JP4714444B2 - 四面体メッシュ生成方法およびプログラム - Google Patents
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Description
[S2]四面体メッシュ逐次生成
図3に、ステップS2の詳細な処理手順のフローチャートを示す。
四面体メッシュ逐次生成処理では、物品の表面に生成された入力される低品質の表面三角形メッシュのデータに基づいて、表面三角形メッシュ形状の凸部分であって、かつ比較的平坦な部分から、逐次的に四面体を構築する。このため、図4に示すように、三角形メッシュの凸頂点を抽出する。つまり、三角形メッシュの各頂点iの法線niと、頂点iに隣接する複数の隣接頂点j∈ν*(i)との差分ベクトル(pj−pi)間の内積値cijを次式(1)により求める。ここで、ν*(i)は、頂点iの隣接頂点jの集合を表す。
そして、j∈ν*(i)に対する内積値cij(凸度)の最大値が負の頂点を凸頂点と判定する。つまり、(1)式における凸度が正の頂点は、表面三角形メッシュ形状の凹部分の頂点であり、製品の内部に四面体メッシュを生成する目的から外れるからである。
S21で抽出した凸頂点のうち、j∈ν*(i)に対するcijの最小値が最大の頂点を、四面体生成の候補頂点として選択する。
選択された候補頂点の一近傍境界(ring)を三角形分割する。つまり、図5(a)、(b)に示すように、候補頂点iに隣接する複数(図示例では5つ)の隣接頂点jで囲まれる多角形領域を、複数の三角形に分割する。
分割された各々の三角形と、現在の表面メッシュとの間に干渉がないならば、各々の三角形と頂点iを接続することによって、四面体要素を生成する(図5(c))。これによって、最終的に得られる四面体メッシュの四面体要素と四面体要素との間に干渉がないことを保証する。図5(d)は、部分的な四面体要素を取り除いた後の新しい表面三角形メッシュを表す。
生成された四面体要素を四面体メッシュに追加するとともに、四面体要素を除去したことによって変わる表面メッシュを更新する。
全ての頂点iについてステップS21〜S25の処理が終了したか否か判断し、終了していなければステップS21に戻って処理を繰り返す。
[S3]四面体メッシュの細分化
メッシュを簡略化による品質改善の自由度を高めるために、ステップS3において、ステップS2で生成された逐次四面体メッシュを細分化する。このプロセスでは、全ての稜線長len(e)がユーザ指定の閾値(細分化パラメータ)τlen以下のメッシュを生成する。
図6のフローチャートに示すように、ステップS31で、ユーザが指定した閾値τlen以上の長さの稜線があれば、その稜線に中点を設定する。
次いで、ステップS32において、稜線eに接続された四面体要素を、中点を用いて、図7に示すように細分化する。
ステップS33において、全ての稜線eについての細分化処理が終了したか否か判断し、全ての稜線長がτlen以下になるまで、S31〜S32を繰り返す。これにより、全ての稜線長がユーザ指定の閾値τlen未満の四面体メッシュを生成する。
[S4]四面体メッシュの簡略化
ここでは、ステップS3で細分化して得られた高密度の四面体メッシュに対し、形状近似誤差を一定値内に抑え、メッシュ品質を改善するメッシュ簡略化処理を行って、品質が向上した粗いメッシュを生成する。
図9に示すように、稜線(i,j)に対するEC適用後の新頂点kの位置pkは、端点iとjの中点を第一候補として算出する(図9のケースI,III)。ここで、表面形状を保存するために、形状内部の稜線に対しては、一端点iが表面メッシュ上の場合にはpk=piとするHalf−EC(Edge Collapse)を採用する(図9のケースII)。ここで、Half−ECとは、頂点対を1つに統合する際に、頂点対の一方の頂点を新たな頂点とするEC法である。つまり、表面上の端点は位置を変えないようにして、表面形状を保存する。また、両端点が表面メッシュ上にある場合は2ケース考えられる。第1のケースは、稜線が形状表面にある場合、第2のケースは、両端点が薄板の表面と裏面とにあり稜線自体は形状内部にある場合である。第1のケースのときは、普通にEC法を適用する(図9のケースI)が、第2のケースのときは、EC適用不可とする。
ステップS41で求めた新頂点kに接続する稜線について、ECを適用することが有効か否かを判定して、有効稜線を抽出する。この判定条件は、次の3条件である。
条件2:表面三角形メッシュの裏返りおよび四面体要素の干渉回避
条件3:非多様体表面メッシュの回避
条件1は、EC処理で生ずる形状表面面分(メッシュ)−頂点間の自乗距離誤差QEM(Quadric Error Metrics: 非特許文献4参照)が、ユーザが指定する簡略化パラメータである閾値τtol以下のメッシュ表面上の稜線のみを、EC処理適用可能と判定する。このQEMは、図10の概念図に示すように、元の形状表面面分の張る平面と新頂点間の自乗距離dij(k)と表現することができ、次式(2) により求める。
条件2は、表面面分の裏返り、または四面体要素の干渉が起こる稜線を判定し、条件2を満たさない場合はEC処理の適用外とする。言い換えれば、EC処理の前後における対応する表面面分の法線の変化量が一定値以内であること、要素内部に対する頂点順序が変わらないことを条件とする。要素内部に対する頂点順序が変わらないことは、簡略化後の頂点kに隣接する四面体要素の稜線ベクトルのスカラー三重積の符号が変わらないことで判定する。
