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Gebiet der
Erfindung
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Die vorliegende Erfindung betrifft
das Gebiet der Simulation finiter Elemente für einen Extrusionsprozeß.
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Es ist anzumerken, daß sich das
Prinzip der vorliegenden Erfindung, obwohl die folgende Beschreibung
sich in der Hauptsache auf Aluminium als Extrusionsmaterial bezieht,
genau so auch auf andere Gebiete der Extrusion, beispielsweise auf
die Polymerextrusion, anwenden läßt.
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Beschreibung
des Standes der Technik
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Auf dem Gebiet der Extrusionsprozesse
sind algebraische Gleichungen erforderlich, um die Berechnung der
Formen der Extrusionsprofile zu ermöglichen. Die Kapitel 1, 2 und
3 der Doktorarbeit von B. J. E. van Rens, "Finite element simulation of the aluminum
extrusion process",
Technische Universität
Eindhoven, 1999, enthalten ein System von Gleichungen, z. B. solche,
wie sie sich aus den Gesetzen der Erhaltung der Masse, der Bewegungsenergie
und der Energie ergeben.
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Um dieses System algebraischer Gleichungen
zu erhalten, ist es ausschlaggebend, daß die räumlichen Diskretisierungen
der relevanten Domänen
verfügbar
sind. Die Erzeugung dieser Diskretisie rungen, die im folgenden als
Maschen bzw. Netzwerk bezeichnet sind, sind jedoch wegen der komplexen
Formen, die mit der Extrusion (Aluminium) verbunden sind, eine enorme
Herausforderung. Infolgedessen versagen die im Stand der Technik
existierenden Verfahren zur Erzeugung von Maschen oder erzeugen
eine nicht mehr akzeptabel hohe Zahl von Elementen für diese
komplexen Domänen.
Daher sind vom Erfinder van Rens neue, diesem Problem gewidmete
Maschenalgorithmen in seiner obengenannten Doktorarbeit vorgeschlagen
worden, die Maschen erzeugen, mit dem das Lösungsfeld genau eingegrenzt
werden und die Anzahl der Elemente auf ein Minimum reduziert werden
kann. Um die diesem Problem gewidmeten Algorithmen so robust und
flexibel wie möglich
zu gestalten, sind sie auf die Erzeugung dreieckiger Oberflächen und
tetraedischer Volumenelemente beschränkt.
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Das Kapitel 4 der Arbeit von van
Rens offenbart Algorithmen, die von einem Computersystem zur Erzeugung
von Maschen für
das gesamte System des Extrusionsproduktes und das Extrusionswerkzeug
verwendet werden können.
Kapitel 4.1.1 schlägt
vor, daß Daten
von einem Paket eines computergestützten Entwurfs (CAD), mit dem
die Form gestaltet wurde, als Eingangsdaten für den Maschenerzeuger verwendet
werden können.
Es ist aber nicht offenbart, wie das vonstatten geht.
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Zusammenfassung
der Erfindung
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Die vorliegende Erfindung beruht
auf der Grundlage der in Kapitel 4 der oben genannten Doktorarbeit von
van Rens erläuterten
Prinzipien. Es ist die Aufgabe der Erfindung, ein Verfahren und
eine Anordnung zur vollautomatischen Erzeugung von Maschen für die Domänen anzugeben,
die mit den Extrusionswerkzeugen und dem Extrustionsmaterial in
einem Extrusionsprozeß in
Verbindung stehen, wenn die Konturen, die die Querschnitte der Extrusionswerkzeuge
und des Extrusionsmaterials beschreiben, definiert sind.
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Zu diesem Zweck ist die vorliegende
Erfindung auf eine Computeranordnung zur Erzeugung einer Maschenstruktur
für ein
Objekt gerichtet, wobei das Objekt ein Objektvolumen aufweist, das
von einer Vorderfläche,
einer Rückfläche und
einer Mantelfläche
umschlossen ist, und die Vorderfläche einen Querschnitt der Vorderfläche und
die Rückfläche einen
Querschnitt der Rückfläche aufweist,
der im wesentlichen gleich dem Querschnitt der Vorderfläche ist,
und die Computeranordnung für
folgendes ausgelegt ist:
- (a) Empfangen von
Eingangsdaten in Bezug auf einen Satz von Linienabschnitten, die
gemeinsam den Querschnitt der Vorderfläche vorgeben,
- (b) Definieren eines Kreises mit einem Radius (Lcirc),
der gerade groß genug
ist, daß er
eine Außenkontur des
Querschnitts der Vorderfläche
umschließt,
- (c) Division jedes der Linienabschnitte in eine Anzahl von aufeinanderfolgenden
Linienelementen, die durch Knoten miteinander verbunden sind, gemäß folgender
Gleichung: worin bedeuten:
nel(n) die Anzahl der Linienelemente des Linienabschnitts 25(n)
(n = 1, 2,..., N),
Lsect(n) die Länge des
Linienabschnitts 25(n),
c1 eine erste
vorgegebene Konstante,
c2 eine zweite
vorgegebene Konstante,
- (d) Erzeugen einer Masche für
die Vorderfläche
unter Verwendung der in Schritt (c) erzeugten Linienelemente und
Knoten,
- (e) Kopieren der Masche der Vorderfläche auf die Rückfläche zur
Erzeugung einer Masche für
die Rückfläche,
- (f) Erzeugen einer Mantelflächenmasche
für die
Mantelfäche
derart, daß die
Mantelflächenmasche
mit der Masche der Vorderfläche
und der Masche der Rückfläche übereinstimmt,
- (g) Erzeugen einer Volumenmasche für das Objektvolumen derart,
daß die
Volumenmasche mit der Masche der Vorderfläche, der Masche der Rückfläche und
der Mantelflächenmasche übereinstimmt.
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In einer weiteren Ausführungsform
betrifft die Erfindung die Maschenerzeugung für mehrere Objekte. Die Erfindung
betrifft ferner eine Computeranordnung zur Erzeugung einer Maschenstruktur
für mehrere
Objekte, die umfassen: mindestens einen erstes Objekt und eine letztes
Objekt, wobei jedes Objekt ein Objektvolumen aufweist, das durch
eine Vorderfläche,
eine Rückfläche und
eine Mantelfläche
vorgegeben ist, wobei die Vorderfläche einen Querschnitt der Vorderfläche und
die Rückfläche einen
Querschnitt der Rückfläche aufweist,
der gleich dem Querschnitt der Vorderfläche ist, und die Computeranordnung
für folgendes
ausgelegt ist:
- (a) Empfangen von Eingangsdaten
in Bezug auf einen Satz von Linienabschnitten, die gemeinsam den Querschnitt
der Vorderfläche
des ersten Objekts vorgeben,
- (b) Definieren eines Kreises mit einem Radius (Lcirc),
der gerade groß genug
ist, daß er
die Außenkontur des
Querschnitts der Vorderfläche
des ersten Objekts umschließt,
- (c) Division jedes der Linienabschnitte in eine Anzahl von aufeinanderfolgenden
Linienelementen, die durch Knoten miteinander verbunden sind, gemäß folgender
Gleichung: worin bedeuten:
nel(n) die Anzahl der Linienelemente des Linienabschnitts
25(n) (n = 1, 2,..., N),
Lsect(n) die
Länge des
Linienabschnitts 25(n),
c1 eine erste
vorgegebene Konstante,
c2 eine zweite
vorgegebene Konstante,
- (d) Erzeugen einer Masche für
die Vorderfläche
des ersten Objekts unter Verwendung der in Schritt (c) erzeugten
Linienelemente und Knoten,
- (e) Kopieren der Masche der Vorderfläche des ersten Objekts auf
die Rückfläche des
ersten Objekts zur Erzeugung einer Masche der Rückfläche,
- (f) Erzeugen einer Mantelflächenmasche
für die
Mantelfläche
(65) des ersten Objekts derart, daß die Mantelflächenmasche
mit der Masche der Vorderfläche
und der Masche der Rückfläche des
ersten Objekts übereinstimmt,
- (g) Erzeugen einer Volumenmasche für das Objektvolumen des ersten
Objekts derart, daß die
Volumenmasche mit der Masche der Vorderfläche, der Masche der Rückfläche und
der Mantelflächenmasche
des ersten Objekts übereinstimmt,
- (h) Wiederholung der Schritte (a) bis (g) für die Oberflächen und
Volumen aller anderen Objekte, für
die noch keine Maschen erzeugt wurden, derart, daß sich die
Maschen in Übereinstimmung
befinden, die für die
Volumen der verschiedenen Objekte erzeugt wurden, und die sich auf
den Grenzflächen-Oberflächen zwischen
diesen Volumen befinden.
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In diesen beiden Ausführungsformen
kann auf diese Weise die automatische Bestimmung der Linienelemente
und -knoten durch die Computeranordnung in einem Zeitrahmen von
Minuten erfolgen, während
bei einer manuellen Ausführung
Stunden, mitunter sogar Wochen dazu benötigt würden. In Extrusionsprozessen können die
Konturen, die die Querschnitte des Extrusionsmaterials innerhalb
und außerhalb
des Exctrusionswerkzeuges beschreiben, der Computeranordnung manuell
eingegeben werden. Das kann einige Stunden in Anspruch nehmen. In
einer sehr vorteilhaften Ausführungsform
umfaßt
die Eingabe Linien- und Kurvensegmente von CAD-Daten, die das Design
des Extrusionswerkzeugs vorgeben. Diese Daten können elektronisch verfügbar sein
und daher elektronisch an die Computeranordnung geliefert werden,
wodurch sich die Zeit zur Berechnung der Maschen für die Extrusionsanordnungen
wesentlich, beispielsweise auf wenige Sekunden verkürzt.
