JP2003518672A

JP2003518672A - 押し出し過程のメッシュ発生用のメッシュ発生器とその方法

Info

Publication number: JP2003518672A
Application number: JP2001548347A
Authority: JP
Inventors: バン・レンス，バス・ヤン・エミル
Original assignee: アルコア・ネーデルランド・ベー・ブイ
Priority date: 1999-12-27
Filing date: 1999-12-27
Publication date: 2003-06-10
Also published as: EP1242978B1; ES2203236T3; BR9917598A; DE69910266D1; DE69910266T2; CA2395809A1; AU3081200A; EP1242978A1; WO2001048699A1; HK1047649A1; MXPA02006452A; AU769960B2; ATE246826T1; US6781582B1

Abstract

(57)【要約】前部表面（５９）、後部表面（５９’）そして包被表面（６５）により規定された形の中に対象容積を有する対象のメッシュを発生させるためのコンピユータ配備と方法であり、下記のステップすなわち：（ａ）１セットのラインセクション｛２５（ｎ）｝に関する入力データを受信し、（ｂ）前部表面断面の外側輪郭を囲むに丁度充分に大きい半径Ｌ_circを有する円を規定し、（ｃ）該ラインセクションの各々を、ｎ_el＝ラインセクション２５（ｎ）のライン要素の数、Ｌ_sect（ｎ）＝ラインセクション２５（ｎ）の長さ、ｃ₁、ｃ₂＝予め決められた定数である場合の、方程式（１）に依るノード（１７）により接続された所定数の連続的ライン要素に分け、（ｄ）前部表面メッシュを発生させ、（ｅ）該前部表面メッシュを該後部表面（５９’）にコピーし、（ｆ）該包被表面（６５）用に包被表面メッシュを発生させ、（ｇ）該対象容積用に容積メッシュを発生させる、ステップに依っている。【数１】

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の分野】

本発明は押し出し過程（extrusion processes）の有限要素シミュレーション
（finite element simulation）の分野に関する。

【０００２】下記説明は押し出し材料として主としてアルミニウムを参照するが、本発明の
原理はポリマー押し出し（polymer extrusion）の様な、他の押し出し分野にも
等しく適用可能なことは理解されるべきである。

【０００３】

【従来技術の説明】

押し出し過程の分野では、押し出しプロフアイルの形（shapes of extrusion
profiles）の計算を可能にする代数方程式が必要である。１９９９年、アインド
ホーフエン工科大学（Technical University Eindhoven）、論文、ビージェーイ
ーバンレンス（B.J.E. van Rens）著”アルミニウム押し出し過程の有限要素シ
ミュレーション（Finite element simulation of the aluminum extrusion proc
ess）”の第１，２そして３章は、例えば、質量、運動量そしてエネルギーの保
存則から生じる方程式のシステムを提示している。

【０００４】代数方程式のこれらのシステムに到着するために、関連ドメイン（relevant d
omains）の空間的離散化（spatial discretizations）が利用可能なことが重要
である。しかしながら、これらの離散化、以後メッシュと呼ばれるが、の発生は
（アルミニウム）押し出しに付随する複雑な形状のために大きな挑戦を提起する
。結果として、従来技術の現在のメッシュイング方法（meshing methods）は失
敗するか又はこれらの複雑なドメイン用に受け入れ不可能に所定数の要素（elem
ents）を発生するか何れかである。従って、新しい、専用のメッシュイングアル
ゴリズム（dedicated meshing algorithms）が発明人バンレンス（Van Rens）に
より上記引用の彼の論文で提示されたが、それは要素数を最小に保ちながら、解
の場（solution field）が精密に取り込まれ得るメッシュを発生する。これらの
専用アルゴリズムを出来るだけローバスト（robust）で柔軟にするためにそれら
は３角形表面（triangular surface）と４面体容積（tetrahedral volume）の要
素の発生に拘束される。

【０００５】バンレンスの第４章は、押し出し製品と押し出しツールの全体システム用にメ
ッシュを発生するために、コンピユータシステムにより使用され得るアルゴリズ
ムを開示している。第４．１．１節では、ダイが設計されたコンピユータエイデ
ッドデザイン（Computer Aided Design）｛キャド（CAD）｝パッケージからのデ
ータが該メッシュ発生器（mesh generator）用入力データとして使用され得るこ
とが示唆されている。しかしながら、これが如何に達成され得るかは開示されて
ない。

【０００６】

【発明の概要】

本発明は上記引用したバンレンスの該論文の第４章で説明された原理を詳述す
る。本発明の目的は、押し出しツール及び押し出し材料の断面を記述する輪郭が
規定された時、押し出し過程の押し出しツール及び押し出し材料に付随するドメ
インの全自動メッシュ発生用の方法と配備とを提供することである。

【０００７】その目的のために、本発明は対象（object）用のメッシュ構造（mesh structu
re）を発生するためのコンピユータ配備（computor arrangement）に向けられて
おり、該対象は前部表面（front surface）、後部表面（rear furface）そして
包被表面（envelope surface）により囲まれた対象容積（object volume）を備
え、該前部表面は前部表面断面（front surface cross-section）を有しそして
該後部表面は該前部表面断面と実質的に同一の後部表面断面（rear surface cro
ss-section）を有しており、該コンピユータ配備は、（ａ）該前部表面断面を一緒に規定する１セットのラインセクション（line s
ection）に関する入力データを受信し、（ｂ）半径Ｌ_circを有する円を規定するが、前記半径Ｌ_circは該前部表面断面
の外側輪郭（outer contour）を囲むに丁度充分に大きくなっており、（ｃ）該ラインセグメントの各々を下記方程式に従うノード（nodes）により
接続される所定数の連続的ライン要素（a number of consective line elements
）に分けるが、

【０００８】

【数７】

【０００９】ここでｎ_el（ｎ）＝ラインセクション２５（ｎ）のライン要素の数（ｎ＝１，２，．．
．、Ｎ）Ｌ_sect（ｎ）＝ラインセクション２５（ｎ）の長さｃ₁＝第１の予め決められた定数ｃ₂＝第２の予め決められた定数となっており（ｄ）ステップ（ｃ）で発生した該ライン要素とノードを使用して前部表面メ
ッシュ（front surface mesh）を発生し、（ｅ）後部表面メッシュ（rear surface mesh）を発生するために該前部表面
メッシュを該後部表面にコピーし、（ｆ）該包被表面用の包被表面メッシュ（envelope surface mesh）を該包被
表面メッシュが該前部表面メッシュ及び後部表面メッシュと適合するよう発生し
、（ｇ）該対象容積用に容積メッシュ（volume mesh）を該容積メッシュが該前
部表面メッシュ、該後部表面メッシュそして該包被表面メッシュと適合するよう
発生するために配置されている。

【００１０】もう１つの実施例では、本発明は複数の対象のメッシュイングに関する。次い
で本発明は、前部表面が前部表面断面を有し後部表面が該前部表面断面と実質的
に同一の後部表面断面を有する、前部表面、後部表面そして包被表面により規定
された対象容積を各対象が備える、少なくとも第１と最後の対象を具備する複数
の対象用のメッシュ構造を発生するためのコンピユータ配備に関するが、該コン
ピユータ配備は、（ａ）該第１の対象の該前部表面断面を一緒に規定する１セットのラインセク
ションに関する入力データを受信し、（ｂ）半径Ｌ_circを有する円を規定するが、前記Ｌ_circは該第１の対象の該前
部表面断面の外側輪郭を囲むに丁度充分に大きくなっており、（ｃ）該ラインセクションの各々を下記方程式に従うノードにより接続される
所定数の連続的ライン要素に分けるが、

【００１１】

【数８】

【００１２】ここでｎ_el（ｎ）＝ラインセクション２５（ｎ）のライン要素の数（ｎ＝１，２，．．
．、Ｎ）Ｌ_sect（ｎ）＝ラインセクション２５（ｎ）の長さｃ₁＝第１の予め決められた定数ｃ₂＝第２の予め決められた定数になっており（ｄ）ステップ（ｃ）で発生した該ライン要素とノードを使用して該第１の対
象用の前部表面メッシュを発生し、（ｅ）後部表面メッシュを発生するために該第１の対象の前部表面メッシュを
該第１の対象の該後部表面にコピーし、（ｆ）該第１の対象の該包被表面用の包被表面メッシュを該包被表面メッシュ
が該第１の対象の前部表面メッシュ及び後部表面メッシュと適合するよう発生し
、（ｇ）該第１の対象の該対象容積用に容積メッシュを該容積メッシュが該第１
の対象の該前部表面メッシュ、該後部表面メッシュそして該包被表面メッシュと
適合するよう発生し、（ｈ）既にメッシュされてない全ての他の対象の表面及び容積用に、異なる対
象の容積用に発生されたそしてこれらの容積間のインターフエース面上に配置さ
れたメッシュが適合するように、ステップ（ａ）から（ｇ）までを繰り返すため
に配置されている。

【００１３】これら両実施例で、この方法で該ライン要素及びノードを自動的に決定するこ
とは該コンピユータ配備により数分だけの時間フレーム内に行われるが、それを
手動で行うには数時間、時には数週間も要するかも知れない。押し出し過程では
、該押し出しツールの内側及び外側の押し出し材料の断面を記述する輪郭は該コ
ンピユータ配備へ手動で入力されてもよい。これは数時間を要する。しかしなが
ら、非常に進んだ実施例では、該入力は該押し出しツール設計を規定するキャド
データからのライン及びカーブセグメントを含む。これらのデータは電子式に入
手可能で、かくして該コンピユータ配備へ電子式に供給され、かくして押し出し
配備用メッシュを計算する時間を著しく、例えば２，３秒に短縮する。

【００１４】該引用された方法は、該コンピユータ配備で有限要素解析を使用して該対象の
物理的挙動をシミュレートする時、有利に使用される。

【００１５】本発明の方法は独立請求項１４及び１５で請求される。コンピユータプログラ
ム製品（computor program products）は請求項１６及び１８で請求されるが、
この様なコンピユータプログラムを備えるデータキャリア（data carriers）は
請求項１７及び１９で請求される。

【００１６】

【好ましい実施例の説明】

標準的な平らなプロフアイル用に２種類の表面がダイの形、そしてアルミニウ
ムドメインの形を規定する。これは従来技術の押し出しツール１を示す図１で更
に説明される。該押し出しツール１はベアリング部分（bearing section）３と
ポケット部分（pocket section）５を囲むダイ２を具備する。その後ろ側で該ダ
イ２はコンテナー８に結合され、該コンテナー（container）内にビレット（bil
let）７（例えば、約４８０℃に加熱された流体アルミニウム）が存在する。該
ビレット７を押し出し方向Ｐで押すためにラム（ram）９が該コンテナー８内に
摺動可能に提供される。押し出しプロフアイル１３｛”アウトフロー（outflow
）”｝が該ベアリング３から延びる。

