein Maß der Verwölbung oder Verzerrung der wahren Gestalt des Elements relativ zu dem Basisrechteck enthalten.

Das Verfahren nach Modus (8) erlaubt es, die Verzerrung des Elements unter Berücksichtigung von auch der Verwölbung oder Verzerrung des Elements auszudrücken oder darzustellen, was zu einer einfacheren Verbesserung der Genauigkeit des Ausdrucks oder der Darstellung der Verzerrung im Vergleich dazu, wenn das gleiche Element ohne Berücksichtigung der Verwölbung oder Verzerrung ausgedrückt wird, führt.

(9) Das Verfahren nach einem der Modi (5) bis (8), wobei der Abschätzschritt enthält: Abschätzen des Analysefehlers, der zu jedem der Vielzahl von geometrischen Parametern gehört, wobei der abgeschätzte Analysefehler jeder einer Vielzahl von einzelnen Analysefehler ist; und Abschätzen des Analysefehlers aufgrund einer Gesamtheit der Verzerrung des Elements als einen Gesamtanalysefehler, basierend auf der Vielzahl von einzelnen Analysefehlern, die zugehörig zu der Vielzahl der geometrischen Parametern jeweils abgeschätzt wurden.

Eine Studie der vorliegenden Erfinder hat die Tatsache erkennen lassen, dass der Ausdruck oder die Darstellung der Verzerrung eines Elements durch eine Vielzahl von wechselseitig unabhängigen geometrischen Parameter eine Abschätzung des Analysefehlers aufgrund der Verzerrung erlauben würde, zugehörig zu jedem der Vielzahl von geometrischen Parameter.
Im Hinblick auf die oben stehenden Erkenntnisse wird bei dem Verfahren gemäß Modus (9) der Analysefehler als ein individueller Analysefehler abgeschätzt, der zu jedem der Vielzahl von wechselseitig unabhängigen geometrischen Parametern gehört. Ferner wird basierend auf einer Vielzahl von einzelnen Analysefehlern, die zugehörig zu der Vielzahl von geometrischen Pa rametern jeweils abgeschätzt wurden, der Analysefehler aufgrund der gesamten Verzerrung des Elements als ein gesamter Analysefehler abgeschätzt.

(10) Das Verfahren nach Modus (9), wobei der Abschätzschritt implementiert ist, dass der gesamte Analysefehler unter Berücksichtigung eines synergistischen Effekts der Vielzahl von geometrischen Parametern auf die Analyseergebnisse abgeschätzt wird, basierend auf der abgeschätzten Vielzahl von einzelnen Analysefehlern.

Eine Studie der vorliegenden Erfindern hat auch die Tatsache aufgedeckt, dass der gesamte Analysefehler aufgrund der gesamten Verzerrung des Elements möglicherweise größer sein kann als die einfache Summe von der Vielzahl von einzelnen Analysefehlern aufgrund jeweiliger Komponenten der Gesamtverzerrung des gleichen Elements, wobei die Komponenten durch die Vielzahl von geometrischen Parametern jeweils ausgedrückt werden. Der Grund dafür kann darauf zurückgeführt werden, dass die Vielzahl von geometrischen Parameter eine synergistische Wirkung auf die Analyseergebnisse hat.
Basierend auf den oben beschriebenen Erkenntnissen wurde das Verfahren gemäß Modus (10) vorgesehen.

(11) Ein Verfahren zum Abschätzen eines Analysefehlers durch einen Computer, wobei der Analysefehler in Analyseergebnissen für die Deformation eines Objekts durch ein Finite-Elemente-Verfahren unter Verwendung eines Satzes einer Vielzahl von Elementen, die eine Gestalt des Objekts approximierend darstellen, auftritt, wobei das Verfahren enthält: einen Schritt zum Bestimmen eines Deformationsmodus für jedes Element, mit dem zumindest ein Modus aus Spannung, Biegung, Scherung und Torsion als ein Deformationsmodus bestimmt wird, von dem man erwartet, dass er in jedem der Vielzahl von Elementen während der Deformation des Objekts auftritt, in Abhängigkeit von einem Befehl, der von einem Benutzer des Computers ausgeführt wird zur direkten Bestimmung des Deformationsmodus; und einen Visualisierungsschritt für das quantitative Visualisieren des Analysefehlers aufgrund einer geometrischen Verzerrung jedes Elements bei der Bestimmung des Deformationsmodus für zumindest eines der Vielzahl von Elementen.

Das Verfahren nach Modus (11) erlaubt bei der Bestimmung des Deformationsmodus eine quantitative Visualisierung des Analysefehlers aufgrund der geometrischen Verzerrung von jedem Element für zumindest eines einer Vielzahl von Elementen, die ein zu analysierendes Objekt darstellen.
Die quantitative Visualisierung kann von einer Art sein, welche eine numerische Darstellung des Analysefehlers erlaubt, von einer Art, welche eine grafische Darstellung des Analysefehlers mit Diagrammen, Graphen, Farben, usw. beispielhaft erlaubt.

(12) Das Verfahren nach Modus (11), wobei das Verfahren ausgeführt wird vor einer numerischen Analyse des Satzes durch das Finite-Elemente-Verfahren.

Das Verfahren nach Modus (12) wird vor dem Implementieren der numerischen Analyse durch das Finite-Elemente-Verfahren unter Verwendung eines Satzes einer Vielzahl von Elementen, die zusammen ein Objekt darstellen, durchgeführt. Daher würde das Verfahren nicht eine Implementierung der numerischen Analyse durch das Finite-Elemente-Verfahren unter Verwendung der Gesamtheit der Vielzahl von Elementen zum Erhalten des Analysefehlers aufgrund der Verzerrung eines ausgewählten Elements der Vielzahl von Elementen erfordern, was zu einer einfacheren Verringerung der Zeit führt, die zum Erhalten des Analysefehlers erforderlich ist.

(13) Das Verfahren nach Modus (11) oder (12), weiter enthaltend einen Abschätzschritt zum Abschätzen des Analysefehlers unter Verwendung des Computers für jedes Element basierend auf dem bestimmten Deformationsmodus entsprechend einem Elementen-Verzerrungs-zu-Analyse-Fehler Verhältnis, das im voraus zwischen der geometrischen Verzerrung von jedem Element und dem Analysefehler abgeschätzt wird, der aufgrund der geometrischen Verzerrung in den Analyseergebnissen durch das Finite-Elemente-Verfahren auftritt, und wobei der Visualisierungsschritt implementiert wird, um den abgeschätzten Analysefehler zu visualisieren.
(14) Das Verfahren nach Modus (13), wobei das Elementen-Verzerrungs-zu-Analyse-Fehler Verhältnis durch das Verfahren nach einem der Modi (1) bis (10) abgeschätzt worden ist.
(15) Das Verfahren nach Modus (13) oder (14), wobei die Verzerrung mit einer Vielzahl von geometrischen Parameter ausgedrückt ist, die wechselweise unabhängig geometrische Eigenschaften jedes Elements ausdrücken, wobei der Abschätzschritt einen Abschätzschritt für einen individuellen Analysefehler enthält, bei dem der Analysefehler, der zu jedem der Vielzahl von geometrischen Parametern gehört, als ein individueller Analysefehler abgeschätzt wird, und wobei der Visualisierungsschritt implementiert ist, um den abgeschätzten individuellen Analysefehler für jeden der Vielzahl von geometrischen Parametern zugehörig zu jedem des zumindest einen Elements zu visualisieren.
(16) Das Verfahren nach einem der Modi (13) bis (15), wobei der Abschätzschritt einen Abschätzschritt für einen Gesamtanalysefehler enthält, bei dem der Analysefehler aufgrund einer Gesamtverzerrung jedes Elements als ein Gesamtanalysefehler abgeschätzt wird, zugehörig zu jedem Element aus dem mindestens einen Element, und wobei der Visualisierungsschritt implementiert ist zum Visualisieren des abgeschätzten Gesamtanalysefehlers zugehörig zu jedem Element aus dem mindestens einen Element.
(17) Das Verfahren nach Modus (16), wobei der Visualisierungsschritt einen speziellen Darstellungsschritt zum Darstellen der Vielzahl von Elementen enthält, damit ein Benutzer des Computers visuell zwischen zumindest einem der Vielzahl von Elementen unterscheiden kann, für das jeweils der Gesamtanalysefehler als nicht weniger als ein tolerierbarer Wert abgeschätzt ist, und zumindest einem der Vielzahl von Elementen, für das der abgeschätzte Gesamtanalysefehler weniger als der tolerierbare Wert ist.
(18) Ein Verfahren zum Abschätzen der Deformation eines Objekts durch ein Finite-Elemente-Verfahren unter Verwendung eines Satzes einer Vielzahl von Elementen, die eine Gestalt eines Objekts approximierend darstellen, unter Verwendung eines Computers, wobei das Verfahren enthält: einen Teilungsschritt zum Teilen der Form des Objekts in eine Vielzahl von Elementen, unter Verwendung des Computers; einen Bestimmungsschritt für einen Deformationsmodus, bei dem bei einer Teilung in eine Vielzahl von Elementen für jedes Element zumindest ein Modus aus Spannung, Biegung, Scherung und Torsion als ein Deformationsmodus bestimmt wird, von dem man erwartet, dass er in jedem Element während der Deformation des Objekts auftritt, in Abhängigkeit von einem Befehl, der von einem Benutzer des Computers abgegeben wird, um die Bestimmung des Deformationsmodus zu leiten; einen Visualisierungsschritt, bei dem als Antwort auf die Bestimmung des Deformationsmodus für zumindest eines der Vielzahl von Elementen quantitativ ein Analysefehler visualisiert wird, der aufgrund einer geometrischen Verzerrung jedes Elements in den Analyseergebnissen der Deformation des Objekts durch das Finite-Elemente-Verfahren auftritt; und einen Analyseschritt zum Analysieren der Deformation des Objekts unter Verwendung des Satzes durch das Finite-Elemente-Verfahren unter Verwendung des Computers.
(19) Ein Computerprogramm, das durch einen Computer ausgeführt wird, zum Durchführen des Verfahrens nach einem der Modi (1) bis (18).

Die Ausführung des Programms gemäß Modus (19) durch einen Computer ermöglicht es, im Grunde die gleichen Wirkungen entsprechend mit im Grunde dem gleichen Prinzip vorzusehen, jeweils wie mit dem Verfahren nach einem der Modi (1) bis (18).
Das "Programm" im Modus (19) kann interpretiert werden, dass es nicht nur einen Satz von Anweisungen beinhaltet, die durch einen Computer auszuführen sind, so dass das Programm funktionieren kann, sondern auch jedes File bzw. jede Datei oder Daten, die durch einen Computer gemäß dem Satz von Instruktionen zu verarbeiten sind.
Auch können die gewünschten Funktionen des "Programms" im Modus (19) durch Ausführen von nur dem Programm durch einen Computer erzielt werden oder können erzielt werden durch Ausführen des Programms und anderer Programme durch einen Computer. Im letzteren Fall kann das Programm gemäß Modus (19) im Prinzip mit Daten strukturiert sein.

(20) Ein computerlesbarer Speicher, der darauf das Computerprogramm gemäß Modus (19) gespeichert hat.

Die Ausführung des in dem Speichermedium gespeicherten Programms gemäß Modus (20) würde im Grunde die gleichen Funktionen und Wirkungen vorsehen wie mit dem Verfahren gemäß einem der Modi (1) bis (18).
Das "Speichermedium" im Modus (20) kann in unterschiedlichen Typen realisiert werden, einschließlich einem magnetischen Aufzeichnungsmedium, wie z. B. einer flexiblen Disk, einem optischen Aufzeichnungsmedium, wie z. B. einer CD oder CD-Rom, einem optisch-magnetischen Aufzeichnungsmedium, wie z. B. einem MO, einem nichtentfernbaren Speicher, wie z. B. einem ROM, usw. als Beispiele.

(21) Eine Vorrichtung zum Implementieren des Verfahrens gemäß einem der Modi (1) bis (18) durch einen Computer.