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Die beschriebenen Verfahren können vorteilhaft
genutzt werden, wenn mit der Computeranordnung unter Verwendung
einer finite- Element-Analyse
das physische Verhalten des Objekts/der Objekte simuliert wird.
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Die erfindungsgemäßen Verfahren sind in den unabhängigen Ansprüchen 14
und 15 beansprucht. Die Computerprogrammprodukte sind in den Ansprüchen 16
und 18 beansprucht, während
die mit solchen Computerprogrammen ausgestatteten Datenträger in den
Ansprüchen
17 und 19 beansprucht sind.
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Kurze Beschreibung
der Zeichnungen
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1 zeigt
einen Querschnitt des Formwerkzeugs;
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2 zeigt
einen Querschnitt des Formwerkzeugs für ein relativ einfaches Profil;
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3a bis 3f zeigen ein Prinzip des
Pflasterns;
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4a und 4b zeigen Querschnitte durch
das Lager eines Formwerkzeugs bzw. die Tasche des Formwerkzeugs,
um zu illustrieren, wie Eingangsdaten des Querschnitts der Formpackung
für die
automatische Maschenerzeugung verwendet werden können;
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5 zeigt
eine Computeranordnung, die als Maschenerzeuger verwendet werden
kann;
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6 zeigt
ein Beispiel der Definition von Oberflächen und Volumen von verschiedenen
Objekten, für die
Maschen erzeugt werden sollen;
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7 zeigt
die Definition einer permanenten und einer augenblicklichen Grenze;
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8 zeigt
Linienelemente und Knoten für
verschiedene Schichten während
der Maschenerzeugung;
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9a und 9b zeigen, wie zusätzliche
Knoten und Dreiecke während
der Maschenerzeugung eingefügt
werden können;
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10 zeigt
das Kippen eines Elements mit einer schlechten Ecke;
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11 zeigt,
wie lediglich Knoten innerhalb konvexer Polygone verschoben werden;
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12a bis 12d zeigen Maschen im Querschnitt
für verschiedene
Teile des Formwerkzeugs;
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13 zeigt
die Erzeugung von Dreiecken bei der Erzeugung von Maschen für Mantelflächen;
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14 zeigt
eine Masche für
Mantelflächen;
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15 zeigt
die Erzeugung von Prismen in einem Volumen-Maschenerzeuger;
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16 zeigt
die Aufteilung eines Prismas in 8 oder 3 Tetraeder;
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17 zeigt
eine diagonale Orientierung in Bezug auf das 3-Tetraeder-Kriterium;
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18 zeigt
die Erzeugung eines Tetraeders durch Hinzufügen eines Knotens;
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19 zeigt
die Entfernung einer augenblicklichen Grenze im Delaunay-Algorithmus;
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20a bis 20f zeigen eine Volumenmasche
für eine
Formpackung und einen Querschnitt durch die Formpackung;
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21a bis 21f zeigen unterschiedliche
Schritte, die ausgeführt
werden, wenn eine berechnete Masche für das Lager gestreckt wird,
bis sie dem aktuellen Lager entspricht;
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22a und 22b zeigen Querschnitte durch
ein Formwerkzeug, das für
die Extrusion von Hohlprofilen ausgeführt ist, bzw. einen Brückenteil
eines solchen Formwerkzeugs;
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23a bis 23f zeigen, wie bei der Extrusion
von Hohlprofilen die Maschenelemente in verschiedenen Schritten
entfernt werden;
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24a zeigt
eine Anfangsmasche und 24a zeigt
eine fertige Masche während
der Erzeugung einer Aluminium-Domänen-Masche für ein rechtwinkliges Hohlprofil.
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Beschreibung
der bevorzugten Ausführungsform
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Zwei Typen von Oberflächen geben
für ein
flaches Standardprofil die Gestalt der Form und somit der Aluminium-Domäne vor.
Das ist in 1 näher erläutert, die
ein Extrusionswerkzeug vom Stand der Technik zeigt. Das Extrusionswerkzeug 1 umfaßt eine
Form 2, die einen Lagerteil 3 und ein Taschenteil 5 umschließt. Die
Form 2 ist an ihrer Rückseite
mit einem Behälter 8 verbunden,
in dem ein Strang bzw. ein Rohling 7 (z. B. flüssiges Aluminium,
auf 480°C
erhitzt) vorhanden sein kann. Ein Stößel 9 ist gleitbar
im Behälter 8 angeordnet,
um den Strang 7 in die Extrusionsrichtung P zu stoßen. Vom
Lager 3 ragt ein Extrusionsprofil 13 ("Ausfluß") hervor.
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Wie aus 1 ersichtlich ist, ist diese Figur sehr
schematisch. In Wirklichkeit kann das Extrusionsprofil 13 eine
sehr komplexe Form haben, somit können die Querschnitte des Extrusionsprofils 13,
des Lagers 3 und der Tasche 5 ganz andere, kompliziertere
Formen haben.
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Der erste Typ Oberfläche ist
senkrecht zur Extrusionsrichtung P orientiert und wird als "Querschnittsoberfläche" bezeichnet. Der
zweite Typ Oberfläche
ist tangential zur Extrusionsrichtung P orientiert und wird als "Mantelfläche" bezeichnet. Die
Querschnittsflächen
des Aluminiums, d. h. vom Strang 7 zum Extrusionsprofil 13,
sind vollständig
durch das Extrusionswerkzeug vorgegeben, d. h., solche Flächen, die
sich auf den Behälter 8,
die Tasche 5 und das Lager 3 beziehen. Die Mantelflächen sind
durch diese Querschnittskonturen, kombiniert mit den Längen des
Behälters 8,
der Tasche 5, des Lagers 3 und des Extrusionsprofils 13,
vorgegeben. Es ist anzumerken, daß die Länge des Lagers 3 längs der
Kontur variieren kann und daß die
Länge des
Behälters 8 durch
die Position des Stößels 9 bestimmt
ist.
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Bevor eine dreidimensionale Volumenmasche
des Aluminiums erzeugt werden kann, müssen Maschen für die umschließenden Flächen erzeugt
werden. Daher werden zunächst
die Verfahren diskutiert, die zur Erzeugung der Maschen für die Oberflächen erarbeitet
wurden, wobei die Erzeugung der Querschnittsmaschen und der Mantelflächenmaschen
getrennt betrachtet wird. Danach folgt das Verfahren, das zur Erzeugung
der Volumenmasche der Tasche 5, des Lagers 3 und
des Extrusionsprofils 13 entwickelt wurde. Danach wird
das Verfahren erläutert,
das gewählt
wurde, um das Volumen des Strangs im einzelnen zu gestalten, und zuletzt
wird die Maschenerzeugung für
die Form erläutert.
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Zunächst werden Volumenmaschen
erzeugt, die eine konstante Lagerlänge haben. In der Praxis variiert
die Lagerlänge
jedoch. Die im ersten Schritt erhaltene Masche wird daher durch
lokales Strecken auf die sich ändernde
Lagerlänge
angepaßt.
Die zur Anpassung der Masche angewandten Verfahren sind im einzelnen
im folgenden beschrieben.
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Die Geometrie der Aluminium-Domäne in Verbindung
mit einem Hohlprofil ist so komplex, als daß sie vollständig erfaßt werden
könnte,
indem Querschnitts- und Mantelfächen
verwendet werden. Die zusätzlichen Operationen,
die erarbeitet worden sind, um diese komplexen Formen in der Diskretisation
des Aluminiums zu erfassen, werden zuletzt erläutert.
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1 Maschenerzeugung für die Oberflächen – Der Pflaster-Erzeuger
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Neben der Beschreibung, die sich
auf die 4a, 4b, 5 und 6 bezieht,
ist die folgende Beschreibung im wesentlichen die gleiche wie in
der obengenannten Doktorarbeit von B. J. E. van Rens.
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Extrusionsprofile haben oft dünne Wände, was
impliziert, daß der
Fluß durch
den Querschnitt durch unterschiedliche Längenmaßstäbe gekennzeichnet ist; der
Längenmaßstab in
Richtung der Wand des Profils ist viel größer als derjenige senkrecht
zur Wand. Das erläutert 2, die eine Querschnittsansicht
zum Lager 3 und der Tasche 5 zeigt, wie aus dem
Strang 7 ersichtlich ist (schematisch durch II-II in 1 dargestellt). Daher sollte
die Querschnittsmasche bezüglich
der Richtung senkrecht zur Wand des Profils verfeinert werden. Wie
in 2 dargestellt ist,
gibt es mehre Verfahren, um in der Richtung verfeinerte Maschen
für Domänen zu erzeugen.
Diese Verfahren können
in Abbildungs-und
nicht strukturierte Prozeduren aufgeteilt werden. In der vorliegenden
Anmeldung wurde ein Erzeuger nicht strukturierter Maschen verwendet,
da er sich besser für
komplexe Domänen
eignet.
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Erzeuger nicht strukturierter Maschen
können
allgemein in zwei Klassen eingeteilt werden, Erzeuger vom Typ Delaunay
Triangulation (Zheng et al., 1996) und Paving- oder Plastering-Erzeuger
(Blacker and Stephenson, 1991). Erzeuger vom Typ Delaunay bilden
Gitter genau zwischen den Grenzknoten der Domäne. Da hierdurch oft Elemente
mit einer niedrigen Qualität
erzeugt werden, werden im Inneren der Domäne Punkte hinzugefügt, um den
Qualitätskriterien
für die
Masche Genüge
zu tragen. Richtungsverfeinerte Maschen können erzeugt werden, indem
unterschiedliche Qualitätskriterien
für verschiedene
Richtungen definiert werden (Gobeau et al., 1995). Für komplexe
Geometrien variiert die Richtung der Verfeinerung jedoch über die
ganze Domäne,
was die Definition der Verfeinerungsrichtung ziemlich mühselig macht.
