DE3825891A1 - Verfahren zum entwurf einer gekruemmten flaeche - Google Patents
Verfahren zum entwurf einer gekruemmten flaecheInfo
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Description
Die Erfindung betrifft ein Verfahren zum Entwurf einer
gekrümmten Fläche, die für die Darstellung einer
gekrümmten Fläche und das Schneiden einer gekrümmten
Fläche in einem CAD/CAM-System (rechnerunterstütztes
Entwurfssystem/rechnerunterstütztes Fertigungssystem)
verwendet wird, das in einem Personalcomputer, einem
Konstruktionsarbeitsplatz, einer numerisch gesteuerten
Werkzeugmaschine oder dergleichen verwendet wird.
Bekannte Entwurfsverfahren für eine gekrümmte Fläche
betrafen im allgemeinen vierseitige Flächen, wie
beispielsweise eine gekrümmte Coons-Fläche, eine gekrümmte
Bezier-Fläche und dergleichen, wobei eine gekrümmte
Fläche mit vier Seiten entworfen wird. Als Verfahren zum
Entwurf eines dreiseitigen gekrümmten Flächenstückes ist
beispielsweise ein Verfahren vorhanden, wie es von Fujio
Yamaguchi in "Shape Processing Technology II", The Nikkan
Kogyo Shinbun Ltd., 28. Dezember 1982, Seiten 61 bis 66,
beschrieben wird.
Als Verfahren zum Entwurf dreiseitiger, fünfseitiger und
sechsseitiger gekrümmter Flächenstücke ist ein Verfahren
bekannt nach Hiroaki Chiyokura, "Solid Modeling", Kogyo
Chosakai Publishing Co., Ltd., 30. April 1985, Seiten 109
bis 118.
Das erstgenannte Verfahren betrifft ein Verfahren, bei
welchem ein rechteckförmiges Stück zusammengezogen, sowie
ein Verfahren, bei welchem eine gekrümmte Fläche durch
drei Parameter (u, v, w) entworfen wird.
Das letztgenannte Verfahren betrifft ein Verfahren, bei
welchem ein polygonales Stück durch mehrere rechteckförmige
Stücke (PT 1, PT 2, PT 3, PT 4, PT 5) gebildet wurde.
Bei derartigen bekannten Entwurfsmethoden für eine
gekrümmte Fläche, wie sie vorausgehend beschrieben wurden,
wird hauptsächlich ein rechteckförmiges Stück verwendet, und
ein Verfahren, das sich auf ein dreiseitiges, gekrümmtes
Flächenstück oder ein fünf- oder mehrseitiges, gekrümmtes
Flächenstück bezieht, hat einen Algorithmus, der nur für
eine dreiseitige, gekrümmte Fläche wirksam ist, oder ein
weiteres Verfahren ist ein kompliziertes Verfahren, bei
welchem ein polygonales Stück aus rechteckförmigen Stücken
zusammengesetzt ist.
Die Erfindung ist darauf abgestellt, die vorausgehenden
Schwierigkeiten zu überwinden und es liegt ihr die Aufgabe
zugrunde, ein Verfahren zum Entwurf einer polygonalen,
gekrümmten Fläche mit drei oder mehr Seiten in einfacher
Weise und mit hoher Geschwindigkeit zu schaffen.
Ein Verfahren zum Entwurf einer gekrümmten Fläche gemäß
der vorliegenden Erfindung umfaßt folgende Schritte:
einen ersten Schritt zur Eingabe von Randformdaten von n Seiten einer gekrümmten Fläche, wobei n eine ganze Zahl oberhalb 3 ist; einen zweiten Schritt zur Erzielung eines regelmäßigen n-seitigen Polygons in einem Parameterraum auf der Basis der gegebenen Daten von n Seiten; einen dritten Schritt zur Berechnung von Abstandsparametern auf der Basis des regulären n-seitigen Polygons, das im zweiten Schritt erhalten wurde; einen vierten Schritt zur Berechnung von Übergangswerten auf der Grundlage der Abstandsparameter; einen fünften Schritt zur Abbildung eines inneren Punktes (P) des regelmäßigen n-seitigen Polygons auf die jeweiligen Seiten zur Berechnung von Begrenzungsparametern; einen sechsten Schritt zur Berechnung mindestens eines der dreidimensionalen Koordinatenpunkt, und, falls erforderlich, Tangentenvektoren an Seiten, die Begrenzungen der gekrümmten Fläche auf der Grundlage der Begrenzungsparameter sind; und einen siebten Schritt zur Berechnung willkürlicher Punkte auf der gekrümmten Fläche auf der Grundlage der Abstandsparameter, der Übergangswerte, der dreidimensionalen Koordinatenpunkte der jeweiligen Seiten, und, falls erforderlich, der Tangentenvektoren der jeweiligen Seiten.
einen ersten Schritt zur Eingabe von Randformdaten von n Seiten einer gekrümmten Fläche, wobei n eine ganze Zahl oberhalb 3 ist; einen zweiten Schritt zur Erzielung eines regelmäßigen n-seitigen Polygons in einem Parameterraum auf der Basis der gegebenen Daten von n Seiten; einen dritten Schritt zur Berechnung von Abstandsparametern auf der Basis des regulären n-seitigen Polygons, das im zweiten Schritt erhalten wurde; einen vierten Schritt zur Berechnung von Übergangswerten auf der Grundlage der Abstandsparameter; einen fünften Schritt zur Abbildung eines inneren Punktes (P) des regelmäßigen n-seitigen Polygons auf die jeweiligen Seiten zur Berechnung von Begrenzungsparametern; einen sechsten Schritt zur Berechnung mindestens eines der dreidimensionalen Koordinatenpunkt, und, falls erforderlich, Tangentenvektoren an Seiten, die Begrenzungen der gekrümmten Fläche auf der Grundlage der Begrenzungsparameter sind; und einen siebten Schritt zur Berechnung willkürlicher Punkte auf der gekrümmten Fläche auf der Grundlage der Abstandsparameter, der Übergangswerte, der dreidimensionalen Koordinatenpunkte der jeweiligen Seiten, und, falls erforderlich, der Tangentenvektoren der jeweiligen Seiten.