本実施形態では、EC処理が適用可能な有効稜線と判定された稜線のうち、EC処理によるメッシュ品質の改善度の高いものから順に処理を実行する。そのために、ステップS43において、品質評価値を算出する。品質評価の手法としては、要素形状品質、品質改善度、稜線の評価の少なくとも1つを適用する。
[要素形状の評価]
四面体要素形状の品質評価指標として、有限要素解析の分野でよく用いられるストレッチを用いる。これは、√6×要素内接球の直径/要素の最長辺長さとして定義され、次式(3)で求められる。
ここで、Vh、Shは四面体要素hの体積と表面積、leは稜線eの長さである。St(h)の値は、図11に示すように、正四面体で1、要素形状が歪むにつれて0に近づく。式(3)を用いて稜線e=(i,j)へのEC処理適用による品質改善度を式(4)で評価する。
ここで、h*(i)は頂点iに接続する四面体集合である。式(4)の値大きな稜線は、EC処理適用による稜線近傍のメッシュのストレッチ下限値、平均値の改善度が高いと評価できる。さらに、メッシュ内の要素分布の一様化を計るために、式(4)の評価値に、モデルサイズでスケールした稜線(i,j)近傍要素の最小辺の長さの平均値の逆数を乗じ、これを稜線(i,j)に対する最終的な評価値とする。
[品質改善度の評価]
品質改善度は、次式(5)に示すEC処理の前後で変化する要素集合の品質勾配Δqijにより評価する。つまり、図12に示す概念図のように、有効稜線(i,j)の両端点pi,pjを新頂点pkに統合する、EC処理を施すことによる品質改善度を評価する。
Claims (9)
- 物品の表面に生成された三角形メッシュのデータをコンピュータに取り込み、該コンピュータにより、表面三角形メッシュに基づいて四面体メッシュを逐次生成する第1ステップと、第1ステップで生成された四面体メッシュのデータを取り込み、四面体メッシュを分割して細分化する第2ステップと、第2ステップで生成された四面体メッシュのデータを取り込み、四面体メッシュの数を減らして簡略化する第3ステップとを含んでなり、
第1ステップは、前記表面三角形メッシュの頂点が少なくとも凹んでいない凸頂点を抽出し、該抽出した凸頂点に隣接する他の複数の頂点で囲まれる多角形を複数の三角形に分割し、該分割された各三角形と前記凸頂点を接続して四面体メッシュを逐次生成し、
第2ステップは、第1ステップで生成された四面体メッシュの稜線長が予め定められた閾値以上の稜線を少なくとも2つに分割し、該稜線に接続された四面体メッシュを該稜線の分割点によって分割して細分化し、
第3ステップは、第2ステップで生成された四面体メッシュを構成する稜線の両端の頂点を1つに統合するための新頂点を算出するステップと、該ステップにより算出された前記新頂点に基づいて前記四面体メッシュの数を減らして簡略化するステップとを含んでなる四面体メッシュ生成方法。 - 第2ステップは、前記閾値以上の稜線を、当該稜線の中点によって分割することを特徴とする請求項1に記載の四面体メッシュ生成方法。
- 前記新頂点算出ステップは、前記稜線の中点を前記新頂点として算出することを特徴とする請求項1に記載の四面体メッシュ生成方法。
- 前記新頂点算出ステップは、前記稜線の一方の頂点が表面メッシュ上に在るとき、当該一方の頂点を前記新頂点として算出することを特徴とする請求項1に記載の四面体メッシュ生成方法。
- 前記新頂点算出ステップは、前記稜線が表面メッシュ上に在るとき、該稜線に接続する表面メッシュ上の面分との自乗距離を最小化する頂点位置を前記新頂点として算出することを特徴とする請求項1に記載の四面体メッシュ生成方法。
- 第3ステップは、前記新頂点算出ステップにより算出された前記新頂点に接続する稜線について、前記簡略化ステップを適用することが有効か否か判定して有効稜線を抽出するステップを有し、
該有効稜線抽出ステップは、前記簡略化ステップを適用した場合に、形状近似誤差が予め定められた閾値以下であること、表面三角形メッシュの裏返りおよび四面体要素の干渉を回避できること、および非多様体表面メッシュを回避できることの少なくとも1つの判定条件を満たす稜線を有効稜線として抽出することを特徴とする請求項3乃至5のいずれか1項に記載の四面体メッシュ生成方法。 - 第3ステップは、前記有効稜線抽出ステップにより抽出された有効稜線について、前記簡略化ステップを適用することによりメッシュ品質を評価するステップを有し、
該品質評価ステップは、前記有効稜線について、前記簡略化ステップを適用した場合に生成される四面体要素形状のストレッチ、前記簡略化ステップを適用した場合に前後で変化する要素集合の品質勾配による品質改善度、および該品質改善度を最短稜線長の平均値で重み付けした稜線の評価値の少なくとも1つで評価し、
前記簡略化ステップは、前記品質評価ステップの品質評価値が高い前記有効稜線から順に前記簡略化を実行することを特徴とする請求項6に記載の四面体メッシュ生成方法。 - 前記簡略化ステップは、簡略化後の四面体メッシュの目標要素数に係るパラメータを入力する操作画面を表示画面に表示し、該操作画面から入力された目標要素数に係るパラメータを満たすように四面体メッシュの簡略化処理を実行することを特徴とする請求項6または7に記載の四面体メッシュ生成方法。
- 請求項1乃至8のいずれか1項に記載の四面体メッシュ生成方法をコンピュータにより実行可能に記述してなる四面体メッシュ生成プログラム。
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