Pflaster-Erzeuger fügen
andererseits die Elemente durch Vorgehen entlang der Grenze zwischen
dem mit Gitter versehenen Teil der Domäne und dem Teil ohne Gitter
hinzu, indem sie jedesmal ein Element hinzufügen (s. die 3a bis 3f).
Wie in van Rens et al., 1998a, angegeben, besteht ein Vorteil des
Pflasterns darin, daß die
Dicke jeder Schicht gesteuert werden kann, um richtungsverfeinerte
Maschen zu erhalten. Aus diesem Grunde wurde ein Pflaster-Algorithmus
verwendet.
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Wie aus den 3a bis 3f ersichtlich,
besteht der Pflaster-Algorithmus
aus den folgenden Schritten (van Rens et al., 1998c):
- (a) Verarbeiten der Eingangsdaten (3a); Linienelemente und Knoten sind definiert;
die Linienelemente haben eine Länge
Lsect Wiederholen
- (b) Erzeugen von Dreiecken 19, wobei vorhandene Knoten
auf der augenblicklichen Grenze verwendet werden (3b)
- (c) Hinzufügen
einer Schicht 21 Vierecke und Aufteilen in Dreiecke (3c)
- (d) Verschmelzen von Knoten auf der neuen Grenze, die geschlossen
ist (3d),
- (e) Bis die gesamte Domäne
mit Maschen versorgt ist (3e)
- (f) Glätten
der Masche zur Verbesserung der Geometrie des Elements ( 3f) Im Folgenden ist jeder
dieser Schritte kurz erläutert.
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1.1. Eingangsdaten
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Der Eingang für einen Pflaster-Erzeuger besteht
aus den diskretisierten Grenzen der Domäne und einem Maß für die Dicke
der ersten, zu erzeugenden Schicht von Elementen. Zusätzlich wird
ein Evolutions- oder Wachstumsfaktor verwendet, um anzuzeigen, wie
diese Dicke sich im Pflasterungs-Prozeß entwickeln soll. In einer
bevorzugten Ausführungsform
werden die diskretisierten Grenzen (beinahe) direkt von einem CAD-Paket
(rechnergestütze
Konstruktion) erhalten, mit der die Form 2 konstruiert
wurde. Die Dicke und der Wachstumsfaktor sind dann die einzigen
Parameter, die für
jede Kontur, die die Form vorgeben, geliefert werden müssen.
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Wie CAD- (oder manuell eingegebene)
Daten verwendet werden können,
um automatisch die Maschen für
alle Teile, z. B. das Aluminium, das sich innerhalb und außerhalb
des Extrusionswerkzeugs 1 befindet, sowie für alle Werkzeugteile
zur erzeugen, ist unter Bezug auf die 4a und 4b erläutert.
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4a zeigt
für das
einfache Profil von 2 einen
Querschnitt durch das Lager 3. Das Lager 3 ist vom
(massiven) Material der Form 2 umgeben. In vielen Fällen sind
die von einem CAD-Paket erhältlichen
Daten zweidimensionale Daten und enthalten Abschnitte, die gerade
oder gekrümmt
sein können.
Diese Abschnitte geben gemeinsam das Formpaket vor. Die gekrümmten Abschnitte
können
Teile eines Kreises sein. 4a zeigt
solche Abschnitte 25(n), n = 1,2,3, ... , N. Jeder dieser Abschnitte
hat eine Abschnittslänge
Lsect(n), dessen Wert für jeden Abschnitt verschieden
sein kann. Natürlich
können
anstelle von zweidimensionalen CAD-Daten auch, falls verfügbar, dreidimensionale
CAD-Daten verwendet werden.
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In einem ersten Schritt wird jeder
der Abschnitte 25(n) in mehrere Linienelemente 15 aufgeteilt,
die miteinander über
Knoten 17 ( 3a)
verbunden sind. Danach können
diese Abschnitte im Maschen-Algorithmus, der auf einer Computeranordnung
läuft,
direkt als Start- bzw. Ausgangskonturen verwendet werden. 5 zeigt ein Beispiel einer
Computeranordnung 27, die für alle Rechenzwecke verwendet
werden kann.
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Die Computeranordnung 27 umfaßt einen
Prozessor 29, der mit einem Monitor 31 verbunden
ist, einen Drucker 33, eine Datenträger-Ein-/Ausgabeeinrichtung 35,
eine Ein-/Ausgabeeinrichtung 41, einen ROM (Nur-Lese-Speicher) 43,
einen EEPROM (einen elektrisch löschbaren
Nur-Lese-Speicher) 45, einen RAM (Direktzugriffsspeicher) 47,
eine Tastatur 49 und eine Maus 51. Es können aber
auch andere Komponenten mit dem Prozessor 29 verbunden
sein, wie sie den Fachleuten auf diesem Gebiet bekannt sind.
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Die Datenträger-Ein-/Ausgabeeinrichtung 35 ist
zum Empfang eines Datenträgers,
z. B. einer Floppy-Disk 37, einer CDROM 39 etc.,
und zum Lesen von Daten von und evtl. zum Schreiben von Daten auf
den Datenträger
ausgebildet, je nach Anweisung vom Prozessor 29.
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Die Ein-/Ausgabeeinrichtung 41 ist
so gestaltet, daß sie
zwischen dem Prozessor 29 und einem Kommunikationsnetz 51 vermittelt,
bei dem es sich beispielsweise um das PSTN (Public Switched Telephone
Network) oder das Internet handeln kann.
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Der Prozessor 29 ist als
Einzelblock gezeichnet. Er kann aber auch zur parallelen Erledigung
mehrerer Unteraufgaben in Form mehrerer, parallel operierender Prozessoren
implementiert sein, was, nebenbei bemerkt, die Berechnungsgeschwindigkeit
signifikant erhöhen
würde.
Darüber
hinaus kann der Prozessor (oder einige der Unterprozessoren) sich
physisch an einem anderen Ort befinden. Der einzelne Block 29 dient
nur dazu, zu zeigen, daß irgendwo
eine gewisse Intelligenz zur Ausführung von vorgegebenen Berechnungsaufgaben
vorgesehen sein muß.
Diese kann auf jede, dem Fachmann bekannte Weise ausgeführt sein.
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Ebenso müssen die Speicherblöcke 43, 45, 57 nicht
auf die in 5 gezeigten
beschränkt
sein. Es können
mehre Speicher zum Speichern von Datenbasen etc. vorgesehen sein.
Sie können
auch von der gezeigten Anordnung entfernt angeordnet sein.
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4a zeigt
einen Kreis
23, der einen Durchmesser mit einer Länge L
circ aufweist, die gerade groß genug
ist, um die äußere Kontur
des Lagers
3 ganz zu umschließen. Jeder der Abschnitte
25(n) ist
in eine Reihe von Linienelementen
15 aufgeteilt. Die Anzahl
der Linienelemente n
el(n) für den Linienabschnitt
25(n) wird
nach der folgenden Gleichung berechnet:
worin c
1 und
c
2 Konstanten mit vorgegebenen Werten bedeuten.
Bevorzugt ist c
1 zwischen 10 und 200 und
c
2 zwischen 0,5 und 1,0. Beispielsweise
c
1 = 50 und c
2 =
0,75. Darüber
hinaus ist n
el ≥ 1 und wenn n
el,
nach Gleichung (1) berechnet, keine ganze Zahl ist, wird die nächsthöhere ganze
Zahl eingesetzt. Wenn Gleichung (1) und die weiteren Regeln angewandt
werden, ist die Anzahl der Linienelemente
15 pro Abschnitt
bekannt und die Knoten
17 können auf den Abschnitten
25(n)
angeordnet werden.
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Wie im einzelnen im Folgenden beschrieben,
berechnet der Maschenerzeuger, der auf der Computeranordnung von 5 läuft (das Programm ist beispielsweise
in EEPROM 45) gespeichert), beginnend mit diesen Linienelementen 15,
die Maschen für
das gesamte System einschließlich
der Extrusionswerkzeug-Komponenen und für das Aluminium als Eingabe.
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Die Schritte, die der Maschenerzeuger
ausführt,
werden unter Bezug auf 6 kurz
erläutert. 6 zeigt als Beispiel drei
koaxiale Rohre 53, 55, 57. Die Rohre 53, 55 und 57 entsprechen
dem Lager, der Tasche bzw. dem Strang, wobei hier der Einfachheit
halber kreisrunde Querschnitte angenommen worden sind.
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Das erste Rohr 53 hat eine
vordere Querschnittsfläche 59,
die von einer äußeren Kontur 71 umgeben ist.
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Das zweite Rohr 55 hat eine
vordere Querschnittsfläche 61 mit
einer äußeren Kontur 73 und
einer inneren Kontur 71'.
Die innere Kontur 71' ist
eine Projektion der Kontur 71 der Vorderfläche 59 des
Rohres 53 zur Ebene, in der sich die Kontur 72 befindet.
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Das dritte Rohr 57 hat eine
vordere Querschnittsfläche 63 mit
einer äußeren Kontur 75 und
einer inneren Kontur 73'.
Die innere Kontur 73' ist
eine Projektion der Kontur 73 der Vorderfläche 61 des
zweiten Rohrs 55 in die Ebene, in der sich die Kontur 75 befindet.