Die eingangs genannte Aufgabenstellung wird
erfindungsgemäß durch ein Verfahren zum Entwurf einer
gekrümmten Fläche gelöst, das durch folgende Schritte
gekennzeichnet ist:
einen ersten Schritt zur Eingabe von Randformdaten der Seiten einer polygonalen, gekrümmten Fläche;
einen zweiten Schritt zur Erzielung eines regulären n-seitigen Polygons in einem zweidimensionalen Parameterraum entsprechend der Anzahl n der eingegebenen Seiten, wobei n eine ganze Zahl oberhalb 3 ist;
einen dritten Schritt zur Erzielung von Senkrechten, ausgehend von einem willkürlichen Punkt innerhalb eines regulären n-seitigen Polygons auf dessen Seiten oder auf verlängerte Linien der jeweiligen Seiten in einem zweidimensionalen Parameterraum, entsprechend der Anzahl n der eingegebenen Seiten;
einen vierten Schritt zur Erzielung der Länge der Senkrechten zwischen dem Punkt und den jeweiligen Seiten als Abstandsparameter;
einen fünften Schritt zur Erzielung von Übergangswerten, die den Wert 1 auf einer laufenden Seite und den Wert 0 auf den anderen Seiten bezüglich der jeweiligen Seiten annehmen, die zwischen dem Wert 0 und dem Wert 1 innerhalb des regulären n-seitigen Polygons stetig interpoliert werden, und wobei partielle Differentialwerte nach den Abstandsparametern an den jeweiligen Seiten Null werden;
einen sechsten Schritt zur Abbildung des Punktes auf die jeweiligen Seiten und zur Erzielung von Verhältnissen als Begrenzungsparameter, an denen die abgebildeten Punkte die jeweiligen Seiten teilen;
einen siebten Schritt zur Bildung dreidimensionaler Koordinatenwerte und Werte der Tangentenvektoren an den jeweiligen Seiten auf der Grundlage der Begrenzungsparameter; und
einen achten Schritt zur Berechnung von Punkten an der gekrümmten Fläche auf der Grundlage der Abstandsparameter, der Übergangswerte, der dreidimensionalen Koordinatenwerte und der Tangentenvektoren.
einen ersten Schritt zur Eingabe von Randformdaten der Seiten einer polygonalen, gekrümmten Fläche;
einen zweiten Schritt zur Erzielung eines regulären n-seitigen Polygons in einem zweidimensionalen Parameterraum entsprechend der Anzahl n der eingegebenen Seiten, wobei n eine ganze Zahl oberhalb 3 ist;
einen dritten Schritt zur Erzielung von Senkrechten, ausgehend von einem willkürlichen Punkt innerhalb eines regulären n-seitigen Polygons auf dessen Seiten oder auf verlängerte Linien der jeweiligen Seiten in einem zweidimensionalen Parameterraum, entsprechend der Anzahl n der eingegebenen Seiten;
einen vierten Schritt zur Erzielung der Länge der Senkrechten zwischen dem Punkt und den jeweiligen Seiten als Abstandsparameter;
einen fünften Schritt zur Erzielung von Übergangswerten, die den Wert 1 auf einer laufenden Seite und den Wert 0 auf den anderen Seiten bezüglich der jeweiligen Seiten annehmen, die zwischen dem Wert 0 und dem Wert 1 innerhalb des regulären n-seitigen Polygons stetig interpoliert werden, und wobei partielle Differentialwerte nach den Abstandsparametern an den jeweiligen Seiten Null werden;
einen sechsten Schritt zur Abbildung des Punktes auf die jeweiligen Seiten und zur Erzielung von Verhältnissen als Begrenzungsparameter, an denen die abgebildeten Punkte die jeweiligen Seiten teilen;
einen siebten Schritt zur Bildung dreidimensionaler Koordinatenwerte und Werte der Tangentenvektoren an den jeweiligen Seiten auf der Grundlage der Begrenzungsparameter; und
einen achten Schritt zur Berechnung von Punkten an der gekrümmten Fläche auf der Grundlage der Abstandsparameter, der Übergangswerte, der dreidimensionalen Koordinatenwerte und der Tangentenvektoren.
In den Zeichnungen zeigen:
Fig. 1 und 2 Ablaufdiagramme zum Einsatz
des erfindungsgemäßen Verfahrens
zur Erzeugung einer gekrümmten
Fläche;
Fig. 3 eine Aufbaudarstellung einer
NC-Werkzeugmaschine, bei welcher
das erfindungsgemäße Verfahren
verwendet wird;
Fig. 4 eine Darstellung zur Erläuterung
des Falles, bei welchem eine
ebene Kurve in die
Eingabevorrichtung für die Daten
der gekrümmten Fläche eingegeben
wird;
Fig. 5 eine Darstellung zur Erläuterung
des Falles, in welchem eine
Raumkurve (iS) in gleicher
Weise wie gemäß Fig. 4
eingegeben wird;
Fig. 6 eine Darstellung zur Erläuterung
des Falles, bei welchem sechs
Seiten einer Randform einer
gekrümmten Fläche eingegeben
werden;
Fig. 7 eine Darstellung zur Erläuterung
des Falles, bei welchem ein
laufender Werkzeugort in
Gestalt einer Spirale in einem
Parameterraum erzeugt wird;
Fig. 8 eine erläuternde Darstellung,
die die Ausgabe des Nullpunktes
in einem Parameterraum zeigt;
Fig. 9 eine Darstellung zur Erläuterung
eines Verfahrens zur Berechnung
von Abstandsparametern bei
einem regulären Sechseck;
Fig. 10 eine Darstellung zur Angabe der
Form einer Übergangsfunktion
(blending function) (Ba) in drei
Dimensionen;
Fig. 11a und 11b erläuternde Darstellungen eines
Algorithmus in der Stufe (P 5-3)
in Fig. 2;
Fig. 12 eine Darstellung zur Erläuterung
der Verarbeitung eines
polygonalen, gekrümmten
Flächenstückes;
Fig. 13 eine Aufbauanordnung eines
Kathodenstrahlröhren-Bildschirms,
bei dem das erfindungsgemäße
Verfahren verwendet wird;
Fig. 14 eine Darstellung zur Erläuterung
eines Beispiels, bei welchem
dreidimensionale Koordinatenwerte
und Tangentenvektoren jeweiliger
Seiten durch Steuerpunkte
ausgedrückt werden, um dadurch
eine gekrümmte Fläche zu erzeugen;
und
Fig. 15 eine Darstellung, die den Stand
der Technik angibt.