【００１７】図１が非常に略図的であることは観察される。実際は、該押し出しプロフアイ
ル１３は非常に複雑な形を有してもよく、かくして該押し出しプロフアイル１３
，該ベアリング３そして該ポケット５の断面（cross-sections）は他の、より複
雑なフオームを有する。

【００１８】第１の種類の表面は該押し出し方向Ｐに直角に配向され、”断面表面（cross-
section surface）”と呼ばれる。第２の種類の表面は該押し出し方向Ｐに接線
方向にあり”包被表面（envelope surface）”と呼ばれる。該アルミニウムの断
面表面、すなわちビレット７から押し出しプロフアイル１３まで、は該押し出し
ツールを規定する輪郭（contours）により完全に規定され、すなわち該コンテナ
ー８、該ポケット５そして該ベアリング３に関連するそれらである。該包被表面
は、該コンテナー８、該ポケット５、該ベアリング３そして該押し出しプロフア
イル１３と組み合わされたこれらの断面の輪郭により規定される。ベアリング３
の長さはその輪郭に沿って変化出来ることそして該コンテナー８の長さは該ラム
９の位置により決定されることは注意すべきである。

【００１９】アルミニウムの３次元｛３デー（3D）｝容積メッシュが発生される前に、該囲
んでいる表面がメッシュされねばならない。従って、最初に該表面をメッシュす
るよう工夫された方法が論じられるが、そこでは該断面メッシュ及び包被メッシ
ュの発生は別々に考えられる。これは該ポケット５、該ベアリング３，そして押
し出しプロフアイル１３の容積をメッシュするため開発された方法に引き継がれ
る。その後、ビレット８の容積を離散化するため採用された方法が説明され、最
後に該ダイのメッシュイングに注意が焦点合わせされる。

【００２０】第１ステップとして一定ベアリング長さを用いて容積メッシュが創られる。し
かしながら、押し出しの慣例では該ベアリング長さは変化する。従って第１ステ
ップで得られたメッシュは該変化するベアリング長さを見越すよう局所的引き延
ばしにより適合される。該メッシュを適合させるため使用される方法を下記で詳
細に説明する。

【００２１】中空のプロフアイルに付随するアルミニウムドメインの図形は断面及び包被表
面を使用して充分に取り込めない程複雑である。アルミニウムの離散化でこれら
の複雑な形を取り込むよう設計された追加的操作は最後に論じられる。

【００２２】

【１表面のメッシュイング−ペービング発生器】図４ａ、４ｂ、５、そして６に関する説明から離れて、下記説明は上記引用の
バンレンスの論文の第４章と概ね同一である。

【００２３】押し出しプロフアイルは薄い壁にされることが多く、それは該断面を通しての
流れが異なる長さ尺度（length scale）により特徴付けられて、該プロフアイル
壁の方向での長さ尺度が該壁に直角なそれより遙かに大きいことを意味する。こ
れは図２で説明され、該図はビレット７から見て該ベアリング３とポケット５に
対する断面を示す（図１でII-IIにより略図的に示す）。従って、該断面メッシ
ュは該プロフアイル壁に直角な方向に精細化されるべきである。図２で描かれる
ドメイン用の方向的に精細化されたメッシュを発生する幾つかの方法がある。こ
れらの方法は写像化及び非構造化手法（mapped and unstructured procedures）
に分けられ得る。ここでは非構造化メッシュ発生器が適用されるがそれはそれが
複雑なドメインにはより好適であるからである。

【００２４】非構造化メッシュ発生器は大域的には２つのクラス、デローネイ３角形化型発
生器（Delaunay triangulation type generator）｛ゼング他（Zheng et al.）
、１９９６｝及びペービング又はプラスタリング発生器（paving or plastering
generator）｛ブラッカー及びステフエンソン（Blacker and Stephenson）、１
９９１｝に分けられ得る。デローネイ型発生器はドメインの境界ノードだけの間
にグリッドを作る。これは非常に低品質要素を発生することが多いので、メッシ
ュ用品質基準を充たすためにドメインの内部に点が追加される。方向的に精細化
されたメッシュは異なる方向用に異なる品質基準を規定することにより発生され
得る｛ゴボー他（Gobeau et al.）、１９９５｝。しかしながら、複雑な図形に
ついては精細化の方向はドメイン中で変化し、それは該精細化方向の規定を可成
り厄介にする。他方、ペービング発生器はドメインのグリッド化部分と非グリッ
ド化部分の間の境界に沿って進むことにより該要素を追加し、１度に１要素層（
one element layer at a time）を追加する（図３ａから３ｆ参照）。ペービン
グの利点は、それが｛バンレンス他（Van Rens et al.）、１９９８ｇ｝で示さ
れた様に、各層の厚さが方向性を有して精細化されたメッシュを描くように制御
され得ることである。従って、ペービングアルゴリズムが使用される。

【００２５】図３ａ−３ｆで見られる様に、該ペービングアルゴリズムは下記ステップから
成る｛バンレンス他（Van Rens et al.）、１９９８ｃ｝：（ａ）該入力データを処理し（図３ａ）；ライン要素１５及びノード１７が規
定され；ライン要素が長さＬ_sectを有し、下記の様に、（ｂ）現時の境界上の現在のノードを使用して３角形１９を発生させ（図
３ｂ）、（ｃ）４角形の層２１を追加しそして３角形に分割し（図３ｃ）、（ｄ）新しい境界上で近いノードを合併（merge）させる（図３ｄ）こと
を、（ｅ）全体ドメインがメッシュされるまで（図３ｆ）繰り返し、（ｆ）要素図形を改善するため該メッシュをスムーズ化する（図３ｆ）。

【００２６】下記ではこれらのステップの各々を簡単に論じる。

【００２７】

【１．１入力データ】ペーバー（paver）用入力はドメインの離散化された境界と、発生されるべき
要素の第１層の厚さ用メザー（measure）とから成る。追加的に、該ペービング
過程中に如何にこの厚さが進化（evolve）すべきかを示すため進化又は成長係数
（evolution or growth factor）が使用される。好ましい実施例では、該離散化
された境界は、ダイ２が設計されたコンピユータエイデッドデザイン｛キャド（
CAD）｝パッケージから（殆ど）直接得られた。その時該厚さ及び成長係数だけ
が該ダイを規定する各輪郭用に供給されねばならないパラメーターである。

【００２８】該押し出しツール１の中及び外のアルミニウムと全てのツール部分を含め、全
ての部分用のメッシュを自動的に発生するために如何にキャド（又は手動的入力
する）データが使用され得るかが図４ａ及び４ｂを参照して説明される。

【００２９】図４ａは図２の簡単なプロフアイル用としてベアリング３を通る断面を示す。
該ベアリング３はダイ２の｛固体（solid）｝材料に囲まれる。多くの場合、キ
ャドパケージから入手可能なデータは２次元（2D）データであり、直線の又はカ
ーブしたセクション（section）を含む。これらのセクションは一緒にダイパッ
ケージを規定する。該カーブしたセクションは円の１部であってもよい。図４ａ
はこの様なセクション２５（ｎ）、ｎ＝１，２，３，．．．．、Ｎを示す。該セ
クションの各々はセクション長さ（section length）Ｌ_sect（ｎ）を有し、その
値はセクション毎に異なってよい。勿論、２次元キャドデータの代わりに、もし
使用可能ならば３次元キャドデータを使用してもよい。

【００３０】最初のステップで、該セクション２５（ｎ）の各々はノード１７を経由して相
互に接続された幾つかのライン要素１５に分けられる（図３ａ）。その後、これ
らのセクションはコンピユータ配備上で作動するメッシュイングアルゴリズム内
のスターテイング輪郭として直接使用出来る。図５は全ての計算目的で使用出来
るコンピユータ配備２７の例を示す。

【００３１】該コンピユータ配備２７はモニター３１に接続されたプロセサー２９，プリン
ター３３，データキャリアアイ／オー手段（data carrier I/O means）３５（ア
イ／オー＝入力／出力）、アイ／オー手段（I/O means）４１，ロム（読み出し
専用メモリー）４３，イーイーピーロム（電気的に消去可能な読み出し専用メモ
リー）４５，ラム（ランダムアクセスメモリー）４７，キーボード４９，そして
マウス５１を含む。当業者に公知の様に、他の部品が同様に該プロセサー２９に
接続されてもよい。

【００３２】該データキャリアアイ／オー手段３５はデータキャリア、例えばフロッピー（
登録商標）デイスク３７，シーデーロム（CDROM）３９、等を受けるため、そし
て該プロセサー２９に命じられる様に、該データキャリアからデータを読み出し
そしてことによるとそれにデータを書き込むために、配置される。

【００３３】該アイ／オー手段４１は該プロセサー２９と、例えばピーエステーエヌPSTN｛
電話網（public switched telephone network）｝又はインターネットでもよい
通信ネットワーク５１の間の媒介（intermediary）として配置される。

【００３４】該プロセサー２９は１つのブロックとして描かれている。しかしながら、それ
は幾つかのサブタスク（sub-tasks）を平行して行うために幾つかの並列動作プ
ロセサーとして実施されてもよく、それは、ともかく、計算速度を著しく高める
であろう。更に、該プロセサー（又はサブプロセサーの幾つか）は物理的に何処
か他に配置されてもよい。該１つのブロック２９は予め決められた計算タスクを
実行するためにどこかに或る知能（intelligence）が備えられねばならないこと
を示すよう意図されているに過ぎない。それは当業者に公知のどんな方法で実施
されてもよい。

【００３５】該メモリーブロック４３，４５，４７も図５に示されたそれらに限定される必
要はない。データベース等を記憶するために更にメモリーがあってもよい。又そ
れらは示された該配備から遠隔に配置されてもよい。

【００３６】図４ａは該ベアリング３の外側輪郭を全部囲むのに丁度充分な程大きい長さＬ _circ を有する直径を備える円２３を示す。セクション２５（ｎ）の各々は所定数
のライン要素１５に分けられる。ラインセクション２５（ｎ）用のライン要素の
数ｎ_el（ｎ）は下記方程式に依り計算され、