Einige der gegenwärtig bevorzugten Ausführungsformen der Erfindung werden im einzelnen unter Verweis auf die Zeichnungen beschrieben, in denen gleiche Referenzziffern durchgängig verwendet werden, um gleiche Elemente zu bezeichnen.
Ein numerisches Analyseverfahren wird entsprechend einer Ausführungsform der vorliegenden Erfindung beschrieben. Das numerische Analyseverfahren dient dazu, die Deformation einer Struktur zu analysieren, die ein durch ein Finite-Elemente-Verfahren zu analysierendes Objekt ist, unter der Verwendung eines Satzes einer Vielzahl von Elementen, die die Gestalt der Struktur approximierend darstellen.
Das numerische Analyseverfahren, grob beschrieben, wird derart durchgeführt, dass die Struktur automatisch in eine Vielzahl von Elementen geteilt wird, und ein Analysefehler, von dem man erwartet, dass er aufgrund der Verzerrung jedes Elements, in den resultierenden Analyseergebnissen durch das Finite-Elemente-Verfahren auftritt, wird für jedes Element abgeschätzt. Die Verzerrung jedes Elements erscheint als ein Ergebnis der Gittererzeugung, wie später beschrieben wird. Ein Wissenschaftler wird dann über zumindest eines der Vielzahl von Elementen informiert, bei dem der abgeschätzte Analysefehler einen vorgegebenen tolerierbaren Wert übersteigt, wenn es ein solches gibt. Als ein Ergebnis kommt der Wissenschaftler in die Lage, erneut die gleiche Struktur in eine Vielzahl von Elementen zu teilen, so dass kein Element erzeugt wird, das bewirkt, dass der Analysefehler den tolerierbaren Wert übersteigt, insbesondere dass kein Element erzeugt wird, das eine derartig übermäßige Verzerrung aufweist, dass der Analysefehler vergrößert wird.
Ferner wird das numerische Analyseverfahren derart durchgeführt, dass die Deformation des Objekts durch das Finite-Elemente-Verfahren als Antwort auf einen Befehl, der von dem Wis senschaftler abgegeben wird, um die Implementierung der Analyse zu steuern, unter Verwendung der Vielzahl von Elementen, von denen jedes in der Gestalt festgelegt worden ist, analysiert wird.
Bei der Ausführungsform der vorliegenden Erfindung, wird der Analysefehler basierend auf den folgenden neuartigen Erkenntnissen abgeschätzt, die durch die vorliegenden Erfinder vorgeschlagen werden:
(1) Definition der Elementenverzerrung
Die geometrische Gestalt eines willkürlichen Elements kann mit einer Vielzahl von linear unabhängigen Verzerrungsmodi (geometrischen Parametern) ausgedrückt werden. Mit anderen Worten kann die Gestalt eines Elements als eine Linearkombination der Verzerrungsmodi ausgedrückt werden.
In diesem Hinblick enthalten die Vielzahl von Verzerrungsmodi, wenn die Verwölbung eines Elements unberücksichtigt bleibt, einen Modus, der sich auf das Seitenverhältnis des Elements bezieht, Modi, die sich auf die Gehrung (das Gehrungsmaß) des Elements in zwei orthogonalen Richtungen beziehen, und Modi, die sich auf die Trapezoidform (das Maß der Kegelform) des Elements in zwei orthogonalen Richtungen beziehen, schließen jedoch andere Modi aus.
Daher wird die Elementenverzerrung nur durch das Seitenverhältnis, die Gehrung und die Trapezoidform definiert.
(2) Definition des Elementenversatzes
Der Versatz eines Elements kann mit einer Vielzahl von linear unabhängigen Deformationsmodi ausgedrückt werden. Mit anderen Worten kann der Elementenversatz als eine Linearkombination der Deformationsmodi ausgedrückt werden.
In diesem Hinblick enthält die Vielzahl von Verzerrungsmodi Translationsmodi in jeweiligen zwei orthogonalen Richtungen, Zerrungs- oder Dehnungsmodi in jeweiligen zwei orthogonalen Richtungen, Schermodi (reine Schermodi) in jeweiligen zwei orthogonalen Richtungen, und Biegemodi (reine Biegemodi) in jeweiligen zwei orthogonalen Richtungen, schließt jedoch andere Modi aus.
(3) Korrelation zwischen der Elementenverzerrung und dem Analysefehler aufgrund der Elementenverzerrung
Wenn ein Verzerrungsmodus eines Elements bestimmt worden ist, wird ein konstantes Verhältnis, abhängig von dem bestimmten Deformationsmodus, zwischen dem bestimmten Verzerrungsmodus und einem Analysefehler aufgrund des bestimmten Verzerrungsmodus aufgestellt. Der Analysefehler aufgrund der Elementenverzerrung kann analysiert werden, wobei der Analysefehler in Komponenten für die jeweiligen Deformationsmodi des Elements zerlegt wird.
Anschließend wird der theoretische Hintergrund der oben stehenden Erkenntnisse nachfolgend erklärt.
Es ist unmöglich, ein Gebiet, dessen Grenze mit einer gekrümmten Linie oder einer gekrümmten Oberfläche geformt ist, durch Elemente zu idealisieren, deren Grenzen mit geraden Linien oder flachen Oberflächen geformt sind. Aus diesem Grund wurde ein Typ eines Elements entwickelt, das eine gekrümmte Linie oder eine gekrümmte Oberfläche aufweist. Da der Typ des Elements äquivalent zu einem geradlinigen Element unter einer Parameterumgebung ist, wird dieser Elementtyp als "isoparametrisches Element" bezeichnet.
Daher kann ein Fall auftreten, in dem die isoparametrischen Elemente für die Analyse von komplexen Strukturen eingesetzt werden. In diesem Fall werden die Strukturen oft in unregelmäßige vierseitige Elemente (Tafelelemente) diskretisiert, was eine verzerrte Masche (Element) mit sich bringt. Um mit willkürlichen vierseitigen Elementen aus praktischen Gründen umzugehen, wird ein verzerrtes Element in ein Grundquadratelement abgebildet, wobei die bilinearen Gestaltfunktionen eingeführt werden, die mit den natürlichen Koordinaten (ξ, n) definiert sind. Innerhalb eines isoparametrischen Elements wird der interne Versatzanteil auch durch die gleichen bilinearen Gestaltfunktionen angenähert, und eine unvollständige geradlinige Dehnungsvariation wird erhalten, indem die Ableitungen des Versatzes in Bezug auf die Objektkoordinaten oder physikalischen Koordinaten (x, y) genommen werden. Dann kann die entsprechende Spannungs- und Elementensteifigkeitsmatrix ausgedrückt als Knotenversatzvektoren berechnet werden.
Unabhängig von der Art des finiten Elements nimmt eine Annäherungsgenauigkeit ab, wenn sich das Elementenseitenverhältnis von einem Einheitlichen unterscheidet, und wenn die Gestalt eines Elements von einem Rechteck abweicht. Der Grund der Beeinträchtigung der Annäherungsgenauigkeit aufgrund eines unregelmäßigen Gitters ist in der Jacobi-Matrix zu finden. Die Matrix spiegelt direkt die Elementengeometrie in Koordinatentransformation der Differentialoperatoren bei der Entwicklung von Dehnungen oder den Ableitungen der Gestaltfunktion wider, wenn die Elementensteifigkeitsmatrix berechnet wird. Dann wird der Einfluss der Elementenverzerrung auf die Annäherungsgenauigkeit speziell in der Dehnungsverteilung im Hinblick auf eine Klasse von isoparametrischen vierseitigen Elementen untersucht.
Elementenverzerrungsparameter werden durch Ausdrücken der Geometrie eines beliebigen Elements als eine Kombination von Gehrungsverzerrung und Trapezoidverzerrung in Verbindung mit dem Seitenverhältnis definiert. Sowohl die Gehrungsverzerrung als auch die Trapezoidverzerrung werden relativ zu einem Basisrechteck, das sein Seitenverhältnis anzeigt, definiert. Als Ergebnis wird die Jacobi-Matrix mit Elementenverzerrungsparametern ausgedrückt beschrieben. Um zu beobachten, welche Ausdrücke mit Elementenverzerrung für ein isoparametrisches vierseitiges Element einhergehen, werden die Dehnungskomponenten in Bezug auf die inverse Jacobi-Matrix entwickelt.
Die Elementenverzerrung ist wie folgt definiert:
Die Geometrie eines isoparametrischen Elements wird durch bilineare Polynome in Bezug auf die parametrischen natürlichen Koordinaten ξ und η angesetzt, die eindeutig in einem Elementengebiet identifiziert sind, wie in Gleichung 1.1 in 1 angegeben.
In der Gleichung sind N_i(ξ, η) die bilinearen Gestaltfunktionen, die durch Gleichung 1.2 in 1 definiert sind. Die Funktionen stellen die Koordinatenbeziehungen zwischen den Objektkoordinaten und den parametrischen Koordinaten für zweidimensionale Elemente her. Jeder Koeffizient in Gleichung 1.1 wird als Gleichung 1.3 in 1 ausgedrückt. In Gleichung 1.3 sind h₀ bis h₃ orthogonale Vektoren, und ihre Werte werden als Gleichung 1.4 in 2 ausgedrückt. Die Knotenkoordinatenvektoren x, y in Gleichung 1.3 sind als Gleichung 1.5 in 2 ausgedrückt.
Folgend der oben stehenden Notation kann die Jacobi-Matrix, die in der Transformation von Differentialoperatoren verwendet wird, als Gleichung 1.6 in 2 ausgedrückt werden.
Da die Jacobi-Matrix ein beliebiges vierseitiges Element auf ein quadratisches Gebiet abbildet, dessen Seitenlänge zwei ist, sind die Komponenten der Jacobi-Matrix direkt in Beziehung zur Geometrie des Elements. Um diese Korrelation speziell aufzuzeigen, werden als nächstes die Jacobi-Matrizen von rechteckigen Elementen, Parallelogrammelementen und trapezförmigen Elementen untersucht.
Wie in 3 dargestellt, wird die Geometrie eines willkürlichen vierseitigen Elements, das in dem lokalen Koordinatensystem x, y definiert ist, in die folgenden vier Verzerrungsmodi kategorisiert: Gehrung in der x und y Richtung und Trapezform in der x und y Richtung, zusammen mit dem Seitenverhältnis des Grundrechtecks. Einige Arten von Elementverzerrungen sind in 3 gezeigt.
Entsprechend den in 3 gegebenen Abmessungen werden die Geometrie des Grundrechtecks, Parallelogramms und Trapezoids unter Verwendung der Orthogonalvektoren h₁, h₂, h₃ geschrieben, die als Gleichung 1.7 in 4 ausgedrückt sind. In der Gleichung bezeichnet die linke Seite des oberen Ausdrucks die Knotenordinaten des Grundrechtecks, die linken Seiten der zweiten und dritten Ausdrücke bezeichnen die Knotenkoordinaten des Parallelogramms, und die linken Seiten des vierten Ausdrucks und des unteren Ausdrucks bezeichnen die Knotenkoordinaten des Trapezoids.
Ferner ist das Seitenverhältnis des Elements das Verhältnis der Seitenlängen des Grundrechtecks. Ferner kann das Maß der Verzerrungen, d. h. das Maß der Gehrung und die trapezoidförmige Deformation in der x und y Richtung eines beliebigen vierseitigen Elements als die Unterschiede zum Rechteck angesehen werden. Die Unterschiede sind als Gleichung 1.8 in 4 beschrieben, die äquivalent zur Gleichung 1.9 in 4 ist.
Da h₁, h₂, und h₃ linear unabhängig sind, kann die Wirkung jeder Verzerrung auf die Annäherungsgenauigkeit getrennt untersucht werden. Nun führt aufgrund der Orthogonalitätsbedingung h_i ^Th_j = 4δ_ij(δ_ij: Kronecker Delta) das Einsetzen der oben stehenden Knotenkoordinaten in Gleichung 1.3 zu Gleichung 1.11 in 5. Die Gleichung zeigt, dass die Koeffizienten a₁ ^x und a_i ^y, i = 1, 2, 3 tatsächlich exakt die Dimensionen des Grundrechtecks und die Verzerrungsparameter sind, während der Durchschnitt der vier Koordinaten a₀ ^x und a₀ ^y den Ort des Elementenschwer punkts angibt. Mit der Verwendung der Verzerrungsparameter werden die internen Koordinaten in Gleichungen 1.1 auch als Gleichung 1.12 in 5 geschrieben.
(x₀, y₀) in Gleichung 1.12 ist die Koordinate des Elementenschwerpunkts, d. h. der Ursprung des lokalen Koordinatensystems. Ferner sind die Geometrieparameter h_x, h_y, α₁, α₂, α₃ und α₄ als Gleichung 1.12 in 5 ausgedrückt.
Einsetzen von diesen geometrischen Parameter in Gleichung 1.10 ergibt das als Gleichung 1.14 in 5 ausgedrückte Verhältnis.