Bevorzugte Ausführungsformen der Erfindung werden unter
Bezugnahme auf die anliegenden Zeichnungen im einzelnen
beschrieben.
Die Fig. 1 und 2 sind Ablaufdarstellungen zur Durchführung
des erfindungsgemäßen Verfahrens zum Entwurf einer
gekrümmten Fläche.
In Fig. 1 stellt (P 1) einen Eingabeschritt für die Daten
der gekrümmten Fläche dar. Beispielsweise werden in einem
Fall, wo das Verfahren in einer NC-Werkzeugmaschine, die
beispielsweise in Fig. 3 angegeben ist, ausgeführt wird,
Daten bezüglich einer Randform, die eine gekrümmte Fläche
eines Gegenstandes bildet und, falls erforderlich, Daten
bezüglich von Tangentenvektoren in der Randform der
gekrümmten Fläche unter Verwendung einer
Dateneingabevorrichtung (D 1) eingegeben. Als Randformdaten
der gekrümmten Fläche kann beispielsweise eine ebene
Kurve, wie eine Verbindungslinie, die aus geradlinigen
Linien und kreisförmigen Bogen aufgebaut ist, die sich
gemäß Fig. 4 in der gleichen Ebene befinden, eingegeben
werden, oder eine Raumkurve, wie beispielsweise eine
Bezier-Kurve mit Steuerpunkten (CP 1, CP 2, CP 3, CP 4, CP 5)
gemäß Fig. 5.
Die gesamte Randform der gekrümmten Fläche wird bestimmt,
indem mehrere ebene Kurven oder mehrere Raumkurven gemäß
Fig. 8 kombiniert werden. Beispielsweise werden, um die
ebene Kurve gemäß Fig. 4 zu erhalten, dreidimensionale
Koordinatenwerte der Punkte (P 1, P 2, P 3, P 4 und P 5)
entsprechend den jeweiligen beiden Enden der beiden
geradlinigen Linien und zwei Kreisbögen und Radien (r 1, r 2)
dieser Kreisbögen als Randformdaten eingegeben, und die
Funktion der ebenen Kurve in den dreidimensionalen
Koordinaten wird auf der Grundlage der eingegebenen
Randformdaten bestimmt.
Fig. 6 ist eine Darstellung zur Erläuterung eines
Beispiels eines Falles, bei welchem Daten einer Randform
einer gekrümmten Fläche, die sechs Seiten aufweist,
eingegeben werden. Das heißt, die Daten der sechs Seiten
(fla, flb, flc, fld, fle, flf) der Randform werden
eingegeben. Wenn es gewünscht wird, kontinuierlich eine
Anzahl gekrümmter Flächen zu verbinden, die festgelegt
worden sind, so wird erwogen, die Tangentenvektoren an
den Begrenzungen zu steuern, wo die gekrümmten Flächen
miteinander verbunden sind. Beispielsweise wird
vorgeschlagen, die Richtungen beider Tangentenvektoren
an jedem Verbindungspunkt (Begrenzung) in Übereinstimmung
miteinander zu bringen. In diesem Fall können die
Tangentenvektoren (Da, Db, Dc, Dd, De, Df), die ebenfalls
in Fig. 6 angegeben sind, eingegeben werden.
Unter erneuter Bezugnahme auf Fig. 1 stellt (P 2) einen
Schritt dar, bei dem die Anzahl der Randformen der
gekrümmten Flächen in der vorausgehend beschriebenen
Weise eingegeben wird, d. h. die Anzahl der kombinierten,
mehreren, ebenen Kurven oder Raumkurven in einer Variablen
n gespeichert wird, wobei n eine ganze Zahl ist, die
nicht kleiner als 3 ist.
(P 3) in Fig. 1 bildet einen Schritt zur Erzielung eines
regulären n-seitigen Polygons in einem zweidimensionalen
Parameterraum (U, V). Das regelmäßige n-seitige Polygon
ist derart aufgebaut, daß sein Mittelpunkt zum Ursprung
(O) im Parameterraum (U, V) kommt, und es wird derart
normiert, daß der Abstand zwischen parallelen und
einander gegenüberliegenden Seiten gleich 1,0 gemacht wird,
wenn n eine gerade Zahl ist, während der Abstand zwischen
einer Seite und einem der Seite gegenüberliegenden Punkt
(einem Punkt mit größtem Abstand von der Seite) gleich
1,0 gemacht wird, wenn n eine ungerade Zahl ist. Das heißt,
die Größe des regelmäßigen n-seitigen Polygons wird
derart normiert, daß eine Länge einer Senkrechten von
jedem Punkt innerhalb des regulären n-seitigen Polygons
zu jeder Seite des regulären n-seitigen Polygons nicht
größer als 1,0 ist.
(P 4) in Fig. 1 stellt einen Schritt zur Erzielung eines
laufenden Werkzeugortes im Parameterraum (U, V) dar, der
Koordinatenpunkte (u, v) nacheinander ausgibt. Fig. 7
ist eine Darstellung, die ein Ausführungsbeispiel zeigt,
bei dem ein laufender Werkzeugort (TP) in Form einer
Spirale vom Punkt (PLa) zum Ursprung (0) im Parameterraum
(U, V) erzeugt wird.
(P 5) in Fig. 1 stellt einen Schritt zur Erzielung
dreidimensionaler Koordinatenpunkte (x, y, z) jedes
beliebigen Punktes auf einer gekrümmten Fläche auf der
Basis der Koordinatenpunkte (u, v) dar. Das
Entwurfsverfahren für die gekrümmte Fläche bezüglich
dieses Schrittes wird später im einzelnen beschrieben.
(P 6) in Fig. 1 stellt einen Schritt zur Erzeugung eines
Werkzeugortes auf der Grundlage der dreidimensionalen
Koordinatenpunkte (x, y, z) dar, die im Schritt (P 5)
erhalten wurden, um damit eine Werkzeugmaschine zu
steuern.