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Das erste, zweite und dritte Rohr 53, 55 und 57 weisen
jeweils Rückflächen 59''', 61'' und 63' auf, die alle in der gleichen
Ebene angeordnet sind, die durch die Rückfläche des dritten Rohrs 57 bestimmt
ist. Die Rückfläche des
dritten Rohrs 57 ist durch eine Außenkontur 75' und eine Innenkontur 73'' definiert. Die Innenkontur 73'' ist eine Projektion der Kontur 73 der
Vorderfläche 61 des
zweiten Rohrs 55 in die Ebene, in der sich die Kontur 75' befindet.
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Das Rohr 53 weist Mantelflächen 65, 65' (im Rohr 55)
und 65'' (im Rohr 57)
auf. Die Höhe
des Rohrs 53 beträgt
h 1 + h2 + h3.
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Das Rohr 55 weist Mantelflächen 67, 67' (im Rohr 57)
auf. Die Höhe
des Rohrs 55 beträgt
h2 + h3.
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Das Rohr 57 weist eine Mantelfläche 69 auf.
Die Höhe
des Rohrs 57 beträgt
h3.
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Zum Zweck der Maschenerzeugung wird
eine Projektionsfläche 61' der Oberfläche 61 in
der Ebene vorgegeben, in der sich die Oberfläche 63 des dritten
Rohrs 57 befindet, und es wird die Projektionskontur 71'' bzw. 71''' der äußeren Kontur 71 der
Vorderfläche 59 des
ersten Rohrs 53 vorgegeben. Die Projektionskontur 71'' befindet sich in der Ebene, in
der die Vorderfläche
des Rohrs 57 angeordnet ist. Die Projektionskontur 71''' befindet
sich in der Ebene, in der die Rückfläche des
Rohrs 57 angeordnet ist.
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In den meisten Situationen werden
die Konturen 71, 73 und 75 nicht kreisrund
sein, sondern werden durch die Querschnittskonturen der Komponenten
des Extrusionswerkzeugs bestimmt.
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Grundsätzlich können die Schritte des Maschenerzeugers
zur Berechnung der Maschen für
die gesamte Struktur wie folgt zusammengefaßt werden:
- (a)
Erzeugen einer Querschnittsflächenmasche
für eine
Querschnittsfläche 59,
ausgehend von Kontur 71, wobei die Linienelemente auf der
Kontur 71 die durch die Gleichung (1) bestimmten sind,
- (b) Kopieren der Masche von Schritt (a) auf die Querschnittsflächen 59', 59'' und 59''',
- (c) Erzeugen der Mantelflächenmaschen
für die
Mantelflächen 65 und
für die
Mantelflächen 65' und 65'' der jeweiligen Verlängerungen
des Rohrs 53 in den Rohren 55 bzw. 57; nach Schritt
(c) müssen
die Maschen der Querschnittsflächen 59, 59', 59'', 59''' und die Mantelfächen 65, 65' und 65'' übereinstimmen, d. h., die auf
den Grenzen zwischen den Mantelflächen 65, 65', 65'' und Querschnittsflächen 59, 59', 59'' und 59''' vorhandenen
Knoten fallen für
die entsprechenden Mantelflächenmaschen
und Querschnittsflächenmaschen
zusammen,
- (d) Erzeugen einer Volumenmasche für das Rohr 53 unter
Verwendung der Querschnittsmaschen der Querschnittsflächen 59, 59', 59'', 59''' und der Mantelfächenmaschen
der Mantelfächen 65, 65' und 65''; die erzeugten Volumenmaschen
müssen
mit diesen Querschnittsmaschen und mit diesen Mantelfächenmaschen übereinstimmen,
d. h., die Knoten auf den Grenzflächen zwischen diesem Volumen
und diesen Flächen
müssen
für alle
erzeugten Maschen zusammenfallen;
- (e) Wiederholung der Schritte (a) bis (d) für das Rohr 55 und
seine Verlängerung
im Rohr 57; die Knoten an der Grenzfläche des Volumens, für das in
den Schritten (a) bis (d) bereits Maschen erzeugt wurden, und des
Volumens, für
das im gegenwärtigen
Schritt Maschen erzeugt wurden, d. h., an den Mantelflächen 65' und 65'', müssen für beide Volumen, die dieser
Grenzfläche
benachbart sind, zusammenfallen,
- (f) Wiederholung der Schritte (a) bis (d) für das Rohr 57; die
Knoten an der Grenzfläche
des Volumens, für das
im Schritt (e) bereits Maschen erzeugt wurden, und des Volumens,
für das
im gegenwärtigen
Schritt Maschen erzeugt wurden, d. h., an der Mantelfläche 67', müssen für beide
Volumen, die dieser Grenzfläche benachbart
sind, zusammenfallen.
-
Es ist anzumerken, daß 6 nur das Grundprinzip der
Erzeugung der erforderlichen Maschenstruktur zeigt. Im vorliegenden
Falle ist ein Profil 13 aus Aluminium (oder eines anderen
Metalls) verwendet, das sich vom Lager 3 erstreckt, eine
Form 2, die das Lager 3 und die Tasche 5 umgibt,
der Behälter 8,
in dem sich der Strang 7 befindet, und ein Stößel 9 an
der Rückseite
des Strangs 7 (1).
Diese Bauteile sind dem in 1 gezeigten
Aufbau hinzuzufügen.
Es müssen
jedoch die gleichen Prinzipien befolgt werden: d. h., es werden
vordere und rückwärtige Querschnittsflächenmaschen,
Mantelflächenmaschen
und Volumenmaschen im wesentlichen auf die gleiche Weise erzeugt.
Falls erforderlich, zum Beispiel bei Oberflächen, die zur Extrusionsrichtung
P parallel sind, können
Korrekturen vorgenommen werden, wie im folgenden beschrieben ist.
Wiederum ist es erforderlich, daß die auf den Grenz flächen zwischen
den verschiedenen Volumen vorhandenen Knoten der Maschen mit den
Volumenmaschen an den gegenüberliegenden
Seiten der Grenzflächen
gemeinsam sind.
-
In den folgenden Absätzen ist
im einzelnen erläutert,
wie der Maschenerzeuger in Übereinstimmung mit
diesem Prinzip im Beispiel des Aluminiumprofils arbeitet, das bereits
in den 2, 4a und 4b im Querschnitt gezeigt wurde.
-
Wie 7 zeigt,
werden die Konturen auf physische Grenzen, beispielsweise die Lageröffnung,
bezogen, als permanente Grenzen 77 bezeichnet (Blacker
und Stephenson, 1991). Die permanenten Grenzen bleiben während der
Maschenerzeugung konstant. Die Grenze zwischen der nicht vergitterten
Domäne
und der vergitterten Domäne
wird als augenblickliche Grenze 79 bezeichnet. Die augenblickliche
Grenze 79 entwickelt sich während der Maschenerzeugung
kontinuierlich und verschwindet schließlich, wenn doe Maschen für die gesamte
Domäne
erzeugt sind.
-
Die Ausgangsdicke der Schichten ti
O ist für jeden
Knoten i auf der permanenten Grenze 77 vorgeschrieben.
Ebenso ist für
jeden Knoten ein Wachstumsfaktor fi vorgeschrieben
(s. 8). Dieser Wachstumsfaktor
gibt das Verhältnis
zwischen der Dicke ti
n einer
Schicht n und der Dicke ti
n–i der
vorherigen Schicht n–1
an: ti
n = fi·ti
n–1 (2).
-
Eine Richtungsverfeinerung kann dann
erreicht werden, indem die Dicke in jedem Knoten auf einen Bruchteil
der Länge
der Grenzlinienelemente eingestellt wird, mit dem er verbunden ist.
Wenn dieser Bruchteil klein ist, ergeben sich Elemente mit einem
hohen Seitenverhältnis.
-
1.2 Erzeugen von Dreiecken
mit den augenblicklichen Grenzknoten
-
Vor dem Hinzufügen von Knotenpunkten, um eine
nachfolgende Schicht 21 von Elementen damit zu pflastern,
erfolgt eine Überprüfung, um
sicherzustellen, daß genug
Raum zwischen gegenüberliegenden
Teilen der augenblicklichen Grenze 79 für die Hinzufügung einer
neuen Schicht 21 von Elementen vorhanden ist. Wenn nicht
genug Raum vorhanden ist, würde
das Hinzufügen
der Schicht 21 die Erzeugung von überlappenden Elementen implizieren.
Zur Vermeidung überlappender
Elemente werden an diesen Stellen Brückendreiecke hinzugefügt. Indem
diese Brückendreiecke
hinzugefügt
werden, wird die augenblickliche Grenze 79 so verändert, daß in einem
nachfolgenden Pflasterungsschritt keine überlappenden Elemente erzeugt
werden. Durch dieses Vorgehen ist als ein zusätzlicher Vorteil sichergestellt,
daß keine überflüssigen Knoten 17 erzeugt
werden.
-
Die Erzeugung neuer Dreiecke unter
Verwendung der augenblicklichen Grenzknoten
17 wird durch Überprüfung all
der Liniensegmente auf dieser Grenze versucht. Für ein Liniensegment e
i, das die Knoten i und i + 1 umspannt, werden
Dreiecke erzeugt, indem unter einem beliebigen anderen Knoten
17 als
ein dritter Knoten j auf der augenblicklichen Grenze
79 gewählt wird.
Die Qualität
all dieser Dreiecke wird berechnet. Die Qualität eines Dreiecks wird als akzeptabel
angesehen, wenn all seine Ecken scharf sind und der Abstand h zwischen
den Liniensegmenten e
i und den Knoten j
die Bedingung:
erfüllt.
-
Von all den Dreiecken, die akzeptabel
sind, wird das Seitenverhältnis,
d. h., die längste
Kantenlänge des
Elements dividiert durch die kürzeste
Kantenlänge
bewertet. Dann wird das Dreieck mit dem kleinsten Seitenverhältnis erzeugt
und die augenblickliche Grenze 79 wird aktualisiert. Dieser
Prozeß wird
solange wiederholt, bis keine akzeptablen Dreiecke mehr erzeugt
werden können.