Nun wird ein Beispiel eines beliebigen Vierecks betrachtet, um tatsächlich dessen Geometrieparameter zu erhalten. Ehe dies geschieht, ist es erforderlich, das lokale Koordinatensystem zu definieren, das in einem Element speziell zugewiesen wird. In 6 ist das Aufstellen des lokalen Koordinatensystems veranschaulicht.
Wenn ein Viereck verwölbt ist, was bedeutet, dass die vier Eckknoten nicht auf der gleichen Ebene liegen, dann wird zuerst das Viereck auf eine flache Oberfläche derart projiziert, dass die Abstände zwischen den Knoten der flachen Ebene und dem Viereck die gleichen werden. Dies seht ein Ebenenelement vor (dargestellt mit durchgezogenen Linien in 6), das dem ursprünglichen vierseitigen Element (dargestellt mit gestrichelten Linien in 6) entspricht. Die Knotenkoordinaten des ursprünglichen Vierecks in der Richtung senkrecht zu dem ebenen Element sind h_wh₃, wobei h_w eine Projektionshöhe bezeichnet. Wenngleich Verwölbung ein Hauptfaktor einer Abnahme der Annäherungsgenauigkeit für die Gestalt einer Struktur ist, wird gegenwärtig nur die Verzerrung in der ebenen Richtung berücksichtigt.
Nun wird der Ursprung des lokalen Koordinatensystems auf den Schwerpunkt des ebenen Elements festgelegt. Dies wird als Gleichung 1.15 in 7 ausgedrückt. X und Y in Gleichung 1.15 sind die globalen Koordinaten der vier Eckknoten.
Als nächstes wird jede Seite des ebenen Elements halbiert, und zwei Vektoren, die die Mittelpunkte auf den gegenüberliegenden Seiten P₂₄, P₃₁ verbinden, werden durch Gleichung 1.16 in 7 gefunden. Der Vektor P₂₄ wird als die Richtung der lokalen x Achse festgelegt, und dann wird die y Achse senkrecht zur x Achse definiert. Dies wird als Gleichung 1.17 in 7 ausge drückt. Das P₂₄ mit Suffix in Gleichung 1.17, dem ein spezielles Symbol als Suffix zugewiesen ist, wird als Gleichung 1.18 in 7 ausgedrückt.
Die lokalen Koordinaten {x_i, y_i} werden erhalten durch Konvertieren der Ortsvektoren in Bezug auf den Elementenschwerpunkt unter Verwendung der Koordinatentransformationsmatrix T = [e_x, e_y]. Dies ist als Gleichung 1.19 in 8 beschrieben.
Schließlich wird das Maß von Verzerrung, die in dem ebenen Element enthalten ist, durch Gleichung 1.13 in 5 gefunden.
Nun wird ein beliebig gestaltetes vierseitiges Element, dessen globale Knotenkoordinaten X_i, Y_i (für Knoten 1, 2, 3 und 4) in der Tabelle von 9 gelistet sind, als Beispiel betrachtet. Der Ort des Ursprungs des lokalen Koordinatensystems wird gefunden, indem der Durchschnitt der vier Knotenkoordinaten genommen wird, wie es als Gleichung 1.15 in 7 ausgedrückt ist, und die Einheitsachsenvektoren e_x, e_y werden erhalten durch Berechnen von Gleichung 1.17 in 7, wie in der Tabelle von 9. Dann werden unter Anwendung der Koordinatentransformationsmatrix die Knotenkoordinaten x_i, y_i gefunden, wie sie in der Tabelle von 10 angegeben sind. Das beliebige Viereck und sein lokales Koordinatensystem x-y sind auch in 11 dargestellt. In 11 bezeichnet X-Y das globale Koordinatensystem.
Unter Verwendung von Gleichung 1.13 in 5 werden die geometrischen Parameter dieses Vierecks wie folgt erhalten: hx = (1/4)h1 Tx = 2.1033 hy = (1/4)h2 Ty = 1.5738 Seitenverhältnis = hx/hy = 1.3364 α1 = (1/4)h2 Tx = –0.4048 α2 = (1/4)h1 Ty = –0.3029 α3 = (1/4)h3 Tx = –1.1491 α4 = (1/4)h3 Ty = –0.08709
Ferner kann aus Gleichung 1.10 in 4 verifiziert werden, dass die Knotenkoordinaten als die Linearkombination der orthogonalen Vektoren h₁, h₂, und h₃ ausgedrückt werden, deren Koeffizienten die hier erhaltenen geometrischen Parameter sind. Es ist auch zu erkennen, dass die tra pezoidförmige Verzerrung in der x Richtung der dominierende Verzerrungstyp ist, der in diesem speziellen vierseitigen Element enthalten ist. Wie vorher definiert, ist das beliebig vierseitige Element aus dem Basisrechtrechteck gebildet, das mit den vier Verzerrungstypen beaufschlagt ist: Gehrung in der x und y Richtung und Trapezoid in der x und y Richtung, wie aus 12 zu erkennen ist. In 12 ist das ursprüngliche verzerrte Element mit gestrichelten Linien dargestellt, während das Maß der Gehrung oder Trapezoidform, die in dem entsprechenden verzerrten Element enthalten ist, mit durchgezogenen Linien gemäß der Definition der Verzerrungen, die oben beschrieben wurden, dargestellt ist.
Entsprechend den Modi der Elementenverzerrung, die bislang definiert sind, kann die Jacobi-Matrix eines vierseitigen Elements, die als Gleichung 1.16 in 2 ausgedrückt ist, nun mit geometrischen Eigenschaften als Gleichung 1.20 in 13 ausgedrückt werden.
Alternativ kann die Jacobi-Matrix in drei Teile zerlegt werden: einen konstanten Diagonalterm, einen konstanten nichtdiagonalen Term, und einen linearen Term, wie es als Gleichung 1.21 in 13 ausgedrückt ist. Der erste konstante Term mit diagonalen Komponenten stellt das Grundrechteck dar; der zweite konstante Term mit nichtdiagonalen Komponenten gibt die Gehrung des Elements an; und der dritte lineare Teil steht für die trapezoidförmige Verzerrung. In 14 sind die Verzerrungsmodi und die Jacobi-Matrizen gezeigt.
Mit anderen Worten, besteht die Jacobi-Matrix auch aus dem Rechtsecksterm, der mit dem konstanten nichtdiagonalen Gehrungsterm und dem linearen Trapezoidformterm beaufschlagt ist, wie es in 14 gezeigt ist, da eine willkürliche Elementenform sich aus einer Summe von Verzerrungsgrößen zusammensetzt, die auf das Grundrechteck aufaddiert werden. Es kann beobachtet werden, dass die Jacobi-Matrix konstant ist, wenn das Element ein Rechteck oder Parallelogramm ist, und linear wird, wenn es ein Trapezoid ist.
Die Determinante der Jacobi-Matrix, die ein Maß dafür ist, wie eine Koordinatentransformation die Fläche eines Einheitsgebiets verändert, ist eine lineare Funktion, die als Gleichung 1.22 in 15 ausgedrückt ist. Dabei sind J₀, J₁ und J₂ als Gleichung 1.23 in 15 dargestellt.
Auch ist die Jacobi Determinante, die sich auf geometrische Größen bezieht, als Gleichung 1.24 in 15 ausgedrückt.
Offensichtlich ist die Jacobi Determinante ebenfalls konstant für rechteckige und parallelogrammförmige Elemente. Ferner wird die Inverse der Jacobi-Matrix Gleichung 1.25 in 15. Die Ableitungen in Bezug auf die kartesischen Koordinaten werden durch Transformieren von ihnen im Hinblick auf die parametrischen Koordinaten unter Verwendung der inversen Jacobi-Matrix erhalten. Dies wird als Gleichung 1.26 in 16 dargestellt.
Es wird für den Zweck von numerischen Entwicklungen bevorzugt, die oben stehenden Differentialoperatoren unter Verwendung von Polynomen anstatt der gegenwärtigen rationalen Funktionen darzustellen. Aus diesem Grund kann die Inverse der Jacobi Determinante 1/J(ξ, η) durch die Taylorreihe um den Elementenschwerpunkt entwickelt werden. Dies wird als Gleichung 1.27 in 16 dargestellt. Durch Aufnehmen der Terme erster Ordnung wird die Jacobi-Matrix durch Gleichung 1.28 in 16 angenähert.
Alternativ kann das Taylor'sche Theorem auf die inverse Jacobi-Matrix selbst angewendet werden, was zu einer anderen Annäherung führt, die als Gleichung 1.29 in 16 ausgedrückt ist. Ein Austauschen der inversen Jacobi-Matrix durch eine dieser beiden Annäherungen erlaubt es, dass die Ableitungen der Gestaltfunktion in Polynomform geschrieben werden.
Die Versatzverteilung in der Ebene eines isoparametrischen Elements wird durch die gleiche bilineare Gestaltfunktionen N_i(ξ, η) angesetzt, die für die Koordinatenannäherung verwendet werden. Die internen Versatzfunktionen eines isoparametrischen Elements werden als Gleichung 1.30 in 17 ausgedrückt. Dabei sind die Koeffizienten der Polynome durch Gleichung 1.31 in 17 gegeben. Die Knotenversatzvektoren u, v werden als Gleichung 1.32 in 17 ausgedrückt.
Analog dazu, wie die Elementengeometrie durch eine Linearkombination von Gehrung und Trapezoidverzerrungen dargestellt wird, die dem Grundrechteck aufaddiert werden, besteht eine Deformation eines isoparametrisches Elements, wie es in 18 gezeigt ist, aus den vier Modi in der x und y Richtung: Translationsmodi (Nullspannung), Zerrungs- oder Dehnungsmodi (konstante Normalspannung), Scherungsmodi (konstante Scherspannung) und Biegungsmodi (lineare Normalspannung). Starrkörperbewegungen enthalten Translation und Rotation. Die Translation wird durch zwei Translationsmodi in der x und y Richtung dargestellt. Die Rotation wird durch Subtrahieren des Schermodus in der x Richtung von dem Schermodus in der y Richtung dargestellt.
Durch Anwenden der Koordinatentransformation von Differentialoperatoren, die als Gleichung 1.26 in 16 ausgedrückt sind, auf die Versatzableitungen in Bezug auf die natürlichen Koordinaten, wird Gleichung 1.33 in 19 erhalten. Das Dehnungsfeld wird als Gleichung 1.34 in 19 erhalten.
Aus den oben stehenden Koordinatenverhältnissen der Differentialoperationen ist es ableitbar, dass die nicht-diagonalen konstanten und linearen Funktionen, die in j^–11, j^–12, j^–21 und j^–22 enthalten sind, die mit Gehrungs- und Trapezoidverzerrungen eines Elements einhergehen, zum Erzeugen von übermäßiger Dehnungsenergie beitragen. Es ist auch verständlich, dass die übermäßige Dehnungsenergie wiederum eine starre Antwort eines Elements bewirkt.
Jede Dehnungskomponente wird tatsächlich entwickelt, dass sie zu Funktionen führt, die als Gleichung 1.35 in 19 dargestellt sind. Diese Funktionen können in Matrixform wie in Gleichung 1.36 in 20 geschrieben werden. In der Gleichung wird "G" als Gleichung 1.37 in 20 dargestellt.
Dehnungen können weiter umgeordnet werden, wie es durch Gleichungen 1.38, 1.39 und 1.40 in 21 ausgedrückt ist, so dass sie im Hinblick auf die Verzerrungsparameter α_i(i = 1, 2, 3, 4) geschrieben sind.
Für jede Dehnungskomponente gehört der erste Teil zu dem Grundrechteck; der zweite Term erscheint, wenn das Element gegehrt wird; und der dritte Teil entspricht einer trapezoidförmigen Verzerrung. Es ist eine bekannte Tatsache, dass die reinen Biegemodi keine Scherdehnung erzeugen, und daher u₃ ^x und u₃ ^y Terme in Scherkomponenten zu vernachlässigen sind. Folglich wird die Scherdehnung konstant, wenn ein Element rechteckig ist, und unnötige Scherdehnungsenergie wird entfernt. Es ist jedoch aus 14 einfach zu erkennen, dass die Verzerrungsparameter (Grundverzerrungsparameter, geometrische Parameter) α₁–α₄ um so größer werden, je mehr ein Element verzerrt ist. Daher wird eine übermäßige Dehnungsenergie innerhalb eines Elements erzeugt. Mit anderen Worten, nimmt die Dehnungsenergie, die in einem Element gespeichert ist, zu, wenn das Element verzerrt wird, selbst wenn seine Fläche gleich bleibt.
Von der oben stehenden näheren Beobachtung jedes Dehnungsterms ist zu bemerken, dass ε_x geometrische Parameter α₂ und α₄ in der y Richtung enthält, die mit Deformationsmodi in der x Richtung gepaart sind, während die Deformationsmodenvektoren (Knotenversatzvektoren) u, v (siehe Gleichungen 1.31 und 1.32 in 17 und 18) orthogonal zu den entsprechenden geometrischen Modenvektoren (Orthogonalvektoren) h₀ bis h₃ (siehe Gleichung 1.4 in 2) sind. Auf die gleiche Weise enthält ε_y geometrische Parameter α₁ und α₂ in der x Richtung, die mit Deformationsmodi in der y Richtung gepaart sind. Auf der anderen Seite sind geometrische Parameter α₁ bis α₄ in γ_xy mit Deformationsmodi der gleichen Richtung in Bezug.