(P 7) stellt einen Schritt zur Beurteilung dar, ob die
Ausgabe des Werkzeugortes beendet oder nicht beendet ist.
In einem in Fig. 8 angegebenen Beispiel wird entschieden,
daß die Ausgabe des Werkzeugortes beendet wurde, wenn
die Werte von (u, v) Null werden, d. h. wenn der Werkzeugort
am Ursprung ausgegeben wird. Anschließend endet die
Verarbeitung.
Fig. 2 ist eine Ablaufdarstellung zur Erläuterung, im
einzelnen, des Entwurfverfahrens der gekrümmten Fläche
gemäß Schritt (P 5) in Fig. 1.
Gemäß Fig. 2 stellt (P 5-1) einen
Abstandsparameterberechnungsschritt zur Berechnung der
Längen von Senkrechten von einem gegebenen Koordinatenpunkt
(u, v) zu den Seiten eines regelmäßigen n-seitigen
Polygons dar, das in einem Parameterraum (U, V) normiert
ist.
Fig. 9 ist eine Darstellung eines Verfahrens zur Berechnung
der Abstandsparameter im Falle eines regelmäßigen
Sechseckes. Das heißt, es werden jeweilige Punkte (Qa, Qb,
Qc, Qd, Qe, Qf) von Senkrechten von einem gegebenen Punkt
(P(u, v)) zu den jeweiligen Seiten erhalten, und anschließend
werden die jeweiligen Längen der Abschnitte (PQa, PQb,
PQc, PQd, PQe, PQf) als Abstandsparameter berechnet. Die
auf diese Weise erhaltenen Abstandsparameter werden jeweils
anschließend durch (a, b, c, d, e, f) dargestellt. Es
sei angenommen, daß das reguläre n-seitige Polygon
normiert wurde und folgende Bedingung ist immer erfüllt,
falls der gegebene Punkt (P(u, v)) im Inneren des regulären
n-seitigen Polygons liegt.
0 a, b, c, d, e, f 1
Ferner wird, wenn es unmöglich ist, eine Senkrechte vom
Punkt (P) unmittelbar zu einer der Seiten zu ziehen, die
Senkrechte vom Punkt (P) zu einer verlängerten Linie
jener Seite gezogen. Selbst in diesem Falle soll nicht
gesagt werden, daß die Abstandsparameter Werte nicht
kleiner als 0 und nicht größer als 1 annehmen.
Unter erneuter Bezugnahme auf Fig. 2 stellt (P 5-2) ein
Übergangswertberechnungsverfahren dar, gemäß welchem
Übergangswerte zur Erzielung der Mischungsrate der
dreidimensionalen Koordinatenwerte der jeweiligen Seiten
zwecks Bestimmung der Koordinatenwerte der jeweiligen
Seiten der gekrümmten Fläche auf der Grundlage der im
Schritt (P 5-1) erhaltenen Abstandsparameter gewonnen
werden. Die Übergangswerte (blending values) (Ba, Bb, Bc,
Bd, Be, Bf) werden durch folgende Ausdrücke erhalten:
Ba = Φ a/S
Bb = Φ b/S
Bc = Φ c/S
Bd = Φ d/S
Be = Φ e/S
Bf = Φ f/S
Bb = Φ b/S
Bc = Φ c/S
Bd = Φ d/S
Be = Φ e/S
Bf = Φ f/S
wobei
Φ a = (1 - a 2) b 2 c 2 d 2 e 2 f 2
Φ b = (1 - b 2) c 2 d 2 e 2 f 2 a 2
Φ c = (1 - c 2) d 2 e 2 f 2 a 2 b 2
Φ d = (1 - d 2) e 2 f 2 a 2 b 2 c 2
Φ e = (1 - e 2) f 2 a 2 b 2 c 2 d 2
Φ f = (1 - f 2) a 2 b 2 c 2 d 2 e 2
Φ b = (1 - b 2) c 2 d 2 e 2 f 2 a 2
Φ c = (1 - c 2) d 2 e 2 f 2 a 2 b 2
Φ d = (1 - d 2) e 2 f 2 a 2 b 2 c 2
Φ e = (1 - e 2) f 2 a 2 b 2 c 2 d 2
Φ f = (1 - f 2) a 2 b 2 c 2 d 2 e 2
und
S = Φ a + Φ b + Φ c + Φ d + Φ e + Φ f
Fig. 10 ist eine Darstellung zur Erläuterung der Form der
Übergangsfunktion (Ba) in drei Dimensionen. Die Funktion
nimmt den Wert 1 an der Seite zwischen den Punkten (PLa,
PLb) an, d. h. m am Abstandsparameter a=0, und sie nimmt
den Wert 0 an den anderen Seiten an, d. h. bei b=0,
c=0, e=0 und f=0. Das partielle Differential nach
dem Abstandsparameter (a) gibt sich wie folgt:
Wird nunmehr angenommen, daß die Veränderlichen (a, b)
unabhängige Veränderliche sind, so sind die anderen
Veränderlichen (c, d, e, f) abhängige Veränderliche, und
obige Gleichung kann deshalb durch Einsetzung von a=0
erweitert werden, so daß folgendes Ergebnis erhalten
wird.
Wird das partielle Differential nach einem Abstandsparameter
(i) genommen (wobei (i) ein von (a) unterschiedlicher
Abstandsparameter ist) in Betracht gezogen, so ergibt sich
Wird nunmehr angenommen, daß die Veränderliche (i) und
eine weitere Veränderliche unabhängige Veränderliche sind
und die übrigen Veränderlichen abhängige Veränderliche,
und wird obige Gleichung durch Verwendung von i=0
erweitert, so ergibt sich folgendes Ergebnis:
Kurz gesagt, die partiellen Differentiale der
Übergangsfunktion (Ba) nach den Abstandsparametern (a, b,
c, d, e, f) nehmen den Wert Null in der Lage ein, wo die
jeweiligen Abstandsparameter den Wert Null haben. Es soll
nicht gesagt werden, daß das gleiche auch bezüglich der
Übergangsfunktionen (Bb, Bc, Bd, Be, Bf) festgestellt
wird.