-
1.3. Hinzufügen einer
Schicht von Elementen
-
Um die Maschenerzeugung fortzusetzen,
müssen
neue Knoten 17 erzeugt werden. Diese neuen Knoten sind
in einem Abstand ti
n entlang
der Senkrechten in Verbindung mit den vorhandenen Knoten 17 auf
der augenblicklichen Grenze 79 positioniert. Die Senkrechte
in einem Knoten 17 ist als durchschnittliche Senkrechte
der mit diesem Knoten 17 verbundenen Liniensegmente definiert.
Zwischen den vorhandenen Knoten und den neuen Knoten 17 werden
Viereck-Elemente konstruiert, die dann jeweils in zwei Dreiecke
unterteilt werden (7).
-
Eine etwas andere Prozedur muß bei der
augenblicklichen Grenze 79 bei scharfen Winkeln durchgeführt werden,
um die Entstehung von verzerrten Elementen zu verhindern. Mit ai wird z. B. der Winkel zwischen den Senkrechten n
i–1 und n
i;
bezeichnet, der zu den Linienelementen ei–1 bzw.
ei gehört
(s. 9a und 9b). Bei αi> π/3 würden die zwei neuen Vierecke,
die sich den Knoten i teilen, im Knoten i zu stark verzerrt sein.
Um dies zu verhindern, werden zusätzliche Knoten eingeführt (die
Knoten j' und j'' in den 9a und 9b). Die Anzahl der zusätzlichen
Knoten ist durch m = αi > π/3 gegeben.
Diese Definition von m führt
zu einer kleinen Anzahl von Extraknoten, und es wird eine akzeptable
Elementform aufrechterhalten. Die Erzeugung von Elementen unter
Verwendung zusätzlicher
Knoten ist unkompliziert.
-
1.4 Zusammenlegen von
Knoten auf der augenblicklichen Grenze
-
Damit die Masche so effizient wie
möglich
bleibt, wird die Anzahl der Knoten 17 auf der neu erzeugten Grenze
auf ein Minimum reduziert, indem Knoten 17, die beinahe
zusammenfallen, zusammengelegt werden. Zwei Knoten 17 werden
zusammengelegt, wenn der Abstand zwischen den Knoten 17 geringer
als die durchschnittliche Schichtdicke ist, die in diesen Knoten 17 definiert
ist. Der Ersatzknoten 17 wird exakt zwischen den zwei Originalknoten 17 plaziert.
Sowohl die Dicke als auch der Wachstumsfaktor im neuen Knoten 17 sind
der Durchschnitt der Werte der Knoten 17, die er ersetzt.
-
1.5 Glätten der Masche
-
Nachdem die gesamte Domäne vernetzt
wurde, wird die Qualität
der Masche durch Kippen und nachfolgendes Knotenschieben verbessert.
Kippen wird verwendet, um Elemente mit großen Winkeln zu ersetzen. Um
eine Balance zwischen dem Maschenbildungs aufwand und der Maschenqualität zu erzielen,
wird es nur bei Elementen angewendet, die eine Ecke mit einem Innenwinkel
größer als
0.67 π enthalten.
Der Prozeß des Elementkippens
besteht aus dem Verbinden eines Dreiecks mit dem benachbarten Dreieck,
das mit dem zu kippenden Dreieck die längste gemeinsame Kante hat.
Diese zwei Dreiecke bilden dann ein Viereck. Die gemeinsame Kante
der Dreiecke ist eine der Diagonalen des Vierecks. Als nächstes wird
das Viereck längs
der anderen Diagonalen geteilt und ergibt zwei neue Dreiecke. Es
wird auf 10 verwiesen,
die das Kippen eines Elements mit einer schlechten Ecke zeigt (schattiert).
-
Wenn die Masche durch Kippen nicht
verbessert wird, wird der Versuch unternommen, den Knoten 17 des
Dreiecks, in dem sich der große
Winkel befindet, zu verschieben. Die Verschiebung des Knotens 17 sollte weder
die Verfeinerungsrichtung der Masche verändern, noch sollte sie Elemente
von innen nach außen
verdrehen. Daher wird ein Knoten 17 nur dann verschoben,
wenn das Polygon, das durch die mit dem Knoten verbundenen 17 Elemente
gebildet wird, konvex ist. Der Knoten 17 wird dann zum
geometrischen Zentrum des Polygons bewegt, wie in 11 gezeigt ist.
-
1.6 Resultierende Maschen
-
In den 12a bis 12d sind die Maschen für das Lager 3,
die Tasche 5, den Strang 7 bzw. den Stößel 9,
die sich aus der oben eingeführten
Prozedur ergeben, für
die beispielhafte Konfiguration von 2 dargestellt.
Wie daraus zu ersehen ist, unterscheidet sich der Maßstab des
Strangs 7 (12c)
und des Stößels 9 ( 12d) von denen des Lagers 3 (12a) und der Tasche 5 (12b). Die Diskretisierung
jeder Kontur ist für
jede Masche identisch, die sich ergibt, d. h., die Knoten fallen
hier zusammen, was die Maschenerzeugung für die Mantelflächen erleichtert.
Wie aus der Figur ersichtlich ist, sind Dreiecke mit hohen Seitenverhältnissen
für das
Lager erzeugt worden, um über
die Dicke des Extrusionsprofils viele Elemente zu haben, weil dort
hohe Gradienten in den Lösungsfeldern
zu erwarten sind. Die Masche der Stößeloberfläche ist viel rauher, da die
Gradienten nahe am Stößel 9 sehr
klein sind.
-
2. Maschenerzeugung
für die
Oberflächen – Expansionserzeuger
-
Die Maschenerzeugung für die Mantelflächen erfolgt
in zwei Schritten. Zunächst
werden von den Liniensegmenten in den diskretisierten Querschnittskonturen
Vierecke erzeugt. Als nächstes
werden diese Vierecke in Dreiecke unterteilt. Dieses Verfahren der
Maschenerzeugung erfordert, daß die
Diskretisierungen der zwei Konturen, die den Mantel umranden, identisch
sind.
-
Die Vierecke werden durch die Obertragung
der Linienelemente 15 um einen vorgegebenen Abstand erzeugt,
so daß eine
neue diskretisierte Kontur entsteht. Die Linienelemente 15 der
zwei Konturen werden zu Vierecken kombiniert, wie in 13 gezeigt ist. Das Ganze
wird wiederholt, bis die gesamte Mantelfläche mit Vierecken überzogen
ist. Durch Abwandlung des Übertragungsabstandes
zwischen jeder Kontur können
unterschiedliche Ebenen der Verfeinerung in der Extrusionsrichtung
P erhalten werden.
-
Um eine dreieckige Oberflächenmasche
zu erhalten, müssen
die Vierecke in Dreiecke geteilt werden. Wie 13 zeigt, kann ein Viereck in Abhängigkeit
von der Wahl der Orientierung der Diagonale im Viereck auf zwei
verschiedene Weisen in zwei Dreiecke geteilt werden. Da infolge
der rechtwinkligen Form des Vierecks beide Orientierungen Dreiecke
der gleichen Qualität
ergeben, ist jede Orientierung akzeptabel. Die Diagonalen sind daher
so orientiert, daß ihre
Richtung bei den benachbarten Vierecken wechselt. Hierdurch wird eine
Maschenorientierung eliminiert, die sich daraus ergeben würde, daß alle Diagonalen
in die gleiche Richtung laufen.
-
In 14 sind
die Mantel- und Querschnittsflächenmaschen
gezeichnet, die für
das beispielhafte Problem erzeugt wurden. 14 zeigt die Oberflächenmaschen für das Extrusionsprofil 13,
das Lager, die Tasche 5 und den Strang 7. In dieser
Figur ist die abwechselnde Orientierung der Diagonalen auf den Mantelflächen klar
zu sehen. Ebenfalls ist zu sehen, daß die Masche des Lagermantels
feiner ist, als es die Maschen des Extrusionsprofils und der Taschenmäntel sind.
Das wurde deshalb gemacht, um auf geeignete Weise die hohen Gradienten
im Lösungsfeld
im Lager 3 zu erlangen.
-
3. Maschenerzeugung
für die
Volumen – Expansionserzeuger
-
Von allen Volumen, die mit Tetraeder-Elementen
zu füllen
sind, werden die Volumen der Tasche, des Lagers 3 und des
Extrusionsprofils 13 unter Anwendung der Funktionen des
Expansionsmaschenerzeugers diskretisiert, die in diesem Abschnitt
beschrieben sind. Die Volumen des Strangs 7 und der Form 2 werden
unter Anwendung der Funktionen des Expansionsmaschenerzeugers mit
Maschen versehen, der im nächsten Abschnitt
erläutert
ist. Der hier verwendete Expansionserzeuger erzeugt Tetraeder in
zwei Schritten, die im folgenden im Einzelnen beschrieben sind.
Zunächst
werden Prismen aus dem Dreiecken in den Querschnittsmaschen erzeugt.
Als nächstes
werden die Prismen in Tetraeder unterteilt. Die Volumen, die mit
diesem Expansionserzeuger mit Maschen versehen werden können, sind
auf solche beschränkt,
bei denen die obere und die Bodenfläche topologisch äquivalente
Maschen haben und deren Mantelfläche
unter Verwendung des Expansionsflächenerzeugers erzeugt worden
ist, der im Abschnitt 2 behandelt wurde.