Ferner sind Rechtecks- und Parallelogrammsgeometrieparameter mit dem Biegedeformationsmodus (lineare Scherung) in Bezug, und der Trapezoidgeometrieparameter entspricht den linearen Deformationsmodi (konstante Scherung). Mit anderen Worten, übertreibt eine Elementengehrung in einer Richtung die Biegedeformationsenergie in der anderen Richtung, wohingegen eine trapezoidförmige Verzerrung in einer Richtung eine Zerrung oder Dehnung und Scherdeformationen in der anderen Richtung überbetont. Insgesamt ist es wünschenswert, Maschen mit trapezoidförmiger Verzerrung zu vermeiden, da dies stets eine lineare Dehnungsverteilung mit sich bringt, selbst wenn das wahre Dehnungsfeld konstant ist.
Im Fall eines rechteckigen Elements ist die Dehnungsverteilung auf lineare Funktionen vereinfacht, die als Gleichung 1.41 in 22 ausgedrückt sind.
Während eine Elementenverzerrung oben mit dem Blickpunkt auf ebene Elemente diskutiert wurde, erfordert es die Analyse einer schalenartigen Struktur, dass Biegekomponenten einer flachen Platte ebenso berücksichtigt werden. In diesem Fall ist eine Deformation in der Ebene stets mit einer Deformation außerhalb der Ebene gekoppelt.
Anschließend wird eine Klasse von Biegeplattenelementen des Mindlin-Reisner Typs (ein Plattenelement, die Mindlinplatte) unten beschrieben.
Zunächst wird, wenn die Modellierung einer flachen Platte beschrieben wird, der Versatz einer flachen Platte {u_x, u_y, u_z} an einem beliebigen Punkt P(X, Y, Z) in dem globalen Referenzrahmen {X, Y, Z} in dem lokalen Koordinatensystem {x, y, z} ausgedrückt. Die x-y Ebene des lokalen Koordinatensystems ist einheitlich auf der neutralen Ebene jedes Plattenelements positioniert, während die z-Achse in der Richtung normal zu dieser Ebene festgelegt ist.
Die Versatzkomponenten werden in Teile in der Ebene und außerhalb der Ebene zerlegt. Die zweidimensionalen Komponenten in der Ebene werden auf der x-y Ebene definiert, d. h. der neutralen Ebene der Platte, und die Querkomponenten werden als Funktion von z ausgedrückt. Beispielsweise wird die x Komponente des Versatzes, der aus zwei Teilen besteht, wie in Gleichungen 2.1 und 2.2 in 23 berücksichtigt. Dann wird der Versatz in dem dreidimensionalen Feld durch asymptotische Entwicklung wie in Gleichung 2.3 in 23 ausgedrückt.
Es wird manchmal bevorzugt, Terme bis zu den Termen dritter Ordnung zu wählen, um ein Plattenelement höherer Ordnung zu erzeugen, so dass die Scherwirkung für die Analyse einer dicken Platte berücksichtigt wird. Für eine ausreichend dünne Platte werden die Komponenten des Versatzes u_x und u_y in der Ebene angenähert, dass sie linear in der Dickenrichtung variieren. Der vertikale Versatz u_z wird angenommen, dass er konstant über die Dicke der Platte bleibt. Dies ist in Gleichung 2.4 in 23 ausgedrückt.
Das Versatzfeld einer Platte wird mit fünf Freiheitsgraden {u, v, w, θ_x, θ_y} ausgedrückt: drei Translationen und zwei Rotationen, wie es in 24 gezeigt ist. Diese generalisierten Versätze, die sich auch auf Rotationen beziehen, werden auf der neutralen Ebene definiert und als Funktionen von x und y ausgedrückt.
Der oben stehenden Versatzannäherung folgend, sind die Dehnungen einer Platte als Gleichung 2.5 in 25 auszudrücken. Dies wird ebenfalls in der Matrixform als Gleichung 2.6 in 25 ausgedrückt.
Nimmt man ferner einen Plattenspannungszustand (σ_z = 0) an, wird eine Spannung durch das Werkstoffgesetz erhalten, das als Gleichung 2.7 in 26 ausgedrückt ist. In der Gleichung sind κ_x und κ_y die Scherkorrekturparameter.
Von den fünf generalisierten Versatzteilen, sind u und v der Teil der Deformation in der Ebene, und w, θ_x und θ_y entsprechen der Plattenbiegedeformation. Dies ist als Gleichung 2.8 in 26 ausgedrückt.
Entsprechend kann die Dehnung auch in Komponenten in der Ebene und Querdehnungskomponenten geteilt werden. Der Teil der Dehnung in der Ebene wird durch Ebenendeformation {u, v} sowie durch Plattenbiegedeformation {w, θ_x, θ_y} bewirkt. Dies ist als Gleichung 2.9 in 26 ausgedrückt.
Andererseits sind die Querscherungsdehnungen in Bezug zu nur dem Teil der Querdeformation. Dies ist als Gleichung 2.10 in 27 ausgedrückt.
Die Dehnungsenergie einer Platte ist wiederum in Teile in der Ebene und außerhalb der Ebene getrennt. Dies wird als Gleichung 2.11 in 27 ausgedrückt. Die Materialkonstantenmatrizen D_p (in der Ebene) und D_s (außerhalb der Ebene) in Gleichung 2.11 werden als Gleichung 2.12 in 27 ausgedrückt.
Nun soll A das Gebiet einer neutralen Oberfläche sein, h die Plattendicke, S die Grenze von A, und das Gebiet der Platte soll Ω = A × [–h/2, +h/2] sein. Durch Integrieren über die Dicke der Platte wird die Dehnungsenergie aufgrund von Querdeformation wie in Gleichung 2.13 in 27 berechnet.
Es ist aus dem zweiten Term in Gleichung 2.13 zu beobachten, dass die Dehnungsenergie aufgrund von Scherung dazu neigt vorzuherrschen, wenn die Dicke h der Platte kleiner wird, wodurch eine Schersperrung auftritt. Dieses Phänomen ist widersprüchlich zum wahren Verhalten einer dünnen Platte. Diese unnötige Schwerwirkung resultiert aus dem Einführen von einer Querscherdehnung in der Dickenrichtung, welche bei einer dünnen Biegepatte verschwindet. Mit anderen Worten, muss eine Querscherung γ_s sich auch Null nähern, wenn h sich Null nähert; eine Berücksichtigung einer Querscherwirkung in dünnen Plattenbiegeelementen kann im wesentlichen als eine Zwangsbedingung interpretiert werden, welche einen Zustand einer Nullscherungsdehnung durchsetzt.
Es wird dazu angefügt, dass der Versatz eines Biegeplattenelements (d. h. der Mindlinplatte) durch Deformationsmodi außerhalb der Ebene ebenso wie bei einem ebenen Element ausgedrückt werden kann, und in ähnlicher Weise eine Dehnung, die durch ein sich biegendes Plattenelement bewirkt wird, durch Verzerrungsmodi (Verzerrungsparameter, geometrische Parameter) und Deformationsmodi entwickelt werden kann.
Als nächstes wird eine Veränderung in einer Dehnungsenergie aufgrund einer Elementenverzerrung erklärt, was das Element vom Mindlintyp betrifft.
Ein Dehnungsenergiefehler E_e ist definiert, wie es in Gleichung 3.1 in 29 angegeben ist. In der Gleichung bezeichnet U_e(u) eine analytische Lösung für die Dehnungsenergie, d. h. eine analytische Dehnungsenergie. Diese wird durch die als Gleichung 3.4 in 29 dargestellte Dehnungsenergiegleichung definiert. Insbesondere wird die analytische Dehnungsenergie U_c(u) durch Einsetzen des wahren Spannungsfelds in die Dehnungsenergiegleichung und durch Integrieren über das Elementgebiet berechnet.
Wie es in 35 gezeigt ist, ist ein einziges Viereck mit variierender Gestalt in der Mitte einer großen Platte platziert. Die große Platte wird mit der gleichmäßigen Spannung, reinen Biegung und reinen Scherung beaufschlagt. Während 35 die Deformationen in der Ebene zeigt, zeigt 28 die Querdeformationen.
Für eine balkenartige Struktur, die einer reinen Biegung in der Ebene unterworfen ist, gilt eine Spannungsverteilung, die als Gleichung 3.2 in 29 ausgedrückt ist, und dass das Dehnungsfeld der balkenartigen Struktur unter einer reinen Biegung in der Ebene als Gleichung 3.3 in 29 ausgedrückt ist. Daher kann durch Einsetzen des Dehnungsfelds in die Dehnungsenergiegleichung, die als Gleichung 3.4 in 29 ausgedrückt ist, und durch Auswählen des Elements als ein Integrationsgebiet die analytische Dehnungsenergie U_e(u) erhalten werden. "D" in Gleichung 3.4 bezeichnet eine Materialkonstantenmatrix.
Alternativ gibt U_e(u_h) in Gleichung 3.1 in 29 eine angenäherte Lösung für die Dehnungsenergie an, d. h. eine angenäherte Dehnungsenergie, die durch das Finite-Elemente-Verfahren berechnet wird. Insbesondere ist U_e(u_h) die Dehnungsenergie, die unter Verwendung der Finite-Elemente-Steifigkeitsmatrix und der wahren Knotenverschiebungen d in Gleichung 3.10 in 33 abgeleitet ist. Im Fall eines auslegerartigen Balkens unter reiner Biegung wird beispielsweise der Knotenversatz durch Einsetzen der Knotenkoordinaten in Gleichung 3.5 in 30 erhalten. Verwendet man den erhaltenen wahren Knotenversatz, wird die Elementendehnungsenergie durch die Finite-Elementen-Näherung durch das Anwenden von Gleichung 3.10 in 33 erhalten.
Während die Berechnung der Dehnungsenergie aufgrund des Versatzes u oben beschrieben wurde, wird eine Dehnungsenergie aufgrund eines Versatzes v ausgedrückt wie in Gleichung 3.8 in 31. "D" in Gleichung 3.8 bezeichnet eine Materialkonstantenmatrix.
Für eine zusätzliche Erklärung bezüglich der Notation bezeichnet jedes Suffix "e", das in U_e(u) und U_e(u_h) auftritt, dass das entsprechende "U" eine Dehnungsenergie für ein Element ist.
Der Knotenversatz zur Berechnung der angenäherten Dehnungsenergie kann unter Verwendung von analytischen Versatzfunktionen, die in der Tabelle von 32 gelistet sind, für drei vorgegebene Belastungsfälle (reine Biegung, Torsion und Einpunktbelastung), oder die in der Tabelle von 43 für drei vorgegebene Belastungsfälle (gleichmäßige Dehnung, Biegung. in der Ebene und Scherung in der Ebene) gelistet sind, berechnet werden. In diesem Hinblick wird eine Basisfunktion ϕ_ij(x, y), die als Gleichung 3.9 in 33 ausgedrückt ist, für die analytische Lösung des Einpunktbelastungs-Problems verwendet.
Es wird zugefügt, dass Gleichungen 3.2 und 3.3 das Spannungsfeld für einen reinen Biegefall in der Ebene darstellen, der in 35 gezeigt ist, und die exakte Lösung für den Fall als Gleichung 3.5 in 30 ausgedrückt ist. Das bedeutet, dass Gleichung 3.5 die exakte Lösung für einen Biegefall in der Ebene (Dehnung, Biegung und Scherung) darstellt. Ein Einsetzen der Knotenkoordinaten eines Elements in Gleichung 3.5 und ein weiteres Einsetzen des Ergebnisses in Gleichung 1.31 führt zu Gleichung 3.6. Dies gilt jedoch im Hinblick auf ein festgelegtes Ende einer trägerartigen Struktur, wenn beispielsweise darauf ein Moment aufgebracht wird.
Wie es als Gleichung 3.10 in 33 ausgedrückt ist, wird die angenäherte Dehnungsenergie U_e(u_h) aus den wahren Knotenversatzwerten d (angenäherte Lösung) mit der Elementensteifigkeitsmatrix (Steifigkeitsmatrix eines verzerrten Elements) K_e erhalten. Die wahren Knotenversatzwerte d werden durch Einsetzen der Knotenkoordinaten eines Vierecks in die analytischen Versatzfunktionen (siehe 32), die oben für jeden Belastungsfall vorgesehen sind, erhalten.
Insbesondere im Falle eines angenommenen Spannungselements aus der Berechnung des Dehnungsenergiefehlers (Fehler in der Dehnungsenergie) E_e, kann man herausfinden, dass eine Änderung in einem Seitenverhältnis oder Gehrungsverzerrung nicht die Näherungsergebnisse irgendwie beeinflusst. Nur eine trapezoidförmige Verzerrung verschlechtert die Annäherungsgenauigkeit des angenommenen Spannungselements. In 34 ist der Dehnungsenergiefehler E_e aufgrund einer trapezoidförmigen Verzerrung oder des Maßes von der Trapezoidform für jeden Belastungszustand aufgezeichnet: reine Scherung, reine Biegung, Einpunktbelastung und Torsi on. 35 stellt dar, wie ein Element, das eine trapezoidförmige Verzerrung aufweist, sich unter Spannung, reiner Biegung und Scherung jeweils verformt. Während 34 die Ergebnisse des Quertests zeigt, zeigt 44 die Ergebnisse des Tests in der Ebene für die gleichmäßige Spannung, reine Biegung und reine Scherung.