Die obigen Gleichungen besagen, daß die partiellen
Differentiale der Übergangsfunktionen nach den
Abstandsparametern entsprechend den jeweiligen Seiten des
regelmäßigen n-seitigen Polygons an den jeweiligen
Seiten Null werden.
Somit werden die Übergangswerte (Ba, Bb, Bc, Bd, Be, Bf)
entsprechend einem gegebenen Punkt (P(u, v)) im
Parameterraum durch das vorausgehend aufgeführte Verfahren
erhalten.
Unter erneuter Bezugnahme auf Fig. 2 stellt (P 5-3) einen
Begrenzungsparameterberechnungsschritt dar, der ein
Verfahren bildet, in dem Punkte der jeweiligen Seiten, die
dem Punkt (P) innerhalb des regelmäßigen n-seitigen
Polygons in dem zweidimensionalen Parameterraum entsprechen,
erhalten werden, und die Begrenzungsparameterwerte jener
Punkte werden bezüglich der jeweiligen Seiten berechnet.
Fig. 11 ist eine Darstellung zur Erläuterung eines
Algorithmus der Stufe (P 5-3). In Fig. 11 ist das
regelmäßige Sechseck (PLa → PLb → PLc → PLd → PLe → PLf)
gegeben, sowie der Punkt (P(u, v)). Punkte (Qb, Qf), die,
ausgehend vom Punkt (P(u, v)) senkrecht auf die Seiten
PLb →PLc und PLf → PLa) benachbart zur Seite (PLa → PLb)
gezogen werden, werden erhalten (falls es unmöglich ist,
Linien senkrecht auf benachbarte Seiten zu ziehen, werden
die Punkte, wie beispielsweise (Q′b, Q′f) auf den jeweiligen
verlängerten Linien der benachbarten Seiten erhalten), und
ein Begrenzungsparameter (ta) ergibt sich aus folgender
Gleichung:
Hinsichtlich der übrigen Seiten werden die
Begrenzungsparameter (tb, tc, td, te, tf) jeweils in
gleicher Weise erhalten.
Bei geometrischer Betrachtung des vorstehenden
Berechnungsverfahrens für die Begrenzungsparameter nimmt
jeder Punkt auf einer Geraden, die den Punkt (P) mit
einem Punkt (P′) in Fig. 11a verbindet, den gleichen
Begrenzungsparameterwert an, und wird an einem Punkt an
der Seite (PLa → PLb) abgebildet. Das heißt, jeder Punkt
innerhalb des regulären Sechseckes wird auf den jeweiligen
Seiten abgebildet.
Die Begrenzungsparameter können gemäß Fig. 11b erhalten
werden. Das heißt, ein Punkt (R), an dem ein willkürlicher
Punkt (P) innerhalb des regelmäßigen Sechseckes auf
die Seite (PLa → PLb) abgebildet wird, wird als Schnittpunkt
der Seite (PLa → PLb) mit einer Geraden erhalten, die den
Punkt (P) mit einem Schnittpunkt der jeweiligen verlängerten
Linien der benachbarten Seiten (PLc → PLb und PLf → PLa)
verbindet. Der Begrenzungsparameter (ta) wird aus der
nachfolgenden Gleichung erhalten.
Die Begrenzungsparameter (tb, tc, td, te, tf) werden
bezüglich der anderen Seiten in gleicher Weise erhalten.
Jeder Punkt innerhalb des regelmäßigen Sechseckes wird
beim Verfahren der Fig. 11b in gleicher Weise auf die
jeweiligen Seiten abgebildet wie beim Verfahren nach
Fig. 11a.
Als nächstes ist (P 5-4) ein Schritt, bei dem der dreidimensionale
Koordinatenwert irgendeines Punktes an den jeweiligen
Begrenzungsseiten und die Tangentenvektoren an den jeweiligen
Seiten auf der Grundlage der im Schritt (P 5-3) erhaltenen
Begrenzungsparameter berechnet werden. Wird beispielsweise
in einem Fall, wo ein dreidimensionaler Koordinatenwert
irgendeines Punktes auf der ebenen Kurve gemäß Fig. 4
auf der Grundlage eines Begrenzungsparameters (t) bestimmt
wird, so wird zuerst die gesamte Länge (L) der ebenen
Kurve auf der Grundlage der eingegebenen Randformdaten
in der vorausgehend beschriebenen Weise bestimmt, zweitens
wird die auf diese Weise erhaltene gesamte Länge (L) mit
dem Begrenzungsparameter (t) multipliziert, um einen
Multiplikationswert (Lt) zu erhalten, und schließlich
wird ein dreidimensionaler Koordinatenwert des der Länge
(Lt) auf der ebenen Kurve entsprechenden Punktes auf der
Grundlage der Funktion der ebenen Kurve bestimmt.
Fig. 4 zeigt ein Ausführungsbeispiel, bei welchem die
eingegebenen Randformdaten in Form zweier Geraden und
zweier Kreisbögen gegeben sind. Praktisch wird eine Kurve
(L) von einem Punkt (P 1) zu einem Punkt (P 5) normiert
und in einem Rechner gespeichert. Das heißt, ein Parameter
(S 1) nimmt einen Wert innerhalb eines Bereiches von 0 bis
1 an, entsprechend der Strecke vom Punkt (P 1) zum Punkt
(P 5). Die Daten werden derart gespeichert, daß ein
dreidimensionaler Koordinatenwert auf der Kurve (L) erhalten
werden kann, wenn der Parameter (S 1) gegeben ist. Fig. 5
ist eine Darstellung zur Erläuterung der eingegebenen
Randformdaten in gleicher Weise wie in Fig. 4, in welcher
eine Kurve dargestellt ist, die als Bezier-Kurve bekannt
ist. Falls Steuerpunkte (CP 1, CP 2, CP 3, CP 4) gegeben sind,
um die Kurve zu definieren, so wird der dreidimensionale
Koordinatenwert auf der Kurve (L) erhalten. Wird angenommen,
daß die Raumkoordinatenwerte der Steuerpunkte gleich
(CP 1, CP 2, CP 3, CP 4) sind, so ergibt sich der Punkt (P(S 1))
aus folgender Gleichung:
P(S 1) = (1 - S 1)³CP 1 + 3(1 - S 1)²S 1 CP 2
+ 3(1 - S 1)S 1²CP 3 + S 1³CP 4
Andererseits ist die Anordnung so getroffen, daß die
Werte der Tangentenvektoren auch im Rechner erhalten
werden können, falls der Parameter (S 1) in gleicher Weise
wie vorausgehend aufgeführt, gegeben ist. Die somit
erhaltenen, dreidimensionalen Koordinatenwerte und
Tangentenvektoren der jeweiligen Seiten werden anschließend
jeweils als (Qa, Qb, Qc, Qd, Qe, Qf) sowie (Da, Db, Dc, De,
Df) bezeichnet.