【００３７】

【数９】

【００３８】ここでｃ₁及びｃ2は予め決められた値を有する定数である。好ましくは、ｃ₁は
１０と２００の間、ｃ₂は０．５と１．０の間にあるのがよい。例えば、ｃ₁＝５
０、ｃ₂＝０．７５である。更に、ｎ_el≧１であり、そしてもし方程式（１）で
計算されたｎ_elが整数値でないならばそれは次ぎのより大きい整数値に等しくさ
れる。方程式（１）とこれらの更に進んだ規則を適用することにより、セクショ
ン当たりのライン要素１５の数は知られ、ノード１７が該セクション２５（ｎ）
上に配置され得る。

【００３９】下記で詳細に説明される様に、図５のコンピユータ配備上で作動する該メッシ
ュイング発生器（例えば、イーイーピーロム４５に記憶されるプログラム）、は
該押し出しツール部品と入力としてこれらのライン要素でスタートするアルミニ
ウムとを含む全体のシステム用のメッシュを計算する。

【００４０】該メッシュ発生器により行われるべきステップが図６を参照して簡単に説明さ
れる。図６は、例として、３つの同軸のチューブ５３，５５，５７を示す。チュ
ーブ５３，５５，そして５７はそれぞれ該ベアリング、該ポケットそして該ビレ
ットに対応するが、ここでは簡単のため円形断面を仮定している。

【００４１】第１チューブ５３は外側輪郭７１により囲まれた前部断面状表面（front cros
s-sectional surface）５９を有する。

【００４２】第２チューブ５５は外側輪郭７３と内側輪郭７１’を有する前部断面状表面６
１を備える。該内側輪郭７１’はチューブ５３の前部表面５９の輪郭７１の、輪
郭７３が配置される平面上への投影である。

【００４３】第３チューブ５７は外側輪郭７５と内側輪郭７３’を有する前部断面状表面６
３を備える。該内側輪郭７３’は第２チューブ５５の前部表面６１の輪郭７３の
、輪郭７５が配置される平面上への投影である。

【００４４】該第１、第２そして第３チューブ５３，５５，そして５７は該第３チューブ５
７の後部表面により決定される同じ平面内に全て配置されたそれぞれの後部表面
５９”’、６１”、そして６３’を有する。該第３チューブ５７の後部表面は外
側輪郭７５’と内側輪郭７３”により規定される。該内側輪郭７３”は第２チュ
ーブ５５の前部表面６１の輪郭７３の、輪郭７５’が配置される平面上への投影
である。

【００４５】該チューブ５３は包被表面（envelope surface）６５，６５’（チューブ５５
内に）、そして６５”（チューブ５７内に）を有する。チューブ５３の高さはｈ
１＋ｈ２＋ｈ３である。

【００４６】チューブ５５は包被表面６７と６７’（チューブ５７内に）を有する。チュー
ブ５５の高さはｈ２＋ｈ３である。

【００４７】チューブ５７は包被表面６９を有する。チューブ５７の高さはｈ３である。

【００４８】メッシュ発生の目的で、表面６１の、第３チューブ５７の該前部表面６３が配
置される平面上への投影表面６１’のみならず該第１チューブ５３の前部表面５
９の外側輪郭７１の投影輪郭７１”及び７１”’もそれぞれ規定される。投影輪
郭７１”はチューブ５７の前部表面が配置される平面内に配置される。投影輪郭
７１”’はチューブ５７の後部表面が配置される平面内に配置される。

【００４９】大抵の状況では、輪郭７１，７３，そして７５は円形に形作られず押し出しツ
ール部品の断面輪郭により決定される。

【００５０】基本的に、全体構造用のメッシュを計算するための該メッシュ発生器のステッ
プは今次の様に抄録され得る。

【００５１】（ａ）方程式（１）で決定される様に輪郭７１上のライン要素を有する輪郭７
１からスタートして断面状表面５９用に断面状表面メッシュを発生させ、（ｂ）メッシュをステップ（ａ）から断面状表面５９’、５９”、そして５９
”’へコピーし、（ｃ）包被表面６５のみならずそれぞれチューブ５５及び５７内のチューブ５
３のそれぞれの延長部の包被表面６５’及び６５”用にも包被表面メッシュを発
生させ、ステップ（ｃ）の後、断面状表面５９，５９’、５９”、５９”’と包
被表面６５，６５’、そして６５”のメッシュは適合している必要があり、すな
わち、該包被表面６５，６５’６５”と断面状表面５９，５９’，５９”、そし
て５９”’との間の境界上に配置されたノードは該それぞれの包被表面メッシュ
及び断面状表面メッシュ用に一致しており、（ｄ）断面状表面５９，５９’、５９”、５９”’の該断面状表面メッシュと
包被表面６５，６５’、そして６５”の該包被表面メッシュとを使用してチュー
ブ５３用の容積メッシュを発生させ、該発生された容積メッシュはこれらの断面
状表面メッシュのみならずこれらの包被表面メッシュとも適合する必要があり、
すなわち、この容積とこれらの表面と間のインターフエース上のノードは全ての
発生されたメッシュ用に一致せねばならず、（ｅ）チューブ５５とそのチューブ５７内の延長部についてステップ（ａ）か
ら（ｄ）を繰り返し、ステップ（ａ）から（ｄ）で既にメッシュされた容積と本
ステップでメッシュされた容積のインターフエース、すなわち包被表面６５’と
６５”でのノードはこのインターフエース表面に隣接する両容積について一致せ
ねばならず、（ｆ）チューブ５７についてステップ（ａ）から（ｄ）を繰り返し、ステップ
（ｅ）で既にメッシュされた容積と本ステップでメッシュされた容積のインター
フエースで、すなわち包被表面６７’でのノードはこのインターフエース表面に
隣接する両容積について一致せねばならない。

【００５２】図６は必要なメッシュ構造を発生する基本的原理を示すのみであることは理解
されるべきである。実際には、ベアリング３から延びるアルミニウム（又は他の
）プロフアイル１３、該ベアリング３及び該ポケット５を囲むダイ２、該ビレッ
ト７を囲むコンテナー８、そして該ビレット７の後側のラム９があるだろう（図
１）。これらの構造は図１に示す構造に追加されねばならない。しかしながら、
同じ原理が遵守され、すなわち前部及び後部断面状表面メッシュ、包被メッシュ
そして容積メッシュが本質的に同じ方法で発生される。必要ならば、例えば、該
押し出し方向Ｐに平行でない表面用に、後で説明される様に修正が行われ得る。
繰り返すが、必要なことは異なる容積間のインターフエース表面上に配置された
メッシュのノードは該インターフエース表面の相対する側の容積メッシュに共通
であることである。

【００５３】次のパラグラフでは、図２，４ａそして４ｂの断面で既に示したアルミニウム
プロフアイルの例について該メッシュ発生器がこれらの原理で如何に動作するか
を詳細に説明する。

【００５４】図７で示す様に、該ベアリング開口部の様な、物理的境界に関連する該輪郭は
恒久的境界（permanent boundary）７７と呼ばれる｛ブラッカー及びステフエン
セン（Blacker and Stephenson）、１９９１｝。該恒久的境界はメッシュ発生中
一定の儘である。非グリッド化ドメイン（ungridded domain）とグリッド化ドメ
イン（gridded domain）との間の境界は現時の境界（current boundary）７９と
呼ばれる。該現時の境界７９はメッシュ発生中連続的に進化し、全ドメインがメ
ッシュされると結果的に消滅する。

【００５５】該恒久的境界７７上の全てのノードｉについて層ｔ_i ⁰のスタート厚さが規定さ
れる。又全てのノード用に成長係数（growth factor）ｆ_iが指定される（図８参
照）。この成長係数は層ｎの厚さｔ_i ⁿと前の層ｎ−１の厚さｔ_i ^n-1との間の比を
示す。

【００５６】ｔ_i ⁿ＝ｆ_i・ｔ_i ^n-1 （２）次いで方向性精細化（directional refinement）が各ノードでの厚さをそれが
接続される境界ライン要素の長さの分数（fraction）に設定することにより達成
され得る。もしこの分数が小さいならば、高スペクト比（high aspect ratio）
を有する要素となる。

【００５７】

【１．２現時の境界ノードを有する３角形の発生】要素の次の層２１をペーブするためにノード点を追加する前に、現時の境界７
９の相対する部分間に、要素の新しい層２１を追加するに充分な空間があること
を保証するチェックが行われる。もし充分な空間がなければ、層２１を追加する
ことは重畳要素（overlapping elements）の発生を意味するであろう。重畳要素
を避けるために、これらの場所にブリッジ用３角形（bridging triangles）が追
加される。これらの３角形を追加することにより、現時の境界７９は、次のペー
ビングステップで重畳要素が発生されないように変更される。この取り組みは、
追加的利点として、過剰なノード１７が発生されないことを保証する。

【００５８】現時の境界ノード１７を使用する新しい３角形の発生はこの境界上での全ての
ラインセグメント（line segment）をチェックすることにより企てられる。ノー
ドｉとｉ＋１により張られた１つのラインセグメントｅ_iについて該現時の境界
７９上の他のノード１７の何れかを第３ノードｊとして選択することにより３角
形が発生される。全てのこれら３角形の質が評価される。全てのそのコーナーが
鋭角でそして該ラインセグメントｅ_i間と該ノードｊの間の距離ｈが下式を満足
するならば、３角形は受け入れ可能な質を有すると考えられる。

【００５９】ｈ＜（ｔ_i ⁿ＋ｔ_i+1 ⁿ）／２＋ｔ_j ⁿ （３）受け入れ可能な全ての３角形についてアスペクト比、すなわち該要素の最長の
辺長さを最短の辺長さで割り算した値がアセスされる。次いで最も低いアスペク
ト比を有する３角形が発生され、現時の境界７９が更新される。この過程は最早
受け入れ可能な３角形が発生出来なくなるまで繰り返される。

【００６０】

【１．３要素層の追加】メッシュイング手順を続けるためには、新しいノード１７が発生されねばなら
ない。これらの新しいノード１７は現時の境界７９上の現在のノード１７に付随
する法線に沿って距離ｔ_i ⁿに位置付けられる。ノード１７の該法線はそのノード
１７に接続されたラインセグメントの平均法線であると規定される。該現在のノ
ード１７と該新しいノード１７との間に４角形要素（quadrilaterals elements
）が作られ、それは次ぎに２つの各３角形に分けられる（図７）。

【００６１】歪んだ要素（distorted elements）を避けるために現時の境界７９での鋭角で
は僅かに異なる手順が取られねばならない。α_iでそれぞれライン要素ｅ_i-1とｅ