Die exakte Lösung der Dehnungsenergie wird mit einem perfekt rechteckigen Element erzielt; wenn jedoch eine trapezoidförmige Verzerrung zunimmt, wird das Biegeverhalten in der Ebene sehr steif. Die steife Antwort eines trapezoidförmigen Elements unter Biegung wird übertrieben, wenn das Seitenverhältnis größer als eins wird. Dieser Trend kann durch Platzieren eines konisch zulaufenden Elements mit einem großen Seitenverhältnis ähnlich demjenigen von 35 untersucht werden. Die Tests mit gleichmäßiger Spannung und reiner Scherung stellen Ausreichen des konstanten Dehnungsüberlagerungstests dar, der die Fähigkeit untersucht, einen konstanten Dehnungszustand zu reproduzieren, um die Konvergenz des Elements zu zeigen. Wenn mit anderen Worten ein verzerrtes Element keinen Dehnungsenergiefehler unter Spannung und Scherung erzeugt, dann passiert dieses Element den Überlagerungstest. Das Element mit angenommener Dehnung, das hier getestet wurde, passiert den sogenannten konstanten Überlagerungstest nicht, da der Dehnungsenergiefehler unter reiner Scherung nicht konstant bleibt, da das Element konisch zulaufend ist.
Wenn die trapezoidförmige Verzerrung zunimmt, wird das Plattenbiegeverhalten ohne Modifikation des Schermoduls unrealistisch. Es ist nicht so schlimm wie die Plattenbiegung, aber wenn eine Torsion aufgebracht wird, wird die Elementensteifigkeit äußerst groß. Um diese unvernünftige Fehlerzunahme zu verbessern, die durch die trapezoidförmige Verzerrung verursacht wird, wird ein künstlich modifizierter Schermodul berücksichtigt. Die Querscherdehnungen werden einfach durch Multiplizieren mit kleinen Korrekturfaktoren (d. h. Kontrollparametern) κ_x und κ_y verändert. Dies ist als Gleichung 3.11 in 36 ausgedrückt. In 37 ist der Dehnungsenergiefehler E_e aufgrund einer trapezoidförmigen Verzerrung bei einer Korrektur des Schermoduls für jeden Belastungszustand, einschließlich reiner Scherung, reiner Biegung, Einpunktbelastung und Torsion aufgetragen.
Dabei sind die Kontrollparameter festgelegt als κ_x = κ_y = 0.31702. Als Ergebnis wird das Biegeverhalten außerordentlich verbessert. Da andererseits die Kontrollparameter κ_x und κ_y dazu gestaltet sind, das Dehnungsenergiegleichgewicht zwischen der Biege- und der Scherwirkung zu kontrollieren, wurde die Torsion durch die Kontrollparameter κ_x und κ_y nicht stark beeinträchtigt.
Während das numerische Analyseverfahren gemäß der vorliegenden Ausführungsform oben insbesondere in Bezug auf den theoretischen Hintergrund des Prinzips zum Abschätzen eines Analysefehlers aufgrund einer Elementenverzerrung beschrieben wurde, wird der speziellere Ansatz im numerischen Analyseverfahren genauer zusammen mit der Erklärung eines Computersystems zum Implementieren des numerischen Analyseverfahrens beschrieben.
38 stellt ein Computersystem 10 in einer perspektivischen Ansicht dar. Das Computersystem 10 enthält einen Computer 12, ein Eingabegerät 14 in der Gestalt einer Tastatur 16 und einer nicht dargestellten Maus (ein Beispiel für eine Zeigereinrichtung), und ein Ausgabegerät 20 in der Gestalt eines Bildschirms 22.
Während der Bildschirm 22, der in 38 gezeigt ist, von einem CRT Typ ist, kann die vorliegende Ausführungsform alternativ oder zusätzlich einen Bildschirm eines anderen Typs, wie z. B. eines LCD Typs, verwenden. Während das in 38 gezeigte Computersystem von einem Typ ist, der es erlaubt, dass das Computersystem 10 an einem festgelegten Ort verwendet wird, kann die vorliegende Ausführungsform ferner alternativ oder zusätzlich ein Computersystem eines mobilen Typs verwenden.
Wie es in 39 gezeigt ist, ist der Computer 12, wie es gut bekannt ist, derart konfiguriert, dass ein Prozessor 30, wie z. B. eine CPU, und ein Speicher 32, wie z. B. ein ROM, ein RAM, usw. über einen Bus 34 verbunden sind.
Der Computer 12 wird in Verbindung mit einem Speichergerät 40 verwendet. Das Speichergerät 40 ist angebracht, dass es Zugang zu Daten von und zu einem Speichermedium 42, wie z. B. einer CD-ROM, einer MO usw., hat. Das Speichergerät 42 hat eine Vielzahl von Programmen zum Implementieren des numerischen Analyseverfahrens auf ihm gespeichert. Der Computer 12 wird betrieben, dass er ein erforderliches Programm aus dem Speichermedium 42 ausliest und das ausgelesene Programm wiederum ausführt.
40 stellt das numerische Analyseverfahren in einem Flussdiagramm dar, insbesondere als Sequenz von Vorgängen.
Das numerische Analyseverfahren wird mit Schritt S1 begonnen, in dem die Gestalt einer vorgegebenen Struktur näherungsweise auf automatisierte Weise in eine Vielzahl von vierseitigen Elementen oder Maschen (z. B. Schalenelemente oder Maschen) geteilt oder diskretisiert wird, basierend auf Daten, welche für die Gestalt der Struktur repräsentativ sind. Der Vorgang der Gittererzeugung (d. h. Teilung in ein Gitter) wird als Ergebnis des Ausführens eine Gittererzeugungsprogramms (nicht dargestellt) durch den Computer 12 implementiert. Daten, die die individuellen Elemente bezeichnen (z. B. Daten zum Definieren der Gestalten der individuellen Elemente) werden in dem Speicher 32 oder dem Speichergerät 40 in Verbindung mit einer Elementnummer "i" gespeichert.
Als nächstes wird Schritt S2 implementiert, um für jedes der geteilten Elemente einen Fehler abzuschätzen, von dem man erwartet, dass er aufgrund der Verzerrung jedes Elements in Analyseergebnissen auftritt, die aus einer Implementierung des Finite-Elemente-Verfahrens unter Verwendung von dem jeweiligen Element stammen. Die Abschätzung des Analysefehlers wird durch Ausführen eines Programms zum Abschätzen eines Analysefehlers über den Computer 12, das in einem Flussdiagramm in 41 dargestellt ist, durchgeführt. Das Programm zum Abschätzen eines Analysefehlers wird später genauer beschrieben.
Dem Schritt S2 folgt Schritt S3, in dem ein Benutzer für jedes Element basierend auf dem abgeschätzten Analysefehler bestimmt, ob eine Gestaltmodifikation für das jeweilige Element durchgeführt werden muss oder nicht.
Wenn eine Korrektur erforderlich ist, dann wird Schritt S4 ausgeführt, so dass ein Element, das eine Modifikation benötigt, durch den Benutzer oder unter der Lenkung des Benutzers modifiziert wird. Die Elementenmodifikation erlaubt Veränderungen in der Gestalt eines Elements, das eine Verzerrung beinhaltet, die möglicherweise einen übermäßigen Analysefehler bewirkt, wenn es ein solches gibt, wodurch das Element in seiner Gestalt derart korrigiert wird, dass es sich einem Quadrat annähert, d. h. so dass die Verzerrung des Elements eliminiert wird.
Nachfolgend kehrt das numerische Analyseverfahren zu Schritt S2 zurück, um automatisch die Abschätzung des Analysefehlers wieder durchzuführen. Wenn die wiederholte Implementierung von Schritten S2 bis S4 dazu führt, dass das Maß von Verzerrung für jedes Element nicht größer als eine erlaubbare Grenze wird, dann wird Schritt S5 implementiert, um numerisch eine Deformation der Struktur durch das Finite-Elemente-Verfahren unter Verwendung der Elemente, deren Gestalten festgelegt worden sind, zu analysieren. Die numerische Analyse wird durchgeführt, indem ein numerisches Analyseprogramm (nicht dargestellt) unter Verwendung des Computers 12 ausgeführt wird.
Dann ist ein Zyklus der Implementierung des numerischen Analyseverfahrens abgeschlossen.
Es wird ergänzt, dass das Flussdiagramm aus 40 als konzeptionell das gesamte auszuführende Programm durch den Computer 12 für die Implementierung des numerischen Analyseverfahrens darstellend angesehen werden kann.
In 41 ist das vorher erwähnte Programm zur Abschätzung eines Analysefehlers schematisch in einem Flussdiagramm dargestellt.
Das Programm zur Abschätzung des Analysefehlers beginnt mit Schritt S101 zum Festlegen der Elementnummer "i" auf "1".
Als nächstes wird Schritt S102 implementiert, um einen Deformationsmodus eines Elements zu bestimmen oder zu identifizieren, dem die gegenwärtige Elementennummer "i" zugewiesen wurde (anschließend bezeichnet als "gegenwärtiges Element"). Insbesondere wird die Bestimmung in Abhängigkeit von einem Deformationsmodus durchgeführt, der im voraus durch den Benutzer festgelegt wurde. Vor der Bestimmung des Deformationsmodus, abhängig von dem Befehl des Benutzers, wurde ein ausgewählter Deformationsmodus zugehörig zu jedem Element in dem Speicher 32 oder dem Speichergerät 40 gespeichert. Der Deformationsmodus, der zu dem gegenwärtigen Element gehört, wird aus dem Speicher 32 oder dem Speichergerät 40 gelesen, wodurch ein Deformationsmodus für das gegenwärtige Element schließlich bestimmt wird.
Dem Schritt S102 folgt ein Schritt S103, in dem Daten, die das gegenwärtige Element darstellen, aus dem Speicher 32 oder dem Speichergerät 40 ausgelesen werden. Ferner wird das Seitenverhältnis A des gegenwärtigen Elements basierend auf den ausgelesenen Daten berechnet.
Die Berechnung des Seitenverhältnisses A wird entsprechend einer herkömmlichen Definition, beispielsweise wie folgt, durchgeführt:
Zunächst wird eine projizierte flache Ebene für das gegenwärtige Element angenommen, so dass seine Eckknoten äquidistant von den vier Knoten des gegenwärtigen Elements sind. Dann wird ein eindeutiges lokales Koordinatensystem passend für das gegenwärtige Element aufgestellt, wobei sein Ursprung am Schwerpunkt des gegenwärtigen Elements platziert wird. Für ein beliebig gestaltetes Element wird das Referenzrechteck in 3 durch Anwendung von Gleichung 1.13 bestimmt. Dann wird das Seitenverhältnis A des verzerrten Elements als das Verhältnis der Längen der Seiten des Referenzrechtecks bestimmt. Die Wirkung eines großen Seitenverhältnisses wird kritisch, wenn sie mit Gehrung oder Trapezoidform kombiniert ist. Das Seitenverhältnis A wird, wenn man es in Bezug auf 3 erklärt, als h_x/h_y berechnet.
Auf Schritt S103 folgt Schritt S104, um einen individuellen Analysefehler eA des gegenwärtigen Elements abzuschätzen, der aufgrund einer Elementenverzerrung auftritt, die durch das Seitenverhältnis A dargestellt wird, basierend auf sowohl dem berechneten Seitenverhältnis A als auch dem bestimmten Deformationsmodus. Ein Verhältnis zwischen einem Seitenverhältnis A, dem Deformationsmodus und einem individuellen Analysefehler eA, der als ein Ergebnis des Ausführens eines Korrelationsabschätzungsprogramms, wie es später beschrieben wird, abgeschätzt wurde, wurde in dem Speicher 32 oder dem Speichergerät 40 gespeichert. In Abhängigkeit von dem Verhältnis wird der individuelle Analysefehler eA bestimmt, so dass er dem gegenwärtigen Seitenverhältnis A und dem gegenwärtigen Deformationsmodus entspricht. Das Verhältnis zwischen Seitenverhältnis A, Deformationsmodus und individuellen Analysefehler eA wurde entsprechend dem Verhältnis, das in den Graphen in 37 dargestellt ist, aufgestellt.
Auf Schritt S104 folgt ein Schritt S105, bei dem das Maß der Verwölbung W des gegenwärtigen Elements berechnet wird. Die Berechnung wird in Übereinstimmung mit einer herkömmlichen Definition beispielsweise wie folgt durchgeführt:
Zuerst wird eine flache Projektionsebene für das gegenwärtige Element angenommen, so dass ihre Eckknoten äquidistant von den vier Knoten des gegenwärtigen Element sind. Das Maß der Verwölbung W ist lediglich die z Koordinate der vier Eckknoten, die gleich dem Abstand h_w zwischen dem gegenwärtigen nicht-ebenen Element und der projizierten flachen Ebene ist.