Schließlich bezeichnet (P 5-5) in Fig. 2 einen Schritt,
in dem Punkte auf der gekrümmten Fläche, ausgehend von
den Abstandsparametern (a, b, c, d, e, f), den
Übergangswerten (Ba, Bb, Bc, Bd, Be, Bf), den
dreidimensionalen Koordinatenwerten (Qa, Qb, Qc, Qd, Qe, Qf)
der jeweiligen Seiten, und, falls erforderlich, den
Tangentenvektoren (Da, Db, Dc, Dd, De, Df) der jeweiligen
Seiten berechnet werden, die in den vorausgehend
aufgeführten Schritten (P 5-1, P 5-2, P 5-3, P 5-4) erhalten
werden. Ein Punkt (S) auf der gekrümmten Fläche wird wie
folgt berechnet:
Fig. 6 ist eine Darstellung obiger Berechnung. Der
Koordinatenwert von (S) wird ein gegebener
Randkoordinatenwert als Folge der Kennlinie der
Übergangsfunktion (Bi). Grund hierfür ist, daß, wenn
beispielsweise a=0 ist
Ba = 1, Bb = 0, Bc = 0, Bd = 0, Be = 0, Bf = 0
so daß folgende Gleichung gilt:
S = Qa
und ähnliches gilt ebenfalls für b=0, c=0, d=0,
e=0 oder f=0. Andererseits wird der Tangentenvektor
im Rand der gekrümmten Fläche durch folgende Gleichung
gegeben. Beispielsweise gilt für a=0 folgende Gleichung:
jedoch ist die Beziehung
gültig, so daß der erste Ausdruck obiger Gleichung Null
wird. Ist ferner a=0
Ba = 1, Bb = Bc = Bd = Be = Bf = 0
so gilt
In gleicher Weise gilt
Werden somit Randformdaten einer gekrümmten Fläche
eingegeben, beispielsweise in eine NC-Werkzeugmaschine
gemäß Fig. 3, so daß die gekrümmte Fläche auf der
Grundlage der eingegebenen Daten entworfen wird, um einen
Werkzeugort auf der Grundlage der entworfenen Daten der
gekrümmten Fläche auszugeben, um dadurch die
Werkzeugmaschine anzutreiben, so ist es möglich, gemäß
Fig. 12 ein gekrümmtes Polygonflächenstück zu schneiden.
Fig. 3 ist eine Aufbaudarstellung einer NC-Werkzeugmaschine,
die mit der vorausgehend aufgeführten Entwurfsfunktion
für eine gekrümmte Fläche ausgestattet ist. In Fig. 3
stellt (D 1) eine Dateneingabevorrichtung dar, in welche
die vorausgehend aufgeführten Festlegungsdaten für die
gekrümmte Fläche (beispielsweise Randbegrenzungsdaten zur
Festlegung einer gekrümmten Fläche) mittels einer
Tastatur, eines Bildschirms einer Kathodenstrahlröhre und
dergleichen eingegeben werden. (D 2) stellt eine
Zentraleinheit dar (die anschließend als CPU bezeichnet
wird) und die mit einem Hauptspeicher (D 3) zusammenwirkt,
um die Berechnung des Entwurfes der gekrümmten Fläche
auf der Grundlage der angegebenen Festlegungsdaten der
gekrümmten Fläche vorzunehmen, damit ein Werkzeugort auf
der Grundlage der erzielten gekrümmten Fläche erhalten wird,
so daß der Werkzeugort an eine jeweilige
Wellenantriebsschaltung (D 4) in der nächsten Stufe zum
Antrieb der jeweiligen Wellen ausgegeben wird. Eine
Werkzeugmaschine (M) wird durch das Ausgangssignal der
jeweiligen Wellenantriebsschaltung (D 4) angetrieben, so
daß die gekrümmte Fläche in der vorausgehend beschriebenen
Weise geschnitten werden kann. Obgleich bei der
vorausgehend aufgeführten Ausführungsform als Gleichung
für die gekrümmte Fläche
als Gleichung für eine gekrümmte Fläche verwendet wird,
kann die Gleichung für die gekrümmte Fläche ohne Eingabe
des Tangentenvektors (Di) wie folgt ausgedrückt werden:
Obgleich mehrere gekrümmte Flächen stetig kombiniert
werden können, falls der Tangentenvektor berücksichtigt
wird, kann die letztgenannte Gleichung für die gekrümmte
Fläche in dem Fall verwendet werden, wo keine derartige
Forderung vorliegt. Darüber hinaus können für die
letztgenannte Gleichung die Übergangsfunktionen (Ba, Bb,
Bc, Bd, Be, Bf) in folgender Weise ausgedrückt werden
(wobei auf Fig. 8 Bezug genommen wird).
Ba = Φ a/S, Bb = Φ b/S, Bc = Φ c/S,
Bd = Φ d/S, Be = Φ e/S, Bf = Φ f/S,
Bd = Φ d/S, Be = Φ e/S, Bf = Φ f/S,
wobei
Φ a = (1-a) b c d e f
Φ b = (1-b) c d e f a
Φ c = (1-c) d e f a b
Φ d = (1-d) e f a b c
Φ e = (1-e) a b c d e
Φ b = (1-b) c d e f a
Φ c = (1-c) d e f a b
Φ d = (1-d) e f a b c
Φ e = (1-e) a b c d e
und
S = Φ a + Φ b + Φ c + Φ d + Φ e + Φ f
Obgleich die Beschreibung bezüglich eines Falles gemacht
wurde, bei welchem bei der vorausgehend aufgeführten
Ausführungsform die Anzahl der Seiten gleich 6 ist, ist
die Erfindung nicht auf diese Ausführungsform beschränkt,
sondern umfaßt den allgemeinen Fall einer gekrümmten
Fläche, die durch (n3) gebildet wird.