【００６２】

【外１】

【００６３】に対してはノードｉを共有する２つの新しい４角形がノードｉで余りに歪むこと
になる。これを避けるための、追加ノードが挿入される（図９ａ及び９ｂのノー
ドｊ’及びｊ”）。追加ノードの数はｍ＝α_i÷π／３で与えられる。ｍのこの
規定は受け入れ可能な要素の形を保持しながら少数の特別なノード（a small nu
mber of extra nodes）へ導く。追加ノードを使用する要素発生は直進的（strai
ghtforward）である。

【００６４】

【１．４現時の境界上のノードの合併】メッシュを出来るだけ効率的に保つために新しく創られた境界上のノード１７
の数は殆ど一致するノード１７を合併することにより最小に削減される。もしノ
ード１７間の間隔がこれらのノード１７で規定される平均層厚さより小さいなら
ば２つのノード１７は合併される。置き換えノード１７は該２つの元のノード１
７の丁度間に位置付けられる。新しいノード１７での厚さと成長係数はそれが置
き換えたノード１７での値の平均である。

【００６５】

【１．５メッシュのスムーズ化】全ドメインがグリッド化された後該メッシュの質はフリッピング（flipping）
と次のノードシフテイング（node shifting）により改善される。フリッピング
は大きな角度を有する要素を置き換えるために使用される。メッシュイング労力
とメッシュイング質との間のバランスを取るためにそれは０．６７πより大きい
内角を有するコーナーを含む要素についてのみ行われる。要素フリッピングの過
程は３角形をフリップされるべき該３角形と最長辺を共有する隣りの３角形と合
体させることから成る。次いでこれら２つの３角形は４角形を形成し、該３角形
の共通辺は該４角形の対角線の１つとなる。次ぎに、該４角形は２つの新しい３
角形を描くためにもう１つの対角線に沿って分割される。悪いコーナー（陰影を
付けられた）を有する要素のフリッピングを示す図１０が参照される。

【００６６】もしフリッピングがメッシュを改善しないなら、大きな角度が起こる３角形の
ノード１７をシフトする企てが行われる。ノード１７の変位は該メッシュの精細
化方向を変えるべきでなく又要素を裏返しに替えるべきでもない。従って、ノー
ド１７はそのノード１７に接続された要素により形成された多角形が凸である場
合だけシフトされる。該ノード１７は次いで図１１に描く様に、多角形の図形的
中心に移動される。

【００６７】

【１．６最終メッシュ】図１２ａから１２ｄでは上記で紹介した手順から生じたそれぞれベアリング３
，ポケット５，ビレット７そしてラム９用のメッシュが図２の例示図用に描かれ
た。ビレット７（図１２ｃ）とラム９（図１２ｄ）の尺度がベアリング３（図１
２ａ）とポケット５（図１２ｂ）のそれらと異なることが観察される。各輪郭の
離散化はそれが起こる全てのメッシュについて同一であり、すなわちそこではノ
ードは一致し、それは包被表面のメッシュイングを容易化する。見られる様に、
そこでは解の場で高い勾配が期待される筈なので、該押し出しプロフアイルの厚
さを横切っては所定数の要素を描くよう高いアスペクト比の３角形が該ベアリン
グ用に発生された。ラム９の近くでは該勾配は非常に低いので、ラム表面のメッ
シュは遙かにより粗い。

【００６８】

【２表面のメッシュイング−脹らみ発生器】該包被表面のメッシュイングは２つのステップで行われる。最初に、離散化さ
れた断面輪郭内のラインセグメントから４角形（quads）｛４角形（quadrilater
als）｝が発生される。次ぎに、これらの４角形は３角形に副分解（subdivided
）される。メッシュイングのこの方法には該包被と境を接する該２つの輪郭の離
散化が同一であることを要する。

【００６９】該４角形は新しい離散化された輪郭を描くために該ライン要素１５を規定され
た距離だけ並進させることにより創られる。該２つの輪郭からのライン要素１５
は図１３に示す様に４角形に組み合わされる。これは全体の包被表面が４角形で
メッシュされるまで繰り返される。各輪郭間の並進距離を変えることにより、種
々のレベルの精細化が該押し出し方向Ｐで得られる。

【００７０】３角形の表面メッシュを得るために該４角形は３角形に分割されねばならない
。図１３に示す様に、４角形は、該４角形内の対角線の配向の選出に依り、２つ
の異なる方法で２つの３角形に分割出来る。該４角形の長方形の形の結果として
、両配向は同品質を持つ３角形を描くので、何れの配向も受け入れ可能である。
従って対角線はそれらの方向が隣接４角形に対して交番（alternate）するよう
に配向される。これは全ての対角線を同じ方向に設定することで生じるメッシュ
配向を取り除く。

【００７１】図１４に例示問題用に発生された包被及び断面表面メッシュがプロットされて
いる。図１４は該押し出しプロフアイル１３，該ベアリング３，該ポケット５，
そして該ビレット７用の該表面メッシュを示す。この図で、該包被表面上の対角
線の交番する配向が明らかに見られる。又該ベアリング包被のメッシュが該押し
出しプロフアイル及び該ポケットの包被の該メッシュより精細であることが観察
出来る。これは該ベアリング３の解の場での高い勾配を適切に取り込むために行
われている。

【００７２】

【３容積のメッシュイング−脹らみ発生器】４面体要素で充たされねばならない全ての容積について、該ポケット５，該ベ
アリング３そして該押し出しプロフアイル１３の容積はこの節で論じる脹らみメ
ッシュ発生器機能（expansion mesh generator function）を使用して離散化さ
れる。ビレット７とダイ２の容積は次節で論じる発生器機能を使用してメッシュ
される。この仕事に適用される脹らみ発生器は下記でより詳細に扱われる２つの
ステップで４面体｛下記で”テッツ（tets）”と呼ばれる｝を発生する。最初に
、該断面メッシュ内の該３角形からプリズムが創られる。次ぎに、該プリズムは
複数の４面体（tetrahedra）に副分割される。この脹らみ発生器でメッシュ出来
る容積は、その頂部及び底部表面がトポロジー的に（topologically）等価なメ
ッシュを有しそしてその包被表面が第２節（Section 2）で処理された脹らみ表
面発生器を使用して創られた容積に限定される。

【００７３】

【３．１プリズムの発生】プリズムの創生は該包被表面での４角形の創生と同様な過程で行われる。該断
面メッシュの各３角形は新しい断面メッシュを描くために押し出し方向Ｐに並進
される（図１５参照）。次ぎに、両断面メッシュの３角形はプリズムに組み合わ
される。該並進及び組み合わせの過程は該全容積が充たされるまで繰り返される
。各断面の輪郭上のノード１７が該容積を囲む該包被メッシュのノード１７と一
致することを保証するために、該断面メッシュが並進される距離は該包被メッシ
ュの発生で使用された並進距離と等しい。

【００７４】

【４．３．２４面体の発生】プリズムが発生された後、それらは４面体に分割される。そうするために、プ
リズムの各長方形の面は２つの３角形に分割されねばならない。１つのプリズム
を８つ又は３つの４面体に分割することを示す図１６が参照される。該分割は、
２つの隣接するプリズムの長方形の面上に導入される対角線が整合する方向（ma
tching direction）を有する様に行われねばならない。これは整合基準（matchi
ng-criterion）と呼ばれる。

【００７５】該対角線のセットを有して、各プリズム２つのパラダイム（paradigms）の１
つを使用してテッツに副分解され得る。第１は該プリズムのバリセンター（bari
center）内のノード１７を導入することから成る。次いでこのノード１７は共通
の頂部ノード１７として役立つが、該ノードは該プリズムの側面上の８つの３角
形の各々と組み合わされた時、８つのテッツを発生する。第２の方法は、各プリ
ズム内に内部ノード１７を導入することなしに、該プリズムを３つのテッツに分
割することを要する。該第２の方法は、それがノード１７と要素の数を減じるの
でこの仕事に適用される。更に、該３テット分割（3-tet split）を適用するこ
とにより創られる要素の最悪アスペクト比が該８テット分割（8-tet split）で
得られる要素の最悪アスペクト比より常に良いことが容易に検証され得る。

【００７６】該３テット分割の欠点はそれが各プリズムの対角線の配向に特別の要求を課す
ることである。該対角線の配向は隣接プリズム用と整合すべきであるのみならず
、１つのプリズム内で該対角線は３テット分割が可能であるように配向されるべ
きである｛レーナー（Loehner）、１９９３｝。該３テット基準（3-tet criteri
on）は、該対角線の両配向が個別プリズムの長方形面上で起こるべきであると命
じており、３テット基準に関する対角線配向を示す図１７も参照されたい。

【００７７】追加的３テット要求（additional 3-tet requirement）を充たす該対角線配向
をパターン内で選択するために繰り返し手順（iterative procedure）が使用さ
れる｛バンレンス他（Van Rens et al.）、１９９８ｃ｝。該包被メッシュ内の
面の予め規定された対角線配向をスタート点として用いて、該プリズム上でのル
ープ（loop）が行われる。対角線の配向が１つ又は２つの長方形面用にセットさ
れたプリズム用に、１つの追加面用配向がセットされる。該配向は、このプリズ
ム及び隣接プリズムの両者の対角線が整合基準に従い、該３テット基準を破らな
いように選ばれる。しかしながら、両プリズムが既に２つの対角線セットを有す
る場合両プリズムについて該整合基準と３テット基準を充たすことは不可能であ
り、各プリズムの３テット基準はそれらの相互面上で非整合対角線配向を要する
。この場合該対角線の配向は該現時のプリズムが該３テット基準を充たすように
セットされるが、それは隣接プリズムが該３テット基準を充たさない対角線コン
フイギュレーション（diagonal configuration）を得ることを意味する。正しく
ない対角線コンフイギュレーションを有するプリズムは次ぎに取り扱われる。こ
のループは該全ての面の対角線がセットされるまで繰り返される。