Nach Schritt S105 wird Schritt S106 entsprechend zu Schritt S104 implementiert, um einen individuellen Analysefehler eW des gegenwärtigen Elements abzuschätzen, der aufgrund der Elementenverzerrung auftritt, die durch das Maß von Verwölbung W dargestellt wird, basierend auf sowohl dem berechneten Maß der Verwölbung W als auch dem bestimmten Deformationsmodus, entsprechend einem Verhältnis zwischen dem Maß der Verwölbung W, dem Deformationsmodus und einem individuellen Analysefehler eW. Das Verhältnis wurde als ein Ergebnis des Ausführens des vorher erwähnten Korrelationsabschätzungsprogramms abgeschätzt. Das Verhältnis wurde entsprechend dem Verhältnis, das in den Graphen in 37 dargestellt ist, aufgestellt.
Auf Schritt S106 folgt Schritt S107, in dem das Maß von Gehrung S des gegenwärtigen Elements berechnet wird. Die Berechnung wird anders als bei einem herkömmlichen Verfahren wie folgt durchgeführt:
Zuerst wird, wie es in 3 dargestellt ist, ein Rechteck mit dem gleichen Seitenverhältnis A wie das gegenwärtige Element durch Benennung als ein Basisrechteck angenommen. Dann werden Abstände α₁ und α₂ für die Berechnung des Maßes der Gehrung S vorgesehen. Der Abstand α₁ ist ein gemessener Abstand, bei dem ein ausgewählter Knoten des gegenwärtigen Elements aus dem Basisrechteck in der x Richtung (quer) bewegt wird. Der Abstand α₂ ist ein gemessener Abstand, um den ein ausgewählter Knoten des gegenwärtigen Elements aus dem Basisrechteck in der y Richtung bewegt ist. Schließlich wird das Maß der Gehrung S als beide Abstände α₁ und α₂ berechnet.
Anschließend an Schritt S107 wird Schritt S108 entsprechend Schritten S104 und S106 implementiert, um einen individuellen Analysefehler eS des gegenwärtigen Elements abzuschätzen, der aufgrund der Elementenverzerrung auftritt, die durch Maß von Gehrung S dargestellt wird, basierend auf sowohl dem berechneten Maß von Gehrung S als auch dem bestimmten Deformationsmodus, entsprechend einem Verhältnis zwischen dem Maß der Gehrung S, dem Deformationsmodus und einem individuellen Analysefehlers eS. Das Verhältnis wurde als ein Ergebnis der Ausführung des vorher erwähnten Korrelationsabschätzungsprogramms abgeschätzt. Das Verhältnis wurde auch entsprechend den in Graphen in 37 dargestellten Verhältnisses aufgestellt.
Nach Schritt S108 folgt Schritt S109, bei dem das Maß des Trapezoids T des gegenwärtigen Elements berechnet wird. Anders als bei einer herkömmlichen Berechnung wird das Maß von Trapezoid T, wie es in 3 dargestellt ist, wie folgt berechnet:
Zuerst wird ein Rechteck mit dem gleichen Seitenverhältnis A wie das gegenwärtige Element durch Benennung als Basisrechteck angesetzt. Dann werden Abstände α₃ und α₃ für die Berechnung des Maßes des Trapezoids erzeugt. Der Abstand α₃ ist ein gemessener Abstand, um den ein ausgewählter Knoten des gegenwärtigen Elements aus dem Basisrechteck in der x Richtung (quer) bewegt ist. Der Abstand α₄ ist ein gemessener Abstand, um den ein ausgewählter Knoten des gegenwärtigen Elements aus dem Basisrechteck in der y Richtung während einer konisch zulaufenden Deformation bewegt ist. In dem Zusammenhang bezeichnet "konisch zulaufende Deformation" eine Deformation des gegenwärtigen Elements, dass eine Divergenz oder Konvergenz zwischen zwei Elementseiten gebildet wird, die einander in der Quer- oder Längsrichtung gegenüberliegen. Schließlich wird das Maß von Trapezoid T als beide Abstände α₃ und α₄ berechnet.
Anschließend an Schritt S109 wird Schritt S110 entsprechend Schritten S104, S106 und S108 implementiert, um einen individuellen Analysefehler eT des gegenwärtigen Elements abzuschätzen, der aufgrund einer Elementenverzerrung auftritt, die durch das Maß von Trapezoid T dargestellt ist, basierend sowohl auf dem berechnenden Maß von Trapezoid T als auch dem bestimmten Deformationsmodus, entsprechend einem Verhältnis zwischen dem Maß von Trapezoid T, dem Deformationsmodus und einem individuellen Analysefehler eT. Das Verhältnis wurde als Ergebnis der Ausführung des vorher erwähnten Korrelationsabschätzungsprogramms abgeschätzt. Das Verhältnis wurde präzise aufgestellt als das in Graphen in 37 dargestellte Verhältnis.
Schritt S110 folgt Schritt S111 zum Abschätzen eines Gesamtanalysefehlers Σe des gegenwärtigen Elements, basierend auf den geschätzten vier individuellen Analysefehlern eA, eW, eS und eT. Der Gesamtanalysefehler Σe wird abgeschätzt als die normale oder einfache Summe dieser vier individuellen Analysefehler eA, eW, eS und eT. Der gesamte Analysefehler Σe kann jedoch abgeschätzt werden als die gewichtete Summe im Hinblick auf synergistische Wirkungen zwischen dem Seitenverhältnis A, dem Maß der Verwölbung W und dem Maß der Trapezform T.
Nach Schritt S111 wird Schritt S112 für das gegenwärtige Element implementiert, um numerisch die abgeschätzten vier individuellen Analysefehler eA, eW, eS und eT und den abgeschätzten Gesamtanalysefehler Σe auf einem Bildschirm des Monitors 22 zu visualisieren oder zu präsentieren, wodurch eine quantitative Darstellung davon vorgesehen wird. Die Präsentation kann gleichzeitig für alle Elemente durchgeführt werden.
Es wird ergänzt, dass für die quantitative Präsentation der Analysefehler es nicht wesentlich ist, numerisch die Analysefehler darzustellen, und dass die Analysefehler mit Graphen oder mit Diagrammen dargestellt werden können, die in Größe oder Farbe beispielsweise variabel sind.
Schritt S112 folgt Schritt S113 nach, um eine Bestimmung durchzuführen, ob der gesamte Analysefehler Σe, der für das gegenwärtige Element abgeschätzt ist, einen tolerierbaren Wert AL übersteigt oder nicht. Wenn der Gesamtanalysefehler Σe den tolerierbaren Wert AL übertrifft, dann wird Schritt S114 implementiert, um das gegenwärtige Element darzustellen, so dass es von anderen Elementen auf dem Bildschirm des Monitors 22 unterscheidbar ist. Anderenfalls wird Schritt S114 übersprungen.
In beiden Fällen wird Schritt S115 dann implementiert, um eine Bestimmung durchzuführen, ob die gegenwärtige Elementzahl "i" geringer als ein Maximalwert i_MAX ist oder nicht. Das bedeutet, dass eine Bestimmung durchgeführt wird, ob die Ausführung von Schritt S102 bis S114 für alle Elemente des gegenwärtig analysierten Objekts abgeschlossen ist oder nicht. Wenn die gegenwärtige Elementzahl "i" nicht geringer als der Maximalwert i_MAX ist, dann wird ein Zyklus der Ausführung des Programms zur Abschätzung des Analysefehlers beendet. Anderenfalls wird Schritt S116 implementiert, um die Elementnummer "i" um eins zu erhöhen, und anschließend wird das Programm zum Abschätzen des Analysefehlers zu Schritt S102 zurückgeführt.
42 zeigt ein Beispiel der Präsentation der Analysefehler, die für eine Vielzahl von Elementen abgeschätzt wurden. In dem Beispiel der Präsentation werden unterschiedliche Arten von abgeschätzten Analysefehlern zugehörig zu jedem der Vielzahl von Elementen in einer Diagrammform präsentiert. Ferner wird in dem Beispiel der Präsentation eine Spalte mit dem Titel "EIGENSCHAFT" mit "X" für ein Element gefüllt, bei dem der Gesamtanalysefehler Σe den tolerierbaren Wert AL übersteigt, während sie mit einem "0" für ein Element gefüllt wird, wenn der Gesamtanalysefehler Σe den tolerierbaren Wert AL nicht übersteigt.
Offensichtlich sind verschiedene Arten von abgeschätzten Analysefehlern für jedes Element dargestellt, und daher erlaubt dies dem Benutzer, wenn ein Element vorliegt, bei dem der gesamte Analysefehler Σe den tolerierbaren Wert AL übersteigt, unmittelbar den maximalen der vier individuellen Analysefehler zu erfassen und eine effektive, auf die Elemtenverzerrung bezogene Information zu erfassen, auf die zur Modifikation für das vorliegende Element zurückzugreifen ist. Beispielsweise in dem Fall des Elements, dessen Elementnummer "i" 3 entspricht, ist die Tatsache, dass der gesamte Analysefehler Σe den tolerierbaren Wert AL übersteigt und dass die Verzerrung des vorliegenden Elements daher nicht geeignet ist, mit einem speziellen Symbol angezeigt. Ferner wird die Tatsache, dass einer der vier einzelnen Analysefehler, der dem Seitenverhältnis A entspricht, der maximale einzelne Analysefehler ist, dargestellt.
Es wird ergänzt, dass bei der vorliegenden Ausführungsform der Analysefehler aufgrund einer Verzerrung jedes Elements im Hinblick auf alle einzelnen Elemente aus einem Seitenverhältnisanteil, der durch das Seitenverhältnis A dargestellt wird, einer Verwölbungskomponente, die durch das Maß der Verwölbung W dargestellt wird, einer Gehrungskomponente, die durch das Maß der Gehrung S dargestellt wird, und einer Trapezoidformkomponente, die durch das Maß der Trapezoidform T dargestellt wird, abgeschätzt wird, die alle in der Verzerrung jedes Elements enthalten sind.
Bei einer alternativen Ausführungsform entsprechend der vorliegenden Erfindung wird jedoch der Analysefehler abgeschätzt, indem zumindest eine der vier Komponenten berücksichtigt wird, die dominierend den Analysefehler beeinflusst, wie z. B. das Seitenverhältnis und die Trapezoidformkomponente beispielsweise, wobei jedoch nicht die Verwölbung und die Gehrungskomponente berücksichtigt werden, abhängig von den Charakteristika des Typs der Finite-Elemente-Näherung oder der Analysesoftware. Der Analysefehler, der entsprechend dem vorher erwähnten Verfahren abgeschätzt wird, kann durchgeführt werden, um die Analysesoftware, die für den Benutzer von Interesse ist, zu untersuchen, indem die Elementensteifigkeitsmatrix extrahiert wird und der Dehnungsenergiefehler für verschiedene Verzerrungsparameter berechnet wird, und basierend auf diesem Ergebnis kann der Benutzer über den vorherrschenden Verzerrungsmodus entscheiden. Diese alternative Ausführungsform erleichtert eine vereinfachte und beschleunigte Berechnung des Analysefehlers im Vergleich zu der gegenwärtig bevorzugten Ausführungsform.
43 zeigt schematisch das vorher erwähnte Programm zum Abschätzen einer Korrelation in einem Flussdiagramm. Das Programm zum Abschätzen der Korrelation wird durch den Computer 12 ausgeführt, so dass das Verhältnis zwischen der Elementenverzerrung und einem Analysefehler aufgrund der Elementenverzerrung als die Korrelation abgeschätzt wird.
Es ist jedoch nicht wesentlich, sowohl das Programm zum Abschätzen der Korrelation als auch das Programm zum Abschätzen des Analysefehlers durch den gleichen Computer auszuführen.
Wenngleich die Korrelation für das Ausführen des Programms zum Abschätzen des Analysefehlers wesentlich ist, reicht es aus, wenn ein abgeschätztes Ergebnis der Korrelation vor dem Ausführen des Programms zum Abschätzen des Analysefehlers vorliegt. Ferner ist es nicht wesentlich, ein im voraus abgeschätztes Ergebnis der Korrelation während des Ausführens des Programms zum Abschätzen des Analysefehlers zu aktualisieren.
Daher ist es möglich, die Korrelation als Ergebnis der Ausführung des Programms zum Abschätzen der Korrelation über einen Computer zu erhalten, der sich von dem Computer 12 unterscheidet, und um wiederum Daten zu speichern, welche die erhaltene Korrelation anzeigen, in den Speicher 32 des Speichergeräts 40 des Computers 12 vor dem Ausführen des Programms zum Abschätzen des Analysefehlers durch den Computer 12, wodurch die Analysefehler abgeschätzt werden.