Außer mit einer Werkzeugmaschine eignet sich die
Erfindung zur Verwendung zur Entwurfsplanung mittels
eines Bildschirms (SC) einer Kathodenstrahlröhre und
eines Bildschirmsteuergerätes (D 5) gemäß Fig. 13 in
solcher Weise, daß eine gekrümmte Fläche auf dem Bildschirm
der Kathodenstrahlröhre dargestellt wird. In der Fig. 13
bezeichnen (D 1, D 2, D 3) die gleichen Teile wie in Fig. 3.
Ferner können die dreidimensionalen Koordinatenwerte und
die Tangentenvektoren der jeweiligen Seiten durch
Verwendung der Steuerpunkte gemäß Fig. 14 ausgedrückt
werden. In Fig. 14 wird beispielsweise die Form (P) der
Seite (fla) mit einem Parameter (t) (0 t 1) mittels
nachfolgender Gleichung unter Verwendung der Steuerpunkte
(CP 1, CP 2, CP 3, CP 4) ausgedrückt.
P = (1-t)³ CP 1 = 3(1-t)²t CP 2
+ 3(1-t)t² CP 3 + t³ CP 4
Der Tangentenvektor an der Seite (fla) wird durch nachfolgende
Gleichung in gleicher Weise angegeben.
D = (1-t)³ (CP 32-CP 1)
+ 3(1-t)² (CP 21-CP 2)
+ 3(1-t)t² (CP 22-CP 3)
+ t³ (CP 23-CP 4)
Bezüglich der anderen Seite (flb, flc, fld, fle, flf) wird
die Form und der Tangentenvektor jeder Seite durch
Steuerpunkte in gleicher Weise ausgedrückt, so daß der
Entwurf einer gekrümmten Fläche auch erzielt wird, indem
diese als Daten für das erfindungsgemäße Verfahren
verwendet werden.
Wie vorausgehend beschrieben wurde, kann das
erfindungsgemäße Entwurfsverfahren für eine gekrümmte
Fläche entsprechend den gegebenen Daten der n Seiten ein
reguläres n-seitiges Polygon in einem Parameterraum
liefern, die Abstandsparameter, die Übergangswerte und
die Begrenzungsparameter berechnen, und eine gekrümmte
Fläche auf der Grundlage der berechneten Daten erzeugen,
so daß es möglich ist, ein Polygon mit einem gekrümmten
Flächenstück in einfacher Weise und mit hoher Geschwindigkeit
zu erhalten.
Claims (15)
1. Verfahren zum Entwurf einer gekrümmten Fläche,
gekennzeichnet durch folgende Schritte:
einen ersten Schritt zur Eingabe von Randformdaten der Seiten einer polygonalen, gekrümmten Fläche;
einen zweiten Schritt zur Erzielung eines regulären n-seitigen Polygons in einem zweidimensionalen Parameterraum entsprechend der Anzahl n der eingegebenen Seiten, wobei n eine ganze Zahl oberhalb 3 ist;
einen dritten Schritt zur Erzielung von Senkrechten, ausgehend von einem willkürlichen Punkt (P) innerhalb eines regulären n-seitigen Polygons auf dessen Seiten oder auf verlängerte Linien der jeweiligen Seiten in einem zweidimensionalen Parameterraum, entsprechend der Anzahl n der eingegebenen Seiten;
einen vierten Schritt zur Erzielung der Länge der Senkrechten zwischen dem Punkt (P) und den jeweiligen Seiten als Abstandsparameter;
einen fünften Schritt zur Erzielung von Übergangswerten, die den Wert 1 auf einer laufenden Seite und den Wert 0 auf den anderen Seiten bezüglich der jeweiligen Seiten annehmen, die zwischen dem Wert 0 und dem Wert 1 innerhalb des regulären n-seitigen Polygons stetig interpoliert werden, und wobei partielle Differentialwerte nach den Abstandsparametern an den jeweiligen Seiten Null werden;
einen sechsten Schritt zur Abbildung des Punktes (P) auf die jeweiligen Seiten und zur Erzielung von Verhältnissen als Begrenzungsparameter, an denen die abgebildeten Punkte die jeweiligen Seiten teilen;
einen siebten Schritt zur Bildung dreidimensionaler Koordinatenwerte und Werte der Tangentenvektoren an den jeweiligen Seiten auf der Grundlage der Begrenzungsparameter; und
einen achten Schritt zur Berechnung von Punkten an der gekrümmten Fläche auf der Grundlage der Abstandsparameter, der Übergangswerte, der dreidimensionalen Koordinatenwerte und der Tangentenvektoren.
einen ersten Schritt zur Eingabe von Randformdaten der Seiten einer polygonalen, gekrümmten Fläche;
einen zweiten Schritt zur Erzielung eines regulären n-seitigen Polygons in einem zweidimensionalen Parameterraum entsprechend der Anzahl n der eingegebenen Seiten, wobei n eine ganze Zahl oberhalb 3 ist;
einen dritten Schritt zur Erzielung von Senkrechten, ausgehend von einem willkürlichen Punkt (P) innerhalb eines regulären n-seitigen Polygons auf dessen Seiten oder auf verlängerte Linien der jeweiligen Seiten in einem zweidimensionalen Parameterraum, entsprechend der Anzahl n der eingegebenen Seiten;
einen vierten Schritt zur Erzielung der Länge der Senkrechten zwischen dem Punkt (P) und den jeweiligen Seiten als Abstandsparameter;
einen fünften Schritt zur Erzielung von Übergangswerten, die den Wert 1 auf einer laufenden Seite und den Wert 0 auf den anderen Seiten bezüglich der jeweiligen Seiten annehmen, die zwischen dem Wert 0 und dem Wert 1 innerhalb des regulären n-seitigen Polygons stetig interpoliert werden, und wobei partielle Differentialwerte nach den Abstandsparametern an den jeweiligen Seiten Null werden;
einen sechsten Schritt zur Abbildung des Punktes (P) auf die jeweiligen Seiten und zur Erzielung von Verhältnissen als Begrenzungsparameter, an denen die abgebildeten Punkte die jeweiligen Seiten teilen;
einen siebten Schritt zur Bildung dreidimensionaler Koordinatenwerte und Werte der Tangentenvektoren an den jeweiligen Seiten auf der Grundlage der Begrenzungsparameter; und
einen achten Schritt zur Berechnung von Punkten an der gekrümmten Fläche auf der Grundlage der Abstandsparameter, der Übergangswerte, der dreidimensionalen Koordinatenwerte und der Tangentenvektoren.