【００７８】該整合と上記説明の３テット基準の間の起こり得る非両立性のために、該メッ
シュが該３テット基準の充たされないプリズムを含むことは起こりそうである。
これらのプリズム内の該対角線の配向は次の様に修正される。該３テット基準を
破る各プリズムについて該対角線の１つの配向が変更される一方、従って、隣接
プリズムの対角線は、該整合基準を破られないことを保証するように変えられる
。該正しくないプリズムの、対角線がスワップ（swapped）され得る該３つの長
方形の面の、該スワップ後隣接プリズムがなお該３テット基準に適合する面が選
択される。もし該隣接プリズムのどれも対角線のスワッピングを許容しないなら
、それでも、１つの面の対角線の方向は変えられ、かくして該３テット基準はこ
の面に隣接するプリズムで破られさせる。その結果、該対角線方向の変更後他の
プリズムが該３テット基準を破ることは起こり得る。これらのプリズムは正しく
ないプリズムを求めて新しい走査を行うことにより識別され、それが今度は調整
される。これは全てのプリズムが該３テット基準を充たすまで繰り返される（典
型的には１から２の繰り返しが必要とされる）。繰り返しを避けるために、各対
角線の配向はこの過程で１回だけ替えられ得る。

【００７９】

【４容積のメッシュイング−非構造化発生器】該ビレット７（又は該ダイパッケージ）の４面体的メッシュは第３節で論じた
脹らみ発生器を使用しては発生出来ないが、それはこの発生器は該容積が包被メ
ッシュの両端上にトポロジー的に等価な断面メッシュを有することを要求するか
らである。該ラム表面のメッシュは組み合わされたベアリング、ポケットそして
ビレットの表面のそれより遙かに粗い。従って、該ビレット７の４面体的メッシ
ュを発生するために非構造化メッシュ発生器が使用される（ダイパッケージは別
に第７節で考慮する）。

【００８０】該非構造化メッシュ発生器の詳細な説明を与えることは本明細書の範囲を超え
ており、従ってここでは基本的アイデアのみを提示する。該非構造化メッシュ発
生器は第１節で導入したペービングの取り組みと同様なアイデアに基づいている
。それは下記のステップから成る。

【００８１】（ａ）入力データの処理下記、（ｂ）現時の境界７９上の現在のノード１７を使用して４面体を発生させ、（ｃ）１つの新しい４面体を発生させるために１つの新しいノード１７を追
加するよう試みる −成功の場合は（ｂ）に行き、そうでなければ（ｄ）に行き、（ｄ）複雑な範囲を解くためにデローネイ法を適用し、（ｆ）該メッシュをスムーズ化し、（ｇ）受け入れ可能でない形又は寸法を有する要素を削除することを、（ｈ）ドメイン全体がメッシュされるまで繰り返す。該ステップの各々の背後にある概念を簡潔に論じる。

【００８２】

【４．１入力データ】入力は該容積境界用の３角形化データ（triangulation data）から成る。該ペ
ービングアルゴリズムに於ける様に、恒久的な、物理的境界と現時の、絶えず進
化する境界との間は区別される。要素が発生される前、該恒久的及び現時の境界
７９は一致している。要素が発生される間、現時の境界７９は変化し最後には消
滅する。

【００８３】恒久的境界７７の３角形化は該境界メッシュの辺長さ分布を計算するため使用
される。ドメイン全体用の望まれる辺長さの場を得るために該境界上の辺長さは
該容積内に内挿される。この辺長さの場は該ドメイン内のどこでも該メッシュの
粗さを決定するために使用される。

【００８４】

【４．２現時の境界ノードを有する要素の発生】新しいノード１７を追加する前に、該現時の境界７９上の現在のノードを使用
して要素が発生され得るかどうかチェックが行われる。これは該現時の境界７９
上の全ての３角形を考慮することにより行われる。各３角形について、該３角形
を該現時の境界７９上の全ての他のノード１７と組み合わせることによりテッツ
（tets）が発生される。各テット（tet）について、該ノード１７を該３角形に
接続する辺の長さが計算される。又これらの辺と該３角形面の間の角度が決定さ
れる。該辺長さと角度が１つの３角形に付随する各テットについて比較される。
もし少なくとも１つのテットが受け入れ可能な辺長さと角度を有するなら、等辺
のテット（equilateral tet）に最も似ているテットが発生される。新しいテッ
トの辺長さが受け入れ可能かどうかを決定するために、それらは第４．１節ステ
ップ（ａ）で計算された場に記憶された局所的に望まれた辺長さと比較される。
もしそれらが予めセットされた限界内にあればテットの該角度は受け入れ可能で
ある。テットが発生された後現時の境界７９は更新される。次いで現時の境界７
９上のループは追加的テッツが発生出来なくなるまで繰り返される。

【００８５】

【４．３４面体を発生するためのノード追加】もし現時の境界７９のメッシュから更にテッツ創られ得ないならば、該メッシ
ュイング手順を続けるために新しいノードが発生されねばならない。該新ノード
１７は基底として現時の境界７９内の３角形を使用して創られ、該３角形の幾何
学的中心でスタートする該３角形の法線に沿って位置付けられる（図１８も参照
）。該位置は該３角形と該新ノード１７との間の新テットの辺が望まれる長さを
有するように選択される。もし該新ノード１７が該ドメインのメッシュされてな
い部分内に位置付けされるならば、該ノード１７と該テットは保持され現時の境
界７９は更新される。次いで該更新された現時の境界７９を有する要素を発生す
るために該ステップ（ｂ）が繰り返される。該新ノード１７が現在のテット内に
位置付けされるならば、該ノード１７と該テットは捨てられ、ノード１７を追加
することにより新テットを創るために次の３角形が使用される。ノード１７とテ
ットが発生されるか全ての３角形が考慮されるまでアイビーアイエス（Ibis）が
繰り返される。もし全ての３角形が試みられ新しいノード１７が発生され得ない
ならば、現時の境界７９は非常に複雑であろう。この場合残りのメッシュされな
いドメイン用にデローネイメッシュ発生器（Delaunay mesh generator）が使わ
れる。

【００８６】

【４．４デローネイアルゴリズムの適用】該デローネイアルゴリズムは複雑な現時の境界を処理するために使用される。
該デローネイ法の詳細な説明用には、関心のある読者は｛ゼング他（Zheng et a
l.）、１９９６｝又は｛ジョー（Joe）、１９９１｝及びその中の参考文献を参
照されたい。ここでは該デローネイ法が追加的ノード１７を導入することなしに
殆どどんな境界３角形化用にも４面体メッシュを発生出来ることだけを述べる。
それが失敗する数少ない場合の１つは図１７に描いた正しくない境界配向を有す
るプリズムとトポロジー的に等価な境界である。次いで追加的ノード１７が８つ
のテッツを発生するために追加されねばならない。デローネイの方法の主要な欠
点はそれが屡々非常にプアー（poor）なアスペクト比を有する要素を発生するこ
とである。従ってそれは、ステップ（ｂ）及び（ｃ）で要素発生アルゴリズムが
失敗した場合のみ、使用される。

【００８７】現時の境界７９は該デローネイアルゴリズム用には使用されないがそれはそれ
が囲む領域は非常に細長くなり得て、それは極端に変型されたテッツに帰着する
かも知れないからである。従って現時の境界７９は現時の境界７９上のノード１
７と接続された全ての要素を除くことにより再規定される（又、現時の境界を除
くことを示す図１９参照）。該要素除去後現時の境界７９上にあったノード１７
は最早どんな要素にも接続されず、従って同様に削除される。次ぎに、該デロー
ネイアルゴリズムが該再規定された境界に適用される。

【００８８】

【４．５メッシュのスムーズ化】該テッツの質を向上するために該メッシュはスムーズ化される。該スムーズ化
は標準的なラグランジ（Lagrangian）のスムーズ化アルゴリズムを使用して行わ
れる。このアルゴリズムは該メッシュ内の全てのノード１７上のループから成る
。各ノード１７について該ノード１７に接続された要素により張られる多面体（
polyhedron that is spanned by the elements）が作られる。次いで該ノード１
７はその多面体の幾何学的中心へ並進される。要素がこの可成り粗なスムーズ化
方法（this rather crude smoothing method）中に重畳されることが起こり得る
ことは気付かれるべきである。もしこれが起これば、次のステップで裏返し要素
（inside-out elements）は処理される。

【００８９】

【４．６受け入れ可能でない要素の削除】１つのメッシュイング繰り返しの終わりに２種類の受け入れ可能でない要素が
該メッシュ中に起こり得る。第１種の受け入れ不可能要素は、該メッシュのスム
ーズ化中の該ノード１７の再位置付けの結果として他の要素と重畳する要素であ
る。この様な要素は決して受け入れ出来ず全て削除用にマーク付けされる。第２
種の受け入れ不可能要素は局所的に望まれる辺長さから余りに多く外れた辺長さ
を有する要素である。不適当な辺長さを有する全ての要素の中で最も悪い要素だ
けが削除用にマーク付けされる。

【００９０】該マーク付けされた要素は該マーク付けされた要素とノード１７を共有する全
ての要素と一緒に削除される。該要素削除後は該マーク付けされた要素のノード
１７はもう何等の要素とも接続されてないので、これらも同様に削除される。マ
ーク付けされた要素の削除はもう１つのメッシュイング繰り返しを必要にさせる
現時の境界７９の改善を引き起こす。もし最早何等の要素も削除用にマーク付け
されてないならばメッシュ発生は終了する。

【００９１】

【４．７該ダイパッケージの最終メッシュ】図２０ａに描かれたダイパッケージのメッシュが非構造化メッシュ発生器を使
用して発生された。該ダイパッケージの交わり部（intersection）が図２０ｂに
プロットされている。該ダイ２の交わり平面内でポケット５，ベアリング３そし
て流出オフセット（outflow offset）８５が識別され得る。該流出オフセット８
５は該プロフアイルが或る角度で該ダイ２を出る時アンバランスのプロフアイル
のアルミニウムが該ダイ２に接触しないことを保証する。

【００９２】該ダイ２及び該バッカー（backer）８７のドメインは別々にメッシュされる。
これらのドメイン間の相互作用のモデル化を簡単化するために、該アルミニウム
−ダイインターフエースで該ダイドメインの表面メッシュは該アルミニウム表面
のメッシュと適合される。又該ダイ２と該バッカー８７との間の摩擦の無い接触
をモデル化するため使用されるラグランジ乗算器（Lagrange multiplier）の離
散化を簡単化するために、該ダイ−バッカーインターフエース（dei-backer int
erface）での該バッカーの表面メッシュは該ダイ２の表面メッシュと同一である
。該変位場の勾配（gradients in the displacement）は該バッカー（backer）
ドメインでよりも該ダイドメインで大きいので、該ダイドメイン内の要素寸法は
該バッカードメインでより小さい。