Es ist nicht erforderlich, dass dieses Programm zum Abschätzen der Korrelation durch den Computer 12 jedes Mal dann ausgeführt wird, wenn das numerische Analyseverfahren praktiziert wird. Nur eine Ausführung des Programms zum Abschätzen der Korrelation vor nachfolgenden Ausführungen des numerischen Analyseverfahrens reicht aus, unabhängig davon, ob diese Ausführungen sich auf das gleiche Analyseobjekt beziehen oder nicht. Dies liegt darin, dass die abzuschätzende Korrelation durch das Ausführen des Programms zum Abschätzen der Korrelation gemeinsam für numerische Analysen verwendet werden kann, unabhängig davon, ob diese Analysen das gleiche analysierte Objekt betreffen oder nicht.
Das Programm zum Abschätzen der Korrelation wird, grob beschrieben, derart durchgeführt, dass ein vierseitiges Element als Ziel genommen wird, und der Analysefehler dann für das in das Auge gefasste Element für jeden Deformationsmodus durch einen Vorgang des Aktualisierens einer Kombination von: einem Setzwert des Seitenverhältnisses A; einem Setzwert des Maßes der Verwölbung W; einem Setzwert des Maßes der Gehrung S; und einem Setzwert des Maßes der Trapezoidform T in Inkrementen oder Dekrementen mit einer vorgegebenen Schrittweite abgeschätzt wird.
Ferner wird das Programm zum Abschätzen der Korrelation derart durchgeführt, dass sowohl die analytische als auch die angenäherte Dehnungsenergie des in das Auge gefassten Elements für jeden Deformationsmodus für den Zweck des Abschätzens der Analysefehler berechnet werden. Die analytische Dehnungsenergie wird berechnet, ohne dass sie von der Finiten-Elemente-Analyse abhängt, wobei theoretische Lösungen von Spannung und Dehnung für das ins Auge gefasste Element verwendet werden. Die angenäherte Dehnungsenergie wird durch die Finite-Elemente-Näherung berechnet, wobei eine theoretische Lösung eines Knotenversatzes des ins Auge gefassten Elements und die Elementensteifigkeitsmatrix eines Schalenelements einer speziellen Finite-Elemente-Software verwendet werden.
Im allgemeinen beinhaltet ein Gittermodell, das die Gestalt eines analysierten Objekts approximierend darstellt, viele verzerrte Elemente. Bei der vorliegenden Ausführungsform wird zum Untersuchen der Verzerrungscharakteristika von einem finiten Element die approximierte Dehnungsenergie, die in dem einen Element auftritt, durch die Verwendung einer Elementensteifigkeitsmatrix K_e im Hinblick auf das eine Element berechnet.
Entsprechend einer normalen Finite-Elemente-Analyse werden eine Vielzahl von Elementensteifigkeitsmatrizen K_e im Hinblick auf eine Vielzahl von Elementen, die zusammen ein analysiertes Objekt bilden, in eine Anordnungssteifigkeitsmatrix K zusammengesetzt, und dann wird jedes Element unter Verwendung der zusammengesetzten Anordnungssteifigkeitsmatrix K zusammen mit einer Randbedingung und einer Lastbedingung analysiert. Alternativ wird bei der vorliegenden Ausführungsform, wie oben beschrieben, repräsentativ ein Element verwendet und die angenäherte Dehnungsenergie wird unter Verwendung der Elementensteifigkeitsmatrix K_e betreffend das eine Element berechnet.
Ferner wird bei dem Programm zum Abschätzen der Korrelation der Analysefehler berechnet, indem die Differenz zwischen der analytischen und der approximierten Dehnungsenergie berücksichtigt wird. Insbesondere wird der Dehnungsenergiefehler als die Differenz geteilt durch die analytische Dehnungsenergie berechnet, und der Dehnungsenergiefehler wird dann zum Analysefehler gemacht.
Insbesondere wird das Korrelationsabschätzungsprogramm mit Schritt S201 initiiert, so dass ein Deformationsmoduswert "j", der die Art des Deformationsmodus des gegenwärtigen ins Auge gefassten Elements angibt, auf "1" festgesetzt wird. Der Wert des Deformationsmodus "j" kann so gestaltet sein, dass er beispielsweise eine Spannung bedeutet, wenn "j" gleich 1 ist, Biegung, wenn "j" gleich 2 ist, Scherung, wenn "j" gleich 3 ist, und Torsion, wenn "j" gleich 4 ist.
Als nächstes werden Schritte S202 bis S205 implementiert, um gegenwärtige Werte des Seitenverhältnisses A, des Maßes der Verwölbung W, des Maßes der Gehrung S und des Maßes der Trapezoidform T für ein Element festzulegen. Das eine Element dient als ein repräsentatives Element, das eine Vielzahl von Elementen darstellt, die zusammenwirken, um die Gestalt eines analysierten Objekts approximierend darzustellen, für das die resultierenden abgeschätzten Analysefehler verwendet werden.
Nachfolgend wird Schritt S206 implementiert, um die analytische Dehnungsenergie U_e(u) auf eine oben beschriebene Weise für das repräsentative Element zu berechnen, wobei die Dehnungsenergiegleichung verwendet wird, die als die vorher beschriebene Gleichung 3.4 beispielsweise ausgedrückt ist.
Auf Schritt S206 folgt Schritt S207, in dem die angenäherte Dehnungsenergie U_e(u_h) auf eine oben beschriebene Weise für das repräsentative Element berechnet wird, wobei die Dehnungsenergiegleichung verwendet wird, die beispielsweise als die vorher beschriebene Gleichung 3.10 ausgedrückt ist.
Auf Schritt S207 folgt Schritt S208, in dem der Dehnungsenergiefehler E_e für das repräsentative Element berechnet wird in Abhängigkeit von der vorher erwähnten Gleichung 3.1, indem die berechnete angenäherte Dehnungsenergie U_e(u_h) die von der berechneten analytischen Dehnungsenergie U_e(u) subtrahiert ist, durch die berechnete analytische Dehnungsenergie U_e(u) geteilt wird.
Nach Schritt S208 wird Schritt S209 implementiert, um in den Speicher 32 oder das Speichergerät 40 den berechneten Dehnungsenergiefehler E_e als den Analysefehler zu speichern in Zusammenhang mit einer Kombination aus dem gegenwärtigen Deformationsmodus; dem gegenwärtigen Setzwert des Seitenverhältnisses A; dem gegenwärtigen Setzwert des Maßes der Verwölbung W; dem gegenwärtigen Setzwert des Maßes der Gehrung S; und dem gegenwärtigen Setzwert des Maßes der Trapezoidform T.
Das bedeutet, dass das Verhältnis zwischen dem Deformationsmodus "I"; dem gegenwärtigen Setzwert des Seitenverhältnisses A; dem gegenwärtigen Setzwert des Maßes der Verwölbung W; dem gegenwärtigen Setzwert des Maßes der Gehrung S; dem gegenwärtigen Setzwert des Maß der Trapezoidform T; und dem gegenwärtigen Wert des Analysefehlers ein Beispiel für ein Elementen-Verzerrung-zu-Analysefehler Verhältnis darstellt.
Auf Schritt S209 folgt Schritt S210 zum Bestimmen, ob das Aktualisieren der Setzwerte des Seitenverhältnisses A, des Maßes der Verwölbung W, des Maßes der Gehrung S und des Maßes des Trapezoids T abgeschlossen ist. Das bedeutet, es wird bestimmt, ob Änderungen über einen beabsichtigen Bereich an allen geometrischen Parametern durchgeführt worden sind oder nicht.
Wenn das Aktualisieren von allen Setzwerten noch nicht abgeschlossen ist, dann wird Schritt S211 implementiert, um den Setzwert der jeweiligen Größe aus dem Seitenverhältnis A, dem Maß der Verwölbung W, dem Maß der Gehrung S und de Menge der Trapezoidform T durch die vorgegebene Stufenbreite zu aktualisieren.
Wenn das Aktualisieren von allen Setzwerten als Ergebnis des wiederholten Ausführens der Schritte S202 bis S211 abgeschlossen ist, wird dann danach Schritt S212 implementiert um zu bestimmen, ob der gegenwärtige Wert "j" des Deformationsmodus einen Maximalwert j_MAX entspricht oder nicht. Das bedeutet, es wird eine Bestimmung durchgeführt, ob die Abschätzung des Analysefehlers beendet ist für alle Deformationsmodi, die man annehmen kann, oder nicht.
Wenn der gegenwärtige Wert des Deformationsmoduswerts "j" nicht dem Maximalwert j_MAX entspricht, dann wird Schritt S213 implementiert, um den Wert des Deformationsmodus "j" um 1 zu erhöhen, und nachfolgend kehrt das Korrelationsabschätzungsprogramm zu Schritt S202 zurück.
Im Anschluss daran ist, wenn die Abschätzung des Analysefehlers für alle Deformationsmodi, die man annehmen kann, als Ergebnis der wiederholten Ausführung der Schritte S202 bis S213 abgeschlossen ist, ein Zyklus der Ausführung des Programms zum Abschätzen der Korrelation abgeschlossen.
Wie unmittelbar von dem oben stehenden zu verstehen ist, bildet bei der vorliegenden Ausführungsform das Programm zum Abschätzen der Korrelation ein Beispiel für eine Kombination des "Vermutungsschritts" und des "Abschätzungsschritts", wie sie in den oben stehenden Modi (1) oder (9) ausgeführt sind, und ein Beispiel des "Berechnungsschritts", wie er in dem oben stehenden Modus (3) oder (4) ausgeführt ist.
Ferner bildet bei der vorliegenden Erfindung Schritt S102 in 41 ein Beispiel für den "Schritt zum Bestimmen des Deformationsmodus", wie er in dem oben stehenden Modus (11) ausgeführt ist, Schritte S112 bis S114 bilden zusammen ein Beispiel des "Visualisierungsschritts", der in dem gleichem Modus ausgeführt ist, Schritte S103 bis S111 bilden zusammen ein Beispiel des "Abschätzungsschritts", wie er in dem oben stehenden Modus (13) ausgeführt ist, Schritte S103 bis S110 bilden jeweils ein Beispiel des "Schritts zum Abschätzen des individuellen Analysefehlers", wie er in dem oben stehenden Modus (15) ausgeführt ist, Schritt S111 bildet ein Beispiel des "Schritts zum Abschätzen des gesamten Analysefehlers", der in dem oben stehenden Modus (16) ausgeführt ist, und Schritt S114 bildet ein Beispiel des "speziellen Darstellungsschritts", wie er in dem oben stehenden Modus (17) ausgeführt ist.
Darüber hinaus bildet bei der vorliegenden Ausführungsform Schritt S1 in 40 ein Beispiel des "Teilungsschritts", der in dem oben stehenden Modus (18) ausgeführt ist, Schritt S102 in 41 bildet ein Beispiel, das "Schritts zum Bestimmen des Deformationsmodus", wie er in dem gleichen Modus ausgeführt ist, Schritte S112 bis S114 in 41 bilden zusammen ein Beispiel des "Visualisierungsschritts", wie er in dem gleichen Modus ausgeführt ist, und Schritt S5 bildet ein Beispiel des "Analyseschritts", der in dem gleichen Modus ausgeführt ist.
Noch weiterhin ist bei der vorliegenden Ausführungsform ein Satz der vorher erwähnten vier Deformationsmodi ein Beispiel der "Vielzahl der Grunddeformationsmodi", wie sie in dem oben stehenden Modus (2) ausgeführt sind, ein Satz der vorher erwähnten Verzerrungsparameter (geometrische Parameter) α₁ bis α₄ ist ein Beispiel der "Vielzahl von Grundverzerrungsparametern", wie sie in dem gleichen Modus ausgeführt sind, die erwähnten Dehnungen ε_x und ε_y sind ein Beispiel der "Normaldehnungen", wie sie in dem gleichen Modus ausgeführt sind, und die vorher erwähnte Dehnung γ_xy ist ein Beispiel der "Scherdehnung", die in dem gleichen Modus ausgeführt ist.
Zusätzlich sind bei der vorliegenden Ausführungsform Gleichungen 1.38 bis 1.40 in 19 Beispiele von Gleichungen, die durch "Formulieren von Normaldehnungen und Scherdehnungen des ebenartigen Elements" vorgesehen werden, die in dem oben stehenden Modus (2) ausgeführt sind, Gleichung 3.4 in 19 ist ein Beispiel einer Gleichung zum Berechnen der "Dehnungsenergie des ebenartigen Elements", die in dem gleichen Modus ausgeführt ist.
Es wird durch die Fachleute auf dem Gebiet verstanden, dass Änderungen an den Ausführungsformen, die oben beschrieben worden sind, gemacht werden könnten, ohne von dem breiten erfinderischen Konzept davon abzuweichen. Es ist daher zu verstehen, dass diese Erfindung nicht auf die speziellen offenbarten Ausführungsformen beschränkt ist, sondern Korrekturen innerhalb des Rahmens und Umfangs der vorliegenden Erfindung liegen, wie er durch die beigefügten Ansprüche definiert ist.