-
3.1 Erzeugung von Prismen
-
Die Erzeugung der Prismen erfolgt
in einem ähnlichen
Verfahren wie dem der Erzeugung der Vierecke in den Mantelflächen. Jedes
Dreieck der Querschnittsmasche wird zur Erzeugung einer neuen Querschnittsmasche
in die Extrusionsrichtung P übertragen
(s. auch 15) . Anschließend werden
die Dreiecke der beiden Querschnittsmaschen zu Prismen kombiniert.
Das Verfahren der Übertragung
und Kombination wird solange wiederholt, bis das gesamte Volumen
ausgefüllt
ist. Um sicherzustellen, daß die
Knoten 17 auf der Kontur jedes Querschnitts mit den Knoten 17 der
Mantelmasche zusammenfallen, die das Volumen einschließt, sind
die Abstände, über die
die Querschnittsmaschen übertragen
werden, gleich den Übertragungsabständen, die
bei der Erzeugung der Mantelmasche verwendet worden sind.
-
4.3.2. Erzeugung der Tetraeder
-
Nachdem die Prismen erzeugt wurden,
werden sie in Tetraeder unterteilt. Um das zu erreichen, muß jede rechtwinklige
Fläche eines
Prismas in zwei Dreiecke unterteilt werden. Es wird auf 16 verwiesen, die die Aufteilung
eines Prismas in 8 oder 3 Tetraeder zeigt. Die Aufteilung hat so
zu erfolgen, daß die
Diagonalen, die auf den rechtwinkligen Flächen zweier benachbarter Prismen
eingeführt
werden, zueinander passende Richtungen haben. Das wird Ausgleichskriterium
genannt.
-
Wenn die Diagonalen eingesetzt sind,
kann jedes Prisma in Tetraeder unterteilt werden, wobei eines der
zwei Beispiele verwendet wird. Das erste Beispiel besteht in der
Einführung
eines Knotens 17 in den Schwerpunkt des Prismas. Dieser
Knoten 17 dient dann als gemeinsamer Spitzenknoten 17,
der, wenn er mit jedem der 8 Dreiecke auf den Seiten des
Prismas kombiniert wird, Tetraeder erzeugt. Das zweite Beispiel
umfaßt
die Aufteilung des Prismas in drei Tetraeder, ohne daß ein innerer
Knoten 17 in jedes Prisma eingeführt wird. Das zweite Verfahren
ist hier angewendet worden, denn es reduziert die Anzahl der Knoten 17 und
der Elemente. Ferner läßt sich
einfach verifizieren, daß das
schlechteste Seitenverhältnis
der Elemente, erzeugt durch Anwendung einer Aufteilung in 3 Tetraeder,
immer noch besser ist als das schlechteste Seitenverhältnis der
Elemente, das mit einer Aufteilung in 8 Tetraeder erhalten wird.
-
Ein Nachteil der Aufteilung in 3
Tetraeder ist, daß sie
eine zusätzliche
Anforderung an die Orientierung der Diagonalen jedes Prismas stellt.
Die Orientierung der Diagonalen muß nicht nur zu den benachbarten
Prismen passen, sondern die Diagonalen innerhalb eines Prismas müssen so
orientiert sein, daß eine
Aufteilung in drei Tetraeder möglich
ist (Löhner,
1993). Das Drei-Tetraeder-Kriterium
verlangt, daß beide
Orientierungen der Diagonalen auf den rechtwinkligen Flächen eines
individuellen Prismas verlaufen: siehe auch 17, die eine diagonale Orientierung,
bezogen auf das Drei-Tetraeder-Kriterium zeigt.
-
Es wird eine Iterationsprozedur angewendet,
um die Orientierung der Diagonalen in einem Muster auszuwählen, die
die zusätzliche
Drei-Tetraeder-Anforderung erfüllt
(van Rens et al., 1998c). Mit den vorab definierten diagonalen Orientierungen
der Flächen
in der Mantelmasche als Ausgangspunkt wird eine Schleife über die
Prismen erzeugt. Für
solche Prismen, bei denen die Orientierung der Diagonale für eine oder
zwei rechtwinklige Flächen
eingestellt wurde, wird die Orientierung für eine zusätzliche Fläche eingestellt. Die Orientierung
wird so gewählt,
daß die
Diagonalen sowohl dieses Prismas als auch des benachbarten Prismas dem
Ausgleichskriterium entsprechen und das Drei-Tetraeder-Kriterium
nicht verletzen. Es ist jedoch nicht möglich, das Ausgleichskriterium
und das Drei-Tetraeder-Kriterium für beide Prismen dann zu erfüllen, wenn für beide
Prismen bereits zwei Diagonalen eingestellt wurden, und das Drei-Tetraeder-Kriterium
verlangt in jedem Prisma nicht übereinstimmende
diagonale Orientierungen auf den abwechselnden Flächen. In
diesem Falle wird die Orientierung der Diagonale ist so eingestellt,
daß das
augenblickliche Prisma das Drei-Tetraeder-Kriterium erfüllt, was
impliziert, daß das
benachbarte Prisma eine Diagonal-Konfiguration erhält, die
nicht dem Drei-Tetraeder-Kriterium entspricht. Das Prisma mit der
falschen Diagonal-Konfiguration wird als nächstes behandelt. Die Schleife
wird wiederholt, bis die Diagonalen aller Flächen eingestellt sind.
-
Wegen der oben beschriebenen möglichen
Inkompatibilität
zwischen dem Ausgleichs- und dem Drei-Tetraeder-Kriterium ist es wahrscheinlich,
daß die
Masche Prismen enthält,
bei denen das Drei-Tetraeder-Kriterium nicht erfüllt ist. Die Orientierung der
Diagonalen in diesen Prismen wird wie folgt korrigiert. Für jedes
Prisma, das das Drei-Tetraeder-Kriterium verletzt, wird die Orientierung
einer der Diagonalen geändert, während die
Diagonale des benachbarten Prismas entsprechend verändert wird,
um sicherzustellen, daß das Ausgleichskriterium
nicht verletzt wird. Unter den drei rechtwinkligen Flächen in
den falschen Prismen, auf denen die Diagonale gewechselt werden
kann, wird die Fläche
ausgewählt,
bei der das benachbarte Prisma nach dem Wechsel immer noch dem Drei-Tetraeder-Kriterium
entspricht. Wenn keine der benachbarten Prismen das Auswechseln
der Diagonale erlaubt, wird trotzdem die Diagonalenrichtung einer
Fläche
geändert,
so daß das
Drei-Tetraeder-Kriterium in dem Prisma verletzt wird, das dieser
Fläche
benachbart ist. Es ist daher nach Änderung der Diagonalenrichtungen
möglich,
daß andere
Prismen das Drei-Tetraeder-Kriterium
verletzen. Diese Prismen werden erkannt, indem eine neue Abtastung
nach falschen Prismen durchgeführt
wird, die wiederum eingestellt werden. Das wird solange wiederholt,
bis alle Prismen das Drei-Tetraeder-Kriterium erfüllen (typischerweise
sind ein bis zwei Iterationen erforderlich). Um Wiederholungen zu
vermeiden, kann die Orientierung jeder Diagonale in diesem Prozeß nur einmal
geändert
werden.
-
4. Maschenerzeugung
für die
Volumen – Erzeuger
nicht strukturierter Maschen
-
Die Tetraeder-Masche des Strangs 7 (oder
der Formpackung) kann nicht erzeugt werden, indem der im Abschnitt 3 beschriebene
Expansionserzeuger verwendet wird, da dieser Erzeuger verlangt,
daß das
Volumen topologisch äquivalente
Querschnittsmaschen an beiden Enden einer Mantelmasche hat. Die
Masche der Stößeloberfläche ist
viel gröber
als die Masche des kombinierten Lagers, der Taschen- und der Strangoberfläche. Daher
wird ein Erzeuger unstrukturierter Maschen verwendet, um die Tetraedermasche
des Strangs 7 zu erzeugen (die Formpackung wird getrennt
in Abschnitt 7 betrachtet).
-
Es würde den Umfang dieses Dokuments übersteigen,
würde man
eine bis ins Einzelne gehende Beschreibung des Erzeugers der unstrukturierten
Maschen geben, weshalb hier nur die Grundidee erläutert wird. Der
Erzeuger der unstrukturierten Maschen beruht auf Ideen, ähnlich denen
der Pflasterungsmethode aus Abschnitt 1 und wendet die folgenden
Schritte an:
- (a) Verarbeiten der Eingangsdaten
Wiederholen
- (b) Erzeugen von Tetraedern unter Verwendung der vorhandenen
Knoten 17 auf der augenblicklichen Grenze 79
- (c) Versuch, einen neuen Knoten 17 hinzuzufügen, um
ein neues Tetraeder zu erzeugen bei Erfolg, gehe zu (b), ansonsten
gehe zu (d)
- (d) Anwenden der Delaunay-Methode, um die Aufgabe bei komplexen
Flächen
zu lösen
- (f) Glätten
der Masche
- (g) Löschen
von Elementen mit nicht akzeptabler Form oder Größe solange,
- (h) bis die gesamte Domäne
mit Maschen versorgt ist
-
Das hinter jedem der Schritte stehende
Konzept wird im folgenden kurz erläutert.
-
4.1 Eingangsdaten
-
Die Eingabe besteht aus Triangulationsdaten
für die
Volumengrenze. Wie beim Pflasterungs-Algorithmus wird ein Unterschied
zwischen der permanenten, physischen Grenze und der augenblicklichen,
sich konstant entwickelnden Grenze gemacht. Bevor Elemente erzeugt
worden sind, fallen die permanente Grenze und die augenblickliche
Grenze 79 zusammen. Bei der Erzeugung der Elemente ändert sich
die augenblickliche Grenze und verschwindet zuletzt ganz.