【００９３】

【５ベアリングの引き延ばし】前の節で発生された例のメッシュでは、ベアリング３は押し出し方向で一定の
長さを有する。しかしながら、実際は該ベアリング長さは該ベアリング輪郭に沿
って変化し、数値的実験（numerical experiments）は該ベアリング３の長さは
該シミュレーションの結果に著しい影響を有することを示している｛バンレンス
他（Van Rens et al.）、１９９８ｄ｝。従って、一定ベアリング長さメッシュ
が変化するベアリング長さを組み入れるように所定数のステップで適合される｛
バンレンス他（Van Rens et al.）、１９９８ｅ｝。これらのステップは図２１
ａから２１ｆで可視化されるが、該ベアリング容積メッシュ用のみである。勿論
、これらの操作は該メッシュが両立性を有して留まることを保証するために該流
出容積メッシュ及びダイメッシュにも同様に適用される。該ステップの各々で、
ノード１７は押し出し方向に並進させられる一方該メッシュのトポロジーは同じ
に留まる。これは異なるベアリング長さが該引き延ばし操作のみを繰り返すこと
により、すなわち新メッシュを発生せねばならなくなること無しに、研究され得
ることを意味する。

【００９４】図２１ａで描かれる、一定ベアリング長さを有するアルミニウムベアリング容
積のメッシュは出発点として役立つ。該ベアリング３の長さは該ベアリング輪郭
に沿った離散数の制御ノード１７でのみ指定され、これらのノード１７間で線形
的に変化する。第１ステップで該制御ノード１７は、図２１ｂに示す様に、指定
された位置へ並進させられる。

【００９５】第２ステップで、該輪郭上の全ての他のノード１７が真実のベアリング図形に
並進させられる。これらノード１７の並進距離は図２１ｃに示す様に該制御ノー
ド１７間の線形内挿法（linear interpolation）により計算される。該線形内挿
法はベアリング３の輪郭を構成するラインセグメント上の拡散問題（diffusion
problem）を解くことにより行われる。この拡散問題で、該並進距離は該制御点
でのベアリング長さをデリクレーの境界条件（Dirichlet boundary conditions
）として規定することにより計算される。

【００９６】該アルミニウムベアリング容積を該流出容積から分離する断面表面が非常に歪
んだことは図２１ｃで分かる。従って、第３ステップで、この表面は、図２１ｄ
で示す様に、この表面に属するノード１７を再位置付けすることによりスムーズ
化される。該表面ノード１７が並進させられねばならない距離を計算するための
多くの方法がある〔例えば｛テズヅヤー他（Tezduyar et al.）、１９９２、ジ
ョンソン及びテズヅヤー（Johnson and Tezduyar）、１９９４｝参照〕。ここで
、それは該表面上の拡散問題を解くことにより、前のステップに於けると同じ仕
方で得られる。この問題で、該表面用の並進距離は、該ベアリング輪郭上で前に
計算された並進距離を規定したデリクレーの境界条件を使用して、計算される。

【００９７】最後に、第４ステップで、ベアリング３の該容積メッシュは図２１ｅで示す様
に、この容積内の該ノード１７を並進させることによりスムーズ化される。再び
、該容積内の該ノード１７用の並進距離は該ベアリング容積用の拡散問題を解く
ことにより得られる。この拡散問題でデリクレーの境界条件として該断面表面の
前に計算された並進距離が課される。該引き延ばしの後該ベアリング及び流出の
両メッシュがプロットされると、該押し出しプロフアイルを含む最後のメッシュ
を示す図２１ｆが得られる。

【００９８】

【４．６中空ダイへの拡張】中空のプロフアイル用では該アルミニウムドメインの形はフラットなプロフア
イル用より可成り複雑である。これは、該ダイが１つの代わりに、２つの部分か
ら作られる事実により引き起こされる。これは図２２ａ及び２２ｂで示される。
第１部分は該プロフアイル１３の外側輪郭を決定するダイプレート２’である。
該ダイプレート２’では、第２部分、すなわちブリッジ部分（bridge part）９
５の脚部（legs）９１を通すため割れ部（split）を有する該アルミニウム流れ
が、該ダイのポケット５に入る前に再び一緒に溶接されることを可能にするため
に溶接室（welding chamber）８９が追加される。該第２部分、該ブリッジ部分
９５は該プロフアイル１３の内部輪郭を決定するコア９３と該コア９３を支える
該脚部９１とから成る。

【００９９】該コア９３と該ダイプレート２’は該押し出し方向に直角か又は接線方向か何
れかである表面から成る。これはそれらがこの明細書で前に説明した方法でメッ
シュされ得ることを意味する。しかしながら、図２２ａ及び２２ｂで見られる様
に、該脚部９１の複雑な図形は直角又は接線方向表面だけで記述出来ない。従っ
て、中空のプロフアイルに付随するアルミニウムドメインのメッシュイングは幾
つかのステップで行われる。４つのステップで要素の除去を示す図２３ａから２
３ｆを参照されたい。

【０１００】（ａ）アルミニウム図形はコア２３の図形だけを考慮して作られる。脚部９１
の図形は別に説明される。

【０１０１】（ｂ）前の節で論じた方法を用いて、コア９３の図形を組み入れるが、脚部９
１の図形は無視して、該アルミニウム図形はメッシュされる。

【０１０２】（ｃ）その全てのノード１７が該脚部９１の図形内部に位置付けられる要素は
除去される。

【０１０３】（ｄ）該要素の除去後１セットの外面が発生される。これらの新しく形成され
た外面は該脚部９１内部にあるノード１７に接続される。これらのノード１７は
該脚部９１の表面上に並進させられる。該並進中、該ノード１７の新位置はそれ
らが要素に重畳しないようにさせるよう決定される。該並進に該並進させられた
ノード１７の周りのメッシュの局所的スムーズ化が続く。これを実現するために
新しく形成された外面に接続される要素はマーク付けされる。外面に接続されな
いこれらの要素のノード１７は該要素の質を向上するために再位置付けされる。

【０１０４】（ｅ）それらのノード１７が該脚部９１の境界上又はその外にあってもシャー
プなエッジの近くで幾つかの要素が該脚部９１と交差することが起こり得る。従
って、該脚部９１の図形の内部にそれらの幾何学的中心を有する要素は削除され
る。このステップで削除される要素の数は概ね非常に少ない。

【０１０５】（ｆ）ステップ（ｄ）の並進が繰り返される。この場合、新しく形成された外
面は該脚部の図形上又はその外側に位置付けされたノード１７に接続され、これ
らのノード１７は同様に該脚部の表面上へ並進させられねばならない。

【０１０６】図２４ａ及び２４ｂに、直方体の中空プロフアイルのアルミニウムドメインに
属する最初及び最後のメッシュの例が与えられている。

【０１０７】上記で、簡単な及び複雑なプロフアイルのメッシュを発生する原理が押し出し
過程に関連して説明された。しかしながら、説明された該メッシュ発生器は有限
要素解析により対象の物理的挙動をシミュレートする他のどんな方法にでも使用
可能である。

【０１０８】

【刊行物のリスト】

T.D. Blacker and M.B. Stephenson. Paving: A new approach to automated q
uadrilateral mesh generation. Int. J. Numer. Methods Engrg., 32:811-847,
1991 J.F. Gobeau, T. Coupez, B. Vergnes, and J.F.A. Agassant. Computation of
profile dies for thermoplastic polymers using anisotropic meshing. In S
imulation of Materials Processing: Theory, methods and Applications, pag
es 59-66, 1995 B.Joe. Delaunay versus max-min solid angle triangulations for three-dim
ensional mesh generation. Int. J. Numer. Methods Engrg., 31:987-997, 199
1 A.A. Johnson and T.E. Tezduyar. Mesh update stragies in parallel finite
element computations of flow problems with moving boundaries and interf
aces. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 119:73-94, 1994 R. Loener. Matching semi-structured and unstructured grids for Navier-S
tokes calculations In AIAA 93-3348-CP, pages 555-564, 1993 T.E. Tezduyar, M. Behr, S. Mittal, and J. Liou. A new strategy for fini
te element computations involving moving boundaries and interfaces. Comp
ut. Methods Appl. Mech. Engrg., 94:353-371, 1992 B.J.E. van Rens, W.A.M. Brekelmans, and F.P.T. Baaijens. A semi-structu
red mesh generator applied to extrusion. In J. Huetink and F.T.P. Baaije
ns, editors, Simulation of Materials Processing: Thory, Methods and Appl
ications, pages 621-626, 1998c B.J.E. van Rens, W.A.M. Brekelmans, and F.P.T. Baaijens. Steady, three
dimensional flow calculations of aluminum extrusion with complicated die
geometries. In J.L. Chenot, J.F. Agassant, P. Montmitonnet, B. Vergens,
and N. Billon, editors, Proceedings of the 1st ESAFORM conference on Ma
terial Forming, pages 495-498, 1998d B.J.E. van Rens, W.A.M. Brekelmans, and F.P.T. Baaijans. Three dimensio
nal finite element analysis of aluminum extrusion. In B.H.V. Topping, ed
itor, Advances in Computational Mechanics with High Performance Computin
g, pages 25-32, 1998e B.J.E. van Rens, D. Brokken, W.A.M. Brekelmans, and F.P.T. Baaijans. A
two-dimensional paving mesh generator for triangles with controllable as
pect ratio and quadrilaterals with high quality. Engrg. with Computers,
14:248-259, 1998g Y. Zheng, R.W. Lewis, and D.T. Gethin. Three-dimensional unstructured m
esh generation: Part 1. Fundamental aspects of triangulation and point c
reation. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 134:249-268, 1996

【図面の簡単な説明】

【図１】ダイツールの断面を示す。

【図２】比較的簡単なプロフアイル用のダイツールの断面を示す。

【図３ａからｆ】ペービング（paving）の原理を示す。

【図４ａ及び４ｂ】ダイパッケージの断面に関する入力データが如何に自動メッシュ発生用に使用
され得るかを図解するために、それぞれ該ダイツールのベアリング及び該ダイツ
ールのポケットを通る断面を示す。