Claims

Verfahren zum Abschätzen eines Elementen-Verzerrungs-zu-Analysefehler Verhältnisses zwischen einerseits einer geometrischen Verzerrung eines Elements, das dazu verwendet wird, eine Gestalt eines Objekts approximierend darzustellen und eine Deformation des Objekts durch ein Finite-Elemente-Verfahren zu analysieren, und andererseits einem Analysefehler, der aufgrund der geometrischen Verzerrung des Elements in Analyseergebnissen des Objekts durch das Finite-Elemente-Verfahren (S5) für ein erzeugtes Gitter (S1) auftritt, wobei das Verfahren enthält: einen Vermutungsschritt, in dem zumindest ein Deformationsmodus vermutet wird, der in dem Element bei der Deformation des Objekts auftritt, in der Gestalt von zumindest einer Form aus Spannung, Biegung, Scherung und Torsion; und einen Abschätzschritt zum Abschätzen (S2) des Analysefehlers für jeden Deformationsmodus aus dem zumindest einen vermuteten Deformationsmodus als eine Funktion eines Maßes der geometrischen Verzerrung des Elements.
Verfahren nach Anspruch 1, wobei das Element als ein ebenenartiges Element (2D Element mit Deformationen in der Ebene) geformt ist und wobei der Abschätzschritt einen ersten Berechnungsschritt enthält mit: (a) Koordinatentransformieren des ebenenartigen Elements in ein isoparametrisches Element durch Ausdrücken von Gehrung und Trapezoidform des ebenenartigen Elements mit mehreren Grundverzerrungsparametern, die derart definiert sind, dass die Gehrung und die Trapezoidform unabhängig voneinander behandelt werden, wobei die Gehrung und die Trapezoidform die geometrische Verzerrung des ebenenartigen Elements sind; (b) Zerlegen des Deformationsmodus des ebenenartigen Elements in mehrere Grunddeformationsmodi, einschließlich Spannung, Scherung und Biegung, durch Behandeln des ebenenartigen Elements als das isoparametrische Element; (c) Berechnen der Dehnungsenergie des ebenenartigen Elements durch Formulieren von Normaldehnungen und Scherdehnungen des ebenenartigen Elements mit den mehreren Grundverzerrungsparametern und den mehreren Grunddeformationsmodi, indem das ebenenartige Element als das isoparametrische Element behandelt wird; und (d) Berechnen des Analysefehlers, der zu einem Wert von jedem der mehreren Grundverzerrungsparameter gehört, für jeden der mehreren Grunddeformationsmodi, basierend auf der berechneten Dehnungsenergie des ebenenartigen Elements.
Verfahren nach Anspruch 2, wobei der Abschätzschritt einen zweiten Berechnungsschritt des Berechnens des Analysefehlers für jeden des zumindest einen vermuteten Deformationsmodus beinhaltet, basierend auf einer Differenz zwischen einer analytischen Lösung der Dehnungsenergie des Elements und einer angenäherten Lösung der Dehnungsenergie des Elements, wobei die analytische Lösung basierend auf einer wahren Spannung und Dehnungsverteilung innerhalb eines Elementengebiets berechnet wird, nicht durch eine Finite-Elemente-Analyse, während die angenäherte Lösung durch eine Finite-Elemente-Näherung berechnet wird.
Verfahren nach Anspruch 3, wobei der zweite Berechnungsschritt einen Berechnungsschritt für die Lösung enthält, enthaltend: Definieren eines einzigen repräsentativen Elements aus mehreren Elementen, die zum approximierenden Darstellen der Gestalt des Objekts zusammenwirken; und Berechnen der analytischen Lösung und der angenäherten Lösung der Dehnungsenergie für das repräsentative Element unter Berücksichtigung des repräsentativen Elements und nicht unter Berücksichtigung von anderen Elementen.
Verfahren nach Anspruch 1, wobei die Verzerrung mit mehreren linear unabhängigen geometrischen Parametern ausgedrückt wird.
Verfahren nach Anspruch 5, wobei die mehreren geometrischen Parameter zumindest umfassen: ein Seitenverhältnis einer Gestalt des Elements; die Gehrung der Gestalt des Elements relativ zu einem Grundrechteck, das das gleiche Seitenverhältnis wie die Gestalt des Elements aufweist; und die Trapezoidform der Gestalt des Elements relativ zu dem Grundrechteck.
Verfahren nach Anspruch 6, wobei die Gehrung mit einem Maß der Gehrung der Gestalt des Elements relativ zu dem Grundrechteck definiert ist, und wobei die Trapezoidform mit einem Maß der Kegelform der Gestalt des Elements relativ zu dem Grundrechteck definiert ist.
Verfahren nach Anspruch 6, wobei die mehreren geometrischen Parameter weiter ein Maß der Verwölbung der Gestalt des Elements relativ zum dem Grundrechteck umfassen.
Verfahren nach Anspruch 5, wobei der Abschätzschritt enthält: Abschätzen des Analysefehlers, der zu jedem der mehreren geometrischen Parameter gehört, wobei der abgeschätzte Analysefehler jeweils mehrere individuelle Analysefehler ist, die zugehörig zu den mehreren von geometrischen Parametern jeweils abgeschätzt sind; und Abschätzen des Analysefehlers aufgrund einer Gesamtheit der Verzerrung des Elements als ein Gesamtanalysefehler basierend auf den mehreren individuellen Analysefehlern.
Verfahren nach Anspruch 9, das weiter enthält: einen Deformationsmodusbestimmungsschritt zum Bestimmen von zumindest einer Form aus Spannung, Biegung, Scherung und Torsion als ein Deformationsmodus, von dem man erwartet, dass er in jedem der mehreren Elemente während der Deformation des Objekts auftritt, für jedes Element entsprechend einem Befehl, der von einem Benutzer eines Computers abgegeben wird zum Lenken der Bestimmung des Deformationsmodus; und einen Visualisierungsschritt zum quantitativen Visualisieren des Analysefehlers aufgrund einer geometrischen Verzerrung von jedem der mehreren Elemente bei einer Bestimmung des Deformationsmodus für zumindest eines der mehreren Elemente.
Verfahren nach Anspruch 10, wobei das Verfahren vor einer numerischen Analyse der mehreren Elemente durch das Finite-Elemente-Verfahren durchgeführt wird.
Verfahren nach Anspruch 10, weiter enthaltend einen Abschätzschritt zum Abschätzen des Analysefehlers unter Verwendung des Computers für jedes Element, basierend auf dem bestimmten Deformationsmodus, gemäß einem Elementen-Verzerrungs-zu-Analysefehler Verhältnis, das im voraus zwischen der geometrischen Verzerrung jedes Elements und dem Analysefehler, der aufgrund der geometrischen Verzerrung in den Analyseergebnissen durch das Finite-Elemente-Verfahren auftritt, abgeschätzt wird, und wobei der Visualisierungsschritt zum Visualisieren des abgeschätzten Analysefehlers implementiert ist.
Verfahren nach Anspruch 12, wobei das Elementen-Verzerrungs-zu-Analysefehler Verhältnis durch das Verfahren nach Anspruch 1 abgeschätzt worden ist.
Verfahren nach Anspruch 12, wobei die Verzerrung mit mehreren linear unabhängigen geometrischen Parametern ausgedrückt wird, wobei der Abschätzschritt einen Individualanalysefehlerabschätzschritt zum Abschätzen des Analysefehlers zugehörig zu jedem der mehreren geometrischen Parameter als einen individuellen Analysefehler enthält, und wobei der Visualisierungsschritt zum Visualisieren des abgeschätzten individuellen Analysefehlers für jeden der mehreren geometrischen Parameter zugehörig zu jedem aus dem zumindest einen Element implementiert ist.
Verfahren nach Anspruch 12, wobei der Abschätzschritt einen Gesamtanalysefehlerabschätzschritt zum Abschätzen des Analysefehlers aufgrund einer Gesamtheit der Verzerrung jedes Elements als einen Gesamtanalysefehler enthält, jeweils für jedes des mindestens einen Elements, und wobei der Visualisierungsschritt zum Visualisieren des abgeschätzten Gesamtanalysefehlers jeweils für jedes des zumindest einen Elements implementiert ist.
Verfahren nach Anspruch 15, wobei der Visualisierungsschritt einen speziellen Darstellungsschritt zum Darstellen der mehreren Elemente enthält, der einem Benutzer des Computers ermöglicht, visuell zwischen zumindest einem der mehreren Elemente, das einen abgeschätzten Gesamtanalysefehler hat, der nicht geringer als ein erlaubbarer Wert ist, und zumindest einem der mehreren Elemente, das den abgeschätzten Gesamtanalysefehler aufweist, der geringer als ein erlaubbarer Wert ist, zu unterscheiden.
Verfahren nach Anspruch 9, das weiter enthält: einen Teilungsschritt zum Teilen des Objekts in mehrere Elemente unter Verwendung eines Computers; einen Deformationsmodusbestimmungsschritt des Bestimmens von zumindest einer Form aus Spannung, Biegung, Scherung und Torsion als ein Deformationsmodus, von dem man erwartet, dass er in jedem Element während der Deformation des Objekts auftritt, für jedes Element, bei der Teilung in die mehreren Elemente, entsprechend einem Befehl, der von einem Benutzer des Computers abgegeben wird, um die Bestimmung des Deformationsmodus zu lenken; einen Visualisierungsschritt des quantitativen Visualisieren für zumindest eines der mehreren Elemente als Antwort auf die Bestimmung des Deformationsmoduses eines Analysefehlers, der während der geometrischen Verzerrung jedes Elements in den Analyseergebnissen der Deformation des Objekts durch das Finite-Elemente-Verfahren auftritt; und einen Analyseschritt des Analysieren der Deformation des Objekts unter Verwendung des Satzes durch das Finite-Elemente-Verfahren unter Verwendung des Computers.
Verfahren zum Abschätzen der Deformation eines Objekts durch ein finites Elementeverfahren unter Verwendung eines Satzes mehrerer Elemente, die eine Gestalt des Objekts approximierend darstellen, unter Verwendung eines Computers, wobei das Verfahren enthält: einen Teilungsschritt (S1) zum Teilen der Gestalt des Objekts in mehrere Elemente unter Verwendung des Computers; einen Deformationsmodusbestimmungsschritt (S102) des Bestimmens von zumindest einer Form aus Spannung, Biegung, Scherung und Torsion als ein Deformationsmodus, von dem man erwartet, dass er in jedem Element während der Deformation des Objekts auftritt, für jedes Element, bei der Teilung in die mehreren Elemente, entsprechend einem Befehl, der von einem Benutzer des Computers abgegeben wird, um die Bestimmung des Deformationsmodus zu lenken; einen Abschätzschritt (S2) zum Abschätzen, in Abhängigkeit von einem Deformationsmodus, von zumindest einem der mehreren Elemente, und der einen Analysefehler, der aufgrund der geometrischen Verzerrung jedes Elements auftritt, quantitativ für zumindest eines der mehreren Elemente visualisiert, wobei der Abschätzschritt einen ersten Unterschritt zum Abschätzen eines individuellen Analysefehlers (eA), der einem Seitenverhältnis (A) ei ner Gestalt des Elements und dem bestimmten Deformationsmodus entspricht, basierend auf sowohl dem Seitenverhältnis (A) als auch dem bestimmten Deformationsmodus, einen zweiten Unterschritt (S110) zum Abschätzen eines individuellen Analysefehlers (eT), der einem Trapezoid (T) einer Gestalt des Elements und dem bestimmten Deformationsmodus entspricht, basierend auf sowohl dem Trapezoid (T) als auch dem bestimmten Deformationsmodus, und einen Aufsummier-Unterschritt zum Abschätzen eines Gesamtanalysefehlers (Σe) aus den geschätzten individuellen Analysefehlern (eA und eT), aufweist, einen Korrekturschritt (S4) zum Modifizieren eines Elements, das eine Modifikation benötigt, und einen Analyseschritt (S5) des Analysierens der Deformation des Objekts unter Verwendung des Satzes von Elementen durch das Finite-Elemente-Verfahren unter Verwendung des Computers.
Verfahren nach Anspruch 18, bei dem der Abschätzschritt weiter einen dritten Unterschritt (S106) zum Abschätzen eines individuellen Analysefehlers (eW), der einer Verwölbung (W) einer Gestalt des Elements und dem bestimmten Deformationsmodus entspricht, basierend auf sowohl der Verwölbung (W) als auch dem bestimmten Deformationsmodus, einen vierten Unterschritt (S108) zum Abschätzen eines individuellen Analysefehlers (eS), der einer Gehrung (S) einer Gestalt des Elements und dem bestimmten Deformationsmodus entspricht, basierend auf sowohl der Gehrung (S) als auch dem bestimmten Deformationsmodus, und einen Aufsummier-Unterschritt zum Abschätzen eines Gesamtanalysefehlers (Σe) aus den geschätzten individuellen Analysefehlern (eA, eT, eW und eS) enthält.
Verfahren nach einem der Ansprüche 1–19, wobei die Verfahrensschritte als Programmcode formuliert sind, mit dem das Verfahren auf einem Computer abläuft.