2. Verfahren zum Entwurf einer gekrümmten Fläche nach
Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet,
daß der erste Schritt ferner einen Schritt zur
Eingabe von Tangentenvektoren auf den genannten
Seiten umfaßt.
3. Verfahren zum Entwurf einer gekrümmten Fläche nach
Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet,
daß jeder der Begrenzungsparameter auf den jeweiligen
Seiten ein Verhältnis zwischen Abstandsparametern
der beiden, benachbart einer laufenden Seite liegenden
Seiten, ist.
4. Verfahren zum Entwurf einer gekrümmten Fläche nach
Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet,
daß jeder der Begrenzungsparameter auf jeweiligen
Seiten ein Verhältnis ist, mit welchem ein Punkt (R)
auf einer laufenden Seite diese laufende Seite
unterteilt, und der Punkt (R) als Schnittpunkt zwischen
der laufenden Seite und einer Geraden definiert ist,
die den Punkt (P) und einen Schnittpunkt zwischen
verlängerten Linien der beiden Seiten, benachbart
der laufenden Seite, verbindet.
5. Verfahren zum Entwurf einer gekrümmten Fläche nach
Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet,
daß die dreidimensionalen Koordinatenwerte und die
Werte der Tangentenvektoren durch Steuerpunkte
ausgedrückt werden.
6. Verfahren zum Entwurf einer gekrümmten Fläche nach
Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet,
daß das Verfahren ferner folgende Schritte umfaßt:
einen neunten Schritt zur Erzeugung eines Werkzeugortes in dem zweidimensionalen Parameterraum; und
einen zehnten Schritt zur Berechnung eines Ortes auf der gekrümmten Fläche auf der Grundlage des Werkzeugortes und zur Berechnung eines realen dreidimensionalen Werkzeugortes auf der Grundlage dieses Ortes.
einen neunten Schritt zur Erzeugung eines Werkzeugortes in dem zweidimensionalen Parameterraum; und
einen zehnten Schritt zur Berechnung eines Ortes auf der gekrümmten Fläche auf der Grundlage des Werkzeugortes und zur Berechnung eines realen dreidimensionalen Werkzeugortes auf der Grundlage dieses Ortes.
7. Verfahren zum Entwurf einer gekrümmten Fläche nach
Anspruch 6, dadurch gekennzeichnet,
daß der erste Schritt ferner einen Schritt zur
Eingabe der Tangentenvektoren auf den Seiten umfaßt.
8. Verfahren zum Entwurf einer gekrümmten Fläche nach
Anspruch 6, dadurch gekennzeichnet,
daß jeder der Begrenzungsparameter auf den jeweiligen
Seiten ein Verhältnis zwischen Abstandsparametern
der beiden Seiten ist, die benachbart einer laufenden
Seite liegen.
9. Verfahren zum Entwurf einer gekrümmten Fläche nach
Anspruch 6, dadurch gekennzeichnet,
daß jeder der Begrenzungsparameter auf den jeweiligen
Seiten ein Verhältnis ist, mit welchem ein Punkt (R)
auf einer laufenden Seite diese laufende Seite
unterteilt, daß der Punkt (R) als Schnittpunkt
zwischen der laufenden Seite und einer Geraden definiert
wird, die den Punkt (P) und einen Schnittpunkt zwischen
verlängerten Linien der beiden Seiten verbindet, die
benachbart zur laufenden Seite liegen.
10. Verfahren zum Entwurf einer gekrümmten Fläche nach
Anspruch 6, dadurch gekennzeichnet,
daß die dreidimensionalen Koordinatenwerte und die
Werte der Tangentenvektoren durch Steuerpunkte
ausgedrückt werden.
11. Verfahren zum Entwurf einer gekrümmten Fläche nach
Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet,
daß das Verfahren ferner folgende Schritte umfaßt:
einen neunten Schritt zum Zeichnen und Darstellen der erhaltenen gekrümmten Fläche auf einem Bildschirm; und
einen zehnten Schritt zur Herstellung eines Werkzeugortes in dem zweidimensionalen Parameterraum.
einen neunten Schritt zum Zeichnen und Darstellen der erhaltenen gekrümmten Fläche auf einem Bildschirm; und
einen zehnten Schritt zur Herstellung eines Werkzeugortes in dem zweidimensionalen Parameterraum.
12. Verfahren zum Entwurf einer gekrümmten Fläche nach
Anspruch 11, dadurch gekennzeichnet,
daß der erste Schritt ferner einen Schritt zur
Eingabe von Tangentenvektoren auf den Seiten umfaßt.
13. Verfahren zum Entwurf einer gekrümmten Fläche nach
Anspruch 11, dadurch gekennzeichnet,
daß jeder der Begrenzungsparameter auf den jeweiligen
Seiten ein Verhältnis zwischen Abstandsparametern
der beiden neben einer laufenden Seite liegenden Seiten
ist.
14. Verfahren zum Entwurf einer gekrümmten Fläche nach
Anspruch 11, dadurch gekennzeichnet,
daß jeder der Begrenzungsparameter auf den jeweiligen
Seiten ein Verhältnis ist, mit welchem ein Punkt (R)
auf einer laufenden Seite diese laufende Seite
unterteilt, und der Punkt (R) als ein Schnittpunkt
zwischen dieser laufenden Seite und einer Geraden
definiert ist, die den Punkt (P) und einen Schnittpunkt
zwischen verlängerten Linien der beiden Seiten, die
benachbart zur laufenden Seite liegen, verbindet.
15. Verfahren zum Entwurf einer gekrümmten Fläche nach
Anspruch 11, dadurch gekennzeichnet,
daß die dreidimensionalen Koordinatenwerte und die
Werte der Tangentenvektoren durch Steuerpunkte
ausgedrückt werden.
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