【図５】メッシュ発生器として使用され得るコンピユータ配備を示す。

【図６】メッシュされるべき種々の対象の表面及び容積の規定の例を示す。

【図７】恒久（permanent）の及び現時（current）の境界の規定を示す。

【図８】メッシュ発生中の種々の層用のライン要素及びノードを示す。

【図９ａ及び９ｂ】メッシュ発生中如何に追加的ノード及び３角形が挿入されるかを示す。

【図１０】悪いコーナー（bad corner）を有する要素のフリッピング（flipping）を示す
。

【図１１】凸多角形の内側のノードのみが如何にシフトされるかを示す。

【図１２ａから１２ｄ】ダイツールの種々の部分用の断面メッシュを示す。

【図１３】包被表面メッシュ発生時の３角形の発生を示す。

【図１４】包被表面のメッシュを示す。

【図１５】容積メッシュ発生器内のプリズムの発生を示す。

【図１６】プリズムの８つ又は３つの４面体への分割を示す。

【図１７】３テット（3-tet）基準に関する対角線配向を示す。

【図１８】ノードの追加による１つのテットの発生を示す。

【図１９】デローネイ（Delaunay）アルゴリズムでの現時の境界の除去を示す。

【図２０ａから２０ｆ】ダイパッケージの容積メッシュのみならず該ダイパッケージを通る断面をも示
す。

【図２１ａから２１ｆ】ベアリング用に計算されたメッシュの引き延ばしが実際のベアリングに対応す
るよう引き延ばされねばならない時行われる種々のステップを示す。

【図２２ａ及び２２ｂ】中空のプロフアイルの押し出し用に配置されたダイツールを通る断面とこの様
なダイツールのブリッジ部分とをそれぞれ示す。

【図２３ａから２３ｆ】中空のプロフアイルの押し出しの場合に如何にメッシュ要素が種々のステップ
で除去されるかを示す。

【図２４ａ及び２４ｂ】直方体状の中空プロフアイル用のアルミニウムドメインメッシュを発生中の最
初のメッシュ及び最後のメッシュをそれぞれ示す。

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (81)指定国ＥＰ(ＡＴ，ＢＥ，ＣＨ，ＣＹ，ＤＥ，ＤＫ，ＥＳ，ＦＩ，ＦＲ，ＧＢ，ＧＲ，ＩＥ，ＩＴ，ＬＵ，ＭＣ，ＮＬ，ＰＴ，ＳＥ)，ＯＡ(ＢＦ，ＢＪ，ＣＦ，ＣＧ，ＣＩ，ＣＭ，ＧＡ，ＧＮ，ＧＷ，ＭＬ，ＭＲ，ＮＥ，ＳＮ，ＴＤ，ＴＧ)，ＡＰ(ＧＨ，ＧＭ，ＫＥ，ＬＳ，ＭＷ，ＳＤ，ＳＬ，ＳＺ，ＴＺ，ＵＧ，ＺＷ )，ＥＡ(ＡＭ，ＡＺ，ＢＹ，ＫＧ，ＫＺ，ＭＤ，ＲＵ，ＴＪ，ＴＭ)，ＡＥ，ＡＬ，ＡＭ，ＡＴ，ＡＵ，ＡＺ，ＢＡ，ＢＢ，ＢＧ，ＢＲ，ＢＹ，ＣＡ，ＣＨ，ＣＮ，ＣＲ，ＣＵ，ＣＺ，ＤＥ，ＤＫ，ＤＭ，ＥＥ，ＥＳ，ＦＩ，ＧＢ，ＧＤ，ＧＥ，ＧＨ，ＧＭ，ＨＲ，ＨＵ，ＩＤ，ＩＬ，ＩＮ，ＩＳ，ＪＰ，ＫＥ，ＫＧ，ＫＰ，ＫＲ，ＫＺ，ＬＣ，ＬＫ，ＬＲ，ＬＳ，ＬＴ，ＬＵ，ＬＶ，ＭＡ，ＭＤ，ＭＧ，ＭＫ，ＭＮ，ＭＷ，ＭＸ，ＮＯ，ＮＺ，ＰＬ，ＰＴ，ＲＯ，ＲＵ，ＳＤ，ＳＥ，ＳＧ，ＳＩ，ＳＫ，ＳＬ，ＴＪ，ＴＭ，ＴＲ，ＴＴ，ＴＺ，ＵＡ，ＵＧ，ＵＳ，ＵＺ，ＶＮ，ＹＵ，ＺＡ，ＺＷ【要約の続き】