-
Die Triangulation der permanenten
Grenze 77 wird angewendet, um die Kantenlängenverteilung
der Grenzmasche zu berechnen. Die Kantenlängen auf der Grenze werden
innerhalb des Volumens interpoliert, um für die gesamte Domäne ein Feld
erwünschter
Kantenlängen
zu erhalten. Dieses Feld der Kantenlängen wird verwendet, um überall in
der Domäne
die Maschenrauhigkeit zu bestimmen.
-
4.2 Erzeugung von Elementen
mit den augenblicklichen Grenzknoten
-
Bevor neue Knoten 17 hinzugefügt werden,
wird überprüft, ob auf
der augenblicklichen Grenze 79 Elemente unter Verwendung
der vorhandenen Knoten 17 erzeugt werden können. Das
erfolgt unter Berücksichtigung
aller Dreiecke auf der augenblicklichen Grenze 79. Für jedes
Dreieck werden Tetraeder erzeugt, indem das Drei eck mit allen anderen
Knoten 17 auf der augenblicklichen Grenze 79 kombiniert
wird. Für
jedes Tetraeder werden die Kantenlängen berechnet, die den Knoten 17 mit
dem Dreieck verbinden. Ebenso werden die Winkel zwischen diesen
Kanten und die Dreiecksfläche
bestimmt. Für
jedes mit einem Dreieck verbundene Tetraeder werden die Kantenlängen und
Winkel verglichen. Wenn mindestens ein Tetraeder akzeptable Kantenlängen und
Winkel aufweist, wird das Tetraeder erzeugt, das einem gleichseitigen
Tetraeder am ehesten entspricht. Um zu bestimmen, ob die Kantenlängen eines
neuen Tetraeders akzeptabel sind, werden sie mit der lokal erwünschten
Kantenlänge
verglichen, die in dem Feld gespeichert ist, das im Schritt (a)
berechnet wurde (Abschnitt 4.1). Die Winkel eines Tetraeders sind
akzeptabel, wenn sie innerhalb vorab eingestellter Grenzen liegen.
Nachdem ein Tetraeder erzeugt wurde, wird die augenblickliche Grenze 79 aktualisiert.
Dann wird die Schleife über
die augenblickliche Grenze 79 wiederholt, bis keine zusätzlichen
Tetraeder mehr erzeugt werden können.
-
4.3 Hinzufügung eines
Knotens zur Erzeugung eines Tetraeders
-
Wenn aus der Masche der augenblicklichen
Grenze 79 keine Tetraeder mehr erzeugt werden können, muß zur Fortsetzung
der Prozedur der Maschenerzeugung ein neuer Knoten erzeugt werden.
Der neue Knoten 17 wird unter Verwendung eines Dreiecks
in der augenblicklichen Grenze 79 als Basis erzeugt (s.
auch 18) und wird längs der
Senkrechten des Dreiecks positioniert, das im geometrischen Zentrum
des Dreiecks beginnt. Die Position wird so gewählt, daß die Kanten des neuen Tetraeders
zwischen dem Dreieck: und dem neuen Knoten 17 die gewünschte Länge haben.
-
Wenn der neue Knoten 17 sich
innerhalb des nicht mit Maschen versehenen Teils der Domäne befindet,
werden der Knoten 17 und das Tetraeder aufrechterhalten
und die augenblickliche Grenze 79 wird aktualisiert. Dann
wird Schritt (b) wiederholt, um mit der aktualisierten augenblicklichen
Grenze 79 Elemente zu erzeugen. Befindet sich der neue
Knoten 17 innerhalb eines vorhandenen Tetraeders, werden
der Knoten 17 und das Tetraeder verworfen und das nächste Dreieck
wird verwendet, um durch Hinzufügen
eines Knotens 17 ein neues Tetraeder zu erzeugen. Das wird
solange wiederholt, bis ein Knoten 17 und ein Tetraeder
erzeugt wurden, oder bis alle Dreiecke berücksichtigt wurden. Wenn alle
Dreiecke versucht worden sind, und keine neuen Knoten 17 erzeugt
werden konnten, wird die augenblickliche Grenze 79 sehr
kompliziert sein. In diesem Fall kommt für die verbleibende Domäne ohne
Maschen ein Delaunay-Maschenerzeuger zum Einsatz.
-
4.4 Anwendung des Delaunay-Algorithmus
-
Der Delaunay-Algorithmus wird zur
Behandlung komplexer augenblicklicher Grenzen angewendet. Für eine detaillierte
Beschreibung der Delaunay-Methode wird der interessierte Leser auf
Zheng et al., 1996, oder Joe, 199, 1991 und die Referenzen darin
verwiesen. Hier soll nur erwähnt
werden, daß die
Delaunay-Methode zur Erzeugung einer Tetraeder-Masche für beinahe
jede Grenztriangulation ohne Einfügung von zusätzlichen
Knoten 17 geeignet ist. Einer der wenigen Fälle, in
denen sie versagt, ist eine Grenze, die topologisch einem Prisma
mit unrichtigen Grenzorientierungen gleicht, wie in 17 dargestellt. Dann muß ein zusätzlicher
Knoten 17 zur Erzeugung von acht Tetraedern eingeführt werden.
Der Hauptnachteil der Delaunay-Methode besteht darin, daß sie oft
Elemente mit sehr schwachen Seitenverhältnissen erzeugt. Sie wird
daher nur angewendet, wenn die Elementerzeugungs-Algorithmen in den Schritten (b) und
(c) versagt haben.
-
Die augenblickliche Grenze 79 wird
nicht für
den Delaunay-Algorithmus
verwendet, da der Bereich, den sie einschließt, sehr schlank sein kann,
woraus sich sehr deformierte Tetraeder ergeben können. Daher wird die augenblickliche
Grenze 79 erneut definiert, indem all die Elemente eliminiert
werden, die mit Knoten 17 auf der augenblicklichen Grenze 79 verbunden
sind (s. auch 19, die
die Beseitigung von augenblicklichen Grenzen 79 zeigt).
Nach der Eliminierung der Elemente sind die Knoten 17,
die auf der augenblicklichen Grenze 79 gewesen sind, nicht
länger
mit irgendwelchen Elementen verbunden und werden daher auch gelöscht. Als
nächstes
wird der Delaunay-Algorithmus auf die neu definierte Grenze angewendet.
-
4.5 Glätten der Masche
-
Um die Qualität der Tetraeder zu erhöhen, wird
die Masche geglättet.
Dieses Glätten
erfolgt unter Verwendung eines standardmäßigen Lagrange-Glättungs-Algorithmus.
Dieser Algorithmus besteht aus einer Schleife über alle Knoten 17 in
der Masche. Für
jeden Knoten 17 wird das Polyeder, das die mit dem Knoten 17 verbundenen
Elemente umspannt, konstruiert. Dann wird der Knoten 17 zum
geometrischen Zentrum dieses Polyeders übertragen. Es ist anzumerken,
daß es
möglich
ist, daß sich
die Elemente während
dieser ziemlich rauhen Glättungsmethode
zu überlappen
beginnen. Wenn das geschieht, werden die Elemente, die sich von
innen nach außen
gekehrt haben, im nächsten
Schritt behandelt.
-
4.6 Löschen von nicht akzeptablen
Elementen
-
Am Ende einer Maschen-Iteration können in
der Masche zwei Typen von nicht akzeptablen Elementen auftreten.
Der erste Typ nicht akzeptabler Elemente ist derjenige, bei dem
andere Elemente infolge einer Knoten-Neupositionierung beim Glätten der
Masche überlappt
werden. Solche Elemente sind nie akzeptabel und werden alle zum
Löschen
markiert. Der zweite Typ nicht akzeptabler Elemente ist derjenige,
bei dem Elemente Kantenlängen
aufweisen, die zu sehr von der lokal erwünschten Kantenlänge abweichen.
Von all den Elementen, die keine geeigneten Kantenlängen aufweisen,
wird nur das schlechteste Element zur Lösung markiert.
-
Die markierten Elemente werden zusammen
mit all den Elementen gelöscht,
die sich einen Knoten 17 mit den markierten Elementen teilen.
Da die Knoten 17 der markierten Elemente nach der Element-Löschung nicht
länger
mit irgendwelchen Elementen verbunden sind, werden diese ebenfalls
gelöscht.
Die Löschung markierter
Elemente hat eine Neubildung einer augenblicklichen Grenze 79 zur
Folge, die eine weitere Maschen-Iteration erfordert. Die Maschenerzeugung
ist abgeschlossen, wenn keine weiteren Elemente zur Löschung markiert
sind.
-
4.7 Sich ergebende Masche
für die
Formpackung
-
Die in 20a gezeigte
Masche der Formpackung ist unter Verwendung des Erzeugers nicht
strukturierter Maschen erzeugt worden. Ein Schnitt durch die Formpackung
ist in 20b gezeigt.
In der Schnittebene der Form sind die Tasche 5, das Lager 3 und
der Auslaß 85 zu
erkennen. Der Auslaß 85 gewährleistet,
daß das
Aluminium eines ungleichmäßigen Profils
nicht die Form 2 berührt,
wenn das Profil die Form 2 unter einem Winkel verläßt.
-
Die Domänen der Form 2 und
der Stütze 87 werden
getrennt mit Maschen versorgt. Die Oberflächenmasche der Formdomäne an der
Grenzfläche
Aluminium/Form wird so gewählt,
daß sie
mit der Masche für
die Aluminiumoberfläche
konform ist, um das Modellieren der Interaktionen zwischen diesen
Domänen
zu vereinfachen. Ebenso ist die Oberflächenmasche der Stütze 87 an
der Grenzfläche
Form/Stütze
mit der Oberflächenmasche
der Form 2 identisch, um die Diskretisierung des Lagrange-Vervielfachers,
der verwendet wird, um den reibungslosen Kontakt zwischen der Form 2 und
der Stütze 87 zu
modellieren, zu vereinfachen. Da die Gradienten im Verschiebungsfeld
in der Formdomäne
größer sind
als in der Stützendomäne, ist
die Elementengröße in der
Formdomäne
kleiner als in der Stützendomäne.