Claims

【特許請求の範囲】

【請求項１】対象用のメッシュ構造を発生させるためのコンピユータ配備
であり、該対象は前部表面（５９）、後部表面（５９’）そして包被表面（６５
）により囲まれた対象容積を有しており、該前部表面（５９）は前部表面断面を
有しておりそして該後部表面（５９’）は該前部表面断面と実質的に同一な後部
表面断面を有しているコンピユータ配備において、（ａ）該前部表面断面を一緒に規定する１セットのラインセクション｛２５（
ｎ）｝に関する入力データを受信し、（ｂ）半径Ｌ_circを有する円を規定するが、前記半径Ｌ_circは該前部表面断面
の外側輪郭を囲むに丁度充分に大きくなっており、（ｃ）該ラインセクション｛２５（ｎ）｝の各々を下記方程式に依るノード（
１７）により接続された所定数の連続的ライン要素に分けるが、【数１】ここでｎ_el（ｎ）＝ラインセクション２５（ｎ）（ｎ＝１，２，．．．．Ｎ）のライン
要素数Ｌ_sect（ｎ）＝ラインセクション２５（ｎ）の長さｃ₁＝第１の予め決められた定数ｃ₂＝第２の予め決められた定数であり、（ｄ）ステップ（ｃ）で発生された該ライン要素とノードを使用して前部表面
メッシュを発生させ、（ｅ）後部表面メッシュを発生させるために該前部表面メッシュを該後部表面
（５９’）にコピーし、（ｆ）該包被表面（６５）用の包被表面メッシュを該包被表面メッシュが該前
部表面メッシュ及び該後部表面メッシュと適合するよう発生させ、（ｇ）該対象容積用容積メッシュを該容積メッシュが該前部表面メッシュ、該
後部表面メッシュそして該包被表面メッシュと適合するよう発生させるため配置
されていることを特徴とする対象用メッシュ構造を発生するためのコンピユータ
配備。
【請求項２】少なくとも第１（５３）及び最後（５７）の対象を有する複
数の対象用のメッシュ構造を発生するためのコンピユータ配備であり、各対象は
前部表面（５９；６１；６３）、後部表面（５９”’；６１”；６３’）そして
包被表面（６５，６５’、６５”；６７、６７’；６９）により規定される対象
容積を有しており、該前部表面（５９；６１；６３）は前部表面断面を有してお
りそして該後部表面（５９”’；６１”；６３’）は該前部表面断面と実質的に
同一な後部表面断面を有しているコンピユータ配備において、（ａ）該第１の対象の該前部表面断面を一緒に規定する１セットのラインセク
ション｛２５（ｎ）｝に関する入力データを受信し、（ｂ）半径Ｌ_circを有する円を規定するが、前記半径Ｌ_circは該第１の対象の
該前部表面断面の外側輪郭を囲むに丁度充分に大きくなっており、（ｃ）該ラインセクション｛２５（ｎ）｝の各々を下記方程式に依るノード（
１７）により接続された所定数の連続的ライン要素に分けるが、【数２】ここでｎ_el（ｎ）＝ラインセクション２５（ｎ）（ｎ＝１，２，．．．．Ｎ）のライン
要素数Ｌ_sect（ｎ）＝ラインセクション２５（ｎ）の長さｃ₁＝第１の予め決められた定数ｃ₂＝第２の予め決められた定数であり、（ｄ）ステップ（ｃ）で発生された該ライン要素とノードを使用して該第１の
対象の前部表面メッシュを発生させ、（ｅ）後部表面メッシュを発生させるために該第１の対象の前部表面メッシュ
を該第１の対象の後部表面（５９’）にコピーし、（ｆ）該第１の対象の該包被表面（６５）用の包被表面メッシュを該包被表面
メッシュが該第１の対象の該前部表面メッシュとそして該後部表面メッシュと適
合するよう発生させ、（ｇ）該第１の対象の対象容積用容積メッシュを該容積メッシュが該第１の対
象の該前部表面メッシュ、該後部表面メッシュそして該包被表面メッシュと適合
するよう発生させ、（ｈ）異なる対象の容積用に発生されそしてこれらの容積間のインターフエー
ス表面上に配置されたメッシュが適合するように、既にメッシュされてない全て
の他の対象のそれらの表面及び容積用にステップ（ａ）から（ｇ）を繰り返すた
めに配置されていることを特徴とする少なくとも第１及び最後の対象を有する複
数の対象用メッシュ構造を発生するためのコンピユータ配備。
【請求項３】請求項２のコンピユータ配備に於いて、該複数の対象は、該
第１の対象が第２の対象により少なくとも部分的は囲まれており、そして全ての
続く対象は前の対象を少なくとも部分的に囲むよう配置されていることを特徴と
するコンピユータ配備。
【請求項４】請求項２又は３のコンピユータ配備に於いて、該複数の対象
は押し出しツール（１）のベアリング（３）と押し出されるべき材料のビレット
（７）に関することを特徴とするコンピユータ配備。
【請求項５】請求項４のコンピユータ配備に於いて、該複数の対象は又前
記ベアリング（３）と前記ビレット（５）との間に配置された押し出しツール（
１）のポケット（５）に関することを特徴とするコンピユータ配備。
【請求項６】請求項４又は５のコンピユータ配備に於いて、前記複数の対
象は前記ベアリング（３）を囲むダイ（２；２’）と前記ビレット（５）を囲む
コンテナー（８）に関することを特徴とするコンピユータ配備。
【請求項７】請求項６のコンピユータ配備に於いて、前記ベアリング（３
）は押し出し方向（Ｐ）でそのベアリング包被表面の等しくない長さを有してお
りそして該コンピユータ配備は該ベアリング包被表面のメッシュを引き延ばすた
めに引き延ばしアルゴリズムを備えることを特徴とするコンピユータ配備。
【請求項８】請求項４から７のコンピユータ配備に於いて、前記複数の対
象は又前記ビレットを前記押し出し方向（Ｐ）に押すためのラム（９）に関する
ことを特徴とするコンピユータ配備。
【請求項９】請求項７のコンピユータ配備に於いて、前記複数の対象は又
前記ダイ（２’）と前記コンテナー（８）との間のブリッジ部分（９５）に関し
ており、前記ブリッジ部分は中空プロフアイルが押し出されるようにコア（９３
）により相互に接続された脚部（９１）を有することを特徴とするコンピユータ
配備。
【請求項１０】請求項９のコンピユータ配備に於いて、前記脚部（９１）
が押し出し方向（Ｐ）に平行でない包被表面を有しており、従って前記コンピユ
ータ配備は該脚部（９１）を無視して、全ての対象をメッシュし、そのノードが
前記脚部（９１）の内側に配置されているメッシュ要素を除去しそして前記脚部
（９１）の外側境界上に配置されたメッシュをスムーズ化するためスムーズ化ア
ルゴリズムを実行するよう配置されていることを特徴とするコンピユータ配備。
【請求項１１】請求項２から１０の何れかのコンピユータ配備に於いて、
少なくとも１つの対象は隣接対象より粗いメッシュを有しており、そして該コン
ピユータ配備は前記隣接対象用メッシュを計算するため非構造化メッシュ発生ア
ルゴリズムを備えることを特徴とするコンピユータ配備。
【請求項１２】前記請求項の何れかのコンピユータ配備に於いて、ｃ₁及
びｃ₂は１０≦ｃ₁≦２０００．５≦ｃ₂≦１．０により規定されることを特徴とするコンピユータ配備。
【請求項１３】前記請求項の何れかのコンピユータ配備に於いて、ｎ_e1≧
１であり、もし方程式（１）により計算されたｎ_e1が整数値でないならそれが次
ぎのより大きい整数値に等しくされることを特徴とするコンピユータ配備。
【請求項１４】コンピユータ配備を用いて対象用メッシュ構造を発生する
ための方法であり、該対象が前部表面（５９）、後部表面（５９’）そして包被
表面（６５）により囲まれる対象容積を有しており、該前部表面（５９）は前部
表面断面を有しそして該後部表面（５９’）は該前部表面断面と実質的に同一の
後部表面断面を有しており、該方法が下記ステップすなわち、（ａ）該前部表面断面を一緒に規定する１セットのラインセクション｛２５（
ｎ）｝に関する入力データを受信するステップと、（ｂ）半径Ｌ_circを有する円を規定するステップであるが、前記半径Ｌ_circは
該前部表面断面の外側輪郭を囲むに丁度充分に大きくなっている該ステップと、（ｃ）該ラインセクション｛２５（ｎ）｝の各々を下記方程式に依るノード（
１７）により接続された所定数の連続的ライン要素に分けるステップであるが、【数３】ここでｎ_el（ｎ）＝ラインセクション２５（ｎ）（ｎ＝１，２，．．．．Ｎ）Ｌ_sect（ｎ）＝ラインセクション２５（ｎ）の長さｃ₁＝第１の予め決められた定数ｃ₂＝第２の予め決められた定数である該ステップと、（ｄ）ステップ（ｃ）で発生された該ライン要素とノードを使用して前部表面
メッシュを発生させるステップと、（ｅ）後部表面メッシュを発生させるために該前部表面メッシュを該後部表面
（５９’）にコピーするステップと、（ｆ）該包被表面（６５）用の包被表面メッシュを該包被表面メッシュが該前
部表面メッシュ及び該後部表面メッシュと適合するよう発生させるステップと、（ｇ）該対象容積用容積メッシュを該容積メッシュが該前部表面メッシュ、該
後部表面メッシュそして該包被表面メッシュと適合するよう発生させるステップ
とを具備することを特徴とするコンピユータ配備を用いて対象用メッシュ構造を
発生するための方法。
【請求項１５】コンピユータ配備を用いて、少なくとも第１（５３）及び
最後（５７）の対象を有する複数の対象用のメッシュ構造を発生するための方法
であり、各対象は前部表面（５９；６１；６３）、後部表面（５９”’；６１”
；６３’）そして包被表面（６５，６５’、６５”；６７、６７’；６９）によ
り規定される対象容積を有しており、該前部表面（５９；６１；６３）は前部表
面断面を有しておりそして該後部表面（５９”’；６１”；６３’）は該前部表
面断面と実質的に同一の後部表面断面を有しており、該方法が下記ステップすな
わち、（ａ）該第１の対象の該前部表面断面を一緒に規定する１セットのラインセク
ション｛２５（ｎ）｝に関する入力データを受信するステップと、（ｂ）半径Ｌ_circを有する円を規定するステップであるが、前記半径Ｌ_circは
該第１の対象の該前部表面断面の外側輪郭を囲むに丁度充分に大きくなっている
該ステップと、（ｃ）該ラインセクション｛２５（ｎ）｝の各々を下記方程式に依るノード（
１７）により接続された所定数の連続的ライン要素に分けるステップであるが、【数４】ここでｎ_el（ｎ）＝ラインセクション２５（ｎ）（ｎ＝１，２，．．．．Ｎ）のライン
要素数Ｌ_sect（ｎ）＝ラインセクション２５（ｎ）の長さｃ₁＝第１の予め決められた定数ｃ₂＝第２の予め決められた定数である該ステップと、（ｄ）ステップ（ｃ）で発生された該ライン要素とノードを使用して該第１の
対象の前部表面メッシュを発生させるステップと、（ｅ）後部表面メッシュを発生させるために該第１の対象の前部表面メッシュ
を該第１の対象の後部表面（５９’）にコピーするステップと、（ｆ）該第１の対象の該包被表面（６５）用の包被表面メッシュを該包被表面
メッシュが該第１の対象の該前部表面メッシュ及び該後部表面メッシュと適合す
るよう発生させるステップと、（ｇ）該第１の対象の対象容積用容積メッシュを該容積メッシュが該第１の対
象の該前部表面メッシュ、該後部表面メッシュそして該包被表面メッシュと適合
するよう発生させるステップと（ｈ）異なる対象の容積用に発生されそしてこれらの容積間のインターフエー
ス表面上に配置されたメッシュが適合するように、既にメッシュされてない全て
の他の対象のそれらの表面及び容積用にステップ（ａ）から（ｇ）を繰り返すス
テップとを具備することを特徴とするコンピユータ配備を用いて少なくとも第１
及び最後の対象を有する複数の対象用メッシュ構造を発生するための方法。
【請求項１６】対象用のメッシュ構造を発生させるためのコンピユータ実
行可能な命令を含むコンピユータプログラム製品であり、該対象は前部表面（５
９）、後部表面（５９’）そして包被表面（６５）により囲まれた対象容積を有
しており、該前部表面（５９）は前部表面断面を有しておりそして該後部表面（
５９’）は該前部表面断面と実質的に同一な後部表面断面を有しており、該コン
ピユータプログラム製品が下記ステップすなわち、（ａ）該前部表面断面を一緒に規定する１セットのラインセクション｛２５（
ｎ）｝に関する入力データを受信するステップと、（ｂ）半径Ｌ_circを有する円を規定するステップであるが、前記半径Ｌ_circは
該前部表面断面の外側輪郭を囲むに丁度充分に大きくなっている、該ステップと
、（ｃ）該ラインセクション｛２５（ｎ）｝の各々を下記方程式に依るノード（
１７）により接続された所定数の連続的ライン要素に分けるステップであるが、【数５】ここでｎ_el（ｎ）＝ラインセクション２５（ｎ）（ｎ＝１，２，．．．．Ｎ）のライン
要素数Ｌ_sect（ｎ）＝ラインセクション２５（ｎ）の長さｃ₁＝第１の予め決められた定数ｃ₂＝第２の予め決められた定数である該ステップと、（ｄ）ステップ（ｃ）で発生された該ライン要素とノードを使用して前部表面
メッシュを発生させるステップと、（ｅ）後部表面メッシュを発生させるために該前部表面メッシュを該後部表面
（５９’）にコピーするステップと、（ｆ）該包被表面（６５）用の包被表面メッシュを該包被表面メッシュが該前
部表面メッシュ及び該後部表面メッシュと適合するよう発生させるステップと、（ｇ）該対象容積用容積メッシュを該容積メッシュが該前部表面メッシュ、該
後部表面メッシュそして該包被表面メッシュと適合するよう発生させるステップ
とに依ることを特徴とする対象用メッシュ構造を発生するためのコンピユータ実
行可能な命令を有するコンピユータプログラム製品。
【請求項１７】請求項１６のコンピユータプログラム製品を備えたデータ
キャリア。
【請求項１８】少なくとも第１（５３）及び最後（５７）の対象を有する
複数の対象用のメッシュ構造を発生するためのコンピユータ実行可能な命令を備
えるコンピユータプログラム製品であり、各対象は前部表面（５９；６１；６３
）、後部表面（５９”’；６１”；６３’）そして包被表面（６５，６５’、６
５”；６７、６７’；６９）により規定される対象容積を有しており、該前部表
面（５９；６１；６３）は前部表面断面を有しておりそして後部表面（５９”’
；６１”；６３’）は該前部表面断面と実質的に同一な後部表面断面を有してい
るが、該コンピユータプログラム製品が下記ステップすなわち、（ａ）該第１の対象の該前部表面断面を一緒に規定する１セットのラインセク
ション｛２５（ｎ）｝に関する入力データを受信するステップと、（ｂ）半径Ｌ_circを有する円を規定するステップであるが、前記半径Ｌ_circは
該第１の対象の該前部表面断面の外側輪郭を囲むに丁度充分に大きくなっている
該ステップと、（ｃ）該ラインセクション｛２５（ｎ）｝の各々を下記方程式に依るノード（
１７）により接続された所定数の連続的ライン要素に分けるステップであるが、【数６】ここでｎ_el（ｎ）＝ラインセクション２５（ｎ）（ｎ＝１，２，．．．．Ｎ）のライン
要素数Ｌ_sect（ｎ）＝ラインセクション２５（ｎ）の長さｃ₁＝第１の予め決められた定数ｃ₂＝第２の予め決められた定数である該ステップと、（ｄ）ステップ（ｃ）で発生された該ライン要素とノードを使用して該第１の
対象の前部表面メッシュを発生させるステップと、（ｅ）後部表面メッシュを発生させるために該第１の対象の前部表面メッシュ
を該第１の対象の該後部表面（５９’）にコピーするステップと、（ｆ）該第１の対象の該包被表面（６５）用の包被表面メッシュを該包被表面
メッシュが該第１の対象の該前部表面メッシュ及び該後部表面メッシュと適合す
るよう発生させるステップと、（ｇ）該第１の対象の該対象容積用容積メッシュを該容積メッシュが該第１の
対象の該前部表面メッシュ、該後部表面メッシュそして該包被表面メッシュと適
合するよう発生させるステップと（ｈ）異なる対象の容積用に発生されそしてこれらの容積間のインターフエー
ス表面上に配置されたメッシュが適合するように、既にメッシュされてない全て
の他の対象のそれらの表面及び容積用にステップ（ａ）から（ｇ）を繰り返すス
テップとに依ることを特徴とする少なくとも第１及び最後の対象を有する複数の
対象用メッシュ構造を発生するためのコンピユータ実行可能な命令を備えるコン
ピユータプログラム製品。
【請求項１９】請求項１８のコンピユータプログラム製品を備えたデータ
キャリア。