-
5. Streckung
des Lagers
-
In der beispielhaften Masche, die
erzeugt wurde, wie in den vorherigen Abschnitten beschrieben, weist das
Lager 3 eine konstante Länge in der Extrusionsrichtung
auf. In der Realität
variiert die Lagerlänge
jedoch entlang der Lagerkontur, und numerische Experimente zeigen,
daß die
Länge des
Lagers 3 einen wesentlichen Einfluß auf den Ausgang der Simulationen
hat (van Rens et al., 1998 d). Die konstante Masche der Lagerlänge wird
daher in einer Reihe von Schritten so angepaßt, daß sie die variierende Lagerlänge verkörpert (van
Rens et al., 1998 e). Diese Schritte sind in den 21a bis 21f visuell
dargestellt, jedoch nur für
die Masche des Lagervolumens. Diese Operationen werden natürlich auch
auf die Maschen für
das Auslaß-Volumen
und der Form angewandt, sowie um zu gewährleisten, daß die Maschen
kompatibel bleiben. In jedem der Schritte werden die Knoten 17 in
die Extrusionsrichtung übertragen,
während
die Topologie der Masche gleich bleibt. Das impliziert, daß verschiedene
Lagerlängen
durch Wiederholung von nur der Streckoperation studiert werden können, d.
h., ohne daß eine
neue Masche erzeugt werden muß.
-
Die Masche des Aluminiumlager-Volumens
mit konstanter Lagerlänge,
wie in 21a gezeigt ist, dient
als Ausgangspunkt. Die Länge
des Lagers 3 wird nur in einer diskreten Anzahl von Kontrollknoten 17 längs der
Lagerkontur spezifiziert und variiert linear zwischen diesen Knoten 17.
Im ersten Schritt werden die Kontrollknoten 17 in die angegebene
Position übertragen,
wie in 21b gezeigt ist.
-
Im zweiten Schritt werden all die
anderen Knoten 17 auf der Kontur auf die tatsächliche
Lagergeometrie übertragen.
Der Übertragungsabstand
für diese
Knoten 17 wird durch lineare Interpolation zwischen den Kontrollknoten 17 berechnet,
wie in 21c gezeigt ist.
Die lineare Interpolation erfolgt, indem auf den Liniensegmenten,
die die Kontur des Lagers 3 darstellen, ein Diffusionsproblem
gelöst
wird. Hier werden die Übertragungsabstände durch
Vorschreiben der Lagerlängen
in den Kontrollpunkten als Dirichlet-Grenzbedingungen berechnet.
-
In 21c ist
zu erkennen, daß die
Querschnittsfläche,
die das Aluminiumlager-Volumen vom Auslaß-Volumen trennt, sehr verzerrt
wurde. Daher wird im dritten Schritt diese Oberfläche durch Neupositionierung
der Knoten 17 geglättet,
die zu dieser Oberfläche
gehören,
wie in 21d gezeigt ist.
Es gibt viele Methoden, um den Abstand zu berechnen, über den
die Oberflächenknoten 17 übertragen
werden müssen
(s. beispielsweise Tezduyar et al., 1992, und Johnson und Tezduyar,
1994). Hier wurde es auf die gleiche Weise wie beim vorherigen Schritt,
durch Lösung
eines Diffusionsproblems auf der Oberfläche erreicht. Bei diesem Problem
werden die Übertragungsabstände für die Oberfläche berechnet,
wobei die Dirichlet-Grenzbedingungen verwendet werden, um die vorher
berechneten Übertragungsabstände auf
der Lagerkontur vorzuschreiben.
-
Zuletzt wird in einem vierten Schritt
die Volumenmasche des Lagers 3 durch Übertragung der Knoten 17 in
dieses Volumen geglättet,
wie in 21e gezeigt ist.
Wiederum werden die Übertragungsabstände für die Knoten 17 in
den Volumen durch Lösung
des Diffusionsproblems für
das Lagervolumen erhalten. In dieses Diffusionsproblem werden die
vorher berechneten Übertragungsabstände der
Querschnittsfläche
als Dirichlet-Grenzbedingungen eingebracht. Wenn sowohl die Lagermasche
als auch die Auslaß-Masche nach dem Strecken
aufgetragen sind, erhält
man 21f, die die endgültige Masche
einschließlich
Extrusionsprofil zeigt.
-
4.6 Dehnung zu Hohlformen
-
Die Form der Aluminiumdomäne ist für Hohlprofile
wesentlich komplizierter als für
flache Profile. Das ist durch die Tatsache bedingt, daß die Form
aus zwei Teilen, statt aus einem konstruiert ist. Das ist in den 22a und 22b gezeigt. Der erste Teil ist die Formplatte 2', die die äußere Kontur
des Profils 13 bestimmt. Zur Formplatte 2' ist eine Schweißkammer 89 hinzugefügt, die
das Aluminium zum Fließen
bringt, und das getrennt wird und an den Beinen 91 eines
zweiten Teils , d. h. einem Brückenteil 95,
vorbeifließt
und dann zusamengeschweißt
wird, bevor es in die Tasche 5 der Form eintritt. Der zweite
Teil, der Brückenteil 95,
besteht aus einem Kern 93, der die innere Kontur des Profils 13 und
die Beine 91 bestimmt, die den Kern 93 stützen.
-
Der Kern 93 und die Formplatte 2' bestehen aus
Oberflächen,
die entweder senkrecht oder tangential zur Extrusionsrichtung sind.
Das impliziert, daß sie
mit den oben beschriebenen Methoden mit Maschen versehen werden
können.
Wie aber aus den 22a und 22b ersichtlich ist, kann
die komplexe Geometrie der Beine 91 nicht mit senkrechten
oder tangentialen Oberflächen
beschrieben werden. Daher wird die Maschenerzeugung für die mit
Hohlprofilen verbundene Aluminiumdomäne in mehreren Schritten durchgeführt. Siehe die 23a bis 23f, die die Entfernung von Elementen
in vier Schritten zeigen:
- (a) Die Aluminiumgeometrie
wird konstruiert, indem nur die Geometrie des Kerns 93 berücksichtigt
wird. Die Geometrie der Beine 91 ist getrennt beschrieben.
- (b) Es werden Maschen für
die Aluminiumgeometrie erzeugt, die die Geometrie des Kerns 93 enthält, aber die
Geometrie der Beine 91 ausläßt, wobei die in den obigen
Abschnitten beschriebenen Methoden angewendet werden.
- (c) Die Elemente, von denen sich alle Knoten 17 in
der Geometrie der Beine 91 befinden, werden entfernt.
- (d) Nach der Entfernung der Elemente wird ein Satz von äußeren Flächen erzeugt.
Diese neu gebildeten äußeren Flächen sind mit
Knoten 17 verbunden, die sich innerhalb der Bein e 91 befinden.
Diese Knoten 17 werden auf die Oberfläche der Beine 91 übertragen.
Während
der Übertragung
werden die neuen Positionen der Knoten 17 so bestimmt,
daß es
bei den Elementen keine Überlappung
gibt. Auf die Übertragung folgt
eine lokale Glättung
der Masche um die übertragenen
Knoten 17 herum. Um das durchführen
zu können,
werden die Elemente markiert, die mit den neu gebildeten äußeren Flächen verbunden
sind. Die Knoten 17 dieser Elemente, die nicht mit äußeren Flächen verbunden
sind, werden erneut positioniert, so daß sich die Qualität der Elemente
erhöht.
- (e) Es ist möglich,
daß in
der Nähe
scharfer Kanten einige Elemente die Beine 91 überschneiden,
auch wenn sich ihre Knoten 17 auf der Grenze der Beine 91 oder
außerhalb
derselben befinden. Deshalb werden die Elemente, die ihr geometrisches
Zentrum innerhalb der Geometrie der Beine 91 haben, entfernt
Generell ist die Anzahl der Elemente, die in diesem Schritt entfernt
wird, sehr klein.
- (f) Die Übertragung
von Schritt (d) wird wiederholt. In diesem Fall sind die neu gebildeten äußeren Flächen mit
den Knoten 17 verbunden, die sich auf der Geometrie der Beine 91 oder
außerhalb
derselben befinden, und diese Knoten 17 müssen auch
auf die Oberfläche
der Beine übertragen
werden.
-
In den 24a und 24b ist ein Beispiel für eine Anfangsmasche
und eine endgültige
Masche für
eine Aluminiumdomäne
mit einem rechtwinkligen Hohlprofil gezeigt.
-
Oben wurde das Prinzip der Erzeugung
von Maschen 1 bzw. eines Netzwerks für einfache und komplexe Profile
unter Bezug auf ein Extrusionsverfahren beschrieben. Der beschriebene
Maschenerzeuger kann aber auch in jedem anderen Verfahren zur Simulation
des physikalischen Verhaltens eines Objekts mit Hilfe einer Analyse
finiter Elemente verwendet werden.
-
Liste der Veröffentlichungen:
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polymers using anisotropic meshing. In: Simulation of Materials
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J. Numer. Methods Engrg., 31: 987–997, 1991
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and J. Liou. A new strategy for finite element computations involving moving
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und F. P. T. Baaijens. Threedimensional finite element analysis of
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A. M. Brekelmans und F. P. T. Baaijens. A two-dimensional mesh generator
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